El documento proporciona una introducción a varios temas clave de la teoría de números, incluyendo números perfectos, abundantes, deficientes, amigos, primos gemelos, la conjetura de Goldbach y el último teorema de Fermat. Define cada concepto y proporciona ejemplos ilustrativos. También incluye algunos problemas y sus soluciones para reforzar la comprensión de los conceptos.

1. Teoría de Números Prof. Marcel Ruiz “ Las matem áticas es la reina de las ciencias, y la teoría de números es la reina de las matemáticas’ F. Gauss

2. Teoría de Números Números Perfectos Números Abundantes Números Deficientes (excesivos) Números Amigables Primos Gemelos Conjetura de Golbach Teorema de Fermat

3. Teoría de Números Números Perfectos

4. Números Perfectos Definición: Un número perfecto es un natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos, sin incluirse el mismo. Ejemplos de números perfectos 6, 28, 496, 8128, 33550336, ... 6 = 1 + 2 + 3 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

5. Números Perfectos Euclides descubrió que los cuatro primeros números perfectos vienen dados por la fórmula:

6. Números Perfectos Euclides demostró que la fórmula genera una número perfecto par siempre que es primo

7. Números Perfectos Los números perfectos equivalen a la mitad del producto entre un primo de Mersenne (M es primo si M + 1 es una potencia de 2) y el número que le sigue, es decir, una potencia de 2 con exponente n primo. 3 x 4 / 2 = 12 / 2 = 6 7 x 8 / 2 = 56 / 2 = 28 31 x 32 / 2 = 992 / 2 = 496 127 x 128 / 2 = 16256 / 2 = 8128

8. Números Perfectos Los números perfectos también son números triangulares. Se puede observar que para los números perfectos el último de los sumandos es un primo de Mersenne. 1 + 2 + 3 = 6 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ...+ 31 = 496

9. Números Perfectos Problemas no resueltos ¿Hay algún numero perfecto impar? ¿Hay infinito números perfectos?

10. Números Perfectos Problema: Se entiende por número perfecto al número natural que coincide con la suma de todos sus divisores, excluido el mismo. Encuentra un número perfecto comprendido entre 20 y 30

11. Números Perfectos Solución El número es el 28 28 = 2 2 x 7, sus divisores son 1, 2, 4 7, 14 y 28 El número es perfecto ya que: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

12. Teoría de Números Números Abundantes

13. Números Abundantes Definición: Un número n se llama abundante si es mayor que la suma de sus divisores (incluido el propio n ), es decir σ (n)>2n. El valor de σ (n)-2n es conocido como la abundancia de n Teorema: cualquier múltiplo de un número abundante o perfecto es abundante, además un número abundante posee como mínimo tres factores primos . Ejemplo: 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66,...

14. Números Abundantes Ejemplo Consideremos el número 24. sus divisores son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, la suma es igual a 60. 60 es mayor que 2(24), el número 24 es abundante, y su abundancia es 60 – 2(24) = 12

15. Números Abundantes Problema: ¿ Cuántos números abundantes hay menores que 40?

16. Números Abundantes Solución 12, 18, 20, 24, 30, 36 La suma de los factores de 12 es 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16; 16>12 por lo tanto 12 es abundante La suma de los factores de 18 es 1 + 2 + 3 + 6 + 9 = 21; 21>18 por lo tanto 18 es abundante La suma de los factores de 20 es 1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22; 22>20 por lo tanto 20 es abundante La suma de los factores de 24 es 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 = 36; 36>24 por lo tanto 24 es abundante

17. Teoría de Números Números Deficientes

18. Números Deficientes (excesivos) Definición: Un número deficiente es un número natural que es mayor que la suma de sus divisores propios exceptuándose a sí mismo. Todos los números primos son deficientes, y también sus potencias y los divisores propios de los números defectivos y perfectos. Ejemplo: 8 es un número deficiente, ya que los divisores propios de 8 son: 1, 2, 4 por lo tanto 1 + 2 + 4 = 7 y 8 > 7

19. Teoría de Números Números Amigables

20. Números Amigables Definición: Dos números se llaman amigables si la suma de los divisores propios del primero da como resultado el segundo y al revés, si la suma de los divisores propios del segundo da como resultado el primero.

