Descargado 21 veces
![Fís. Jorge Eduardo Aguilar Rosas ÁREA DE FÍSICA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA
ITESO
potencial en el punto x = 3.00 m, y = 0.01 m y
comparar el resultado con el potencial sobre el eje X
en x = 3.00 m. Discutir el significado de este resultado.
Resp. (a) V (x = 3.00 m) = 9.00 × 103
V, V (x = 3.01 m) =
8.97 × 103
V, (b) El potencial disminuye cuando x
aumenta, –∆V/∆x = 3.00 × 103
V/m, (c) E = 3.00 × 103
V/m, (d) V (x = 3.00 m, y = 0.01 m) = 9.00 × 103
V, V
tiene prácticamente el mismo valor en los dos puntos
porque se encuentran aproximadamente sobre una
superficie equipotencial.
58. Una carga de –1/9 × 10-8
C está en el origen.
Considerando que el potencial es cero en el infinito,
situar las superficies equipotenciales a intervalos de
20.0 V desde 20.0 hasta 100.0 V y hacer un esquema
a escala. ¿Están igualmente separadas estas
superficies?
59. Si una esfera conductora ha de cargarse hasta un
potencial de 10.0 kV, ¿cuál es el radio más pequeño
posible de la esfera, tal que el campo eléctrico no
exceda la resistencia dieléctrica del aire?
60. Tres cargas iguales se encuentran en el plano XY. Dos
de ellas están sobre el eje Y en y = -a e y = +a, y la
tercera está sobre el eje X en x = +a. (a) ¿Cuál es
potencial debido a estas cargas en un punto sobre el
eje X? (b) Determinar Ex a lo largo del eje X a partir de
la función del potencial eléctrico. Comprobar las
respuestas de (a) y (b) en el origen y en el infinito para
ver si se obtienen los resultados esperados.
61. Un potencial viene dado por
( )
( )[ ]
.
zyax4
Q
z,y,xV 2/1
222
0 ++−πε
=
(a) Determinar los componentes cartesianos del
campo eléctrico por la derivación de la función del
potencial eléctrico. (b) ¿Qué simple distribución de
carga puede ser responsable de este potencial?
62. Una esfera no conductora de radio R posee una
densidad de carga ρ = ρ0r/R, en donde ρ0 es una
constante. (a) Demostrar que la carga total es Q =
πρ0R3
. (b) Demostrar que la carga total en el interior de
una esfera de radio r < R es igual a q = Q r4
/R4
. (c)
Utilizar la Ley de Gauss para calcular el campo
eléctrico Er para cualquier punto. (d) Utilizar dV = -Erdr
para calcular el potencial en cualquier punto,
suponiendo que el potencial V = 0 en el infinito.
CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS
64. (a) Si un capacitor de placas planas paralelas tiene una
separación de 0.15 mm, ¿cuál deberá ser su área para
que tenga una capacitancia de 1.0 F? (b) Si las placas
son cuadradas, ¿cuál es la longitud de su lado?
Resp. (a) 1.69 × 107
m2
, (b) 4.12 × 103
m.
65. Un capacitor de placas planas paralelas tiene una
capacitancia de 2.0 µF y la separación entre sus
placas es de 1.6 mm. (a) ¿Qué diferencia de potencial
puede establecerse entre las placas antes de que se
produzca la ruptura dieléctrica del aire? (EMAX = 3.0
MV/m) (b) ¿Cuál es el valor de la carga máxima que
puede almacenar el capacitor antes de que se
produzca la ruptura dieléctrica?
66. Un tubo Geiger se compone de un alambre de 0.2 mm
de radio y una longitud de 12.0 cm con un conductor
cilíndrico coaxial de la misma longitud y 1.5 cm de
radio. (a) Hallar su capacitancia suponiendo que el gas
en el interior del tubo tiene una constante dieléctrica
de 1.0. (b) Hallar la carga por unidad de longitud sobre
el alambre en el caso de que el capacitor se cargue a
1.2 kV.
67. La membrana del axón de una célula nerviosa es una
delgada capa cilíndrica de radio R = 10-5
m, longitud L
=0.1 m, y espesor d = 10-8
m. La membrana tiene una
carga positiva sobre uno de sus lados y una carga
negativa sobre el otro y actúa como un capacitor de
placas paralelas de área A = 2πRL y separación d. Su
constante dieléctrica es aproximadamente κ = 3.0. (a)
Determinar la capacitancia de la membrana. Si la
diferencia de potencial a través de la membrana es
70.0 mV, determinar (b) la carga sobre cada lado de la
membrana y (c) el campo eléctrico a través de la
membrana.
Resp. (a) 1.67 × 10-8
F, (b) 1.17 × 10-9
C, (c) 7.00 × 106
V/m.
68. Un capacitor posee placas rectangulares de longitud a
y anchura b. La placa superior está inclinada un
pequeño ángulo. La separación de las placas varía de
d0 hasta 2 d0, siendo d0 menor que a o b. Calcular la
capacitancia utilizando bandas de anchura dx y de
longitud b que actúan como capacitores diferenciales
aproximados de área b dx y separación d = d0 + (d0/a)
x conectados en paralelo.
DIELÉCTRICOS
69. Dos placas paralelas poseen cargas +Q y –Q. Si el
espacio entre las placas está desprovisto de materia,
el campo eléctrico es de 2.5 × 105
V/m. Cuando el
espacio se llena con un dieléctrico determinado, el
campo se reduce a 1.2 × 105
V/m. (a) ¿Cuál es la
constante dieléctrica del dieléctrico? (b) Si Q = 10.0
nC, ¿cuál es el área de las placas? (c) ¿Cuál es la
carga total inducida en cada una de las caras del
dieléctrico?
Resp. (a) 2.08, (b) 45.2 cm2
, (c) 5.2 nC.
70. Cierto dieléctrico de constante κ = 24.0 puede resistir
un campo eléctrico de 4.0 × 107
V/m. Con este
dieléctrico se quiere construir un capacitor de 0.1 µF
que pueda resistir una diferencia de potencial de 2.0
kV. (a) ¿Cuál es la distancia de separación entre las
`placas?, (b) ¿Cuál debe ser el área de las placas?
Resp. (a) 5.0 × 10-5
m, (b) 235 cm2
.
6](https://image.slidesharecdn.com/ejecicios-electricidad-160603083224/85/Ejecicios-electricidad-6-320.jpg)
![Fís. Jorge Eduardo Aguilar Rosas ÁREA DE FÍSICA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA
ITESO
71. Un capacitor de placas planas paralelas rectangulares
de longitud a y anchura b posee un dieléctrico de igual
anchura insertado parcialmente una distancia x entre
las placas. (a) Determinar la capacitancia en función
de x. Despreciar los efectos de los bordes. (b)
Comprobar que la respuesta ofrece los resultados
esperados para x = 0, y x = a.
Resp. (a) Ce = ε0b[(κ - 1) x + a]/d, (b) Para x = 0, Ce = ε0ba/d;
para x = a, Ce = ε0baκ/d.
ENERGÍA ELÉCTRICA
72. Un capacitor de placas paralelas tiene las placas de 2.0
m2
de área y una separación de 1.0 mm. Se carga
hasta 100 V. (a) ¿Cuál es el campo eléctrico existente
entre las placas? (b) ¿Cuál es la energía por unidad de
volumen en el espacio situado entre las placas? (c)
Hallar la energía total multiplicando la respuesta dada
a la parte (b) por el volumen entre las placas. (d) Hallar
la capacitancia C. (e) Calcular la energía total a partir
de U = CV2
/2 comparando el resultado con el de la
parte (c).
Resp. (a) 105
V/m, (b) 0.0443 J/m3
, (c) 8.85 × 10-5
J, (d) 1.77
× 10-8
F, (e) 8.85 × 10-5
J.
73. Un capacitor de placas paralelas tiene unas placas de
600 cm2
de área y una separación de 4.0 mm. Se
carga hasta 100 V y luego se desconecta de la batería.
(a) Hallar el campo eléctrico E0, la densidad de carga σ
y la energía potencial electrostática U. Se inserta en su
interior un dieléctrico de constante κ = 4.0 que rellena
por completo el espacio situado entre las placas. (b)
Hallar el nuevo campo eléctrico E y (c) la diferencia de
potencial V. (d) Hallar la densidad de carga ligada.
74. Un capacitor de 20.0 pF se carga hasta 3.0 kV y luego
se conecta en paralelo a un capacitor descargado de
50.0 pF. (a) ¿Qué carga adquiere cada uno de los
capacitores? (b) Calcular la energía inicial almacenada
en el capacitor de 20.0 pF y la energía final
almacenada en los dos capacitores. ¿Se pierde o se
gana energía al conectar los dos capacitores?
Resp. (a) En el capacitor de 20.0 pF la carga es de 1.71 ×
10-8
C; en el capacitor de 50.0 pF es de 4.29 × 10-8
C,
(b) La energía inicial es de 9.00 × 10-5
J; la energía
final es de 2.57 × 10-5
J; se pierde energía al conectar
los capacitores.
75. Dos capacitores de capacitancias C1 = 4.0 µF y C2 =
12.0 µF se encuentran conectados en serie y
alimentados por una batería de 12.0 V. Se
desconectan cuidadosamente sin que se descarguen y
se conectan en paralelo uniendo sus lados positivos y
sus lados negativos. (a) Calcular la diferencia de
potencial a través de cada uno de los capacitores
después de ser conectados. (b) Hallar la energía inicial
y final almacenada en los capacitores.
76. A un capacitor de placas paralelas de área A y
separación x se le suministra una carga Q y luego se
separa de la fuente de carga. (a) Hallar la energía
electrostática almacenada en función de x. (b) Hallar el
aumento de energía dU debido al aumento de la
separación de las placas dx a partir de dU = (dU/dx)
dx. (c) Si F es la fuerza ejercida por una placa sobre la
otra, el trabajo realizado para mover una placa la
distancia dx es F dx = dU. Demostrar que F = Q2
/2ε0A.
(d) Demostrar que la fuerza hallada en la parte (c) es
igual a EQ/2, siendo E el campo eléctrico entre las
placas. Estudiar la razón que justifique la presencia del
factor ½ en este resultado.
CAPACITORES EN SERIE Y PARALELO
77. Tres capacitores tienen capacitancias 2.0, 4.0 y 8.0 µF.
Hallar la capacitancia equivalente (a) si los capacitores
están en paralelo y (b) si están en serie.
78. Un capacitor de 2.0 µF se carga a una diferencia de
potencial de 12.0 V y a continuación se desconecta de
la batería. (a) ¿Cuánta carga tienen sus placas? (b)
Cuando se conecta un segundo capacitor (inicialmente
sin cargar) en paralelo a este capacitor, la diferencia
de potencial disminuye hasta 4.0 V. ¿Cuál es la
capacitancia del segundo capacitor?
Resp. (a) 24.0 µC, (b) 4.0 µF.
79. Un capacitor de 1.0 µF se conecta en paralelo con un
capacitor de 2.0 µF y la combinación se conecta a la
vez en serie con otro capacitor de 6.0 µF. ¿Cuál es la
capacitancia equivalente de esta combinación?
Resp. 2.0 µF
80. Un capacitor de 0.30 µF se conecta en serie al paralelo
de los capacitores de 1.0 µF y 0.25 µF. La
combinación está conectada a una batería de 10.0 V.
Calcular (a) la capacitancia equivalente, (b) la carga en
cada uno de los capacitores, y (c) la energía total
almacenada.
81. Se conectan tres capacitores idénticos de modo que su
capacitancia máxima equivalente es de 15.0 µF. (a)
Describir esta combinación. (b) Hallar las otras tres
combinaciones posibles utilizando siempre los tres
capacitores y sus capacitancias equivalentes.
Resp. (a) En paralelo los capacitores de 5.0 µF, (b) 10/3 µF,
7.5 µF, y 5/3 µF.
82. Un capacitor de placas paralelas tiene una capacitancia
C0 y una separación entre las placas d. Se insertan
entre las placas dos láminas dieléctricas de constantes
κ1 y κ2 cada una de ellas de espesor d/2 y de la misma
área que las placas. Cuando la carga libre sobre las
placas es Q, hallar (a) el campo eléctrico en cada
dieléctrico y (b) la diferencia de potencial entre las
placas. (c) Demostrar que la nueva capacitancia viene
dada por
.C
2
C 0
21
21
κ+κ
κκ
=
7](https://image.slidesharecdn.com/ejecicios-electricidad-160603083224/85/Ejecicios-electricidad-7-320.jpg)
![Fís. Jorge Eduardo Aguilar Rosas ÁREA DE FÍSICA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA
ITESO
146. Dos bobinas de Helmholtz de radio R poseen sus ejes
a lo largo del eje X, como en el problema 22.
Demostrar que en punto medio de las bobinas las tres
primeras derivadas de Bx respecto a x son nulas.
Obtener una expresión aproximada para el campo
magnético en los puntos del eje entre las bobinas.
147. Una espira cuadrada de lado L yace en el plano YZ con
su centro en el origen. Transporta una corriente I.
Determinar el campo magnético en cualquier punto
sobre el eje X y demostrar que para x >> L,
.
x
2
4 3
0 m
B
π
µ
=
148. Un disco de radio R lleva una carga fija de densidad σ y
gira con gran rapidez angular ω. (a) Consideremos un
anillo circular de radio r y anchura dr con carga dq.
Demostrar que la corriente producida por este anillo es
dI = (ω/2π)dq = σωr dr. (b) Utilizar el resultado de la
parte (a) para demostrar que el campo magnético en el
centro del disco es B = µ0σωR/2. (c) Utilizar el
resultado de la parte (a) para hallar el campo
magnético en un punto situado sobre el eje del disco a
una distancia x del centro.
149. Un solenoide posee n vueltas por unidad de longitud,
un radio R y por él circula una corriente I. Su eje
coincide con el eje X y uno de sus extremos se
encuentra en x= -L/2 y el otro en x = L/2, siendo L la
longitud total del solenoide. Demostrar que el campo
magnético en cualquier punto del eje X viene dado por
( ),coscosnI
2
1
B 210 θ−θµ=
en donde
( )[ ]
( )[ ] 2/122
2
2/122
1
2/LxR
2/Lx
cos
,
2/LxR
2/Lx
cos
−+
−
=θ
++
+
=θ
150. En el problema 150, si x >> L, y L > R, demostrar que el
campo magnético en un punto alejado de los extremos
puede escribirse en la forma
,
r
q
r
q
4
B 2
2
m
2
1
m0
−
π
µ
=
en donde r1 = x – L/2 es la distancia del extremo
próximo del solenoide, r2 = x + L/2 es la distancia del
extremo alejado y qm = nIπR2
= m/L, siendo m = NIπR2
el momento magnético del solenoide.
FUERZA MAGNÉTICA.
151. Una carga q = -2.64 nC se mueve con una velocidad de
2.75 × 106
m/s i. Hallar la fuerza que actúa sobre la
carga si el campo magnético es (a) B = 0.48 T j, (b) B
= 0.65 T i + 0.65 T j, (c) B = 0.75 T i + 0.75 T j, (d) B =
0.75 T i, (e) B = 0.65 T i + 0.75 T k.
152. Un segmento conductor recto de 2.0 m de largo forma
un ángulo de 300
con un campo magnético uniforme
de 0.50 T. Hallar la fuerza que actúa sobre el
conductor si por él circula una corriente de 2.0 A.
