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FLUJO ELECTRICO 
El número de líneas por unidad de área es 
proporcional a la magnitud del campo eléctrico. 
E  EA Sus unidades son N.m /C 2 
El flujo eléctrico es proporcional al número de 
líneas de campo eléctrico que penetran alguna 
superficie 
Debido a que el número de 
líneas que atraviesan A’ es igual 
al número de líneas que 
atraviesan A, el flujo a través de 
A’ es igual al flujo a través de A. 
EA EAcos E    
  
E i i i i E A E A 
   cos   
E E dA 
    
erficie 
sup 
  
CASO DE UNA SUPERFICIE CERRADA 
El flujo neto a través de la superficie 
es proporcional al número de líneas 
que abandonan la superficie, donde 
neto significa el número de las que 
abandonan la superficie menos el 
número de las que entran a la 
superficie.
EJEMPLO 
Considere un campo eléctrico uniforme E orientado en la dirección x. 
Encuentre el flujo eléctrico neto a través de la superficie de un cubo de 
lados l orientado como se indica en la figura. 
    
E dA E dA E 
       
1 2 
E dA E dA E cos180 cos0 
0      
2 
0 
1 
2 2 E E E     
  0 E
LEY DE GAUSS 
q 
2 r 
E  k 
  
E dA E dA E      cos0 0 
  E dA EA E 
 2  
q 
E  
2 
0 
4 
4 
1 
r 
r 
 
  
q 
0  
E   
q 
  
q es la carga 
encerrada por la 
   E  dA  
E superficie gaussiana.  
0
Dos casos sobre la ley de Gauss
PROBLEMA 
Una superficie gaussiana esférica rodea a una carga puntual q. 
Describa lo que sucede con el flujo a través de esta superficie si: 
a) Se triplica la carga. 
b) Se duplica el radio de la esfera. 
c) La superficie es cambiada por la de un cubo. 
d) Se mueve la carga hacia otra posición dentro de la superficie.
APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS 
Calcule el campo eléctrico de un carga puntual aislada q. 
q 
0  
  
 E  dA  
q 
0  
EA  
  
0 
2 4 
 
 
q 
E r  
q 
 2 
r 
2 1 
0 4 
r 
E 
 
q 
E  k
EJEMPLO 
Un cascaron esférico delgado de radio a tiene una carga total Q distribuida 
uniformemente sobre su superficie. Calcule el campo eléctrico fuera de la 
esfera y dentro de la misma. 
q 
0  
  
 E  dA  
Q 
0  
EA  
  
0 
2 4 
 
 
Q 
E r  
Superficie 
gaussiana 
cascarón 
esférico 
Q 
r 
Q 
 2 
r 
2 1 
0 4 
r 
E 
 
Q 
E  k 
Campo eléctrico 
fuera de la esfera 
a 
El campo eléctrico dentro de la esfera es cero porque la superficie 
gaussina no encierra carga alguna.
EJEMPLO 
Calcule el campo eléctrico a una distancia r de una línea infinita de carga por 
unidad de longitud λ. 
q 
0  
  
 E  dA  
  
0  
EA  
  
 
0 
2 
 
 
 
E r  
r 
E 
 
0 2 

EJEMPLO 
Encuentre el campo eléctrico debido a un plano infinito no conductor de 
carga positiva con densidad de carga superficial uniforme σ. 
q 
0  
  
 E  dA  
    
      
1 2 
A 
0  
E dA E dA 
A 
0  
EA  EA  
 
0 2 
E 
CONDUCTORES EN EQUILIBRIO ELECTROSTATICO 
Un conductor en equilibrio electrostático tiene las siguientes propiedades: 
1. El campo eléctrico es cero en cualquier parte dentro del conductor. 
2. Si un conductor aislado transporta una carga, esta última reside en su 
superficie. 
3. El campo eléctrico afuera de un conductor cargado es perpendicular a 
la superficie del conductor y tiene una magnitud σ/ε0, donde σ es la 
densidad de carga superficial en ese punto. 
4. En un conductor de forma irregular, la densidad de carga superficial 
es mayor en puntos donde el radio de curvatura de la superficie es 
más pequeño.
Una placa conductora en un campo eléctrico 
externo E. 
Campo eléctrico justo afuera de un 
conductor cargado
CAMPO ELECTRICO AFUERA DE UN CONDUCTOR CARGADO 
  
