Este documento explica cómo encontrar una expresión algebraica cuadrática para calcular cualquier término en sucesiones numéricas y figurativas mediante el método de diferencias. Se describen diferentes tipos de sucesiones como aritméticas, geométricas y especiales como los números rectangulares. El método de diferencias permite determinar los coeficientes de una expresión cuadrática analizando las diferencias entre los términos.

1. ESCUELA NORMAL SUPERIOR DEL SUR DE TAMAULIPAS ASESOR: ING. JOSE ALEJANDRO SALINAS ORTA ALUMNO: PROFR. RUBEN TORRES BAUTISTA JULIO DEL 2011.

3. EN ESTA SECUENCIA APRENDERAS A ENCONTRAR UNA EXPRESION ALGEBRAICA CUADRATICA PARA CALCULAR CUALQUIER TERMINO EN SUCESIONES NUMERICAS Y FIGURATIVAS MEDIANTE EL METODO DE DIFERENCIAS.

5. SUCESION DIFERENCIA EXPRESION ALGEBRAICA 2, 4, 6, 8, 10,… 2 2n 3, 5, 7, 9, 11,… 2 2n + 1

6. LA SIGUIENTE SUCESION DE FIGURAS CORRESPONDE A LOS LLAMADOS NUMEROS RECTANGULARES. FIGURA 1 FIGURA 2 FIGURA 3 FIGURA 4

7. DIFERENCIA DE LOS TERMINOS DE UNA SUCESION DESCRITA POR UNA EXPRESION CUADRATICA. *Completen la tabla para después calcular las diferencias entre los términos de la sucesión de números rectangulares. DIFERENCIAS DE NIVEL 1 4 6 8 10 12 Numero de la figura 1 2 3 4 5 6 Número rectangular 2 6 12 20 30 42

8. A LAS DIFERENCIAS ENTRE LOS TERMINOS DE LAS DIFERENCIAS DE NIVEL 1 SE LES LLAMA DIFERENCIAS DE NIVEL 2. *Tabla para calcular las diferencias del nivel 2. 4 6 8 10 12 DIFERENCIAS DE NIVEL 1 DIFERENCIAS DE NIVEL 2 2 2 2 2 2 Numero de la figura 1 2 3 4 5 6 Número rectangular 2 6 12 20 30 42

9. A LO QUE LLEGAMOS: Cuando la expresión general que corresponde a una sucesión es cuadrática , se encuentran las siguientes regularidades: Las diferencias del nivel 1 son diferentes entre sí. Las diferencias del nivel 2 son iguales a una constante diferente de cero.

10. SUCESIONES DE FIGURAS Y EXPRESIONES CUADRATICAS FIGURA 1 FIGURA 2 FIGURA 3 FIGURA 4

11. TABLA DE DIFERENCIAS CUADRATICAS 3 5 7 9 11 DIFERENCIAS DE NIVEL 1 DIFERENCIAS DE NIVEL 2 2 2 2 2 Numero de la figura 1 2 3 4 5 6 Número rectangular 1 4 9 16 25 36

12. LAS DIFERENCIAS EN EXPRESIONES CUADRATICAS Las diferencias pueden ayudar a determinar muchas características importantes de las sucesiones numéricas, dependiendo del tipo de las expresiones algebraicas que les corresponden: lineales, cuadráticas o cúbicas.

13. 0 0 0 2 2 2 8 64 12 18 24 Expresión general del termino enésimo Sucesión original y sus diferencias 2n - 1 1, 3, 5, 7, 9,… 2 2 2 2 2 n - n 0, 2, 6, 12, 20,… 2 4 6 8 3 n 1, , 27, , 125 7 19 37 61

14. 12 18 24 A LO QUE LLEGAMOS Al obtener las diferencias de una sucesión numérica, en general sucede que: Si en el nivel 2 de las diferencias aparece una constante diferente de cero , la expresión general es cuadrática. Cuando la expresión general de la secuencia es cuadratica, la constante que aparece en el nivel 2 de las diferencias es el doble del coeficiente del termino cuadrático de la expresión.

15. METODO DE DIFERENCIAS Para determinar los coeficientes de la expresión 2 an + bn + c , hay que resolver las ecuaciones que se obtienen al considerar que: El doble del coeficiente a es igual a la constante de las diferencias de nivel 2. La suma 3ª + b es igual al primer termino de las diferencias de nivel 1. La suma a + b +c es igual al primer termino de la sucesión.

16. DEL ESQUEMA PUEDEN OBTENERSE VARIAS ECUACIONES QUE AL RESOLVERSE PERMITEN OBTENER LOS VALORES DE LOS COEFICIENTES a, b, c. 4, 9, 18, 31 ,…. COMPLETEN EL ESQUEMA Y RESUELVAN LAS ECUACIONES QUE SE OBTIENEN AL APLICAR EL METODO DE LA DIFERENCIAS A ESTA SUCESION. 2a= 3a + b = a + b + c= a= 2 b= -1 C= 3 a + b + c 3a + b 2a 5 9 13 4 4 2 5 4

18. ¿Qué es una sucesión? Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.

19. finita o infinita Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita , si no es una sucesión finita Ejemplos {1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita ) {20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita {1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita ) {4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás {1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término {a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético {a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo" {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)

20. En orden Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden ! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras! Una sucesión es muy parecida a un conjunto , pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer muchas veces). Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1}

21. La regla Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término. Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez

22. Tipos de sucesiones Sucesiones aritméticas El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ... la diferencia entre un término y el siguiente es una constante . Ejemplos Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos. La regla es x n = 3n-2 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ... Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos. La regla es x n = 5n-2

23. Sucesiones geométricas En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo. Ejemplos: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ... Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos. La regla es x n = 2 n 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ... Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos. La regla es x n = 3 n 4, 2, 1, 0.5, 0.25, ... Esta sucesión tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos términos. La regla es x n = 4 × 2 -n

24. Sucesiones especiales Números triangulares 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ... Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo. Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.

25. Pero es más fácil usar la regla x n = n(n+1)/2 Ejemplo: El quinto número triangular es x 5 = 5(5+1)/2 = 15 , y el sexto es x 6 = 6(6+1)/2 = 21 Números cuadrados El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ... La regla es x n = n 2

26. números cúbicos El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición. 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ... La regla es x n = n 3

27. Series "Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es la suma de una sucesión. Sucesión: {1,2,3,4} Serie: 1+2+3+4 = 10 Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa "súmalos todos":

28. Esto significa "suma de 1 a 4" = 10 Esto significa "suma los cuatro primeros términos de la sucesión 2n+1 " Que son los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo {3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 = 24

29. EJERCICIOS 3 El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos. 4 El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir la progresión. 5 Escribir tres medios aritméticos entre 3 y 23. 6 Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5. 7 Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5.

30. 8 Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que 5. 9El 1 er término de una progresión geométrica es 3, y el 8º es 384. Hallar la razón, y la suma y el producto de los 8 primeros términos. 10 El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir la progresión. 11 Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.

31. 12 Encontrar la fracción generatriz de 3.2777777... 13Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo d = 25º. 14El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética.