La importancia de la modelación en ciencias e ingeniería

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Facultad de Ingeniería
Departamento de Ciencias Básicas
Seminario de Análisis Numérico
Semestre 01 -2017
Tema: Modelamiento
Material preparado por Carlos Gómez
Introducción
Existen diversas razones por las cuales se deben estudiar los métodos numéricos:
1. Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para la solución
de problemas. Son capaces de manipular sistemas de ecuaciones grandes,
manejar no linealidades y resolver geometrías complicadas, comunes en la
práctica de la ingeniería y, a menudo, imposibles de resolver en forma
analítica. Por lo tanto, aumentan la habilidad de quien los estudia para
resolver problemas.
2. En el transcurso de su carrera, es posible que el lector tenga la oportunidad
de utilizar paquetes disponibles comercialmente, o programas “enlatados”
que contengan métodos numéricos. El uso eficiente de estos programas
depende del buen entendimiento de la teoría básica en que se basan tales
métodos.
3. Hay muchos problemas que no pueden resolverse con programas
“enlatados”. Si usted es conocedor de los métodos numéricos y es hábil en
la programación de computadoras, entonces tiene la capacidad de diseñar
sus propios programas para resolver los problemas, sin tener que comprar
un software costoso.
4. Los métodos numéricos son un vehículo eficiente para aprender a servirse
de las computadoras. Es bien sabido que una forma efectiva de aprender
programación consiste en escribir programas para computadora. Debido a
que la mayoría de los métodos numéricos están diseñados para usarlos en
las computadoras, son ideales para tal propósito. Además, son
especialmente adecuados para ilustrar el poder y las limitaciones de las
computadoras. Cuando usted desarrolle en forma satisfactoria los métodos
numéricos en computadora y los aplique para resolver los problemas que de
otra manera resultarían inaccesibles, usted dispondrá de una excelente
demostración de cómo las computadoras sirven para su desarrollo
profesional. Al mismo tiempo, aprenderá a reconocer y controlar los errores
de aproximación que son inseparables de los cálculos numéricos a gran
escala.

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5. Los métodos numéricos son un medio para reforzar su comprensión de las
matemáticas, ya que una de sus funciones es convertir las matemáticas
superiores en operaciones aritméticas básicas, de esta manera se puede
profundizar en los temas que de otro modo resultarían oscuros. Esta
perspectiva dará como resultado un aumento de su capacidad de
comprensión y entendimiento en la materia.
El conocimiento y la comprensión son prerrequisitos para la aplicación eficaz de
cualquier herramienta. Si no sabemos cómo funcionan las herramientas, por
ejemplo, tendremos serios problemas para reparar un automóvil, aunque la caja de
herramientas sea de lo más completa.
Ésta es una realidad, particularmente cuando se utilizan computadoras para
resolver problemas de ingeniería. Aunque las computadoras tienen una gran
utilidad, son prácticamente inútiles si no se comprende el funcionamiento de los
sistemas de ingeniería.
Esta comprensión inicialmente es empírica —es decir, se adquiere por observación
y experimentación—. Sin embargo, aunque esta información obtenida de manera
empírica resulta esencial, sólo estamos a la mitad del camino. Durante muchos años
de observación y experimentación, los ingenieros y los científicos han advertido que
ciertos aspectos de sus estudios empíricos ocurren una y otra vez. Este
comportamiento general puede expresarse como las leyes fundamentales que
engloba, en esencia, el conocimiento acumulado de la experiencia pasada. Así,
muchos problemas de ingeniería se resuelven con el empleo de un doble enfoque:
el empirismo y el análisis teórico.

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Debe destacarse que ambos están estrechamente relacionados. Conforme se
obtienen nuevas mediciones, las generalizaciones llegan a modificarse o aun a
descubrirse otras nuevas. De igual manera, las generalizaciones tienen una gran
influencia en la experimentación y en las observaciones. En lo particular, las
generalizaciones sirven para organizar principios que se utilizan para sintetizar los
resultados de observaciones y experimentos en un sistema coherente y
comprensible, del que se pueden obtener conclusiones. Desde la perspectiva de la
solución de un problema de ingeniería, el sistema es aún más útil cuando el
problema se expresa por medio de un modelo matemático.
El primer objetivo de este capítulo consiste en introducir al lector a la modelación
matemática y su papel en la solución de problemas en ingeniería. Se mostrará
también la forma en que los métodos numéricos figuran en el proceso.
Un modelo matemático se define, de manera general, como una formulación o una
ecuación que expresa las características esenciales de un sistema físico o de un
proceso en términos matemáticos. En general, el modelo se representa mediante
una relación funcional de la forma:
Variable dependiente = f (variable dependiente, parámetros, funciones de fuerza) (1)
FORMULACION
Exposición profunda de la relación
del problema ingenieril con las
leyes fundamentales
SOLUCION
(Utilizar Ordenadores -
Programación)
INTERPRETACION
(Estudiar la sensibilidad y el
comportamiento del sistema)

