El documento presenta información sobre divisibilidad, tablas de divisibilidad, orden de operaciones, cuadrados perfectos, raíces cuadradas, ecuaciones radicales, teorema de Pitágoras, y cálculo de distancias y puntos medios entre dos puntos utilizando fórmulas matemáticas. Incluye ejemplos y ejercicios prácticos para aplicar los conceptos.

1. Distancia y punto
medio entre dos
puntos
Álgebra II
Prof. Rosa E. Padilla

2. Reglas de divisibilidad
Un número es divisible
por:
Si, …
2 su último dígito es par (termina en 0, 2, 4, 6 u 8).
3 la suma de sus dígitos es divisible por 3.
4 los últimos dos dígitos son divisibles por 4.
5 termina en 0 o 5.
6 es divisible por 2 y divisible por 3.
9 la suma de los dígitos es divisible por 9.
10 termina en 0.
11 la diferencia entre la suma de los dígitos pares y
los impares es 0 o un múltiplo de 11.

3. Completa la siguiente tabla
Número
Divisible por :
2 3 4 5 6 9 10 11
1) 63
2) 255
3) 84
4) 180
5) 70
6) 333
7) 5,058
8) 10,800
9) 5,401
10) 6,358

4. Repaso de orden de operaciones
1. Signos de agrupación ( ), [ ], { }
2. Exponentes (potencias)
3. Multiplicación y división
4. Suma y resta
De izquierda a derecha

5. Ejercicios de práctica para
orden de operaciones
• Evalúa cada expresión
1) (30 − 3) ÷ 3 2) (21 − 5) ÷ 8
3) 1 + 7² 4) 5 × 4 − 8
5) 8 + 6 × 9 6) 3 + 17 × 5
7) 15 + 40 ÷ 20 8) 9 × (3 + 3) ÷ 6
9) (9 + 18 − 3) ÷ 8 10) 9 + 6 ÷ (8 − 2)
11) 6 + 5 + 8 × 4 12) 4(4 ÷ 2 + 4)
13) (9 × 2) ÷ (2 + 1) 14) 7 × 9 − 7 − 3 × 5

6. Cuadrados perfectos
𝑛 𝑛²
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
6 36
7 49
8 64
9 81
10 100
𝑛 𝑛²
11 121
12 144
13 169
14 196
15 225
16 256
17 289
18 324
19 361
20 400

7. Raíces cuadradas perfectas
𝑛² 𝑛
1 1
4 2
9 3
16 4
25 5
36 6
49 7
64 8
81 9
100 10
𝑛² 𝑛
121 11
144 12
169 13
196 14
225 15
256 16
289 17
324 18
361 19
400 20

8. Propiedades raíces cuadradas
𝑎 = 𝑎
1
2
𝑎𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑏
𝑎
𝑏
=
𝑎
𝑏
Sean: 𝑎, 𝑏 ≥ 0
1
𝑎
=
1
𝑎
𝑎
𝑎
=
𝑎
𝑎

9. Ejercicios de práctica
propiedades de raíces cuadradas
• Simplifica las siguientes radicales.
1) 500 2) 54 3) 147 4) 20
5) 72 6) 75 7) 128 8) 243

10. Resolviendo ecuaciones
radicales
• Resuelve cada ecuación.
1) 6 4𝑏 = 18 2) − 5 + 𝑐 + 5 = 7
3) 𝑑 + 3 =7 4)
𝑔
4
= 3𝑔 − 7
5) 𝑛 =3 6) 𝑝 =5

11. Recordando el Teorema de
Pitágoras
• Aplica solo a triángulos rectángulos
c
a
b
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏²
𝑐 = 𝑎2 + 𝑏²

12. Distancia entre dos puntos

13. Ejemplo 1
• Halla la distancia entre los dos puntos dados.
• Pasos a seguir:
• Identificar los dos puntos (de izquierda a derecha).
• Obtener las coordenadas de los puntos.
• Identificar 𝑥1, 𝑦1 , 𝑥2, 𝑦2
• Sustituir valores en la fórmula de distancia
𝑑 = 𝑥2 − 𝑥1
2 + 𝑦2 − 𝑦1
2
• Utilizar el orden de operaciones y propiedades
de las radicales para resolver.