Resp. 1.0 N
153. Un conductor recto, rígido y horizontal, de longitud 25.0
cm y masa 50.0 g está conectado a una fuente por
conductores flexibles. Un campo magnético de 1.33 T
está horizontal y perpendicular al conductor. Hallar la
corriente necesaria para hacer flotar el conductor, es
decir, de modo que la fuerza magnética equilibre al
peso del alambre.
154. Un alambre conductor, paralelo al eje Y, se mueve en
dirección X positiva con una rapidez de 20.0 m/s en un
campo magnético B = 0.50 T k. (a) Determinar la
magnitud y dirección de la fuerza magnética que actúa
sobre un electrón en el conductor. (b) Debido a esta
fuerza magnética, los electrones se mueven a un
extremo del conductor, dejando el otro extremo
positivamente cargado hasta que el campo eléctrico
debido a esta separación de carga ejerce una fuerza
sobre los electrones que equilibra la fuerza magnética.
Determinar la magnitud y dirección de este campo
eléctrico en estado estacionario. (c) Si el cable tiene
2.0 m de longitud, ¿cuál es la diferencia de potencial
entre sus dos extremos debido a este campo
eléctrico?
Resp. (a) 1.6 × 10-18
N j, (b) 10.0 V/m j, (c) 20.0 V
155. Una barra metálica de masa M está apoyada sobre un
par de varillas conductoras horizontales separadas
una distancia L y unidas a un dispositivo que
proporciona una corriente constante I al circuito. Se
establece un campo magnético uniforme perpendicular
al plano del circuito. (a) Si no existe rozamiento y la
barra parte del reposo en t = 0, demostrar que en el
instante de tiempo t la barra tiene una rapidez v =
BILt/M. (b) ¿En qué sentido se moverá la barra?. (c) Si
el coeficiente de fricción estático es µ0, hallar el valor
mínimo del campo magnético necesario para hacer
que se ponga la barra en movimiento.
156. Considerar que las varillas del problema 156 están
inclinadas hacia arriba de modo que hacen un ángulo
θ con la horizontal, y no hay rozamiento de la barra
con las varillas. (a) ¿Qué campo magnético vertical B
se necesita para que la barra no se deslice hacia abajo
por los conductores? (b) ¿Cuál es la aceleración de la
barra si B es el doble del valor hallado en (a)?
Resp. (a) B = (Mg/IL) tgθ, (b) a = g senθ, hacia arriba
157. Un cable rígido, recto y horizontal de longitud 25.0 cm y
masa 20.0 g, se soporta mediante contactos eléctricos
en sus extremos, pero es libre de moverse
verticalmente hacia arriba. El cable se encuentra en un
14](https://image.slidesharecdn.com/ejecicios-electricidad-160603083224/85/Ejecicios-electricidad-14-320.jpg)
Más contenido relacionado
Ejecicios electricidad
- 1. Fís. Jorge EduardoAguilar Rosas ÁREA DE FÍSICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA ITESO EJERCICIOS DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO ÁREA DE FÍSICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA Preparada por Fís. Jorge Eduardo Aguilar Rosas CARGA ELÉCTRICA 1. Al frotar una barra de plástico con un paño de lana, aquélla adquiere una carga de –0.8 µC. ¿cuántos electrones se transfieren del paño de lana a la barra de plástico? Resp. 5 × 1012 electrones. 2. ¿Cuántos coulombs de carga positiva existen en 1.0 kg de carbono? Doce gramos de carbono contienen el número de Avogadro de átomos y cada átomo posee seis protones y seis electrones. Resp. 4.82 × 107 C. LEY DE COULOMB 3. Tres cargas puntuales están sobre el eje X; q1 = -6.0 µC está en x = -3.0 m, q2 = 4.0 µC está en el origen y q3 = -6.0 µC está en x = 3.0 m. Hallar la fuerza sobre q1. Resp. (1.50 × 10−2 N)i. 4. Tres cargas, cada una de 3.0 nC están en los vértices de un cuadrado de lado 5.0 cm. Las dos cargas en los vértices opuestos son positivas y la otra es negativa. Determinar la fuerza ejercida por estas cargas sobre una cuarta carga de 3.0 nC situada en el vértice restante. Resp. 2.96 × 10−5 N, a lo largo de la diagonal, alejándose de la carga de –3.0 nC. 5. En el cobre existe aproximadamente un electrón libre pos cada átomo. Una moneda de cobre posee una masa de 3.0 g. (a) ¿Qué porcentaje de la carga libre debería extraerse de la moneda para que ésta adquiera una carga de 15.0 µC? (b) ¿Cuál sería la fuerza de repulsión entre dos monedas con esa carga, separadas una distancia de 25.0 cm? Suponer que las monedas son cargas puntuales. Resp. (a) 3.3 × 10−7 %, (b) 32.4 N. 6. Una carga puntual de 5.0 µC está localizada en x = 1.0 m, y = 3.0 m y otra de –4.0 µC está en x = 2.0 m, y = -2.0 m. Determinar la magnitud y dirección de la fuerza sobre un protón en x = -3.0 m, y = 1.0 m. Resp. 3.04 × 10−16 N, θ = 2350 . 7. Una carga puntual de -2.5 µC está localizada en el origen. Una segunda carga puntual de 6.0 µC se encuentra en x = 1.0 m, y = 0.5 m. Determinar la posición x, y, en la cual un electrón estaría en equilibrio. 8. Dos cargas q1 y q2 cuando se combinan dan una carga total de 6.0 µC. Cuando están separadas una distancia de 3.0 m la fuerza ejercida por una carga sobre la otra tiene un valor de 8.0 mN. Hallar q1 y q2 si (a) ambas son positivas de modo que se repeles entre sí y (b) una es positiva y la otra es negativa de modo que se atraen entre sí. Resp. (a) 4.0 µC y 2.0 µC, (b) 7.12 µC y –1.12 µC. 9. Dos pequeñas esferas de masa m están suspendidas de un punto común mediante cuerdas de longitud L. Cuando cada una de las esferas tiene una carga q, cada cuerda forma un ángulo θ con la vertical. Demostrar que la carga q es: .tgmg4senL2q 0 θπεθ= (b) Determinar q si m = 10.0 g, L = 50.0 cm y θ = 100 . Resp. (b) 0.241 µC. 10. Dos cargas positivas iguales q están en el eje Y; una está en y = a y la otra en y = -a. Una carga de prueba q0 situada en el origen estará en equilibrio. (a) Estudiar la estabilidad del equilibrio para una carga de prueba positiva considerando desplazamientos pequeños del equilibrio a lo largo del eje X y desplazamientos pequeños a lo largo del eje Y. (b) Repetir la parte (a) para una carga de prueba negativa. (c) Hallar el valor de la carga prueba que puede situarse en el origen de modo que la fuerza neta sobre cada una de las tres cargas sea cero. (d) Considerar qué ocurre se cualquiera de las tres cargas se desplaza ligeramente del equilibrio. Resp. (c) q0 = -q/4. 1
- 2. Fís. Jorge EduardoAguilar Rosas ÁREA DE FÍSICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA ITESO 11. Dos cargas positivas iguales q están en el eje Y; una está en y = a y la otra en y = -a. Una cuenta de collar de masa m con carga negativa –q se desliza a lo largo de una cuerda situada sobre el eje X. (a) Mostrar que para pequeños desplazamientos de x<<a, la cuenta experimenta una fuerza de restitución proporcional a x, y por lo tanto, experimenta un movimiento armónico simple. (b) Determinar el periodo del movimiento. CAMPO ELÉCTRICO (Parte I) 12. Dos cargas iguales positivas de 6.0 nC están en el eje Y en los puntos y1 = 3.0 cm e y2 = -3.0 cm. (a) ¿Cuál es la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el punto del eje X, x = 4.0 cm? (b) ¿Cuál es la fuerza ejercida sobre una carga de 2.0 nC situada en el punto x = 4.0 cm? Resp. (a) (3.45 × 104 N/C)i, (b) (6.90 × 10−5 N)i. 13. Una gota de aceite tiene una masa de 4.0 × 10−14 kg y una carga neta de 4.8 × 10−19 C. Una fuerza dirigida hacia arriba equilibra justamente la fuerza dirigida hacia debajo de la gravedad, de tal modo que la gota de aceite queda en reposo. ¿Cuál es la dirección y magnitud del campo eléctrico? Resp. 8.18 × 105 N/C, hacia arriba. 14. Cuatro cargas del mismo valor están dispuestas en los vértices de un cuadrado de lado L, dos de las cargas son positivas y están en vértices opuestos. (a) Hallar el valor y la dirección de la fuerza ejercida sobre una de las cargas positivas debido al resto de las cargas. (b) Demostrar que el campo eléctrico debido a las cuatro cargas en el punto medio de uno de los lados del cuadrado está dirigido a lo larga de dicho lado hacia la carga negativa y que su valor es . 25 5 1 L q2 E 2 0 − πε = 15. Dos cargas positivas iguales q están en el eje Y; una en y = a y la otra en y = -a. (a) Demostrar que el campo eléctrico en el eje X está dirigido a lo largo de dicho eje con Ex = 2qx(x2 +a2 )-3/2 /4πε0. (b) Demostrar que cercano al origen, cuando x<<a, Ex vale aproximadamente Ex = 2qxa-3 /4πε0. (c) Demostrar que para x>>a, Ex = 2qx-2 /4πε0. Explicar por qué deberá esperarse este resultado incluso antes de ser calculado. LÍNEAS DE CAMPO ELÉCTRICO. 16. Dos esferas conductoras, cada una con una carga neta positiva se mantienen próximas de modo que las líneas de campo eléctrico son las indicadas en la figura. ¿Cuál es la carga relativa de la esfera pequeña comparada con la grande? CAMPO ELÉCTRICO (Parte II) 17. Una carga lineal uniforme de densidad λ = 3.5 nC/m se distribuye desde x = 0.0 a x = 5.0 m. (a) ¿Cuál es la carga total? Determinar el campo eléctrico sobre el eje X en (b) x = 6.0 m, (c) x = 9.0 m, y (d) x = 250.0 m. (e) Determinar el campo eléctrico en x = 250.0 m usando la aproximación de que se trata una carga puntual en el origen y comparar con el resultado con el obtenido exactamente en (d). Resp.(a) 17.5 nC, (b) 26.2 N/C, (c) 4.37 N/C, (d) 2.57 N/C, (e) 2.52 N/C, aproximadamente 2% abajo del resultado de (d). 18. Un anillo de radio a con centro en el origen y su eje a lo largo del eje X posee una carga total Q. Determinar Ex en (a) x = 0.2 a, (b) x = 0.5 a, (c) x = 0.7 a, (d) x = a, y (e) x = 2.0 a. (f) Utilizar los resultados obtenidos para representar Ex en función de x para ambos valores positivo y negativo de x. 19. Repetir el problema 18 para un disco de densidad de carga superficial uniforme σ. Resp. (a) 0.804 σ/(2ε0), (b) 0.553 σ/(2ε0), (c) 0.427 σ/(2ε0), (d) 0.293 σ/(2ε0), (e) 0.106 σ/(2ε0). 20. (a) Una carga lineal finita de densidad de carga lineal λ está situada sobre el eje X desde x = 0.0 a x = a. Demostrar que el componente y del campo eléctrico en un punto sobre el eje Y viene dado por , ay a y4 sen y4 E 22 0 1 0 y +πε λ =θ πε λ = en donde θ1 es el ángulo subtendido por la carga lineal en el punto del campo. (b) Demostrar que si la carga lineal se extiende desde x = -b a x = a, el componente del campo eléctrico en un punto sobre el eje Y viene dado por ( ),sensen y4 E 21 0 y θ+θ πε λ = en donde . by b sen 222 + =θ 21. Un anillo de radio R tiene una densidad de carga uniforme positiva λ. En la figura se muestra un punto P en el plano del anillo pero que no está en su centro. Considerar dos elementos del anillo, de longitudes l1 y l2 y que se encuentran a las distancias r1 y r2 del punto 2
- 3. Fís. Jorge EduardoAguilar Rosas ÁREA DE FÍSICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA ITESO P. (a) ¿Cuál es la relación entre las cargas de estos elementos? ¿Cuál de ellas genera un campo de mayor magnitud en el punto P? (b) ¿Cuál es la dirección del campo debido a estos elementos en el punto P? ¿Cuál es la dirección del campo eléctrico total en el punto P? (c) Suponer que el campo eléctrico debido a una carga puntual varía en la forma 1/r en lugar de 1/r2 . ¿Cuál sería el campo eléctrico en el punto P debido a los elementos que se muestran? (d) ¿Qué diferencias existirían en las respuestas dadas si el punto P se encontrara en el interior de una corteza con una distribución de carga esférica y en la que el área de los elementos fuera s1 y s2? l1 l2 P r1 r2 Resp. (a) q1/q2 = r1/r2, (c) 0, (d) q1/q2 = r1 2 /r2 2 . 22. Un disco de radio 30 cm es portador de una densidad de carga uniforme σ. (a) Comparar la aproximación E = σ/2ε0 con la expresión exacta del campo eléctrico sobre el eje del disco expresando el término despreciado como un porcentaje de σ/2ε0 para las distancias x = 0.1, x = 0.2 y x = 3.0 cm. (b) ¿A qué distancia el término despreciado es el 1% de σ/2ε0? 23. Una carga lineal semiinfinita de densidad uniforme λ está sobre el eje X desde x = 0 hasta x = ∞. Encontrar los componentes x e y del campo eléctrico en un punto situado sobre el eje Y. Resp. Ex = -λ/(4πε0y), Ey = λ/(4πε0y). 24. Una esfera uniformemente cargada de radio R está centrada en el origen con una carga Q. Determinar la fuerza resultante que actúa sobre una línea uniformemente cargada, orientada radialmente y con una carga total q con sus extremos en r = R y r = R + d. Resp. F = Qq/(4πε0R(R + d)). CARGA EN CAMPO ELÉCTRICO. 25. Al hallar la aceleración del electrón o de otra partícula cargada tiene una importancia especial el cociente entre la carga y la masa de la partícula. (a) Calcular e/m para un electrón. (b) ¿Cuál es el valor y dirección de la aceleración de un electrón en un campo eléctrico uniforme de valor 100 N/C? (c) La mecánica no relativista puede usarse sólo si la rapidez del electrón es bastante menor que la rapidez de la luz c. Calcular el tiempo que emplea un electrón situado en reposo en el interior de un campo eléctrico uniforme de 100 N/C para alcanzar una rapidez de 0.01 c. (d) ¿Qué distancia recorrerá el electrón en este tiempo? Resp. (a) 1.76 × 1011 C/kg, (b) 1.76 × 1013 m/s2 , en el sentido opuesto a E, (c) 0.171 µs, (d) 25.6 cm. 26. (a) Calcular e/m para un protón y hallar su aceleración en un campo eléctrico uniforme de valor 100 N/C. (b) Hallar el tiempo que tarda un protón inicialmente en reposo en dicho campo eléctrico en alcanzar la rapidez de 0.01 c. 27. Un electrón se mueve en una órbita circular alrededor de un protón estacionario. La fuerza centrípeta surge de la fuerza electrostática de atracción entre el protón y el electrón. El electrón posee una energía cinética de 2.18 × 10-18 J. (a) ¿Cuál es la rapidez del electrón? (b) ¿Cuál es el radio de la órbita del electrón? 28. Una partícula sale del origen con una rapidez de 3.0 × 106 m/s, formando un ángulo de 350 con el eje X. Se mueve en un campo eléctrico constante E = Eyj. Determinar Ey para que la partícula cruce el eje X en x = 1.5 cm si (a) se trata de un electrón y (b) es un protón. Resp. (a) 3.21 × 103 N/C, (b) –5.88 × 106 N/C. DIPOLO ELÉCTRICO. 29. Un dipolo de momento 0.5 e nm se coloca en el interior de un campo eléctrico uniforme de magnitud 4.0 × 104 N/C. ¿Cuál es la magnitud de la torca ejercida sobre el dipolo cuando (a) está paralelo al campo eléctrico, (b) el dipolo es perpendicular al campo eléctrico, y (c) el dipolo forma un ángulo de 300 con el campo eléctrico? (d) Determinar la energía potencial del dipolo en el campo eléctrico en cada caso. 30. Un dipolo está formado por una carga positiva q en el eje X en x = a y una carga negativa –q sobre el eje X en x = -a. Determinar la magnitud y dirección del campo eléctrico en un punto y del eje Y, y demostrar que para y>>a, el campo eléctrico es aproximadamente E = -(p/(4πε0y3 ))i, en donde p es la magnitud del momento dipolar. Resp. E = -(p/(4πε0(y2 +a2 )3/2 ))i 31. Una molécula de agua tiene su átomo de oxígeno en el origen, un núcleo de hidrógeno en x = 0.077 nm, y = 0.058 nm y el otro núcleo de hidrógeno en x = -0.077 nm, y = 0.058 nm. Si los electrones de los hidrógenos se transfieren completamente al átomo de oxígeno de modo que éste adquiere una carga de –2e, ¿ cuál será el momento dipolar de la molécula de agua? Esta caracterización de los enlaces químicos del agua, totalmente iónicos, sobrestima el momento dipolar de una molécula de agua. LEY DE GAUSS 32. Consideremos un campo eléctrico uniforme E = (2.0 kN/C)i. (a) ¿Cuál es el flujo de este campo a través de un cuadrado de 10 cm de lado cuyo plano es paralelo al plano XY? (b) ¿Cuál es el flujo que atraviesa el 3
