Este documento presenta información sobre el rectángulo áureo, incluyendo su historia, definición, ejemplos de su uso en la antigüedad y actualidad, y su relación con el arte y la naturaleza. Se describe cómo los egipcios y griegos usaron proporciones áureas en sus construcciones como las pirámides y el Partenón. También se explica cómo se construye geométricamente el rectángulo áureo y cómo esto conduce a una espiral logarítmica que se encuentra en la naturaleza. Finalmente

1. Rectángulo áureo
2 E
P R O C E S O S I N D U S T R I A L E S A R E A
D E M A N U F A C T U R A
U N I V E R S I D A D T E C N O L O G I C A D E
T O R R E O N
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ALAN LOPÉZ BAUTISTA
ACONTINUACION LESMOSTRAREUN ENSAYODE 2400
PALABRASACERCA DE LOS ARGUMENTOS A FAVORY EN
CONTRA DE LA CREENCIA EN LA ARMONIA DEL
RECTANGULO ÁUREO INCLUYENDODOS EJEMPLOS DEL
USO DICHO RECTANGULO UNO DE ELLOS EN LA
ANTIGÜEDAD Y OTRO ACTUAL

2. Número áureo y su relación
Con las bellas artes……………………………………….9
Cuerpo humano……………………………………………11
Ejemplo de rectángulo áureo en la actualidad ....……...13
INDICE:
Historia de número áureo……………………………….2
Definiciónde rectángulo áureo…………………………3
Ejemplo de rectángulo áureo en la antigüedad…….....4
Construccióndel rectángulo áureo……………………..5-7
Números de Fibonacci,el número áureo
y la formula de binet……………………………………..8

3. HISTORIA DEL NÚMERO ÁUREO
El número áureo es un número irracional, el cual se define como 1+√ 5 2 ∼=
1,6180339887..., este número ha sido tema de estudio de matemáticos, físicos,
filósofos, arquitectos, pintores y músicos desde la antigüedad.
La primera aparición del número áureo, fue alrededor del año 2500 A.C. dentro de la
cultura egipcia, la gran pirámide que forma parte de la triada de pirámides de Giza fue
construida con esta proporción. Al parecer, además de ser la tumba del faraón, la
intención de sus constructores era la levantar un enorme observatorio astronómico, un
gigantesco reloj. De hecho, sus cuatro caras laterales están perfectamente alineadas
con los cuatro puntos cardinales, y el corredor que lleva a la cámara interior está
orientado con la estrella polar. Con ella se podían medir los días, meses, calcular los
equinoccios y solsticios para preceder el cambio de estaciones, etc.
La altura de la pirámide es de 146 metros, y tiene por base un cuadrado de 230 metros
de lado sobre el que se apoyan 4 triángulos equiláteros. El área del cuadrado ser ‘a: AB
= lado × lado = (230) (230) = 52 900m2 Para calcular el área de cada triangulo tenemos
que conocer su altura, ya que su base la sabemos, es 230 m. Lo que haremos es
formar un triángulo rectángulo con la altura de la pirámide (146 m.), la altura de cada
triangulo (h) y la mitad de la base (115 m.), y aplicarle el teorema de Pitágoras:

4. Definicion de rectangulo áureo
El rectangulo aureo es conocido por diferentes nombres como: rectangulo
dorado,rectangulo especial,numero aureo etc.. Este es un rectangulo que posee una
proporcionalidad que entre sus lados igual ala razon aurea.
Es decir que es aquel rectangulo que al subtraer la imagen de un cuadrado igual al de
su lado menor, el rectangulo resultante es igual a un rectangulo dorado. Apartir de este
rectangulo se puede obtener un espiral dorada que es una espiral logaritmica
Este triangulo a hecho mucha contraversia durante tantos años devido que ay
diferentes creencias de ella como que es una creacion de extraterrestres,dioses,etc…
Como tambien se cre que este rectangulo áureo si se utiliza en imágenes o cuadros
pintados a mano es algo muy interesante para la vista humana que ase que nos llame
demasiado la atencion.

