Este documento presenta una introducción a las funciones, incluyendo definiciones de dominio, rango y diferentes tipos de funciones como la función identidad, constante, escalón unitario, signo, valor absoluto, máximo entero, raíz cuadrada, lineal, cuadrática, racional y a trozos. También explica cómo graficar funciones y los pasos para hacerlo.

1. Introducción al Calculo Diferencial
Andrés Jimenez
Universidad Nacional Mayor de San Marcos1
Funciones I: Funciones Especiales
Noviembre, 2022
Andrés Jimenez (UNMSM) UNMSM Funciones I, 2022 1 / 31

2. Tabla de Contenidos
1 Función: Dominio y Rango
Definición
Dominio
Rango
Función de Variable Real
2 Gráfica de Funciones
Pasos para graficar funciones
3 Funciones Especiales
Función Identidad
Función Constante
Función Escalon Uniin tario
Función Signo
Función Valor Absoluto
Función Máximo Entero
Función Raiz Cuadrada
Función Lineal
Función Cuadratica
Función Racional
Función a Trozos
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3. Función: Dominio y Rango
Función: Dominio y Rango
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4. Función: Dominio y Rango
Definición de Función
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera a la relación binaria “f” de A en B.
Llamaremos función de A en B si verifica:
1 f ⊂ A × B
2 Si (a, b) ∈ f ∧ (a, c) ∈ f ⇒ b = c
Esta segunda condición nos dice dos elementos de una función “f” no puede
tener la misma primera componente.
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5. Función: Dominio y Rango Definición
Definición de Función
Observaciones I:
1 Una función “f” de A en B se denotará por f : A ⇒ B y se lee “f” es una
función de A en B”
2 Si (x, y) ∈ f, escribimos y = f(x) y decimos que “y” es la imagen de “x”
por f
Figure: Función en un Diagrama de Venn
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6. Función: Dominio y Rango Definición
Definición de Función
Ejemplo 1: Tomemos los conjuntos A y B: A = {x|x ∈ N, 1 ≤ x ≤ 10} y B =
{“y” es una de las primeras diez letras del abecedario}. Consideremos que estos
conjuntos están relacionados por la regla R(x,y) = {“x” es la posición en el
abecedario de “y”}. La aplicación A = {(x, y)|x ∈ A, y ∈ B, R(x,y)} la podemos
representar de cuatro formas equivalentes:
Por comprensión:
A = {(x, y)|x ∈ A, y ∈ B ∧ “x′′
es la posición en el abecedario de “y′′
}
Por extensión:
A = (1, A); (2, B); (3, C); (4, D); (5, E); (6, F); (7, G); (8, H); (9, I); (10, J)
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7. Función: Dominio y Rango Definición
Definición de Función
Por diagramas de Venn:
Figure: Función f : A ⇒ B
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8. Función: Dominio y Rango Definición
Definición de Función
Por Gráfica:
Figure: Función f : A ⇒ B
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9. Función: Dominio y Rango Definición
Ejercicio de Definición:
En las siguientes gráficas, determina si las relaciones entre variables podrı́an
corresponder a lo que se conoce matemáticamente como función:
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10. Función: Dominio y Rango Dominio
Dominio de una función
Sea f : A → B una función de A en B
Dominio: Llamaremos dominio de la función f, al conjunto de todas las primeras
componentes el cual denominaremos por Df es decir:
Df = {x ∈ A|∃y ∈ B, (x, y) ∈ f} ⊆ A
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11. Función: Dominio y Rango Rango
Rango de una función
Sea f : A → B una función de A en B
Rango: Llamaremos rango de la función f al conjunto de las imágenes de todos
los elementos mediante f el cual denominaremos por Rf decir:
Rf = {y ∈ B|∃x ∈ A, (x, y) ∈ f} ⊆ B
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12. Función: Dominio y Rango Función de Variable Real
Función de Varaible Real
Cuando los conjuntos de partida y de llegada A y B de una función f son
conjuntos de números reales R, ésta función es llamada una función (de valor)
Real de una variable real.
f : R → R
Definición: El dominio de f es el conjunto de todos los números reales x tales
que f(x) es un número real. Simbólicamente.
Dom(f) = {x ∈ R|∃y ∈ R ∧ (x, y) ∈ f}
Definición: El rango de f es el conjunto de resultados x tales que f(x) es un
número real. Simbólicamente.
Rang(f) = {y ∈ R|∃x ∈ R ∧ (x, y) ∈ f}
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13. Gráfica de Funciones
Gráfica de Funciones
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14. Gráfica de Funciones
Gráfica de Funciones
La gráfica de una función f está descrita por el conjunto de puntos (x; f(x)) en
un sistema de coordenadas rectangulares, para todos los valores de x en el
dominio de la función.
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15. Gráfica de Funciones
Gráficas de Funciones
Observación II:
1 A la función f : R → R se denomina función real de variable real ası́
(x, y) ∈ f ⇔ y = f(x).
2 La función f : R → R se puede escribir en la forma:
f = {(x, y) ∈ R2
|y = f(x)}
3 f es una función si solo si cualquier recta perpendicular al eje “x” corta a la
gráfica de f en un solo punto
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16. Gráfica de Funciones
Gráfica de Funciones
Graficar, en el mismo plano cartesiano, las funciones f(x) = x2
y g(x) = −x2
,
compare sus rangos.
x f(x) = x2
g(x) = −x2
- 2 4 -4
- 1 1 -1
0 0 0
+ 1 1 -1
+ 2 4 -4
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17. Gráfica de Funciones
Gráfica de Funciones
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18. Gráfica de Funciones Pasos para graficar funciones
Pasos para graficar funciones
Para gráficar funciones se recomienda seguir la siguiente serie de pasos:
1 Determinar las instersecciones. Para hallar la interseccion en el eje x se
igualara la función a 0, en el eje y se igualara x a 0.
2 Determinar la extensión de la función. Para hallar el dominio despejamos y.
Para hallar el rango despejamos x
3 Tabular valores estrategicos en la función.
4 Trazar la gráfica.
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19. Funciones Especiales
Funciones Especiales
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20. Funciones Especiales Función Identidad
Función identidad
Su regla de Correspondencia f(x) = x. Su dominio son todos los reales y su
grafica es una recta cuyo pendiente m=1, que pasa por el origen.
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21. Funciones Especiales Función Constante
Función Constante
Su regla de Correspondencia f(x) = C su dominio son todos los reales (R) y su
rango es un solo elemento “(C)”en R.
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22. Funciones Especiales Función Escalon Uniin tario
Función Escalon unitario
Para cada “a′′
∈ R fijo se define la función Escalón Unitario por:
f(x) =
(
1, x ≥ a
0, x < a
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23. Funciones Especiales Función Signo
Función Signo
Es una función cuya regla de correspondencia es:
f(x) =