- 4. Fís. Jorge EduardoAguilar Rosas ÁREA DE FÍSICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA ITESO mismo cuadrado si la normal a su plano forma un ángulo de 300 con el eje X? 33. Un campo eléctrico vale E = (200 N/C)i para x > 0, y E = -(200 N/C)i para x < 0. Un cilindro circular recto de 20.0 cm de longitud y 5.0 cm de radio tiene su centro en el origen y su eje está situado a lo largo del eje X de modo que una de las caras está en x = +10.0 cm y la otra en x = -10.0 cm. (a) ¿Cuál es el flujo que atraviesa cada cara? (b) ¿Cuál es el flujo que atraviesa la parte lateral del cilindro? (c) ¿Cuál es el flujo neto que atraviesa toda la superficie cilíndrica? (d) ¿Cuál es la carga neta en el interior del cilindro? 34. Una carga puntual positiva q está en el centro de un cubo de arista L. Se dibujan saliendo de la carga un gran número N de líneas de campo. (a) ¿Cuántas de estas líneas pasan a través de la superficie del cubo? (b) ¿Cuántas líneas pasan a través de cada cara (suponiendo que ninguna de ellas corta las aristas o los vértices)? (c) ¿Cuál es el flujo neto hacia fuera del campo eléctrico a través de la superficie cúbica? (d) Utilizar el razonamiento de simetría para hallar el flujo de campo eléctrico que atraviesa una cara del cubo. (e) ¿Alguna de estas respuestas variaría si la carga estuviera en el interior del cubo pero no en su centro? Resp. (a) N, (b) N/6, (c) q/ε0, (d) q/6ε0, (e) Deberían de cambiar las partes (b) y (d). 35. Una corteza esférica de radio 6.0 cm posee una densidad de carga superficial uniforme σ = 9.0 nC/m2 . (a) ¿Cuál es la carga total sobre la corteza? Determinar el campo eléctrico eN (b) r = 2.0 cm, (c) r = 5.9 cm, (d) 6.1 cm, y (e) r = 10.0 cm. Resp. (a) 0.407 nC, (b) 0, (c) 0, (d) 984 N/C, (e) 366 N/C. 36. Una esfera de radio 6.0 cm posee una densidad de carga volumétrica uniforme ρ = 450.0 nC/m3 . (a) ¿Cuál es la carga total de la esfera? Determinar el campo eléctrico es (b) r = 2.0 cm, (c) r = 5.9 cm, (d) 6.1 cm, y (e) r = 10.0 cm. 37. Sobre el plano XY tenemos una carga superficial no uniforme. En el origen, la densidad de carga superficial es σ = 3.10 µC/m2 . En el espacio existen otras distribuciones de carga. Justo a la derecha del origen, sobre el eje X, el componente X del campo eléctrico es Ex = 4.65 × 105 N/C. ¿Cuál es el valor de Ex justo a la izquierda del origen? Resp. 1.5 × 105 N/C. 38. Una moneda está en el interior de un campo eléctrico externo de valor 1.6 kN/C cuya dirección es perpendicular a sus caras. (a) Hallar las densidades de carga en cada cara de la moneda suponiendo que son planas. (b) Si el radio de la moneda es de 1.0 cm, ¿cuál es la carga total en una cara? 39. En una región particular de la atmósfera terrestre, se ha medido el campo eléctrico en la superficie de la Tierra resultando ser de 150 N/C a una altura de 250 m y de 170 N/C a 400 m, en ambos casos dirigido hacia abajo. Calcular la densidad de carga volumétrica de la atmósfera suponiendo que es uniforme entre 250 y 400 m. Resp. -1.18 × 10-12 C/m3 . 40. Dos planos infinitos de carga son paralelos entre sí y paralelos al plano XY, Uno de ellos corresponde a x = -2.0 m y su densidad superficial de carga es σ = -3.5 µC/m2 . El otro corresponde a x = 2.0 m y su densidad superficial de carga es σ = 6.0 µC/m2 . Determinar el campo eléctrico para (a) x < -2.0 m, (b) –2.0 m < x < 2.0 m, y (c) x > 2.0 m. 41. Un modelo atómico posee una carga puntual nuclear positiva +Ze incluida en una esfera electrónica rígida de radio R de carga total –Ze, uniformemente distribuida por toda la esfera. (a) En un campo eléctrico externo nulo, ¿dónde está la posición de equilibrio de la carga nuclear? (b) Si hay un campo eléctrico externo, ¿dónde está la posición de equilibrio de la carga nuclear puntual, respecto al centro de la esfera electrónica cargada negativamente? (c) ¿Cuál es el momento dipolar eléctrico inducido por el campo eléctrico externo para este modelo atómico? Resp. (a) En el centro de la esfera electrónica, (b) A una distancia d = 4πε0E0R3 /Ze del centro de la esfera electrónica, (c) 4πε0E0R3 . 42. Una esfera no conductora de radio R posee una densidad de carga volumétrica proporcional a la distancia desde el centro: ρ = Ar, para r < R, y nula para r > R, siendo A una constante. (a) Hallar la carga total. (b) Hallar el campo eléctrico tanto en el interior como en el exterior, y representarlo en función de la distancia radial. 43. Una esfera no conductora de radio a con su centro en el origen tiene una cavidad esférica de radio b con su centro en el punto x = b, y = 0, y z = 0. La esfera tiene una densidad volumétrica de carga uniforme ρ. Demostrar que el campo eléctrico en la cavidad es uniforme. ENERGÍA POTENCIAL Y POTENCIAL ELÉCTRICO 44. Un campo eléctrico uniforme de valor 2.0 kN/C está en la dirección x. Se deja en libertad una carga puntual Q = 3.0 µC inicialmente en reposo en el origen. (a) ¿Cuál es la energía cinética de la carga cuando esté en x = 4.0 m? (b) ¿Cuál es la variación en la energía potencial de la carga desde x = 0 hasta x = 4.0 m? (c) ¿Cuál es la diferencia de potencial V(4.0 m) – V(0)? Calcular el potencial V(x) si se toma a V(x) como (d) cero para x = 0, (e) 4.0 kV para x = 0, y (f) cero para x = 1. Resp. (a) 2.4 × 10-2 J, (b) –8.0 kV. 45. Dos placas conductoras paralelas poseen densidades de carga iguales y opuestas de modo que el campo eléctrico entre ellas es uniforme. La diferencia de potencial entre las placas es de 500 V y están separadas 10.0 cm. Se deja en libertad un electrón desde el reposo en la placa negativa. (a) ¿Cuál es el 4
- 5. Fís. Jorge EduardoAguilar Rosas ÁREA DE FÍSICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA ITESO valor del campo eléctrico entre las placas? ¿Cuál placa está a un potencial más elevado? (b) Hallar el trabajo realizado por el campo eléctrico cuando el electrón se mueve desde la placa negativa hasta la placa positiva. Expresar el resultado en eV y en J. (c) ¿Cuál es la variación en la energía potencial del electrón cuando se mueve desde la placa negativa hasta la positiva? ¿ cuál es la energía cinética cuando llega a la placa positiva? 46. Una carga positiva de valor 2.0 µC está en el origen. (a) ¿Cuál es potencial eléctrico en un punto a 4.0 m del origen respecto el valor V = 0 en el infinito? (b) ¿Cuánto trabajo debe ser realizado por un agente externo para llevar la carga de 3.0 µC desde infinito hasta r = 4.0 m, considerando que se mantiene fija a la carga de 2.0 µC en el origen? (c) ¿Cuánto trabajo debe ser realizado por un agente externo para llevar la carga de 2.0 µC desde infinito hasta el origen, considerando que la carga de 3.0 µC se coloca primeramente en r = 4.0 m y se mantiene fija? 47. Una esfera uniformemente cargada tiene un potencial de 450 V en su superficie. A una distancia radial de 20.0 cm de esta superficie, el potencial es 150 V. ¿Cuál es el radio de la esfera y cuál es la carga de ésta? 48. Cuando el uranio 235 U captura un neutrón, se descompone en dos núcleos(y emite varios neutrones que pueden producir la división de otros núcleos de uranio). Suponer que los productos de fisión son núcleos con cargas igual a +46e y que estos núcleos están en reposos justo después de la fisión y están separados en el doble de su radio 2R = 1.3 × 10-14 m. (a) Calcular la energía potencial electrostática de los fragmentos de la fisión. Este valor es aproximadamente el de la energía liberada por fisión. (b) ¿Cuántas fisiones por segundo se necesitan para producir 1.0 MW de potencia en un reactor? Resp. (a) 234 MeV, (b) 2.67 × 1016 fisiones por segundo. 49. Un cañón de electrones dispara estas partículas contra la pantalla de un tubo de televisión. Los electrones parten del reposo y se aceleran dentro de una diferencia de potencial de 30.0 kV. ¿Cuál es la energía de los electrones al chocar contra la pantalla, expresada en (a) eV, (b) J. (c) ¿Cuál es la rapidez de los electrones al chocar con la pantalla del tubo de televisión? Resp. (a) 30.0 keV, (b) 4.8 × 10-15 J, (c) 1.03 × 108 m/s. 50. En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno el electrón se mueve en una órbita circular de radio a0 alrededor del protón. (a) Hallar una expresión de la energía cinética del electrón en función r. Demostrar que a una distancia cualquiera r la energía cinética es la mitad del valor de la energía potencial. (b) Calcular las energías cinética, potencial, y mecánica en eV para a0 = 0.529 × 10-10 m, conocido como el radio de Bohr. La energía que debe suministrarse al átomo para extraer al electrón se llama energía de ionización. POTENCIAL DE SISTEMA DE CARGAS 51. Tres cargas puntuales están en el eje X, q1 en el origen, q2 en x = 3.0 m y q3 en x = -3.0 m. Calcular el potencial eléctrico en el punto x = 0, y = 3.0 m si (a) q1 = q2 = q3 = 2.0 µC, (b) q1 = q2 = 2.0 µC y q3 = -2.0 µC, (c) q1 = q3 = 2.0 µC y q2 = -2.0 µC. Resp. (a) 1.45 × 104 V, (b) 6.00 × 103 V, (c) 6.00 × 103 V. 52. Los puntos A, B, y C están en los vértices de un triángulo equilátero de 3.0 m de lado. Cargas iguales positivas de 2.0 µC están en A y B. (a) ¿Cuál es el potencial en el punto C? (b) ¿Cuánto trabajo se necesita para llevar una carga positiva de 5.0 µC desde el infinito hasta el punto C si se mantienen fijas las otras cargas? (c) Responder las partes (a) y (b) se la carga situada en B se sustituye por una carga de – 2.0 µC. 53. Un anillo tiene una carga lineal uniforme λ y radio R está contenido en el plano YZ. (a) Dibujar una gráfica del potencial en función de x para los puntos del eje X. (b) ¿En qué punto el potencial es máximo? (c) ¿Cuánto vale Ex en este punto? 54. Dos conductores muy largos formando una corteza cilíndrica coaxial poseen carga iguales y opuestas. La corteza interior tiene un radio a y una carga +q; la exterior tiene un radio b y una carga –q. La longitud de cada corteza es L. Hallar la diferencia de potencial entre las dos capas de la corteza. Resp. V – V = (q/2πε0L) ln(b/a). 55. Consideremos una bola de densidad volumétrica de carga uniforme de radio R y carga total Q. El centro de la bola está en el origen. Utilizar el componente radial Er para calcular el potencial suponiendo que V = 0 en infinito, en (a) cualquier punto exterior a la carga , r > R, y en (b) cualquier punto del interior a la carga, r < R. (c) ¿Cuál es el potencial en el origen? (d) Dibujar a V en función de r. Resp. (a) V = Q/4πε0r, (b) V = (Q/8πε0R)(3 – r2 /R2 ), (c) V = 3Q/8πε0R. 56. Un dipolo está formado por las cargas –q en z = -a, y +q en z = +a. (a) Demostrar que el potencial en un punto fuera del eje a una distancia grande r desde el origen viene dado aproximadamente por . r2 pz r2 cosp V 3 0 2 0 πε = πε θ = CAMPO ELÉCTRICO Y POTENCIAL ELÉCTRICO 57. Una carga puntual de 3.0 µC se encuentra en el origen. (a) Determinar el potencial V sobre el eje X en x = 3.00 m y en x = 3.01 m. (b) ¿Crece o decrece el potencial cuando x crece? Calcular –∆V/∆x, desde x = 3.00 m hasta x = 3.01 m. (c) Determinar el campo eléctrico en x = 3.00 m, y comparar su valor con el de –∆V/∆x hallado en la parte (b). (d) Determinar el 5