5. Ejemplo de rectángulo áureo en la antigüedad
Los griegos descubrieron el número áureo, así que no es de extrañar que el
monumento más representativo de la cultura clásica este diseñado de acuerdo con
proporciones áureas.
Partenón. Atenas, Grecia.
El creador de esta impresionante obra fue el escultor griego Phidias. En realidad, no
fue sino hasta el siglo XX que el maten ático estadounidense Mark Barr le dio a esta
proporción el nombre de Phi, y la abreviatura φ corresponde a la inicial de Phidias en
griego.
La fachada del Partenón se encaja en un perfecto rectángulo áureo, pero además, hay
otra serie de medidas en el edificio que también poseen proporciones áureas. Además,
la zona de las molduras también está compuesta por rectángulos áureos. Fue en el año
300 a.m. que Euclides con la publicación de los Elementos, donde define una
proporción derivada de una simple división de un segmento al que denomina media y
extrema razón.

6. Construcción del rectángulo áureo
La construcción geométrica del número áureo φ = 1+√ 5 2 , es muy simple.
Construcción del número áureo
1. Se dibuja un cuadrado de área = 1 (unidad).
2. Se toma el punto medio m de uno de sus lados (en este caso lado ab).
3. Se traza una circunferencia con centro en m y radio mi (donde i es el punto de
intersección de la circunferencia con el vértice superior derecho del cuadrado).
4. Se prolonga el lado ab hasta el punto de intersección c con la circunferencia .

7. Rectángulo áureo
Rectángulo áureo El rectángulo áureo es aquel que se construye de forma tal que la
razón entre las longitudes de los lados es igual al número áureo.
Fig. 2.2: Rectángulo áureo
Se toma como base la construcción del número áureo . Se tiene entonces el cuadrado
unitario abij y el segmento ac, con ac ab = ab bc = φ
2. Se traza la recta cr que pasa por el punto c y es perpendicular a ac.
3. Se traza la recta ir que pasa por el punto i y es paralela a ac.
4. Entonces el punto de intersección de cr e ir, es decir, r determina el rectángulo
áureo.
Por lo tanto el rectángulo acrj es un rectángulo áureo. Veamos algunas propiedades:
Sea ABCD un rectángulo áureo, tal que AB : BC = φ : 1, sea E el corte áureo de AB y
trazamos EF perpendicular a AB, formando así del rectángulo, el cuadrado AEF D. El
rectángulo que EBCF es un

8. rectángulo áureo y repitiendo los pasos anteriores ahora para EBCF nos queda otro
cuadrado EBGH y la figura HGCF es también un rectángulo ´áureo.
Podríamos repetir este proceso indefinidamente hasta el rectángulo limite O, el cual es
indistinguible de un punto, a este tipo de proceso se le conoce como el principio del
gnomon.
Un gnomon es una porción de figura la cual ha sido añadida a otra tal que el todo es la
misma figura que la figura más pequeña.
Fig. 2.3: Espiral logarítmica
El punto limite O es llamado el polo de la espiral equiángula la cual pasa a través de los
cortes áureos D, E, G, J, ... Las diagonales AC y BF son perpendiculares Los puntos E,
O, J son coloniales así como los puntos G, O, D La espiral construida utilizando
rectángulos con la proporción aurea, resulta una aproximación a la espiral logarítmica.
Este tipo de espirales aparecen en la naturaleza. El halcón se aproxima a su presa
según una espiral logarítmica: su mejor visión está en Angulo con su dirección de
vuelo; este Angulo es el mismo del grado de la espiral

9. .
NUMEROS DE FIBONACCI,EL Númeroáureo Y LA FORMULA DE
BINET
De acuerdo con Ghyka. [ The Geometry of art and life], la noción de proporción es
tanto lógica como estética, y es una de las más elementales, importantes y difícil de
precisar; suele confundirse con la noción de razón, la cual suele determinarse con la
característica que tienen las razones junto con un módulo, o un submúltiplo común;
teniéndose el concepto más complejo denominado por los Griegos y Vitrubio “Simetría”,
y en el Renacimiento “Conmensurable”.
Una razón es una comparación cuantitativa entre dos objetos o agregados del mismo
tipo o especie. Según Euclides “Proporción es la igualdad entre dos razones”, esto es,
dada las razones A B y C D la igualdad A B = C D es una proporción. Definamos
formalmente los términos razón y proporción.
Definición 1. Sean a y b dos números o cantidades que están expresadas en la misma
unidad (de medida) con b 6= 0; entonces, el cociente a b se llama razón entre a y b.
También se escribe a: b y se lee “a esa b”
Definición 2. Se llama proporción a la igualdad entre dos razones. Si a b y c d son dos
razones, entonces a b = c d = p se llama proporción, y la constante p, se llama
constante de proporcionalidad. Las proporciones más conocidas son la aritmética y la
geométrica

