1. ALGEBRA DE VECTORES
Desde su introducción hace cerca de 100 años el concepto de vector sólo se
asociaba con representaciones geométricas intuitivas, pero son múltiples sus
aplicaciones dentro de la matemática y la física. Sólo que afirmar que un
objeto físico o matemático es un vector, no adquiere sentido hasta definir
ciertas operaciones y propiedades que lo caractericen.
Geométricamente, representamos un vector como el segmento de
recta dirigido, que posee:
a) Módulo, es la longitud, la que es representada por un valor
numérico (también se la denomina norma)
b) Dirección, es la de la recta a la que pertenece
c) Sentido. La recta posee dos sentidos, generalmente estos se
indican mediante signos "+" para un lado y ” –“para el otro.
Los vectores pueden situarse el plano, o sea dos dimensiones, en el espacio,
Los vectores pueden situarse en la línea (1 dimensión), en el plano (dos
dimensiones), en el espacio, (de tres a n-dimensiones).
B
D Se ha considerado a A como punto inicial u origen y a B

A como punto final o extremo y se lo expresa AB . Si
C 
consideramos que CD tiene el mismo módulo, dirección
 
y sentido que AB , entonces CD representa el mismo

vector AB .
Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A (origen)
al punto B (extremo).
Elementos de un vector
Dirección de un vector

2. La direcccíon del vector es la dirección de la recta que
contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.
Sentido de un vector
El sentido del vector es el que va desde el origen A al
extremo B.
Módulo de un vector
El m ó d u l o del vector es la lo n g i t u d del segmento AB ,
se representa por .
El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero.
Módulo de un vector a partir de sus componentes
Módulo a partir de las coordenadas de los puntos

3. Coordenadas de un vector
Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:
Las coordenadas del vector son las coordenadas del
extremo menos las coordenadas del origen.
Clases de vectores
Vectores equipolentes

4. Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y
sentido.
Vectores libres
Suma de vectores
Para sumar dos vectores libres y se escogen como
representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida
con el extremo origen del otro vector.
Regla del paralelogramo
Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se

5. trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya
diagonal coincide con la suma de los vectores.
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.
Resta de vectores
Para restar dos vectores libres y se suma con el opuesto de .
Las componentes del vector resta se obtienen restando las
componentes de los vectores.

6. Producto de un número por un vector
El producto de un número k por un vector es otro vector:
De igual dirección que el vector .
Del mismo sentido que el vector si k es positivo.
De sentido contrario del vector si k es negativo.
De módulo
Las componentes del vector resultante se obtienen
multiplicando por K las componentes del vector.
Dados dos vectores: y , y dos números: a y b, el vector
se dice que es una combinación lineal de y .
Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que
se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos
escalares.

7. Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de
otros dos que tengan distinta dirección.
Esta combinación lineal es única.
Dados los vectores , hallar el
vector combinación lineal
El vector , ¿se puede expresar como
combinación lineal de los vectores ?

8. V e c to r e s l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s
Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente
dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al
vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la
combinación lineal.
Propiedades
1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces
al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de
los demás.
También se cumple el reciproco: si un vector es combinación
lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente
dependientes.
2.Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y
sólo si, son paralelos.
3.Dos vectores libres del plano = (u1, u2) y = (v1, v2) son
linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

9. V e c to r e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s
Varios vectores libres son linealmente independientes si
ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los
restantes.
a1 = a2 = ··· = an = 0
Los vectores linealmente independientes tienen distinta
dirección y sus componentes no son proporcionales.
Ejemplo
Deterrminar si son linealmente dependientes o independientes los
vectores.:
= (3, 1) y = (2, 3)
Linealmente independientes
Esta base formada por los vectores y se denomina base canónica.

