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1. VECTORES: VOCABULARIO
1. Abscisa de un punto.
2. Ordenada de un punto.
3. Concepto de vector.
4. Coordenadas o componentes de un vector.
5. Elementos de un vector.
6. Concepto de origen de un vector.
7. Concepto de extremo de un vector.
8. Concepto de módulo de un vector.
9. Concepto de dirección de un vector.
10. Concepto de sentido de un vector.
11. Concepto de vector unitario.
12. ¿Cómo se calcula un vector unitario en la dirección y sentido de otro
vector?
13. Concepto de magnitud escalar.
14. Concepto de magnitud vectorial.
15. ¿Cuándo dos vectores son iguales?
16. Concepto de cosenos directores de un vector.
17. Propiedad de los cosenos directores de un vector.
18. Relación entre el vector unitario y los cosenos directores de un vector.
19. Suma de vectores: analítica y gráficamente.
20. Diferencia de vectores: analítica y gráficamente.
21. Concepto de vector opuesto a otro.
22. Producto de un escalar por un vector.
23. Producto escalar de dos vectores.
24. Condición de perpendicularidad de dos vectores.
25. Proyección de un vector sobre otro.
26. Producto vectorial de dos vectores.
27. ¿Cómo se calcula un vector unitario perpendicular a dos vectores?
28. Área de un triángulo del que se conocen sus coordenadas.
29. Área de un paralelogramo del que se conocen sus coordenadas.
30. Momento de un vector respecto a un punto.
31. Derivada de un vector respecto a un escalar.

3. VECTORES: VOCABULARIO
1. Abscisa (x) de un punto.
La abscisa de un punto es la distancia de ese punto al eje de ordenadas.
2. Ordenada (y) de un punto.
La ordenada de un punto es la distancia de ese punto al eje de abscisas.
3. Concepto de vector.
Un vector es un segmento orientado en el plano o en el espacio.
4. Coordenadas o componentes de un vector.
Las coordenadas o componentes de un vector son las proyecciones del
vector sobre cada uno de los ejes de coordenadas.
Las coordenadas de un vector se calculan restando las coordenadas del
origen a las coordenadas del extremo.
Un vector queda determinado por sus coordenadas
5. Elementos de un vector.
Los elementos de un vector son:
- Origen
- Extremo
- Módulo
- Dirección
- Sentido
6. Concepto de origen de un vector.
O punto de aplicación es el punto del espacio del que parte.
7. Concepto de extremo de un vector.
El extremo de un vector es el punto del plano opuesto a su origen.

4. 8. Concepto de módulo de un vector.
El módulo de un vector es la longitud de ese vector o la distancia entre su
origen y su extremo.
El módulo de un vector se calcula hallando la raíz cuadrada de la suma
del cuadrado de las componentes.
Sean los vectores:
9. Concepto de dirección de un vector.
La dirección de un vector es la recta que contiene al vector.
10. Concepto de sentido de un vector.
El sentido de un vector es el elemento que indica, mediante una flecha
colocada en el extremo, hacia qué lado de la línea de acción se dirige el
vector.
Un vector se representa mediante dos letras y una flecha encima. La
primera letra representa el origen, y la segunda el extremo. También se
puede representar un vector mediante una letra y una flecha encima:
11. Concepto de versor o vector unitario.
Vector unitario es aquel que tiene de módulo la unidad.
12. ¿Cómo se calcula un vector unitario en la dirección y sentido de otro
vector?
Un vector unitario en la dirección y sentido de otro vector se calcula
dividiendo las coordenadas del vector por su módulo.
13. Concepto de magnitud escalar.
Una magnitud escalar es aquella que queda unívocamente caracterizada
mediante su valor numérico y su unidad.
14. Concepto de magnitud vectorial.
Es una magnitud que, para que quede perfectamente definida, no sólo no
es necesario saber su valor numérico y su unidad, sino también su
dirección y sentido; por ejemplo la velocidad, la aceleración, la presión,
la fuerza...

5. 15. ¿Cuándo dos vectores son iguales?
Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo, dirección y
sentido, o bien cuando tienen las mismas coordenadas.
16. Concepto de cosenos directores de un vector.
Los cosenos directores de un vector son los cosenos de los ángulos que
forma el vector con cada uno de los ejes de coordenadas.
17. Propiedad de los cosenos directores de un vector.
La suma del cuadrado de los cosenos del ángulo que forma un vector con
cada uno de los ejes de coordenadas es igual a 1:
18. Relación entre el vector unitario (en la dirección y sentido de uno dado) y
los cosenos directores de un vector.
• La relación entre el vector unitario y los cosenos directores de un vector
es que las coordenadas de ese vector unitario son los cosenos directores
de ese vector.
no llevan flechas porque no son vectores, sino
proyecciones o coordenadas (del vector unitario).

