Semana06 ord-2012-ii

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2012-II
Semana Nº 6 Pág. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Habilidad Lógico Matemática
EJERCICIOS DE CLASE Nº 06
1. Sobre los vértices consecutivos de un hexágono regular se colocan,
respectivamente, los números 2, 4, 8, 16, 32 y 64, mientras que en la intersección
de las diagonales mayores se coloca el número 128. ¿Cuántos números deben
cambiar de posición, como mínimo, para que el producto de los tres números sobre
las diagonales mayores sea el mismo?
A) 2 B) 3 C) 6 D) 4 E) 5
Solución:
Se tiene: 2 22
26
23
25
24
Basta con cambiar de posición dos números: 24
y 26
Clave: A
2. ¿Cuántos objetos de la figura M se debe cambiar de posición, como mínimo para
obtener la figura N?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
M N
Solución:
Clave: B
27

3. Se dispone de un barril lleno con 8 litros de vino y dos jarrones vacíos de 5 y 3 litros
de capacidad. Los tres recipientes no tienen marcas que permitan hacer mediciones.
Empleando solamente el barril y los dos jarrones, y sin derramar vino en ningún
momento, ¿cuántos traslados se debe hacer, como mínimo, para lograr que el barril
y uno de los jarrones contengan cada uno 4 litros de vino?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
Solución:
BARRIL Jarrón de 5 ltrs Jarrón de 3 ltrs
Inicio 8 0 0
1 3 5 0
2 3 2 3
3 6 2 0
4 6 0 2
5 1 5 2
6 1 4 3
7 4 4 0
Clave: D
4. En la operación mixta mostrada, las fichas numeradas pueden ser cambiadas de
posición; ¿cuál es el mínimo valor entero que puede tomar?
5 7 8 6
4
A) –2 B) –1 C) 1 D) 2 E) 3
Solución:
{ [ ( 5 + 6 ) – 7 ] x 4 } 8 = 2
Clave: D
5. En la operación mixta mostrada, ¿cuántas fichas numeradas como mínimo se tendrá
que cambiar de posición para que el resultado sea 4?
1 4 3 2 7 5
A) 5 B) 3 C) 2 D) 4 E) 0
Solución:
Se debe de cambiar el 7 por el 4
(1 + 7  3) (2 – 4  5) = 4
Clave: C
6. Dadas las fichas numeradas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (en ese
orden) y las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división). ¿Cuántas
fichas, como mínimo, deben cambiar de posición, para obtener el menor resultado
entero posible al utilizar la operación suma 4 veces, la operación resta 3 veces, la
operación división 2 veces y la operación multiplicación una vez; sin utilizar signos
de agrupación?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

Solución:
0 + 1 + 2:4 + 5 + 3:6 – 7 – 8 – 9 x 10 = – 98
Hay que mover 3 números como mínimo.
Clave: A
7. Las siete fichas numeradas del 1 al 7 se colocan en siete lugares de ocho, sobre una
circunferencia, como se ve en la figura de posición inicial. Un movimiento consiste
en trasladar una ficha a un lugar vacío, siguiendo una línea y sin pasar sobre otra
ficha. ¿Cuál es el menor número de movimientos necesarios para que las fichas
queden dispuestas como en la posición final?
A) 16
B) 13
C) 15
D) 14
E) 12
Solución:
1) Proceso consecutivo de movimientos al lugar vacío:
6 4 3 5 3 2 6 1 7 3 2 4 2 3 1
3
4
6
5
2
1 7
2
4
1
5
6
7
3
2) Por tanto el menor número de movimientos: 15.
Clave: C
8. Aldo y Cintia intentan resolver el siguiente reto: pasar las fichas blancas a las
casillas con los números 6, 7, 8 y 9 y las fichas negras a las casillas 1, 2, 3 y 4; con
las siguientes 3 condiciones:
i) Se debe empezar moviendo una ficha blanca y no puede haber más de una ficha
en cada casillero.
ii) Cada ficha puede pasar a la casilla inmediata o saltar una ficha a lo más.
iii) Ninguna ficha deberá regresar a una casilla donde ya estuvo antes.
Si gana la persona que hace la mínima cantidad de movimientos y Cintia le ganó a
Aldo en resolver el reto, halle dicha cantidad.
A) 24 B) 12 C) 21 D) 32 E) 28
4
3
2
1 7
6
5
4
5
6
7 1
2
3
Posición finalPosición inicial

Solución:
Se requiere 24 movimientos, de la siguiente manera, cada diagrama ilustra 2
movimientos
Clave: A
9. Un almacenero cuenta los clavos que tiene de 5 en 5, de 7 en 7, de 9 en 9 y de 11
en 11 y siempre sobra una cantidad que es menor en una unidad que el divisor
empleado. Si cada clavo le costó 2 soles y gastó entre 12000 y 16000 soles, halle la
suma de las cifras de dicho número de clavos.
A) 26 B) 25 C) 24 D) 27 E) 23
Solución:
Sea n el número de clavos que tiene
n =













1111011
1989
1767
1545




Clave: A
10. Un libro tiene entre 510 y 700 páginas y su última página es múltiplo de 11. Si en la
numeración de todas sus páginas se emplea un número de tipos de imprenta que es
múltiplo de 10, halle el número de páginas de dicho libro.
A) 616 B) 604 C) 594 D) 584 E) 572
Solución:
n = última página 510 < n < 700 … (*)
Sea 1, 2, 3, … , n n =

11 … (1)
C = cantidad total de cifras que se utilizan en su numeración
C = (n + 1) x 3 – 111
n = MCM (5, 9, 7, 11) – 1
n = 34

6 5 – 1 = 3465 k – 1
12000 < 2n < 16000  n = 3465(2) – 1
n = 6929
6 + 9 + 2 + 9 = 26

Pero 3(n + 1) – 111 =

10  n =

10 + 6 … (2)
De (1) y (2) n =






6610
6611


n = 

110 66 en (*) n = 110(5) + 66
n = 616
Clave: A
11. El costo de producir x lámparas por semana está dado por 2
300 70C x x   . Si se
pueden vender a 140 nuevos soles cada una, ¿cuántas lámparas se debe producir y
vender para obtener utilidades semanales de, al menos, 900 nuevos soles?
A) De 10 a 60 B) De 10 a 50 C) De 30 a 40
D) De 30 a 60 E) De 60 a más
Solución:
2140 (300 70 ) 900x x x   
2 70 1200 0x x  
  30 40 0x x  
30,40x   
Clave: C
12. Dina le dice a Victoria: “Tengo dos bolsas con caramelos; en una de ellas tengo 8
caramelos más que en la otra, y el producto del número de caramelos de ambas
bolsas es menor que 308”. Halle la suma de cifras de la cantidad máxima de
caramelos que puede tener Dina.
A) 7 B) 15 C) 12 D) 10 E) 8
Solución:
Sea A = cantidad de caramelos en una bolsa
A+8 = cantidad de caramelos en otra bolsa
A( A + 8) < 308
14.(22)=308 no es cierto
13.(21) < 273
A máx = 13
Total caramelo = 2(13) + 8 = 34
Suma de cifras = 7
Clave: C
13. En la figura, los radios de las ruedas miden 8cm y 2cm, los puntos A y B están
marcados sobre dichas ruedas. Si la rueda mayor avanza 5 vueltas y la menor 20
vueltas en las direcciones indicadas, ¿cuál es la distancia de A a B en su nueva
posición?
A) 8(20 + 1) cm
B) 8(20 + 3) cm
C) 8(20 – 1) cm
D) 6(20 + 1) cm
E) 6(10 + 1) cm
A B

Solución:
A B
10
22
6
8
Nueva distancia: + + AB
= 2.R.(Vueltas) + 2.r.(vueltas) + 8
= 2.8.5 + 2.2.20 + 8
=160 + 8 = 8(20 + 1)
Clave: A
14. En el siguiente engranaje planetario, el engranaje anular A tiene 180 dientes, el
engranaje piñon B tiene 40 dientes y el engranaje planetario C tiene 60 dientes. Si el
engranaje anular da 50 vueltas por minuto, ¿cuántas vueltas por minuto da el
engranaje piñon?
A) 225 B) 215 C) 150 D) 100 E) 180
Solución:
 
 

A A B B C C
B C
B
W D W D W D
50.180 W .40 W .60
W 225
Clave: A
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN Nº 06
1. En la operación mixta mostrada, ¿cuántas fichas numeradas cómo mínimo se tendrá
que cambiar de posición para que el resultado sea 1?
5 3 1 7
9
A) 2 B) 4 C) 3 D) 1 E) 5
B
C
A

Solución:
Son suficientes trasladar: 1,3 y 7.
Clave: C
2. Doña Francisca para preparar pan necesita 7 litros de agua. Dispone de dos jarras
sin graduar de 3 y 8 litros de capacidad, y del caño del que puede llenar agua
cuantas veces quiera. ¿Cuántas veces como mínimo tendrá que pasar de una jarra
a otra agua para obtener lo pedido?
A) 3 B) 5 C) 6 D) 4 E) 7
Solución:
Jarra de 8 litros Jarra de 3 litros
Inicio Llena 8 0
1 5 3  se vacía
5 0
2 2 3  se vacía
2 0
3 0 2
4 Llena 8 2
7 3
Son suficientes 4 traslados.
Clave: D
3. Pedro tiene 20 monedas de S/. 5 en una bolsa y 29 monedas S/. 2 en otra. Pedro
traslada monedas, m es el número de monedas de S/. 5 que debe traslada a la bolsa
de monedas de S/. 2, y, n es el número de monedas de S/. 2 que debe traslada a la
bolsa de monedas de S/. 5, para que ambas bolsas tengan la misma cantidad de
dinero. Si m + n es 7, halle m.
A) 4 B) 5 C) 7 D) 9 E) 2
Solución:
Sea m: número de monedas de 5 soles que se traslada
n: número de monedas de 2 soles que se traslada
luego: (20-m).5 + 2n = (29 – n).2 + 5m
42 = 10m – 4n
m + n = 7 , de donde m = 5
Clave: B
4. Juan dispone de una cantidad de el cual es divisible por 7 y Diego dispone
de el cual es múltiplo de 9. Si juntos desean invertir su dinero en un
negocio, halle la suma de cifras de la máxima suma de dichas cantidades.
A) 25 B) 24 C) 26 D) 28 E) 32

Solución:
7 9, entonces
para a=9 y b=7 se tiene que Juan tiene: 79674 soles.
y Diego tiene: 3978 soles, de donde la suma máxima: 79674 + 3978 = 83652.
Por lo que la suma de sus cifras es: 8+3+6+5+2 = 24.
Clave: B
5. Las hermanas Katy y Kelly visitan a su abuelita, Katy cada 3 días y Kelly cada
5 días. Si juntas la visitaron el lunes pasado, ¿qué próximo día de la semana más
cercano volverán a coincidir ambas en la visita a la abuela?
A) Jueves B) Lunes C) Martes D) Miércoles E) Viernes
Solución:
t : tiempo que transcurre para volver a visitar a la abuela juntas.
t = MCM (3, 5) = 15 días
 día que volverán a visitar a la abuela juntas = L + t = Martes
Clave: C
6. Esteban va al gimnasio cada 6 días, Lucho que no es muy aficionado va cada
15 días. Si coincidieron el 1ro de enero de cierto año bisiesto, ¿en qué fecha
coincidirán por cuarta vez en el gimnasio?
A) 31 de marzo B) 30 de abril C) 30 de marzo
D) 1ro de mayo E) 31 de abril
Solución:
 t = tiempo que transcurre para volver a coincidir en el gimnasio
t = MCM (6, 15) = 30
 tiempo que transcurre para que coincidan por 3ra vez = 90 días
 Fecha: 31 de marzo
Clave: A

7. Se sabe que el cuádruplo del número de monedas que hay dentro de una bolsa es
tal, que disminuido en 5, no puede exceder de 31, y que el quíntuplo del mismo
número de monedas, aumentado en 8, no es menor que 52. ¿Cuál será dicho
número de monedas?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
Solución:
Sea a = número de monedas
4a – 5 ≤ 31 → a ≤ 9
5a + 8 ≥ 52 → a ≥ 8,8 → a = 9
Clave: D
8. Las ventas mensuales de x unidades de cierto artículo cuando su precio es p nuevos
soles están dadas por 200 3p x  . El costo de producir x unidades del mismo
artículo es 650 5C x  nuevos soles. ¿Cuántas unidades como mínimo de este
artículo deberán producirse y venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo
menos de 2500 nuevos soles?
A) 18 B) 30 C) 35 D) 20 E) 24
Solución:
 200 3 (650 5 ) 2500x x x   
23 195 3150 0x x    2 65 1050 0x x  
  35 30 0x x  
30;35x   
Clave: B
9. En la figura los engranajes A, B, C y D tienen 40, 30, 60 y 80 dientes
respectivamente. Si el engranaje A da 48 vueltas, ¿cuántas vueltas más que el
engranaje D da C?
A) 8 B) 12 C) 7 D) 10 E) 14
Solución:
Tenemos #VA #dA #VB #dB #VC d#C #VD #dD      
Por dato       48 40 #VD 80 #VD 24   
y       48 40 #VC 60 #VC 32   
 El engranaje C da 8 vueltas más que D.
Clave: A
A B
C
D