10. Dos vectores y con distinta dirección forman una base,
porque cualquier vector del plano se puede poner como combinación
lineal de ellos.
Las coordenadas del vector respecto a la base son:
Ejemplos
Los dos vectores que forman una base no pueden
ser paralelos.
Ejemplo
Qué pares de los siguientes vectores forman una
base:

11. Base ortogonal
Los dos vectores de la base son perpendiculares entre sí.
Base ortonormal

12. Los dos vectores de la base son perpendiculares entre sí, y además
tienen módulo 1.
Esta base formada por los vectores y se denomina base canónica.
Es la base que se utiliza habitualmente, de modo que si no se advierte nada se supone
que se está trabajando en esa base.
Ejercicios
Qué pares de los siguientes vectores forman una base:
Sean los vectores libres = (2, 1), = (1, 4) y = (5, 6). Determinar:
1. Si forman una base y .
2. Expresar como combinación lineal de los de la base

13. 3. Calcular las coordenadas de C respecto a la base.
Las coordenadas de respecto a la base son: (2, 1)
Un vector tiene de coordenadas (3, 5) en la base canónica. ¿Qué
coordenadas tendrá referido a la base = (1, 2), = (2, 1)?
(3, 5) = a (1, 2) + b (2, 1)
3 = a + 2b a = 3 - 2b a = 7/3
5 = 2a + b 5 = 2 (3 - 2b) + b b = 1/3
Las coordenadas de en la base B son (7/3, 1/3).
SISTEMA DE REFERENCIA
En el plano, un sistema de referencia está
constituido por un punto O del plano y una base ( , ).
El punto O del sistema de referencia se llama origen.
Los vectores , no paralelos forman la base.
PRODUCTO ESCALAR

14. El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al
multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que
forman.
Ejemplo
Expresión analítica del producto escalar
Ejemplo
Expresión analítica del módulo de un vector

15. Ejemplo
Expresión analítica del ángulo de dos vectores
Ejemplo
Condición analítica de la ortogonalidad de dos vectores
Ejemplo
Interpretación geométrica del producto escalar
El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de
uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

16. Ejemplo
Hallar la proyección del vector = (2, 1) sobre el vector = (−3, 4).
Propiedades del producto escalar
1Conmutativa
2 Asociativa
3 Distributiva
4

17. El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo
siempre es positivo.
Proyección de un vector sobre un eje.
En un eje examinemos un segmento dirigido no nulo AB.
Se llama magnitud del segmento dirigido AB en el eje a un número igual a
la longitud del segmento AB que se toma con el signo "+" si el sentido del
segmento AB y el del eje coinciden y con el signo "-" si éstos son contrarios.
Ahora examinemos un vector arbitrario determinado por el vector fijo AB
Bajando las perpendiculares de su origen y su extremo al eje dado
construyamos en éste el segmento dirigido CD.
Se denomina proyección del vector sobre el eje a la magnitud del
segmento dirigido CD construido por el método anteriormente mencionado.
Propiedades principales de las proyecciones.
1. La proyección de un vector sobre algún eje es igual al producto de la
longitud del vector por el coseno del ángulo formado entre el eje y el vector.

18. 2. La proyección de la suma de los vectores sobre algún eje es igual a la
suma de las proyecciones de los vectores sobre el mismo eje.
Por ejemplo, .

19. Producto escalar de vectores.
Sea que tenemos dos vectores no nulos a y b.
Se denomina producto escalar del vector a por el vector b a un número
designado por el símbolo a. b y definido por la igualdad
(1)
donde φ (en otra denotación ) es el ángulo entre los vectores a y b.
Al fijar que es la proyección del vector b sobre la dirección del vector a
podemos escribir
y análogamente,
es decir, el producto escalar de dos vectores es igual a la longitud de uno de
ellos multiplicada por la proyección del otro vector sobre la dirección del
primero.
Si uno de los vectores, a o b, es nulo consideremos que (a, b) = 0.
Propiedades del producto escalar.
1. El producto escalar se anula si, y sólo si, al menos uno de los vectores
multiplicados es nulo o si los vectores a y b son perpendiculares .

