ANALISIS DE RIESGO.

1. “
1
FACULTAD DE NGENIERIA CIVIL, SISTEMAS Y ARQUITECTURA
Escuela profesional de Ingeniería Civil
ALUMNA:
- YESICA YUDIT DÍAZ DÍAZ
DOCENTE:
- ING. ROCIO DEL PILAR BLAS REBAZA
CURSO:
- INGENIERIA ECONOMICA II

2. INTRODUCCION
01

3. En el análisis de proyectos de
inversión son dos factores los que
se involucran siendo ambos de
gran importancia para los
estudios económicos de un
proyecto, tenemos el riesgo y la
incertidumbre que son dos
actores que se presentan con
frecuencia, los cuales es
necesario estudiarlos para saber
si la inversión realizadabrinda la
rentabilidad esperada o que
perdida nos generaría..
El riesgo considera que los
supuestos de la proyección se
basan en probabilidadesde
ocurrencia que se pueden
estimar, el segundo se enfrenta a
una serie de eventos futuros a los
que es imposibleasignaruna
probabilidad.El riesgo siempre
está presente en cualquier
propuesta o proyecto de inversión
por más mínimo que sea y puede
afectar la decisión a tomar.
A lo largo del presente informe
analizaremosun detalledel
análisis de riesgo, detallaremos
las principales distribuciones de
probabilidadpara el análisis de
riego, hablaremos también del
teorema del limite central y por
ultimo hablaremos sobre la
distribuciónde probabilidades
cuyos criterios económicos más
utilizadoscomo: Valor Presente
Neto (VPN), ValorAnual
Equivalente (VAE) y Tasa Interna
de Rendimiento (TIR), dichas
informaciones se presentan con
ejemplos aplicativospara el
mejor entendimiento del tema y
poder al final saber que decisión
tomar respecto a cualquier
proyecto que se nos presente en
un futuro personal y profesional.

4. ANALISIS DE
RIESGO
02

5. 2. ANALISIS DE RIESGO
• Este consiste en un proceso que
nos permitirá identificar y
gestionar las amenazas que
podrían afectar la integridad y
funcionamiento de un equipo o
proyecto, así como de sus
instalaciones. Calculando la
probabilidad de ocurrencia de un
evento y sus potenciales
consecuencias, podremos
determinar el riesgo por medio
de un tratamiento matemático.
• Recientemente, el análisis de
riesgo ha ganado una gran
aceptación en muchas industrias,
las cuales lo consideran en la
evaluación de nuevas propuestas
de inversión y en la planeación
estratégica de corto, mediano y
largo plazo.
• Obteniendo la cualificación
o cuantificación, de los
escenarios analizados.
Ilustración 1Grafico de Tortas - Análisis de
Riesgo Semicuantitativo

6. ¿Qué es riesgo?
El riesgo de un proyecto se define como la variabilidad de los flujos de caja reales respecto de los
estimados. Hay riesgo cuando se anticipan dos o más valores observables para un parámetro y es posible
estimar la probabilidad de que cada valor ocurra. Virtualmente toda toma de decisiones se lleva a cabo con
riesgo.
En otras palabras, riesgo es la posibilidad de perder y éste, en finanzas, se calcula a partir de la
desviación estándar o varianza.
Ejemplo 1:
Se tienen dos proyectos, A y B que tienen la misma probabilidad de obtener
cualquiera de las rentabilidades que se detalla en la siguiente tabla:
RENTABILIDADES
Probabilidad Proyecto A Probabilidad Proyecto B
1/3 13% 1/3 7%
1/3 15% 1/3 20%
1/3 17% 1/3 33%
¿Qué proyecto escogería?

7. SOLUCION:
¿Qué proyecto escogería?
Si analizamos la segunda probabilidad
podríamos decir que nos beneficiaria el proyecto B ya
que es más rentable que el proyecto A; sin embargo, en
este proyecto si analizamos la probabilidad primera es
posible obtener un reducido rendimiento mínimo de 7%
frente a un mejor rendimiento mínimo del 13% para el
proyecto A. Es decir, el riesgo es mayor.
Para poder obtener una solución recurrimos a un
estudio matemático mediante el cálculo del promedio
aritmético y la desviación estándar:
𝝈 =
𝒙𝒊 − 𝝁 2
𝒏
La desviación estándar para el proyecto A es
de 1.63% y para el proyecto B es de 10.61%. Sin
embargo, una medida que relativiza el riesgo
mediante la corrección de la desviación estándar, en
número de promedios aritméticos, es el coeficiente
de variación (CV). Este indicador es la razón de la
desviación estándar y el promedio aritmético. Para el
proyecto A el CV (desviación estándar sobre la
media) es 0.109 y para el B es de 0.531. Es
importante detallar que este indicador continúa
siendo una medida de riesgo y no de rentabilidad