10. En la figura, los engranajes A, B, C y D tienen 20, 40, 80 y 15 dientes
respectivamente. Si el engranaje A da 24 vueltas, ¿cuántas vueltas dará el
engranaje D?
A) 64
B) 32
C) 48
D) 24
E) 72
Solución:
De la figura, tenemos #VA #dA #VB #dB  
      24 20 # VB 40 # VB 12
Además 12 #VB #VC  así       80 12 15 # VC # VC 64
Por lo tanto el engranaje D dará 64 vueltas
Clave: A
Habilidad Verbal
SEMANA 6 A
LA COHESIÓN TEXTUAL
Un texto debe mostrar cohesión, esto es, una interdependencia entre los enunciados
que lo conforman. Con ello se mantiene el “discurrir” del texto. Los principales recursos
que permiten observar la cohesión de un texto son la anáfora (esto es, una referencia a
un elemento que ya apareció en el texto) y la catáfora (es decir, una referencia a un
elemento que viene después). En resumen, la anáfora es una regresión para hablar del
mismo referente, y la catáfora es una anticipación para concitar la atención y la
expectativa de lo que se dirá en el tramado del discurso.
Empleo de la anáfora
La cohesión de un texto se logra con el empleo de anáforas. La función de una anáfora es
recoger una parte del discurso ya emitido. Se da cuando a un pronombre o adjetivo se le
asigna el significado de su antecedente en el texto:
Ejemplos:
La escritura alfabética se inventó en Grecia en el siglo V antes de Cristo. Esta utilizaba
signos que representaban a cada uno de los sonidos de la lengua.
Gutenberg vivió en Mainz, Alemania. Allí imprimió la primera Biblia en 1455.
Empleo de la catáfora
Se da cuando algunas palabras, como los pronombres, anticipan el significado de una
parte del discurso que va a ser emitido a continuación:
A
B
C
D

Gracias a los teléfonos celulares las personas podemos transmitir de todo: voz, texto,
datos.
¡Mira que se lo dije, que iba a tener problemas!
La acción nociva de los rayos puede producir las reacciones locales siguientes:
sequedad de la piel, eritemas, caída temporal del vello.
ACTIVIDAD
Lea el siguiente texto e identifique las anáforas y catáforas textuales.
La Luna es el satélite de la Tierra, esto quiere decir gira en torno a la misma. Carece
de luz propia y por eso la vemos solo cuando refleja la luz solar. Su volumen es 50 veces
menor que el de nuestro planeta y su radio tiene 1737 km. Es el astro más próximo a la
Tierra, lo separa una distancia de 384.000km. Como carece de atmósfera, este
sorprendente fenómeno se puede apreciar: debido a que los rayos solares inciden
directamente sobre la superficie lunar, en ella se pueden registrar temperaturas
superiores a 100 grados durante el día lunar y de 150 bajo cero durante las noches.
Otras consecuencias de la ausencia de atmósfera son las siguientes: no se producen
vientos, nubes, precipitaciones, factores todos que contribuyen a transformar el relieve.
Por eso, el satélite no presenta las alteraciones propias de la Tierra. Su superficie
está formada por una base sólida grisácea y algo arenosa. Cubierta de cráteres de
variado tamaño, desde muy pequeños hasta algunos que llegan a 200km.
Solución:
Anáforas: …………………………………………………..………………………………………
Catáforas: …………………………………………………..……………………………………..
COMPRENSIÓN LECTORA
TEXTO 1
Newton disfrutó en vida la admiración y el respeto de sus contemporáneos. En el
momento de su muerte Newton era presidente de la Real Sociedad de Londres y gozaba
de la reputación de ser el más grande científico de su época. Parte de la visión que
tuvieron de él sus contemporáneos, es expresada en el bien conocido epitafio de
Alexander Pope: “Nature, and Nature’s Laws lay hid in Night. God said, Let Newton be!
and All was Light”.
En 1727 Isaac Newton fue sepultado en la abadía de Westminster, un honor que no
había tenido ningún hombre de ciencia hasta el momento.
Se podría decir, en pocas palabras, que el logro de Newton fue expresar en leyes
matemáticas el comportamiento de los cuerpos celestes y terrestres. La física newtoniana
ofrecería la explicación más completa y armoniosa de la estructura y movimiento del
universo. Su obra más conocida, los Principios matemáticos de filosofía natural, se
convirtió en el sistema cosmológico de mayor reconocimiento desde Aristóteles. Newton
sería entonces el más importante representante de la nueva física y de la ciencia
moderna, en donde tanto las matemáticas como la experimentación son aspectos
fundamentales del método científico que, a diferencia de la filosofía aristotélica, no
pretende explicar la causa del movimiento sino describir y predecir el comportamiento de
la naturaleza a través de las matemáticas.

Sin embargo, los intereses intelectuales de Newton y posiblemente sus más
importantes preguntas, no estaban restringidas al campo de la física, la óptica y las
matemáticas.
Hemos hablado ya de la diferenciación que se ha generado entre dos tradiciones
aparentemente antagónicas; por un lado se habla de una corriente que se identifica con lo
racional y por otro de una corriente mística y religiosa. Newton se ha convertido en el
símbolo de la primera y, hasta hace muy poco tiempo, los comentaristas e historiadores
dejaban a un lado gran parte de los intereses de Newton por no encontrar una relación
directa con sus más reconocidos logros. En 1936 J. M. Keynes compró en una subasta
algunos manuscritos inéditos de Newton entre los cuales se encontraba una nutrida
producción en temas como la alquimia y la magia. Estos manuscritos, que fueron donados
al King´s College en Cambridge, han permitido descubrir un Newton bastante más
complejo e interesante, en donde el estudio de la alquimia, la mística y la teología era tan
importante como el estudio de la física, la cosmología y las matemáticas.
1. Fundamentalmente, el texto versa sobre
A) el prestigio y deslumbrante aporte de Newton.*
B) la revolución científica en las ciencias modernas.
C) el descubrimiento de los manuscritos de Keynes.
D) una propuesta de metodología para la ciencia actual.
E) el progreso de la ciencia desde una óptica mágica.
SOLUCIÓN A: Al inicio del texto aborda la vida de Isaac Newton llena de respeto y
admiración ya que ayudó al progreso de la ciencia.
2. En el texto, la palabra ARMONIOSA puede ser reemplazada por
A) clara. B) melodiosa. C) afinada.
D) semejante. E) agradable.
SOLUCIÓN A: El contexto hace referencia a una explicación clara.
3. Resulta incompatible con el texto decir que
A) Newton disfrutó en vida la admiración y el respeto de sus contemporáneos.
B) de manera armoniosa, Newton logró explicar la estructura del universo.
C) J.M. Keynes adquirió los manuscritos originales de la producción de Newton.
D) Newton ejerció la jefatura de la Real Sociedad de Londres hasta sus últimos días.
E) J. M. Keynes tuvo una nutrida producción en temas como la alquimia y la magia.
SOLUCIÓN E: En 1936 J. M. Keynes compró en una subasta algunos manuscritos
inéditos de Newton entre los cuales se encontraba una nutrida producción en temas
como la alquimia y la magia.
4. Podemos colegir que Isaac Newton revolucionó la ciencia debido a que su
perspectiva física
A) fue incompatible con el progreso científico actual.
B) está referida a la sociedad moderna y contemporánea.
C) privilegia la ausencia de contradicción entre ciencia y religión.
D) solo puede aplicarse al estudio de los cuerpos celestes.
E) logró sistematizar las leyes naturales que gobiernan el movimiento.

SOLUCIÓN E: El logro de Newton fue expresar en leyes matemáticas el
comportamiento de los cuerpos celestes y terrestres.
5. Si los manuscritos inéditos de Newton no hubieran salido a la luz pública,
probablemente
A) el grandioso aporte de este científico aún sería desconocido.
B) ignoraríamos su visión mística sobre el universo.
C) los biógrafos tendrían un misterio todavía por resolver.
D) el análisis del sistema planetario estaría incompleto.
E) se habría soslayado la verdadera pretensión intelectual de Keynes.
SOLUCIÓN B: Estos manuscritos han permitido descubrir un Newton bastante más
complejo e interesante, en donde el estudio de la alquimia, la mística y la teología
era tan importante como el estudio de la física, la cosmología y las matemáticas.
TEXTO 2
¿Es posible considerar que el lenguaje haya sufrido un tiempo de desarrollo, de
progresión lenta y laboriosa durante el cual se ha ido convirtiendo en el sistema complejo
de significación y de comunicación que es hoy y que la historia, por muy lejos que
remonte en el pasado, atestigua? ¿O bien admitiremos que desde el «principio» el
lenguaje es «formalmente complejo» y que, desde el momento en que hay hombre hay
lenguaje en cuanto que sistema cargado de todas las funciones que tiene hoy? En la
segunda hipótesis, no habría «prehistoria» del lenguaje, sino lenguaje sencillamente, con
unas diferencias, sin duda, del modo de organización del sistema (diferencias fonéticas,
morfológicas, sintácticas, etc.), que dan lugar a diferentes lenguas.
La hipótesis de la súbita aparición del lenguaje, la defiende Claude Lévi-Strauss en
la actualidad. Considera toda cultura como «un conjunto de sistemas simbólicos en cuya
primera fila se sitúan el lenguaje, las reglas matrimoniales, las relaciones económicas, el
arte, la ciencia, la religión». Renunciando a buscar una teoría sociológica para explicar el
simbolismo, Lévi-Strauss, por el contrario, busca el origen simbólico de la sociedad. Pues
el amplio conjunto de sistemas de significación que es lo social funciona —de la misma
forma que el ejercicio de la lengua— de manera inconsciente. Este se basa —igual que la
lengua— sobre el intercambio (la comunicación). De este paralelismo se podría decir que
los fenómenos sociales son asimilables (desde tal punto de vista) al lenguaje y que, a
partir del funcionamiento lingüístico, podemos acceder a las leyes del sistema social. No
obstante, escribe Lévi-Strauss, «cualesquiera que hayan sido el momento y las
circunstancias de su aparición en la escala de la vida animal, el lenguaje sólo pudo nacer
de repente. No es posible que las cosas se pusieran, de modo progresivo, a significar.
Tras una transformación cuyo estudio no es de la competencia de las ciencias sociales,
sino de la biología y de la fisiología, se efectuó un paso, el de un estadio en que nada
tenía sentido a otro estadio en que cualquier cosa lo poseía».
Sin embargo, Lévi-Strauss distingue claramente esa brusca aparición de la
significación de la lenta toma de conciencia de que «eso significa». Dicha distinción se
explica en que, por un lado, hay simultaneidad en el establecimiento de los componentes
de la relación sígnica; pero, por el otro, la conciencia de la relación no es repentina. En
palabras de Lévi-Strauss: «Se debe a que las dos categorías del significante y del
significado se han constituido simultánea y solidariamente, como dos bloques
complementarios; pero también a que el conocimiento, es decir, el proceso inteligible que
permite identificar, los unos con relación a los otros, algunos aspectos del significante y

algunos del significado..., se puso en marcha de manera lenta. El universo significó
mucho antes de que se empezara a saber lo que significaba.»
Extraído de: Kristeva, Julia. El lenguaje, ese desconocido. Introducción a la lingüística.
1. Principalmente, el primer párrafo plantea
A) una pregunta: ¿hubo lenguaje o no lo hubo en el principio de los tiempos de la
humanidad?
B) un cuestionamiento: no es verdad que el lenguaje haya surgido de un proceso
trabajoso sino que surgió de la nada.
C) una descripción: el lenguaje es por un lado el resultado de un proceso y, por el
otro, un acontecimiento repentino.
D) un problema: o hay un desarrollo progresivo del lenguaje o repentinamente
sucedió que hubo lenguaje.
E) una afirmación: el lenguaje no tuvo prehistoria sino, sencillamente, posee modos
diferentes de organización.
Respuesta: D) El párrafo inicial plantea el tema como una doble respuesta a un
mismo asunto, el origen del lenguaje. Este se presente entonces como un problema
sin resolver.
2. En el primer párrafo se hace referencia a una “segunda hipótesis”, esta puede
definirse de la siguiente manera:
A) Hubo un lento proceso por el cual el lenguaje fue adquiriendo sus funciones de
comunicación.
B) La comunicación desarrollada por el hombre forma parte de sus procesos de
adaptación y evolución.
C) El lenguaje es complejo desde el principio cargado de todas las funciones que
tiene hoy.
D) Existió un desarrollo progresivo del lenguaje; sin embargo, sus funciones actuales
surgieron repentinamente.
E) El lenguaje no tuvo prehistoria, sino modos de organización diferente según las
distintas culturas.
Respuesta: C) Es una pregunta sobre el tema de la cohesión interna: la expresión
“segunda hipótesis” remite a la complejidad del lenguaje desde su origen.
3. Fundamentalmente, en el segundo párrafo se afirma que
A) según Lévi-Strauss, el lenguaje surgió de repente, no de modo progresivo.
B) según Lévi-Strauss, los fenómenos sociales son asimilables al lenguaje.
C) debió existir un origen, aunque paulatino, del lenguaje que hoy poseemos.
D) los orígenes del lenguaje son competencia de la biología y de la fisiología.
E) los procesos de intercambio comunicativo son de naturaleza inconsciente.
Respuesta: B) Lo que se sostiene principalmente en el párrafo segundo es el
planteamiento de Lévi-Strauss según el cual lo social tiene una estructura de
lenguaje.