21. Números Amigables Alrededor del año 850, Tabit Ibn Qurra (826-901) descubrió una fórmula general para la cual se podían hallar números amigos: si Donde n >1 es entero y p , q , y r son números primos, entonces Son un par de números amigos

22. Números Amigables Ejemplo: 220 y 284 son número amigables, esto se debe a que los divisores propios ( son todos los divisores excepto el mismo ) de 220 son: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, la suma de estos números es 284 y 1, 2, 4, 71, 142 son los divisores propios de 284 y su suma es igual a 220

23. Números Amigables Ejercicio Analiza las siguientes parejas de números y determina cuales son amigables y cuales no 1,184 y 1,210 2,620 y 2,924 6,232 y 6,368 17,296 y 18,416

24. Números Amigables Solución Todos los números son amigables

25. Teoría de Números Primos Gemelos

26. Números Primos Gemelos Definición: Dos números primos ( p, q ) son gemelos si están separados por una distancia de 2, es decir, si q = p + 2 Todos los números primos gemelos excepto (3, 5) son de la forma La conjetura de los primos gemelos postula la existencia de infinitos pares de primos gemelos. Dado que es una conjetura, está todavía sin demostrar. Existe un número infinitos de primos de p tales que p + 2 también es primo.

27. Números Primos Gemelos Los primeros números primos son: El par de primos gemelos más grande que se conoce hasta hoy (mayo 2007) es 1019, 1021 881, 883 857, 859 827, 829 821, 823 809, 811 659, 661 641, 643 617, 619 599, 601 569, 571 521, 523 461, 463 431, 433 419, 421 347, 349 311, 313 281, 283 269, 271 239, 241 227, 229 197, 199 191, 193 179, 181 149, 151 137, 139 107, 109 101, 103 71, 73 59, 61 41, 43 29, 31 17, 19 11, 13 5, 7 3, 5

28. Números Primos Gemelos Se ha demostrado que el par n, n + 2 es de números primos gemelos si y sólo si:

29. Números Primos Gemelos Problema Encontrar todos los años primos gemelos del siglo XXI

30. Números Primos Gemelos Solución Todo los años primos del siglo XXI son: 2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089, 2099 Los primos gemelos del siglo XXI son 2027 y 2029 2081 y 2083 2087 y 2089

31. Teoría de Números Conjetura de Golbach

32. Conjetura de Golbach Definición: todo número mayor que 2 puede escribirse como la suma de dos números primos (se puede utilizar dos veces el mismo número primo) Ejemplos: 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 3 + 7 = 10 5 + 7 = 12 7 + 7 = 3 + 11 = 14

33. Conjetura de Golbach Otra conjetura, donde la afirmación es equivalente a la original es la siguiente: Todo número entero mayor que cinco se puede escribir como suma de tres primos .(Escrita por Golbach a Euler)

34. Conjetura de Golbach Ejercicios Escriba cada número par siguiente como la suma de dos números primos: 18 22 26 32 60

35. Conjetura de Golbach Solución 18 = 11 + 7 22 = 11 + 11; 17 + 5 26 = 21 + 5 ; 13 + 13, 23 + 3 32 = 21 + 11; 27 + 5 60 = 31 + 29; 43 + 17

36. Teoría de Números Último teorema de Fermat

37. Último Teorema de Fermat Definición: Si n es un número entero mayor que 2 (n > 2), entonces no existen números enteros x, y, z (excepto las soluciones triviales, como x = y = z = 0) tales que cumplan la igualdad:

38. Último Teorema de Fermat Si n = 2, cumple con el teorema de Pitágoras Euler dio la demostración para n = 3 Sophie Germain probó que para todos los números primos n menores que 100, si existe solución, algunos de los números x, y ó z tendría que ser múltiplo de n (Teorema de Sophie Germain) Para n = 5, n = 14, los demostró Peter Gustav Lejeune – Dirichlet Gabriel Lamé obtuvo la demostración para n = 7 Finalmente el teorema de Fermat fue demostrado por Andrew Wiles (1993).

39. Teoría de Números Muchas Gracias