6. sería el vector unitario en la dirección y sentido de , que se calcula
dividiendo las coordenadas del vector entre su módulo.
*¿Cómo se calculan los cosenos directores de un vector? Los cosenos
directores de un vector se calculan dividiendo cada coordenada por su
módulo.
19. Suma de vectores: analítica y gráficamente.
ANALÍTICAMENTE
Dos o más vectores se suman analíticamente, sumando las
correspondientes coordenadas.
GRÁFICAMENTE
Dos o más vectores se suman gráficamente:
a) Se sitúan los dos vectores con el mismo origen y se usa la regla del
paralelogramo. Cuando hay que sumar más de dos vectores, hay que
repetir esta operación por cada pareja de vectores.
b) Se coloca el origen de un vector sobre el extremo del otro, y se une el
origen del primero con el extremo del segundo.:

7. 21. Concepto de vector opuesto a otro.
Dos vectores son opuestos cuando tienen el mismo módulo, y la
mismo dirección, pero sentido contrario. O bien, dos vectores son
opuestos cuando tienen las mismas componentes, pero con el signo
cambiado.
Un vector es opuesto a otro gráficamente, cuando los dos están
contenidos en la misma recta, y la longitud entre sus orígenes y sus
extremos es la misma, pero con sentido contrario.
20. Diferencia de vectores: analítica y gráficamente.
ANALÍTICAMENTE:
Dos vectores se restan analíticamente, sumando al primer vector el
opuesto del segundo vector, es decir, restando las respectivas
coordenadas.
GRÁFICAMENTE: Sumando al primero el opuesto del segundo.

8. 22. Producto de un escalar por un vector.
El producto de un escalar por un vector es otro vector cuyas coordenadas
son el resultado de multiplicar el escalar por cada una de las coordenadas del
vector.
El producto de un escalar por un vector es otro vector de:
C Dirección: la misma.
C Sentido: Si el escalar es positivo tienen el mismo sentido; si el escalar
es negativo tienen sentido contrario.
C Módulo: el producto del valor absoluto del escalar por el módulo del
vector.

9. 23. Producto escalar de dos vectores.
El producto escalar de dos vectores es un escalar igual al producto de sus
módulos por el coseno del ángulo que forman.
Al vector unitario del eje z y sentido positivo, se llama .
Al vector unitario del eje y y sentido positivo, se llama .
Al vector unitario del eje x y sentido positivo, se llama .
El producto escalar también puede calcularse a partir de las coordenadas
cartesianas de ambos vectores:

10. *¿Por qué tiene la propiedad conmutativa?
24. Condición de perpendicularidad de dos vectores.
La condición que se debe cumplir para que dos vectores sean
perpendiculares entre sí, es que su producto escalar sea igual a 0.
25. Proyección de un vector sobre otro. Vector proyección.
La proyección de un vector sobre otro es un escalar igual al valor del
producto escalar de los vectores, dividido por el módulo del vector sobre el
que se proyecta.
El vector proyección de un vector sobre otro es un vector (de módulo igual
al valor del producto escalar de los vectores, dividido por el módulo del
vector sobre el que se proyecta igual al producto de la proyección del primer
vector sobre el segundo por el vector unitario en la dirección y sentido del
vector sobre el que se proyecta.

11. 26. Producto vectorial de dos vectores.
Se representa por:
El producto vectorial de dos vectores es un vector de:
1. Módulo igual al producto de los módulos (de los vectores) por el seno
del ángulo que forman.
2. Su dirección es perpendicular al plano que forman los vectores, es
decir, perpendicular a y perpendicular a .
3. Su sentido es el que indica el avance del sacacorchos o del tornillo
cuando se desplaza del primer vector al segundo por el camino más
corto.
El producto escalar de los vectores unitarios será:

12. Ver ejercicio nº 10 como ejemplo. En éste se demuestra que el
producto vectorial de dos vectores no cumple la propiedad conmutativa, y
que cuando se invierte el orden de los vectores a multiplicar, se obtienen
vectores opuestos (propiedad anticonmutativa) .
Y teniendo en cuenta:
Esta expresión vectorial puede ponerse mediente el siguiente determinante:
27. ¿Cómo se calcula un vector unitario perpendicular a dos vectores?
Un vector unitario perpendicular a dos vectores se calcula haciendo el
producto vectorial de los dos vectores ( ), con lo cual obtengo un