4. En el segundo párrafo se habla de un paralelismo entre el lenguaje y lo social; este
puede expresarse sosteniendo que ambos
A) funcionan de modo inconsciente y se basan en el intercambio.
B) contienen elementos conscientes y admiten la evolución.
C) poseen formas de intercambio de mensajes y de bienes.
D) suponen modos complejos de organización y de discernimiento.
E) establecen complejos lazos de relación entre sujetos sociales.
Respuesta A) En esta pregunta también se ejercita la referencia interna: la expresión
“paralelismo” remite anafóricamente al carácter inconsciente y su fundamento de
intercambio que distingue al lenguaje y a lo social.
5. Fundamentalmente, el tercer párrafo explica que
A) existe una diferencia entre la súbita aparición del lenguaje y el lento proceso de
tomar conciencia de él.
B) la diferencia entre la aparición repentina del lenguaje y su asimilación paulatina
por el hombre.
C) Lévi-Strauss distingue entre la asimilación paulatina del lenguaje y su brusca
aparición biológica.
D) las dos categorías del significante y del significado se han constituido simultánea
y solidariamente.
E) la significación del universo anterior a la conciencia de aquello por lo cual el
universo significaba.
Respuesta: A) Fundamentalmente, el párrafo final explica que si bien el lenguaje
habría aparecido súbitamente para Lévi-Strauss, eso no significa que la consciencia
del lenguaje sea igualmente súbita.
6. En la expresión “los componentes de la relación sígnica”; se infiere que estos son
A) los procesos de intercambio social
B) el lenguaje y la consciencia del mismo.
C) la significación y su aparición repentina.
D) el lenguaje y su desarrollo.
E) el significante y el significado.
Respuesta: E) Otra pregunta de referencia interna. La expresión entre comillas se
refiere al significante y al significado.
7. ¿Cuál es la idea principal del texto?
A) Para Lévi-Strauss, el lenguaje atravesó por una progresión lenta y laboriosa para
convertirse en el sistema de significación.
B) O existe un sistema complejo de significación que surgió repentinamente o no
existe sino la ilusión de las posibilidades de la comunicación.
C) El lenguaje es un sistema formalmente complejo que se utiliza para la realización
de procesos informativos.
D) Desde la perspectiva de Lévi-Strauss, solo pudo haber un repentino surgimiento
del lenguaje y toda su complejidad.
E) Sostener que hubo un principio progresivo del sistema de comunicación es
sostener una prehistoria del lenguaje.

Respuesta: D) El texto centralmente destaca la hipótesis de Lévi-Strauss según la
cual el lenguaje solo pudo surgir súbitamente con toda su complejidad inherente.
8. Si tomamos en cuenta exclusivamente la cohesión textual podemos decir que
A) en la expresión “durante el cual se ha ido convirtiendo”, “el cual” hace referencia
al lenguaje.
B) en el segundo párrafo, “Este se basa”, alude al conjunto de sistemas de
significación.
C) en el segundo párrafo, “las circunstancias de su aparición”, la palabra “su” alude a
aparición.
D) el que “se ha ido convirtiendo” en un lento y laborioso proceso es el ser humano.
E) en la expresión “Este se basa […] sobre el intercambio” se refiere al modo
inconsciente de la transmisión de lo social.
Respuesta: B) Una última pregunta de cohesión textual, una vez más se trata de una
anáfora: “Este” alude al “conjunto de sistemas de significación”.
SEMANA 6 B
TEXTO 1
Internet ha marcado un antes y un después en el mundo de la lengua española pero
¿sabemos a qué nos enfrentamos? ¿Conocemos la forma correcta de escribir en la red?
Éstas y otras preguntas son las que se explican en el manual Escribir en Internet. Guía
para los nuevos medios y las redes sociales, elaborado por la Fundación del Español
Urgente (Fundéu BBVA).
El volumen, que se ha presentado esta mañana en la Real Academia Española
(RAE) contó con la participación del director de la RAE y presidente de Fundéu BBVA,
José Manuel Blecua; el director de la Fundéu BBVA, Joaquín Müller-Thyssen; el
presidente de la agencia Efe, José Antonio Vera; el director del proyecto, Mario Tascón y
el líder del grupo de rock Siniestro Total, Julián Hernández. Todos y cada uno de los allí
presentes defendieron la importancia y el poder que otorgan las nuevas plataformas a la
lengua española.
"Nunca se ha escrito tanto como ahora ni se ha publicado tanto como ahora. Cuando
nos preguntan a los académicos si estos medios empeoran la lengua solemos contestar
que no", afirmó el director de la RAE quien se mostró optimista sobre la era digital pues
"creemos en la gran oportunidad que nos brindan los nuevos medios", señaló Blecua.
Internet ha revolucionado no solo la forma de escribir sino también la de transmitir
información. Cada vez son más las personas que utilizan las redes para comunicarse. Por
este motivo, el manual resume las principales características narrativas de la era 2.0. "Hay
que seleccionar, resumir, extractar, destacar lo importante sobre lo superfluo, lo curioso
sobre lo gris...Alentar en los demás el deseo de saber más sobre un asunto determinado",
afirmó el presidente de la agencia Efe.
Una idea que también defendió Müller-Thysen, quien además recalcó la importancia
de cuidar las normas lingüísticas porque "anteayer publicar era el privilegio de unos
pocos, pero hoy los privilegiados se cuentan por cientos de miles, y es este nuevo
batallón de privilegiados el que publica en la red a diario". Hubo tiempo para reflexionar
sobre los peligros de internet, pero también para citar las razones positivas porque "detrás
de todo esto no subyace otra cosa que la necesidad eterna de comunicarse y compartir,
algo que debe hacerse con corrección y acierto para que aquello que se publique sea
valorado y respetado". Como la red, que es un espacio plural, el volumen se ha elaborado

gracias a la participación de un conjunto amplio de periodistas y expertos en la materia.
"Necesitábamos ayuda y no hubo duda en que el proyecto tenía que ser colectivo, por eso
convocamos a los expertos, Fúndeu BBVA que aportó todo su fondo documental y
empezamos a rastrear por la red a quienes tenían el conocimiento que precisábamos",
explicó Tascón. Escribir para internet desmonta los mitos y prejuicios sobre la red y la
defiende como el camino del futuro del español, "el idioma de los valientes. Es tiempo de
valientes. Soñemos todos con una lengua más rica y universal para nuestros hijos",
concluyó Tascón.
1. Fundamentalmente, la noticia versa sobre
A) la creación del manual de instrucciones de uso digital en español.
B) el inapropiado uso de la lengua española en la red.
C) la preocupación de la RAE por las publicaciones actuales.
D) los peligros que entraña la era digital para los jóvenes españoles.
E) la necesidad de crear una guía para los nuevos medios y las redes sociales.
Solución A: El autor explica la importancia y el poder que otorga la creación del
manual del uso digital en español.
2. En el texto, el término RASTREAR implica
A) persecución. B) observación. C) búsqueda.*
D) sondeo. E) exploración.
Solución C: se refiere a la búsqueda de los expertos.
3. En el texto, “ESPACIO PLURAL” hace referencia a
A) diversos tipos de lingüistas. B) un terreno muy extenso.
C) un lugar hermético. D) una cantidad considerable.
E) una participación heterogénea.
Solución E: La red es un espacio plural.
4. Resulta incompatible afirmar que
A) La Academia no considera que el lenguaje propio de los sms vaya a deteriorar la
lengua.
B) el manual busca sacarle el mayor partido a los buscadores y a la accesibilidad en
los nuevos medios.
C) el objetivo de la guía es realizar una serie de recomendaciones para escribir de
forma correcta en la red.
D) lejos de cualquier mensaje apocalíptico, la RAE cree en la gran oportunidad que
nos brindan los nuevos medios.
E) sin duda, Escribir en Internet inculcará en los más jóvenes el amor por la buena
literatura.
Solución E: No necesariamente, recordemos que se trata de un manual con
numerosas recomendaciones para escribir correctamente en la Red y aprovechar
todas sus posibilidades.

5. Es posible colegir que el primer manual práctico de uso de Internet en español
A) aborda el diseño de una página web.
B) explica cómo utilizar abreviaturas y emoticones.
C) incluye consejos jurídicos para sobrevivir en Internet.
D) recopila los consejos de más de 40 lingüistas.
E) no es adecuado para editores principiantes.
Solución B: Son aplicaciones surgidas en las redes sociales.
TEXTO 2
Vamos por la autopista a 120 km/h. Vemos que los coches de delante han
encendido las luces de alarma y están frenando. Por fin se detiene todo el mundo. Al cabo
de poco rato todos vuelven a ponerse en marcha. ¿Un accidente? ¿Un atasco? ¿Una
inundación? ¿Un ovni? Poco a poco volvemos a acelerar hasta los 120 km/h iniciales,
seguimos nuestro camino y no hay ovni ni atasco ni agua ni restos de ningún accidente.
Misterio. Probablemente ha sucedido lo siguiente: un conductor cualquiera iba a 120
km/h cuando decidió cambiar la música de su equipo; como había bastante tráfico,
levantó el pie del acelerador para mayor seguridad. El que venía detrás se vio
acercándose al de delante y frenó. El tercero frena también, y el cuarto, y los demás. Pero
es imposible saber a qué velocidad se va a poner el coche de delante, de manera que
cada uno va reduciendo más la propia: si el primero pasó de 120 a 110, el segundo se
puso a 100, el tercero a 90, el cuarto a 75, el quinto a 60... hasta que uno se paró y con él
todos los que venían detrás. El primer conductor nunca tuvo intención de provocar un
atasco, seguramente ni se dio cuenta de lo que pasaba a sus espaldas, pero lo cierto es
que un buen número de coches se tuvo que detener sin llegar a saber nunca por qué. El
atasco fue producido por una mano invisible que guio las actividades de numerosos
individuos sin que existiera acuerdo entre ellos, sin que nadie supiera qué estaba
haciendo cada uno de otros. Se limitaron a aplicar un principio general, compartido por
todos: «si te acercas demasiado al coche de delante, reduce la velocidad».
Este ejemplo, que al menos puede servirle para entender bastantes atascos
absurdos, es de Rudi Keller, que lo utiliza, como he hecho yo aquí, para explicar el
mecanismo del cambio social y lingüístico que se basa en acciones individuales sin
necesidad de acuerdo ni consulta ni nada parecido.
¿Llevamos esto al lenguaje? De manera totalmente individual, algunos hablantes
empiezan a introducir una innovación. Otros la oyen y piensan «hombre, no está mal, es
práctico decirlo así». O bien no piensan nada y se limitan a imitar una forma de expresión
que oyen en labios de personas que les merecen confianza o respeto o que simplemente
pertenecen al grupo al que uno desea pertenecer, o al que ya pertenece. Y la bola de
nieve crece y cada vez hay más gente que utiliza esa innovación. Es como el camino que
se crea al pisar la hierba…
Fíjese usted un poquito en su propia conducta lingüística. De vez en cuando
escucha en la televisión o la radio, o en cualquier otro sitio, o lee en un libro o en la
prensa, una palabra o expresión que le parece adecuada, útil, y empieza a usarla. Así se
extienden las modas (“¡Qué bonita casaca! Me voy a comprar una igual”), también las
lingüísticas: un joven escucha una palabra desconocida que usan un par de chicos o
chicas mayores de la pandilla, le gusta y decide imitarlos. Es una decisión individual,
nadie se la impone, pero al poco tiempo toda la pandilla utiliza la misma palabra. Y quien
dice una pandilla dice un grupo social grande, incluso, con el tiempo, todos los hablantes
de una lengua.