   
A 
0  
E dA 
A 
0  
EA  
 
 E 
0 
VERIFICACION DE LAS LEYES DE GAUSS Y DE COULOMB
EJEMPLO 
Una esfera sólida aislante de radio a tiene una carga volumétrica de densidad ρ y lleva 
una carga total positiva Q. 
a) Calcule la magnitud del campo eléctrico en un punto fuera de la esfera. 
  q 
enc E r  Q 
0  
 E dA  
q 
EA enc 
0 
2 
   
0 
4  
 
equivale al campo de una carga puntual. Como si toda la carga 
estuviera concentrada en el centro de la esfera. 
4 
1 
Q 
2 
0 r 
E 
 
 
b) Calcule el campo eléctrico en un punto dentro de la esfera. 
enc q 
0  
  
 E dA  
Q 
r 
a 
q 
Q 
a 
r 
q 
enc 
enc 
3 
4 
3 3 
3 
4 
3 
 
 
 
 
   
  
  
Q 
1 
 
EA   r 
0 
3 
3 
2 
0 
3 
3 
4 
 
 
 
Q 
r 
a 
E r 
Q 
r 
a 
E 3 
a 
0 4 

 Para r > a 
4 
1 
Q 
2 
0 r 
E 
 
r 
Q 
1 
 
E 3 
 Para r 
a 
0 4
CONDUCTORES EN EQUILIBRIO ELECTROSTATICO 
Condiciones para que un conductor se encuentre en equilibrio electrostático. 
1. El campo eléctrico es cero en cualquier lugar dentro del conductor. 
2. Si un conductor aislado tiene una carga, la carga reside en su superficie. 
3. El campo eléctrico justamente afuera de un conductor cargado es perpendicular 
a la superficie del conductor y tiene una magnitud de σ/ε0 , donde σ es la 
densidad de carga superficial en ese punto. 
4. En un conductor de forma irregular, la densidad de carga superficial es muy 
grande en los lugares donde el radio de curvatura de la superficie es el más 
pequeño. 
Se muestra una muestra metálica en un campo 
eléctrico externo. Las cargas inducidas en las dos 
superficies del metal producen un campo eléctrico 
que se opone al campo externo, dando como 
resultado un campo cero en el interior del metal.
CAMPO EN LA SUPERFICIE DE UN CONDUCTOR CON CARGA 
퐸 ∙ 푑퐴 = 
푞푒푛푐 
휀0 
= 
휎퐴 
휀0 
A 
0  
EA  
 
 E 
0  
Campo en la 
superficie de 
un conductor 
en equilibrio 
electrostático
Una esfera conductora sólida de radio a lleva una carga neta positiva de 2Q. Un 
cascarón esférico conductor de radio interior b y radio exterior c es concéntrico con 
la esfera sólida y lleva una carga neta –Q. Usando la ley de Gauss, calcule el campo 
eléctrico en las regiones marcadas con y y la distribución de carga en 
el cascarón cuando el sistema entero está en equilibrio electrostático. 
Para r < a el campo eléctrico es cero. 
Para a < r < b: 
q 2 
Q 
EA enc   
  
0 0 
Q 
2 
0 
2 
4 
1 
r 
E 
 
 
Q 
2 
2 
r 
E  k 
Para b < r < c: el campo eléctrico es 
cero. 
Para r > c: 
q 2 
Q  
Q Q 
1 
Q 
  2 
EA enc  
   
0 0 0 
0 4 
r 
E 
 
 
Q 
2 r 
E  k
Un cono que tiene en la base un radio R y una altura h, es colocado sobre una 
superficie horizontal. Un campo eléctrico horizontal e uniforme penetra el cono 
como se muestra en la figura. Determine el flujo eléctrico que entra por el lado 
izquierdo del cono.
Una carga puntual Q se halla justo arriba del centro de la cara plana de un hemisferio 
de radio R, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el flujo eléctrico: 
a) A través de la superficie curva? 
b) A través de la cara plana?
Un alambre infinitamente largo tiene una carga por unidad de longitud λ y se halla a 
una distancia d de un punto O, como se muestra en la figura. Calcule el flujo eléctrico 
total a través de la superficie de una esfera de radio R centrada en O como resultado 
de esta línea de carga. Considere ambos casos: cuando R< d, y cuando R > d. 
.d 
O
PROBLEMA 
Un cilindro aislante largo e infinito de radio R tiene una densidad de carga volumétrica 
que varía con el radio como: 
 
 
 
 
  
 
 
r 
b 
a 0   
; y son constantes positivas y es la distancia desde el eje del cilindro. 0  a b r 
Use la ley de Gauss para determinar la magnitud del campo eléctrico a distancias 
radiales: (a) r < R (b) r > R. 
 
 
l 
0 2 
       
dQ dV  a 2 0  
rldr 
r 
b 
 
 
 
r r 
r dr 
b 
Q al rdr 
0 
0 
0 
2 
2 
  
  
 
  
 
 
  
r r 
  
 
ab 
Q al 
2 3 
2 
2 3 
 
 
al r r 
2 1 
 
r 
2 
 
  
       0  
 
 
 
  
 
 
b 
a 
r 
E 
ab 
E rl 
3 
2 3 2 
2 
0 
0 
0 
2 
0 
 
 
 
fuera del cilindro
Una carga puntual Q se localiza sobre el eje de un disco de radio R a una distancia b 
desde el plano de un plano. Demuestre que si un cuarto del flujo eléctrico desde la 
carga pasa a través del disco, entonces 푅 = 3푏. 
El flujo total a través de una superficie que encierra la carga 
Q es 
푄 
휀0 
. El flujo a través del disco es:∅푑푖푠푐표 
= 퐸 ∙ 푑퐴 
Debemos evaluar esta integral e igualarla a 
1 
4 
푄 
휀0 
para 
hallar cómo b y R están relacionados. 
El flujo a través del disco es 
1 
4 
푑Φ 퐸,푑푖푠푐표 = 
푄 
휀0 
y así: 
1 
4휋휀0 
푄푏 
푠2 + 푏2 
2휋푠푑푠 
푠2 + 푏2 1 
2 
−
Dos planos infinitos de carga no conductores están en posición paralela uno con 
respecto al otro. El plano de la izquierda tiene una densidad uniforme de carga por 
unidad de superficie 휎, y el otro que está hacia la derecha tiene una densidad 
uniforme superficial−휎. Calcule el campo eléctrico a la izquierda, en el centro y a la 
derecha de los planos. 
A la izquierda 퐸 = 0 
En el centro 푬 = 
훔 
훆ퟎ 
hacia la derecha. 
A la derecha 퐸 = 0
Una superficie cerrada con dimensiones 푎 = 푏 = 0.400푚 y 푐 = 0.600푚 está 
ubicado como se muestra en la figura. El campo eléctrico a través de la región es no 
uniforme y está dado por: 퐸 = 3.0 + 2.0푥2 푖 푁 
퐶 , donde 푥 está en metros. 
Calcule el flujo eléctrico neto que sale de la superficie cerrada. ¿Qué carga neta está 
encerrada por la superficie?
Una esfera no conductora de radio 푅 tiene una densidad volumétrica de carga positiva que 
varía radialmente como se muestra en la figura. 
a) Calcule el campo eléctrico a una distancia 푎 medida a partir del centro de la esfera. 
휌0 
휌 
0 푟 
푎 푅 
푦 = 푚푥 + 푏 휌 = − 
휌0 
푅 
푟 + 휌0 
푞 = 
푎 
휌푑푉 = 
0 
푎 
0 
− 
휌0 
푅 
푟 + 휌0 4휋푟2푑푟 
푞 = −4휋 
휌0 
푅 
푎 
푟3푑푟 + 4휋휌0 
0 
푎 
푟2푑푟 
0 
푞 = 4휋 
휌0 
푅 
푎4 
4 
+ 4π휌0 
푎3 
3 
= 휋휌0 
4푎3 
3 
− 
푎4 
푅 퐸 4휋푎2 = 
휋휌0 
휀0 
4푎3 
3 
− 
푎4 
푅 
퐸 = 
휌0 
휀0 
푎 
3 
− 
푎2 
4푅 
b) ¿Cuál será el potencial eléctrico en un punto a una distancia 푟 > 푅? (considere cero 
el potencial en el infinito). 
푄 = 
푅 
휌푑푉 = 
0 
푅 
0 
휌0 − 
휌0 
푅 
푟 4휋푟2 푑푟 푄 = 4휋휌0 
푟3 
3 
푅 
− 4휋 
휌0 
푅 
푟4 
4 
푅 
푉푟 = 
1 
4휋휀0 
푄 
푟 
푉푟 = 
휌0 
12 
푅3 
휀0 
1 
푅3 
3 
− 휋휌0푅3 푄 = 
휋휌0푅3 
푄 = 4휋휌0 푟 
3