- 6. Fís. Jorge EduardoAguilar Rosas ÁREA DE FÍSICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA ITESO potencial en el punto x = 3.00 m, y = 0.01 m y comparar el resultado con el potencial sobre el eje X en x = 3.00 m. Discutir el significado de este resultado. Resp. (a) V (x = 3.00 m) = 9.00 × 103 V, V (x = 3.01 m) = 8.97 × 103 V, (b) El potencial disminuye cuando x aumenta, –∆V/∆x = 3.00 × 103 V/m, (c) E = 3.00 × 103 V/m, (d) V (x = 3.00 m, y = 0.01 m) = 9.00 × 103 V, V tiene prácticamente el mismo valor en los dos puntos porque se encuentran aproximadamente sobre una superficie equipotencial. 58. Una carga de –1/9 × 10-8 C está en el origen. Considerando que el potencial es cero en el infinito, situar las superficies equipotenciales a intervalos de 20.0 V desde 20.0 hasta 100.0 V y hacer un esquema a escala. ¿Están igualmente separadas estas superficies? 59. Si una esfera conductora ha de cargarse hasta un potencial de 10.0 kV, ¿cuál es el radio más pequeño posible de la esfera, tal que el campo eléctrico no exceda la resistencia dieléctrica del aire? 60. Tres cargas iguales se encuentran en el plano XY. Dos de ellas están sobre el eje Y en y = -a e y = +a, y la tercera está sobre el eje X en x = +a. (a) ¿Cuál es potencial debido a estas cargas en un punto sobre el eje X? (b) Determinar Ex a lo largo del eje X a partir de la función del potencial eléctrico. Comprobar las respuestas de (a) y (b) en el origen y en el infinito para ver si se obtienen los resultados esperados. 61. Un potencial viene dado por ( ) ( )[ ] . zyax4 Q z,y,xV 2/1 222 0 ++−πε = (a) Determinar los componentes cartesianos del campo eléctrico por la derivación de la función del potencial eléctrico. (b) ¿Qué simple distribución de carga puede ser responsable de este potencial? 62. Una esfera no conductora de radio R posee una densidad de carga ρ = ρ0r/R, en donde ρ0 es una constante. (a) Demostrar que la carga total es Q = πρ0R3 . (b) Demostrar que la carga total en el interior de una esfera de radio r < R es igual a q = Q r4 /R4 . (c) Utilizar la Ley de Gauss para calcular el campo eléctrico Er para cualquier punto. (d) Utilizar dV = -Erdr para calcular el potencial en cualquier punto, suponiendo que el potencial V = 0 en el infinito. CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS 64. (a) Si un capacitor de placas planas paralelas tiene una separación de 0.15 mm, ¿cuál deberá ser su área para que tenga una capacitancia de 1.0 F? (b) Si las placas son cuadradas, ¿cuál es la longitud de su lado? Resp. (a) 1.69 × 107 m2 , (b) 4.12 × 103 m. 65. Un capacitor de placas planas paralelas tiene una capacitancia de 2.0 µF y la separación entre sus placas es de 1.6 mm. (a) ¿Qué diferencia de potencial puede establecerse entre las placas antes de que se produzca la ruptura dieléctrica del aire? (EMAX = 3.0 MV/m) (b) ¿Cuál es el valor de la carga máxima que puede almacenar el capacitor antes de que se produzca la ruptura dieléctrica? 66. Un tubo Geiger se compone de un alambre de 0.2 mm de radio y una longitud de 12.0 cm con un conductor cilíndrico coaxial de la misma longitud y 1.5 cm de radio. (a) Hallar su capacitancia suponiendo que el gas en el interior del tubo tiene una constante dieléctrica de 1.0. (b) Hallar la carga por unidad de longitud sobre el alambre en el caso de que el capacitor se cargue a 1.2 kV. 67. La membrana del axón de una célula nerviosa es una delgada capa cilíndrica de radio R = 10-5 m, longitud L =0.1 m, y espesor d = 10-8 m. La membrana tiene una carga positiva sobre uno de sus lados y una carga negativa sobre el otro y actúa como un capacitor de placas paralelas de área A = 2πRL y separación d. Su constante dieléctrica es aproximadamente κ = 3.0. (a) Determinar la capacitancia de la membrana. Si la diferencia de potencial a través de la membrana es 70.0 mV, determinar (b) la carga sobre cada lado de la membrana y (c) el campo eléctrico a través de la membrana. Resp. (a) 1.67 × 10-8 F, (b) 1.17 × 10-9 C, (c) 7.00 × 106 V/m. 68. Un capacitor posee placas rectangulares de longitud a y anchura b. La placa superior está inclinada un pequeño ángulo. La separación de las placas varía de d0 hasta 2 d0, siendo d0 menor que a o b. Calcular la capacitancia utilizando bandas de anchura dx y de longitud b que actúan como capacitores diferenciales aproximados de área b dx y separación d = d0 + (d0/a) x conectados en paralelo. DIELÉCTRICOS 69. Dos placas paralelas poseen cargas +Q y –Q. Si el espacio entre las placas está desprovisto de materia, el campo eléctrico es de 2.5 × 105 V/m. Cuando el espacio se llena con un dieléctrico determinado, el campo se reduce a 1.2 × 105 V/m. (a) ¿Cuál es la constante dieléctrica del dieléctrico? (b) Si Q = 10.0 nC, ¿cuál es el área de las placas? (c) ¿Cuál es la carga total inducida en cada una de las caras del dieléctrico? Resp. (a) 2.08, (b) 45.2 cm2 , (c) 5.2 nC. 70. Cierto dieléctrico de constante κ = 24.0 puede resistir un campo eléctrico de 4.0 × 107 V/m. Con este dieléctrico se quiere construir un capacitor de 0.1 µF que pueda resistir una diferencia de potencial de 2.0 kV. (a) ¿Cuál es la distancia de separación entre las `placas?, (b) ¿Cuál debe ser el área de las placas? Resp. (a) 5.0 × 10-5 m, (b) 235 cm2 . 6
- 7. Fís. Jorge EduardoAguilar Rosas ÁREA DE FÍSICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA ITESO 71. Un capacitor de placas planas paralelas rectangulares de longitud a y anchura b posee un dieléctrico de igual anchura insertado parcialmente una distancia x entre las placas. (a) Determinar la capacitancia en función de x. Despreciar los efectos de los bordes. (b) Comprobar que la respuesta ofrece los resultados esperados para x = 0, y x = a. Resp. (a) Ce = ε0b[(κ - 1) x + a]/d, (b) Para x = 0, Ce = ε0ba/d; para x = a, Ce = ε0baκ/d. ENERGÍA ELÉCTRICA 72. Un capacitor de placas paralelas tiene las placas de 2.0 m2 de área y una separación de 1.0 mm. Se carga hasta 100 V. (a) ¿Cuál es el campo eléctrico existente entre las placas? (b) ¿Cuál es la energía por unidad de volumen en el espacio situado entre las placas? (c) Hallar la energía total multiplicando la respuesta dada a la parte (b) por el volumen entre las placas. (d) Hallar la capacitancia C. (e) Calcular la energía total a partir de U = CV2 /2 comparando el resultado con el de la parte (c). Resp. (a) 105 V/m, (b) 0.0443 J/m3 , (c) 8.85 × 10-5 J, (d) 1.77 × 10-8 F, (e) 8.85 × 10-5 J. 73. Un capacitor de placas paralelas tiene unas placas de 600 cm2 de área y una separación de 4.0 mm. Se carga hasta 100 V y luego se desconecta de la batería. (a) Hallar el campo eléctrico E0, la densidad de carga σ y la energía potencial electrostática U. Se inserta en su interior un dieléctrico de constante κ = 4.0 que rellena por completo el espacio situado entre las placas. (b) Hallar el nuevo campo eléctrico E y (c) la diferencia de potencial V. (d) Hallar la densidad de carga ligada. 74. Un capacitor de 20.0 pF se carga hasta 3.0 kV y luego se conecta en paralelo a un capacitor descargado de 50.0 pF. (a) ¿Qué carga adquiere cada uno de los capacitores? (b) Calcular la energía inicial almacenada en el capacitor de 20.0 pF y la energía final almacenada en los dos capacitores. ¿Se pierde o se gana energía al conectar los dos capacitores? Resp. (a) En el capacitor de 20.0 pF la carga es de 1.71 × 10-8 C; en el capacitor de 50.0 pF es de 4.29 × 10-8 C, (b) La energía inicial es de 9.00 × 10-5 J; la energía final es de 2.57 × 10-5 J; se pierde energía al conectar los capacitores. 75. Dos capacitores de capacitancias C1 = 4.0 µF y C2 = 12.0 µF se encuentran conectados en serie y alimentados por una batería de 12.0 V. Se desconectan cuidadosamente sin que se descarguen y se conectan en paralelo uniendo sus lados positivos y sus lados negativos. (a) Calcular la diferencia de potencial a través de cada uno de los capacitores después de ser conectados. (b) Hallar la energía inicial y final almacenada en los capacitores. 76. A un capacitor de placas paralelas de área A y separación x se le suministra una carga Q y luego se separa de la fuente de carga. (a) Hallar la energía electrostática almacenada en función de x. (b) Hallar el aumento de energía dU debido al aumento de la separación de las placas dx a partir de dU = (dU/dx) dx. (c) Si F es la fuerza ejercida por una placa sobre la otra, el trabajo realizado para mover una placa la distancia dx es F dx = dU. Demostrar que F = Q2 /2ε0A. (d) Demostrar que la fuerza hallada en la parte (c) es igual a EQ/2, siendo E el campo eléctrico entre las placas. Estudiar la razón que justifique la presencia del factor ½ en este resultado. CAPACITORES EN SERIE Y PARALELO 77. Tres capacitores tienen capacitancias 2.0, 4.0 y 8.0 µF. Hallar la capacitancia equivalente (a) si los capacitores están en paralelo y (b) si están en serie. 78. Un capacitor de 2.0 µF se carga a una diferencia de potencial de 12.0 V y a continuación se desconecta de la batería. (a) ¿Cuánta carga tienen sus placas? (b) Cuando se conecta un segundo capacitor (inicialmente sin cargar) en paralelo a este capacitor, la diferencia de potencial disminuye hasta 4.0 V. ¿Cuál es la capacitancia del segundo capacitor? Resp. (a) 24.0 µC, (b) 4.0 µF. 79. Un capacitor de 1.0 µF se conecta en paralelo con un capacitor de 2.0 µF y la combinación se conecta a la vez en serie con otro capacitor de 6.0 µF. ¿Cuál es la capacitancia equivalente de esta combinación? Resp. 2.0 µF 80. Un capacitor de 0.30 µF se conecta en serie al paralelo de los capacitores de 1.0 µF y 0.25 µF. La combinación está conectada a una batería de 10.0 V. Calcular (a) la capacitancia equivalente, (b) la carga en cada uno de los capacitores, y (c) la energía total almacenada. 81. Se conectan tres capacitores idénticos de modo que su capacitancia máxima equivalente es de 15.0 µF. (a) Describir esta combinación. (b) Hallar las otras tres combinaciones posibles utilizando siempre los tres capacitores y sus capacitancias equivalentes. Resp. (a) En paralelo los capacitores de 5.0 µF, (b) 10/3 µF, 7.5 µF, y 5/3 µF. 82. Un capacitor de placas paralelas tiene una capacitancia C0 y una separación entre las placas d. Se insertan entre las placas dos láminas dieléctricas de constantes κ1 y κ2 cada una de ellas de espesor d/2 y de la misma área que las placas. Cuando la carga libre sobre las placas es Q, hallar (a) el campo eléctrico en cada dieléctrico y (b) la diferencia de potencial entre las placas. (c) Demostrar que la nueva capacitancia viene dada por .C 2 C 0 21 21 κ+κ κκ = 7
- 8. Fís. Jorge EduardoAguilar Rosas ÁREA DE FÍSICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA ITESO (d) Demostrar que este sistema puede considerarse como formado por dos capacitores de espesor d/2 conectados en serie. 83. Un capacitor de placas paralelas tiene las placas con área A y separación entre ellas d. Se inserta entre las placas una lámina metálica de espesor t y área A. (a) Demostrar que la capacitancia viene dada por C = ε0A/ (d - t), independiente del sitio en donde se coloque la lámina de metal. (b) Demostrar que este dispositivo puede considerarse como un capacitor de separación a en serie con otro de separación b, siendo a + b + t = d. 84. Se rellena un capacitor de placas paralelas, de área A y separación entre sus placas d, con dos dieléctricos de igual tamaño de área A/2 y espesor d. Demostrar (a) que este sistema puede considerarse como dos capacitores de área A/2 conectados en paralelo, y (b) que la capacitancia se ve aumentada en el factor (κ1 + κ2 )/2. 85. Un capacitor de placas paralelas de área A y separación d se carga hasta una diferencia de potencial V y luego se separa de la fuente de carga. Se inserta entonces una lámina dieléctrica de constante κ = 2.0, espesor d y área A/2. Suponiendo que σ1 es la densidad de carga libre en la superficie del conductor-dieléctrico y σ2 la densidad de carga en la superficie conductor-aire. (a) ¿Por qué debe tener el campo eléctrico el mismo valor en el interior del dieléctrico que en el espacio libre entre las placas? (b) Demostrar que σ1 = 2 σ2. (c) Demostrar que la nueva capacitancia es 3ε0A/2d y que la nueva diferencia de potencial es 2V/3. CORRIENTE ELÉCTRICA. 86. Por un conductor circula una corriente estacionaria de 2.0 A. (a) ¿Cuánta carga fluye por un punto del conductor en 5.0 min.? (b) Si la corriente se debe al flujo de electrones, ¿cuántos electrones deberán pasar por dicho punto en ese tiempo? Resp. (a) 6.0 × 102 C, (b) 3.75 × 1021 . 87. Por un conductor de cobre de calibre 10 circula una corriente de 20.0 A. Suponiendo que cada átomo tiene un electrón libre, calcular la rapidez de desplazamiento de los electrones. 88. En un tubo flourescente de 3.0 cm de diámetro, pasan por un punto determinando y por cada segundo 2.0 × 1018 electrones y 0.50 × 1018 iones positivos (con carga +e). ¿Cuál es la corriente que circula por el tubo? Resp. 0.40 A 89. Una carga +q se mueve en una circunferencia de radio r con rapidez v. (a) Expresar la frecuencia f con la cual pasa la carga por un punto en función de r y v. (b) Demostrar que la corriente media es qf y expresarla en función de r y v. Resp. (a) v/2πr, (b) vq/2πr. LEY DE OHM Y RESISTENCIA 90. Por un conductor de 10.0 m de longitud y una resistencia de 0.20 Ω circula una corriente de 5.0 A. (a) ¿Cuál es la diferencia de potencial en los extremos del conductor? (b) ¿Cuál es el valor del campo eléctrico del conductor? Resp. (a) 1.0 V, (b) 0.10 V/m. 91. Un trozo de carbón tiene una longitud de 3.0 cm y una sección transversal recta cuadrada de 0.50 cm de lado. Se mantiene una diferencia de potencial de 8.4 V entre los extremos de su dimensión más larga. (a) ¿Cuál es la resistencia del bloque? (b) ¿Cuál es la corriente en esta resistencia? 92. Una varilla de tungsteno tiene una longitud de 50.0 cm y una sección transversal recta cuadrada de 1.0 mm de lado. (a) ¿Cuál es su resistencia a 200 C? (b) ¿Cuál es su resistencia a 400 C? Resp. (a) 27.5 mΩ, (b) 30.0 mΩ. 93. El tercer carril (portador de corriente) de una vía de metro está hecho de hierro y tiene un área de sección transversal de aproximadamente 55.0 cm2 . ¿Cuál es la resistencia de 10.0 km de esta vía? Resp. 0.182 Ω. 94. Un cubo de cobre tiene sus aristas de 2.0 cm. ¿Cuál será su resistencia si se convierte en un alambre de calibre 14? Resp. 31.4 mΩ. 95. El filamento de una lámpara posee una resistencia que crece linealmente con la temperatura. Al aplicar una diferencia de potencial constante, la corriente inicial disminuye hasta que el filamento alcanza una temperatura estacionaria. El coeficiente de térmico de resistividad del filamento es de 4.0 × 10-3 K-1 . La corriente final a través del filamento es un octavo del valor inicial. ¿Cuál es la variación de temperatura del filamento? 96. Un tubo de caucho de 1.0 m de longitud con un diámetro interior de 4.0 mm se llena con una disolución salina de resistividad 10-3 Ωm. En los extremos del tubo se disponen unos tapones metálicos que actúan de electrodos. (a) ¿Cuál es la resistencia del tubo lleno de disolución? (b) ¿Cuál es la resistencia del tubo lleno de disolución si se estira uniformemente hasta una longitud de 2.0 m? Resp. (a) 79.6 Ω, (b) 318 Ω. 97. El radio de un alambre de longitud L crece linealmente con su longitud, siendo r = a en un extremo y r = b en el otro. ¿Cuál es la resistencia del alambre en función de su resistividad, su longitud, y los radios a y b? 8
