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hen ylt) =Xlat) LT ys)= x()
Pvof
wkT T
Yo)=
Y) e dt
x (at) e dt
Let imd
m a tE mao)
m aCo)
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yls)= x (m)
S a )
Replace m = t (tla) d
Ys)= t) eB
-stt/a) de
y)= rt) e
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Hence ProVe
Time Reveysal
hatermot Lyu)
XLS)
d y C t
honyt)= I-t)
T yS)= X-S)

poo WET .T
st dt
YS)=f ye)e
x - t ) e
t
M- t t=-m imid
M-(-)
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dm
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-S(-M) dm
- xm) e
A(m) S-m)
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Replace M t
Y)= xt) e
yo)=X(-s)
Hence PotVed
Conjucation T
xCs)
SHatemant
T x t)
x Cs)
and yt) y
LT
han 9tt)= xLt) Ty) = X-s)
WkT LT c
ys)
PoTot.
f ytt) et

st dt
ys)= t ) t dt
dt
Ys)=
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= 1)
y c s ) = X " ( - s ) ,
TP xtt) X)
ytt) yts)
ConvolHion
and YL)= XICS).Xal)
than y(t) =
han y(t)= X,tt)¥
X2lt-3 YU) = X1CS). X2()
,tt)* I3(t) = x m )
Xat-m) dm
M
oheY,
pvO wkT
yls) =
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t )
*
* 2 l t ) / E
t
-St
m)X2lt-m) dm e H
(m) dm
2 . t - m ) e dt
m
TmeShihag
P0Pert4y
m) dm X2s) E

Ys)= X(S) X(m) eSdm
X(s) X,(s)
Ycr XCO). Xal»)
ifexent1aion in timo
TA xt) Xte)
and ytt) yo)
LT,
SYO-SXS) Ito)
A a t e m e H
Fhenyty:-
Prvof
wT L T one Side
Yts)= 9t) e d t
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-st
2
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dt
dt
st
e +Sxe) aats
CC +SX©)|
S)()
V SxcS)-xto
Henco pyD Ved

Tnita Value hedyem
Qim t ) = to) =i)SXs)
t o
WT
diferen+hatHon in 1m2 prvPeHRg
dxt)
dt
Po PetiR
LT
S XU) -X o)
dxl) SXs)- (o)
dt
Lim
S
above e
take on bothsilo
im QimSxu)-a)
dt
dlt.dt im Rim S xU)- Xim x)
dt
S S o
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dt
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O Rim
S
S XS) t o )
im s XS)
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ValohooYemg
inHmne
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im
S0
bothSide
a bove e2uaton
ake iMoo bothsiole
kn dx
le) edt
su)-xo
So L
S0
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Sso
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Xim Sxts)
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im x ) - o )
C ) - KO) =
S0
Rim xts)
Rim t ) =
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Pare ValS
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f IxCo)/ds
- o
HS=
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27
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L
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XU)
x
C )
dr
X)
I x ds
2
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Dtermine initia) and Final alue heorem
Lollcuing e2uatHOn
OXS)= +
46+S
initial Valus
i xS)
t = to)= S
s
i m s
im
t 0
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I 4 )
C14)
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Co)= o)=
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S+S
x ) =
S+9)
Vall
initg
im t ) = Xto) = im XO)
t0
im
C+
d C1+5)
s1+)
im
im
S
Y(1+51)
+
Final g|uN
i Xts)
im E) = Iloa)=
in sFCS+9)
S+S
im
S0 sS+9)
U) SL-1)
intia valu
im t) =
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Co
0

So CS-1)
S s1- )
im
S - s
lo) = o)
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im S)
Rim I t ) = A C o ) =
Cs-1)
-
X) = S+6
SC3s+6)
initigl lue
i +) = I(o) =
Rim
S
Sx)
7S+6
S
2 4 G )
Rim (7+6/c)
( 3
C3+6/s)
7+ %
3+

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t ) = Co)
)=im c. xu)
=Rim S+6
So
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7o)+6
3(o)+5
C(oo)

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X)R TC)+
x)=RS+|TO)-
e +ake LT on bothsid
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(RS+Tc)
CS
(Rcs+) TE
ReCS+ YRc
RC
S+YRc
T r a n s e Y
HCO)
AncHon HO)
TO fnd 1mpaLe Responm
a t a k e
inVerse L T
on bothsld-e
hlt) e
on botside
f m u l s e
K g p o n s e .

Tond cotfot Regpon
G ven
E)=u (
S
22 Onfen
YRc
HCS)=
XS) S+ Yec Ja ke LT 0n both
YS)= S+Vec X)
S+Vee
Yo)
sCS+ Yec) S+YRC
/ec
Sis+Yee
A CS+ ec) +BS
VRC=ACS+kc) +BS O
e a sub in sE - ke
Re A Co+Yec)+Bl
B
R
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AtB Valas SUb in 22
)= S
S+YRc
Ta k inVeYse1-T on bothsidR
yt= ute)-eRCuA)
9 (1e utt)

Find ha diplevenHia) guation given Tangley
Punotion S+S
Ss+3
HG)=
HCS)= X 7sa4S+3
) Ycs) = (S+ XO)
yo)+SyU)
+2Yt9)=
SXU) + 5X)
Ta ko inVexsR
LT on
bothrid
d9 u dyeyt)=da 5 t)
dt
dt
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diferentg) egugtion 1f 9ien FYaguany
J+2
Fr2gcanCy
Ponse, HO)=
and glsd alculat mpule Rasponse, TPAO
(J-2+1)Cj2+2)
mPye R29PoNSA a Sable (or) ot.
J242
HO)=
J2+2
J+Ixjn42) jen42jnn+2
Y j a ( j l + a j n
+a)=
(J+2)
xjn)
j N y j ) + 3jyjL)+ 2Yj)=
J2xy-2) +
2x
Take
inyeyse FT on bothside
dytt)
+ 3 2 y t 4 ) =
drtt2xt)
d t
To And m pulso R2 pon9R
HJ)=
J F
J2+)
+ )Cj+
F a k R o v e R
Fouier
TYenfom on bothsd.e

ht)=etult) et/ t2o
FbY abili+y ondtion htt). to
hltldb2
e dt o
every Bounded input eVery Bourdad
Hable yHem
eVe
OUt POt BT80).
using LaplaceR
transform
Hha SyHem
Hho SyHern
dRsenbed by d HPeventia 2quation
5ytt)
dt
dytt
dttz
d t *
yo)=1, = -2
DeteYmin2 no-HAYa R29PoNse.
To find nakral (eY) Fve @) 2en iopotR8Poe
49)+6dy)
dt
Sytt)= x + 4 )
dt
dt

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E)=o
EuwHen ag
d29zi4) dilt 5tt) =D>
Replac Yt)= S2i D
t
t
nn zeD intHa) Condithom
T a k e T jth
n 2 e ninHa)
Conditims
syzilg)-syo)-y"')/+6 Szio)-y)+5Yzl)=o
CCiVRO
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-2
to) oltt
usehis oltha) Comlidions e w #) ay
S )-Sy-(-2)-+ 6/8yzis)-1+5i()ao
S 2 t 469Vziu)+5yzi
(e)-S+2-6
= 0
S+
S+) C+
S+
S+f
e(S+5)+ B(+)
CHS+5
S+ AC45)+B(+)
e2 sub to S=-
on bothsidR On bothside
-S+e A-S +8(-S+)
3 9
3/
4 B

A, B Valuas SUb 0 ea9
3/4 4
+
St
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Yzi(t) = 44tt) +e
usnng Lapce Tangfovm dermined afbrceo
KspongR Rs SyHemdescnbad byMa eguation
5 dytt)
S9 +/oyt) = 2xtt) Ar ippt a tt)= 2utt)
dt
ToAod FOYCRdCo) zem auif
RRSPonge
o y t ) 2 2 t - s O
CanolHien
ze inPUt
CEJ¥0
Reflace IE)= S2o(t)
Cond
iHiens
u m a i n t i o to n d i o n
Assumaigtial yo), y'co)=o
29zolt 102ott) =
2x
RAD TG ke T o0
bo-thsidR
SY)-yiS+1oy) = 2M)
Given
Xt)=2 (t)
T r e t T o n boths'dA
5SY9) to y0)=2XU)
Zo
x ->
(5+Ho 7zo() =2X CS)
Yzot) 2X) S+HO
Yzos)-1 SS+
sCS+2
-

yzoS) S¢S+) + >
S2
ACS+2) + BCS)
CO+2
AC+2)+ B O )
aSub
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Ao +2)+ B()
2aSUb S=-2
= AC+)+B(-2)
2 B-2/s
A,B VG) ub jo ea(
2
S
2/s
Yzots)= S 2
TakR nVRYSe AT onbothoidR
zott)=Z uct)- e"ult)
ot) ( 1 - 2 ) ult

Unit-
Analysis of DT Sigals
DTFT DisCrete time FounRY TransfoYm) o)
foY wayd DTFT
xte= c (o) eJo0
InvRYe DTFT Y) BaCkuayd DTAT
TT
O)= xeJa) ed
uhgY
OCtO) =
DT i9a)
x(a
FouneY TYonsfoym cy (o)
A Hernat method or
OVerseBTET-
WET DTET
XCoJu) =
OC tn) u n
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+X-2)R +I(-1) e+Tto)e
J
+ ( ) e x e 2
x(oJ)=
j20
b20 +bre aoe+
j2u0
OMPaYR eg and e2
TU) = b2, br, aD, a,,a2 3