El proceso es sencillo, lógico y plausible. Mejor sin duda que muchas explicaciones
tradicionales que otorgaban a la lengua algo así como una existencia autónoma: «la
lengua cambia» para aprovechar al máximo los rasgos fonéticos de sus vocales, por
ejemplo. ¿La lengua? ¿Quién? La mano invisible es una buena vía de explicación,
aunque necesariamente debe completarse con muchos más detalles.
1. Principalmente, el autor explica
A) las hipótesis que pueden elaborarse sobre los fenómenos del transporte urbano.
B) las motivaciones que pueden presentarse para los cambios sociales.
C) el mecanismo elemental con el que se producen modificaciones en las lenguas.
D) el conjunto de elecciones individuales que motivan las asunciones colectivas.
E) los cambios en la lengua debido a las modificaciones en las reglas gramaticales.
Respuesta: C) Toda le explicación de la repentina paralización de los autos en una
carretera es una analogía para explicar los cambios en las lenguas como
provocadas por una “mano invisible”.
2. Las expresiones “¿Un accidente? ¿Un atasco? ¿Una inundación? ¿Un ovni?” aluden
A) a explicaciones posibles ante un fenómeno que no tiene en principio explicación.
B) al sentido general según el cual las cosas no pasan sin ninguna motivación racional.
C) a conclusiones arbitrarias sin ninguna información o dato que las motive.
D) a la necesidad de realizar alguna justificación cuando ocurren fenómenos inusuales.
E) al fenómeno de los embotellamientos producidos en las grandes vías de circulación.
Respuesta: A) Estas expresiones se ubican en el lugar de una ausencia de
explicación respecto del atasco en la carretera.
3. Siguiendo el principio aludido en el párrafo primero, podemos sostener entonces que
en caso de que un conductor no observe autos demasiado cerca delante del propio
A) seguirá adelante acelerando constantemente su vehículo.
B) no tendrá por qué reducir la velocidad de su automóvil.
C) se verá obligado a acelerar para evitar cualquier contingencia.
D) se detendrá para verificar el nivel de aire de las llantas.
E) chocará indefectiblemente con el auto que va delante.
Respuesta: B) Es una extrapolación elemental: si la situación no se ajusta al
principio, entonces no tendrá que aplicarse dicho principio a la situación.
4. Se infiere que el caso de los autos que se detienen en la carretera y las
innovaciones que se producen en las lenguas tienen en común:
A) El deseo de explicar que se suscita, en ambos casos, por causas completamente
desconocidas y misteriosas.
B) La intervención de una mano invisible, agente de modificaciones que motivan
incertidumbre e inquietud.
C) La existencia de procesos colectivos e inconscientes que generan modificaciones
significativas.
D) El respeto por principios generales de conducta adecuados ante situaciones de
riesgo relativo.
E) Ambos casos no tienen ningún punto en común para que podamos hacer
comparaciones.

Respuesta: C) La analogía establecida en el texto tiene este punto en común: el
carácter inconsciente y colectivo de las modificaciones que ocurren o pueden ocurrir.
5. La explicación del repentino congestionamiento del tránsito a partir de la paulatina
disminución de las velocidades de los autos es una inferencia porque
A) establece una relación entre la ausencia de accidentes, atascos, inundaciones y
los ovnis que pueden paralizar el tránsito.
B) resulta muy verosímil o fácil de creer que un conductor baje la velocidad de su
auto cuando está ocupado en otras cosas.
C) pretende hacer explícito o evidente lo que permanecía implícito u oculto, a saber,
la causa del congestionamiento de tránsito.
D) siempre nos vemos compelidos a buscar el sentido y por eso demostramos la
causa de todo fenómeno enigmático.
E) se refiere a las posibles causas que determinarían, si incidieran en el tránsito, un
congestionamiento vehicular.
Respuesta: C) Se le pide al estudiante que sea consciente del mecanismo de la
inferencia; en este caso, hacer explícita la causa probable del atasco vehicular.
6. La expresión LA BOLA DE NIEVE CRECE alude
A) al proceso de generalización de un uso lingüístico.
B) al acto semejante de formarse un camino por la hierba.
C) a las circunstancias del uso de una palabra de la lengua.
D) a la distinción entre uso generalizado y uso restringido
E) al proceso de elegir una palabra nueva para su uso.
Respuesta: A) Esta expresión es una forma figurada de explicar el aumento
constante de los usuarios de un término en la lengua.
7. Así como es posible que cualquiera compre una casaca u otra prenda de vestir
porque de este modo complace el gusto de usar la ropa que vio puesta en otro, del
mismo modo:
A) se puede adquirir el interés por los problemas de la lingüística al escuchar los
usos de la lengua propios de mi ciudad.
B) todo fenómeno social, incluido el lingüístico, tiene su origen en modificaciones
singulares que se expanden masivamente.
C) las palabras que uso son todas impuestas por las modificaciones que se
establecen en la moda contemporánea.
D) se puede usar una o más palabras recientemente oídas porque parecen
adecuadas o precisas para determinada ocasión.
E) los cambios en el tránsito de las grandes avenidas obedece a circunstancias
relacionadas con sucesos contingentes.
Respuesta D) Esta pregunta incide sobre otra analogía del autor: se puede usar una
palabra porque la oímos de usar, del mismo modo que usamos una prenda que
vimos lucir a otro.

8. A partir de la afirmación según la cual “la lengua cambia para aprovechar al máximo
los rasgos fonéticos de sus vocales”, se puede inferir lo siguiente:
A) El autor le atribuye a la lengua una existencia autónoma.
B) Es necesario buscar explicaciones menos teóricas.
C) Ninguna lengua busca aprovechar sus rasgos fonéticos.
D) Los rasgos fonéticos no son suficientes como causa de los cambios.
E) Las lenguas no cambian por causa tan poco serias.
Respuesta A) Tal explicación lleva implícita la atribución de una autonomía a la
lengua, como ella tuviera capacidad de decisión sobre lo mejor o peor para sí
misma.
ELIMINACIÓN DE ORACIONES
1. I. Dopamina es una hormona y neurotransmisor producida en una amplia variedad
de animales, incluidos tanto vertebrados como invertebrados. II. Según su estructura
química, la dopamina es una feniletilamina, una catecolamina que cumple funciones
de neurotransmisor en el sistema nervioso central. III. La dopamina se produce en
muchas partes del sistema nervioso, especialmente en la sustancia negra. IV. La
sustancia negra es una porción heterogénea del mesencéfalo, y un elemento
importante del sistema de ganglios basales. V. La dopamina es también una
neurohormona liberada por el hipotálamo.
A) IV B) II C) I D) III E) V
SOLUCIÓN. A) Se elimina la oración IV por impertinencia.
2. I. La acatisia es la incapacidad para mantenerse quieto que se acompaña de una
sensación de intranquilidad a nivel corporal, sin llegar a la angustia. II. La necesidad
imperiosa de moverse lleva al paciente a cambiar de lugar y de postura, a levantarse
y sentarse en forma reiterada, a cruzar y extender las piernas, etc. III. La acatisia
puede ser un efecto adverso de los neurolépticos, y por tanto no se debe confundir
con manifestaciones motrices de tipo ansioso. IV. Fármacos como la
metoclopramida (un fármaco procinético) también pueden provocar este efecto
adverso. V. Se debe hacer el diagnóstico diferencial con el "síndrome de las piernas
inquietas", en el cual lo que sucede es que los movimientos se exacerban con el
reposo.
A) I B) II C) III D) IV E) V *
SOLUCIÓN. E. Se elimina por impertinencia.
3. I. La angustia es un estado afectivo de carácter penoso que se caracteriza por
aparecer como reacción ante un peligro desconocido o impresión. II. Suele estar
acompañado por intenso malestar psicológico y por pequeñas alteraciones en el
organismo. III. En el sentido y uso vulgares, se lo hace equivalente a ansiedad
extrema o miedo. IV. El psicoanálisis ha realizado los principales aportes para el
conocimiento de la angustia y de otros padecimientos psíquicos. V. Dentro de las
alteraciones que acompañan a la angustia están la elevación del ritmo cardíaco,
temblores, sudoración excesiva, sensación de opresión en el pecho o de falta de
aire.
A) I B) II C) III D) IV * E) V

SOLUCIÓN. D. Se elimina por impertinencia no se refiere a la angustia sino al
psicoanálisis.
4. I. En termodinámica, la entropía (simbolizada como S) es una magnitud física. II. Ella
permite, mediante cálculo, determinar la parte de la energía que no puede utilizarse
para producir trabajo. III. Es una función de estado de carácter extensivo y su valor,
en un sistema aislado, crece en el transcurso de un proceso que se dé de forma
natural. IV. La entropía describe lo irreversible de los sistemas termodinámicos. V.
La palabra entropía procede del griego (ἐντροπία) y significa evolución o
transformación.
A) I B) II C) III D) IV E) V*
SOLUCIÓN. E. Se elimina por impertinencia.
5. I. La fibromialgia es una enfermedad crónica, generalizada y que se caracteriza por
dolor de larga duración en los músculos y en las articulaciones de todo el cuerpo. II.
Algunos científicos creen que el origen de la fibromialgia puede ser genético. III. El
tratamiento para la fibromialgia a veces requiere que se trabaje en equipo. IV. La
ﬁbromialgia se caracteriza por dolor músculoesquelético generalizado y sensación
dolorosa a la presión en unos puntos especíﬁcos. V Las personas con fibromialgia
tienen “puntos hipersensibles” en el cuerpo.
A) I B) II C) III D) IV E) V
SOLUCIÓN. D. Se elimina por redundancia.
6. I. Se consideraba de una gran extensión y se decía que estaba habitada por los
atlantes, expertos en el arte de la navegación. II. Según una leyenda recogida en
algunos diálogos platónicos, la Atlántida era una isla situada al oeste del
Mediterráneo. III. Cuenta la leyenda que esta isla contaba con un suelo tan fértil que
producía manzanas de oro y era visitada por las ninfas, las amazonas y los titanes.
IV. En la versión de Platón, la Atlántida desapareció por un terrible cataclismo que la
sumergió súbitamente. V. Seres fabulosos frecuentaban la Isla de Atlántida.
A) II B) I C) V * D) III E) IV
Solución C: El tema de conjunto oracional tiene que ver con la leyenda de la
Atlántica. Sé elimina por redundancia la oración V está contenida en la III.
7. (I) La memoria no es un sistema unitario: poseemos varias memorias. (II) Nuestro
sistema de almacenamiento temporal se denomina memoria de corto plazo. (III) La
memoria de largo plazo posee una capacidad ilimitada y permanente de
almacenamiento de información. (IV) La información del exterior es recibida
inicialmente por una memoria denominada almacén sensorial. (V) La memoria de
largo plazo se compone, a su vez, de otras memorias: procedimental, semántico y
episódica.
A) I B) V C) IV D) II E) III
Solución A: Se elimina la oración por el criterio de redundancia. La oración I, tiene
una información superflua.

SEMANA 6 C
TEXTO 1
A pesar de la enorme cantidad de literatura que ha existido alrededor de la figura de
Newton, hay aspectos de su vida que hasta hace poco se habían ignorado. La educación
que recibimos nos dificulta ver las relaciones que pudieron existir, por ejemplo, entre la
música, la filosofía y las matemáticas. Aunque hoy en día parecieran totalmente
independientes, están claramente unidas en figuras como Pitágoras o Kepler y, como
veremos más adelante, en Newton.
Desde el siglo VI, en los curriculares universitarios, el término “Cuadrivium”
incorporaba la astronomía, la geometría, la aritmética y la música, y el “Trivium” por otro
lado, incluía la gramática, la retórica y la dialéctica. Esto compondría las llamadas siete
artes liberales, fundamento de la educación en occidente por más de mil años.
Conceptos como la correspondencia entre las notas musicales, la armonía musical y las
relaciones numéricas simples, descubierta por Pitágoras, señalaban una evidente
armonía matemática de la naturaleza, y sería un tema que interesaría a personajes como
Vicenzo Galilei, Mersenne, Descartes, Hooke, entre otros.
La música sería entonces parte de la educación de Newton. Así, y aunque parezca
irrelevante dentro de sus más conocidos trabajos, tiene sentido ver como dentro de sus
preocupaciones está el poder establecer una correspondencia natural entre los números y
algunas entidades. Por ejemplo, Newton buscaría hallar la relación entre los siete colores
y las siete notas musicales.
Es así como la idea de armonía se convierte en algo así como un paradigma de la
ciencia matemática experimental y se cree puede ser aplicable a otros fenómenos como
la luz, la gravedad, entre otros. Para Newton, la ley de la gravitación universal es el
descubrimiento de la armonía del cosmos que era el descubrimiento de una teología
verdadera, la cual había sido revelada a los antiguos y había sido deformada por la
tradición escolástica. Newton supondría que en la antigüedad los pitagóricos debían tener
un amplio conocimiento sobre la armonía de todo el universo y que leyes como la de la
gravitación ya eran conocidas por ellos.
1. Principalmente, el autor resalta
A) el término “Cuadrivium” en los curriculares universitarios.
B) la música en la formación científica de Newton.
C) la armonía como base en los trabajos de Newton.
D) el conocimiento de los pitagóricos sobre la armonía del cosmos.
E) el vínculo entre armonía y ciencia matemática experimental.
Solución C: Para Newton, la ley de la gravitación universal es el descubrimiento de
la armonía del cosmos que era el descubrimiento de una teología verdadera, la cual
había sido revelada a los antiguos y había sido deformada por la tradición
escolástica.
2. En el texto, el término DEFORMADA puede ser reemplazado por
A) alterada.* B) desfigurada. C) perturbada.
D) revuelta. E) trastocada.
Solución A: La ley de la gravitación universal es el descubrimiento de la armonía del
cosmos que era el descubrimiento de una teología verdadera, la cual había sido
deformada por la tradición escolástica, es decir, alterada.

