1. Profesor Fabricio Valdés Nieto
Mayo del 2007

4. Introducción
• Durante mucho tiempo, los artistas y diseñadores se han
preguntado cuál es la más perfecta y armoniosa forma de
dividir en dos partes un objeto.
• También se han preguntado cuál es la relación entre las
medidas de las partes que constituyen un objeto para que éste
sea bello.
• Un objeto lo podemos dividir por la mitad, o haciendo que una
parte sea el doble de la otra, o de forma que una parte sea el
triple de la otra, o que una sea ¾ de la otra,... en fin, podemos
hacer cualquier partición o división de un objeto.

5. • En la antigüedad clásica, el griego Platón
observó una forma de particionar un
segmento de forma armónica y agradable a
la vista que llamó La Sección

6. • Cerca del año 300 A. C, otro griego, Euclides,
encontró geométricamente la forma de dividir
en dos partes un segmento de forma armónica,
o agradable a la vista
• Al segmento particionado le llamó
Sección Áurea
Euclides

7. • Euclides escribió en su libro Los Elementos:
“Para que un segmento sea particionado en
Sección Áurea la razón entre el segmento y la
parte mayor debe ser igual a la razón entre la
parte mayor y la menor”.

8. Veamos la partición de un segmento de forma
armónica, tal como lo hizo Euclides:
Aquí tenemos un segmento AB que ha sido dividido en dos partes:
la parte AC y la parte CB (suponemos que AC>CB)
Eculides descubrió que un segmento es dividido en dos partes
de forma armónica o agradable a la vista siempre y cuando se cumpla que:
la razón entre el segmento y la parte mayor es igual a la razón entre
la parte mayor y la menor, es decir:
AB AC
=
AC CB

9. • Ésta forma de particionar un segmento
constituyó la base en la que se fundaba el
arte y la arquitectura de los griegos
El Partenón, templo de los dioses griegos

10. Determinemos el valor de la
Razón Áurea
• Toda Razón es una comparación de dos
magnitudes mediante su cuociente
• Por lo tanto podemos encontrar el cociente
o valor que resulta de dividirlos
• Determinemos el valor de la Razón Áurea
mediante Álgebra (resolviendo una
ecuación)

11. • Tenemos un segmento AB cualquiera con AC = a,
CB = b, AB = a + b. Donde CB es el segmento
menor.
• El segmento debe estar particionado en Razón
Áurea, por lo tanto se debe cumplir que:
a+b a
=
a b

12. a+b a
=
a b
Por el Teorema Fundamental de las proporciones (multiplicando cruzado)
queda,
( a + b) ⋅ b = a ⋅ a
multiplicando y reduciendo,
a ⋅b + b = a 2 2

13. a ⋅b + b = a 2 2
Nosotros sólo sabemos resolver ecuaciones
con una sola incógnita, por lo tanto digamos
que la incógnita es “b” (suponemos que conocemos “a”)
“pasando” a2 al lado izquierdo de la ecuación,
b + a ⋅b − a = 0
2 2

14. Aplicando la fórmula para encontrar las soluciones de una
ecuación cuadrática, tenemos que:
− a ± a − 4 ⋅1 ⋅ ( − a )
2 2
b=
2
operando,
− a ± a (1 + 4)2
b=
2

15. Escribiendo como producto de raíces,
−a± a 2
5
b=
2
factorizando,
a (−1 ± 5 )
b=
2
a pasa dividiendo,
b (−1 ± 5 )
=
a 2

16. invertimos la razón y queda,
a 2
=
b (−1 ± 5 )

17. a 2
Tenemos dos soluciones =
b (−1 + 5 )
a 2
= ó
b (−1 ± 5 )
a 2
=
b (−1 − 5 )

18. pero veamos bien , 5 es un número irracional mayor que 1
por lo tanto:
a 2
= Es un número Positivo
b (−1 + 5 )
a 2
= Es un número Negativo
b (−1 − 5 )
Escogemos el valor positivo de la Razón pues no existen distancias negativas

19. El número 5 es aproximadamente 2,236067… luego
a 2
= ≈ 1,618033.....
b (−1 + 5 )
Este valor encontrado para la Razón Áurea se llama φ
(se escribe Phi y se pronuncia Fi)
Se nombró así en honor a Fidias, el arquitecto griego que construyó el
Partenón usando la Razón Áurea.

