Material preparación PAES

1. Números Enteros

2. ¿Cuáles son los números naturales?
Los números naturales (IN) nacen de la necesidad de contabilizar
habitantes, cabezas de ganados, etc. en la antigua Mesopotamia
alrededor del año 4.000 a.c.
ℕ = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, …
El cero no forma parte de
este conjunto numérico

3. POSITIVOS
NEGATIVOS
NEUTRO ADITIVO
Números Enteros (𝕫)
𝕫 = … , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

4. Suma y resta
Si los números tienen el
mismo signo, se deben
sumar sus valores y al
resultado conservar el signo
que tenían.
Si los números tienen distinto
signo, se deben restar sus
valores (mayor menos el
menor) y finalmente conservar
el signo del mayor.
Operatoria entre números enteros

5. Suma y resta
Ejemplos
8 - 7 = 1
Operatoria entre números enteros

6. Suma y resta
Ejemplos
-15 + 10 = -5
Operatoria entre números enteros

7. Suma y resta
Ejemplos
-8 - 9 = -17
Operatoria entre números enteros

8. Multiplicación
Se deben multiplicar los valores
para luego, al resultado, aplicar
la regla de los signos.
∙ + -
+ + -
- - +
Operatoria entre números enteros

9. Multiplicación
Ejemplos
−6 ∙ −7 = 42
Operatoria entre números enteros

10. Operatoria entre números enteros
Multiplicación
Ejemplos
12 ∙ −3 = -36

12. Clasificaciones en los Enteros
1. Sucesores y antecesores
+ 1 - 1

13. Clasificaciones en los enteros
Sucesores y Antecesores
Ejemplos
El sucesor de -2
−2 + 1 = -1
Clasificaciones en los Enteros

14. Sucesores y Antecesores
Ejemplos
El antecesor de 4
4 − 1 = 3
Clasificaciones en los Enteros

15. Sucesores y Antecesores
Ejemplos
El antecesor del antecesor de -6
(-6−1) -1 = -8
Clasificaciones en los Enteros

16. Sucesores y Antecesores
Ejemplos
El sucesor del sucesor de -15
(-15+1) +1 = -13
Clasificaciones en los Enteros

17. 2. Pares e Impares
PARES
• Números que terminan
en 0, 2, 4, 6 u 8.
• Matemáticamente se
expresan como:
𝟐𝒏
IMPARES
• Números que terminan
en 1, 3, 5, 7 o 9.
• Matemáticamente se
expresan como:
𝟐𝒏 + 𝟏 o bien 𝟐𝒏 − 𝟏
Clasificaciones en los Enteros

18. Operatoria entre pares e impares
∙ P I
P P P
I P I
+ P I
P P I
I I P

20. Números Enteros:
Orden en las operaciones

21. ¿Es importante el orden en las operaciones?
El viernes 9 de noviembre
del año 2012 después de
una gran controversia el
diario “Las Últimas Noticias”
zanjó un problema que
durante días atormentaba a
muchos estudiantes días
antes de la PSU

22. Prioridad en las operaciones
¿Qué operatoria se resuelve primero?, ¿Existe alguna
operatoria más importante que otra?, ¿Qué hago con los
paréntesis?

23. Prioridad
Paso 1: PARENTESIS
Se resuelven todos los paréntesis de adentro hacia afuera
utilizando la regla de los signos si es necesario.

24. Paso 3: MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES
Cuando existan varias multiplicaciones o divisiones seguidas
éstas se deben desarrollar siempre de izquierda a derecha.
Prioridad

25. Paso 4: ADICIONES (SUMAS) Y SUSTRACCIONES (RESTAS)
Cuando se tengan sumas y restas se puede partir realizando las
adiciones en primer lugar y las sustracciones al final para que le
sea mas cómodo al estudiante.
Prioridad

26. Ejemplo
6/2 1 + 2
6/2 3
3 ∙ 3
9

27. 32 − 6 − 4 ∙ 2 + 9 ∶ 3 ∙ 2
32
− 6 − 4 ∙ 2 + 3 ∙ 2
32 − 6 − 4 ∙ 2 + 6
32 − 6 − 8 + 6
32
− 6 − 14
32 − −8
9 − −8
9 + 8 = 17
Ejemplo

29. Múltiplos y
Divisores

30. 4 · 6 = 24 24 : 4 = 6
dividendo
divisor
cuociente
producto
factores

31. Definición:
Múltiplo de un número es aquel que lo
contiene una cantidad entera de veces.
Múltiplo de a a · n
Múltiplos