10. Numero áureo y su relación con las bellas ártes
Pintura y escultura
Con la llegada del Renacimiento a Italia, apareció una nueva e in- fluyente clase social
constituida por los humanistas. Hasta entonces, la Iglesia había condicionado toda la
vida cultural, pero ahora la ciencia llegaba directamente al ciudadano, gracias al
aristotelismo, en boga durante los comienzos del Renacimiento.
Esta filosofía fue cediendo freno al platonismo y el arte empezó a basarse sobre la
propia ciencia. La geometría y otras ramas de las matemáticas ocuparon un lugar
esencial en la nueva concepción de la cultura, se desechó el arte puramente lineal y se
buscó con ahínco la forma tridimensional. La pintura italiana de los comienzos del siglo
XV es todavía narrativa y escoge los muros de las Iglesias. La técnica, en especial el
fresco, es de gran sencillez.
Sin embargo, con la pintura al oleo, el artista abandona la limitada temática religiosa y
se complace en mostrar el esplendor de la forma, la luz y el espacio infinito.
En pintura, temprano amanecer del realismo de Gotita, sus figuras tridimensionales
ocupando un espacio racional, y su interés humanista en expresar la personalidad
individual en lugar de los modelos góticos tardíos, fue seguido por un retroceso a las
convenciones conservadoras de finales del gótico. El renacimiento italiano en pintura
se considera que comenzó en Florencia con los frescos de Masaco, luego las pinturas
sobre panel y frescos de Piero dela Francesca y Paolo Uccello.
Numero áureo y su relación con las bellas artes 51 razón a realzar el realismo de sus
trabajos utilizando nuevas técnicas de perspectiva a fin de representar más
auténticamente el mundo tridimensional en dos dimensiones. Piero dela Francesca
escribió tratados sobre perspectiva científica. La creación de espacios creíbles permitió
a los artistas mejorar la representación del cuerpo humano sobre paisajes naturales.
Las figuras de Masaco tienen una plasticidad desconocida hasta esa época.
Comparadas con el aspecto llano de la pintura gótica, estas obras eran revolucionarias.

11. Arquitectura
Desde sus inicios, la arquitectura renacentista tuvo un carácter profano y, lógicamente,
surgió en una ciudad en donde el Gótico apenas había penetrado, Florencia; en la
Europa de las grandes catedrales, el carácter renacentista se implanto con dificultades.
El estilo renacentista, introducido en Italia trae un nuevo sentimiento de luz, claridad y
amplitud de espacio, que es típico del renacimiento temprano en Italia.
Su arquitectura refleja la filosofía del humanismo, la iluminación y claridad mental en
oposición a la oscuridad y espiritualidad de la Edad Media. La revitalización de la
antigüedad clásica puede ser bien ilustrada por el Palazzo Recela.
Aquí las pilastras siguen la superposición de ´ordenes clásicos, con capiteles dóricos
en el piso bajo, jónicos en el piano noble y corintios en los pisos superiores. La
arquitectura en este periodo se caracterizó también por el empleo de proporciones
modulares, superposición de ordenes, empleo de cúpulas e introducción del orden
colosal.
En el Quattrocento fue frecuente recurrir a columnas y pilastras adosadas, a los
capiteles clásicos (con preferencia el corintio, aunque sustituyendo los caulículos por
figuras fantásticas o de animales), los fustes lisos y el arco de medio punto, a la bóveda
de canon y de arista, así como a cubiertas de madera con casetones.
Lo que fundamental- 4. Numero áureo y su relación con las bellas artes 53 mente
distingue a la arquitectura del Quattrocento de la del Alto Renacimiento (o Cinquecento)
es la decoración menuda (putti, guirnaldas de flores o frutos, grutescos, etc.), el
alargamiento de la cúpula (catedral de Florencia, de Filippo Brunelleschi) y las
fachadas de piedra tosca (Palacio Medici-Riccardi, de Michelozzo di Bartolommeo) o
con los sillares en realce (Palacio Rucellai, de Bernardo Rosellino, proyecto de Alberti).
La arquitectura del Cinquecento tuvo como centro Roma: En 1506, Donato d’Angelo
Bramante terminaba su célebre proyecto para la basílica de San Pedro en el Vaticano.
Los palacios se adornaron de valiosos bajorrelieves (Palacio Grimani de Venecia, 1549,
obra de Michele Sanmicheli).