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  • 1.
  • 2. FLUJO ELECTRICO El número de líneas por unidad de área es proporcional a la magnitud del campo eléctrico. E  EA Sus unidades son N.m /C 2 El flujo eléctrico es proporcional al número de líneas de campo eléctrico que penetran alguna superficie Debido a que el número de líneas que atraviesan A’ es igual al número de líneas que atraviesan A, el flujo a través de A’ es igual al flujo a través de A. EA EAcos E    
  • 3.
  • 4.   E i i i i E A E A    cos   E E dA     erficie sup   CASO DE UNA SUPERFICIE CERRADA El flujo neto a través de la superficie es proporcional al número de líneas que abandonan la superficie, donde neto significa el número de las que abandonan la superficie menos el número de las que entran a la superficie.
  • 5. EJEMPLO Considere un campo eléctrico uniforme E orientado en la dirección x. Encuentre el flujo eléctrico neto a través de la superficie de un cubo de lados l orientado como se indica en la figura.     E dA E dA E        1 2 E dA E dA E cos180 cos0 0      2 0 1 2 2 E E E       0 E
  • 6. LEY DE GAUSS q 2 r E  k   E dA E dA E      cos0 0   E dA EA E  2  q E  2 0 4 4 1 r r    q 0  E   q   q es la carga encerrada por la    E  dA  E superficie gaussiana.  0
  • 7. Dos casos sobre la ley de Gauss
  • 8. PROBLEMA Una superficie gaussiana esférica rodea a una carga puntual q. Describa lo que sucede con el flujo a través de esta superficie si: a) Se triplica la carga. b) Se duplica el radio de la esfera. c) La superficie es cambiada por la de un cubo. d) Se mueve la carga hacia otra posición dentro de la superficie.
  • 9. APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS Calcule el campo eléctrico de un carga puntual aislada q. q 0     E  dA  q 0  EA    0 2 4   q E r  q  2 r 2 1 0 4 r E  q E  k
  • 10. EJEMPLO Un cascaron esférico delgado de radio a tiene una carga total Q distribuida uniformemente sobre su superficie. Calcule el campo eléctrico fuera de la esfera y dentro de la misma. q 0     E  dA  Q 0  EA    0 2 4   Q E r  Superficie gaussiana cascarón esférico Q r Q  2 r 2 1 0 4 r E  Q E  k Campo eléctrico fuera de la esfera a El campo eléctrico dentro de la esfera es cero porque la superficie gaussina no encierra carga alguna.
  • 11.
  • 12. EJEMPLO Calcule el campo eléctrico a una distancia r de una línea infinita de carga por unidad de longitud λ. q 0     E  dA    0  EA     0 2    E r  r E  0 2 
  • 13. EJEMPLO Encuentre el campo eléctrico debido a un plano infinito no conductor de carga positiva con densidad de carga superficial uniforme σ. q 0     E  dA            1 2 A 0  E dA E dA A 0  EA  EA   0 2 E 
  • 14. CONDUCTORES EN EQUILIBRIO ELECTROSTATICO Un conductor en equilibrio electrostático tiene las siguientes propiedades: 1. El campo eléctrico es cero en cualquier parte dentro del conductor. 2. Si un conductor aislado transporta una carga, esta última reside en su superficie. 3. El campo eléctrico afuera de un conductor cargado es perpendicular a la superficie del conductor y tiene una magnitud σ/ε0, donde σ es la densidad de carga superficial en ese punto. 4. En un conductor de forma irregular, la densidad de carga superficial es mayor en puntos donde el radio de curvatura de la superficie es más pequeño.
