Este documento introduce conceptos básicos de álgebra vectorial como vectores, ecuaciones paramétricas, plano cartesiano y longitud de arco de curvas. Explica que el álgebra vectorial estudia sistemas de ecuaciones lineales y vectores. Usa ecuaciones paramétricas para representar curvas en el espacio y calcula la longitud de arco integrando funciones paramétricas. También describe el plano cartesiano y cómo ubicar puntos en él.

1. ALGEBRA VECTORIAL
Preparado por Nelson Daniel Manaure Abreu
Republica Bolivariana De Venezuela
Instituto Universitario Politecnico
“SANTIAGO MARIṄO”

2. INTRODUCCION
El álgebra lineal es una de las ramas de las matemáticas que estudia
conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales
y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y sus transformaciones
lineales. A continuación vamos a estudiar como el algebra vectorial utiliza
ecuaciones paramétricas para representar una curva o superficie en el
espacio. También estudiaremos el plano cartesiano y como encontrar la
longitud del arco de una curva.

3. GENERALIDADES DEL ALGEBRA VECTORIAL
Que es el algebra vectorial?
El álgebra vectorial es una rama de las matemáticas encargada de estudiar sistemas
de ecuaciones lineales, vectores, matrices, espacios vectoriales y sus
transformaciones lineales. Se relaciona con áreas como ingeniería, resolución de
ecuaciones diferenciales, análisis funcional, investigación de operaciones, gráficas
computacionales, entre otras.
Que son las ecuaciones paramétricas?
En matemáticas, un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una
curva o superficie en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de
números reales, mediante una variable, llamada parámetro, considerando cada
coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro.

4. GENERALIDADES DEL
ALGEBRA VECTORIAL
Geométricamente:
Los vectores son representados por rectas que
tienen una orientación, y las operaciones como
suma, resta y multiplicación por números reales son
definidas a través de métodos geométricos.
Analíticamente:
La descripción de los vectores y sus operaciones es
realizada con números, llamados componentes. Este
tipo de descripción es resultado de una
representación geométrica porque se utiliza un
sistema de coordenadas.
Axiomáticamente
Se hace una descripción de los vectores,
independientemente del sistema de
coordenadas o de cualquier tipo de
representación geométrica.

5. GENERALIDADES DEL ALGEBRA VECTORIAL
 Un Vector es un segmento de línea que con dirección y sentido, representa una magnitud
física, forma parte fundamental de la Geometría, su representación grafica consiste en una
flecha, cuya punta va dirigida en dirección a la magnitud del estudio. En estudios
matemáticos avanzados, el vector tiene gran importancia, ya que se utiliza para el estudio de
funciones y la resolución de problemas en las que se busca la representación numérica y
grafica de una función.
 Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y
su extremo en el otro.

6. CLASIFICACION DE
VECTORES
 Los vectores se clasifican en libres,
deslizantes, fijos, unitarios, concurrentes,
opuestos, colineales, paralelos, coplanares,
esta es la clasificación más generalizada
que reconocen las matemáticas como
ciencia exacta y que de forma primaria
estudia estos elementos de medición,
sobre un espacio abstracto en el cual se
establecen las medidas entre un punto y
otro.

7. TIPOS DE VECTORES
Vector libre:
Los vectores que tienen el
mismo módulo, la misma
dirección y el mismo sentido
son equivalentes.
Vector fijo:
Un vector fijo es un segmento
orientado entre dos puntos
llamados origen y extremo.
Los vectores se representan con
letras minúsculas con una flechita
encima o mediante dos letras
mayúsculas que representan los
puntos origen y extremo.
Vector deslizante:
Puede considerarse en cualquier
posición dentro de una recta
("recta de acción")

8. ECUACIONES PARAMETRICAS

9. ECUACION DE UNA RECTA EN EL
ESPACIO
Ejemplo:

10. PARAMETRIZACION
Representar una función en R2 (o R3) como
una función vectorial, el proceso es el siguiente:
Selecciona un parámetro, por ejemplo: t.
Reemplaza el parámetro en una de las
variables, por ejemplo: x.
Establece la relación, sí existe, entre la primera
variable (x) y la segunda variable, por ejemplo: y.
Deja la última variable, por ejemplo y, en
términos de las dos anteriores.

11. PLANO
CARTESIANO
El plano cartesiano se conoce como 2 rectas
numéricas perpendiculares, una horizontal y otro
vertical, que se cortan en un punto llamado origen o
cero del sistema.
Un plano cartesiano está formado por 4 cuadrantes
o áreas producto de la unión de 2 rectas
perpendiculares u coordenadas ortogonales y, 2 ejes
conocidos como: el eje de las abscisas, ubicado de
manera horizontal, identificado con la letra X y, el eje
de las ordenadas, situado de manera vertical y,
representado con la letra Y.

12. PLANO
CARTESIANO

13. COMO UBICAR UN PUNTO EN EL PLANO
CARTESIANO
Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente
procedimiento:
1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la
derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen,
en este caso el cero.
2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes (en el
eje de las ordenadas) hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta
forma se localiza cualquier punto dadas ambas coordenadas.

14. ECUACIÓN PARAMÉTRICA Y CARTESIANA
DEL PLANO EN EL ESPACIO
Para encontrar la ecuación cartesiana de un plano, cuuando está escrita en ecuación
paramétrica:
1.Se igualan las coordenadas
2.Se escribe como un sistema de ecuaciones correspondiente
3.Se eliminan los parámetos para encontrar una única ecuación lineal en variables x, y, z
Ecuación paramétrica: función que asocia un punto de la recta a cada valor del paramétro
en la recta numérica.
x= x + λp + μq
y= y + λp + μq
z= z + λp + μq

15. ECUACIONES PARAMETRICAS
 La ecuacion se calcula a partir de la ecuacion vectoral:
𝑥, 𝑦 = 𝑥0, 𝑦0 + 𝑡 𝑎, 𝑏
• Primero multiplicamos el numero t por las coordenadas del vector
𝑥, 𝑦 = 𝑥0, 𝑦0 + (𝑡𝑎, 𝑡𝑏)
 Luego sumamos los vectores para expresarlas en un solo vector
𝑥, 𝑦 = 𝑥0 + 𝑡𝑎, 𝑦0 + 𝑡𝑏
En estas 𝑥0 𝑦 𝑦0 son las coordenadas del punto por donde pasa la recta y 𝑎 y 𝑏 son las
coordenadas del vector de direccion
 Ahora Podemos escribir una ecuacion para cada coordenada que obtuvimos para
obtener nuestras ecuaciones parametricas de la recta.
𝑥 = 𝑥0 + 𝑡𝑎
𝑦 = 𝑦0 + 𝑡𝑏

16. GRAFICA DE ECUACIONES
PARAMETRICAS
 Para definir en forma vectorial
una recta en R3, es suficiente
conocer un punto de la recta y
un vector director que indique
la dirección de la misma, o sea
un vector paralelo a la recta.

17. LONGITUD DE UNA CURVA
PARAMETRIZADA
Una curva se considera parametrizada
por las siguentes ecuaciones:
𝑥 𝑡 = 𝑡3
− 𝑡
𝑦 𝑡 = 2𝑒−𝑡2
Si dejamos que t varíe de -1,5 a 1,5, la
curva resultante se ve asi:


18. LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA
Para encontrar la longitud de arco
de una curva, construimos una
integral de la forma
∫ (𝑑𝑥)2 + (𝑑𝑦)2
Los términos dx y dy representan
el pequeño cambio en los valores
de x e y desde el principio hasta el
final del segmento.

19. LONGITUD DE
ARCO DE UNA
CURVA
 Ahora trabajaremos el caso en el que la
curva está dada en forma paramétrica; es
decir, cuando x y y son funciones de una
nueva variable, el parámetro t. Para poder
usar la integral de longitud de arco,
primero calculamos las derivadas de
ambas funciones y obtenemos dx y dy en
términos de dt.
 𝑑𝑥 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑡
 𝑑𝑦 =
𝑑𝑦
𝑑𝑡
dt
 Sustituye estas expresiones en la integral y
factoriza el término 𝑑𝑡2
fuera del radical.

20. LONGITUD DE UNA CURVA
PARAMETTRIZADA

21. MODULO, DIRECCION Y SENTIDO DE UN
VECTOR
 Modulo: El módulo de un vector es
la longitud del segmento orientado
que lo define.
 Direccion: La dirección de un vector
es la medida del ángulo que hace
con una línea horizontal
 Sentido: Se indica mediante una
punta de flecha situada en el
extremo del vector, indicando hacia
qué lado de la línea de acción se
dirige el vector.

22.  Ecuaciones vectoriales paramétricas para la
determinación de las características
cinemáticas de una partícula en
movimiento.
Ejemplo:

23. CONCLUSION
 En la rama de matematica llamada algebra lineal, un espacio vectorial
es el objeto basico de studio. Los vectores son los elementos de los
espacios vectorales. Con los vectores se pueden realizer dos
operaciones que son la multiplicacion por escalares y la adicion. Aqui se
lograron demostrar la ecuaciones parametricas las cuales sirven como
una herramienta para demostrar eventos de la vida real para el
beneficio del desarollo de technologia humana.

24. ANEXOS
 https://www.youtube.com/watch?v=9zWOLjOPIM0
 https://www.youtube.com/watch?v=N5eKa0a95mk
 https://www.youtube.com/watch?v=oDRtTul97iE

25. BIBLIOGRAFIA
 Plano cartesiano punto y vector.
Recuperado:https://www.escolares.net/matematicas/plano-cartesiano-
punto-y-vector/
 La longitud de arco de curvas parametrizadas. Recuperado:
https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-
multivariable-functions/line-integrals-for-scalar-functions-articles/a/arc-
length-part-2-parametric-curve
 Álgebra Vectorial: Fundamentos, Magnitudes, Vectores.
Recuperado:https://www.lifeder.com/algebra-vectorial-fundamentos-
magnitudes-vectores/