1) El documento describe el uso de diferentes programas computacionales para estudiar y simular el movimiento parabólico de un cuerpo que se ve afectado por la gravedad y la resistencia del aire proporcional al cuadrado de la velocidad. 2) Se utilizan programas como Mathcad, Interactive Physics y Modellus para resolver el problema mediante el método de Euler y visualizar gráficamente la trayectoria y variables como la velocidad. 3) También se menciona la posibilidad de realizar simulaciones en Java que pueden compartirse en línea

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PAPEL, LÁPIZ Y COMPUTADOR EN EL APRENDIZAJE DE LA FÍSICA
Medardo Fonseca♦
, Alejandro Hurtado M., Oscar Ocaña G., Carlos A. Lombana A.
Grupo Física e Informática
Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá D.C.
(Recibido 02 de Sep.2005; Aceptado 29 de Mar. 2006; Publicado 16 de Jun. 2006)
RESUMEN
Estudiar y aprender en física implica un trabajo no necesariamente representable por F.x. Estudiar
una situación física amerita establecer los elementos que en ella intervienen, y la elaboración de un
modelo que los relaciona y muestre su interacción. Probar el modelo involucra cálculos, simula-
ciones y de ser posible experimentos. Hace algunos años, en los experimentos mentales con papel
y lápiz lo acompañaban, la regla de cálculo o la calculadora. Hoy en día nos acompañamos de unos
monstricos pseudointeligentes, los computadores, que para ser útiles en el estudio de la física se
alimentan de programas de diversas índoles. En el presente artículo muestra brevemente una situa-
ción física con: un programa de matemáticas; un simulador de Física; un programa que combina el
modelo matemático y la simulación; y se menciona la simulación en java (applet o fislet como lo
denominan algunos autores). Por sencillez en cada caso el algoritmo usado es el método de Euler y
es una muestra didáctica de algunas de las alternativas computacionales que se pueden incluir en la
clase de Física.
Plabras claves: procesos de aprendizaje, didactica
ABSTRACT
Studying and learning physics is a work not representable by F.x. Studying any physical situation
requires to set up its elements, to elaborate a model that relates them and their interaction. Testing
the model includes numerical calculus, simulations and if possible experiments. Some years ago,
mental experiments with paper and pencil were aided by calculus rule or calculator. Nowadays we
are assisted by pseudo intelligent monsters, the computers, which to be helpful they are nourished
with different kind of programs. The present paper shows briefly a physical situation with:
mathematical software, simulation software, software that combines mathematical model and
simulation: mentioning the simulation in java (applet or physlet as called by some authors). By
simplicity the used algorithm is the Euler`s method, and it is a didactical example to show some
computational alternatives that could be included into the classroom of physics.
Keywords: learn process, didactic.
1. Introducción
El ejemplo que no puede fallar en un curso de mecánica es el movimiento parabólico, y no por
que haga parte del entrenamiento de lanzadores de jabalina, basquetbolistas o futbolistas sino
por el ejercicio mental, matemático y de conceptos físicos que representa. El movimiento para-
♦
mfonseca@udistrital.edu.co