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Donde la variable dependiente es una característica que generalmente refleja el
comportamiento o estado de un sistema; las variables independientes son, por lo
común, dimensiones tales como tiempo y espacio, a través de las cuales se
determina el comportamiento del sistema; los parámetros son el reflejo de las
propiedades o la composición del sistema; y las funciones de fuerza son influencias
externas que actúan sobre el sistema.
La expresión matemática de la ecuación (1) va desde una simple relación algebraica
hasta un enorme y complicado grupo de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, a
través de sus observaciones, Newton formuló su segunda ley del movimiento, la
cual establece que la razón de cambio del momentum con respecto al tiempo de un
cuerpo, es igual a la fuerza resultante que actúa sobre él.
La expresión matemática, o el modelo, de la segunda ley es la ya conocida ecuación
F = ma (2)
Donde F es la fuerza neta que actúa sobre el objeto (N, o kg m/s2), m es la masa
del objeto (kg) y a es su aceleración (m/s2).
La segunda ley puede escribirse en el formato de la ecuación (1), dividiendo,
simplemente, ambos lados entre m para obtener
a = F/m (3)
Donde a es la variable dependiente que refleja el comportamiento del sistema, F es
la función de fuerza y m es un parámetro que representa una propiedad del sistema.
Observe que en este caso específico no existe variable independiente porque aún
no se predice cómo varía la aceleración con respecto al tiempo o al espacio.
La ecuación (3) posee varias de las características típicas de los modelos
matemáticos del mundo físico:
1. Describe un proceso o sistema natural en términos matemáticos.
2. Representa una idealización y una simplificación de la realidad. Es decir,
ignora los detalles insignificantes del proceso natural y se concentra en sus
manifestaciones esenciales. Por ende, la segunda ley de Newton no incluye
los efectos de la relatividad, que tienen una importancia mínima cuando se
aplican a objetos y fuerzas que interactúan sobre o alrededor de la superficie
de la Tierra, a velocidades y en escalas visibles a los seres humanos.

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3. Finalmente, conduce a resultados reproducibles y, en consecuencia, llega a
emplearse con la finalidad de predecir. Por ejemplo, dada la fuerza aplicada
sobre un objeto de masa conocida, la ecuación (3) se emplea para calcular
la aceleración.
Debido a su forma algebraica sencilla, la solución de la ecuación (2) se obtiene con
facilidad. Sin embargo, es posible que otros modelos matemáticos de fenómenos
físicos sean mucho más complejos y no se resuelvan con exactitud, o que requieran
para su solución de técnicas matemáticas más sofisticadas que la simple álgebra.
Para ilustrar un modelo más complicado de este tipo, se utiliza la segunda ley de
Newton para determinar la velocidad final de la caída libre de un cuerpo que se
encuentra cerca de la superficie de la Tierra. Nuestro cuerpo en caída libre será el
de un paracaidista. (Figura 1)
(Figura 1)
Un modelo para este caso se obtiene expresando la aceleración como la razón de
cambio de la velocidad con respecto al tiempo (dv/dt), y sustituyendo en la ecuación
(3). Se tiene entonces;
dv/dt = F/m (4)
Donde v es la velocidad (m/s) y t es el tiempo (s). Así, la masa multiplicada por la
razón de cambio de la velocidad es igual a la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo.
Si la fuerza neta es positiva, el cuerpo se acelerará. Si es negativa, el cuerpo se
desacelerará. Si la fuerza neta es igual a cero, la velocidad del cuerpo permanecerá
constante. Ahora expresemos la fuerza neta en términos de variables y parámetros
mensurables.

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Para un cuerpo que cae a distancias cercanas a la Tierra (figura 1), la fuerza total
está compuesta por dos fuerzas contrarias: la atracción hacia abajo debida a la
gravedad FD y la fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire FU.
F = FD + FU (5)
Si a la fuerza hacia abajo se le asigna un signo positivo, se usa la segunda ley de
Newton para expresar la fuerza debida a la gravedad como
FD = mg (6)
Donde g es la constante gravitacional, o la aceleración debida a la gravedad, que
es aproximadamente igual a 9.8 m/s2.
La resistencia del aire puede expresarse de varias maneras. Una forma sencilla
consiste en suponer que es linealmente proporcional a la velocidad, y que actúa en
dirección hacia arriba tal como
FU = –cv (7)
Donde c es una constante de proporcionalidad llamada coeficiente de resistencia o
arrastre (kg/s). Así, cuanto mayor sea la velocidad de caída, mayor será la fuerza
hacia arriba debida a la resistencia del aire. El parámetro c toma en cuenta las
propiedades del objeto que cae, tales como su forma o la aspereza de su superficie,
que afectan la resistencia del aire. En este caso, c podría ser función del tipo de
traje o de la orientación usada por el paracaidista durante la caída libre.
La fuerza total es la diferencia entre las fuerzas hacia abajo y las fuerzas hacia
arriba. Por lo tanto, combinando las ecuaciones (4) a (7), se obtiene
dv/dt = (mg – cv)/m (8)
o simplificando el lado derecho de la igualdad,
dv/dt = g – (c/m)v (9)
La ecuación (9) es un modelo que relaciona la aceleración de un cuerpo que cae
con las fuerzas que actúan sobre él. Se trata de una ecuación diferencial porque
está escrita en términos de la razón de cambio diferencial (dv/dt) de la variable que
nos interesa predecir. Sin embargo, en contraste con la solución de la segunda ley