32. Ejemplo:
Múltiplos

33. Ejemplo:
4 · 6 = 24
Múltiplos

34. M(4) = {…4·(-3), 4·(-2), 4·(-1), 4·0, 4·1, 4·2, 4·3…}
M(4) = { n ϵ Z / n = 4·a , a ϵ Z}
= {…-12, -8, -4, 0, 4, 8, 12…}
Múltiplos

35. 0 · 4 = 0
0 · 7 = 0
0 · (-6) = 0
0 · 0 = 0
0 · n = 0, n ϵ Z
Importante
“El 0 es múltiplo de todos los números”
Múltiplos

36. 1 · 4 = 4
1 · 7 = 7
1 · (-6) = -6
1 · 0 = 0
1 · n = n, n ϵ Z
Importante
“Todo número es múltiplo de sí mismo.”
Múltiplos

37. M(8) = {…-24, -16, -8, 0, 8, 16, 24, 32…}
M(13) = {…-39, -26, -13, 0, 13, 26, 39, 52…}
M(20) = {…-60, -40, -20, 0, 20, 40, 60, 80…}
Múltiplos

38. M(8) = {…-24, -16, -8, 0, 8, 16, 24, 32…}
M(13) = {…-39, -26, -13, 0, 13, 26, 39, 52…}
M(20) = {…-60, -40, -20, 0, 20, 40, 60, 80…}
Múltiplos

39. M(8) = {…-24, -16, -8, 0, 8, 16, 24, 32…}
M(13) = {…-39, -26, -13, 0, 13, 26, 39, 52…}
M(20) = {…-60, -40, -20, 0, 20, 40, 60, 80…}
Múltiplos

40. Definición:
Divisor o factor de un número es
aquel que está contenido en él un
número entero de veces.
ϵ ℤ
Divisores

41. Ejemplo:
24 : 4 = 6
Divisores

42. D(24) = {-24, -12, -8, -6, -4, -3, -2, -1,
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
D(24) = { n ϵ Z / = a , a ϵ Z}
24
n
Divisores

43. Divisible por Regla de Divisibilidad
2 Los números pares
3 Los números cuyas cifras suman un múltiplo de 3
4 Los números cuyas dos ultimas cifras son ceros
o un múltiplo de 4
5 Los números terminados en 5 o 0
6 Los números divisibles por 2 y 3 a la vez
8 Los números cuyas últimas tres cifras son ceros
o un múltiplo de 8
9 Los números cuyas cifras suman un múltiplo de 9
10 Los números terminados en cero
Reglas de divisibilidad

44. 560 par
560 5 + 6 + 0 = 11
¿560 es divisible por 6?
Por lo tanto, 560 no es divisible por 6.
Divisores
Ejemplo:

45. 5 : 1 = 5
8 : 1 = 8
(-10) : 1 = -10
14 : 1 = 14
n : 1 = n, n ϵ Z
Importante
“El 1 es divisor de todos los números”
Divisores

46. 5 : 5 = 1
8 : 8 = 1
(-10) : (-10) = 1
14 : 14 = 1
n : n = 1, n ϵ Z
Importante
“Todo número es divisor de sí mismo”
Divisores

47. D(6) = {-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6}
D(14) = {-14, -7, -2, -1, 1, 2, 7, 14}
D(18) = {-18, -9, -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6, 9, 18}
Divisores

48. D(6) = {-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6}
D(14) = {-14, -7, -2, -1, 1, 2, 7, 14}
D(18) = {-18, -9, -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6, 9, 18}
Divisores

49. D(6) = {-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6}
D(14) = {-14, -7, -2, -1, 1, 2, 7, 14}
D(18) = {-18, -9, -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6, 9, 18}
Divisores

50. 4 · 6 = 24 24 : 4 = 6
múltiplo divisor
En síntesis

51. Múltiplos Divisores
Es aquel que contiene a otro
número una cantidad entera
de veces
Es aquel que está contenido
en otro número una cantidad
entera de veces
En síntesis

52. Múltiplos Divisores
Es aquel que contiene a otro
número una cantidad entera
de veces
Es aquel que está contenido
en otro número una cantidad
entera de veces
Para todo número hay una
cantidad infinita de múltiplos
Para todo número hay una
cantidad finita de divisores
En síntesis

53. Múltiplos Divisores
Es aquel que contiene a otro
número una cantidad entera
de veces
Es aquel que está contenido
en otro número una cantidad
entera de veces
Para todo número hay una
cantidad infinita de múltiplos
Para todo número hay una
cantidad finita de divisores
El 0 es múltiplo de todos los
números
El 1 es divisor de todos los
números
En síntesis