- 9. Fís. Jorge EduardoAguilar Rosas ÁREA DE FÍSICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA ITESO Resp. R = ρL/πab. ENERGÍA EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS 98. Una resistencia de carbón de 10.0 kΩ usada en circuitos electrónicos se diseña para disipar una potencia de 0.25 W. (a) ¿Cuál es la corriente máxima que quede soportar esta resistencia? (b) ¿Qué diferencia de potencial máxima se puede aplicar a la resistencia? Resp. (a) 5.0 mA, (b) 50.0 V 99. Si la energía cuesta 0.90 pesos por kilowatt-hora, (a) ¿cuánto costará hacer funcionar un tostador eléctrico durante 4.0 min. si el tostador tiene una resistencia de 11.0 Ω y está conectado a una diferencia de potencial de 120 V? (b) ¿Cuánto costará hacer funcionar un sistema de calefacción de 5.0 Ω de resistencia a una diferencia de potencial de 120 V durante 8 horas? 100. Una pila con una fem de 12.0 V tiene una diferencia de potencial entre sus extremos de 11.4 V cuando proporciona una corriente de 20.0 A al motor de arranque de un motor. (a) ¿Cuál es la resistencia interna de la batería? (b) ¿Cuánta potencia suministra la fem de la batería? (c) Qué cantidad de potencia se proporciona al motor de arranque? (d) ¿En cuánto disminuye la energía química de la batería cuando está suministrando 20.0 A durante 3.0 min. en el arranque del coche? (e) ¿Cuánto calor se desarrolla en la batería cuando entrega 20.0 A durante 3.0 min.? Resp. (a) 30.0 mΩ, (b) 240. W, (c) 228. W, (d) 43.2 × 103 J, (e) 2.16 × 103 J. 101. Un calentador de 200 W se utiliza para calentar el agua de un vaso. Suponer que el 90% de la energía se utiliza para calentar el agua. (a) ¿Cuánto tiempo se tarda en calentar 0.25 kg de agua desde 15 hasta 100 0 C? (b) ¿Cuánto tiempo tardará en hervir la totalidad del agua después de que alcanza los 100 0 C? 102. Se utiliza una espiral de alambre de nicrom como elemento calefactor en un evaporador de agua que genera 8.0 g de vapor por segundo. El alambre posee un diámetro de 1.80 mm y está conectado a una fuente de alimentación de 120 V. Calcular la longitud del alambre. 103. Un tostador con un elemento de calefacción de nicrom posee una resistencia de 80.0 Ω a 0.0 0 C y una corriente inicial de 1.5 A. Cuando este elemento alcanza su temperatura final, la corriente es de 1.3 A. ¿Cuál es la temperatura final? Resp. 382 0 C 104. Unos tubos flourescentes compactos cuestan 200 pesos cada uno y su periodo de vida se estima en 8000 horas. Estos tubos consumen 20.0 W de potencia, pero producen una iluminación equivalente a la de bombillas incandescentes de 75 W. Estas cuestan 5.0 pesos cada una y su periodo de vida se estima en 1200 horas. (a) Si una vivienda tiene por término medio seis bombillas incandescentes de 75.0 W constantemente encendidas y la energía cuesta 0.90 pesos por kilowatt-hora, ¿cuánto dinero se ahorrará un consumidor cada año instalando en su lugar tubos flourescentes? (b) ¿Cuál debería ser el precio del kilowatt-hora para que el costo total del uso de las bombillas fuese igual al correspondiente uso de los tubos? Resp. (a) $ 150.77, (b) 3.79 centavos/kWhr. 105. Un coche eléctrico ligero funciona con diez baterías de 12.0 V. A una rapidez de 80.0 km/h la fuerza media es de 1200 N. (a) ¿Cuál debe ser la potencia del motor eléctrico para que el coche circule a 80.0 km/h? (b) Si cada batería puede distribuir una carga total de 160 Ah antes de su recarga, ¿cuál es la carga total que pueden suministrar las 10 baterías? (c) ¿Cuál es la energía eléctrica total distribuida por las 10 baterías antes de la recarga? (d) ¿Qué distancia recorrerá el coche a 80.0 km/h antes de que las baterías tengan que ser recargadas? (e) ¿Cuál es el costo por kilómetro si el precio de recargar las baterías es de 0.90 pesos por kilowatt-hora? COMBINACIONES DE RESISTENCIAS 106. (a) Demostrar que la resistencia equivalente entre los puntos a y b es R. (b) ¿qué ocurriría si se añadiese una resistencia R entre los puntos c y d? a R d V R R R c b 107. La batería del circuito posee una resistencia despreciable. Determinar (a) la intensidad de la corriente en cada una de las resistencias, y (b) la potencia suministrada por la batería. 2.0 Ω 6.0 V 2.0 Ω 4.0 Ω 3.0 Ω Resp. (a) I2 = 12/19 A, I3 = 30/19 A, I4 = 6/19 A, (b) 9.47 W. 108. Un conductor de cobre de 80.0 m y diámetro de 1.0 mm se une por su extremo con otro conductor de 49.0 m de hierro del mismo diámetro. La corriente en cada 9
- 10. Fís. Jorge EduardoAguilar Rosas ÁREA DE FÍSICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA ITESO uno de ellos es de 2.0 A. (a) Hallar el campo eléctrico en cada conductor. (b) Hallar la diferencia de potencial aplicada en cada conductor. (c) Hallar la resistencia equivalente que transportaría 2.0 A a una diferencia de potencial igual a la suma de la que existe entre los dos extremos de ambos conductores y compararla con la suma de sus resistencias. Resp. (a) ECu = 43.3 mV/m, EFe = 0.255 V/m, (b) VCu = 3.46 V, VFe = 12.5 V, (c) R = 7.97 Ω. 109. En un circuito electrónico existe una resistencia de 10 Ω cableada por un alambre de cobre de 50.0 cm de longitud y diámetro de 0.60 mm. (a) ¿Qué resistencia adicional introduce el alambre? (b) ¿Qué error porcentual se comete al despreciar la resistencia del cableado? (c) Si la resistencia está formada por alambre de nicrom, ¿qué variación de su temperatura produciría un cambio en su resistencia igual a la resistencia del cableado? Resp. (a) 30.0 mΩ, (b) 0.30 %, (c) 7.5 0 C. 110. El cable de conexión para el arranque de un automóvil es de 3.0 m de longitud y está formado por tres hebras de cobre de calibre 12 que están trenzadas. (a) ¿Cuál es la resistencia del cable? (b) Cuando se utiliza en el arranque, transporta una corriente de 90.0 A. ¿Cuál es la caída de potencial que tiene lugar entre sus extremos? (c) ¿Cuánto calor se desprende por el cable? Resp. (a) 5.14 × 10-3 Ω, (b) 0.462 V, (c) 41.6 W. LEYES DE KIRCHHOFF 111. Se conecta una resistencia R variable a través de una diferencia de potencial V que permanece constante independientemente de R. Para un valor R = R1, la corriente es de 6.0 A. Cuando R aumenta hasta un valor R2 = R1 + 10.0 Ω, la corriente cae hasta 2.0 A. Hallar (a) R1, y (b) V. 112. Una batería tiene una fem ξ y una resistencia interna r. Cuando se conecta a una resistencia de 5.0 Ω entre los terminales de la misma, la corriente es de 0.5 A. Cuando se sustituye esta resistencia por otra de 11.0 Ω, la corriente es de 0.25 A. Hallar (a) la fem, y (b) la resistencia interna. 113. En el circuito indicado en la figura las baterías tienen resistencias internas despreciables y el amperímetro tiene una resistencia despreciable. (a) Hallar la corriente que pasa a través del amperímetro. (b) Hallar la energía suministrada por la batería de 12.0 V en 3.0 s. (c) Hallar el calor total disipado en dicho tiempo. (d) Explicar la diferencia entre las respuestas de los incisos (b) y (c). 2.0 Ω 12.0 V 2.0 V 2.0 Ω 2.0 Ω A 114. (a) Determinar la resistencia equivalente. (b) ¿Cuál es la corriente en cada resistor si R es de 10.0 Ω y la diferencia de potencial entre a y b es de 80.0 V? R/4 R/2 R R/2 R a R b V R AMPERÍMETROS, VOLTÍMETROS Y OHMÍMETROS 115. Un galvanómetro tiene una resistencia de 140 Ω. Se necesita 1.2 mA para dar una desviación a fondo de escala. (a) ¿Qué resistencia deberá colocarse en paralelo con el galvanómetro para tener un amperímetro que señale 2.0 A a fondo de escala? (b) ¿Qué resistencia deberá colocarse en serie para obtener un voltímetro que señale 5.0 V con una desviación a fondo de escala? Resp. (a) 0.0841 Ω, (b) 4027 Ω. 116. Un galvanómetro de resistencia 90 Ω da una desviación a fondo de escala cuando su corriente es de 1.5 mA. Se utiliza para construir un amperímetro cuya lectura a fondo de escala sea de 1.5 A. (a) Hallar la resistencia shunt necesaria. (b) ¿Cuál es la resistencia del amperímetro? (c) Si la resistencia shunt se compone de un trozo de alambre de cobre de calibre 10 (diámetro 2.59 mm), ¿cuál deberá ser su longitud? 117. Un galvanómetro de resistencia 90 Ω da una desviación a fondo de escala cuando su corriente es de 1.5 mA. Se utiliza una batería de 1.5 V con una resistencia interna despreciable para construir un ohmímetro. (a) ¿Cuál deberá ser la resistencia Rs en serie con el galvanómetro? (b) ¿Qué resistencia R dará una desviación a mitad de escala? (c) ¿Qué resistencia R dará un décimo de desviación de la escala completa? Resp. (a) 910 Ω, (b) 1000 Ω, (c) 9000 Ω. 118. Un galvanómetro de resistencia 110 Ω da una desviación a fondo de escala cuando su corriente es de 0.13 mA. Ha de utilizarse en un voltímetro de varias escalas, con valores de 1.0 V, 10.0 V y 100.0 V a 10
- 11. Fís. Jorge EduardoAguilar Rosas ÁREA DE FÍSICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA ITESO fondo de escala. Determinar los valores de las resistencias R1, R2 y R3. 1.0 V 10.0 V 100.0 V Rg R1 R2 R3 G Resp. R1 = 7582 Ω, R2 = 69231 Ω, R3 = 692308 Ω. 119. Un galvanómetro de resistencia 110 Ω da una desviación a fondo de escala cuando su corriente es de 0.13 mA. Ha de utilizarse en un amperímetro de varias escalas con las lecturas a fondo de escala de 10.0 A, 1.0 A y 0.1 A. Determinar los valores de las resistencias R1, R2 y R3. Rg 10 A 1.0 A 0.10 A G R1 R2 R3 120. En el circuito la lectura en el amperímetro es la misma cuando ambos interruptores están abiertos o ambos están cerrados. Hallar la resistencia R. 300 Ω 1.5 V 50 Ω 100 Ω R A 121. Un galvanómetro de una desviación a fondo de escala cuando el voltaje a su través es de 10.0 mV y la corriente que pasa es de 50.0 µA. (a) Diseñar un voltímetro que, usando este galvanómetro, dé una lectura a fondo de escala para una diferencia de potencial de 50.0 V. (b) Diseñar un amperímetro que dé una lectura a fondo de escala con este galvanómetro a una corriente de 10.0 A. Resp. (a) Serie, R = 999800 Ω, (b) Paralelo, R = 10-3 Ω. CIRCUITOS RC 122. Los capacitores en el circuito están inicialmente descargados. (a) ¿Cuál es el valor inicial de la corriente suministrada por la batería cuando se cierra el interruptor S? (b) ¿Cuál es la corriente de la batería después de un tiempo largo? (c) ¿Cuáles son las cargas finales en los capacitores? 10 µF 15 Ω 5 µF 15 Ω 10 Ω 12 Ω 50 V S Resp. (a) 3.42 A, (b) 0.962 A, (c) Q10 = 260 µC, Q5 = 130 µC. 123. En estado estacionario, la carga sobre el capacitor de 5.0 µF es de 1.0 mC. (a) Determinar la corriente de la batería. (b) Determinar las resistencias R1, R2 y R3. 5 µF R3 5 Ω 50 Ω 5.0 A R1 310 V 10 Ω R2 5.0 A 124. Los capacitores C1 y C2 están conectados en paralelo con una resistencia y dos interruptores. El capacitor C1 está inicialmente cargado con un potencial V0, y el capacitor C2 está sin carga. Cuando los interruptores se cierran, (a) ¿cuáles son las cargas finales en los capacitores? (b) Comparar las energías inicial y final almacenadas en el sistema. (c) ¿Cuál es la causa de la disminución en la energía almacenada? (d) ¿Cuál es la corriente en función del tiempo? (e) Determinar la energía disipada en la resistencia en función del tiempo. (f) Determinar la energía total disipada por la resistencia y compararla con la pérdida de energía almacenada (inciso b). C1 S S R C2 Resp. (d) i(t) = (V0/R) e-t/RC , donde C = C1C2/(C1+C2), (e) P(t) = (V0 2 /R) e-2t/RC , (f) U = i(t) = (V0 2 C)/2. 11