13. vector perpendicular a y perpendicular a (esto se debe al concepto de
producto vectorial, en el apartado de la dirección). A continuación divido
este vector por su módulo.
28. Área de un triángulo del que se conocen sus coordenadas.
El área de un triángulo del que se conocen sus coordenadas es la mitad del
módulo del producto vectorial de los vectores de dos de sus lados. Ve el
problema nº 25.
29. Área de un paralelogramo del que se conocen sus coordenadas.
El área de un paralelogramo es el módulo del producto vectorial de los
vectores de dos lados no paralelos al paralelogramo. Ve el problema nº 24.
30. Momento de un vector respecto a un punto.
Momento de un vector respecto a un punto O es el producto vectorial del
vector de posición del origen del vector por el propio vector:
es un vector que tiene su origen en el punto O (punto respecto al cual estamos
calculando el momento de ) y su extremo en el origen del vector, en el origen
de .
también se define como el vector de posición del origen de (punto A)
respecto a O.
31. Derivada de un vector respecto a un escalar.
La derivada de un vector respecto a un escalar es otro vector cuyas
coordenadas se obtienen derivando cada (una) coordenada del vector
respecto al escalar.

16. FÍSICA DE 1º de BACHILLERATO: VECTORES
1. Sea el vector: .
Calcula su módulo y sus cosenos directores.
2. Sean los vectores .
Calcula el módulo y la dirección del vector suma de ambos.
3. Sean los vectores: .
Calcula:
a) El vector .
b) Los módulos de .
c) El producto escalar de .
4. Sean los vectores . Indica
razonadamente si son o no son perpendiculares.
5. Calcula el módulo y los cosenos directores de los vectores del problema
anterior.
6. Deducir el valor de x para que los vectores
sean perpendiculares.
7. Sean los vectores . Calcula su producto
escalar y el ángulo que forman.
8. Dados los vectores , calcula:
a) Su producto escalar;
b) el ángulo que forman;
c) su producto vectorial.
9. Deducir el valor de x para que los vectores
sean perpendiculares.

17. 10. Si , determina: a) ; b) ;
c) .
11. Siendo , calcula los
productos: .
12. Siendo , calcula los
productos: .
13. Sea el vector . Calcula:
a) .
b) El módulo de para t=1 y para t=2.
14. Un vector tiene de componentes (3, -2, 1). Halla:
a) Su módulo.
b) Sus cosenos directores.
c) Un vector unitario en la dirección de .
d) Comprueba que la suma de los cuadrados de los cosenos directores es
la unidad.
e) Un vector unitario perpendicular a la dirección de .
15. Sea el vector ; se pide:
a) Su módulo y dirección.
b) Un vector unitario en su misma dirección.
c) El ángulo que forma con el eje OY.
16. El vector tiene su punto de aplicación en A(1, 3, 0).
Determina el momento de respecto al origen de coordenadas y respecto
al punto O'(-3, 5, 0).

18. 17. El vector tiene su punto de aplicación en P(3, 0, -1).
Determina el momento de respecto al origen de coordenadas y respecto
al punto O'(3, -2, -1).
18. Los vectores están aplicados en el punto
C(3, 0, -1). Calcula sus momentos respecto al punto P(1, 2, 3).
19. Dados los vectores , calcula un vector, de
módulo 3, perpendicular a ambos.
20. Sea el vector . Calcula el módulo de su
derivada respecto a t.
21. Un bloque de 10 kg se encuentra situado sobre un plano inclinado 30º sobre
la horizontal. Calcula las componentes del peso perpendicular y paralela al
plano.
22. Sean los vectores . Determina:
a) Su producto vectorial.
b) El ángulo que forman.
c) Comprueba que el vector producto vectorial es perpendicular a
ya .
23. Dados los vectores , determina
by y bz para que y sean paralelos.
24. Determina el área de un paralelogramo formado por los vectores:
25. Determina el área del triángulo determinada por los vectores:
26. Dados los vectores , calcúlese:

19. a) Su producto escalar.
b) La proyección de sobre .
c) La proyección de sobre .
27. Demuestra que los vectores , , y
pueden formar un triángulo y que éste es rectángulo.
28. Dados los vectores , calcula:
a) El momento del vector , aplicado en O(0,0,0), respecto del punto
P (-2,1,0).
b) El momento del vector , aplicado en O(0,0,0), respecto del punto
P (-1,-3,0).
c) El momento del vector , aplicado en A(1,2,3), respecto del punto
P (1,-2,0).
29. Dados los vectores , calcula:
a) El ángulo que forman.
b) La proyección de sobre .
c) La proyección de sobre .
30. Un vector tiene de módulo 4 y sus cosenos directores son proporcionales a
los números 3, 1 y -2. Halla las componentes cartesianas de este vector.
31. Dada una fuerza (en N) aplicada en el punto
(en metros), calcula:
a) El momento respecto al origen.
b) El momento respecto al punto (1,1,-2)
32. Dados los vectores y
a) Halla su suma gráfica y numéricamente.
b) Calcula los módulos de ambos vectores y el de su suma.

20. 33. Calcula los siguientes productos escalares y calcula en cada caso el ángulo
que forman ambos vectores:
a) e)
b) f)
c) g)
d) h)
34. Dados los vectores y , calcula el
versor (vector unitario) en la dirección y sentido del vector .
35. Dado el vector con origen en A(3, 17) y extremo en B(10, -7), halla el
versor (vector unitario) de su misma dirección, pero de sentido contrario.
36. Determina un vector de módulo 6, de igual dirección y sentido que el vector
.
37. Dados los vectores y , calcula la
proyección del primero sobre el segundo.
38. Halla la proyección del vector sobre .
Exprésala vectorialmente (vector proyección).
39. Calcula las componentes de los vectores y en
la dirección del vector .
40. La velocidad de un móvil es . Una fuerza
actúa sobre él. Calcula la componente de dicha fuerza en la
dirección del movimiento y en dirección perpendicular a él. Las
componentes de la velocidad se han expresado en m s -1 y las de la fuerza,
en N.

21. 41. Dada la función vectorial , calcula el
ángulo que forman los vectores obtenidos al hacer t = 1 y t = 2.
42 ¿Qué valor se ha de dar a t para que el módulo del vector
sea igual a ?
43 Dada la función vectorial , calcula y
representa gráficamente los siguientes vectores:
44. Para t = 1, calcula el vector y su
derivada.
Determina el ángulo que forman ambos vectores.
45. ¿Para qué valor de x el vector y su
derivada con respecto a x son perpendiculares?
46. Dado el vector , determina el vector unitario o
versor que tiene la dirección y sentido de su derivada para t = 2.
47. Dada la función vectorial , demuestra:
a) Que su módulo es constante.
b) Que este vector es perpendicular a su derivada para todo valor de x.
48. Determina el vector y su derivada,
ambos para t=2. Calcula la componente de dicha derivada en la dirección del
vector y en dirección perpendicular a él.
49. Aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial con respecto a la
suma, efectúa los siguientes productos:
a)
b)

22. c)
d)
e)
f)
g)
50. Dados los vectores , calcula un vector de
módulo 3 perpendicular a ambos.

23. FÍSICA: 1º de Bachillerato
Tema 1.
CONCEPTOS
INTRODUCTORIOS

25. CONCEPTOS INTRODUCTORIOS
1. Concepto de magnitud.
2. ¿Qué es medir una magnitud física?
3. Condiciones que deben cumplir las unidades al elegirlas.
4. Tipos de magnitudes.
5. Magnitud escalar.
6. Magnitud vectorial.
7. ¿Qué es un sistema de medidas o sistema de unidades?
8. Cita algunos ejemplos de sistemas de medidas.
9. Concepto de magnitudes fundamentales.
10. Concepto de unidades fundamentales.
11. ¿Cuáles son las magnitudes y unidades fundamentales en el Sistema
Internacional?
12. Normas acerca de los nombres y los símbolos de las unidades.
13. Magnitud derivada.
14. Múltiplos y submúltiplos de las unidades.
15. Ecuación de dimensión.
16. Indica las ecuaciones de dimensión de algunas magnitudes físicas.
17. ¿Qué significa la condición de homogeneidad entre magnitudes?
18. ¿Qué son medidas directas? Ejemplos.
19. ¿Qué son medidas indirectas? Ejemplos.
20. Partes de que consta un número puesto en notación científica? Ejemplo.
21. Características de los aparatos de medida.
22. ¿Qué es la sensibilidad de un instrumento de medida?
23. ¿Qué es la precisión de un instrumento de medida?
24. ¿Qué es la exactitud de un instrumento de medida?
25. ¿A qué se llaman cifras significativas? Ejemplos
26. ¿Qué es el redondeo?
27. Reglas del redondeo.
28. Concepto de incertidumbre de una medida.
29. Error absoluto.
30. Error relativo.
31. Representación de las medidas.
32. Concepto de línea de ajuste.
33. Trazado de la línea de ajuste.
34. Interpretación de una gráfica.