12. CUERPO HUMANO
La percepción de las proporciones humanas ha variado a lo largo de las pocas.
Uno de los primeros documentos escritos sobre las proporciones humanas es de
Marcus Vitruvius Pollio, arquitecto y escritor romano del siglo I. Comienza su obra Diez
libros sobre arquitectura con la recomendación de que los templos, para ser
magníficos, se construyan análogos al cuerpo humano bien formado, en el cual, dice,
existe una perfecta armonía entre todas las partes.
Un ejemplo de proporción humana armoniosa que el mismo Vitruvio menciona es la
altura que, en el hombre bien formado, es igual a la amplitud de sus brazos extendidos.
Estas medidas iguales generan un cuadrado que abarca todo el cuerpo, un tanto que
las manos y los pies desplazados tocan un circulo centrado en el ombligo.
Esta relación del cuerpo humano con el circulo y el cuadrado se asienta en la idea
arquetípica de la cuadratura del círculo, que fascino a los antiguos, porque esas formas
se consideraban perfectas e incluso sagradas, tomándose el primero como símbolo de
las orbitas celestiales y el segundo como representación de la “cuadrada “solidez de la
tierra.
Los dos combinados en el cuerpo humano sugieren, en el lenguaje simbólico de los
modelos, que aunamos en nosotros las diversidades del cielo y de la tierra, idea
compartida por muchas mitologías y religiones. Cuando el Renacimiento redescubrió la
vigencia clásica de Grecia y Roma, Leonardo da Vinci ilustro con su famoso dibujo la
versión de esta idea expuesta por Vitruvio.

13. Leonardo en su Tratado de la pintura (Proporciones y Movimientos del Cuerpo
Humano) menciona lo siguiente: Todos los hombres alcanzan al tercer a˜no de vida la
mitad de la altura que tendrán cuando sean adultos. Si un hombre que mida dos brazas
es pequeño y uno que mida cuatro es grande en demasía, habrá de admirarse el
término medio. Tres es el término medio entre dos y cuatro. Toma entonces un hombre
de tres brazas de alto, mídelo según las reglas que he de brindarte.
Si crees que puedo estar equivocado, tomando por proporcionado a un hombre que no
lo es en absoluto, respondo que veras muchos hombres que midan tres brazas de alto,
y a un número todavía mayor que tengan miembros regulares. Debes medir al más
proporcionado. Este es un ejemplo de cómo Leonardo analiza las proporciones
humanas, en este caso la cabeza humana: El largo de la mano es la tercera parte del
brazo y entra nueve veces 5.
Cuerpo Humano 115 en la altura de un hombre, lo mismo sucede con el rostro y los
espacios que están comprendidos entre la juntura del hombro y las clavículas, entre la
tetilla y el hombro, entre una y otra tetilla y entre cada tetilla y la anterior juntura.

14. Ejemplo de rectángulo áureo en la actualidad
encontrarnos con las propiedades divinas del número de oro en la Torre Eiffel en París.
Una de las espirales de Durero más originales y actuales es la de las escaleras del
Vaticano que aparecen en la imagen. Esto también demuestra que hoy en día también
hay estructuras que se basan en el número áureo.
Y por último, también encontramos las proporciones del rectángulo áureo y sus
secciones en el Edificio de la O.N.U en Nueva York.

15. Todos estos ejemplos son varios de entre los miles que hay.