  • 15. Una placa conductora en un campo eléctrico externo E. Campo eléctrico justo afuera de un conductor cargado
  • 16. CAMPO ELECTRICO AFUERA DE UN CONDUCTOR CARGADO      A 0  E dA A 0  EA    E 0 
  • 17. VERIFICACION DE LAS LEYES DE GAUSS Y DE COULOMB
  • 18. EJEMPLO Una esfera sólida aislante de radio a tiene una carga volumétrica de densidad ρ y lleva una carga total positiva Q. a) Calcule la magnitud del campo eléctrico en un punto fuera de la esfera.   q enc E r  Q 0   E dA  q EA enc 0 2    0 4   equivale al campo de una carga puntual. Como si toda la carga estuviera concentrada en el centro de la esfera. 4 1 Q 2 0 r E   b) Calcule el campo eléctrico en un punto dentro de la esfera. enc q 0     E dA  Q r a q Q a r q enc enc 3 4 3 3 3 4 3            Q 1  EA   r 0 3 3 2 0 3 3 4    Q r a E r Q r a E 3 a 0 4 
  • 19.  Para r > a 4 1 Q 2 0 r E  r Q 1  E 3  Para r a 0 4
  • 20. CONDUCTORES EN EQUILIBRIO ELECTROSTATICO Condiciones para que un conductor se encuentre en equilibrio electrostático. 1. El campo eléctrico es cero en cualquier lugar dentro del conductor. 2. Si un conductor aislado tiene una carga, la carga reside en su superficie. 3. El campo eléctrico justamente afuera de un conductor cargado es perpendicular a la superficie del conductor y tiene una magnitud de σ/ε0 , donde σ es la densidad de carga superficial en ese punto. 4. En un conductor de forma irregular, la densidad de carga superficial es muy grande en los lugares donde el radio de curvatura de la superficie es el más pequeño. Se muestra una muestra metálica en un campo eléctrico externo. Las cargas inducidas en las dos superficies del metal producen un campo eléctrico que se opone al campo externo, dando como resultado un campo cero en el interior del metal.
  • 21. CAMPO EN LA SUPERFICIE DE UN CONDUCTOR CON CARGA 퐸 ∙ 푑퐴 = 푞푒푛푐 휀0 = 휎퐴 휀0 A 0  EA    E 0  Campo en la superficie de un conductor en equilibrio electrostático
  • 22. Una esfera conductora sólida de radio a lleva una carga neta positiva de 2Q. Un cascarón esférico conductor de radio interior b y radio exterior c es concéntrico con la esfera sólida y lleva una carga neta –Q. Usando la ley de Gauss, calcule el campo eléctrico en las regiones marcadas con y y la distribución de carga en el cascarón cuando el sistema entero está en equilibrio electrostático. Para r < a el campo eléctrico es cero. Para a < r < b: q 2 Q EA enc     0 0 Q 2 0 2 4 1 r E   Q 2 2 r E  k Para b < r < c: el campo eléctrico es cero. Para r > c: q 2 Q  Q Q 1 Q   2 EA enc     0 0 0 0 4 r E   Q 2 r E  k
  • 23. Un cono que tiene en la base un radio R y una altura h, es colocado sobre una superficie horizontal. Un campo eléctrico horizontal e uniforme penetra el cono como se muestra en la figura. Determine el flujo eléctrico que entra por el lado izquierdo del cono.