8. EJERCICICIO 2:
Lanzar una moneda y apostar a cara o sello
con la esperanza de: si resulta cara se gana S/10 y
si resulta sello se pierden S/5. La ganancia de
participar en este juego no es segura, pero
conocemos los eventos (solo son dos, ganar 10 si
resulta cara o perder 5 si es sello) y las
probabilidades (para cada evento sería igual a 0.5)

9. En términos financieros la conclusión
mencionada anteriormentepuede
expresarsede la siguientemanera:
La relación que existe entreel riesgo y la rentabilidad es de forma
directa. Cuantomayor el riesgo de una inversión, mayor tendrá que ser
su rentabilidad potencial para que sea atractivaa los inversores. Cuanto
más riesgo se asume, más rentabilidad se debeexigir. Igualmente,
cuanta más rentabilidad se pretendeobtener, más riesgo hay que asumir.
Por ejemplo, en una empresareciénfundada cuya inexperienciarefleje
riesgos, nadie exigiría la misma rentabilidad que ofrecenempresascon
muchos años de operación.
𝑅𝑖 = 𝑇𝐿𝑅 + 𝑅𝑖𝑒𝑠𝑔𝑜
Donde:
Ri = Rentabilidad de un activo financiero
TLR = Tasa libre de riesgo

10. 1. PRIMERA CLASIFICACIÓN
1.Riesgo económico
Es aquel producido por el mismo giro del negocio
o más precisamente es el riesgo de no poder
cubrir los costos de operación. Los riesgos pueden
ser diversos, ya sea por políticas públicas,
empresariales, entre otros. Para disminuir este tipo
de riesgos, se suele utilizar la inversión a corto
plazo porque cuanto antes se obtiene el beneficio,
menores las posibilidades de que los riesgos
afecten las ganancias.
Forma de medición: Mediante el punto de
equilibrio operativo (costos fijos operativos
sobre margen de contribución)
1.Riesgos financieros.
Es aquel producido por el mismo giro del negocio
o más precisamente es el riesgo de no poder
cubrir los costos de operación. Estos riesgos están
muy vinculados con los económicos.
Forma de medición: A través de la palanca
financiera (pasivo/patrimonio)
Ejemplo: Sobredimensionamiento de la
deuda mediante un excesivo principal en
relación al patrimonio aportado, una
elevación de la tasa activa o un riesgo
cambiario en las deudas en moneda
extranjera.

11. 2. SEGUNDA CLASIFICACIÓN
1.Riesgo diversificable (no sistemático
o propio)
Es aquel que disminuye cuando se invierte en más de una
activo. Existen activos cuyas rentabilidades en el tiempo van
en la misma dirección y otros en los cuales van en sentido
contrario. El siguiente grafico muestra ambos casos:
El comportamiento de los rendimientos de ambos activos
permite reducir el riesgo en el gráfico N°1a pero no en el
gráfico N°1b.
Forma de medición: Para medir correctamente cuales
permiten disminuir el riesgo nos valdremos de la ayuda del
coeficiente de correlación, el cual mide el grado de relación
de las rentabilidades de dos acciones.
Ejemplo: Formación de carteras en dos distintos sectores.
1.Riesgo no diversificable (Sistemático o afecta a
todos los sectores)
Es aquel que no puede reducirse, aunque se invierta en varios activos
ya que afecta a todos los sectores. En la medida en que no se puede
aumentar la rentabilidad si no se acepta un mayor riesgo, se
considerará activo riesgoso a aquel que exija rentabilidad mayor al
mercado y activo poco riesgoso al que exige menor rentabilidad.
Forma de medición: Para medir correctamente cuales no
son riesgosos haremos uso de un concepto que nos brinda
la estadística el cual es beta, siendo esta la pendiente de
una ecuación que regresión la rentabilidad de un activo
individual con el riesgo de mercado. Se considera activo
riesgoso al que tenga una beta mayor que 1 y poco
riesgoso al que tenga una beta menor a 1. Por otro lado, si
beta es igual a 1 implica asumir un riesgo similar al
mercado y si es menor que 0 va en sentido contrario al del
mercado.
Ejemplo: Bolsas de valores de todo el mundo ya que están
interrelacionadas y si una cae las demás también.