Geomg+nc sen2s
Foymulq
1 T0Aoit duYation
a l <
q
- a
a
a o<lal<)
)-
2 Fiote duyothon N
a
a (oY)
N-
When
a
S a a-
N
aNL
S a
a-
N
cuhen N-
a N CoY) a N
n=0
Prpblomn
Determine fhs Discyefefimg Founer Tansfovm
foY ths followio9 eQuotOnS
CCo) = Scn) rCO) =a
I0)= Sn-)
xt)-L1,-1, 2,3
xo)=L2,-1, 3,-1
CO)= uco)
) = utn-k)
Co) = aun)
TCO) =SCo+2)-SC0-1)

x0)= Sco)= 0
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10=O
WKT DTFT
O
x()= tn) e O
0--o
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O--o0
w(o)
XCe)
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wT DTFT
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0-K
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Jwn
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Tn) = uco)= h o
oO40
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UWKT DTFT
23
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0=0
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>k
WKT DTET
XCoJ SXn) e un)
O - -
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n- O 2
jon
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0-k= 0
n= K uO-k)
XCeJ) ukjutk4)
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e
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e e e
jkj02
e
1 +e
jwk 2
Sa- J+a+04
juk
e )-a

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n)=al un) - a'n2o
o 0<0D
X0)= a nèo
040
WkT DTET
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O -
a j o n
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to) = SCo+2) -
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S O - 1 )
SO)
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O
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0 - - 2
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WkT DTFT
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e
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e
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a
WkT DTET
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jwn
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O-
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a n e J W n
a a i ) °
a e U
- a ejw - a
e

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Q 2
a a e
I-ae -a
- a (e a2
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- 2aCosw a
to) El1,2,3
o 2 3
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o)=1,
wkT DTET
XCeJ) S to) e
n=-o0
3
n ) eJ
-ju
Co)+2De+X (2) e
2u0
+ )ee
-j20
J
- e +2e
202e
-jw3

n) 2,-3, 1, -11
- 2 - o 2
X-2)=2, A-) E -), XCO) =3, (1)= I, xo)--|
X-2)=2,
WKT DTET
X(e O) juN
0-O0
0=-2
1 ) (-1)
X2) J(a)
-jw(-2)
= X-2) e
juolo)
C) e
j20
-2) e
) e +
+ 2 D E
+ XDe
+X2)e20
J
e +3+e J2uw
XCQJ)
J 2 w
24
j2
3 e
= 2 6
X(QJ 2 e
2u0 J2
+ 3 - e
2j Sio

Detey mine iOveY.S DTET
X(oJa) = 1+ Cosui)
xe)= C1-a"
x(e=
1us2e
Ofheyuoise
xC)
T/4 w<3T
O Otheyuoise
X(Ju e 1+ Coso)
2
+
2 2
l e J u
2
e 2
WKT DTFT
X(
X C O ) J u n
j
-1) e + (o)
0 = - 0
+ X ) e
x(2)
xG)
L

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xlo)= X(2)=
)- ,
X(o) - (1- ae
Xe aju
WkT FOYmula
a l - O+ a a
Com PaYe eg O and e
X(e= ( a j u
O-0
a J n
nso
WKT DTET
XCoJu) =
t o ) c o n
n-o0
Compaye egond
a 20
Xto) a un)

x(e) =. Other o ise
- w < c
O-fher w ise
- CWc
Otherw1SR
- W C We
Othruwir
XCeda)
WkT inveYse DTFT
TT
CO)= x Ceae J dw
2TT
T
dc J00
1e dd
21 c
jwn
jo
Lwc
Juc0
e
-JWcn
e
2TT
jn jn
jwcn
e e n
TL
Sin n Wc
OTT
K-H-S e mali PIy an divide Wc

X0)= Sin oWe
CWc Sin 0Wc
TT O We
CCO) c Ssioc nWe
TT
ax(u) =
Ofheycoise
WKT ToVeYse DT FT
TT
2T X Ju) e dw
TT
21T T
3T
eJwn S /
JnTe
e
2TT
jo
xle)

ProPey-fhes Op Discrete ima Fourmey TYan9fArm-
oem+Y
StotemeH
DTE x, coJu)
and 2(0)DTE X2(oJu)
then yto) = ar,(O)-- b Lco)
ycoj)= aX(ou) +bXa(3)
WKT DTET
YCo=E
ax(n) + brol)E
D--O
sim) b )e
n = -
a X(0)
+b at0)e
0 - o 0
YceJ)
aXICeJu) + b X (e
Hence PrDVed
periodicity
Stotefme[H
DTET
X ( e J u )
TP IO)
han x
e+21m))
ye