- 12. Fís. Jorge EduardoAguilar Rosas ÁREA DE FÍSICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA ITESO LEY DE AMPERE. 125. En la figura, una corriente de 8.0 A está dirigida hacia el papel, la otra corriente de 8.0 A está dirigida hacia fuera del papel, y cada una de las curvas es una trayectoria circular. (a) Hallar ∫ • C drB para cada trayectoria indicada. (b) ¿Cuál de las trayectorias, si es que la hay, puede utilizarse para hallar a B en cualquier punto debido a estas corrientes? C2 C1 C3 Resp. (a) C1, (8.0 A)µ0; C2, 0.0; C3, (-8.0 A)µ0 (b) Ninguno de ellos. 126. Por un conductor de radio 0.5 cm, circula una corriente de 100 A uniformemente distribuida en toda su sección recta. Hallar B (a) a 0.1 cm del centro del conductor, (b) en la superficie del mismo, y (c) en un punto exterior al conductor a 0.2 cm de la superficie del conductor. (d) Construir un gráfico de B en función de la distancia al eje del conductor. Resp. (a) 8.0 × 10-4 T, (b) 4.0 × 10-3 T, (c) 2.86 × 10-3 T 127. Un toroide estrechamente enrollado de radio interior 1.0 cm y radio exterior 2.0 cm posee 1000 vueltas de conductor y transporta una corriente de 1.5 A. (a) ¿Cuál es el campo magnético a una distancia de 1.1 cm del centro? (b) ¿Y a 1.5 cm del centro? Resp. (a) 27.3 × 10-3 T, (b) 20.0 × 10-3 T 128. Una corriente I está distribuida uniformemente en toda la sección transversal de un conductor recto y largo de radio 1.40 mm. En la superficie del conductor, el campo magnético tiene la magnitud de 2.46 mT. Determinar la magnitud del campo magnético (a) a 2.10 mm del eje y (b) a 0.60 mm del eje. (c) Determinar la intensidad I de la corriente. 129. Tres alambres conductores muy largos y paralelos se hacen pasar por los vértices de un cuadrado. Calcular el campo magnético B en el vértice no ocupado cuando (a) el sentido de todas las intensidades de corriente es hacia el mismo sentido, (b) las intensidades de corriente de las dos líneas que está n en vértices opuestos circulan en el mismo sentido y la otra en sentido opuesto. 130. Una corteza cilíndrica gruesa infinitamente larga de radio interior a y radio exterior b transporta una corriente I uniformemente distribuida En toda la sección transversal de la corteza. Determinar el campo magnético en (a) r<a, (b) a<r<b, y (c) r>b. 131. Un conductor rectilíneo muy largo posee una sección transversal circular de radio R y por él pasa una corriente I. En el interior del conductor se ha practicado un orificio cilíndrico de radio a, cuyo eje es paralelo al eje del conductor y se encuentra a una distancia b de éste. El eje del conductor coincide con el eje Z, y el del orificio pasa por x = b. Calcular el campo magnético B en los puntos (a) sobre el eje X en x = 2R, y (b) sobre el eje Y en y = 2R. Resp. (a) ( ) , bR2 a 2 R aR2 I B 2 22 0 y − − −π µ = (b) ( ) ( )( ) . bR4aR2 bIa B , 4 R bR4 Ra aR I B 2222 2 0 y 22 2 22 0 x +−π µ = − +−π µ = 132. Demostrar para el cilindro sobre el que se ha practicado un orificio del problema 131, que el campo magnético en el interior del orificio es uniforme y calcular su magnitud y dirección. 133. El plano XZ contiene una lámina infinita de corriente en la dirección z positiva. La intensidad de la corriente por unidad de longitud es λ. La figura muestra un punto P por encima de la lámina y dos porciones simétricas de corriente especificada por I1 e I2. (a) ¿Cuál es la dirección del campo magnético en el punto P debido a las dos porciones de corriente indicadas? (b) ¿Cuál es la dirección del campo magnético en el punto P debido a la lámina entera? (c) ¿Cuál es la dirección del campo magnético en un punto P’ por debajo de la lámina? (d) Aplicar la Ley de Ampere para demostrar que el campo magnético en cualquier punto por encima de la lámina viene dado por . 2 1 0 iB λµ−= P I1 I2 LEY DE BIOT Y SAVART. 134. Un elemento pequeño de corriente Idr’ en el que dr’ = 2.0 mm k tiene una corriente I = 2.0 A y está centrado en el origen. Hallar el campo magnético dB en los siguientes puntos: (a) en el eje X en x = 3.0 m, (b) en el eje X en x = -6.0 m, (c) en el eje Z en z = 3.0 m, (d) en el eje Y en y = 3.0 m. 12
- 13. Fís. Jorge EduardoAguilar Rosas ÁREA DE FÍSICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA ITESO 135. Una sola espira circular de radio 10.0 cm ha de producir un campo en su centro que equilibre exactamente el campo terrestre en el ecuador, que vale 7.0 × 10-4 T y está dirigido hacia el norte. Hallar la corriente en el conductor y hacer un esquema que muestre la orientación de la espira y de la corriente. Resp. 11.1 A 136. Un solenoide de longitud 30.0 cm, radio 1.2 cm y 300 vueltas transporta una corriente de 2.6 A. Determinar el campo magnético sobre el eje del solenoide (a) en el centro, (b) dentro del solenoide en un punto situado a 10.0 cm de un extremo, y (c) en un extremo. 137. ¿En que punto del eje de una espira circular de 3.0 cm de radio que transporta una corriente de 2.6 A, el campo magnético es (a) el 10% del campo en el centro, (b) el 1% del campo en el centro, y (c) el 0.1% del campo en el centro? Resp. (a) ±5.72 cm, (b) ±13.6 cm, (c) ±29.8 cm 138. Dos conductores rectilíneos largos, paralelos el eje X están contenidos en el plano XY. Uno de los conductores está en y = -6.0 cm y el otro en y = 6.0 cm. La corriente que circula en cada conductor es de 20 A. Si las corrientes circulan en sentido negativo del eje X, hallar B en los puntos situados en el eje Y en (a) y = -3.0 cm, (b) y = 0.0 cm, (c) y = 3.0 cm, (d) y = 9.0 cm. Resp. (a) -8.89 × 10-5 T k, (b) 0.0, (c) 8.89 × 10-5 T k, (d) -1.6 × 10-4 T k 139. Dos conductores rectilíneos largos, paralelos el eje X están contenidos en el plano XY. Uno de los conductores está en y = -6.0 cm y el otro en y = 6.0 cm. La corriente circula en el primer alambre lo hace en sentido negativo del eje X, y la que circula en el segundo es en sentido positivo del eje X. Hallar B en los puntos situados en el eje Y en (a) y = -3.0 cm, (b) y = 0.0 cm, (c) y = 3.0 cm, (d) y = 9.0 cm. Resp. (a) -1.78 × 10-4 T k, (b) -1.33 × 10-4 T k, (c) -1.78 × 10-4 T k, (d) 1.07 × 10-4 T k 140. Dos conductores rectilíneos largos, paralelos el eje X están contenidos en el plano XY. Uno de los conductores está en y = -6.0 cm y el otro en y = 6.0 cm. La corriente que circula en cada conductor es de 20 A. Hallar B en el punto situado en el eje Z a z = 8.0 cm si (a) si las corrientes son paralelas como en el problema 14; (b) las corrientes son antiparalelas como en el problema 15. Resp. (a) 6.4 × 10-5 T j, (b) –4.8 × 10-5 T k, 141. Determinar el campo magnético en el punto P en la figura. La corriente es de 15.0 A, y el radio del semicírculo es de 20.0 cm. R Pi 142. Una espira conductora de longitud L transporta un corriente I. Comparar el campo magnético en el centro de la espira para los casos en que (a) se trata de una circunferencia, (b) un cuadrado, y (c) un triángulo equilátero. ¿Cuál campo es mayor? Resp. (a) πµ0I/L, (b) 8(2)1/2 πµ0I/L, (c) 27µ0I/2πL 143. Puede construirse un amperímetro relativamente barato, denominado galvanómetro de tangentes, utilizando el campo magnético terrestre. Una bobina circular plana de N espiras y un radio R está orientada de modo que el campo Bc que se produce en el centro de la bobina está dirigido hacia el este o hacia el oeste. Se coloca en el centro de la misma una brújula. Cuando no circula corriente por la bobina, la brújula señala hacia el norte. Cuando existe una corriente I, la brújula señala en la dirección del campo magnético resultante B formando un ángulo θ con el norte. Demostrar que la corriente I está relacionada con el ángulo y con el componente horizontal del campo magnético terrestre Bt por .tg N RB2 I 0 t θ µ = 144. Una espira circular de radio R por la que circula una corriente I está centrada en el origen con su eje dirigido a lo largo del eje X. Su corriente es tal que produce un campo magnético en el sentido positivo del eje de las X. (a) Hacer un esquema de Bx en función de x. Incluir tanto valores positivos como negativos de x. Compara este esquema con el correspondiente Ex debido a un anillo cargado del mismo tamaño. (b) Otra segunda espira idéntica por la que circula la misma corriente y en el mismo sentido está en un plano paralelo el plano YZ con su centro en el punto x = d. Hacer un esquema del campo magnético en el eje X debido a cada bobina por separado y el campo resultante debido a ambas bobinas. Demostrar a partir de este esquema que dBx/dx es cero en el punto medio entre las bobinas. 145. Dos bobinas que están separadas una distancia igual a su radio y por ellas circulan corrientes iguales de modo que sus campo axiales se suman, se denominan Bobinas de Helmholtz. Una característica de las Bobinas de Helmholtz es que el campo magnético resultante entre ellas es muy uniforme. Sea R = 10.0 cm, I = 20.0 A y N = 300 vueltas para cada bobina. Situar una de ellas en el plano YZ con su centro en el origen y la otra en un plano paralelo en x = 10.0 cm. (a) Calcular el campo resultante Bx en los puntos x = 5.0 cm, x = 7.0 cm, x = 9.0 cm y x = 11.0 cm. (b) Utilizar los resultados obtenidos y el hecho de que Bx es simétrico alrededor del punto medio de las bobinas para representar Bx en función de x. 13
- 14. Fís. Jorge EduardoAguilar Rosas ÁREA DE FÍSICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA ITESO 146. Dos bobinas de Helmholtz de radio R poseen sus ejes a lo largo del eje X, como en el problema 22. Demostrar que en punto medio de las bobinas las tres primeras derivadas de Bx respecto a x son nulas. Obtener una expresión aproximada para el campo magnético en los puntos del eje entre las bobinas. 147. Una espira cuadrada de lado L yace en el plano YZ con su centro en el origen. Transporta una corriente I. Determinar el campo magnético en cualquier punto sobre el eje X y demostrar que para x >> L, . x 2 4 3 0 m B π µ = 148. Un disco de radio R lleva una carga fija de densidad σ y gira con gran rapidez angular ω. (a) Consideremos un anillo circular de radio r y anchura dr con carga dq. Demostrar que la corriente producida por este anillo es dI = (ω/2π)dq = σωr dr. (b) Utilizar el resultado de la parte (a) para demostrar que el campo magnético en el centro del disco es B = µ0σωR/2. (c) Utilizar el resultado de la parte (a) para hallar el campo magnético en un punto situado sobre el eje del disco a una distancia x del centro. 149. Un solenoide posee n vueltas por unidad de longitud, un radio R y por él circula una corriente I. Su eje coincide con el eje X y uno de sus extremos se encuentra en x= -L/2 y el otro en x = L/2, siendo L la longitud total del solenoide. Demostrar que el campo magnético en cualquier punto del eje X viene dado por ( ),coscosnI 2 1 B 210 θ−θµ= en donde ( )[ ] ( )[ ] 2/122 2 2/122 1 2/LxR 2/Lx cos , 2/LxR 2/Lx cos −+ − =θ ++ + =θ 150. En el problema 150, si x >> L, y L > R, demostrar que el campo magnético en un punto alejado de los extremos puede escribirse en la forma , r q r q 4 B 2 2 m 2 1 m0 − π µ = en donde r1 = x – L/2 es la distancia del extremo próximo del solenoide, r2 = x + L/2 es la distancia del extremo alejado y qm = nIπR2 = m/L, siendo m = NIπR2 el momento magnético del solenoide. FUERZA MAGNÉTICA. 151. Una carga q = -2.64 nC se mueve con una velocidad de 2.75 × 106 m/s i. Hallar la fuerza que actúa sobre la carga si el campo magnético es (a) B = 0.48 T j, (b) B = 0.65 T i + 0.65 T j, (c) B = 0.75 T i + 0.75 T j, (d) B = 0.75 T i, (e) B = 0.65 T i + 0.75 T k. 152. Un segmento conductor recto de 2.0 m de largo forma un ángulo de 300 con un campo magnético uniforme de 0.50 T. Hallar la fuerza que actúa sobre el conductor si por él circula una corriente de 2.0 A. Resp. 1.0 N 153. Un conductor recto, rígido y horizontal, de longitud 25.0 cm y masa 50.0 g está conectado a una fuente por conductores flexibles. Un campo magnético de 1.33 T está horizontal y perpendicular al conductor. Hallar la corriente necesaria para hacer flotar el conductor, es decir, de modo que la fuerza magnética equilibre al peso del alambre. 154. Un alambre conductor, paralelo al eje Y, se mueve en dirección X positiva con una rapidez de 20.0 m/s en un campo magnético B = 0.50 T k. (a) Determinar la magnitud y dirección de la fuerza magnética que actúa sobre un electrón en el conductor. (b) Debido a esta fuerza magnética, los electrones se mueven a un extremo del conductor, dejando el otro extremo positivamente cargado hasta que el campo eléctrico debido a esta separación de carga ejerce una fuerza sobre los electrones que equilibra la fuerza magnética. Determinar la magnitud y dirección de este campo eléctrico en estado estacionario. (c) Si el cable tiene 2.0 m de longitud, ¿cuál es la diferencia de potencial entre sus dos extremos debido a este campo eléctrico? Resp. (a) 1.6 × 10-18 N j, (b) 10.0 V/m j, (c) 20.0 V 155. Una barra metálica de masa M está apoyada sobre un par de varillas conductoras horizontales separadas una distancia L y unidas a un dispositivo que proporciona una corriente constante I al circuito. Se establece un campo magnético uniforme perpendicular al plano del circuito. (a) Si no existe rozamiento y la barra parte del reposo en t = 0, demostrar que en el instante de tiempo t la barra tiene una rapidez v = BILt/M. (b) ¿En qué sentido se moverá la barra?. (c) Si el coeficiente de fricción estático es µ0, hallar el valor mínimo del campo magnético necesario para hacer que se ponga la barra en movimiento. 156. Considerar que las varillas del problema 156 están inclinadas hacia arriba de modo que hacen un ángulo θ con la horizontal, y no hay rozamiento de la barra con las varillas. (a) ¿Qué campo magnético vertical B se necesita para que la barra no se deslice hacia abajo por los conductores? (b) ¿Cuál es la aceleración de la barra si B es el doble del valor hallado en (a)? Resp. (a) B = (Mg/IL) tgθ, (b) a = g senθ, hacia arriba 157. Un cable rígido, recto y horizontal de longitud 25.0 cm y masa 20.0 g, se soporta mediante contactos eléctricos en sus extremos, pero es libre de moverse verticalmente hacia arriba. El cable se encuentra en un 14