20. Esto se desprende de la fórmula (1) que define el producto escalar. Puesto que
la dirección del vector nulo es indefinida podemos considerarlo perpendicular a
cualquier vector. Por eso se puede enunciar la propiedad mencionada del
producto escalar del modo siguiente.
2. El producto escalar es conmutativo
La validez de esta afirmación se deduce de la fórmula (1) si se toma en
consideración la paridad de la función cos φ.
3. El producto escalar posee la propiedad distributiva respecto a la adición:
En efecto,
4. Se puede sacar el factor numérico λ del signo del producto escalar
(3)
En efecto, sea λ>0. Entonces
puesto que los ángulos
son iguales.
Análogamente se examina el caso de λ < 0.
Cuando λ = 0 la validez de la propiedad 4 es obvia.

21. Nota. En caso general
Producto escalar de los vectores determinados por las coordenadas.
Consideremos los vectores a y b expresados como combinación lineal de la
base canónica {i, j, k} siendo los vectores i = (1,0,0); j = (0,1,0) y k =(0,0,1), de
donde expresando los vectores y tenemos
y quedando definido el producto
escalar de los vectores a y b: .
Empleando la propiedad distributiva del producto escalar hallamos
Teniendo en cuenta que
obtenemos
(4)
Es decir, si los vectores a y b están dados como combinación lineal del sistema
de coordenadas cartesiano de la base canónica, su producto escalar se calcula
multiplicando las coordenadas correspondientes y adicionando los productos.
Ejemplo:
Hállese el producto escalar de los vectores .
Aplicando la fórmula (4) para b = a, obtenemos el producto escalar de un vector
por sí mismo, que se expresa como:
(5)
Por otro lado,

22. por eso, de (5),
(6).
O sea, la longitud de un vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de los
cuadrados de sus coordenadas.
Coseno del ángulo entre vectores. Cosenos directores.
Según la definición
donde φ es el ángulo entre los vectores a y b. De esta fórmula obtenemos
(7)
(los vectores a y b son no nulos).
Sean Entonces la fórmula (7) toma la forma
siguiente
(8)
Ejemplo:
Hállese el ángulo entre los vectores
.
Empleando la fórmula (8) hallamos

23. Sea b = i, es decir, b = (1, 0, 0), entonces para todo vector a ≠ 0, y
vector i tenemos
o bien
(9)
donde α es el ángulo formado por el vector a y el eje Ox.
De modo análogo obtenemos
(10)
(11)
Las fórmulas (9)-(11) definen los cosenos directores del vector a, es decir, los
cosenos de los ángulos formados por el vector a con los ejes de coordenadas.
Ejemplo.
Hállense las coordenadas del vector unitario no.
Por la condición |no |= 1. Sea no = xi + yj + zk. Entonces,
De este modo, las coordenadas del vector unitario son los cosenos de los
ángulos formados por este vector con los ejes de coordenadas:
De aquí obtenemos
Ejemplo. Sea un vector unitario no ortogonal al eje z:

24. no = xi + yj.
Entonces sus coordenadas x y y son respectivamente iguales a
Por tanto,
Ejercicio:
Calcule el producto escalar de dos vectores.
7.9.2 Producto escalar de vectores.
Sea que tenemos dos vectores no nulos a y b.
Se denomina producto escalar del vector a por el vector b a un número
designado por el símbolo (a, b) y definido por la igualdad
(1)
donde φ (en otra denotación ) es el ángulo entre los vectores a y b.