54. Múltiplos Divisores
Es aquel que contiene a otro
número una cantidad entera de
veces
Es aquel que está contenido en
otro número una cantidad entera
de veces
Para todo número hay una
cantidad infinita de múltiplos
Para todo número hay una
cantidad finita de divisores
El 0 es múltiplo de todos los
números
El 1 es divisor de todos los
números
Todo número es múltiplo de si
mismo
Todo número es divisor de sí
mismo
En síntesis

56. Números Primos, Números Compuestos
y Descomposición en Factores Primos

57. Los números primos son todos los enteros positivos, que
tienen sólo dos divisores distintos, el 1 y el mismo
número.
D(3) = {1, 3}
D(11) = {1, 11}
D(23) = {1, 23}
Ejemplos:
Definición

58. Por otro lado, los números compuestos son todos los
enteros positivos mayores que 1 que no son primos, es
decir, tienen más de dos divisores distintos.
D(9) = {1, 3, 9}
D(14) = {1, 2, 7, 14}
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Ejemplos:
Definición

59. El 1 no es ni primo, ni compuesto.
Los números primos son todos los enteros positivos, que
tienen sólo dos divisores distintos, el 1 y el mismo número.
Los números compuestos son todos los enteros positivos
mayores que 1 que no son primos, es decir, tienen más de
dos divisores distintos.
Definición

60. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

61. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

62. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

63. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

64. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

65. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

66. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

67. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

68. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

69. 1 2 3 5 7
11 13 17 19
23 29
31 37
41 43 47
53 59
61 67
71 73 79
83 89
97

70. 2 3 5 7
11 13 17 19
23 29
31 37
41 43 47
53 59
61 67
71 73 79
83 89
97

71. Todo número compuesto se puede expresar de una
manera única como el producto de factores primos.
140
Ejemplo: 14
10
2
7
5
2
140 = 2 · 2 · 5 · 7
140 = 2 · 5 · 7
2
Teorema Fundamental

72. ¿Cómo podemos
calcular la raíz de
un número sin
calculadora?

73. 676 = 2 · 2 · 13 · 13
𝟔𝟕𝟔 = 𝟐𝟐 ∙ 𝟏𝟑𝟐
𝟔𝟕𝟔 = 𝟐𝟐 ∙ 𝟏𝟑𝟐
𝟔𝟕𝟔 = 𝟐·𝟏𝟑
𝟔𝟕𝟔 = 𝟐𝟔
676
2 338
2 169
13 13
Divisores

74. 150
3 50
2 25
5 5
150 = 2 · 3 · 5 · 5
𝟏𝟓𝟎 = 𝟐·𝟑·𝟓𝟐
𝟏𝟓𝟎 = 𝟐·𝟑·𝟓𝟐
𝟏𝟓𝟎 = 𝟓 𝟐 ∙ 𝟑
𝟏𝟓𝟎 = 𝟓 𝟔
Divisores

75. 676= 2 · 2 · 13 · 13
676
2 338
2 169
13 13
D(676) = {
Divisores

76. D(676) = {1,
676
2 338
2 169
13 13
676= 2 · 2 · 13 · 13
Divisores

77. 676= 2 · 2 · 13 · 13
D(676) = {1, 2,
676
2 338
2 169
13 13
Divisores

78. 676= 2 · 2 · 13 · 13
D(676) = {1, 2, 4,
676
2 338
2 169
13 13
Divisores

79. 676= 2 · 2 · 13 · 13
D(676) = {1, 2, 4, 13,
676
2 338
2 169
13 13
Divisores

80. 676= 2 · 2 · 13 · 13
D(676) = {1, 2, 4, 13, 26,
676
2 338
2 169
13 13
Divisores

81. 676= 2 · 2 · 13 · 13
D(676) = {1, 2, 4, 13, 26, 52,
676
2 338
2 169
13 13
Divisores

82. 676= 2 · 2 · 13 · 13
D(676) = {1, 2, 4, 13, 26, 52, 169,
676
2 338
2 169
13 13
Divisores

83. 676= 2 · 2 · 13 · 13
D(676) = {1, 2, 4, 13, 26, 52, 169, 338,
676
2 338
2 169
13 13
Divisores

84. 676= 2 · 2 · 13 · 13
D(676) = {1, 2, 4, 13, 26, 52, 169, 338, 676}
676
2 338
2 169
13 13
Divisores

85. 676= 2 · 2 · 13 · 13
D(676) = {1, 2, 4, 13, 26, 52, 169, 338, 676}
676
2 338
2 169
13 13
Divisores

88. Mínimo Común Múltiplo, Máximo
Común Divisor y Valor Absoluto.

89. Mínimo Común Múltiplo
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de
dos o más números naturales, es el
menor número natural, que es múltiplo
común de todos ellos.