- 15. Fís. Jorge EduardoAguilar Rosas ÁREA DE FÍSICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA ITESO campo magnético uniforme y horizontal, de magnitud 0.40 T perpendicular al cable. Un interruptor que conecta al cable con una batería se cierra y el cable se dispara hacia arriba alcanzando una altura máxima h. La batería suministra una corriente total de 2.0 C durante el periodo de tiempo muy corto que hace contacto con el alambre. Determinar la altura h. 158. Por dos conductores rectilíneos paralelos situados a una distancia de 8.6 cm circulan corrientes de valor igual I. Se repelen entre sí con una fuerza por unidad de longitud de 3.6 nN/m. (a) ¿Son paralelas o antiparalelas las corrientes? (b) Hallar I. Resp. (a) Antiparalelo, (b) 39.3 mA 159. Tres conductores rectilíneos largos y paralelos pasan a través de los vértices de un triángulo equilátero de lado 10.0 cm. La corriente en los conductores es la misma e igual a 15.0 A. Los dos conductores colocados en la base tienen triángulo tienen la corriente en el mismo sentido, y el conductor en el vértice superior en sentido contrario. Hallar (a) la fuerza por unidad de longitud ejercida sobre el conductor superior y (b) el campo magnético B en dicho conductor debido a los dos conductores de la base. 160. Por un conductor rectilíneo muy largo circula una corriente de 20.0 A. Un electrón está a 1.0 cm del centro del conductor y se mueve con una rapidez de 5.0 × 106 m/s. Hallar la fuerza sobre el electrón cuando se mueve (a) directamente alejándose del conductor, (b) paralelo al eje del conductor en el sentido de la corriente, (c) perpendicular al conductor y tangente a una circunferencia concéntrica con el conductor. Resp. (a) 3.20 × 10-16 N, en sentido opuesto a la corriente, (b) 3.20 × 10-16 N, alejándose del conductor, (c) 0 161. Por un conductor rectilíneo largo circula una corriente de 20.0 A. Una bobina rectangular con lados de longitud 10.0 cm y 5.0 cm, tiene su lados de 10.0 cm paralelos al conductor, con el lado más cercano a 2.0 cm del conductor. El conductor y la bobina están contenidos en un plano. La bobina transporta una corriente de 5.0 A. (a) Determinar la fuerza que actúa sobre cada segmento de la bobina rectangular. (b) ¿Cuál es la fuerza neta sobre la bobina? Resp. (a) La fuerza sobre cada uno de los segmentos cortos es de 0.251 × 10-4 N, en uno de los segmentos largos es de 1.00 × 10-4 N, y en el otro es de 0.286 × 10-4 N, (b) 0.75 × 10-4 N CARGA EN CAMPO MAGNÉTICO. 162. Un protón se mueve un una órbita circular de radio 65.0 cm perpendicular a un campo magnético uniforme de valor 0.75 T. (a) ¿Cuál es el periodo correspondiente a este movimiento? (b) Hallar la rapidez del protón. (c) Hallar la energía cinética del protón. 163. Una partícula alfa (carga +2e) se mueve en una trayectoria circular de radio 0.50 m en el interior de un campo magnético de 1.0 T. (a) ¿Cuál es el periodo correspondiente a este movimiento? (b) Hallar la rapidez. (c) Hallar la energía cinética. Tomar la masa de la partícula alfa como 6.65 × 10-27 kg. 164. Un haz de protones se mueve a lo largo del eje X en su sentido positivo con una rapidez de 12.4 km/s a través de una región de campos eléctrico y magnéticos cruzados equilibrados con desviación nula. (a) Si existe un campo magnético de valor 0.85 T en el sentido positivo del eje Y, hallar el valor y la dirección del campo eléctrico. (b) ¿se verán desviados electrones con la misma rapidez por estos campos? Si es así, ¿en qué dirección y sentido? Resp. (a) -1.05 × 104 N/C k, (b) No 165. Un ion 24 Mg simplemente ionizado (masa 3.983 × 10-26 kg) se acelera a través de un potencial de 2.5 kV y se desvía en un campo magnético de 55.7 mT que existe en un espectrómetro de masas. (a) Hallar el radio de curvatura de la órbita del ion. (b) ¿Cuál es la diferencia de los radios para los iones 24 Mg y 26 Mg? (suponer que la relación de sus masas es 26/24.) 166. Un haz de iones 6 Li y 7 Li pasa a través de un selector de rapideces y entra en un espectrómetro de magnético. Si el diámetro de la órbita de los iones 6 Li es de 15.0 cm, ¿cuál es el diámetro correspondiente a los iones 7 Li? 167. Las placas de un aparato de Thomsom e/m son de 6.0 cm de largo y están separadas por 1.2 cm. El extremo de las placas está a 30.0 cm de la pantalla del tubo. La energía cinética de los electrones es de 2.8 keV. (a) Si se aplica un potencial de 25.0 V a través de las placas de deflexión, ¿en cuanto de desviará el haz? (b) Hallar el valor de un campo magnético cruzado que permita al haz pasar sin verse desviado. Resp. (a) 7.30 mm, (b) 6.62 × 10-5 T 168. Una partícula de carga q y masa M se mueve en una circunferencia de radio r con una rapidez angular ω. (a) Demostrar que la corriente media es I = qω/2π y el momento dipolar magnético tiene un valor de m = qωr2 /2. (b) Demostrar que el momento angular tiene un valor de L = Mr2 ω y que los vectores de momento dipolar magnético y momento angular están relacionados por m = (q/2M)L. 169. Protones, deuterones (cada uno de carga +e) y partículas alfa (de carga +2e) de la misma energía cinética entran en un campo magnético uniforme que es perpendicular a sus velocidades. Sean Rp, Rd y Rα los radios de sus órbitas circulares. Hallar los cocientes Rd/Rp, Rα/Rp. Considerar que 4mp=2md=mα. Resp. Rd/Rp = (2)1/2 , Rα/Rp = 1 170. Un espectrómetro de masas se encuentra precedido por un selector de rapidez constituido por placas paralelas separadas entre sí 2.0 mm y entre las que existe una diferencia de potencial de 160. El campo magnético entre las placas es de 0.42 T. El campo magnético en el espectrómetro de masas es de 1.2 T. 15
- 16. Fís. Jorge EduardoAguilar Rosas ÁREA DE FÍSICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA ITESO Calcular (a) la rapidez con que se introducen los iones en el espectrómetro y (b) la diferencia de las órbitas del 236 U y 235 U simplemente ionizados. ( La masa de un ion 235 U es de 3.903 × 10-25 kg.) 171. Un haz de partículas entra en una región de campo magnético uniforme B con velocidad v que forma un pequeño ángulo θ con v. Demostrar que después de que una partícula se mueve una distancia 2π(m/qB)v cosθ medida a lo largo de la dirección de B, la velocidad de la partícula tiene la misma dirección que cuando entra en el campo. TORCA MAGNÉTICA. 172. Una bobina circular de 50 vueltas y radio 10.0 cm transporta una corriente de 4.0 A. En el centro de esta gran bobina existe una pequeña bobina de 20 vueltas de radio 0.50 cm que transporta un corriente de 1.0 A. Los planos de las dos bobinas son perpendiculares. Determinar la torca ejercida por la bobina grande sobre la pequeña. Resp. 1.97 × 10-6 Nm 173. Una bobina circular pequeña de 20 vueltas de alambre está en un campo magnético uniforme de 0.50 T de modo que la normal al plano de la bobina forma un ángulo de 600 con la dirección de B. El radio de la bobina es de 4.0 cm y por ella circula una corriente de 3.0 a. (a) ¿Cuál es el valor del momento dipolar magnético de la bobina? (b) ¿Qué torca se ejerce sobre la bobina? Resp. (a) 0.302 Am2 , (b) 0.131 Nm 174. Un alambre conductor tiene una longitud de 24.0 cm, transporta una corriente de 2.5 A. Si se dobla el alambre en forma de un cuadrado contenido en el plano XY, ¿Cuál es la torca que actúa sobre la espira si existe un campo magnético de 0.30 T (a) en la dirección Z, (b) en la dirección X? Si se dobla el alambre en forma de un triángulo contenido en el plano XY, ¿Cuál es la torca que actúa sobre la espira si existe un campo magnético de 0.30 T (c) en la dirección Z, (d) en la dirección X? Resp. (a) 0, (b) 2.7 × 10-3 Nm 175. Una espira circular de alambre de masa M transporta una corriente I en un campo magnético uniforme. Inicialmente está en equilibrio con su vector de momento dipolar magnético alineado con el campo magnético. Damos a la espira un pequeño giro alrededor de un diámetro y luego se deja en libertad. ¿Cuál es el período del movimiento? (Suponer que la única torca sobre la espira se debe al campo magnético.) Resp. T = 2π(M/2πIB)1/2 176. Se dispone de un conductor de longitud fija L y formamos con él una bobina de N vueltas. Cuanto menor sea el área encerrada en una espira mayor será el número de vueltas. Demostrar que en el caso de un conductor de longitud determinada por el que circula una corriente I, se obtiene el momento dipolar magnético máximo con una bobina de una sola vuelta y que el valor del momento dipolar es IL2 /4π. (Sólo es necesario considerar bobinas circulares. ¿Porqué?) 177. Un disco no conductor de masa M y radio R tiene una densidad de carga superficial uniforme σ y gira con una rapidez angular ω alrededor de su eje. (a) Consideremos un anillo de radio r y anchura dr. Demostrar que la corriente total en este anillo es dI = ωσrdr. (b) Demostrar que el momento dipolar magnético del anillo es dm = πωσr3 dr. (c) Integrar el resultado de la parte (b) para demostrar que el momento dipolar magnético total del disco es m = πωσR4 /4. (d) Demostrar que el momento dipolar magnético m y el momento angular L está relacionados por m = (Q/2M)L, en donde Q es la carga total sobre el disco. EFECTO HALL. 178. Una cinta de metal de 2.0 cm de ancho y 0.10 cm de espesor lleva un corriente de 20.0 A y está situada en el interior de un campo magnético de 2.0 T perpendicular a la cinta. La fem Hall se mide y resulta ser de 4.27 µV. (a) Calcular la rapidez de desplazamiento de los electrones en la cinta. (b) Hallar la densidad numérica de los portadores de carga de la cinta. Resp. (a) 1.07 × 10-4 m/s, (b) 5.85 × 1028 electrones/m3 179. La sangre contiene iones cargados de modo que al moverse desarrollo un voltaje Hall a través del diámetro de una arteria. Una arteria gruesa con un diámetro de 0.85 cm tiene una rapidez de flujo de 0.60 m/s. Si una sección de esta arteria se encuentra en un campo magnético de 0.20 T, ¿cuál es la diferencia de potencial a través del diámetro de la arteria? Resp. 1.02 × 10-3 V 180. El berilio tiene una densidad de 1.83 g/cm3 y una masa molecular de 9.01 g/mol. Una cinta de berilio de espesor 1.4 mm y anchura 1.2 cm transporta una corriente de 3.75 A en una región donde existe un campo magnético de magnitud 1.88 T perpendicular a la cinta. El voltaje Hall es de 0.130 µV. (a) Calcular la densidad numérica de los portadores de carga. (b) Calcular la densidad numérica de los átomos de berilio. (c) ¿Cuántos electrones libres existen por átomo de berilio? FLUJO MAGNÉTICO. 181. Una bobina circular tiene 25 vueltas y un radio de 5.0 cm. Se encuentra en el ecuador donde el campo magnético es de 7.0 × 10-5 T hacia el norte. Determinar el flujo magnético a través de la bobina cuando (a) su plano es horizontal, (b) su plano es vertical y su eje apunta hacia el norte, (c) su plano es vertical y su eje apunta hacia el este, y (d) su plano es vertical y su eje forma un ángulo de 300 con el norte. 16
- 17. Fís. Jorge EduardoAguilar Rosas ÁREA DE FÍSICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA ITESO 182. Determinar el flujo magnético a través de un solenoide de 25.0 cm de longitud, 1.0 cm de radio y 400 vueltas, que transporta una corriente de 3.0 A. Resp. 7.58 × 10-4 Wb. 183. Un campo magnético B es perpendicular a la base de una semiesfera de radio R. Calcular el flujo magnético que atraviesa la superficie esférica de la semiesfera. Resp. BπR2 . FEM INDUCIDA Y LEY DE FARADAY. 184. Se establece un campo magnético B perpendicular al plano de una espira de radio 5.0 cm, 0.4 Ω de resistencia y una autoinducción despreciable. El valor de B se aumenta a un ritmo de 40.0 mT/s. (a) Hallar la fem inducida en la espira, (b) la corriente inducida en la espira, y (c) la producción de calor en la espira por unidad de tiempo. 185. El flujo magnético que atraviesa una espira viene dado por Φm = (t2 – 4t) × 10-1 Tm2 , viniendo dado t en segundos. (a) Hallar la fem inducida en función del tiempo. (b) Hallar el flujo y la fem en t = 0.0, t = 2.0 s, t = 4.0 s, y t = 6.0 s. 186. (a) En el caso del flujo dado en el problema anterior, hacer una representación del flujo en función del tiempo, y de la fem en función del tiempo. (b) ¿En qué instante es máximo el flujo? (c) En qué momento es cero el flujo? ¿Cuál es la fem en estos momentos? Resp. (b) Para t = 2.0 s, Φm tiene su máximo valor negativo; Φm aumenta indefinidamente cuando t tiende a infinito, (c) Φm = = a t = 0, t = 4.0 s; para t = 0, ξ = 0.40 V, y para t = 4.0 s, ξ = -0.40 V. 187. Una bobina circular de 100 vueltas tiene un diámetro de 2.0 cm y una resistencia de 50 Ω. El plano de la bobina es perpendicular a un campo magnético uniforme de 1.0 T. El campo sufre una inversión de sentido repentina. (a) Hallar la carga total que pasa a través de la bobina. Si la inversión emplea un tiempo de 0.1 s, hallar (b) la corriente media que circula por dicho circuito, y (c) la fem media en el mismo. 188. Demostrar que si el flujo que atraviesa cada vuelta de una bobina de N vueltas y resistencia R varía desde Φm1 hasta Φm2 de cualquier manera, la carga total que pasa por la bobina viene dada por Q = N(Φm1 - Φm2)/R. 189. Una espira rectangular de 10.0 cm por 5.0 cm y con una resistencia de 2.5 Ω se mueve por una región de un campo magnético uniforme de 1.7 T, con una velocidad de 2.4 cm/s, como se muestra en la figura. El extremo delantero de la espira entra en la región del campo magnético en t = 0. (a) Hallar el flujo magnético que atraviesa la espira en función del tiempo y dibujar un gráfico del mismo. (b) Hallar la fem y la corriente inducida en la espira en función del tiempo y dibujar un gráfico de las mismas. Despreciar cualquier autoinducción de la espira y ampliar los gráficos desde t = 0 hasta t = 16.0 s. 20 cm 10 cm 5 cm v B x Resp. (a) 0 s ≤ t ≤ 4.17 s, Φm = (2.04 × 10-3 Wb/s)t; 4.17 s ≤ t ≤ 8.33 s, Φm = 8.50 × 10-3 Wb; 8.33 s ≤ t ≤ 12.5 s, 8.50 × 10-3 Wb - (2.04 × 10-3 Wb/s)(t – 8.33); t > 12.5, Φm = 0. 190. En la figura, la barra posee una resistencia R y los rieles son de resistencia despreciable. Una batería de fem ξ y resistencia interna despreciable se conecta entre los puntos a y b de tal modo que la corriente en la barra está dirigida hacia abajo. La barra se encuentra en reposo en el instante t = 0. (a) Determinar la fuerza que actúa sobre la barra en función de la rapidez v y escribir la segunda Ley de Newton para la barra. (b) Demostrar que la barra alcanza una rapidez terminal y determinar la expresión correspondiente. (c) ¿Cuál es el valor de la intensidad de corriente cuando alcanza su rapidez terminal? b B R d a Resp. (a) F = (ξ - Bvd)Bd/R = m dv/dt, (b) vt = ξ/Bd, (c) 0. 191. Una barra conductora de masa m y resistencia R puede deslizarse libremente sin rozamiento a lo largo de los rieles paralelos de resistencia despreciable, separados por una distancia b e inclinados un ángulo θ con la horizontal. Existe un campo magnético dirigido hacia arriba. (a) Demostrar la existencia de una fuerza “retardadora” dirigida según la inclinación hacia arriba, dada por F = (B2 b2 vcos2 θ)/R. (b) Demostrar que la rapidez terminal de la barra es 17
- 18. Fís. Jorge EduardoAguilar Rosas ÁREA DE FÍSICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA ITESO vt = (mgRsenθ)/(B2 b2 cos2 θ). LEY DE LENZ. 192. Las dos espiras de la figura tienen sus planos paralelos entre sí. Cuando se mira desde B hacia A, existe una corriente en A en sentido contrario a las agujas del reloj. Dar el sentido de la corriente en la espira B y establecer si las espiras se atraen o se repelen entre sí, si la corriente en A está (a) creciendo, y (b) decreciendo. BA I 193. Un imán en forma de barra se mueve con velocidad constante a lo largo del eje de una espira como se indica en la figura. (a) Hacer un esquema cualitativo del flujo Φm que atraviesa la espira en función del tiempo. Indicar el tiempo t1 en que el imán está introducido a la mitad de la espira. (b) Hacer un esquema de la corriente I que hay en la espira en función del tiempo, escogiendo I positivo cuando tiene sentido contrario al de las agujas del reloj vista la espira desde la izquierda. S N V0 194. Dar el sentido de la corriente inducida en el circuito de la derecha de la figura cuando a la resistencia del circuito de la izquierda repentinamente se le hace (a) crecer, (b) decrecer. ξ R FEM DE MOVIMIENTO. 195. En la figura, sea B = 0.8 T, v = 10.0 m/s, d = 20.0 cm y R = 2.0 Ω. Hallar (a) la fem inducida en el circuito, (b) la corriente en el circuito, y (c) la fuerza necesaria para mover la barra con velocidad constante suponiendo un rozamiento despreciable. (d) Hallar la potencia suministrada por la fuerza hallada en la parte (c), y (e) la producción de calor por unidad de tiempo. R b B v d a 196. Un campo magnético uniforme de magnitud 1.2 T posee la dirección del eje Z. Una barra conductora de longitud 15.0 cm se encuentra paralelamente al eje Y y oscila en la dirección X con una elongación dada por x = (2.0 cm) cos(120πt). ¿Cuál es la fem inducida en la barra? GENERADORES Y MOTORES. 197. Una bobina de 200 vueltas posee un área de 4.0 cm2 . Gira dentro de un campo magnético de 0.5 T. (a) ¿Cuál es la frecuencia de rotación necesaria para generar una fem máxima de 10.0 V? (b) Si la frecuencia de rotación de la bobina es de 60.0 Hz, ¿cuál es la fem máxima? 198. ¿Cuál debe ser el valor del campo magnético para que la bobina del problema anterior, genere una fem máxima de 10.0 V a 60.0 Hz? Resp. 0.332 T 199. La espira rectangular de un generador de corriente alterna de dimensiones a y b tiene N vueltas. Esta espira se conecta a unos anillos colectores (ver figura) y gira con una rapidez angular ω en el interior de un campo magnético uniforme B. (a) Demostrar que la diferencia de potencial entre los anillos es ξ = NbaBω sen(ωt). (b) Si a = 1.0 cm, b = 2.0 cm, N = 1000 vueltas, y B = 2.0 T, ¿con qué frecuencia angular ω deberá hacerse girar la bobina para generar una fem cuyo máximo valor sea 110.0 V? b N vueltas B a ω 18
- 19. Fís. Jorge EduardoAguilar Rosas ÁREA DE FÍSICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA ITESO Resp. (b) 275 rad/s 200. Para limitar la corriente consumida por un motor en el arranque se dispone generalmente una resistencia en serie con el motor. La resistencia se retira cuando el motor alcanza la rapidez operativa. (a) ¿Qué resistencia debe situarse en serie con un motor de resistencia 0.75 Ω que consume 8.0 A cuando opera a 220.0 V si la corriente no ha de exceder los 15.0 A? (b) ¿Cuál es la fuerza contraelectromotriz (fem) de este motor cuando alcanza la rapidez operativa y se suprime la resistencia? Resp. (a) 13.9 Ω, (b) 214.0 V. INDUCTANCIA. 201. Por una bobina de autoinducción de 0.8 H circula una corriente de 3.0 A, y varía a razón de 200.0 A/s. (a) Hallar el flujo magnético que atraviesa la bobina. (b) Hallar la fem inducida en la misma. 202. Dos soleniodes de radios 2.0 cm y 5.0 cm son coaxiales. Cada uno de ellos tiene 25.0 cm de longitud y poseen respectivamente 300 y 1000 vueltas. Determinar su inductancia mutua. Resp. 1.89 mH. 19
- 20. Fís. Jorge EduardoAguilar Rosas ÁREA DE FÍSICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA ITESO CIRCUITOS RL. 203. La corriente en un circuito RL es cero en el instante t = 0 y aumenta hasta la mitad de su valor final en 4.0 s. (a) ¿Cuál es la constante de tiempo de este circuito? (b) Si la resistencia total es de 5.0 Ω, ¿cuál es la autoinducción? 204. ¿Cuántas constantes de tiempo deben transcurrir antes de que la corriente en un circuito RL, que era inicialmente cero, alcance (a) el 90.0 %, (b) el 99.0%, y (c) el 99.9% de su valor final? 205. Dado el circuito de la figura, suponer que el interruptor S se ha cerrado durante un largo tiempo, de modo que existen corrientes estacionarias en el circuito y que el inductor L está formado por un alambre de resistencia despreciable. (a) Determinar la intensidad de la corriente suministrada por la batería, la intensidad que circula por la resistencia de 100.0 Ω y la intensidad que circula por el inductor. (b) Determinar el voltaje inicial entre los extremos del inductor cuando se abre el interruptor S. (c) Determinar la corriente en el inductor en función del tiempo a partir del instante de la apertura del interruptor S. 10 Ω 100 Ω 10 V 2.0 H S 4 V Resp. (a) IB = I10 = IL = 1.0 A, I100 = 0.0 A, (b) I(t) = (1.0 A)e-50t . 206. Determinar el en circuito de la figura, (a) la variación de la intensidad de la corriente con el tiempo en cada inductor y en la resistencia en el momento justo después de cerrar el interruptor. (b) ¿Cuál es la corriente final? 15 Ω 8.0 mH 24 V 4.0 mH S 4 V Resp. (a) En el caso de la resistencia, dI/dt = 9.0 × 103 A/s; en las bobinas, dI8/dt = 3.0 × 103 A/s dI4/dt = 6.0 × 103 A/s, (b) 1.6 A. 207. Determinar en el circuito de la figura las corrientes I1, I2 e I3 (a) inmediatamente después de cerrar el interruptor S, y (b) un largo tiempo después de haberlo cerrado. Después de cerrado el interruptor un largo tiempo, se abre de nuevo. Determinar los valores de las tres corrientes (c) inmediatamente después de la apertura, y (d) un largo tiempo después de abrir el interruptor. 10 ΩΙ1 20 Ω Ι2 150 V 2.0 H S 4 V 20 ΩΙ3 ENERGÍA MAGNÉTICA. 208. En un circuito RL con una batería de fem igual a 12.0 V, R = 3.0 Ω, y L = 0.6 H, el interruptor se cierra en el instante t = 0. En el tiempo t = 5.0 s, hallar (a) el ritmo con que la batería suministra la potencia, (b) la energía por unidad de tiempo en forma de calor, y (c) la rapidez con que se almacena energía en la bobina. 209. Repetir el problema anterior para los instantes t = 1.0 s y t = 100.0 s. Resp. (a) t = 1.0, P = 47.7 W; t = 100.0 s, P = 48.0 W, (b) t = 1.0,I2 R = 47.4 W; t = 100.0 s, I2 R = 48.0 W, (c) t = 1.0, dUm/dt = 0.321 W; t = 100.0 s, dUm/dt = 0.0 W 210. Hallar (a) la energía magnética, (b) la energía eléctrica, y (c) la energía total en un volumen de 1.0 m3 en el que existe un campo magnético de 1.0 T y un campo eléctrico de 104 V/m. Resp. (a) 3.98 × 105 J, (b) 4.43 × 10-4 J, (a) 3.98 × 105 J. 211. En una onda electromagnética plana, tal como una onda luminosa, los valores de los campos eléctrico y magnético están relacionados por E = cB, en donde c = 1/(ε0µ0)1/2 es la rapidez de la luz. Demostrar que en este caso las densidades de energía eléctrica y magnética son iguales. 212. Por un solenoide de 2000 vueltas, 4.0 cm2 de área y una longitud de 30.0 cm, circula una corriente de 4.0 A. (a) Calcular la energía magnética mediante la expresión LI2 /2. (b) Dividir la respuesta obtenida en la parte (a) por el volumen del solenoide para hallar la densidad de energía magnética. (c) Hallar B en el solenoide. (d) Calcular la densidad de energía magnética a partir de B2 /(2µ0), y compararla con la obtenida en la parte (b). Resp. (a) 53.6 mJ, (b) 447 J/m3 , (c) 33.5 mT, (d) 447 J/m3 . CIRCUITOS CON CA. 213. Una resistencia de 3.0 Ω se coloca en serie con una fuente de 12.0 V (máximo) de 60.0 Hz de frecuencia. (a) ¿Cuál es la frecuencia angular de la corriente? (b) Hallar IMAX e Ief. ¿Cuál es (c) la potencia máxima debida a la resistencia, (d) la potencia mínima, y (e) la potencia media? 20
- 21. Fís. Jorge EduardoAguilar Rosas ÁREA DE FÍSICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA ITESO 214. Un circuito LC tiene un capacitor C1 y una bobina de inductancia L1. Un segundo circuito tiene una capacitancia C2 = C1/2, y L2 = 2L1, y un tercer circuito tiene C3 = 2C1, y L3 = L1/2. (a) Demostrar que los tres circuitos oscilan a la misma frecuencia. (b) ¿En qué circuito será más elevada la corriente máxima si la capacitancia correspondiente se carga siempre al mismo potencial V? 215. Un circuito serie LCR con L = 10.0 mH, C = 2.0 µF y R = 5.0 Ω, está conectado a una fuente de 100.0 V de fem máxima y con una frecuencia angular variable ω. Hallar (a) la frecuencia de resonancia ω0, y (b) el valor de Ief en la resonancia. Cuando ω = 8000 rad/s, hallar (c) XC y XL, (d) Z e Ief, y (e) el ángulo de fase δ. 216. Un circuito serie LCR de un receptor de radio se sintoniza mediante un capacitor variable de modo que pueda resonar a frecuencias comprendidas entre 500 y 1600 kHz. Si L = 1.0 µH, hallar el intervalo de valores de la capacitancia necesarios para cubrir el margen de frecuencias señalado. 217. Un transformador tiene 40 vueltas en el primario y 8 en el secundario. (a) ¿Es un transformador elevador o reductor? (b) Si se conecta el primario a una fuente de 120.0 V eficaces, ¿cuál es el potencial en el circuito abierto que aparece en el secundario? (c) Si la corriente del primario es de 0.1 A, ¿cuál es la corriente del secundario admitiendo que existe una corriente imantadora despreciable y que no hay ninguna pérdida de potencia? Resp. (a) Un transformador reductor, (b) 2.4 V eficaces, (c) 5.0 A. 218. Un transformador tiene en el primario 500 vueltas, que está conectado a 120.0 V eficaces. Su bobina secundaria posee tres conexiones para dar tres salidas de 2.5, 7.5 y 9.0 V. ¿Cuántas vueltas son necesarias para cada una de las partes de la bobina secundaria? Resp. 10.4 vueltas para 2.5 V; 31.3 vueltas para 7.5 V; y, 37.5 vueltas para 9.0 V. 219. La corriente máxima de salida de un circuito rectificador de media onda es de 3.5 A. (a) Hallar la corriente eficaz. (b) Hallar la corriente eficaz si el circuito es rectificador de onda completa con la misma corriente máxima. Resp. (a) 1.75 A, (b) 2.47 A. 220. Una onda cuadrada tiene un potencial máximo V0 = 12.0 V. (a) ¿Cuál es el potencial eficaz? (b) Si se rectifica esta onda de modo que sólo permanezcan los potenciales positivos, ¿Cuál será ahora el potencial eficaz de la onda rectificada? Resp. (a) 12.0 V, (b) 8.49 V. 221. Una corriente pulsante tiene un valor constante de 15.0 A durante el primer 0.1 s de cada segundo y luego 0.0 A durante 0.9 s de cada segundo. (a) ¿Cuál es el valor eficaz de esta onda? (b) Cada pulso se genera mediante un pulso de 100.0 V. ¿Cuál es la potencia media que proporciona el generador de pulsos? 222. Un circuito serie RL se encuentra conectado a una fuente de 110.0 V, de 60.0 Hz de frecuencia. El valor de la resistencia es de R = 50 Ω, y la caída de potencial en ella es de 50.0 V. Sea r la resistencia del alambre de la bobina. La caída de potencial en la bobina (serie de r y L) es de 90.0 V. (a) Hallar la pérdida de potencia en la bobina. (b) Hallar la resistencia r. (c) Hallar la inductancia L. Resp. (a) 15.0 W, (b) 15.0 Ω, (c) 0.235 H 223. Por una bobina circula 15.0 A cuando se conecta a una línea de 220.0 V de ca y 60.0 Hz. Cuando se pone en serie con una resistencia de 4.0 Ω y se conecta la combinación a una batería de 100.0 V, se observa que la corriente que proporciona la batería al cabo de un tiempo largo es de 10.0 A. (a) ¿Cuál es la resistencia de la bobina? (b) ¿Cuál es la inductancia de la misma? Resp. (a) 6.0 Ω, (b) 35.5 mH. 224. Se conecta una bobina a una fuente de ca de 100.0 V y 60.0 Hz. A esta frecuencia la bobina tiene una impedancia de 10.0 Ω y una reactancia de 8.0 Ω. (a) ¿Cuál es la corriente en la bobina? (b) ¿Cuál es el ángulo de fase entre la corriente y el voltaje aplicado? (c) ¿Qué capacitancia en serie se requiere para que estén en fase la corriente y el voltaje? (d) ¿Cuál será entonces el voltaje medido en el capacitor? 225. Un circuito serie RCL con R = 400.0 Ω, L = 0.35 H y C = 5.0 µF se conecta a una fuente de frecuencia variable. (a) ¿Cuál es la frecuencia de resonancia? Hallar f y f/f0 cuando en ángulo de fase es (b) 600 , y (c) –600 . 226. Se conecta un circuito serie RCL a una línea de 60.0 Hz y 120.0 V eficaces, la corriente es Ief = 11.0 A y está adelantada respecto al voltaje de la fuente en 450 . (a) Hallar la potencia suministrada al circuito. (b) ¿Cuál es la resistencia? (c) Si la inductancia es L = 50.0 mH, hallar la capacitancia C. (d) ¿qué capacitancia o inductancia habría que añadir para conseguir que el factor de potencia fuera 1.0? Resp. (a) 933 W, (b) 7.71 Ω, (c) 99.8 µF, (d) Añadir una capacitancia de C = 40.9 µF. 21