25. Al fijar que es la proyección del vector b sobre la dirección del vector a
podemos escribir
y análogamente,
es decir, el producto escalar de dos vectores es igual a la longitud de uno de
ellos multiplicada por la proyección del otro vector sobre la dirección del
primero.
Si uno de los vectores, a o b, es nulo consideremos que (a, b) = 0.
Propiedades del producto escalar.
1. El producto escalar se anula si, y sólo si, al menos uno de los vectores
multiplicados es nulo o si los vectores a y b son perpendiculares .
Esto se desprende de la fórmula (1) que define el producto escalar. Puesto que
la dirección del vector nulo es indefinida podemos considerarlo perpendicular a
cualquier vector. Por eso se puede enunciar la propiedad mencionada del
producto escalar del modo siguiente.
2. El producto escalar es conmutativo
La validez de esta afirmación se deduce de la fórmula (1) si se toma en
consideración la paridad de la función cos φ.
3. El producto escalar posee la propiedad distributiva respecto a la adición:
En efecto,
4. Se puede sacar el factor numérico λ del signo del producto escalar

26. (3)
En efecto, sea λ>0. Entonces
puesto que los ángulos
son iguales.
Análogamente se examina el caso de λ < 0.
Cuando λ = 0 la validez de la propiedad 4 es obvia.
Nota. En caso general
Producto escalar de los vectores determinados por las coordenadas.
Consideremos los vectores a y b expresados como combinación lineal de la
base canónica {i, j, k} siendo los vectores i = (1,0,0); j = (0,1,0) y k =(0,0,1), de
donde expresando los vectores y tenemos
y quedando definido el producto
escalar de los vectores a y b: .
Empleando la propiedad distributiva del producto escalar hallamos
Teniendo en cuenta que
obtenemos

27. (4)
Es decir, si los vectores a y b están dados como combinación lineal del sistema
de coordenadas cartesiano de la base canónica, su producto escalar se calcula
multiplicando las coordenadas correspondientes y adicionando los productos.
Ejemplo:
Hállese el producto escalar de los vectores .
Aplicando la fórmula (4) para b = a, obtenemos el producto escalar de un vector
por sí mismo, que se expresa como:
(5)
Por otro lado,
por eso, de (5),
(6).
O sea, la longitud de un vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de los
cuadrados de sus coordenadas.
Coseno del ángulo entre vectores. Cosenos directores.
Según la definición
donde φ es el ángulo entre los vectores a y b. De esta fórmula obtenemos
(7)
(los vectores a y b son no nulos).
Sean Entonces la fórmula (7) toma la forma
siguiente

28. (8)
Ejemplo:
Hállese el ángulo entre los vectores
.
Empleando la fórmula (8) hallamos
Sea b = i, es decir, b = (1, 0, 0), entonces para todo vector a ≠ 0, y
vector i tenemos
o bien
(9)
donde α es el ángulo formado por el vector a y el eje Ox.
De modo análogo obtenemos
(10)

29. (11)
Las fórmulas (9)-(11) definen los cosenos directores del vector a, es decir, los
cosenos de los ángulos formados por el vector a con los ejes de coordenadas.
Ejemplo.
Hállense las coordenadas del vector unitario no.
Por la condición |no |= 1. Sea no = xi + yj + zk. Entonces,
De este modo, las coordenadas del vector unitario son los cosenos de los
ángulos formados por este vector con los ejes de coordenadas:
De aquí obtenemos
Ejemplo. Sea un vector unitario no ortogonal al eje z:
no = xi + yj.
Entonces sus coordenadas x y y son respectivamente iguales a
Por tanto,
Ejercicio:
Calcule el producto escalar de dos vectores.

30. Producto vectorial de vectores.
Se denomina producto vectorial de un vector a por un vector b al vector designado
por el símbolo [a , b ] ó a × b y tal que:
1) La longitud o módulo del vector a × b es igual a, | a × b |= |a| · |b| sen φ , donde φ
es el ángulo entre los vectores a y b.
2) La dirección del vector a × b es perpendicular a los vectores a y b, o sea,
perpendicular al plano de estos vectores.