PDof W k T D T E T
X(oJa)
S XO) e
XCe
JC+ 2Tm)
o )
(0+27m)n
- - o
S X o ) 2Tmo
e
m and n sub Qny ValuoS
cointegey
XO) e
n - - 0
x(od+2tTm X ( e J )
Hence Prove
Time hifi09 )
Feune Transfoym Delay
Siga
J F a f e m e n t
DTFT
TP ( n ) -
XCoJu)
DTF
hen
yto)=
(n-0o) c j u = X(oJu)
(oY)
DTET
Juno
fhen yo)
=An+Do) ye= e x(e

pDal'
WKT DTET
Y(ou)=So)e
o e J w
0--o0
YceJ)
xCo -no) e
=
ef Limits
m = E o ) - 0 o
m 00
m 0-Op n =-
n= m +no
yle
Cm)Ju(m+ n)
m -
( m ) w m
e
Replac m 0n
Yco) = CCO)
-jwNo Xtn) e
jwno
YcoJ)
X e J )
FYequs0cy shifHO9
SiatemeH
DTFT x (eJu
y c o ) = e o t o ) DTET
yeJu)-
xfO-
TA TCn)
then
(O
han go) = e
-jwn to)
yea-xf
jCw+wo)

PDof wkT DTET
Yceu=
o ) u n
O = - o
judo jon
O) e
D = - o
t o ) J
(W-
wo)
o
j (w-two))
Ycedo) x (e
Hence PoVed
Tma ReveYSal
SHtemant
DTFT
Tf x0) X(oJ
hsn 0) =0-n) you)-
XCe
Prmof
WET
DTET
YteJu) =
S C o )J w n
ne-oA
-jwn
-n) e
o
het
P=-n
Limit P=-C-o)
0=-P
P=
P=-C)
P=-o
yco)= P) ju(-P)
P= o

p) (op)
=-o
YceJa)=
Replaca P= 0
YceJa t o ) j a n
XCeJu
Y(eJu) xce)
Hence PnVeo
ConjucaHon
SHoHeMAN
DTFX(eJ
hen yt)=
=CO) ME yreJw)=X (e)
TP
Xx
WKT DTFT
YCeJ= n--o
jon
xCn)
S n) e
O -
jun
Xo) (

(aja)
ycesa)
Hence PrDVeo
ConvoluHon
DTF
SHatememTf Cn) X,Cea)
X2CJ
and 2 (0)
han yco) = *,t)> DyFT YtoJu) =Xe)x,(
wheye
.co)* 2Cn) =
Cm) 2C0-m)
m=-o
OonVoluti dn
m- dummy Van ablo
WKT DTET
proof
y (Qj)=
9Co) J
Lm) 220-m) e
S Cm)
2 Cn-m)
D - o
m - C
TimefhifH9 PovferHy
-J m
S m)e XCe
M - o

Keplaco m=
YC)=
Xa(eJa)
n = - o
,Ce Xa(eJu)
HencepoVed
Produet fudo Signa:
S H a H e m a N H
TP xto) X,(QJu)
) X2(ej)
then co) - X,Cn). X2n) Y)= x,()
2T
PrDo WkT DTET
o ) J n
0 - -
0) a n
0 = - o
WkT nVeYfQ DIFT
T T
Xito) =
L x ( e J u ) e dw
xt0)=
-T
RRPlgeQ =
21
T
eg Sub 0 O T
Y(e=
0 ) n
2TT
0-- T

y) x(0)e. ( ) d
0--O -T
2t0) ( - TT d
e
,(ea- ( ) 4x
T
yt x(e) ( (o- d
YCeJw)
T
Hence ProVed
Diffeyeniotion inime
SHatem2H
TP co) x(e)
tian o) = Oxn) DTET
y = j
d x )
Proof WKT DTFT
yto= Syto) e
O--o0
-jwn
S ctn) e
Jon
S o )
Jxj n e
juon
0 ) J 0 e
=J 0--O0

TT
HS= x (e) do
TT
T
Ce du o)e
n=-
2TT
TT
X ( d o XCeJu)
21
HS Ix(e dw R.Hg
T
2T
T
Co) Hence PrDved
x(ea) x ) go
-1T T
WkT
Co) e
O - - o
2 Sub in e9
T
-HS= xteju)S Co) e do
2
T
n E - o
Jun
2 XCeJ a ) a d w
2T
0--
Co)tn)
O=-
&-HS H
HRO CR PmVRo

S'4Q-l.C'1.0.o--l
Ci't'vl{
1.p X(O) -Z.-:; ~( 2)
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l'/(z) =- zMx(z.))
h..enc..cL p~ v~I . ~
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