26. CONCEPTOS INTRODUCTORIOS
1. Concepto de magnitud.
Magnitud es toda propiedad de un objeto que puede medirse.
2. ¿Qué es medir una magnitud física?
Medir es comparar una magnitud con otra que se toma como patrón y que
se denomina unidad.
3. Condiciones que deben cumplir las unidades al elegirlas.
a) La unidad ha de ser constante. No ha de cambiar con el tiempo ni
depender de quién realice la medida.
b) Ha de ser universal, es decir, debe ser utilizada por todos.
c) Ha de ser fácil de reproducir, aunque esta facilidad vaya, a veces,
en detrimento de la exactitud.
5. Magnitud escalar.
Una magnitud escalar es aquélla que queda unívocamente caracterizada
dando su valor numérico y su unidad.
6. Magnitud vectorial.
Es una magnitud que, para que quede perfectamente definida, no sólo es
necesario saber su valor numérico y su unidad, sino también su dirección y
sentido; por ejemplo la velocidad, la aceleración, la presión, la fuerza, ...
7. ¿Qué es un sistema de medidas o sistema de unidades?
Es un sistema de clases de magnitudes y de unidades coherente y métrico,
basado en un determinado número de magnitudes fundamentales y unidades
fundamentales.
8. Cita algunos ejemplos de sistemas de medidas.
Sistema Internacional, Sistema Terrestre o Técnico, Sistema Cegesimal.
9. Concepto de magnitudes fundamentales.
Magnitudes fundamentales son aquéllas que se definen independientemente

27. de las demás.
10. Concepto de unidades fundamentales.
Las unidades fundamentales son las unidades de las magnitudes
fundamentales.
11. ¿Cuáles son las magnitudes y unidades fundamentales en el Sistema
Internacional?
MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO
Longitud metro m
Masa kilogramo kg
Tiempo segundo s
Intensidad de corriente amperio A
Intensidad luminosa candela cd
Temperatura kelvin K
Cantidad de sustancia mol mol
12. Normas acerca de los nombres y los símbolos de las unidades.
a) Los nombres de las unidades se escriben con minúscula.
b) Cada unidad tiene un símbolo y no debe utilizarse otro.
c) Los símbolos se escriben sin punto final.
d) Los símbolos de las unidades cuyo nombre proviene de un nombre
propio (normalmente de un físico) son mayúsculas; cuando no es así,
son minúsculas.
13. Magnitud derivada.
Magnitudes derivadas son aquéllas que pueden ser expresadas en función de
las fundamentales, como la velocidad, el volumen, la fuerza, ...

28. 14. Múltiplos y submúltiplos de las unidades del sistema internacional.
Para poder establecer cómodamente cantidades muy grandes o muy
pequeñas, se han establecidos los prefijos del cuadro adjunto, que sirven
para designar a los múltiplos y submúltiplos de las unidades.
MÚLTIPLOS
FACTOR PREFIJO SÍMBOLO
1018 exa E
1015 peta P
1012 tera T
109 giga G
106 mega M
103 kilo k
102 hecto h
101 deca da
SUBMÚLTIPLOS
FACTOR PREFIJO SÍMBOLO
10-1 deci d
10-2 centi c
10-3 mili m
10-6 micro :
10-9 nano n
10-12 pico p
10-15 femto f
10-18 atto a
15. Ecuación de dimensión.
La ecuación de dimensión de una magnitud derivada es la ecuación que nos
relaciona esa magnitud derivada con las fundamentales.
16. Indica las ecuaciones de dimensión de algunas magnitudes físicas.

29. * Superficie = [L²] * Volumen = [L3]
* Densidad = [ML-3] * Velocidad = [LT-1]
* Aceleración = [LT-2] * Peso específico = [ML-2T-2]
* Cantidad de movimiento = [MLT-1] * Impulso mecánico = [MLT-1
]
* Fuerza = [MLT-2] * Trabajo = [ML2T-2]
* Potencia = [ML2T-3] * Presión = [ML-1T-2]
17. ¿Qué quiere decir la condición de homogeneidad entre magnitudes?
La condición de homogeneidad entre magnitudes quiere decir que la
ecuación de dimensión del primer miembro de una igualdad ha de ser igual
a la ecuación de dimensión del segundo miembro.