Topicos de Riesgo y rendimiento en las Finanzas

Profesor Miguel Angel
Vallejos Sánchez
Finanzas Corporativas
Riesgo y Rendimiento
Profesor Miguel Angel Vallejos Sánchez

Vallejos Sánchez
Bibliografía :
Finanzas Corporativas

Vallejos Sánchez
Riesgo : Corresponde a la probabilidad de que
ocurra un evento predecible pero desfavorable .
El riesgo de las inversiones está relacionado con
la probabilidad de que se obtenga una ganancia
menor a la ganancia esperada o que la ganancia
que obtendremos con determinada inversión, sea
notoriamente distinta a la esperada como
razonable.

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Probabilidad : Corresponde a la importancia que tiene la ocurrencia
de un evento dentro de un Universo conocido. El concepto que
subyace en esta definición es el de Universo conocido, ya que las
posibilidades están relacionadas directamente con que se den
diferentes alternativas. Estas, dependerán del escenario en el que
consideremos nuestro análisis y del alcance de nuestro conocimiento o
de las reglas generales que condicionan la realidad.- Por ejemplo en
el lanzamiento de una moneda , nuestro Universo conocido identifica
dos alternativas como ciertas o que pueden ocurrir – Cara o Sello . No
hay otro evento posible. Esto se da porque no conocemos otra
alternativa dentro ese Universo conocido. De este modo decimos que
la probabilidad de ocurrencia de un evento como CARA , es de un
50% y de SELLO , es de un 50 %

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Podemos decir que es posible identificar diferentes
alternativas o eventos posibles cuando analizamos lo que
ocurrirá en el futuro. Obviamente lo que ocurrirá en el
futuro es un evento absolutamente desconocido y en la
medida que podamos reducir la incertidumbre sobre el
futuro, también se reducirá la ansiedad del tomador de
decisiones. La Incertidumbre está relacionada
directamente con la el conocimiento que tiene el tomador
de decisiones sobre la ocurrencia de eventos y los
elementos del ambiente que condicionan dichos eventos.
Riesgo : La incertidumbre

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Riesgo : Un ejemplo de
Probabilidades de ocurrencia
Consideremos el caso de una un inversionista que analiza las
alternativas que se encuentran detrás de la inversión de sus
dineros en un nuevo negocio.
Que ve él? . Indudablemente que analiza que valores
recibirá por cada peso invertido bajo diferentes escenarios.

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Ejemplo : Consideremos los siguientes escenarios
para analizar las alternativas que se le presentan al
inversionista frente la inversión de una cantidad de
$1500.- Al momento de invertir ( tiempo cero ) el
desembolso se traduce en un flujo negativo (Inversión
en tiempo cero ). Dicho valor es el efecto que
analizamos .

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El evento nos sugiere que si realizamos la inversión y
esperamos un año, tendremos las siguientes alternativas
ciertas que se materializarán al término del año :
Estado Alternativo Probabilidad de Flujo a recibir
de la Economía Ocurrencia del
Estado
Muy Buena 20% $2.500
Buena 50% $2.000
Recesión 30% $1.200

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¿Cuánto es la rentabilidad de la inversión?. Para
esto volveremos al concepto del VALOR Presente .
“La rentabilidad es la tasa de interés que hace
que el valor actual de $ 2.500 descontados desde
el futuro de un período sea igual a $1.500.- ....”

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Las finanzas nos dan una lección : “ No olvidemos la
Ecuación Fundamental del interés Compuesto.... “
Si recordamos el modelo de ganancia de rentabilidad de una
acción con un horizonte finito de perspectiva de ventas para
el inversionista tenemos que es posible estimar la
rentabilidad considerando las ganancias de capital del período

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Definitivamente podemos redefinir la tabla de rentabilidades presentada
anteriormente para estimar el valor probable de la rentabilidad que obtendremos:
Estado Alternativo Probabilidad de Flujo a recibir Rentabilidad
de la Economía Ocurrencia del a
Estado recibir
Muy Buena 20% $2.500 66,67%
Buena 50% $2.000 33,33%
Recesión 30% $1.200 -20,00%
Con la Matriz de rentabilidades construida , podemos hacer una estimación
de la rentabilidad más probable. La rentabilidad que se recibirá será la que
resulte del promedio de ocurrencia de las diferentes eventos dada la
importancia que tiene dentro del Universo de ocurrencias. En otras
palabras: Multiplicar cada evento por su probabilidad de ocurrencia y
sumarlos. El valor resultante siempre será el valor esperado.

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Calculemos la rentabilidad esperada del la ganancia en acciones
para este inversionista :
Rentabilidad esperada = R (e)
R ( e ) = 0,2 * 0,67 + 0,5 * 0,34 + 0,3 * (-0,20) = 0,244
Vale decir :
R ( e ) = 24,4 %

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La Tasa Esperada de Rendimiento
La Tasa Esperada de Rendimiento se define como aquella tasa
que resulta de ponderar cada una de las diferentes alternativas de
rendimiento, por su probabilidad de ocurrencia.
En este sentido es una tasa “promedio” o ponderada y representa el
peso que tienen las diferentes alternativas según su ocurrencia



n
i
Ri
Pi
k
1
*
^

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La Tasa Esperada de Rendimiento
Donde :
K = Tasa de Rentabilidad Esperada de Rendimiento
Pi = Valor de la Probabilidad de Ocurrencia del Evento i
Ri = Valor de la rentabilidad cierta del Evento i
Para efecto de nuestro ejemplo la representación gráfica es la siguiente :

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Grafica de Distribución de
Probabilidad
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
-20,00% 33,33% 66,67%
Esperanza de Rentabilidad
Valor
de
la
Probabilidad

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El gráfico nos muestra que se encuentra más cerca del promedio
de las rentabilidades ( o alternativas ) aquellos valores que
aportan el mayor peso dentro del universo identificado ( las
alternativas Muy Buena y Buena acumulan el 70% de las
rentabilidades ).
La gráfica nos muestra una equivalencia de estandarización y nos
dice que mientras más sean las observaciones ( o cuando el
número de observaciones tiende al infinito ) , mayor es la
probabilidad de encontrar un valor promedio entre las posibles
observaciones ( o que mayor es la probabilidad de tener la
esperanza cierta de la media )

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Si tenemos una mayor probabilidad acumulada de que nuestro
valor promedio se encuentre dentro de la mayor densidad de
probabilidad acumulada, podremos decir que el riesgo tiende
a disminuir o baja .
COROLARIO : En la medida que la
densidad poblacional tienda a
concentrarse alrededor de un valor
promedio, más bajo será el riesgo de que
se dé un valor distinto o lejano de la
media.

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La Medición del riesgo
a.- La desviación estándar como medida de riesgo de una
inversión .Sigma (s) es una medida estadística del nivel de
variabilidad de un conjunto de observaciones respecto de su
esperanza promedio y corresponde al nivel de riesgo
propiamente de un activo financiero. Denominaremos la
desviación estándar de un conjunto de observaciones como la
medida de riesgo del activo y la representaremos como la raíz
de la varianza bajo la siguiente formula:

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La Medición del riesgo




n
i
Pi
k
ki
1
*
2
)
(
s ^

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Donde :
s Corresponde a la Desviación Estándar de un conjunto de
Observaciones respecto de su media. Es la Raíz cuadrada de la
varianza.
i = Corresponde al número variable de Observaciones
Ki = Corresponde al valor que toma una observación i muestral
^
K = Corresponde al promedio de las observaciones muestrales
Pi = Es el valor de la probabilidad de ocurrencia de un evento
muestral.

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Analizando nuestro ejemplo :
Estimacion de la Desviacion Estandar
Ki - K (Ki - K )^2 (Ki - K )^2 * Pi
0,67 - 0,244 = 0,426 0,181476 0,0362952
0,34 - 0,244 = 0,096 0,009216 0,004608
-0,20 - 0,244 0 -0,444 0,197136 0,0591408
Sumatoria ---------> 0,100044

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Luego :
s =
s = = 0,3163
Varianza = 0,100044
¿Como se interpreta que la desviación estándar tiene un valor
de 31,63% respecto de la esperanza promedio de 24,4 %?
Tarea para los alumnos.

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Ejercicio de aplicación
Suponga que usted es gerente de finanzas de una compañía
de seguros y debe tomar la decisión de invertir en activos
financieros para el próximo año, la política de inversiones
consiste en colocar los excedentes de las coberturas de riesgo
de sus afiliados en un portafolio publicado por las bolsas de
su país. Los antecedentes históricos son los siguientes:

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Ano Bolsa A Bolsa B Bolsa C Bolsa D
1997 21,30% 24,64% -13,36% -8,19%
1998 -8,76% 14,78% 95,40% -90,14%
1999 21,12% 24,44% -14,43% -19,72%
2000 19,33% -9,43% -4,61% 1,67%
2001 18,30% 21,17% -22,05% -53,23%

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a.- Determine el promedio de la rentabilidad de las cuatro
bolsas que usted tiene para su inversión individual.
Desarrollo :
Ki 14,258% 15,120% 8,188% -33,922%
Desv Estándar 11,564% 12,783% 43,954% 33,656%

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a)El coeficiente de variación :
Es una medida estandarizada del riesgo por unidad de
rendimiento y se representará por la siguiente ecuación :

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Este indicador nos permite identificar bajo un concepto
estandarizado la la diferencia de dispersión que existe entre
proyectos distintos. Podemos decir que a mayor valor del
coeficiente de variación, mayor es el riesgo del proyecto
analizado.
La utilidad del coeficiente de variación nace de la utilización
comparativa con otro(s) proyecto(s).
Interpretación : Si un proyecto A tiene un CV de 8 y un
proyecto B tiene un CV de 1 entonces podemos decir que el
proyecto A es 8 veces más riesgoso que el proyecto B,
utilizando como criterio este indicador.

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4.- El Principio del Inversionista Racional.
Suponga que se tienen dos alternativas de inversión, donde
cada una de ellas tiene una rentabilidad esperada de 10%.
La alternativa (a) tiene una probabilidad de ocurrencia de
100%.
La alternativa (b) presenta dos escenarios :
i) Una rentabilidad esperada de 20% con una probabilidad de
ocurrencia de 50%
ii) Una Rentabilidad esperada de 0 % con una probabilidad de
ocurrencia de 50%

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Entonces podemos decir :
1.- Si el inversionista escoge una de las dos alternativas actúa
racionalmente.
2.- Si el inversionista prefiere la alternativa (a) podemos decir
que es adverso al riesgo.
3.- Si el inversionista prefiere la alternativa (b ) podemos decir
que es propenso al riesgo.
4.- Si el inversionista es racional y propenso al riesgo,
preferirá la alternativa (b) sólo si esta le da una prima de riesgo

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El Modelo de Valuación de
Activos de Capital
C.A.P.M.
Basado en los estudios de los premios Novel 1990 :
Sres . Harry Markowitz y William F. Sharpe

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1.- C.A.P.M : (Capital Asset Pricing
Model) Corresponde a un modelo analítico
que señala que cualquier tasa de
rendimiento de cualquier activo de capital,
está determinado por la tasa libre de riesgo
más la prima de riesgo. Esta prima de riesgo
se determina por los factores de correlación
de los activos que componen la cartera.
El CAPM

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El CAPM
2.- Activo de Capital : Corresponde a
cualquier activo que genere algún grado
de rentabilidad y que puede ser transado
en un mercado. Debe cumplir la
característica de ser transable y objeto de
valuación por parte de los inversores.

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3.- Cartera de Inversiones : Corresponde a un
conjunto de activos financiados por un
inversionista. La cartera de inversiones es la
suma del valor de la riqueza que invierte el
inversor en diferentes activos de capital. La
cartera de inversiones es la forma en que el
inversionista mantiene su riqueza.
El CAPM

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Para analizar el concepto de cartera de inversiones
supondremos lo siguiente :
W = Riqueza total del Inversionista
Pi = Precio del activo de capital i
Qi = cantidad del Activo de capital i

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Luego podemos decir que la riqueza del inversionista está
compuesta por la totalidad de los activos que posee, ponderado
por el precio que dicho activo tiene en el mercado :
W = P1*Q1 + P2*Q2 + P3*Q3 +…….. Pn*Qn
1 .
W
1 = (P1*Q1)/W+ (P2*Q2 )/W+ (P3*Q3 )/W+….+ (Pn*Qn )/W

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Cada wi = Proporción del Activo de capital (i) invertido dentro
de la cartera del inversionista. Como conocemos la esperanza
de la rentabilidad individual (Ki ) podemos definir :
Donde :
Rendimiento esperado de la cartera de una
inversión equivalente a la riqueza del inversionista
( W ) .

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Luego tenemos que :



n
i
Ki
wi
Kp
1
*
^ ^
La esperanza de la cartera o rentabilidad esperada de la
cartera se completa con la rentabilidad del activo individual
ponderada por el peso que dicho activo tiene en la riqueza del
inversionista.

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De este modelo podemos inferir dos conclusiones
razonablemente válidas :
a ) El Kp corresponde a la ponderación de la
rentabilidad de los activos individuales por la
proporción que cada activo ocupa en la cartera.
b) El riesgo de la cartera conjunta necesariamente
será menor que la simple ponderación de las
desviaciones estándar de cada uno de los activos
individuales de la cartera.

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El Riesgo de la cartera.
Una medida de riesgo para una cartera de inversiones
está dada por la desviación estándar que resulta de tener
distintos activos dentro de una cartera , respecto de la
rentabilidad promedio calculada
El efecto de tener distintos activos con patrones de
comportamiento distintos entre si, permite que frente a
bruscas variaciones en los retornos de un activo se
produzcan respuestas en igual o distinto sentido en la
rentabilidad del otro activo.

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El Riesgo de la cartera.
La respuesta ante la variación en el comportamiento de
una variable respecto de otra se conoce como grado de
correlación entre las variables.
En finanzas entenderemos como correlación
entre los diferentes activos financieros, como el
grado de asociación que es posible de
identificar en las variaciones de los retornos
individuales de los activos.

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La relacion de los activos en la cartera.
Para efectos de determinar el nivel de asociación tienen
dos activos financieros , utilizaremos el coeficiente de
correlación.
Este factor asocia las varianzas individuales
entre dos activos con una varianza conjunta
que se denomina COVARIANZA.

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Correlación
Definiremos el coeficiente de correlación del siguiente modo :

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Correlación
Este factor nos permite determinar el nivel de asociatividad
respecto de los rendimientos entre dos activos financieros. Sus
límites son + 1 y –1 .

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Correlación
Podemos representar gráficamente el concepto
del coeficiente de correlación con los
siguientes gráficos :

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Graficos
Rentab Y
Rentab X
Correlación Negativa

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Graficos
Rentab Y
Rentab X
Correlación Positiva

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Graficos
Rentab Y
Rentab X
Correlación de Cero

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El coeficiente de correlación es una medida estadística del
grado de asociación de los rendimientos entre dos
activos
Correlación
En una situación límite un inversor racional prefiere
tener en su cartera activos con correlaciones iguales a
–1, pues con ello es posible de reducir la exposición de
sus activos individuales en una cartera.

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Es posible rescribir y presentar el coeficiente de correlación
relacionado con la cocvarianza de los activos individuales del
siguiente modo :
Correlación

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Podemos ver que el riesgo de la cartera de dos activos , a lo
menos se encuentra condicionada por los eventos particulares
que aportan cada uno de los diferentes factores de riesgo y
los eventos que aportan los activos de modo conjunto al
relacionarse. El riesgo de una cartera de dos
activos dependerá de los siguientes factores
que la condicionan :
Correlación

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a.- Del valor de las Varianzas individuales ( de cada Activo )
Correlación
b.- Del porcentaje de la riqueza que el inversionista decida
destinar a la inversión del activo i
c.- De la relación que exista de dependencia de los activos
individuales ( nivel de correlación )

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Para calcular el riesgo de cartera con dos activos
utilizaremos la representación en la siguiente matriz :
Riesgo de la cartera dos activos
w y *
sy w x * sx* w y * sy
w x * sx* w y * sy
w x * sx w y * sy
wx*sx W
2
x*s2
x
W
2
y*s2
y

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La suma de las casillas es la varianza total de la cartera :
Riesgo de la cartera dos activos
sx,y = w2
x*s2
x + w2
y*s2
y +2wx* wy*COV(x,y)

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Pero sabemos que :
= x,y

)
,
( y
x
COV
y
xs
s
*
Por lo tanto podemos decir que el riesgo de una cartera de dos activos
es:
s =w2
x*s2
x + w2
y*s2
y +2wx* wy*x,y*sx *sy

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Esta formula es comocida como la desviacion estandar de una
cartera de dos activos . En el límite para la diversificicación la
matriz de la carianza de una cartera de N activos corresponde a :

 

n
i
n
j
wij
1 1
*
2
si,j
s

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Gráficamente la representación del riesgo de una cartera de N activos es
una matriz cuadrada donde cada par de fila, columna incorpora el término
wi * i : Representación Gráfica Matriz de Riesgo de Una cartera
Coordenada de fila : W i * si
Coordenada de Columna: Wj * sj
1 2 3 ........................................ n
1
2
n

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Esta es una matriz cuadrada y cada casilla achurada
corresponde al cuadrado de la proporción invertida en el
activo individual , ponderado por su varianza ( celdas en
amarillo) . Las otras casillas de la matriz corresponden a
la ponderación de las proporciones invertidas en cada
activo individual analizado de manera conjunta con otro
activo de la cartera. En este aspecto se presenta el
efecto de la covarianza de los retornos individuales
entre los diferentes valores de i y j

Vallejos Sánchez
Las celda de color amarillo y celeste, incorporan la
presencia de las covarianzas entre los distintos activos,
luego cada par cuadrado de observaciones nos entrega
una combinación de 2 covarianzas.
Cuando existen N títulos, la matriz de riesgo de la
cartera tiene N2 celdas, de las cuales N son varianzas y
(N2 - N) son de covarianzas.
Por su parte, si suponemos que en cada título se ha
invertido equi-proporcionalmente los fondos, el monto
invertido en cada celda de varianza es (1 / N)2, y en cada
celda de covarianza es lo mismo, esto es, (1 / 2)2. Luego
tenemos que :

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 )
Media
Covarianza
*
N
1
-
1
Media
Varianza
*
N
1
Media
Covarianza
Media
Varianza
*
N
1
N
N
*
N
1
N
cartera
Varianza
2
2
2
























Indudablemente que cuando aumenta el número de títulos en la cartera ,
mayor es el impacto de las covarianzas en el riesgo total. En la medida que
las covarianzas de los títulos sea menor que 1, se produce que el riesgo de la
cartera es menor a la media ponderada de la varianza de los títulos
individuales.

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El Análisis del Conjunto eficiente de Carteras: modelo para dos
activos
Consideremos los siguientes eventos de rendimientos
esperados entre dos activos :
Estado Activo ( a ) Activo ( b )
I 5% -20%
II 20% 10%
III -12% 30%
IV 9% 50%

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Calcularemos los valores más relevantes de la cartera :
Ka = 5% *0,25 +20%*0,25+(-12%)*0,25+9%*0,25 = 5,5%
Kb = (-20%)*0,25+10%*0,25+30%*0,25+50%*0,25 = 17,5%

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Calculemos la Matriz de Riesgo
Estado ( ka - K) ( ka - K)
2
( ka - K)
2*
p i
I ( 5% - 5,5% ) 0,0025% 0,0006%
II ( 20% - 5,5% ) 2,1025% 0,5256%
III ( -12% - 5,5% ) 3,0625% 0,7656%
IV ( 9% - 5,5% ) 0,1225% 0,0306%
Varianza 1,3225%
Riesgo 11,5000%

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Estado ( kb - K) ( kb - K)
2
( kb - K)
2*
p i
I (-20% - 17,5%) 14,0625% 3,5156%
II ( 10% - 17,5% ) 0,5625% 0,1406%
III ( 30% - 17,5% ) 1,5625% 0,3906%
IV ( 50% - 17,5% ) 10,5625% 2,6406%
Varianza 6,6875%
Riesgo 25,8602%

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Calculemos las Covarianzas
Estado ( ka - K) ( kb - K) ( ka - K) * ( kb - K)*0,25
I ( 5% - 5,5% ) (-20% - 17,5%) 0,0469%
II ( 20% - 5,5% ) ( 10% - 17,5% ) -0,2719%
III ( -12% - 5,5% ) ( 30% - 17,5% ) -0,5469%
IV ( 9% - 5,5% ) ( 50% - 17,5% ) 0,2844%
Covarianza -0,4875%
Coef Correlac : -16,392%

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El punto A representa una inversión de
un 100% en el activo A y el punto B
representa una inversión del 100% en el
activo B.

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Dado que sabemos que :



n
i
Ki
wi
Kp
1
*
^ ^
y que
s = w2
x*s2
x +w2
y*s2
y +2wx* wy* x,y*sx *sy

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por lo tanto podemos desarrollar una tabla de posibilidades de combinaciones
dado que nuestra variable será la proporción invertida en cada activo ( modelo
con dos Activos ):
Tabla de Desarrollo
Riesgo para Distintas Proporciones -16,392% -100,000% 100,000%
de Inversion en los activos a y b   
% en Wa % en Wb Ka,b % sa,b % sa,b % sa,b
100% 0% 5,50% 11,500% 11,500% 11,500%
90% 10% 6,70% 10,249% 7,764% 13,251%
80% 20% 7,90% 9,787% 4,028% 14,873%
70% 30% 9,10% 10,223% 0,292% 16,406%
69% 31% 9,19% 10,293% 0,000% 16,522%
60% 40% 10,30% 11,455% 3,444% 17,871%
50% 50% 11,50% 13,262% 7,180% 19,284%
40% 60% 12,70% 15,444% 10,916% 20,656%
30% 70% 13,90% 17,864% 14,652% 21,994%
20% 80% 15,10% 20,437% 18,388% 23,305%
10% 90% 16,30% 23,114% 22,124% 24,592%
0% 100% 17,50% 25,860% 25,860% 25,860%

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0,00%
2,00%
4,00%
6,00%
8,00%
10,00%
12,00%
14,00%
16,00%
18,00%
20,00%
0,000% 10,000% 20,000% 30,000%
Riesgo de la cartera
Rendimiento
de
la
cartera
r = -0,16392
r = 1

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Si progresivamente modificamos la correlación que existe entre las diferentes
combinaciones de proporciones de inversión de cartera podremos configurar
una matriz de riesgo rendimiento que nos dé una frontera de posibilidades de
inversión que son posibles de conseguir con la combinatoria de carteras:
Grafico de Riesgo rendimiento de una cartera de
Dos Activos
14,0%
15,0%
16,0%
17,0%
18,0%
19,0%
20,0%
21,0%
22,0%
0,0% 5,0% 10,0% 15,0% 20,0% 25,0% 30,0%
Riesgo de la cartera
Re
ndi
mi
ent
o










Vallejos Sánchez
En este caso y para todos los efectos, los puntos de mínima varianza y máximo
rendimiento, parten desde los puntos de inflexión de la curva y representan la partida de
los conjuntos eficientes de carteras. ( Se logra el mínimo riesgo cuando se encuentra en
los puntos de inflexión de la curva )
Los puntos representan el valor donde el rendimiento se maximiza y el riesgo se
minimiza.. El área que cubre la traza se denomina “ FRONTERA DE POSIBILIDADES
DE INVERSIÓN “ y los trazos que se encuentran a partir de los puntos en Rojo hacia la
Derecha y arriba son los conjuntos de carteras eficientes.
Para efectos de maximizar el valor de la combinatoria de una cartera , el punto de
varianza mínima cuando la correlación es perfecta entre ambas variables es

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Conjunto de Oportunidades de Cartera y el
Conjunto eficiente
En medida que la cantidad de activos
dentro de una cartera aumenta, la
densidad de las combinaciones
progresivamente aumenta , generando una
frontera de posibilidades de combinatorias
para las diferentes carteras.

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En la frontera, la traza AB recibe el nombre de conjunto
eficiente de carteras y representa el área de carteras que tienen
un más alto rendimiento para un determinado nivel de riesgo.
Un inversionista que sea averso al riesgo optará por carteras
que se encuentren en el conjunto eficiente.

Vallejos Sánchez
El equilibrio de Mercado : La línea de mercado
de Capitales.
1.- La existencia de rendimientos libre de riesgo en activos financieros.
Un inversionista puede decidir ganar el mínimo de rentabilidad si esa
rentabilidad es segura. Luego podemos decir que actúa racionalmente al
utilizar un activo libre de riesgo dentro de su cartera.
Si Kf = rendimiento del Activo Libre de Riesgo,
Kr = Rendimiento de(l) Activo(s) libre de Riesgo(s)
Entonces :

Vallejos Sánchez
Kp = wr* Kr + ( 1-wr)*Kf
El riesgo de esta cartera está dada por :
sp  wr *s r

Vallejos Sánchez
No existe una covarianza entre un activo libre de riesgo
y un activo riesgoso. Lo mismo ocurre con la varianza
del activo libre de riesgo: esta no existe.
Luego es factible de que un inversionista tome una
posición desde un activo individual libre de riesgo. Y
progresivamente incorpore otros activos dentro de su
cartera, agregando de este modo más riesgo y mayor
rendimiento .

Vallejos Sánchez
Gráficamente la solución se presenta como una
recta :

Vallejos Sánchez
La recta que muestra la Inter. compensación de
equilibrio de mercado entre riesgo y rendimiento se
denomina LINEA DE MERCADO DE CAPITAL
(CML ) Si combinamos los gráficos anteriores
tendremos el equilibrio de mercado para la cartera de
mercado y el riesgo asociado.

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Rentabilidad
esperada por
inversión
Rf
Rm
Línea del Mercado de Títulos
I’
I
M
b

Vallejos Sánchez
La pendiente de la recta de mercado de
Capitales está dada por :

Vallejos Sánchez
La pendiente muestra y representa el precio del equilibrio del riesgo.
Todos los puntos que se encuentran a la derecha del punto A son puntos
que reflejan las oportunidades de solicitar préstamos. Los de la Izquierda
representan las operaciones de concesión de préstamos.
La cartera del Punto A es la cartera de Activos riesgosos mantenida en
equilibrio por todos los inversionistas y por definición es la cartera de
mercado de activos riesgosos.
La línea de mercado de capitales ( CLM ) describe el precio de la línea
de mercado, asumiendo todos los individuos que tomen decisiones en
condiciones de incertidumbre. La ecuación que explica la línea de
mercado de capitales es :

Vallejos Sánchez
( ecuación )
La diferencias de Km y Kf se denomina prima por
riesgo.

Vallejos Sánchez
La Diversificación .
En los límites , una cartera que reúna la totalidad de los activos
financieros disponibles debe tener un nivel de riesgo menor que
una cartera con un activo menos.
Si graficamos esta situación podemos mostrar la siguiente
relación :

Vallejos Sánchez
Diversificar significa, simplemente no apostar todo
en una sola cosa, ni tampoco a demasiadas pocas
cosas. La mayor parte de las acciones son más
variables que la de la cartera, esto se produce
porque la diversificación reduce la variabilidad.
Este beneficio (reducción de riesgo), puede
conseguirse con relativamente pocas acciones, la
mejora es pequeña cuando se incrementa el
número de títulos en 25 o 30 por ejemplo.

Vallejos Sánchez
Conclusión llegamos a reducir el riesgo combinando dos activos
riesgosos. Si embargo se debe tener en cuenta que:
•Esta reducción de la dispersión – es decir del riesgo - funciona hacia
arriba como hacia abajo. La cartera tampoco va a subir excesivamente
en reacción a los cambios en el precio de uno de los activos, mientras
cualquiera de los dos Activos por separado sí podría hacerlo bastante.
•Por más que reduzcamos el riesgo formando una cartera con activos
con covarianza negativa entre sí, el riesgo no se va a eliminar por
completo. Esto se debe a que hay otros factores, además del precio de
los activos que los afectan de manera similar. Por lo tanto la correlación
entre las dos puede ser negativa pero seguramente no es –1.

Vallejos Sánchez
Sucede que al incluir una gran variedad de títulos de empresas
diferentes en una cartera se logra que las covarianzas bajas y
negativas entre títulos reduzcan el riesgo total. Pero queda un riesgo
que es imposible de diversificar: el riesgo del mercado.
En el caso extremo en que formáramos una cartera perfectamente
diversificada, esta cartera sería un “microcosmos” del mercado: incluiría
todos los títulos existentes en él y pasaría a ser llamada cartera de
mercado.

Vallejos Sánchez
La cartera de mercado a pesar de que es la
más diversificada posible, no está exenta de
riesgo. El mercado en su conjunto es
riesgoso, sube y baja y nos expone a la
posibilidad de pérdidas así como de
ganancias. Esto significa que hay una parte
del riesgo que no podemos eliminar por más
que diversifiquemos las inversiones.

Vallejos Sánchez
La parte del riesgo que se puede eliminar a
través de la diversificación se llama:
La parte del riesgo que no se puede eliminar a
través de la diversificación se llama:
 
Riesgo único, riesgo propio, riesgo
no sistemático, riesgo residual o
riesgo diversificable.
Riesgo del mercado, riesgo sistemático o
riesgo no diversificable.

Vallejos Sánchez
Diversificación de Actividades de la Empresa
En cuanto a las actividades ¿sería beneficioso diversificarlas también?.
Conviene recordar que el inversor es perfectamente capaz de diversificar
por cuenta propia. Por lo tanto no estaría dispuesto a pagar más por una
empresa con actividades diversificadas.
Si es así, llegamos a la conclusión de que una actividad agrega valor a la
empresa en forma aditiva. El valor de la empresa es la suma de sus
valores actuales. No hace falta que su directivo se preocupe por
diversificar sus actividades. Solo basta con sumar valores de actividades
para llegar al valor total de la empresa.
VAN (AB) = VAN(A) + VAN(B)

Vallejos Sánchez
Beta ( b )
La letra griega beta (b) es utilizada para
referirse a la covarianza normalizada de
un título con la cartera del mercado.
La beta mide el riesgo del mercado de un
título.

Vallejos Sánchez
bi = Cov (K i, K m )
__________________
s
m
= covarianza entre la rentabilidad de la
acción i y la rentabilidad del mercado
= varianza de la rentabilidad del mercado
im
s
2
m
s

Vallejos Sánchez
Si un título va a ser incluido en una cartera razonablemente
diversificada, el riesgo del título por separado es de poca
relevancia ( El riesgo de un título es medido por la varianza de
su retorno ). Ese componente puede ser eliminado a través de
la diversificación, y no es relevante para saber cuál sería la
contribución del título al riesgo de la cartera como conjunto.
Lo que hay que saber para estimar la contribución del título al
riesgo de la cartera como conjunto, es su riesgo de
mercado, ya que este riesgo no se puede eliminar y afectará
el riesgo de la cartera. Dicha contribución se calcula midiendo
la sensibilidad del precio del título a los movimientos del
mercado.

Vallejos Sánchez
Ya que la beta es una covarianza normalizada, lo que mide
es la covarianza del título con el mercado, comparada con
la covarianza del mercado.
Una beta de 1 significa una volatilidad igual a la del
mercado. Una beta de menos de 1 significa un título
menos volátil –y menos riesgoso- que el del mercado.
Una beta de más de 1 significa que un título más volátil y
más riesgoso que el del mercado.
Esto da lugar a que la proporción entre la covarianza y la
varianza mida la contribución de las acciones al riesgo
de la cartera.

Vallejos Sánchez
Valor de Beta Significado
Beta = 1 Para una sola acción: es una acción típica o de riesgo promedio. Tiende a variar en la
misma medida y dirección del mercado.
Para una cartera: la cartera es tan volátil como el mercado, tiende a variar en la misma
medida y dirección que el mercado. Puede ser la cartera del mercado.
Beta > 1 Para una acción: Es una acción más volátil que el mercado. Tiende a variar más que el
promedio del mercado y en la misma dirección. Esto puede ocurrir con una acción
especulativa con tendencia procíclica.
Para una cartera: la cartera es más volátil que el mercado. Esto puede ocurrir con una
cartera de acciones especulativas con tendencias procíclicas ( sea que depende mucho
de los ciclos del mercado).
Beta < 1 Para una acción: Es una acción menos volátil que el mercado. Tiende a variar menos
que el promedio del mercado y aunque en la misma dirección. La acción puede tener
características propias que la hacen más riesgosa.
Para una cartera: Es una cartera menos volátil que el mercado. Tiende a variar menos
que el promedio del mercado y aunque en la misma dirección. Esto puede ocurrir si se
combinan acciones pero que al diversificar elimino el riesgo particular dejando bajo el
riesgo del mercado.
Beta 0 Implica que un título no depende en lo absoluto de lo que pasa en el mercado. Suele ser
un título libre de riesgo como los bonos del tesoro.
Beta < 0 Es muy raro para una acción. Implica que la acción o la cartera tiende a moverse en
sentido contrario al mercado.

Vallejos Sánchez
Veamos un Ejemplo :
Supongamos una cartera de dos activos. El Activo
a con una proporción de 60% en la caretra y el
activo b con una proporción de 40% en la cartera.
Los riesgos son de 18,6% para a y 28% para b. El
coeficiente de correlación entre ambas alternativas
es 0.2.
Determinar la contribución al riesgo de cada
activo dentro de la cartera.

Vallejos Sánchez
Calculando la Matriz de Riesgo
Activo 1 Activo 2
Activo 1 2
2
)
6
,
18
(
*
)
60
,
0
(
28
*
6
,
18
*
2
,
0
*
40
,
0
*
60
,
0
Activo 2
28
*
6
,
18
*
2
,
0
*
40
,
0
*
60
,
0
2
2
)
28
(
*
)
40
,
0
(
Si sumamos cada fila de casillas podemos observar que parte
del riesgo tiene la cartera del Activo 1 y que parte del Activo 2.
Stock Contribución al riesgo
Activo 1 0,60*{ [0,60*(18,6)
2
] + (0,40*0,2*18,6*28)} = 0,60*249
Activo 2 0,40*{ (0,60*0,2*18,6*28) + [0,40*(28)
2
] } = 0,40*376
Total de la cartera 300

Vallejos Sánchez
La proporción del riesgo que viene de las acciones del Activo 1 es:
Valor relativo en el mercado =
cartera
la
de
varianza
media
covarianza
= 5
,
0
83
,
0
*
60
,
0
300
249
*
60
,
0 

La proporción del riesgo que viene de Activo 2 es:
5
,
0
25
,
1
*
40
,
0
300
376
*
40
,
0 

0,83 y 1,25 son las betas relativas de esta cartera.

Vallejos Sánchez
Beta relativa a la Cartera del
mercado =
mercado
del
varianza
mercado
del
covarianza
= 2
m
im
s
s
Una variación de un 1% en el valor de la cartera
estaría asociado con una variación extra de un
0,83% en el valor del Activo 1 y una variación de
1,25 del valor del Activo 2.

Vallejos Sánchez
Incorporación del Riesgo en el Análisis de Proyectos
Prima de Riesgo
Toda empresa es más riesgosa que una inversión libre de
riesgo. Esto implica que la tasa de descuento que utilizará la
empresa para descontar futuros flujos de efectivo, que promete
un proyecto de riesgo inferior o igual al nivel de riesgo de la
empresa, contiene una prima de riesgo que depende de la
beta de la empresa.
Esta tasa de descuento que toma en cuenta el riesgo de la
empresa es la tasa que requieren lo inversores que invierten en
la empresa. Cuanto mayor es el riesgo mayor es la tasa
requerida por los inversores. Cuanto más alta es la tasa, más
severamente será necesario descontar los futuros flujos de
efectivos prometidos por los proyectos de la empresa.

Vallejos Sánchez
Esto significa que el cálculo de la beta de la
empresa es fundamental para evaluar la tasa de
descuento aplicable a los flujos de efectivos que
prometen los proyectos que se han invertido.
La tasa de descuento utilizada para descontar
futuros flujos de efectivo es la del costo del capital
–si se trata de utilizar fondos externos - o del
costo de oportunidad – si se utilizan fondos
propios-.

Vallejos Sánchez
La tasa de descuento que aplicaremos tiene que tener en
cuenta el riesgo de la empresa. Este riesgo interviene en
la medida que se calcula la tasa de descuento apropiado
-la del costo del capital – como un promedio ponderado de
la tasa que paga la empresa sobre su deuda y la tasa que
pago sobre su capital movilizado por la emisión de acción.
Esta última es la requerida por los accionistas para
comprar y mantener en su posesión las acciones de la
empresa en una función positiva y lineal de la beta de la
empresa. Más es una línea recta con un intercepto igual a
la tasa libre de riesgos y con una pendiente constante
igual a la prima de riesgo del mercado.

Vallejos Sánchez
La tasa de descuento aplicable
a los proyectos “típicos” de la
empresa es un promedio
ponderado de la tasa de la
deuda y la tasa de retorno
requerida por los accionistas.

Vallejos Sánchez
Relación entre Rentabilidad y Riesgo
La diferencia entre la rentabilidad del mercado y el tipo de
interés se denomina “prima por riesgo del mercado” (r –
rf).
En un mercado competitivo la prima de riesgo esperado
varía en proporción directa con la beta.
Esto significa, que todas las inversiones deben situarse a lo
largo de la línea inclinada conocida como “línea del
mercado de títulos”.

Vallejos Sánchez
Cuatro Principios Básicos para la Selección de Carteras
1. Los inversores prefieren una rentabilidad esperada alta
y una desviación típica baja. Las carteras de acciones
ordinarias que ofrecen la rentabilidad esperada más
alta para una desviación típica dada son conocidas
como “carteras eficientes”.
2. Si quiere conocer el impacto marginal de una acción
sobre el riesgo de una cartera, no debe evaluar el
riesgo de la acción de forma aislada, sino su
contribución al riesgo de la cartera. Esta contribución
depende de la sensibilidad de las acciones a las
variaciones en el valor de la cartera

Vallejos Sánchez
3.- La sensibilidad de una cartera a las
variaciones es el valor de la cartera del
mercado, conocida como beta. Beta, por lo tanto
mide la contribución marginal de una acción al
riesgo de la cartera de mercado.

Vallejos Sánchez
4.- Si los inversores pueden endeudarse y prestar al tipo
de interés libre de riesgo, deberían mantener siempre
una combinación de la inversión libre de riesgo, de
una cartera determinada de acciones ordinarias. La
composición de esta cartera de acciones depende
únicamente de las expectativas de lo inversores
respecto a las expectativas de cada acción y no de
su actitud frente al riesgo. Las primas por riesgo
reflejan la contribución al riesgo de una cartera. Si
una cartera es eficiente, ha de existir una relación
lineal entre la rentabilidad esperada de cada acción y
su contribución marginal al riesgo de la cartera. Lo
inverso también es cierto, si no existe una relación
lineal, la cartera no es eficiente.

Vallejos Sánchez
Si todo el mundo tiene una cartera del mercado, y si la beta
mide cada contribución de cada título al riesgo del
mercado, no es sorpresa que la prima por riesgo
demandada por los inversores sea proporcional a la beta.
Las primas por riesgo siempre reflejan la contribución al
riesgo de la cartera. Supongamos que está construyendo
una cartera. Algunas acciones añadirán riesgo a la cartera,
por lo tanto, las comprará si aumentan la rentabilidad
esperada. Otras reducirán el riesgo de la cartera y estará
dispuesto a comprarlas aunque reduzcan la rentabilidad
esperada. Si la cartera es eficiente, cada una de sus
inversiones significará lo mismo para usted.

Vallejos Sánchez
El CAMP y la recta de mercado de Valores
La contribución más importante del Modelo de
Valuación de Activos de Capital ( CAPM ) es que
proporciona una medida de riesgo de un valor
individual coherente con una teoría de carteras y nos
permite estimar el riesgo no diversificable de un solo
activo y compararlo con el riesgo no diversificable de
una cartera bien diversificada.
Sabemos por definición que :

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k f
k m
K f
Kp
sm
s p
*
)
( 


La Línea nos permite predecir el comportamiento esperad0o de
todas las carteras a lo largo de la recta del mercado de capitales.
Lamentablemente tienen poca utilidad práctica pues todos los
puntos da lo largo de la CLM corresponden a diversas
combinaciones del activo libre de riesgo con la cartera de mercado y
eso nonos permite explicar los puntos no eficientes ni sus equilibrios
técnicos.

Vallejos Sánchez
Recordemos que del concepto de diversificación
estimamos que :
Riesgo total = riesgo diversificable + riesgo no
diversificable
Además sabemos que la recta del mercado de valores
desarrollada por Sharpe, treynor, Mossin y Litnet se
escribe así :
kp = kf +( km - kf ) * bp

Vallejos Sánchez
Ademas sabemos que :

Vallejos Sánchez
Gráficamente podemos ver lo siguiente :
(GRAFICOS COMPARATIVOS) PAG 3

Vallejos Sánchez
Podemos relacionar la SLM con laCLM utilizando la definición del Beta pues :
SLM =
Si la desarrollamos como identidad :
kp = kf +( km - kf ) * bp
kp = kf +( km -kf ) * Cov ( Kp, Km )
s


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kp = kf +( km -kf ) * Cov ( Kp, Km )
s

Donde Cov(Kp, Km ) / sm corresponde al riesgo
del activo p respecto al mercado. Luego llegamos a
la curva SLM.

Vallejos Sánchez
La recta SLM ( CAPM) nos muestra que :
1) 1 El riesgo no diversificable de un activo puede concebirse como aquel
que esta compuesto de la desviación estándar de los rendimientos del activo
p y su correlación con la cartera del mercado.
2) 2 Es una recta en relación a una teoría de equilibrios respecto a la forma
en que se debe evaluar y medir el riesgo
3) 3 La utilizaremos para evaluar el presupuesto de capital , activos,
proyectos y costos de inversión al interior de la empresa
4) 4 Utilizaremos el modelo para explicar el riesgo dentro de la tasa de
interés.
5) 5 El rendimiento requerido sobre una inversión individual, dependerá
de su beta, pues este mide la covarianza de los rendimientos respecto del
mercado.

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Aplicaciones Generales del CAPM
Podemos decir que :



n
i
i
wi
bp
1
* b

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Esta relación nos dice que el beta de una cartera de
activos es el promedio ponderado de los pesos de cada
activo en la cartera multiplicado por el valor del beta de
cada activo considerado individualmente.
Adicionalmente podemos decir que el rendimiento de
las deudas riesgosas ( deuda ) está determinado por la
rentabilidad que exige el mercado.
(formula del BONo )

Vallejos Sánchez
Donde r es la tasa de rendimiento interna que iguala
el flujo de pagos con el valor de mercado.
Dado que r representa el valor de mercado de
valuación de un activo individual, podemos decir que
la existencia del riesgo de incumplimiento se da
porque los rendimientos del bono se relacionan con
los del mercado y por lo tanto es posible estimar el
beta del activo .