3. Resulta incompatible con el texto aseverar que
A) la escolástica minimizó la importancia de la ley de gravitación universal.
B) Newton halló la teología verdadera en la tradición escolástica.
C) la música sería parte sustancial de la educación de Newton.
D) Newton relacionó los colores del prisma y las siete notas musicales.
E) los pitagóricos habrían conocido sobre la armonía de todo el universo.
Solución B: Para Newton, la ley de la gravitación universal es el descubrimiento de la
armonía del cosmos que era el descubrimiento de una teología verdadera, la cual
había sido revelada a los antiguos.
4. En el texto, armonía es a _________como naturaleza es a___________.
A) paradigma, número. B) música, universo. C) matemáticas, modelo.
D) sustancia, gravitación. E) ciencia, color.
Solución A: La idea de armonía se convierte en algo así como un paradigma de la
ciencia matemática experimental y conceptos como la correspondencia entre las
notas musicales, la armonía musical y las relaciones numéricas simples señalan una
evidente armonía matemática de la naturaleza.
5. Si Newton hubiera soslayado la idea de armonía, probablemente
A) el trabajo de un científico sería todavía más dificultoso.
B) predominaría el pensamiento escolástico.
C) la mecánica no tendría relevancia alguna.
D) Hooke no habría escrito sobre el equilibrio cósmico.
E) no habría descrito la naturaleza en términos matemáticos.
Solución E: La idea de armonía se convierte en algo así como un paradigma de la
ciencia matemática experimental y se cree puede ser aplicable a otros fenómenos
como la luz, la gravedad, entre otros.
TEXTO 2
El conocido diplomático y filósofo del Renacimiento Nicolás Maquiavelo distingue, en
su tratado de doctrina política El príncipe, tres modos principales según los cuales los
grandi (los hombres poderosos, aquellos que tienen ascendencia sobre el resto de la
comunidad por tradición familiar o riqueza) se conducen habitualmente para obtener
partidarios. Pueden procurar ser relectos para las funciones públicas por periodos
demasiado prolongados y convertirse así en fuentes de creciente patronazgo y, así
mismo, en fuente de creciente lealtad personal. Pueden también gastar su excepcional
riqueza para lograr el apoyo y el favor del popolo a expensas del interés público. O
pueden emplear su elevada posición social y su reputación para intimidar a sus
conciudadanos y persuadirlos de que adopten medidas que conducen a la promoción de
las ambiciones particulares más que a la del bien de la comunidad como un todo.
En todos los casos se produce la misma reacción en cadena, un mismo efecto de
nefastas consecuencias para la comunidad y su adecuado gobierno: "de los partidarios
surgen en las ciudades las facciones, y de las facciones su ruina". La lección que extrae
de esta de esta descripción del comportamiento de los grandi es que "a no ser que la
ciudad se esfuerce por idear distintos modos y medios para doblegar la ambizione de los

grandi, estos rápidamente la llevarán a la ruina" y "la reducirán a la servidumbre". De este
análisis y su conclusión puede deducirse que el gobierno de los pueblos implica, para el
propio Maquiavelo, un cierto ideal de comunidad que no puede basarse en el beneficio de
los poderosos.
Modificado de Quentin Skinner. La libertad negativa.
1. Fundamentalmente, el autor explica
A) la ambizione de los grandi como problema fundamental que las instituciones
deben controlar.
B) la reelección de los grandi en las funciones públicas por periodos demasiado
prolongados.
C) el gasto excepcional de riqueza para lograr el apoyo y el favor del popolo a
expensas del interés público.
D) las tres estrategias que, según Maquiavelo, utilizan los grandi para hacerse de
partidarios.
E) la situación en que los partidarios surgen en las facciones, y de las facciones la
ruina de las ciudades.
Respuesta: D) El autor enumera y explica cuáles son las tres estrategias.
2. El primer recurso de obtención de partidarios conlleva
A) el uso doloso de las riquezas públicas.
B) la intimidación y persuasión de los ciudadanos
C) una manipulación en un proceso electoral.
D) el respeto y acatamiento de los procesos electorales.
E) la proliferación de propaganda no reconocida.
Respuesta: C) Debido a que implica la tenencia del poder por periodos
excesivamente prolongados, es decir supone intervenir en los procesos electorales
en beneficio de la conservación del poder.
3. Según Maquiavelo, todos los modos de actuación de los grandi traen como
consecuencia
A) una reacción en cadena. B) la ruina de las facciones.
C) el triunfo de los grandi. D) la servidumbre de los funcionarios.
E) un proceso de involución.
Respuesta: A) Es en cadena debido a que articula partidarios como causa de las
facciones y estas como causa de la ruina.
4. Cabe inferir que el interés público
A) se incluye en el interés del pueblo.
B) es idéntico al interés de los poderosos.
C) tiene un carácter radicalmente excluyente.
D) no es idéntico al interés del popolo.
E) Ileva a la ruina a los ciudadanos.

Respuesta: D) Si se beneficia al “popolo” en contra del interés “público” esto quiere
decir que, en lo substancial, beneficiar al primero es un recurso para el beneficio del
poderoso.
5. En el primer párrafo, la palabra EXCEPCIONAL implica
A) singularidad. B) superioridad. C) distinción.
D) exageración. E) asombro.
Respuesta: B) es una riqueza superior, capaz de sobornar las consciencias de los
prosélitos.
6. Se infiere que los intereses de la ciudad
A) se contraponen con los de los grandi. B) corren siempre un gran peligro.
C) necesitan ser reconocidos claramente. D) la reducirán a la servidumbre.
E) son siempre problemas urgentes.
Respuesta: A) Si no se toman medidas en contra de los grandi, ellos llevarán a la
ciudad a la ruina.
TEXTO 3
Las leyes que gobiernan a los seres humanos, lo mismo que las que gobiernan a las
restantes especies naturales, deben aplicarse a todos los seres humanos en tanto son
humanos. En otros términos, dichas leyes tienen que conformarse con su naturaleza y no
transgredirla en lo fundamental: si las leyes obligan a los hombres a ceñir su constitución
a formas no humanas excesivamente rebajadas o por encima de sus posibilidades
connaturales no podrán gobernarlos universalmente.
Además, las leyes de los dos tipos —las de los humanos y las de las otras
especies—, deben ser las determinantes supremas de la conducta de los seres que ellas
gobiernan. Después de todo, los designios de Dios no pueden frustrarse. Pero, aparte de
ser universales y supremas, las leyes que gobiernan a los seres humanos deben tener un
rasgo que en las leyes que gobiernan a las criaturas no racionales no es necesario.
Deben ser tales que los seres humanos puedan llevar a cabo con conocimiento de
causa y de manera deliberada lo que la ley exige. Es decir, a diferencia de las leyes que
rigen a los animales, las de que gobiernan a los hombres deben ser conocidas por ellos y
comprendidas en sus aspectos fundamentales o cabalmente para que sus actos conforme
a ellas sean propiamente libres. Porque si los hombres no pueden actuar en conformidad
con las leyes morales, esas leyes no pueden estructurar en modo alguno la contribución
humana al bien cósmico; y si no pudiéramos actuar con plena consciencia de que
obramos tal como ellas lo ordenan, la diferencia entre las criaturas racionales y las no
racionales desaparecería.
1. La frase que resume mejor la idea principal es:
A) las leyes que rigen a los hombres son asumidas por ellos con plena consciencia.
B) las diferencias entre las leyes humanas y divinas pasan por el libre albedrío.
C) los hombres no pueden actuar en conformidad con las leyes morales.
D) los designios de Dios son universales y supremos y por eso se deben cumplir.
E) la diferencia entre las criaturas racionales y las no racionales desaparecer.

Respuesta: A) Lo específico de las leyes que rigen a los seres humanos es que
estas sean conocidas para que puedan ser cumplirlas conscientemente y con
libertad.
2. Las leyes que gobiernan a los humanos se asemejan a las de las restantes especies
en que
A) se realizan por la voluntad. B) tienen sendas excepciones.
C) tienen implicaciones morales. D) tienen aplicabilidad universal.
E) deberían cumplirse siempre.
Respuesta: D) El hecho de ser universales y supremas permite decir que rigen sin
excepción a todos los individuos por igual.
3. La diferencia entre las leyes tratadas en el texto radica en
A) la universalidad divina. B) su carácter de supremo.
C) la posible transgresión. D) la voluntad de cumplimiento.
E) su aplicación general y total.
Respuesta: Solo las leyes que rigen a los hombres pueden cumplirse
voluntariamente por el hecho de que las conoce o las debe conocer.
4. En el texto, la palabra TRASGREDIR significa
A) desobedecer. B) molestar. C) ceder.
D) aburrir. E) delinquir.
Respuesta: Significa incumplirse, es decir no llegar a realizarse.
5. Si las leyes divinas para los humanos no se aplican a un individuo es porque
A) este desconoce las leyes. B) carecen de potencia.
C) este no es humano. D) existen excepciones.
E) las leyes no son buenas.
Respuesta: E Si las leyes divinas no pueden frustrarse y son universalmente
aplicables, un individuo a quien no se le aplican esas leyes no será humano.
SERIES VERBALES
1. Enfurecer, embravecer, irritar,
A) orillar. B) encaramar. C) encrespar.*
D) musitar. E) enzarzar.
Campo del enfurecimiento, continúa encrespar.
2. Costoso, gravoso, oneroso,
A) solemne. B) importante. C) ostentoso.
D) sospechoso. E) caro.*

Campo de lo que es de precio elevado o costoso.
3. Ostentoso, llamativo, altisonante,
A) jactancioso. B) rimbombante.* C) escandaloso.
D) prodigo. E) meticuloso.
Rimbombante es ostentoso, llamativo.
4. Basto, vil, bajo,
A) despiadado. B) odioso. C) sedicioso.
D) cruento. E) grosero.*
Campo de lo grosero, bajo. Grosero es basto, ordinario y sin arte.
5. Incitar, inducir, sublevar,
A) soliviantar.* B) irritar. C) medrar.
D) recular. E) sobreseer.
Soliviantar es inducir a la rebeldía.
6. Dócil, sumiso, obediente,
A) renuente. B) estulto. C) licencioso.
D) obsecuente.* E) estólido.
Serie de sinónimos relacionados con la obediencia sigue obsecuente que es
obediente, rendido, sumiso.
7. Implícito, supuesto, sobrentendido,
A) patente. B) tácito.* C) radical.
D) seguro. E) paladino.
Serie de sinónimos continúa tácito.
8. Canijo, enclenque, lábil,
A) hético.* B) mezquino. C) taimado.
D) jovial. E) zafio.
Campo semántico de lo débil y enfermizo.
9. Infracción, multa; veneno, intoxicación; calor, evaporación;
A) atracción, repulsión. B) risa, hilaridad. C) infección, fiebre.*
D) facilidad, sencillez. E) inflación, deflación.
Serie de causa efecto, continúa infección causa de la fiebre.