14. Ejemplo: Distancia entre dos
puntos
• Halla la distancia entre los dos puntos dados.
• (−5,5), (1, −2)
• 𝑥1 = −5, 𝑦1 = 5 , 𝑥2 = 1, 𝑦2 = −2
• 𝑑 = 1 − (−5) 2 + (−2) − 5 2
• 𝑑 = 62 + (−7)2
• 𝑑 = 36 + 49
• 𝑑 ≈ 9.22
La distancia entre los puntos dados es de
aproximadamente 9.22 unidades.

15. Práctica: Halla la distancia
entre los puntos dados
1) 2) 3)

16. Práctica: Halla la distancia
entre los puntos dados
1) 2) 3)

17. Halla la distancia entre dos
puntos, dadas las coordenadas
• Halla la distancia entre los dos puntos, dadas las coordenadas
de ambos puntos.
• Pasos a seguir:
• Identificar 𝑥1, 𝑦1 , 𝑥2, 𝑦2
• Sustituir valores en la fórmula de distancia
𝑑 = 𝑥2 − 𝑥1
2 + 𝑦2 − 𝑦1
2
• Utilizar el orden de operaciones y propiedades
de las radicales para resolver.

18. Ejemplo: Halla la distancia entre
dos puntos, dadas las coordenadas
• Halla la distancia entre los dos puntos, dadas las coordenadas
de ambos puntos.
• Pasos a seguir:
• Identificar 𝑥1 = 5, 𝑦1 = 9 , 𝑥2 = −7, 𝑦2 = −7
• Sustituir valores en la fórmula de distancia
𝑑 = (−7) − 5 2 + −7 − 9
2
• 𝑑 = −12 2 + −16 2
• 𝑑 = 144 + 256
• 𝑑 = 400
• 𝑑 = 20
La distancia entre los puntos (5,9), (-7,-7) es de 20 unidades.

19. Práctica: Halla la distancia
entre los puntos dados
1) 2) 3)
4) 5) 6)

20. Uso de WxMaxima para hallar la
distancia entre dos puntos

21. Uso de GeoGebra para hallar la
distancia entre dos puntos

22. Punto medio
Punto que se encuentra a la misma distancia entre los puntos en los
extremos.
La respuesta corresponde a una coordenada.

23. Punto medio
• Dados dos puntos, el punto medio entre ambos extremos
corresponde a la coordenada:
𝑀 = (
𝑥1+𝑥2
2
,
𝑦1+𝑦2
2
)

24. Ejemplo: ¿Cómo calcular las
coordenadas del punto medio?
• Determinar las coordenadas
de los puntos dados.
• Identificar 𝑥1, 𝑦1 , 𝑥2, 𝑦2
[de izquierda a derecha]
• Sustituir valores en la fórmula
para hallar las coordenadas
del punto medio

25. Ejemplo: ¿Cómo calcular las
coordenadas del punto medio?
• (−5, −5), (−1, −1)
• 𝑥1 = −5, 𝑦1 = −5 , 𝑥2 = −1, 𝑦2 = −1
• 𝑀 = (
𝑥1+𝑥2
2
,
𝑦1+𝑦2
2
)
• = (
−5+(−1)
2
,
−5+(−1)
2
)
• = −
6
2
, −
6
2
• = (−3, −3)

26. Halla el punto medio para cada
caso
1) 2) 3)

27. Halla el punto medio para cada
caso
4) 5) 6)

28. Halla el punto medio para cada
caso
7) 8) 9)
10) 11) 12)

29. Hallar el punto medio entre dos
puntos utilizando GeoGebra