20. El Hermano pequeño
• Hemos visto que, si determinamos la razón
entre el lado mayor “b” y el menor “a”
obtenemos el número de oro Phi. Ahora,
también es posible hacer lo inverso:
determinar la razón que existe entre el
menor y el mayor:
b
a

21. • A ese valor se le llama phi (en minúsculas), y es el
inverso multiplicativo del número de oro (su hermano
pequeño).
• Sorprendentemente, lo único que diferencia a ambos
números es la parte entera: Phi es 1,618... y phi es
0,618...
• ¡El resto de los decimales son los mismos!
• Phi es el UNICO número real que cumple esta
característica, además de otras muy interesantes.

22. ¿Dónde encontramos la
Razón Áurea?
La razón entre la distancia del ombligo a
los pies y la distancia de la cabeza al
ombligo es φ, así como también la razón
entre la altura de un hombre y la
distancia del ombligo a los pies
El Hombre de Vitrubio
-Leonardo Da Vinci-

23. En los cuerpos y rostros de actrices,
actores y cantantes famosos
dist.menton.a.boca 6,5
= ≈ 1,625 ≈ φ
dist.boca.a.nariz 4
estatura 163 l arg o.cara 20
= ≈ 1,6908 ≈ φ = ≈ 1,6666 ≈ φ
dist.ombligo.a. pies 96,4 dist.menton.a.ojos 12

24. • Conocemos el Valor de la Razón Áurea
• Ya construimos un Segmento Áureo (o Sección
Áurea)
• Pero también podemos construir cualquier figura
geométrica en que sus lados guarden dicha relación
• Usando algunos conocimientos de geometría
podemos construir el más sencillo de todos, el
Rectángulo Áureo (¡ESTE ES UN DESAFÍO!)

25. Construcción de un Rectángulo Áureo
• Un Rectángulo Áureo es simplemente aquel en que la
razón entre su lado mayor y su lado menor es φ
a
b
a
=φ
b

26. ¿Dónde podemos encontrar
Rectángulos Áureos?
En la vida cotidiana:
Generalmente, las tarjetas de crédito,
los carnet de identidad y pases
escolares tienen forma de rectángulo
áureo, es decir la razón entre su lado
mayor y menor es φ
También asemejan a rectángulos
áureos los televisores de pantalla
ancha, las postales y las fotografías

28. La Gioconda Sección Áurea
-Leonardo Da Vinci- -Piet Mondrian-

29. Dos de las composiciones
en rojo, amarillo y azul del pintor Piet Mondrian

30. En las obras de muchos otros artistas del Renacimiento
se han buscado relaciones áureas.
Sir Theodore Cook (s
XIX) describió una escala
simple de divisiones
áureas aplicable a la
figura humana, que
encaja
sorprendentemente bien
en las obras de algunos
pintores, como Boticelli.
El Nacimiento de Venus
-Boticelli-

31. Hay otros casos de obras
pictóricas en los que aparece el
uso del Rectángulo Áureo como
medio de distribución espacial
(forma de componer un cuadro):
En “El Martirio de San
Bartolomé”, de Ribera, es
evidente la división del espacio
en base a rectángulos áureos
verticales y horizontales: el
objeto principal se ubica en el
cuadrado central

32. En “La Carta”, de
Vermeer, la
ubicación del
elemento principal
está en el cruce de
las divisiones
áureas:

33. En Monumentos:
El Partenón
Para los griegos, la Razón Áurea constituyó la base del diseño de
monumentos y construcciones en honor a sus dioses
El Partenón, templo de los En la fachada del Partenón se puede
dioses griegos inscribir un rectángulo áureo

34. La Espiral Mirabilis (Maravillosa) o
Espiral Áurea
• Es un curva que surge de dibujar arcos de circunferencia en el
interior de los sucesivos cuadrados que se obtienen al construir
sucesivos rectángulos áureos

35. ¿Dónde encontramos la Espiral
Mirabilis?

36. En el Arte:
"Semitaza gigante volando con Observa cómo la espiral áurea
anexo inexplicable de cinco metros se ajusta a los elementos
de longitud“ importantes de la pintura
-Salvador Dalí-

37. En la Naturaleza:
La concha del cefalópodo marino Nautilus

38. Comentario Final
Como ejercicio de observación te propongo
que te fijes en todo lo que nos rodea y
compruebes, que el número áureo está
presente en todas partes.
Si algo nos llama la atención por su belleza, tal
vez el número de oro esté en la fuente de
diseño

39. Actividades
Investiga para desarrollar las sgtes. actividades:
• En papel, construyan un Segmento Áureo con
regla y compás
• En papel, construyan un Rectángulo Áureo con
regla y compás
• En papel, construyan una Espiral Áurea con
regla y compás

42. Introducción
• Podemos embaldosar un piso con
cerámicos, pastelones o azulejos de tal
forma que no se superpongan ni quede
algún espacio entre ellos
• Las baldosas pueden ser cuadradas,
triangulares, rectangulares, pero también
existen otras figuras con las que podemos
embaldosar el piso o, más generalmente,
un plano

43. • Si hemos recubierto un plano con
determinadas figuras sin que queden
espacios vacíos entre ellas ni se
superpongan, podemos decir que hemos
hecho una teselación del plano con
dichas figuras. Se dice que la figura es
teselante.
• Teselar es una acción donde intervienen
la técnica, la geometría, el arte y la
decoración.