12. Mientras el riesgo es la dispersión de la
distribución de probabilidades del elemento en
estudio (del flujo de caja, por ejemplo), la
incertidumbre es el grado de desconfianza de
que la distribución de probabilidades analizada
sea la correcta.
Existen tres tipologías de métodos
utilizados para determinar el nivel de riesgos de
nuestro negocio.

13. MÉTODOS DE ANALISIS DE RIESGO
1. Métodos Cualitativos:
 Es el método de análisis de riesgos más utilizado en
la toma de decisiones en proyectos empresariales, los
emprendedores se apoyan en su juicio, experiencia e
intuición para la toma de decisiones.
 Se pueden utilizar cuando el nivel de riesgo sea bajo
y no justifica el tiempo y los recursos necesarios
para hacer un análisis completo.
 O bien porque los datos numéricos son inadecuados
para un análisis más cuantitativo que sirva de base
para un análisis posterior y más detallado del riesgo
global del emprendedor.
2. Métodos Semi-cuantitativos:
 Se utilizan clasificaciones de palabra como
alto, medio o bajo, o descripciones más
detalladas de la probabilidad y la consecuencia.
 Estas clasificaciones se demuestran en relación
con una escala apropiada para calcular el nivel de
riesgo. Se debe poner atención en la escala
utilizada a fin de evitar malos entendidos o malas
interpretaciones de los resultados del cálculo.
 Se consideran métodos cuantitativos a aquellos que
permiten asignar valores de ocurrencia a los
diferentes riesgos identificados, es decir, calcular el
nivel de riesgo del proyecto.
 Los métodos cuantitativos incluyen:
 Análisis de probabilidad
 Análisis de consecuencias
 Simulación computacional
El desarrollo de dichas medidas puede ser realizado
mediante diferentes mecanismos, entre los cuales
destacamos el Método Montecarlo.
3. Métodos Cuantitativos:

14. DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD MÁS UTILIZADAS
EN ANÁLISIS DE RIESGO
03

15. Este fue desarrollado para tomar en cuenta la incertidumbre que se tiene con respecto a
las variables que determinan los flujos de efectivo neto de un proyecto de inversión; esta
incertidumbre se calcula mediante la distribución de probabilidad.
Las distribuciones de probabilidad de las variables aleatorias generalmente se desarrollan
en base a probabilidades subjetivas. Entre más alejado del presente esté un evento la
incertidumbre será mayor con respecto al resultado del evento. Por lo tanto, si la varianza es una
medida de la incertidumbre, es lógico esperar que las varianzas de las distribuciones de
probabilidad crezcan con el tiempo.
1. Distribución normal.
𝑓𝑥 =
1
𝜎 2𝜋
𝑒
−
1
2
𝑥−𝜇
𝜎
2
−∞ < 𝑥 < +∞
Considera dos parámetros, el promedio y la desviación
estándar, que sirven para desarrollar la campana de Gauss. Se
utiliza para modelar con precisión el tiempo y la estimación de
costos en la gestión de proyectos.
La distribución normal es la piedra angular de la teoría
estadística. Se dice que la variable X que toma los valores reales
tiene una distribución normal con parámetros −∞ < 𝜇 < +∞ y
𝜎2
> 0 y se describe por 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎2
, si su función de densidad
es:

16. 2. Distribución triangular.
2
𝑐−𝑎 𝑏−𝑎
𝑥 − 𝑎 , para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
−2
𝑐−𝑎 𝑐−𝑏
𝑥 − 𝑐 , para 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑐
𝑓𝑥 =
Es continua con un valor mínimo (pesimista), máximo (optimista) y
la moda (valor más probable). Se diferencia de la distribución
uniforme en que la probabilidad de ocurrencia de los valores no es
la misma, este es utilizadas en el análisis de proyectos de inversión
y caminos críticos y es más sencilla y fácil de comprender por el
analista y las personas encargadas de interpretar los resultados
del estudio.

17. TEOREMA DEL
LÍMITE CENTRAL
04

18. Si una variable aleatoria Y puede ser representada como la suma de n variables aleatorias independientes que
satisfacen ciertas condiciones, se considera que esta sigue aproximadamente una distribución normal si n es
suficientementegrande.
Lo anteriormentemencionada transformadoen teoremasería:
Si X0, X1, ……, Xn es una secuencia de n variables
aleatorias independientes con 𝐸 𝑋𝑗 = 𝜇𝑗 y 𝑉𝐴𝑅 𝑋𝑗 = 𝜎2
(ambas finitas) y 𝑌 = 𝐶0𝑋0 + 𝐶1𝑋1+. . . . +𝐶𝑛𝑋𝑛, entonces bajo
ciertas condiciones generales:
𝑍 =
𝑌 − 𝑗=0
𝑛
𝐶𝑗𝜇𝑗
𝑗=0
𝑛
𝐶𝑗
2
𝜎𝑗
2
Tiene una distribución N (0,1) a medida que n se aproxima a infinito.
Puesto que el teorema establece que Y está normalmente distribuida cuando n se
aproxima a infinito, la pregunta que surge en la práctica sería: "¿Qué tan grande debe ser n de
modo que la distribución obtenida para Y sea bastante parecida a la distribución normal?" La
respuesta a esta pregunta no es tan sencilla puesto que la respuesta dependerá de las
características de las distribuciones de las X¡’s. Por ejemplo. si las X¡'s siguen distribuciones
simétricas el valor de n debe ser mayor o igual a 4. Por el contrario, si las X/s siguen
distribuciones uniformes, el valor de n debe ser mayor o igual a 12. Finalmente, se recomienda
que n ;;;. 100 si las distribuciones de las X/s son irregulares.

19. DISTRIBUCIONES
DE
PROBABILIDADES
05

20. A. Distribución de probabilidad del Valor
Presente Neto (VPN)
Se calcula de acuerdo a la siguiente
expresión:
𝑉𝑃𝑁 =
𝑗=0
𝑛
𝑥𝑗
1 + 𝑖 𝑗
Donde:
Xj ahora es una variable aleatoria que
representa el flujo de efectivo neto del periodo j y
cuya media y varianza son 𝜇𝑗 y 𝜎𝑗
2
respectivamente.
También se puedeexpresar como:
𝑉𝑃𝑁 = −𝑋0 +
1
1 + 𝑖
𝑋1 +
1
1 + 𝑖 2
𝑋2+. . . . +
1
1 + 𝑖 𝑛
𝑋𝑛
haciendo:
𝐶𝑗 = 1
1 + 𝑖 𝑗
-1 Si j = 0
Si j = 1, 2, …, n
Entonces la ecuación anterior quedaría como:
𝑉𝑃𝑁 = 𝐶0𝑋0 + 𝐶1𝑋1+. . . +𝐶𝑛𝑋𝑛 =
𝑗=0
𝑛
𝐶𝑗𝑋𝑗

21. El valor presente neto en vez de ser una constante, es una variable
aleatoria. Por lo tanto, para propósitos de evaluación de proyectos, el
procedimiento a seguir seria determinar la media y la varianza del
valore presente.
𝐸 𝑉𝑃𝑁 =
𝑗=0
𝑛
𝐶𝑗𝐸 𝑋𝑗 =
𝑗=0
𝑛
𝐶𝑗𝜇𝑗
A la expresión anterior generalmente se
le considera como el valor presente neto. Sin
embargo, es necesario aclarar que aun cuando
el valor esperado del valor presente neto sea
positivo, existe probabilidad de que el valor
presente sea negativo. Por consiguiente, es
posible que algunos proyectos se rechacen,
aunque el valor esperado de sus valores
presentes sea positivo. Generalmente al
comprar alternativas mutuamente excluyentes
se selecciona aquella alternativa para la cual el
valor esperado del valor presente sea máximo.

22. Para determinar la varianza del valor presente es necesario considerar primero
que X0, X1, ……, Xn es una serie de variables independientes. Por lo tanto, bajo esta
condición y de acuerdo al teorema del límite central, el VPN está distribuido
normalmente, donde la media está dada por la ecuación 𝐸 𝑉𝑃𝑁 = 𝑗=0
𝑛
𝐶𝑗𝜇𝑗 y la
varianza por:
𝑉𝐴𝑅 𝑉𝑃𝑁 =
𝑗=0
𝑛
𝐶𝑗
2
𝜎𝑗
2
Ejercicio 01:
Una empresa inicia un proyecto de inversión y ha
presupuestado los siguientes flujos de efectivo,
expresados en millones de pesos. Establece que la tasa
de rendimiento mínima aceptable (TREMA) es de 25% y
que el riesgo máximo aceptable que puede permitirse es
del 15%.
Año Estimación
pesimista
Estimación
más
probable
Estimación
optimista
(a) (b) (c)
0 -200 -150 -100
1 40 50 70
2 50 50 80
3 60 60 90
4 40 70 100
5 30 80 120

23. Solución
Año Cj µj E(VPN) Cj
2
σj
2
VAR(VPN)
0 -1.00 150.00 -150.00 1.00 416.67 416.67
1 0.80 53.33 42.67 0.64 38.89 24.89
2 0.64 60.00 38.40 0.41 50.00 20.48
3 0.51 70.00 35.84 0.26 50.00 13.11
4 0.41 70.00 28.67 0.17 150.00 25.17
5 0.33 76.67 25.12 0.11 338.89 36.39
20.70 536.70
Por consiguiente, la probabilidad de que el
valor presente neto sea mayor que 0, sería:
𝑃 𝑉𝑃𝑁 > 0
= 𝑃 𝑍 >
0 − 20.70
536.7
𝑃 𝑉𝑃𝑁 > 0 = 𝑃 𝑍 ≻ −0.894
𝑃 𝑉𝑃𝑁 > 0 = 1 − 𝑃 𝑍 > 0.894
𝑃 𝑉𝑃𝑁 > 0 = 0.8142 = 81.42%
Conclusión: Puesto que el riesgo de que VPN sea
mayor a 0 es de 18.58% el proyecto debe rechazarse.

24. Ejercicio 02:
Suponga que cierta empresa desea analizar un proyecto de
inversión que promete generar los flujos de efectivo
probabilísticos mostrados en la tabla. También considere que los
flujos de efectivo de un periodo a otro son independientes.
Finalmente, considere que esta empresa utiliza una TREMA de
20% para evaluar sus proyectos de inversión. El proyecto es
aceptado si P [VPN > 0] ≥ 90%.
Año Estimación
pesimista
Estimación
más
probable
Estimación
optimista
(a) (b) (c)
0 -140 -100 -80
1 30 40 60
2 35 40 45
3 30 40 50
4 25 35 45
5 20 40 60
Solución:
Año Cj µj E(VPN) Cj
2
σj
2
VAR(VPN)
0 -1.00 106.67 -106.67 1.00 155.56 155.56
1 0.83 43.33 36.11 0.69 38.89 27.01
2 0.69 40.00 27.78 0.48 4.17 2.01
3 0.58 40.00 23.15 0.33 16.67 5.58
4 0.48 35.00 16.88 0.23 16.67 3.88
5 0.40 40.00 16.08 0.16 66.67 10.77
13.32 204.80
Por consiguiente, la probabilidad de que el valor presente neto
sea mayor que 0, sería:
𝑃 𝑉𝑃𝑁 > 0 = 𝑃 𝑍 >
0 − 13.32
204.80
𝑃 𝑉𝑃𝑁 > 0 = 𝑃 𝑍 ≻ −0.931
𝑃 𝑉𝑃𝑁 > 0 = 1 − 𝑃 𝑍 ≻ 0.931
𝑃 𝑉𝑃𝑁 > 0 = 0.8241 = 82.41%
Conclusión: Puesto que la probabilidad que VPN sea mayor a 0
es menor que 90%, el proyecto debe rechazarse

25. B. Distribución de probabilidad del Valor
Anual Equivalente (VAE)
El valor anual equivalente de un proyecto de
inversión, se calcula mediante la siguienteexpresión:
Donde:
También se puedeexpresar como:
𝐴 =
𝑗=0
𝑛
𝑋𝑗
1 + 𝑖 𝑗
𝑖 1 + 𝑖 𝑛
1 + 𝑖 𝑛 − 1
= 𝑉𝑃𝑁
𝑖 1 + 𝑖 𝑛
1 + 𝑖 𝑛 − 1
Xj es una variable aleatoria que representa el
flujo de efectivo neto del periodo j y cuya
media y varianza son 𝜇𝑗 y 𝜎𝑗
2
respectivamente.
𝐴 = −𝐾𝑋0 +
𝐾
1 + 𝑖
𝑋𝑖 +
𝐾
1 + 𝑖 2
𝑋2+. . . +
𝐾
1 + 𝑖 𝑛
𝑋𝑛
donde:
𝐾 =
𝑖 1 + 𝑖 𝑛
1 + 𝑖 𝑛 − 1
definiendo Cj como:
𝐶𝑗 =
Si j = 0
Si j = 1, 2, …, n
-K
𝐾
1 + 𝑖 𝑗
la ecuación queda reducida a:
𝐴 =
𝑗=0
𝑛
𝐶𝑗𝑋𝑗
La anualidad equivalente al igual que el valor
presente neto está normalmente distribuida si se cumplen
dos condiciones:
1) n se aproxima a infinito

26. 2) los flujos de efectivo de un periodo a otro son independientes entre si
Además, el valor esperado y la varianza de la anualidad equivalente
están dados por:
𝐸 𝐴 =
𝑗=0
𝑛
𝐶𝑗𝜇𝑗 y
𝑉𝐴𝑅 𝐴 =
𝑗=0
𝑛
𝐶𝑗
2
𝜎𝑗
2
Ejercicio 01:
Dos alternativas de inversión están siendo evaluadas. Sus
distribuciones de probabilidad se muestran a continuación. Si la
TREMA es de 30%, ¿cuál alternativase debe elegir?
Año µA σA µB σB
0 -$ 200,000.00 $ 20,000.00 -$ 300,000.00 $ 30,000.00
1 $ 80,000.00 $ 8,000.00 $ 120,000.00 $ 12,000.00
2 $ 100,000.00 $ 10,000.00 $ 120,000.00 $ 12,000.00
3 $ 120,000.00 $ 12,000.00 $ 120,000.00 $ 12,000.00
4 $ 140,000.00 $ 14,000.00 $ 120,000.00 $ 12,000.00
5 $ 160,000.00 $ 16,000.00 $ 120,000.00 $ 12,000.00

27. Solución
Conclusión: Se debe elegir la alternativa A ya que tiene una
mayor posibilidad de que el valor anual equivalente sea mayor a 0.
Alternativa A Por consiguiente, la probabilidad de que el
valor anual equivalente sea mayor que 0, sería:
𝑃 𝐴 > 0
= 𝑃 𝑍 >
0 − 27,689.84
91,927,390.13
𝑃 𝐴 > 0 = 𝑃 𝑍 ≻ −2.888
𝑃 𝐴 > 0 = 𝑃 𝑍 < 2.888
𝑃 𝐴 > 0 = 0.9981 = 99.81%
Alternativa B
Por consiguiente, la probabilidad de que el
valor anual equivalente sea mayor que 0, sería:
𝑃 𝐴 > 0
= 𝑃 𝑍 >
0 + 3,174.46
184,348,828.78
𝑃 𝐴 > 0 = 𝑃 𝑍 ≻ 0.233
𝑃 𝐴 > 0 = 1 − 𝑃 𝑍 < 0.233
𝑃 𝐴 > 0 = 0.4079 = 40.79%

28. La compañía Y desea entrar en un nuevo
negocio que promete generar los flujos de efectivo
probabilísticos que se muestran a continuación. Si
los flujos de efectivo de un periodo a otro son
independientes y la TREMA es del 15%, ¿cuál es la
probabilidad de que el valor anual equivalente sea
mayor que cero? Si un proyecto es aceptado
cuando P [A > 0] ≥ 95%. ¿qué decisión debe tomar la
compañía Y.
Solución:
Conclusión: Puesto que la probabilidad que el valor anual
equivalente sea mayor que cero es del aproximadamente el 100% la
empresa Y debe emprender el negocio ya que casi no existe riesgo.
Año Estimación
pesimista
Estimación más
probable
Estimación
optimista
(a) (b) (c)
0 -$ 300.00 -$ 250.00 -$ 200.00
1 $ 80.00 $ 100.00 $ 120.00
2 $ 75.00 $ 100.00 $ 125.00
3 $ 80.00 $ 120.00 $ 140.00
4 $ 90.00 $ 120.00 $ 150.00
5 $ 100.00 $ 130.00 $ 150.00
Año Cj µj E(A) Cj
2 σj
2 VAR(A)
0 -0.30 $ 250.00 -$ 74.58 0.09 416.67 37.08
1 0.26 $ 100.00 $ 25.94 0.07 66.67 4.49
2 0.23 $ 100.00 $ 22.56 0.05 104.17 5.30
3 0.20 $ 113.33 $ 22.23 0.04 155.56 5.98
4 0.17 $ 120.00 $ 20.47 0.03 150.00 4.36
5 0.15 $ 126.67 $ 18.79 0.02 105.56 2.32
$ 35.40 59.54
𝑃 𝐴 > 0 = 𝑃 𝑍 >
0 − 35.40
59.54
𝑃 𝐴 > 0 = 𝑃 𝑍 ≻ −4.588
𝑃 𝐴 > 0 = 𝑃 𝑍 < 4.588
𝑃 𝐴 > 0 = 1.00 = 100%
Por consiguiente, la probabilidad de que el valor anual
equivalente sea mayor que 0, sería:
EJERCICIO 02

29. C. Distribución de probabilidad de la tasa
interna de rendimiento (TIR)
El procedimiento propuesto por Hillier para
encontrar la distribución de probabilidad de la tasa
interna de rendimiento (TIR) es relativamente directo
y consiste en encontrar la distribución de
probabilidad del valor presente neto (VPN) para
varios valores de i. Luego a partir de estas
distribuciones se debe encontrar la distribución
acumulada de la TIR.
Esto en forma de ecuación seria:
𝑷𝒓𝒐𝒃 𝑻𝑰𝑹 < 𝒊𝟎 = 𝑷 𝑽𝑷𝑵 < 𝟎 𝒊 = 𝒊𝟎
Esto quiere decir
que la TIR sería menor
que i0 si el valor presente
neto (TIR) utilizando i0 es
negativo. Por
consiguiente, para
obtener la distribución
acumulada de la TIR, lo
que se debe hacer es
aplicar la ecuación
anterior tantas veces
como se desee.
Una vez obtenida
la distribución de la TIR,
está puede ser utilizada
en la evaluación de una
propuesta de inversión
según algún criterio de
decisión.
valida solamente si la relación entre el VPN e
“i” es como se muestra en la siguiente figura.

30. Determinar la distribución acumulada
aproximada de la TIR para las distribuciones de
probabilidad que se muestran a continuación.
Haciendo uso de tasas de interés (%) del 20%, 30%, 40%
y 50%.
Solución:
Año µj σj
2
0 $ 90.00 0.00
1 $ 50.00 200.00
2 $ 50.00 200.00
3 $ 50.00 200.00
4 $ 50.00 200.00
5 $ 50.00 200.00
Ejercicio 01:

31. Tasa de
interés
(%)
Valor Presente Neto Z P [VPN < 0] Distribución
acumulada de la
TIR
E(VPN) VAR(VPN) σ(VPN)
20% 59.53 381.13 19.52 -3.049 0.00115 0.00115
30% 31.78 268.83 16.40 -1.938 0.02630 0.02630
40% 11.76 201.13 14.18 -0.829 0.20353 0.20353
50% -3.17 157.23 12.54 0.253 0.59975 0.59975

32. CONCLUSIONES
06

33. CONCLUSIONES
 Realizar un correcto estudio de riesgos en un proyecto permitirá
establecer políticas para la corrección de los problemas ya detectados,
y la gestión de seguridad de ellos a lo largo del tiempo; garantizando
que las vulnerabilidades sean en gran medida eliminadas.
Si se realiza un buen análisis de riegos, podremos ver si nos conviene o no
realizar una inversión en cualquier proyecto, evaluando criterios como las
vulnerabilidades y de esa manera hacer un buen diagnóstico sobre el
estado de la seguridad de su entorno de proyecto en estudio.
 Las distribuciones de probabilidad aplicadas al análisis de riesgo nos
permiten tomar una mejor decisión al momento de elegir entre varias
alternativas de proyectos teniendo como alternativa a la que luego de
estudio nos genere menor probabilidad de riesgos.

34. LINKOGRAFIA
 https://www.academia.edu/9355544/An%C3%A1lisis_y_Evaluaci%C3%B3n_de_Proyectos_Raul_Co
ss_Bu
 https://repositorio.up.edu.pe/handle/11354/67
 http://www.madrid.org/cs/StaticFiles/Emprendedores/Analisis_Riesgos/pages/pdf/metodologia/4Anali
sisycuantificaciondelRiesgo%28AR%29_es.pdf
 https://www.sergas.es/Saude-
publica/Documents/1899/Ayuda_Epidat_4_Distribuciones_de_probabilidad_Octubre2014.pdf