Ejercicios sobre la Ley de Gauss

1. 1
HOJA DE PROBLEMAS Nº- 4
LEY DE GAUSS
1) Calcula el flujo del campo eléctrico E:
a) que atraviesa la caja triangular cerrada. b) que atraviesa la superficie parabólica.
c) que atraviesa una esfera de radio R situada a una distancia
d de una línea infinita con una densidad de carga lineal λ.
Considera los casos en que R ≤ d y R > d.
d) que atraviesa una caja de lado L, y es debido al campo
creado por una carga puntual Q colocada en su centro más
seis cargas puntuales q, idénticas entre sí, colocadas de
forma simétrica respecto a Q, y a una distancia de ésta menor
que L.
2) Encontrar el flujo neto de campo E que atraviesa el cubo de lado L =
1.4 m, que se muestra en la figura, cuando el campo E viene dado
por:
a) 3.0y=E j
b) 4.0 (6.0 3.0 )y= − + +E i j .
c) ¿Qué carga encierra el cubo en cada uno de los casos
anteriores?
Nota: las unidades son[E]= N/m e [y]= m
z
x
y

2. 2
3) Obtener las expresiones del campo eléctrico E, en todas las regiones del espacio, con r >
0, debido a las siguientes distribuciones de carga. Hacer un gráfico de la dependencia de E
con la distancia y dibujar las líneas de campo eléctrico.
a) Una esfera aislante de radio r = a, que tiene una carga Q >0
distribuida uniformemente en su volumen. Escribir las
expresiones en función de la densidad de carga de volumen
ρ0.
b) Un cascarón esférico de radio r = a, con una carga Q > 0
distribuida uniformemente en su superficie. Escribir las
expresiones en función de la densidad de carga superficial σ0.
c) Una línea infinita cargada positivamente, con densidad de carga
lineal λ0.
d) Un plano aislante infinito cargado positivamente, con una densidad de carga superficial
σ > 0. Si colocásemos un segundo plano con una densidad de carga σ < 0 paralelo y a
una distancia d del primero, ¿cómo se modificarían los valores de E en el espacio
circundante a ambos planos y entre éstos?
Nota: Las densidades superficiales de carga en el caso de los dos planos son las mismas
pero de signo contrario, es decir, σσσ == −+
.
σ0
λ0

3. 3
4) El sistema mostrado en la figura está formado por: 1) una línea infinita con densidad lineal
de carga constante, λ0= - 1 nC/m, paralela al eje Z y que pasa por el punto (-2,0,0), y 2)
una esfera de radio a = 0.2 m, cuyo centro se encuentra en el punto (2,0,0), y que tiene una
densidad de carga de volumen constante ρ0 = 10 nC/m3
. En estas condiciones:
a) ¿cuánto vale el campo eléctrico en los
puntos del eje Z?
b) ¿qué densidad de carga debe tener la
esfera para que el campo eléctrico se
anule en el origen?
Nota: Las coordenadas están dadas en
metros.
5) El campo eléctrico justo encima de la superficie terrestre es constante en módulo, E= 150
N/C, y está dirigido hacia el centro de la Tierra en cada punto.
a) Determinar cuál es la carga de la Tierra.
b) Si la carga está uniformemente distribuida en la esfera terrestre y consideramos una
esfera concéntrica en su interior, con radio RT/2, ¿cuál será la carga encerrada por esta
esfera?
c) ¿Cuál es el valor del campo eléctrico en la superficie de la esfera de radio RT/2?
Dato: RT = 6370 km
6) Sobre una corteza cilíndrica de longitud infinita y radio R1
se deposita una densidad de carga superficial uniforme
σ1. Sobre una segunda corteza cilíndrica, concéntrica
con la anterior, y de radio R2 (R2 > R1) se deposita una
densidad de carga superficial uniforme σ2.
a) Calcular el campo eléctrico en cualquier punto del
espacio.
b) Calcular la relación entre las densidades de carga
para que el campo eléctrico en la región r > R2 sea
igual a cero.

4. 4
7) Dada una carga puntual q = - 1 nC, colocada en el centro de una esfera de radio 10 cm y
que posee una distribución superficial de carga de densidad σ= 1 nC/m2
,
a) calcular el campo eléctrico y el potencial en todos los puntos del espacio, con r > 0.
b) Si situamos un electrón a 50 cm de la carga puntual, ¿cuál será su velocidad cuando
se encuentre un punto muy alejado?
Nota: el cálculo del potencial y el solución del apartado b) se realizarán después de
estudiar el tema de potencial.
8) En un cilindro infinito de radio r = R como el que se
muestra en la figura tiene una densidad de carga de
volumen ρ0 Calcular el valor del campo eléctrico en
cualquier punto del espacio con r >0.
Soluciones
1)
a) ΦE= 0 b) ΦE= E0πr2
c) ΦE=0 si R ≤ d y ΦE=
0
22
2
ε
λ dR −
si R > d
d) ΦE=
06
6
ε
qQ −
2)
a) ΦE = 8.2 Nm2
/C b) ΦE = 8.2 Nm2
/C c) q =72.3 pC
3)
a) CN
arrr
a
Q
ar
r
a
r
Q
/
,ˆ
3
ˆ
4
,ˆ
1
3
ˆ
1
4
0
0
3
0
2
0
3
0
2
0
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<⇔
≥⇔
=
rr
rr
E
ε
ρ
πε
ε
ρ
πε
b) CN
ar
ar
r
a
r
Q
/
,ˆ0
,ˆ
1
ˆ
1
4 2
0
2
0
2
0
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
≥⇔
=
r
rr
E ε
σ
πε

5. 5
c) 0,/ˆ
2 0
0
>= rCN
r
rE
πε
λ
d) CN
z
z
/
0
2
0,
2
0
0
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>−
>
=
k
k
E
ε
σ
ε
σ
CN
z
dzd
z
/
00
22
,
0,0
0
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
−>>−
>
=
k
k
k
E
ε
σ
4)
a) CN
z
z
z
/
)4(
3
9
)4(
6
2/32
0
0
2/32
0
kiE
+
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
−
= ; b) ρ = - 120 nC/m3
5)
a) QT = -6.77×105
C b) Q = - 8.46×104
C c) E= 75 N/C
6)
a) CN
r
r
/
Rr,
RR
RrR,
R
Rr,0
E
2
0
2211
21
0
11
1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
>
+
≤<
<
=
ε
σσ
ε
σ
, b) ;
1
2
2
1
R
R
−=
σ
σ
7)
a) CN
r
r
/
Rr,
4
1074.8
Rr,
4
10
2
0
10
2
0
9
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
×−
<
−
= −
−
r
r
E
πε
πε
V
r
r
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
×−
<−
= −
−
Rr,
4
1074.8
Rr,
4
10
3.11
V
0
10
0
9
πε
πε
b) v=2.3×106
m/s
8)
CN
r
R
r
/
Rr,
2
Rr,
2
0
2
0
0
0
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
<
=
r
r
E
ε
ρ
ε
ρ