El documento describe diferentes técnicas geométricas y proporciones matemáticas que los pintores han utilizado para componer sus obras maestras, incluyendo el uso de formas como el círculo, cuadrado y triángulo; proporciones como el número áureo y las raíces cuadradas de 2 y 3; y simetrías, diagonales, proyecciones y armaduras del rectángulo. También explora cómo los pintores han representado conceptos musicales como las consonancias a través de sus composiciones.

1. Tramas La geometría secreta en los pintores del Paseo del Prado (Museo del Prado y Museo Thyssen-Bornemisza)

2. Guión de trabajo para la composición 1. Estudio del marco · Forma Cuadrado Círculo Rectángulo Otros · Proporción Phi √2 √3 √5 1,1 1,3 2. Punto de vista histórico Románico Gótico Renacimiento Manierismo y Barroco Neoclasicismo Edad Contemporánea 3. Punto de vista matemático · Perspectiva Cónica central Oblicua Aérea · Simetrías · Diagonales · Proyección de los lados menores · Armadura del rectángulo · Proporciones clásicas Phi √2 √3 √5 · Proporciones musicales Diapente 2/3 Doble diapente 4/6/9 Diapasón 1/2 Doble diatesarón 9/12/16 4. Formas geométricas de la estructura de la composición Círculo Triángulo Cuadrado Pentágono Hexágono Octógono Otros

3. Simetría axial Proporción en el marco: phi, √2, √3 Phi, el número de oro Formatos de cuadros relacionados con el número áureo: proporción 1,1 Formatos de cuadros relacionados con el número áureo: proporción 1,3 Ángulo con pendiente áurea Proporciones áureas en el marco Proyección de los lados menores Armadura del rectángulo Composición en círculo Composiciones con polígonos regulares Consonancias musicales La geometría secreta

4. Simetría axial Una simetría es un movimiento en el plano que conserva la forma y el tamaño de las figuras. Para construir una simetría necesitamos una recta, que llamaremos eje de simetría “e” . A cada punto P le hacemos corresponder otro punto P´, de modo que certifique dos condiciones: • El segmento PP´ es perpendicular al eje e • La distancia de P al eje e es igual a la distancia de P´ al eje e Con un vocabulario más sencillo, en una simetría las figuras “se reflejan” en el eje e como si fuera un espejo. distancia (P, e) = distancia (P’, e ) punto P punto P’ eje de simetría e

5. Autor Anónimo español Título La Virgen de los Reyes Católicos Año Hacia 1490 Estilo Hispano-flamenco Museo El Prado Simetría axial

7. Proporción en el marco: phi, √2, √3 En los marcos de algunos cuadros, e incluso en su estructura interior, aparecen con cierta frecuencia una serie de proporciones como 1,414..., 1,618... y 1,732... Estas proporciones corresponden a la raíz cuadrada de 2, a la proporción áurea y a la raíz cuadrada de 3. • ¿Cómo se construyen? lado = 1 √ 2 √ 3

8. Autor Roger van der Weyden Título El descendimiento de la cruz Año 1436 Estilo Flamenco Museo El Prado Proporción en el marco: phi, √2, √3

10. Phi, el número de oro Diremos entonces que AX es el segmento áureo de AB La proporción áurea o número Phi, aparece desde la época de los griegos hasta nuestros días en múltiples situaciones: música, arquitectura, zoología botánica, diseño, vida cotidiana, etc. Su expresión viene de resolver el siguiente problema de proporcionalidad: • ¿Cómo dividir un segmento de forma que “el segmento sea a la parte mayor” como “la parte mayor es a la menor” ? En otras palabras, se trata de encontrar un punto X en el segmento AB de forma que A B X

11. Phi, el número de oro Autor Fra Angelico Título La Anunciación Año Hacia 1426 Estilo Italiano Museo El Prado

12. X A B

13. Un formato de cuadro que se repite en algunas obras es el que se obtiene mediante la adición de cuatro rectángulos áureos: dos grandes en vertical, coronados por dos pequeños en horizontal. El punto de encuentro de los cuatro rectángulos es ocupado por un elemento principal de la composición. La proporción en el marco así resultante es 1,1 Formatos de cuadros relacionados con el número áureo: proporción 1,1

14. Autor El Bosco Título El jardín de las delicias Año 1480 – 1490 Estilo Flamenco Museo El Prado Formatos de cuadros relacionados con el número áureo: proporción 1,1

16. Un formato de cuadro que se repite en algunas obras es el que se obtiene mediante la adición de dos rectángulos áureos en vertical, coronados por dos cuadrados. El punto de encuentro de los cuadriláteros es ocupado por un elemento principal de la composición. La proporción en el marco así resultante es 1,3 Formatos de cuadros relacionados con el número áureo: proporción 1,3

17. Autor Rafael Título Sagrada familia del cordero Año 1507 Estilo Renacimiento Museo El Prado Formatos de cuadros relacionados con el número áureo: proporción 1,3

19. Ángulo con pendiente áurea Esta inclinación es asumida en algunas composiciones dispuestas en diagonal o puede aparecer en composiciones organizadas sobre rectángulos áureos. El ángulo cuya pendiente es Φ se corresponde con el ángulo que forma el lado menor y la diagonal de un rectángulo áureo. Su valor es α = 72º tg  = 1,618...  tg  = Φ

20. Autor Corregio Título Noli me tangere Año Hacia 1518 Estilo Cinquecenttto, escuela de Parma Museo El Prado Ángulo con pendiente áurea

22. Con independencia de los valores que tengan la longitud y la anchura del marco, se pueden proporcionar ambas magnitudes mediante el número áureo, colocando el centro de interés en el punto donde se cruzan dos divisiones áureas. Proporciones áureas en el marco Se puede conseguir una armadura del cuadro con las dos divisiones áureas de cada lado. Los doce puntos que se obtienen pueden dar lugar a otras líneas oblicuas que intervengan en la composición.