  • 24. Una carga puntual Q se halla justo arriba del centro de la cara plana de un hemisferio de radio R, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el flujo eléctrico: a) A través de la superficie curva? b) A través de la cara plana?
  • 25. Un alambre infinitamente largo tiene una carga por unidad de longitud λ y se halla a una distancia d de un punto O, como se muestra en la figura. Calcule el flujo eléctrico total a través de la superficie de una esfera de radio R centrada en O como resultado de esta línea de carga. Considere ambos casos: cuando R< d, y cuando R > d. .d O
  • 26.
  • 27.
  • 28. PROBLEMA Un cilindro aislante largo e infinito de radio R tiene una densidad de carga volumétrica que varía con el radio como:         r b a 0   ; y son constantes positivas y es la distancia desde el eje del cilindro. 0  a b r Use la ley de Gauss para determinar la magnitud del campo eléctrico a distancias radiales: (a) r < R (b) r > R.   l 0 2        dQ dV  a 2 0  rldr r b    r r r dr b Q al rdr 0 0 0 2 2            r r    ab Q al 2 3 2 2 3   al r r 2 1  r 2           0         b a r E ab E rl 3 2 3 2 2 0 0 0 2 0    fuera del cilindro
  • 29. Una carga puntual Q se localiza sobre el eje de un disco de radio R a una distancia b desde el plano de un plano. Demuestre que si un cuarto del flujo eléctrico desde la carga pasa a través del disco, entonces 푅 = 3푏. El flujo total a través de una superficie que encierra la carga Q es 푄 휀0 . El flujo a través del disco es:∅푑푖푠푐표 = 퐸 ∙ 푑퐴 Debemos evaluar esta integral e igualarla a 1 4 푄 휀0 para hallar cómo b y R están relacionados. El flujo a través del disco es 1 4 푑Φ 퐸,푑푖푠푐표 = 푄 휀0 y así: 1 4휋휀0 푄푏 푠2 + 푏2 2휋푠푑푠 푠2 + 푏2 1 2 −
  • 30. Dos planos infinitos de carga no conductores están en posición paralela uno con respecto al otro. El plano de la izquierda tiene una densidad uniforme de carga por unidad de superficie 휎, y el otro que está hacia la derecha tiene una densidad uniforme superficial−휎. Calcule el campo eléctrico a la izquierda, en el centro y a la derecha de los planos. A la izquierda 퐸 = 0 En el centro 푬 = 훔 훆ퟎ hacia la derecha. A la derecha 퐸 = 0
  • 31. Una superficie cerrada con dimensiones 푎 = 푏 = 0.400푚 y 푐 = 0.600푚 está ubicado como se muestra en la figura. El campo eléctrico a través de la región es no uniforme y está dado por: 퐸 = 3.0 + 2.0푥2 푖 푁 퐶 , donde 푥 está en metros. Calcule el flujo eléctrico neto que sale de la superficie cerrada. ¿Qué carga neta está encerrada por la superficie?
  • 32. Una esfera no conductora de radio 푅 tiene una densidad volumétrica de carga positiva que varía radialmente como se muestra en la figura. a) Calcule el campo eléctrico a una distancia 푎 medida a partir del centro de la esfera. 휌0 휌 0 푟 푎 푅 푦 = 푚푥 + 푏 휌 = − 휌0 푅 푟 + 휌0 푞 = 푎 휌푑푉 = 0 푎 0 − 휌0 푅 푟 + 휌0 4휋푟2푑푟 푞 = −4휋 휌0 푅 푎 푟3푑푟 + 4휋휌0 0 푎 푟2푑푟 0 푞 = 4휋 휌0 푅 푎4 4 + 4π휌0 푎3 3 = 휋휌0 4푎3 3 − 푎4 푅 퐸 4휋푎2 = 휋휌0 휀0 4푎3 3 − 푎4 푅 퐸 = 휌0 휀0 푎 3 − 푎2 4푅 b) ¿Cuál será el potencial eléctrico en un punto a una distancia 푟 > 푅? (considere cero el potencial en el infinito). 푄 = 푅 휌푑푉 = 0 푅 0 휌0 − 휌0 푅 푟 4휋푟2 푑푟 푄 = 4휋휌0 푟3 3 푅 − 4휋 휌0 푅 푟4 4 푅 푉푟 = 1 4휋휀0 푄 푟 푉푟 = 휌0 12 푅3 휀0 1 푅3 3 − 휋휌0푅3 푄 = 휋휌0푅3 푄 = 4휋휌0 푟 3