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bólico se presenta desprevenidamente en la vida cotidiana, hace parte de muchos juegos y es un
material que se puede aprovechar a distintos niveles: para mostrar la independencia de movi-
mientos, como ejercicio de cálculo analítico, cálculo numérico al resolverlo sin incluir la fric-
ción del aire, o considerarlo con fricción proporcional a la rapidez o proporcional al cuadrado
de la rapidez.
Vamos a considerar este último caso, mostrando la sencillez y elegancia con que es posible
resolverlo gracias a las actuales herramientas informáticas, en contraste con la programación, la
codificación, y corrección sintáctica que demandaba de horas y horas sentados frente a las pan-
tallas monocromáticas y computadores lentos y gigantes que en ocasiones frustraban el éxtasis
que daba la solución de algún problema.
Volviendo al clásico ejemplo, sobre un cuerpo que se mueve en el aire, sobre el actúan fuerzas
como son la gravitacional, el empuje del aire y la resistencia del aire entre otras posibles. Si
consideramos tan solo la fuerza gravitacional y la resistencia proporcional al cuadrado de la
rapidez, con constante de proporcionalidad b, las fuerzas serían: horizontalmente
–b.|v|2
.vx/|v| = –b.|v|.vx; y verticalmente –mg–b.|v|2
.vy/|v|=–mg–b.|v|.vy. siendo la rapidez
|v|=
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vyvx + . En esencia el método de Euler consiste en que conocida la aceleración ax, se
puede calcular la velocidad in instante después vxn+1=vxn+ax.∆t, y de manera similar se calcula
la posición xn+1=xn+vx.∆t, y similarmente para y.
2. Desarrollo usando un programa de matemáticas
Se ha usado el programa Mathcad por su interfaz gráfica muy amigable en el que escribir las
ecuaciones es tan sencillo e intuitivo como cuando se usa papel y lápiz en el estudio de una
situación física. Veamos como usar este programa para estudiar el problema planteado.
Figura 1.a. variables y condiciones iniciales
La figura 1.a., muestra como se definen las variables y las condiciones iniciales.
La figura 1.b., muestra como se plantea el método de Euler en un vector columna que se calcula iterada-
mente y obtenemos de inmediato la gráfica de la trayectoria. Basta con variar los valores de b, N o las

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condiciones iniciales para obtener nuevos resultados. También es posible graficar otras variables de inte-
rés, o valores numéricos de alguna variable determinada.
Figura 1.b. Método de Euler y resultados gráficos.
3. Desarrollo usando un programa de simulación en Física
Se ha usado el programa Interacti-
ve Physics, también de interfaz
amigable, y constituye un labora-
torio virtual para el estudio de la
mecánica [1] e incluso algunos
tópicos de electricidad [2].
Para simular la situación planteada
es necesario ajustar el valor de la
gravedad: menú Mundo (World)
gravedad. Similarmente se
debe ajustar tipo de resistencia del
aire, también en el menú Mundo
(World) resistencia del aire. Se
selecciona el círculo, se dibuja
uno en el espacio de trabajo, en
propiedades del circulo se asig-
nan, la masa, la velocidad inicial
en x e y entre otros valores. Se
colocan los medidores deseados y Run.
En la figura 2 se muestra que la simulación en la que se observan la trayectoria del cuerpo que
se en estas circunstancias deja de ser parabólica, también se muestra una gráfica de la magnitud
de la velocidad en función del tiempo.
Figura. 2.
Simulación incluyendo un medidor para la posición y
otro para la magnitud de la velocidad.

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4. Desarrollo usando un programa de simulación basada en el modelo matemático
El turno es ahora para el programa
Modellus, disponible en la “web”
gratuitamente.
En la figura 3 se muestra la manera
como en la ventana Modelo, se
escriben las ecuaciones, de la mis-
ma situación y método. Se “cli-
quea” en interpretar aparece la
ventana condiciones iniciales en la
que se llenan los valores de los
parámetros (constantes) y los valo-
res iniciales de las variables.
A continuación, en la ventana ani-
mación (Fig. 4), se pica en partícu-
la, se pica en el área de trabajo y en
el cuadro de diálogo se seleccionan
las variables en los ejes x e y, la
escala apropiada y aceptar. Tam-
bién se pueden hacer graficas y
visualizar valores.
Para ver la animación resultante se
pica en de la ventana de control.
5. Comentarios
Además de los programas aquí
mostrados, y si lo que se quiere es
la programación, una excelente opción es Java con la que se pueden desarrollar simulaciones
(applets o fislets [3]) que se pueden compartir a través de la “web” y constituyen una fuente de
información muy rica para enriquecer la clase de física.
Referencias
[1] A. Hurtado y M. Fonseca. Física con Interactive Physics,
Fondo de publicaciones, U. Distrital, 2002.
[2] M. Fonseca y A. Hurtado. Electrostática y Óptica Geométrica
con Interactive Physics y/o Mathcad. Fondo de publicaciones, U.
Distrital, 2002.
[3] W. Christian and M. Belloni. Physlets: Teaching Physics with
interactive curricular material. Prentice Hall, 2001
Figura. 3. Modellus, ventanas de Modelo y de
condiciones iniciales.
Figura. 3. animación del
movimento en estudio