23. Autor Murillo, Bartolomé Esteban Título La Inmaculada Concepción de los Venerables, o de Soult Año Hacia 1678 Estilo Barroco Museo El Prado Proporciones áureas en el marco

25. Sobre el lienzo llevamos o “proyectamos” la distancia de lado menor sobre el mayor, formando así un cuadrado central apoyado sobre un vértice. El lado proyectado, así como sus diagonales no son siempre necesariamente visibles, basta que hayan dado a la construcción los puntos sobre los cuales ésta habrá de apoyarse. Proyección de los lados menores

26. Autor Giambattista Tiépolo Título La muerte de Jacinto Año 1752 – 1753 Estilo Barroco Museo Thyssen–Bornemisza Proyección de los lados menores

28. Consiste en dividir los lados del rectángulo en mitades, tercios, cuartos, quintas partes, etc. A partir de estas divisiones se trazan las distintas diagonales en las que queda dividido el rectángulo. Conviene destacar que la presencia de las diagonales no salta siempre a la vista, el pintor utilizará los puntos de cruce que necesite para sus hiladas. Elegidos los puntos, el pintor hace desaparecer las diagonales lo mismo que el albañil desmonta su andamio. Armadura del rectángulo

29. Autor Giovanni Francesco Barbieri I l Guercino Título Jesús y la samaritana en el pozo Año 1640 – 1641 Estilo Barroco Museo Thyssen–Bornemisza Armadura del rectángulo

30. 1/4 1/2 1/3

31. En algunas obras podemos tener la sensación de que los personajes están inscritos en una circunferencia. Esto es muy visible en los personajes que aparecen tumbados o reclinados sobre el suelo o un sillón. ¿Cómo podemos determinar el centro de la circunferencia? Elijamos tres puntos que aparentemente pertenezcan a dicha circunferencia: • Trazamos la mediatriz del segmento AB • Trazamos la mediatriz del segmento BC • El punto de corte de ambas mediatrices es el centro de la circunferencia que pasa por dichos puntos Composición en círculo O A B C

32. Autor Lucas Cranach, el Viejo Título La ninfa de la fuente Año 1530 – 1534 Estilo Renacimiento, escuela alemana Museo Thyssen–Bornemisza Composición en círculo

33. A B C Centro de la circunferencia

34. Los polígonos regulares han suscitado el interés de los artistas mediante un concepto de belleza ligado a la perfección geométrica. Los vértices de los polígonos regulares tienen la misma separación entre si, y equidistan de un centro que puede ser ocupado por un elemento singular de la composición. Se suele emplear este tipo de organización cuando el soporte de la pintura es circular. En este caso la composición se basa en dos pentágonos regulares. El pentágono regular tenía un gran atractivo por su relación con el número de oro, ya que la proporción entre la diagonal y el lado es el número Phi. Los tres polígonos regulares más frecuentes son: • El pentágono • El cuadrado • El triángulo equilátero Composiciones con polígonos regulares

35. Autor Domenico Beccafumi Título La Virgen y el Niño con San Juan y San Jerónimo Año 1523 – 1524 Estilo Primer Manierismo Museo Thyssen–Bornemisza Composiciones con polígonos regulares: el pentágono

37. Autor Vitale da Bologna Título La Crucifixión Año Hacia 1335 Estilo Gótico Museo Thyssen–Bornemisza Composiciones con polígonos regulares: el cuadrado

39. En la segunda mitad del siglo XV se pretende acercar las artes plásticas a la música, a través de las relaciones matemáticas existentes entre sonidos armónicos. Alberti en su tratado “De re edificatoria” comenta que los intervalos gratos al oído, la octava, la quinta y la cuarta se corresponden con la división de una cuerda en 2, 3 ó 4 partes. Estas proporciones se llaman: • Diapasón 1 / 2 • Diapente 2 / 3 • Diatesarón 3 / 4 Las relaciones de doble diapente o doble diatesarón fueron utilizadas para resolver de forma armónica composiciones no simétricas para lo cual se dividen ambos lados del marco en cantidades relacionadas con 2/3 ó 3/4 obteniéndose: • Doble diapente 4, 6, 9 ( 6/9 = 4/6 = 2/3 ) • Doble diatesarón 9, 12, 16 ( 12/16 = 9/12 = 3/4 ) Consonancias musicales

40. Autor Tiziano, Vecellio di Gregorio Título Venus recreándose con el Amor y la Música Año Hacia 1555 Estilo Renacimiento, escuela veneciana Museo El Prado Consonancias musicales

41. 6 4 4 6 9

42. Gracias por su atención Presentado y preparado por Alfredo Marcos