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de Newton en la ecuación (3), la solución exacta de la ecuación (9) para la velocidad
del paracaidista que cae no puede obtenerse mediante simples manipulaciones
algebraicas. Siendo necesario emplear técnicas más avanzadas, del cálculo, para
obtener una solución exacta o analítica. Por ejemplo, si inicialmente el paracaidista
está en reposo (v = 0 en t = 0), se utiliza el cálculo integral para resolver la ecuación
(9), así
𝑑𝑣
(𝑔−
𝑐
𝑚
𝑣)
= 𝑑𝑡 (10)
∫
𝑑𝑣
( 𝑔− 𝑐
𝑚 𝑣)
=∫ 𝑑𝑡
𝑡
0
𝑣(𝑡)
0
Les dejo como ejercicio la solución de esta
integral usando las técnicas de integración
apropiadas
Deben llegar a la siguiente expresión:
𝑣( 𝑡) =
𝑔𝑚
𝑐
(1 − 𝑒−(
𝑐
𝑚
)𝑡
) (11)
Note que la ecuación (11) es un ejemplo de la forma general de la ecuación (1),
donde v(t) es la variable dependiente, t es la variable independiente, c y m son
parámetros, y g es la función de fuerza.
Solución analítica del problema del paracaidista que cae
Planteamiento del problema.
Un paracaidista con una masa de 68.1 kg salta de un globo aerostático fijo. Aplique
la ecuación (11) para calcular la velocidad antes de que se abra el paracaídas.
Considere que el coeficiente de resistencia es igual a 12.5 kg/s.
Solución. Sustituya los valores de los parámetros en la ecuación (11)

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Que sirve para calcular la velocidad del paracaidista a diferentes tiempos, Elabore
la tabulación
t v (m/s)
0
2
4
6
8
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Representación gráfica (figura 3)
De acuerdo con el modelo:
Después de 10 segundos que velocidad se alcanza
Cuál es la velocidad límite (para un tiempo suficientemente grande)
¿Esta velocidad será constante? (Cómo se puede justificar?)

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A la ecuación (11) se le llama solución analítica o exacta ya que satisface con
exactitud la ecuación diferencial original. Por desgracia, hay muchos modelos
matemáticos que no pueden resolverse con exactitud. En muchos de estos casos,
la única alternativa consiste en desarrollar una solución numérica que se aproxime
a la solución exacta.
Como ya se mencionó, los métodos numéricosson aquellos en los que se reformula
el problema matemático para lograr resolverlo mediante operaciones aritméticas.
Esto puede ilustrarse para el caso de la segunda ley de Newton, observando que a
la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo se puede aproximar
mediante (figura 4):

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10
(12)
Donde Δv y Δt son diferencias en la velocidad y en el tiempo, respectivamente,
calculadas sobre intervalos finitos, v(ti) es la velocidad en el tiempo inicial ti, y v(ti+1)
es la velocidad algún tiempo más tarde ti + l. Observe que dv/dt ≅ Δv/Δt es
aproximado porque Δt es finito. Recordando los cursos de cálculo tenemos que
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= lim
∆𝑡→0
∆𝑣
∆𝑡
La ecuación (12) representa el proceso inverso.
A la ecuación (12) se le denomina una aproximación en diferencia finita dividida de
la derivada en el tiempo ti. Sustituyendo en la ecuación (9), tenemos:
𝑣( 𝑡𝑖+1) − 𝑣(𝑡𝑖)
𝑡𝑖∓1 − 𝑡𝑖
= 𝑔 −
𝑐
𝑚
𝑣(𝑡𝑖)
Despejando (reordenando) obtenemos:
𝑣(𝑡𝑖+1) = 𝑣 ( 𝑡 𝑖
) + [ 𝑔 −
𝑐
𝑚
𝑣(𝑡𝑖)] (𝑡𝑖+1) − 𝑡𝑖) (13)