31. 3) El sentido del vector a × b es tal que desde el extremo de este vector se ve que el
giro más breve de a a b pasa en sentido contrario al del movimiento de las agujas del
reloj. En otras palabras, los vectores a, b y a × b forman la terna derecha de vectores,
es decir, se encuentran situados de modo igual que el pulgar, el índice y el dedo medio
de la mano derecha.
Si los vectores a y b son colineales, entonces consideremos que a × b = 0.
Por definición, la longitud del producto vectorial es | a × b |= |a| · |b| sen φ y
numéricamente igual al área del paralelogramo construido sobre los vectores
multiplicados a y b como sobre los lados: | a × b |=
Propiedades del producto vectorial.
1. El producto vectorial es igual al vector nulo si, y sólo si, al menos uno de los
vectores multiplicados es nulo o bien si estos vectores son colineales (si los
vectores a y b son colineales, el ángulo entre ellos es igual a 0 ó a π.
Es fácil deducirlo de lo que | a × b |= |a| · |b| sen φ .Si se considera que el vector
.
nulo es colineal a cualquier vector, se puede expresar la condición de
colinealidad de los vectores a y b como: a // b ⇔ a x b = 0
2. El producto vectorial es anticonmutativo, es decir: b x a = - a x b. Estos
vectores a x b y b x a tienen igual longitud y son colineales. Los sentidos de
estos vectores son contrarios, ya que desde el extremo del vector a x b se ve
que el giro más breve de a a b pasa en sentido contrario a las agujas del reloj y
desde el extremo del vector b x a en sentido de las agujas del reloj.

32. 3. El producto vectorial posee la propiedad distributiva respecto a la adición
(a + b) x c =a x c + b x c
4. El producto vectorial no es asociativo. En caso general la igualdad
(a x b) x c = a x ( b x c) no es válida.
Por ejemplo: ( i x j) x j = k x j = - i y i x ( j , j ) = i x 0 = 0
Producto vectorial de dos vectores determinados por las coordenadas.
Sea que los vectores a y b están determinados por sus coordenadas en R3
Empleando la propiedad distributiva del producto
vectorial hallamos
Escribimos los productos vectoriales de los vectores de coordenadas.

33. Por eso, para el producto vectorial de los vectores a y b, obtenemos:
Esto puede escribirse en forma simbólica muy fácil para guardar en la memoria
si se usa el determinante de tercer orden:
Descomponiendo este determinante según los elementos de la primera fila,
obtenemos lo anterior.
Ejemplos:
1. Halle el área del paralelogramo construido sobre los vectores
a = i - j + k, b = 2i + j - k.
El área buscada es Por eso hallamos
.
de donde

34. 2. Halle el área del triángulo OAB .
Sabemos que el área del triángulo OAB es igual a la mitad del área del
paralelogramo OACB. Calculando el producto vectorial [a, b] de los vectores
, obtenemos
Producto mixto de vectores.
Supongamos los vectores a, b y c. Multipliquemos vectorialmente el vector a por el
vector b. Resulta el vector a x b. Lo multipliquemos escalarmente por el vector c: (a x
b)· c
El número (a x b)· c se llama producto mixto de los vectores a, b y c.
Sentido geométrico del producto mixto.
De un punto común O tracemos vectores a, b y c. Si todos los cuatro O, A, B, C se
sitúan en un plano (en este caso los vectores a, b y c se llaman coplanares), el
producto mixto (a x b)· c =0. Esto se deduce de lo que el vector a x b es perpendicular
al plano en que se encuentran los vectores a y b y, por consiguiente perpendicular el
vector c.