Vallejos Sánchez
Podemos concluir de este análisis que :
a) El rendimiento esperado al vencimiento de los bonos se
encuentra sesgado hacia arriba respecto del valor del
rendimiento promedio del mercado.
b) La tasa de equilibrio de mercado del bono se calcula
descontándolos flujos de efectivo esperado del bono hasta que
ese valor iguale al precio del mercado del título.
c) La tenencia del bono asegura que una gran cantidad de
riesgo de incumplimiento de pago sea diversificable.
d) Los bonos riesgosos tienen bajo nivel de riesgo en relación
a las acciones comunes.

Vallejos Sánchez
El CAPM y el Costo del Capital Contable.
Es posible estimar el valor del costo de
financiamiento de una cartera de proyectos o
rentabilidades exigidas al capital de una empresa
utilizando el costo del capital contable o WACC.

Vallejos Sánchez
Debemos considerar que el mercado calcula las
tasas requeridas de rentabilidad sobre el capital antes
de impuestos, por lo tanto es necesario ajustarlo
después de impuestos:
K0 = WACC = ( Kb* ( 1-t ) * Wb + Kc * Wc
Donde :

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Wb = Proporción de la deuda a Valor de mercado sobre el
valor de mercado de los activos ( B/B+S)
Wc = Proporción del patrimonio a Valor de mercado sobre
el valor de mercado de los activos ( S/B+S)
Donde
Kb ( 1- t ) = costo de la deuda después de impuesto
Kc = Costo del capital común
B = Valor de mercado de la deuda
S = Valor de mercado del capital común

Vallejos Sánchez
El WACC nos permite inferir determinadas conclusiones :
A) El WACC representa una tasa ajustada por el riesgo que
toma en cuenta el riesgo no diversificable de la deuda y del
capital contable.
B) El WACC usa la estructura del capital de la empresa
expresada en pesos a valor de mercado en lugar de $ a valor
libros
C) El WACC puede usarse para descontar los flujos de los
proyectos de la empresa para estimar su valor
D) Pasa a ser el costo de oportunidad del capital para la
empresa.

Vallejos Sánchez
Algunas Consideraciones respecto del Concepto del Costo de
Capital
Es innegable que el dinero tiene un costo y por tanto, toda
organización trata de que el rendimiento del dinero sea el mayor
posible respecto a su costo, pues en la medida que se logre
mayor diferencia entre el costo y el rendimiento, se aumentará el
valor de la empresa.
Es necesario calcular si el rendimiento que generan los
proyectos estará por encima del costo de capital de la empresa;
si no es así, deben rechazarse. También el costo de capital sirve
como marco de referencia o tasa mínima, a la cual deben
descontarse los flujos de efectivo de un proyecto para traerlos a
valor presente

Vallejos Sánchez
Costo de Capital Ponderado de una empresa
es lo que le cuesta en promedio a la compañía
cada peso que está utilizando, sin importar si
es financiado por recursos ajenos o
propios. Desde el punto de vista financiero, el
WACC, es la tasa de retorno mínima exigida a
los proyectos de inversión de tal forma que
permita mantener el valor de la empresa

Vallejos Sánchez
Para determinar el costo de capital ponderado WACC, se
necesita conocer el costo efectivo de capital de cada una de las
fuentes de financiamiento de la organización. Dada la
variabilidad en las tasas de interés, se hace necesario, que el
costo de capital ponderado debe ser calculado para todos los
años de vida del proyecto y no sólo el costo de capital actual.
Las fuentes de financiación de una empresa pueden ser tanto
internas ( utilidades, depreciación, amortización de diferidos)
como externas (pasivos, acciones).

Vallejos Sánchez
Factores que afectan al Beta
Tenemos que tener en consideración que el beta será
el elemento estadístico que nos indicará con claridad
la relación de riesgo del activo ( en relación al
mercado ). Luego es importante tener en
consideración que es y que es lo que afecta al beta
como indicador de riesgo.

Vallejos Sánchez
Las siguientes son las consideraciones que se debe
tener al momento de utilizar el beta como un indicador
apropiado de riesgo :
a)La línea de negocios afecta por el apalancamiento
operativo de la empresa, pues su riesgo comercial
incluye tanto a la naturaleza cíclica de los negocios
como el efecto de esta sobre los activos utilizados para
apoyarlo.

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b) El apalancamiento financiero afecta positivamente
al riesgo de la empresa pues :
b empresa = bdeuda * Wdeuda + bcapital * Wcapital
bcapital = b empresa + ( bempresa - b deuda )* B/S

Vallejos Sánchez
Podemos graficar esta relación del siguiente modo :

Vallejos Sánchez
El beta del capital contable aumenta con el grado
de apalancamiento financiero ( es el equivalente
del leverage a valor de mercado ).
Podemos ver que existe una relación directa entre
el nivel de riesgo y el nivel de apalancamiento.
Vale decir, la exigencia de rentabilidad del
inversionista respecto de los fondos que permite
que administre la empresa, es cada vez mayor.

Vallejos Sánchez
c) Dadas las estimaciones de retorno sobre la
inversión desarrollada en los activos, el coste de
capital resulta invariable. En la trayectoria de
cambio de mayor a menor deuda, también cambia
la exigencias de retornos sobre el capital propio
de los inversionistas.
d) Desde el punto de vista de valuación, el coste
ponderado de capital ( wacc ) pasa a ser el valor
relevante a considerar en la evaluación de los
proyectos de inversión y no la rentabilidad exigida
por los accionistas o poseedores de capital propio.

Vallejos Sánchez
e) El Coste de capital de los activos de una empresa
es una media ponderada de las rentabilidades que los
inversores esperan de varios títulos de deuda y del
capital propio emitido por la empresa.
f) El beta de los activos de una empresa puede ser
calculado como una media ponderada entre los betas
de los títulos que conforman la cartera de activos de la
empresa, vale decir, una media ponderada entre el
beta de la deuda y el beta del capital
propio.

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