Aritmética
EJERCICIOS DE CLASE N° 06
1. Halle el producto de las cifras del menor número entero positivo que tiene 12
divisores positivos.
A) 12 B) 14 C) 15 D) 0 E) 16
Solución:
Se tiene que: ND(M) = 12 = 3x4 = (2+1)x(3+1) o
ND(M) = 12 = 3x2x2 = (2+1)x(1+1)x(1+1)
Entonces 211
TQPM  donde P,Q y T son primos
Como M debe ser el menor número posible entonces los primos deben ser los
menores posibles: 60532M 2
 ..
Producto de cifras 0
Rpta: D)
2. Las cifras del numeral abcabc son todas diferentes de cero. Si el número es el
menor posible y tiene 16 divisores positivos, ¿cuál es la suma de cifras?
A) 20 B) 18 C) 14 D) 12 E) 10
Solución:
Descomponiendo por bloques se tiene:
abcabc = 1000x abc + abc = 1001xabc = 71
x111
x131
xabc
Como el número abcabc es el menor posible entonces abc debe ser el menor
posible. Además ND(abcabc) = 16 = 2x2x2x2 = (1+1)x(1+1)x(1+1)x(1+1).
Luego abc debe ser el menor número primo: abc = 113
Por lo tanto abcabc = 113113
Suma de cifras 10
Rpta: E)
3. Si 12n
tiene 28 divisores positivos más que 16n
, halle el valor de n.
A) 4 B) 2 C) 3 D) 1 E) 5
Solución:
Por descomposición en factores primos tenemos que:
12n
= 22n
.3n
 CD(12n
) = (2n+1) x (n+1)
16n
= 24n
 CD(16n
) = (4n+1)
entonces por la condición del problema se tiene:
CD (12n
) – CD (16n
) = 28

(2n + 1) (n + 1) – (4n + 1) = 28  2n2
+ 3n + 1 – 4 n – 1 = 28
 2n2
– n – 28 = 0
 (2n + 7) (n – 4) = 0
 n = – 7/2 o n = 4
Rpta: A)
4. Sabiendo que el número 1aa
1515N 
 tiene 12bdivisores positivos, halle
el valor de (a + b).
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
Solución:
N = 15a
+ 15a – 1
=15a
(1+15-1
) =
15
15a
(16) = 24
. 3a – 1
.5a – 1
entonces CD(N) =(4+1)x(a-1+1)x(a-1+1)= 5 . a2
= 12b, a  N entonces
a2
=
12b
5
 b = 5 y a = 5
Luego a + b = 10
Rpta: C)
5. Sea m  N. Si 330m – 2
, tiene xy1 divisores positivos compuestos, halle el
valor de x + y + m.
A) 6 B) 7 C) 8 D) 12 E) 9
Solución:
Sea N = 330m – 2
= 2 m – 2
. 3 m – 2
. 5 m – 2
. 11 m – 2
entonces CD(330m – 2
) = (m – 2+1)x(m – 2+1)x(m – 2+1)x(m – 2+1)= (m – 1)4
además se tiene que:
CD(N) = CDprimos(N) + CDcompuestos(N) + 1
 (m – 1)4
= 4 + xy1 + 1
 (m – 1)4
= xy6 de aquí m = 5 y xy6 = 256
Luego x + y + m = 2 + 5 + 5 = 12
Rpta: D)
6. Si la suma de la cantidad de divisores positivos de 27n
y 14n
es 68. ¿Cuántos
divisores cuadrados perfectos tiene 12n
?
A) 82 B) 28 C) 27 D) 72 E) 38

Solución:
Se tiene que:
27n
= 33n
 CD(27 n
) = 3n + 1
14n
= 2n
x 7n
 CD(14n
) = (n + 1)x(n + 1) = (n + 1)2
Por dato: (3n+ 1) + (n + 1 )2
= 68  n = 6
Luego 126
= (3 x 4)6
= (3 x 22
)6
= (32
)3
.(22
)6
Por lo tanto el numero de divisores cuadrados perfectos es: (3 + 1)(6 + 1) = 28
Rpta: B)
7. ¿Cuántos divisores de 1296000 tienen raíz cuadrada exacta y cuantos tienen
raíz cúbica exacta?. Dar como respuesta la suma de ambos.
A) 36 B) 24 C) 32 D) 26 E) 18
Solución:
Sea N = 1296000
Descomponiendo en factores primos
N= 1296 x 103
= 24
x34
x 23
x 53
= 27
x 34
x 53
Tomando N = 2.5[(22
)3
.(32
)2
.(52
)1
]
Luego el número de divisores de N que tienen raíz cuadrada exacta es:
(3+1)x(2+1)x(1+1) = 4 x 3 x 2 = 24
Tomando N = 2.3 [(23
)2
.(33
)1
.(53
)1
]
Luego el número de divisores de N que tienen raíz cúbica exacta es:
(2+1)x(1+1)x(1+1) = 3.2.2 = 12
Así la suma de ambos es 36.
Rpta: A)
8. Halle la suma de todos los números primos menores que 1000, tal que al
sumarles o restarles una unidad, resulten potencias de 4 ó de 6.
A) 334 B) 335 C) 328 D) 331 E) 314
Solución:
Se tiene que P<1000 , P primo
Ademas
P + 1 = 4n
 P = 4n
– 1
P – 1 = 4n
 P = 4n
+ 1
P + 1 = 6n
 P = 6n
– 1
P – 1 = 6n
 P = 6n
+ 1

Luego
4n
4n
+ 1 4n
– 1
1 2 primo 0
4 5 primo 3 primo
16 17 primo 15
64 65 63
256 257 primo 255
Suma : 2+5+17+257+3+7+37= 328
Rpta: C)
9. Si p.q es la descomposición canónica del menor número entero positivo N,
halle la suma de los divisores positivos de N2
.
A) 7 B) 12 C) 91 D) 108 E) 39
Solución:
Se tiene que N = p x q donde p y q son primos
Como N es el menor número positivo: N = 2x3  N2
= 22
x 32
Luego la suma de los divisores positivos es:
91=13×7=
1-3
1-3
×
1-2
1-2
=S
1+21+2
Rpta: C)
10. Si el producto de los 16 primeros múltiplos positivos de 23 tiene n divisores
positivos, halle la cantidad de divisores positivos del producto de los 17
primeros múltiplos positivos de 17.
A)
17
n19
B)
19
n17
C)
13
n17
D)
17
n23
E)
17
n16
Solución:
Se tiene que:
(23.1) (23.2) (23.3)…. (23.16) = 2316
.16!  CD(2316
.16!) = 17 x p = n
 p =
n
17
Luego
(17.1) (17.2) (17.3)…. (17.17) = 1717
.17! = 1718
.16!
Por lo tanto CD(1718
.16!) = 19 x p =
19n
17
Rpta: A)
6n
6n
+ 1 6n
– 1
1 2 primo 0
6 7 primo 5 primo
36 37 primo 35
216 217 215

11. Si el producto de los divisores positivos de un número es 2231
. 3385
, determinar
la cantidad de divisores cuadrados perfectos de dicho número.
A) 36 B) 12 C) 16 D) 24 E) 6
Solución:
Se tiene que:
2231
x 3385
= ( )77106
32 ×
Entonces N = 26
x 310
y CD(N) = 77
CDcuadrados perfectos(N) = CDcuadrados perfectos [ ]5232
)(3.)(2 = (3+1).(5+1) = 24.
Rpta: D)
12. Calcule la suma de todos los números primos comprendidos entre 100 y 300,
que son capicúas.
A) 755 B) 775 C) 865 D) 965 E) 995
Solución:
Como 100 < aba < 300 entonces a=1, pues debe ser primo impar.
Como 1;4;7≠; b31b1
o
≠
Como 6b71b1
o
≠;≠
Como 2b111b1
o
≠;≠ , luego b = 0;3;5;8 y 9.
Por lo tanto la suma de primos: 101 + 131 + 151 + 181 + 191 = 755
Rpta: A)
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN N° 6
1. Si ad0e tiene 8 divisores positivos entre los cuales están los números ab ; ba
y b, los cuales a su vez tienen 2 divisores positivos, calcule el valor de
a + e – b + d.
A) 4 B) 8 C) 10 D) 9 E) 5
Solución:
Si el número ad0e tiene 8 divisores positivos entonces 8 = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)
Luego admite tres divisores primos que son ab ; ba y b.

____
____
ab 13, 17, 37
ba 31, 71, 73


Posibles soluciones:
13x31x3 = 1209 (cumple)

17x71x7 = 8449 (no cumple)
37x73x3 = 8103 (no cumple)
37x73x7 = 18907 (no cumple)
Luego a = 1, b = 3, d = 2 y e = 9. Por lo tanto a + e – b + d = 9
Rpta: D)
2. Si un número entero positivo es divisible por 7 y 39, además se sabe que tiene
101 divisores positivos compuestos. ¿Cuántos divisores múltiplos de 21 como
mínimo tiene el mencionado número?
A) 48 B) 36 C) 56 D) 28 E) 72
Solución:
Sea N =
oo
397 ;  N = xk13x7x3273397MCM
0
o
==

),(
Además CD(L) = CDPRIMOS(L) + CDCOMPUESTOS(L) + 1
Si k es un primo diferente de 3;7;13, se tiene que: N =3ªx7b
x 13c
x kd
(a + 1)(b + 1)(c + 1)(d+1) = 4 + 101 + 1 = 106 = 3x53 (no cumple)
Si k es un primo igual a 3;7;13, se tiene que: N = 3ª x 7b
x13c
(a + 1)(b + 1)(c + 1) = 3 + 101 + 1 = 105 = 3.5.7
 N = 36
x 74
x 132
=3x7x(35
x 73
x 132
)  CDMULTIPLOS DE 21(N) =6x4x3=72
 N = 36
x 72
x 134
=3x7x(35
x 7 x 134
 N = 34
x 76
x 132
=3x7x(33
x 75
x 132
 N = 34
x 72
x 136
=3x7x(33
x 7x 136
 N = 32
x 74
x 136
=3x7x(3 x 73
x 136
 N = 32
x 76
x 134
=3x7x(3 x 75
x 134
Por lo tanto el mínimo número es 56
Rpta: C)

3. Si el número M = 212
.15n
.147
tiene 4320 divisores positivos que no son
múltiplos de 35, halle la suma de las cifras de n.
A) 7 B) 8 C) 6 D) 5 E) 9
Solución:
Se tiene M = 212
.15n
.147
= 27
.3n+2
.5n
.79
 CD(M) = 8x(n+3)x(n+1)x(10) = 80(n+1)(n+3)
Ademas si M = 5.7 (27
.3n+2
.5n-1
.78
)
 CDMÚLTIPLOS DE 35(M) = 8x(n+3)x(n)x(9) = 72n(n+3)
Luego:
CDNO MÚLTIPLOS DE 35 (M) = CD(M) - CDMÚLTIPLOS DE 35(M)
4320 = 80(n+1)(n+3) - 72n(n+3)
 540 = (n+10)(n+3)
 n = 17
Por lo tanto la suma de cifras es 8
Rpta: B)
4. Si el número 23nn
11.7.3N +
= tiene 120 divisores positivos, ¿cuántos divisores
positivos de N son cuadrados perfectos?
A) 25 B) 32 C) 28 D) 16 E) 24
Solución:
Como N = 3n
.7n + 3
.112
 CD (N) = (n + 1)x(n + 4)x3 = 120
 (n + 1)(n + 4) = 40
 (n + 1)(n + 4) = 5.8
 n = 4
Luego N = 34
.77
.112
 N = (32
)2
x(72
)3
x (112
)x 7
Por lo tanto, CDcuadrados perfectos(N) = (2+1)x(3+1)x(1+1) = 24
Rpta: E)
5. Si CD
+
(abcc) denota a la cantidad de divisores positivos de abcc y
CD
+
(abcc) = 24 ; CD
+






2
abcc
= 18 ; CD
+
(3 x abcc) = 28, determine el valor
de a + b + c.
A) 13 B) 7 C) 14 D) 12 E) 17

Solución:
Se tiene que abcc es par, luego
i)
O
abcc 3  n m
abcc 2 .p ; p primo
CD
+
(abcc) = 24  24 = (n + 1)x(m + 1) … I
CD
+






2
abcc
= 18  18 = nx(m + 1)
CD
+
(3 x abcc) = 28  28 = (n + 1)(2)(m + 1) 14= (n + 1)x(m + 1)… II
De I y II se tiene 24 = 14 (absurdo)
ii)
O
abcc 3  n m
abcc 2 .3 ; p primo
CD
+
(abcc) = 24  24 = (n + 1) x (m + 1)
CD
+






2
abcc
= 18  18 = n x (m + 1)
CD
+
(3 x abcc) = 28  28 = (n + 1) x (m + 2)
Entonces n = 3 y m = 5 , luego 19443x2abcc 53

Por lo tanto a + b + c = 14
Rpta: C)
6. El número 10a+1
tiene 78 divisores positivos compuestos. Si 30a
tiene b veces
la cantidad de divisores positivos de 2.(15)a
, determine el valor de a + b.
A) 4 B) 7 C) 9 D) 12 E) 11
Solución:
Se tiene que: M = 10ª + 1
= 2ª + 1
x 5ª + 1
Luego CD(M) = CDPRIMOS(M) + CDCOMPUESTOS(M) + 1
 (a + 2)2
= 2 + 78 + 1  (a + 2)2
= 81  a + 2 = 9  a = 7
30ª = 307
= 27
x 37
x 57
y 2x(15)a
=2x(15)7
= 2 x 37
x 57
Como 30a
tiene b veces la cantidad de divisores positivos de 2.(15)a
 (7 + 1)3
= b(1 + 1)(7 + 1)2
 b = 4
Por lo tanto a + b = 11
Rpta: E)
7. Si el número de divisores positivos de abab es 14, halle el producto de
divisores de a + b.
A) 100 B) 25 C) 60 D) 80 E) 50

Solución:
Se tiene que CD(abab) = 14 = 2x7=(1+1)x(6+1)
Ademas abab= 100 x ab + ab =101xab = 101x P6
donde P: # primo
entonces P = 2 y ab = 64,
luego a + b = 10 entonces 4
PD(a b) (10) 100  
Rpta: A)
8. Si (3a)(3b)ab tiene 8 divisores positivos, calcule el producto de divisores del
mayor valor de ab .
A) 20 B) 31 C) 24 D) 36 E) 18
Solución:
Se tiene CD((3a)(3b)ab) = 8 =(1+1) x (1+1) x (1+1)
Además  31231311ab3b03a0 ;;;
Luego
_______________ ___________ ____ ____ ____ ____
mayor(3a)(3b)ab 100 (3a)(3b) ab 301ab 7 43 ab ab 31        
El producto de divisores del mayor valor de
___
ab es 31.
Rpta: B)
9. Si N es la suma de los dos menores números primos de 3 cifras, calcule la
suma de los divisores positivos de N, impares y múltiplos de tres.
A) 63 B) 54 C) 36 D) 18 E) 27
Solución:
Se tiene que:
N = 101 + 103 = 204 = 22
x (3 x 17)
 SDIMPARES MÚLTIPLOS DE 3 (N) = 3 + 3 x 17 = 54
Rpta: B)
10. Si b2a
x113M  tiene 12 divisores positivos compuestos, calcule el producto de
divisores positivos del menor valor de ba
xa(2b)T  .
A) 8 B) 128 C) 16 D) 32 E) 64
Solución:
Se tiene que:
2a b
M 3 11 CD(M) (2a+1)(b+1)=15=3 5     
 2 2 6
a=b=2 T (2 2) 2 2    
  
4
3
8 21 4 3 6
a=1, b=4 T (2 4) 1 2 PD( ) 2 =64       
Rpta: E)

Álgebra
EJERCICIOS DE CLASE
1. Si      yxz12z3yxz3yx 22
 .
Simplifique  22
33
yxyx
z3
z2yxyx
M 

 .
A)
3
1
B) –
3
1
C) 3 D) – 3 E)
6
1
Solución:
   
 
 
 
3
1
z3
yxzyx
M
z3
yxyxz3z2z3yx
Men
yxz3a0z3a
0z9az6a
za12z18a2
za12z3az3a
yxaseadatoDel
3333
2233
2
22
22
22










Clave: A
2. Si ,0zyx  halle el valor de
     
xyz
y2zxx2zyz2yx
N
333

 .
A) 81 B) – 81 C) 49 D) – 49 E) 27
Solución:
Como
     
xyz
y3x3z3
Nen
yzx
xzy
zyx
0zyx
333











 
   81327N
xyz3zyx0zyxtambién
xyz
yxz27
N
333
333




Clave: B

3. Si 14MMy0M 1
 
, halle el valor de
33
MMT

 .
A) 56 B) 60 C) 64 D) 52 E) 48
Solución:
 
 
  521144T
M1M4T
M1MMMT
MMT
además
4MM
16MM
16M2M
14MMComo
1
2
121
313
1
2
1
1
1









































Clave: D
4. Si 32zyxy8zyx,4zyx 333222
 , calcular el valor de
  .zyxL 
A) 1 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
Solución:
   
 
4xzyzxy
xzyzxy2816
xzyzxy2zyxzyx
4zyxComo
2222




Por la identidad de Gauss
  
 
416xyz
48xyz3
484xyz332
xzyzxyzyxzyxxyz3zyx 222333




Clave: C
5. Si   
 Rc,b,a son diferentes entre si, tales que
        
calcular,b
caba
1
c
acbc
1
cbba
1
a 






.2
ba
c
ca
b
bc
a
L
222







A) – 1 B) 2 C) – 2 D) 1 E) 0

Solución:
Del dato
        
   
   
 
202L
cba22cbaL
2
c
c
b
b
a
a
Len
0bca
0
cbacba
baaccb
bca
accb
1
cbba
1
acba
1
bca
222


















Clave: B
6. Si 1ab  , halle el valor de  0a
1b
1a
b
1a
1b
aN
2
2
2
2







A) 2 B) 4 C) 1 D)
2
1
E)
4
1
Solución:
2ab2
b
a
b
a
b
aN
abb
aba
b
aba
abb
aN
22
2
2
2
2
2
2























Clave: A
7. Simplifique        3333
yxzzxyzyxzyxT  .
A) 6 xyz B) 12 xyz C) 18 xyz D) xyz E) 24 xyz
Solución:
   
           
      
       xyz24yz4x6zyzyx6T
zyx6x2zyx6x2T
zyxzyxzyxzyxTen
ab6a2babaqueSabemos
22
2323
3333
2333




Clave: E
8. Si  acbcab5cba 222
 , calcular el valor de
   
 cbaabc49
cba23cba49
M
4444


 .
A)
b
a
B)
a
b
C) 4 D)
4
1
E) 2

Solución:
     
   
       
           
            
        
       
   
 
4
cbaabc49
cbaabc449
Men
cbaabc449cba23cba49
cbaabc2235049cba23cba49
cbaabc5049cbaabc98cba23cba49de
cbaabc5049cacbba4923cba49.49
...cbaabc98cacbba49cba
acbcab7cbaComo
...cbaabc50cacbba23cba
ac5bc5ab5cbaComo
4444
4444
4444
222222444
2222224
2
222222444
222












Clave: C
EVALUACIÓN DE CLASE
1. Simplifique      333 6336633633
mnnmnm3nnmmnmN  .
A) 3
m B) 0 C) 1 D) 3
n E) m
Solución:
  0mnnmN
mnnm3nm3nmN
333 333
333 633699


Clave: B
2. Si     ;y,x,baxy,ba8yx
3 22223 
 R halle el valor de
2
1
4224
4224
yyxx
yyx2x
T










 .
A) 2 B) 6 C) 4 D) 8 E) 10
Solución:
De los datos:
 
 
2
x
x4
Ten
yx0yx
yxxy2
2
yx
8
yx
xy
4
4
2
3
3







Clave: A

3.
n5m
4
mn5
n5m
Si



, calcular el valor de
    222
22
n5nmnm
n5mn5m
U


 .
A) 3n B) 2m C) 4 D) 3 E) 1
Solución:
Del dato:   mn20n5m 2

 
3
n15
n45
n5n16n36
n5n25n25
Uen
n5m0n5m
2
2
222
222
2





Clave: D
4. Si
ba
1
b
1
a
1

 , simplifique
   
6
666
a
ba6ba
M

 .
A) – 12 B) – 10 C) – 9 D) – 15 E) – 11
Solución:
 
  
    
 
11
a
a12a
M
a
a12ba
M
a
a12ab
M
a
a26ba
Men
baba
0babababa
0babaabba
ba
1
b
1
a
1
Como
6
66
6
633
6
63
6
632
6633
2233
222














Clave: E
5. 2207
x
1
x,a
x
1
x,0xSi
16
16
 , halle el valor de
3 3
2a5L  .
A) – 3 B) – 2 C) – 3
2 D) – 3
4 E) – 1

Solución:
 
327L
255Len
5a
0xpues5
x
1
x
3
x
1
x7
x
1
x
así47
x
1
x
2209
x
1
x
2209
x
1
2x
2207
x
1
xComo
3
3 3
2
2
4
4
8
8
2
8
8
16
16
16
16















Clave: A
6. Si x > y tal que 322yx,
1n
1
y,
11n
11nn
x 44
22
22





 , hallar el
valor de x – y.
A) 6n B) 2n C) 1n2
 D) 3 E) 4
Solución:
1xy
1n
1
y,1nx
11n
11n1n
x
11n
1n1n
xComo
2
2
2
22
2
22









 




además yx,322yx 44

 
  4yx16yx
16yxy2x
18yx
324yx
324y2x
2
22
22
2
22
44





Clave: E

7. Si    c2bac4bam 
   
   cba2cba4p
cb2acb4an


tal que m + n + p = 0, calcular
 
acbcab
cba
T
2


 .
A) 3 B)
3
1
C)
2
1
D) 2 E) 1
Solución:
Como
  
  
  
 
   
   
    3Tacbcab3cba
acbcab2cbacba
:también
cba3cba
a9b9c9cba3
0pnm:además
a3cbaa3cbap
b3cbab3cban
c3cbac3cbam
2
2222
2222
2222








Clave: A
8. Si a + b = c, simplifique
   
abc3
cbacba4
U
3222666

 .
A) abc B) 2 abc C) 4 abc C) 8 abc E) 12 abc
Solución:
Sabemos que   0cba 
   
  
   
 
 
        
         
   
   
abc3
cba12
abc3
cbacba4
Uluego
cba12abc24cba36cbacba4
bcaacbbac24cba36cbacba4
abac2abbc2bcac23ba8cb8ca8cba
ab2bc2ac2cba
:además
ca8cb8ba8cba36cba4
cba9ca2cb2ba2cba
cba9ca2cb2ba2cba
cba9cba
cab3cba
2223222666
2222222223222666
2223222666
3333333222
222
333333222666
222333333666
222333333666
222
2
333
333












Clave: C

Geometría
EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 6
1. En la figura, P, Q y R son puntos de tangencia. Si AB = 10 cm y el perímetro del
triángulo es 46 cm, halle RC.
A) 12 cm
B) 13 cm
C) 14 cm
D) 10 cm
E) 11 cm
Solución:
1) 2a + 2b + 2x = 46
a + b + x = 23
10 + x = 23
x = 13
Clave: B
2. En la figura, A es punto de tangencia, O es centro de la circunferencia, BC = 14 cm
y BP = 5 cm. Halle la longitud del diámetro de la circunferencia.
A) 22 cm
B) 28 cm
C) 24 cm
D) 26 cm
E) 30 cm
Solución:
1) Trazamos OM  AB
 CN = NB = 7 (propiedad)
2) NPAO es un rectángulo
 r = 12 cm
 Diámetro = 24 cm
Clave: C

3. Un trapecio ABCD está inscrito en una circunferencia. Si AD es diámetro, AB = BC y
AD = 20 cm, halle el perímetro del trapecio.
A) 56 cm B) 48 cm C) 52 cm D) 50 cm E) 46 cm
Solución:
1) Como BC // AD  AB  CD
 AB = CD
2) mAB = mBC = mCD = 60°
 ABO, OBC y OCD
son equiláteros
 P ABCD = 50 cm
Clave: D
4. En la figura, ABCD es un cuadrado, AD diámetro y M punto de tangencia. Halle
mMD.
A)
2
53
B) 60°
C) 53° D) 45°
E) 37°
Solución:
1) mABM = 53°
 mAM = 127° (propiedad)
 x = 53°
Clave: C
5. En la figura, POQ es un cuadrante y
4
1
ON
NQ
 . Halle x.
A) 45° B) 37°
C) 53° D)
2
37
E)
2
53

Solución:
1) El ONB  PMO
  = 37° y  = 53°
 mPB = 53° ( ) central)
 x =
2
53
( ) inscrito)
Clave: E
6. En la figura, D, E y P son puntos de tangencia y PB = 3CP. Halle .
A) 10°
B) 8°
C) 12°
D) 16°
E)
2
37
Solución:
1) mQDA = mDAB = 
 EB = BA = PB
2) mACB = 37° y  = 45°
 x = 45° – 37°
x = 8
Clave: B
7. En la figura, O es centro de las circunferencias. Si mAB + mRS = (k + 12°) y
mPQ + mCD = (40 – k)°, halle k.
A) 22
B) 15
C) 18
D) 16
E) 14

Solución:
1) Por ) exterior:
mAB – mCD = 2
mPQ – mRS = 2
 mAB + mRS = mPQ + mCD
 k + 12 = 40 – k
k = 14
Clave: E
8. En la figura, P, Q, R, S y T son puntos de tangencia. Halle x.
A) 32°
B) 36°
C) 42°
D) 40°
E) 38°
Solución:
1) Trazamos la recta L tangente
a las circunferencias por R
2) En el cuadrilátero PBTR:
10x = 360°
x = 36°
Clave: B
9. En la figura, P, Q, R, S, T, U, V y W son puntos de tangencia, AB = 4 m,
BC = 6 m y AC = 8 m. Halle BD.
A) 1 m
B) 1,5 m
C) 1,2 m
D) 2 m
E) 1,8 m

Solución:
1) De la figura:








eda2b8
bax4
edax6
Sumando:   
8
edba2x2 
 x = 1
Clave: A
10. En la figura, O es centro de la circunferencia menor. Si A y B son puntos de
tangencia, AB = 2 3 m y mADC = 120°, halle la longitud del radio de la
circunferencia menor.
A) 1 m B) 2 m
C) 3 m D)
2
3
m
E) 3 m
Solución:
1) Trazamos L tangente en A
y sea mDAC = 
2) mEBC =
2
mEC2 
( ) interior)
 +  =
2
mEC2 
 mEC = 2
3) 2 + 2 = 240°
  +  = 120° = mDBC
 mABD = 60°
 x = 2 m
Clave: B

11. En la figura, EOD es un cuadrante y B punto de tangencia. Halle x.
A) 80°
B) 60°
C) 55°
D) 70°
E) 65°
Solución:
1) Trazamos OB  AC
2) El EOB es isósceles
 x = 70°
Clave: D
12. En la figura, O es centro y A es punto de tangencia. Halle x.
A) 53°
B) 45°
C) 60°
D) 37°
E) 50°
Solución:
1) Trazamos OA y OC
2) 2x +  +  = 180°
3) x + 2 + 2 = 180°
 x =  + 
x = 60°
Clave: C

13. En la figura, A y B son puntos de tangencia. Si mBAC = 72°, halle mDE.
A) 66°
B) 69°
C) 68°
D) 70°
E) 72°
Solución:
1) Trazamos L tangente común
Por ) exterior en BAE:  +  = 72°
2) 

72
2
x
72

= 180°
 x = 72°
Clave: E
14. En la figura, B es punto de tangencia, AD = DC, mADC = 166°, mEH = 36° y
mFG = 108°. Halle x.
A) 15°
B) 16°
C) 16°30'
D) 17°30'
E) 18°
Solución:

1) Por ángulo exterior: mFBG =
2
36108
= 36°
x = mBGD =
2
122155 
=
2
33
= 16°30'
Clave: C
EVALUACIÓN Nº 6
1. La mediana de un trapecio circunscrito a una circunferencia mide 18 m. Halle el
perímetro del trapecio.
A) 60 m B) 72 m C) 84 m D) 76 m E) 78 m
Solución:
1) Sea MN la mediana
 MN = 18

2
)dc()ba( 
= 18
 a + b + c + d = 36
 P = 2(36)
= 72 m
Clave: B
2. En la figura, O1 y O2 son centro de las circunferencias. Si CD = 6 cm, halle AB.
A) 12 cm
B) 10 cm
C) 8 cm
D) 9 cm
E) 11 cm
Solución:
1) BD = DE = 6 + a
2) CA = CE
 x + a = 12 + a
 x = 12
Clave: A

3. En la figura, O es centro de la circunferencia cuyo radio mide 5 m y mCD = 16°.
Halle BC.
A) 4 m
B) 6 m
C) 3 m
D) 5 m
E) 7 m
Solución:
1) mAEO =
2
1690 
= 53°
 ACB: notable
 x = 6
Clave: B
4. En la figura, O es centro de la circunferencia, mDCB = 115° y mBE = 120°. Halle x.
A) 84°
B) 87°
C) 75°
D) 80°
E) 85°
Solución:
1) Por ángulo interior:
x =
2
50120 
= 85°
Clave: E

5. En la figura, halle x.
A) 37°
B) 60°
C) 53°
D) 45°
E) 50°
Solución:
1) mBCF = mECD = x ( ) exinscrito)
 3x = 180°
 x = 60°
Clave: B
6. En la figura, O es centro de la circunferencia, mAM = mMC, AB = 10 cm y
BC = 8 cm. Halle BH.
A) 6 cm
B) 7 cm
C) 8 cm
D) 9 cm
E) 10 cm
Solución:
1) Prop. de la bisectriz:
BP = BH = x
 PC = x – 8
2) AHM  CPM (H - A)
 AH = x – 8
 x – 8 + x = 10
x = 9 cm
Clave: D

Trigonometría
EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 6
1. Con los datos de la figura, hallar tg(– ) – tg.
A)
2
1
B)
2
5
C) –
2
5
D)
2
3
E) –
2
1
Solución:
tg(– ) = –
2
1
–  +  = 270°
 = 270° + 
tg = tg(270° + )
tg = – ctg
tg = ctg(– ) = – 2
tg(– ) – tg = –
2
1
– (– 2) = –
2
1
+ 2 =
2
3
Clave: D
2. Si x – y = 1980°, calcular el valor de la expresión
)by(sen
)bx(sen
)ay(tg
)ax(tg





.
A) 0 B) 1 C) 2 D) – 1 E)
2
1
Solución:
x – y = 1980°
x + a – (y + a) = 1980°
i) tg(x + a) = tg((y + a) + 1980°)
tg(x + a) = tg((y + a) + 180°)
tg(x + a) = tg(y + a)

ii) sen(x + b) = sen((y + b) + 1980°)
sen(x + b) = sen((y + b) + 180°)
sen(x + b) = – sen(y + b)
 E =
)by(sen
)bx(sen
)ay(tg
)ax(tg





= 1 – (– 1) = 2
Clave: C
3. Evaluar la expresión trigonométrica 2 










 





 
4
211
cos
6
259
sen .
A) – (1 + 2 ) B) 1 + 2 C) 2 – 1
D) 1 – 2 E) – (1 + 3 )
Solución:
Sea E el valor buscado
E = 2 










 





 

4
3
52cos
6
43sen
E = 2 










 



4
cos
6
sen
E = 2 




 



4
cos
6
sen
E = 2









2
2
2
1
= – (1 + 2 )
Clave: A
4. Si sec(– ) + cos(– ) = 2 2 , hallar sen 







2
45
.
A)
4
1
B)
2
1
C)
4
3
D) 2 – 1 E) 3 – 1
Solución:
sec + cos = 2 2
1 + cos2
 = 2 2 cos
cos2
 = 2 2 cos + 1 = 0
cos =
12
114822


=
2
222 
= 2  1

 cos = 2 – 1
sen 







2
45
= sen 








2
22
= sen 







2
= cos = 2 – 1
Clave: D
5. Con los datos de la figura, hallar el valor de
















2
1001
ctg
tg
2
81
sen34
.
A)
3
22
B) –
22
3
C) –
3
22
D)
22
3
E) 0
Solución:
Sea M =
















2
ctg
5
3
2
sen34
 M =
5
3
5
3
34
5
34




 M =
5
3
5
22


=
3
22
Clave: A
6. Reducir la expresión
)x5(ctg)x270(tg
x
2
7
tg)x3(ctg










, sabiendo que x  

,
2
.
A) 0 B) – 2 C) 2 D) – 3 E) – 1
Solución:
 ctg(3 – x) = ctg[2 + ( – x)] = ctg( – x) = – ctgx
 tg 







x
2
7
= tg 







 x
2
4 = tg 




 

2
x = – ctgx
 tg(270° + x) = – ctgx  = )x270(tg  = ctgx = – ctgx
 ctg(5 + x) = ctg[4 + ( + x)] = ctg( + x) = ctgx

Sea E el valor de la expresión, entonces
E =
ctgx)ctgx(
ctgxctgx


= – 1
Clave: E
7. Si  cos1sen = –
4
7
, calcular el valor de
4 7 csc(270° – ) + 3ctg – 16sen2
(180° + ).
A) –
4
27
B) 9 C)
4
27
D) 7 E) – 9
Solución:
 cos1sen = –
4
7
– sen – 1  0  sen  – 1  sen = – 1
 cos = –
4
7
 4 7 csc(270° – ) + ctg – 16sen2
(180° + )
= 4 7 (– sec) + 3ctg – 16(– sen)2
= 4 7 





7
4
+ 3(0) – 16 





16
9
= 16 – 9 = 7
Clave: D
8. En la figura, si AB = AO; hallar el valor de 5 sen + tg.
A) 1
B) 0
C) – 1
D) – 3
E) 2
Solución:
 Como : –  = – 90° +   sen = cos =
5
1

 Como :  = – 180° +   tg = tg = – 2
E = 5 sen + tg
E = 







5
1
5 + (– 2)
E = – 1
Clave: C
9. En la figura, P y Q son puntos de tangencia, siendo (– 2,4) el centro de la
circunferencia. Calcular tg + ctg.
A)
12
25
B)
12
7
C)
12
9
D) –
12
7
E) –
12
25
Solución:
 = 90° + 2
tg = tg(90° + 2) = – ctg2
tg =
2
1
 tg2 =
3
4
 tg + ctg = –
4
3
–
3
4
= –
12
25
Clave: E
10. Con los datos de la figura, calcular 9 












cossen
cossen
tgctg
ctgtg
.
A) 2
B) 4
C) – 2
D) – 4
E) 0

Solución:
De la figura:
  –  = 270°   = 270° + 
 tg = – ctg
 ctg = – tg
 sen = – cos
 cos = sen
 E = 9 












cossen
cossen
tgctg
ctgtg
= 0
Clave: E
EVALUACIÓN Nº 6
1. Con los datos de la figura, calcular


sectg
sencos
.
A) –
9
5
B)
5
9
C)
5
4
D)
5
6
E) –
5
9
Solución:
 = 180° – , x = – 3, y = – 1, r = 10
cos = cos(180° – ) = – cos
10
3
= – cos  cos =
10
3
tg = tg(180° – ) = – tg
3
1
= tg  tg = –
3
1
10
3
= sen(– ) = – sen  sen =
10
3
10 = sec(– ) = – sec
Luego :


sectg
sencos
=
10
3
1
10
3
10
3








=
3
10
10
6

= –
10
18
= –
5
9
Clave: E

2. Calcular el valor de la expresión











 






 

475sen
745cos3
)40sec(
)1130(csc2
2
7
ctg)5(sen
2
3
cos)(tg
.
A) – 3 B) 5 C) 4 D) – 5 E) 6
Solución:
Obtenemos
=








65sen
25cos3
)40sec(
)50csc(2
)tg)(sen(
)sen)(tg(
= 1 +





25cos
25cos3
)50csc(
)50csc(2
= 1 + 2 + 3 = 6
Clave: E
3. Si 12x –  = 0, hallar el valor de 















 x3
2
27
cosx2
2
9
sen62)x45(tg3 .
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Solución:
















 x3
2
3
cosx2
2
sen62)x4(tg3
= 3 tg4x + 2 6 cos2xsen3x
= 3 tg60° + 2 6 cos30°sen45°
= 3 3 + 2 6 
2
3

2
2
= 3 + 3 = 6
Clave: E
4. Si el punto P(cos180° – sec300°, ctg(– 300)g
+ tg450g
) pertenece al lado terminal del
ángulo  en posición normal, calcular 10 (sen + cos).
A) – 2 B) – 1,5 C) – 1,8 D) – 3 E) – 2,5
Solución:
P(– 1 – 2, ctg(– 270)° + tg405°)
P(– 3, 0 + 1)
P(– 3, 1)
  : P(– 3, 1) d = 10
Si E es el número buscado, entonces
E = 














10
3
10
1
10
E = 1 – 3
E = – 2
Clave: A

5. Si tg =
7
3
y  pertenece al tercer cuadrante, hallar 15sen(5 + ) – 14cos 







2
19
.
A) 583 B) 58
2
3
C) 584 D) 58
3
2
E) 58
Solución:
15sen( + ) + – 14cos 







2
3
= – 15sen – 14sen
= – 29sen
Como tg =
7
3
 sen = –
58
3
, entonces
– 29sen = – 29  –
58
3
= + 58
2
3
Clave: B
Lenguaje
EVALUACIÓN DE CLASE Nº 6
1. Marque la verdad o falsedad de los enunciados respecto del acento.
I. Es un fonema suprasegmental. ( )
II. Algunos polisílabos carecen de él. ( )
III. Según él, se puede clasificar las palabras. ( )
IV. Se puede usar para clasificar lenguas. ( )
V. Tiene posición fija en el castellano. ( )
A) VFVFV B) VFVVV C) VFVVF D) VVVVF E) VFFVF
Clave: C. Es la secuencia correcta.
2. Marque la afirmación correcta respecto de la sílaba fónica.
A) Si se escribe, toda sílaba tónica se tilda.
B) Típicamente los polisílabos presentan una tónica.
C) Típicamente los polisílabos presentan una átona.
D) La tónica es la que carece de intensidad.
E) Los adverbios en –mente presentan una tónica.
Clave: B. Los polisílabos solo presentan una sílaba acentuada.

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