35. Si los puntos O, A, B, C no se sitúan en un plano (los vectores a, b y c no son
coplanares), construimos el paralelepípedo sobre las aristas OA, OB y OC.
Según la definición del producto vectorial
[a, b] = Se,
donde S es el área del paralelogramo OADB, e es un vector unitario
perpendicular a los vectores a y b y tal que la terna a, b, e es derecha, o sea,
los vectores a, b y e se encuentran como el pulgar, el índice y el dedo medio,
respectivamente, de la mano derecha.
Multiplicando escalarmente los dos miembros de la segunda igualdad a la
derecha por el vector c, obtenemos que
El número prec es igual a la altura h del paralelepípedo construido y se toma
con el signo "+", si el ángulo φ entre los vectores e y c es agudo (o sea, la terna
a, b, c es derecha), y con el signo " -", si el ángulo φ es obtuso (es decir, la
terna a, b, c es izquierda) así que

36. Por lo tanto, el producto mixto de los vectores a, b, c es igual al volumen V del
paralelepípedo construido sobre estos vectores como sobre las aristas si la
terna a, b, c es derecha, y -V, si la terna a, b, c es izquierda.
Partiendo del sentido geométrico del producto mixto, podemos concluir que
multiplicando los mismos vectores a, b, c en cualquier otro orden, siempre
obtendremos + V, o -V.
El signo dependerá tan solo de, si los vectores forman la terna derecha o la
izquierda.
Notemos que si los vectores a, b, c forman la terna derecha, las ternas b, c, a y
c, a, b también serán derechas. Al mismo tiempo, las tres ternas b, a, c; a, c, b
y c, b, a son izquierdas.
Pues
Subrayamos otra vez el resultado importante que se desprende de los
razonamientos aducidos: el producto mixto de vectores es igual a cero si, y sólo
si, los vectores multiplicados a, b, c son coplanares.
Producto mixto en coordenadas.
Sea que vectores a, b, c están dados por sus coordenadas en una base
Hallemos la expresión para el producto mixto (a, b, c ) = ([a, b], c).
Tenemos
de donde
Pues,

37. o sea, el producto mixto de los vectores dados por sus coordenadas en
una base es igual al determinante de tercer orden cuyas filas se
componen de las coordenadas del primer, segundo y el tercer,
respectivamente, vector que se multiplican.
En este caso, la condición suficiente y necesaria del carácter coplanar de los
vectores se escribe en la forma
Ejemplo:
Verificar, si son coplanares los vectores
.
Los vectores que se examinan son coplanares si es igual a cero el
determinante
y no son coplanares, si este no es igual a cero.
Descomponiéndolo según los elementos de la primera fila, obtenemos
los vectores a, b, c son coplanares.
Producto vectorial doble.
El producto vectorial doble [a, [[b, c]] es el vector perpendicular a los vectores a
y [b, c]. Por eso se encuentra en el plano de los vectores b y c y puede ser
descompuesto según los vectores b y c. Se puede mostrar que es válida la
fórmula

38. ECUACIÓN DE LA RECTA EN EL ESPACIO
Ecuación de la recta en R3 en forma vectorial.
Sea P( x,y,z) un punto genérico de la recta y P0( x0,y0,z0) un punto de la recta.

Tracemos una recta cualquiera que tiene la dirección de un vector A (a,b.c)
Para encontrar la ecuación de la recta, ubicamos
P los vectores:
   
P0 OP 0 = P0 ; OP = P y observamos que
     
A OP = OPo + Po P y el vectorPo P = λ A siendo
  
P = Po + λ A (1) ecuacion vectorial de la recta en R 3 ,

det er min ada por Po y A, cuando − ∞∠ λ ∠∞,
el punto describe la recta,
La ecuación (1) en componentes, es: (x,y,z)=(xo, yo, zo)+ λ (a, b, c)
x = xo+ λ a ecuaciones paramétricas de la
(2) y= yo + λ b recta en R3
z = zo + λ c
Si eliminamos el parámetro λ de la ecuación (2) obtenemos.
x − xo y − yo z − zo
= λ; = λ; =λ ∴
a b c
x − xo y − yo z − z o
= = (3) Que son las ecuaciones cartesianas de la recta en R 3
a b c