1, x > 0
0, x = 0
−1, x < 0
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24. Funciones Especiales Función Valor Absoluto
Función Valor Absoluto
Es una función que se define de la siguiente forma:
f(x) = |x| ⇒ f(x) = |x| =
(
x, x ≥ 0
−x, x < 0
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25. Funciones Especiales Función Máximo Entero
Función Máximo Entero
Es aquella función definida por la regla de correspondencia:
f(x) = [x] = n ⇒ n ≤ x < n + 1; n ∈ Z
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26. Funciones Especiales Función Raiz Cuadrada
Función Raı́z Cuadrada
Tiene por regla de correspondencia:
f(x) =
√
x
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27. Funciones Especiales Función Lineal
Función Lineal
Tiene la forma general:
f(x) = mx + b; {m, b} ∈ R; m ̸= 0
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28. Funciones Especiales Función Cuadratica
Función Cuadratica
Se expresa de la siguiente forma:
f(x) = ax2
+ bx + c; {a, b, c} ∈ R; a ̸= 0
.
El vertice de la parabola es:
h = −
b
2a
; k = f(h)
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29. Funciones Especiales Función Racional
Función Racional
Función con regla de correspondencia una fracción.
f(x) =
anxn
+ an−1xn−1
+ · · · + a2x2
+ a1x + a0
bmxm + bm−1xm−1 + · · · + b2x2 + b1x + b0
Donde:
a0; a1; · · · an; b0; b2; · · · bm son constantes con an ∧ bm ̸= 0
Tiene por dominio:
Dom(f) : R − {x|bmxm
+ bm−1xm−1
+ · · · + b2x2
+ b1x + b0 = 0}
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30. Funciones Especiales Función a Trozos
Función a Trozos
Estas funciones están definidas con dos o mas reglas de correspondencia.
Suponiendo que la función f está definida por:
f(x) =
(
f1; x ∈ Domf1
f2; x ∈ Domf2
; dondeDomf1
∩ Domf2
= ∅
Dominio y Rango:
Dom(f) = Domf1
∪ Domf2
Rang(f) = Rangf1 ∪ Rangf2
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31. Acknowledgement
Muchas gracias!
E-mail: andresjp.mrk@gmail.com
Whatsapp: 922744586
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