90. M(9) = {9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, …}
M(12) = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, …}
Ejemplo
¿ Cuál será el m.c.m. entre 9 y 12?

91. ¿ Cuál será el m.c.m. entre 9 y 12?
M(9) = {9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, …}
M(12) = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, …}
Ejemplo

92. Ejemplo
¿ Cuál será el m.c.m. entre 9 y 12?
M(9) = {9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, …}
M(12) = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, …}

93. ¿ Cuál será el m.c.m. entre 9 y 12?
9 - 12 3
3 4 3
1 4 2
2 2
1
36
Ejemplo

94. ¿ Cuál será el m.c.m. entre 9 y 12?
9 = 3
12 = 2 · 3
2
2
Ejemplo

95. ¿ Cuál será el m.c.m. entre 9 y 12?
9 = 2 · 3
12 = 2 · 3
2
0 2
m.c.m. = 2 · 3
2 2
1
Ejemplo

96. ¿ Cuál será el m.c.m. entre 9 y 12?
9 = 2 · 3
12 = 2 · 3
2
0 2
1
m.c.m. = 2 · 3
2 2
Ejemplo

97. ¿ Cuál será el m.c.m. entre 9 y 12?
9 = 2 · 3
12 = 2 · 3
2
0 2
m.c.m. = 2 · 3
2 2
= 36
1
Ejemplo

98. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
X X X X X
X X X X
M(9) = {9, 18, 27, 36, …}
M(12) = {12, 24, 36, …}
Dos trenes parten desde el mismo lugar hacia el mismo destino.
Uno sale cada 9 días y el otro cada 12 días. Si hoy partieron
ambos trenes desde la estación, ¿en cuántos días más saldrán
nuevamente juntos?
Ejemplo

99. Máximo Común Divisor
El máximo común divisor (M.C.D.) de dos
o más números naturales, es el mayor
número natural, que es divisor común de
todos ellos.

100. D(9) = {1, 3, 9}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
¿ Cuál será el M.C.D. entre 9 y 12?
Ejemplo

101. D(9) = {1, 3, 9}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
¿ Cuál será el M.C.D. entre 9 y 12?
Ejemplo

102. D(9) = {1, 3, 9}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
¿ Cuál será el M.C.D. entre 9 y 12?
Ejemplo

103. 9 - 12 3
3 4
3
¿ Cuál será el M.C.D. entre 9 y 12?
Ejemplo

104. 9 = 3
12 = 2 · 3
2
2
¿ Cuál será el M.C.D. entre 9 y 12?
Ejemplo

105. 9 = 2 · 3
12 = 2 · 3
2
0 2
M.C.D. = 2 · 3
0 1
1
¿ Cuál será el M.C.D. entre 9 y 12?
Ejemplo

106. 9 = 2 · 3
12 = 2 · 3
2
0 2
M.C.D. = 2 · 3
0 1
1
¿ Cuál será el M.C.D. entre 9 y 12?
Ejemplo

107. 9 = 2 · 3
12 = 2 · 3
2
0 2
M.C.D. = 2 · 3 =
0 1
1
¿ Cuál será el M.C.D. entre 9 y 12?
3
1
Ejemplo

108. D(9) = {1, 3, 9}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Tengo 9 lápices y 12 cuadernos. ¿Cuál es la máxima cantidad de
niños entre los que se pueden repartir estos útiles escolares, de
modo que cada niño reciba la misma cantidad de lápices y la
misma cantidad de cuadernos, sin que sobren ni falten?
Ejemplo

110. -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
|8| = 8
|-8| = 8
Definición
Valor Absoluto es la distancia que existe
entre un número y el cero.

111. 0 n
|n| = n
|n| = -n
n 0
0
|0| = 0
Valor Absoluto

113. Material
Videos Video Conceptual: Números naturales: operatoria, sucesor, antecesor, números
pares e impares
Video Conceptual: Números enteros: orden de las operaciones
Video Conceptual: Números enteros: múltiplos divisores
Video Conceptual: Números enteros: números primos, compuestos y
descomposición en factores primos.
Material Libro Matemáticas
MA-01 Cuaderno de Ejercicios
RMA-01 Resumen N° 1
Full Ejercicios: Enteros I
Full Ejercicios: Enteros I