Este documento describe los conceptos básicos de vectores en geometría analítica. Define vectores, tipos de vectores, y cómo representar vectores mediante pares ordenados de números reales. También explica cómo calcular el módulo y determinar la dirección y sentido de un vector. Finalmente, presenta métodos para sumar vectores y propiedades importantes de la suma vectorial.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA EN ENERGÍA
ASIGNATURA: Geometría Analítica
CICLO: I
ALUMNOS:
_Aguilar Vallejos Sofia Susana Victoria _Revolledo Rodriguez Randoll Renato
_Otiniano Aguilar Gary Diego _Rodriguez Salas Felix Yordan
_Pereda Chávez Jhon Sttaly _Espinoza Flores Wilder Marx
DOCENTE: Villacorta Arenas Ana
NUEVO CHIMBOTE – PERU
2022

2. VECTORES
Las cantidades físicas que necesitan dirección y magnitud para su especificación,
tales como fuerza y velocidad son ejemplos de vectores. Un vector se representa
por un segmento de línea recta con dirección y longitud dadas. En la figura, P1 es
el punto inicial y P2 el punto terminal del vector, y la cabeza de la flecha indica la
dirección del vector.

3. Tipos de vectores:
1. Vectores equipolentes: Son vectores equipolentes los
que tienen la misma dirección, sentido y módulo.
2. Vectores libres: El conjunto de todos los vectores
equipolentes entre sí se llama vector libre. Cada vector fijo
es un representante del vector libre.
3. Vector fijo: Un vector fijo es un representante del vector
libre. Así que los vectores fijos tienen el mismo módulo,
dirección, sentido y origen.

4. 4. Vectores ligados: Los vectores ligados son vectores
equipolentes que se encuentran en la misma recta.
5. Vectores opuestos: Los vectores opuestos son vectores que
tienen el mismo módulo y dirección pero diferente sentido.
6. Vectores unitarios: Los vectores unitarios tienen módulo 1.
Para obtener el vector unitario que tiene la misma dirección y
sentido que otro vector debemos aplicar la fórmula siguiente:
7. Vectores concurrentes: Los vectores concurrentes son
vectores que tienen el mismo origen

5. 8. Vectores de posición: Los vectores de posición son aquellos que
tienen como origen el punto 0 de coordenadas.
9. Vectores linealmente dependientes: Los vectores linealmente
dependientes son aquellos que al combinarlos linealmente son igual
a 0, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.
10. Vectores linealmente independientes: Dos o más vectores son
linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar
como combinación lineal de los otros.
11. Vectores ortogonales: Dos vectores son perpendiculares si su
producto escalar es cero.
12. Vectores ortonormales: Dos vectores son ortonormales si su
producto escalar es cero o si los dos son vectores unitarios.

6. Un par ordenado de números reales (a1, a2) se puede usar para determinar el vector
representado por el segmento rectilíneo que une al origen con el punto (a1, a2) en un
sistema de coordenadas rectangulares. El vector determinado por el par ordenado de
números reales (a1, a2) tiene la propiedad de que si partimos del punto inicial,
recorremos una distancia dirigida a1 paralela al eje x, y después recorremos una
distancia dirigida a2 paralela al eje y, llegamos al punto terminal.

7. Inversamente, supongamos que se da el vector BC. Al dibujar líneas
paralelas a los ejes de coordenadas por el punto inicial B y por el por
el punto terminal C, podemos encontrar la pareja ordenada (a1, a2)
que determina el vector; a1 = c1 - b1, a2 = c2 – b2.
Por tanto, dado un punto P, hay una correspondencia biunívoca entre
los vectores bidimensionales (R2) con P como punto inicial y pares
ordenados de números reales, y en consecuencia llamaremos a una
pareja de números reales.

8. VECTOR EN R2
Un vector a (de dos dimensiones) es un par ordenado de números reales
(a1, a2), y la representación a = (a1, a2). La magnitud |a| de a está dada por:
La dirección de a es la dirección del origen al punto (a1, a2) a lo largo de la recta que
une estos puntos. Esta dirección está determinada por el menor ángulo positivo θ cuyo
lado inicial es la parte positiva del eje x y cuyo lado terminal es el segmento que une al
origen con (a1, a2). Al referirnos a la siguiente figura vemos que:

9. Módulo de un vector:
Es el tamaño, longitud o magnitud del vector, también es
llamado norma. Convenimos representar el módulo del
vector A ⃗ como:
‖A ⃗ ‖ ; |A ⃗ | ; A
Cálculo del módulo de un vector:
𝑨 = 𝟒𝟐 + 𝟑𝟐 = 𝟏𝟔 + 𝟗 = 𝟐𝟓 = 𝟓
Dirección de un vector:
Es la línea de acción del vector y su orientación en el
plano cartesiano queda definida mediante el ángulo “θ” ,
que es el ángulo formado con la horizontal x.

10. Sentido de un vector:
Se representa gráficamente mediante una cabeza de flecha y nos indica hacia que lado
de la dirección o línea de acción actúa el vector.

11. SUMA DE VECTORES
Sean dos vectores ⃗
𝑎 = 𝑎1, 𝑎2 y 𝑏 = 𝑏1, 𝑏2 , entonces el vector suma se
obtiene sumando sus respectivos componentes, ⃗
𝑎 + 𝑏 = 𝑎1 + 𝑏1 ; 𝑎2 + 𝑏2 ,
así puede ser representando gráficamente de la siguiente forma:
Se considera 𝑃0
El punto de partida, la flecha que
representa al vector ⃗
𝑎 se traza
desde 𝑃0 hasta ubicar el punto de
llegada 𝑃1, a partir de 𝑃1se traza la
flecha que representa al vector 𝑏
ubicando de tal manera el punto 𝑃2.
Desde 𝑃0 hasta 𝑃2 se traza una sola
flecha, esta representara al vector
⃗
𝑎 + 𝑏

12. Métodos para la suma de vectores
En la interpretación geométrica de la suma de vectores consideramos los
siguientes métodos:
METODO DEL PARALELOGRAMO
Se dibujan las representaciones
de los vectores ⃗
𝑎 𝑦 𝑏 desde el
mismo punto, luego se dibujan
vectores paralelos a los
anteriores haciendo coincidir el
punto final de 𝑏 con el punto
inicial de ⃗
𝑎 completando el
paralelogramo, la diagonal
trazada desde el punto común
es ⃗
𝑎 + 𝑏

13. METODO DEL TRIANGULO
Los vectores se grafican uno
a continuación de otro luego
el vector resultante ⃗
𝑎 + 𝑏 se
obtiene de unir el punto
inicial de ⃗
𝑎 con el punto final
de 𝑏
METODO DEL POLÍGONO
Se obtiene llevando los
vectores uno a continuación
del otro, haciendo coincidir el
extremo de uno con el origen
del otro. Para luego
determinar el vector
resultante ⃗
𝑆 uniendo el
origen del primer vector con
el extremo del ultimo vector.

14. Propiedades de la suma de vectores
Para todo vector ⃗
𝑎, 𝑏, ⃗
𝑐, se cumplen las siguientes propiedades:
 ⃗
𝑎 + 𝑏 es un vector
 ⃗
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + ⃗
𝑎, conmutativa
 ⃗
𝑎+(𝑏 + 𝑐) = ( ⃗
𝑎 + 𝑏) + ⃗
𝑐, asociativa
 ∀ ⃗
𝑎 vector existe un único vector 0 tal que ⃗
𝑎 + 0 = ⃗
𝑎, neutro aditivo
 ∀ ⃗
𝑎 vector existe un único vector −𝑎 tal que ⃗
𝑎 + −𝑎 = 0, inverso aditivo