44. • Las teselaciones han sido utilizadas en
todo el mundo desde los tiempo más
antiguos para recubrir suelos y paredes, e
igualmente como motivos decorativos de
muebles, alfombras, tapices, ropas,...

45. • Podemos Teselar un plano con
figuras geométricas llamadas
polígonos. Éstos pueden ser
Regulares o Irregulares.
• Cuando todos los polígonos de la
teselación son regulares e iguales
entre si, se dice que la teselación es
regular, y de otra forma se dice
teselación irregular.

46. Solo existen 3 teselaciones regulares:
• Teselación de triángulos equiláteros:
• Teselación de cuadrados
(Ejemplo: la del tablero de ajedrez):
• Teselación de hexágonos:
(Ejemplo: la de los panales de abeja)

47. • Para teselar un plano, los polígonos se pueden
someter a unos tipos de transformaciones en el
plano, llamadas Isometrías. - Iso - quiere decir
igual, - metría - quiere decir medida, por lo
tanto las Isometrías son transformaciones en el
plano que conservan los tamaños de las figuras
• Las tres Isometrías son: Rotación, Traslación y
Reflexión

48. Rotación de un polígono
• Consiste en rotar un polígono en un cierto ángulo respecto
a un punto fijo
Rotación de un
triángulo equilátero

49. Rotación de un
cuadrado

50. Traslación de un polígono
• Consiste en mover en una dirección un polígono
Traslación de un cuadrado

51. Traslación de un triángulo

52. Reflexión
• Consiste en obtener el polígono reflejado con
respecto a una recta llamada espejo
Reflexión de un triángulo con
respecto a la recta espejo

53. Reflexión de un cuadrado
respecto a la recta espejo

54. Ejemplos de Teselaciones Regulares

55. El tablero de Ajedrez
es un plano teselado
por un cuadrado
Una teselación con
triángulos equiláteros

56. • Maurits Cornelis Escher, pintor holandés,
cuyos trabajos son apreciados por
matemáticos, realizó una obra que puede
ser calificada como arte matemático y se
caracteriza por la teselación irregular del
plano.
M. C. Escher

57. • Escher tesela el plano con figuras de
aves, peces, personas, reptiles y otros.
• El resultado total de combinar las figuras
dificulta apreciar la figura y su fondo.

58. Ejemplos de Teselaciones Irregulares

59. Pájaros
M. Escher

60. Simetría nº 45
M. Escher

61. Día y noche
M. C. Escher
(1938)

62. Teselación de un plano con la figura de un pez

63. Construcción
de
Teselaciones

64. Teselación a partir de un triángulo
Dibuja un triángulo cualquiera. Distorsiona cada lado del triángulo, de forma que
siempre sea simétrico respecto de su punto medio. La figura que obtienes de este
modo se llama triside y permite recubrir un plano.
Puedes intentar hacer tu propio diseño y recubrir el plano con él.
Ejemplo

65. Cometario final del taller
Te aconsejo que busques información en
Internet sobre M. Escher, pues además de
haber creado hermosas Teselaciones,
también ha creado “dibujos imposibles”
como los que te presento a continuación

74. Propiedades de los Fractales
• Autosimilitud:
A diferentes escalas, una figura fractal
conserva la misma apariencia, siempre
existe una clara similitud entre partes muy
distantes de una misma figura fractal.
• Infinito Detalle:
Al ampliar un fractal, más detalle revela
este, sin que se tenga un límite.

75. Cómo se construyen los Fractales
• Los Fractales son generados en
computadores con fórmulas o algoritmos y
con un conjunto muy reducido de datos.
• Su algoritmia es definida por una
característica clave: la iteración.
• Existen programas para computador que
permiten experimentar y descubrir nuevos
fractales.

76. • Además ser bellos, los fractales
generados por computador se utilizan
para la representación y el análisis de una
gran variedad de procesos complejos a lo
largo de diversos campos, como pueden
ser la Física, las Matemáticas, Biología,
Química, Geología, etc.

79. Rama de un Helecho Fractal

80. Música Fractal
Mediante técnicas de computación, los
fractales pueden ser “interpretados”
como música.

81. Actividad
Generemos Fractales con el
programa WinFract

83. Gracias por participar del taller