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Note que el término entre corchetes es el lado derecho de la propia ecuación
diferencial [ecuación (9)]. Es decir, este término nos da un medio para calcular la
razón de cambio o la pendiente de v. Así, la ecuación diferencial se ha transformado
en una ecuación que puede utilizarse para determinar algebraicamente la velocidad
en ti+1, usando la pendiente y los valores anteriores de v y t. Si se da un valor inicial
para la velocidad en algún tiempo ti, es posible calcular con facilidad la velocidad en
un tiempo posterior ti+1. Este nuevo valor de la velocidad en ti+1 sirve para calcular
la velocidad en ti+2 y así sucesivamente. Es decir, a cualquier tiempo, valor nuevo
= valor anterior + pendiente × tamaño del paso Observe que esta aproximación
formalmente se conoce como método de Euler.
Solución numérica al problema de la caída de un paracaidista
Planteamiento del problema.
Realice el mismo cálculo que en el ejemplo 1.1, pero usando la ecuación (13) para
obtener la velocidad. Emplee un tamaño de paso de 2 s para el cálculo.
Solución. Al empezar con los cálculos (ti = 0), la velocidad del paracaidista es igual
a cero. Con esta información y los valores de los parámetros del caso analítico, se
utiliza la ecuación (13) para calcular la velocidad en ti+l = 2 s:
Ahora construya la tabla y su respectivo gráfico

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12
.
Debido a que se emplean segmentos de rectas para aproximar una función que es
una curva continua, hay algunas diferencias entre los dos resultados. Una forma de
reducir estas diferencias consiste en usar un tamaño de paso menor. Por ejemplo,
si se aplica la ecuación (13) con intervalos de 1 s, se obtendría un error menor, ya
que los segmentos de recta estarían un poco más cerca de la verdadera solución.
Con los cálculos manuales, el esfuerzo asociado al usar incrementos cada vez más
pequeños haría poco prácticas tales soluciones numéricas. No obstante, con la
ayuda de una computadora personal es posible efectuar fácilmente un gran número
de cálculos; por lo tanto, se puede modelar con más exactitud la velocidad del
paracaidista que cae, sin tener que resolver la ecuación diferencial en forma
analítica.
Ahora construya un gráfico donde aparezcan ambas soluciones y se precise la
velocidad límite.

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UTILIZANDO EXCEL
Excel es una hoja de cálculo producida por Microsoft Inc. Las hojas de cálculo son
un tipo especial de software para matemáticas que permite al usuario ingresar y
realizar cálculos en renglones y columnas de datos. Como tales, son una versión
computarizada de una gran hoja de contabilidad en la que se lleva a cabo una gran
cantidad de cálculos interrelacionados. Puesto que cuando se modifica un valor de
la hoja, hay que actualizar todos los cálculos, las hojas de cálculo son ideales para
hacer análisis del tipo “¿y qué pasa si...?”
Excel cuenta con varios recursos numéricos interconstruidos como resolución de

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ecuaciones, ajuste de curvas y optimización. Incluye también VBAcomo un lenguaje
de macro que sirve para hacer cálculos numéricos. Por último, tiene varias
herramientas para la visualización como diagramas y gráficas tridimensionales, que
son un valioso complemento para el análisis numérico. En esta sección
mostraremos cómo se utilizan estos recursos en la solución del problema del
paracaidista.
Para ello, construimos primero una hoja de cálculo sencilla. Como se ve abajo, el
primer paso consiste en colocar números y letras o palabras en las celdas de la hoja
de cálculo.
Voy a trabajar en Office 2010
Antes de escribir un programa de macro para calcular el valor numérico, podemos
facilitar el trabajo consecuente dando nombres a los valores de los parámetros. Para
esto, seleccione las celdas A3:B5 (la manera más fácil de hacerlo es mover el ratón
hasta A3, mantener oprimido el botón izquierdo del ratón y arrastrarlo hasta B5).
Selección de las celdas

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Vamos a Fórmulas y luego a crear desde la selección y se despliega el siguiente
cuadro de dialogo “crear nombres a partir de la selección”. Noten que está marcado
columna izquierda (que es lo que queremos) y le damos aceptar.

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Para verificar que todo haya funcionado correctamente, seleccione la celda B3 y
verifique que aparezca la etiqueta “m” en la casilla del nombre (casilla que se
encuentra en el lado izquierdo de la hoja, justo debajo de las barras del menú).
Muévase hasta la celda C8 e introduzca la solución analítica (ecuación 9),
=9.8*m/cd*(1-exp(-cd/m*A8))
Al introducir esta fórmula debe aparecer el valor 0 en la celda C8.

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Después copie la fórmula a la celda C9 para obtener 16.405 m/s.
Se le da el formato adecuado a la celda
Todo lo anterior es típico del uso estándar de Excel. Hecho esto, podría, por
ejemplo, cambiar los valores de los parámetros y observar cómo se modifica la
solución analítica.