Problemløsning i matematikk

Matematikk

Tor Espen Kristensen

Odda, 16. januar 2007

Hva vil det si å kunne matematikk?
Hvordan utvikle matematisk kompetanse?
Hvordan få barna til å tenke matematisk?

S-
ENC TION

AT
IK
AT

TAN MPET

O
PET NTA

MG
E
KO
TEM

KEG ENC

ÅS
KOMRÆSE
MA

-

SP R
MA

AN E
PR
FOR CE
SVARE I, MED, O M

LIN OBLE

REP
GS-

OG OG REDS KABER
GSK MB OG TEN
OM EHA OL- E
PET ND- MB KOMP
SY ME
ENC
E LIS
S- KOM
ING KOM MUN
LERTENCE PET IKAT
DEL E PET NTS-

HJÆMPETE
MO KOMP ENC ION
G

KO
E E S-
ENC
GE O

I MA
LPE NCE
KOM EME
ØR

MID

T EM
N
SP

SON

DEL

AT
AT

IK
RÆ

-

Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser

Fra formålet
Kompetanser i matematikk

Fra formålet:
Problemløysing høyrer med til den matematiske kompetansen.
Det er å analysere og omforme eit problem til matematisk form,
løyse det og vurdere kor gyldig det er. Dette har òg språklege
aspekt, som det å resonnere og kommunisere idear. I det meste
av matematisk aktivitet nyttar ein hjelpemiddel og teknologi.
Både det å kunne bruke og vurdere hjelpemiddel og teknologi og
det å kjenne til avgrensinga deira er viktige delar av faget.
Kompetanse i matematikk er ein viktig reiskap for den einskilde,
og faget kan leggje grunnlag for å ta vidare utdanning og for
deltaking i yrkesliv og fritidsaktivitetar.

Tor Espen Kristensen | Matematikk 4


Sist gang: Problembahandlingskompetansen

Kantouski:
A task is said to be a problem if its solution requires that an
individual combines previously known data in a way that is new
to him or her.



Å kunne regne

Grunnleggjande ferdigheiter
Å kunne rekne i matematikk utgjer ei grunnstamme i
matematikkfaget. Det handlar om problemløysing og utforsking
som tek utgangspunkt i praktiske, daglegdagse situasjonar og
matematiske problem. For å greie det må ein kjenne godt til og
meistre rekneoperasjonane, ha evne til å bruke varierte strategiar,
gjere overslag og vurdere kor rimelege svara er.



Problemløsing
Hvordan utvikle problembehandlingskompetansen?

Lester peker på følgende ﬁre punkt [3]:
1 Elever må løse mange problemer for å forbedre
problemløsingsevnen sin.
2 Problemløsingsevnen utvikles langsomt og over en lang
periode
3 Elever må tro på at læreren synes at problemløsing er viktig,
for at de skal ta til seg undervisning.
4 De ﬂeste elever tjener op systematisk undervisning i
problemløsing.



Problemløsing
Lærerens funksjon

Haapasalo ﬁre nivåre:
1 Eleven har ingen forestilling om hvordan han eller hun kan
gå fram i forbindelse med problemløsing. Læreren fungerer
som en modell for dette.
2 Eleven forstår betydningen av problemløsing og tør angripe
problemer som virker kjente til en viss grad, ofte som medlem
av en gruppe. Læreren fungerer som en støtte eller «protese».
3 Eleven har en god forestilling om hva problemløsing er, og
tør å prøve nye strategier. Læreren er leverandør av problemer.
4 Eleven er i stand til å velge passende strategier og produserer
nye løsningsmåter. Han eller hun ser muligheter til variasjon
og generalisering og presenterer dem for andre. Læreren
fungerer som fremmer av kreativt arbeid.



Tankegangskompetanse

Denne kompetansen går ut på å mestre ulike måter å tenke
matematisk på.
kjenne, forstå og kunne bruke matematiske begreper, det vil
si begrepers rekkevidde og begrensninger og deres
forankring i diverse domener
ha bevissthet rundt hvilke spørsmål som er karakteristiske for
matematikk, å kunne stille matematiske spørsmål og «ha
blikk for» hvilke typer svar som forventes
utvide et begrep ved abstraksjon og forstå hva som ligger i
generalisering og selv kunne generalisere.
skille mellom påstander, antagelser og bevis. Det vil si skille
når det er snakk om utsagn, deﬁnisjoner, setninger,
enkelttilfeller, spesialtilfeller, påstander basert på intuisjon,
matematiske bevis osv.



Tankegangskompetanse

Å kunne uttrykkje seg munnleg i matematikk inneber å gjere seg
opp ei meining, stille spørsmål, argumentere og forklare ein
tankegang ved hjelp av matematikk. Det inneber òg å vere med i
samtalar, kommunisere idear og drøfte problem og
løysingsstrategiar med andre.



Undersøkelseslandskap

Skovsmose har innført begrepet undersøkelseslandskap om
oppgaver som innebærer at elevene må være kreative
problemløsere.
Opp mot undersøkelseslandskapet setter han
oppgaveparadigmet, som Botten oversetter med tradisjonelle
matematikkoppgaver. Dette er oppgaver som har entydige
svar, i motsetning til oppgaver i undersøkelseslandskapet,
som er mer åpne.



Oppgavetyper

Tradisjonelle
matematikkoppgaver Undersøkelseslandskap
med et entydig fasitsvar
«Ren» matematikk, (1) (2)
uten noen praktisk
anvendelse
«Semi»-anvendelser (3) (4)
av matematikken
Ekte, reelle (5) (6)
anvendelser av
matematikk



Eksempel
Mahavira (800-tallet):

Eksempel
En tredel av en elefantflokk og tre ganger kvadratroten av resten
av flokken ruslet i en fjellskråning, mens en hannelefant og tre
hunnelefanter dukket seg i en dam i nærheten. Hvor mange
elefanter var det i alt i flokken?



Eksempel

En natt i vårmåneden var en nydelig ung kvinne elskovslykkelig med sin
ektemann på gulvet i en herskapelig villa som lå skinnende hvit i
månelyset i en lysthage med trær som lutet under vekten av frukt og
overdådige blomsterranker, mens lufta fyltes av søte lyder fra papegøyer,
gjøker og bier som var beruset av honning fra blomstene i hagen.
Så hendte det i elskovskampen mellom det unge paret at kvinnens
halskjede ble revet i stykker og perlene spratt omkring. En tredel av
perlene trillet til tjenestejenta. En seksdel landet i den myke senga.
Halvparten av denne brøkdelen, halvparten av dette igjen, og videre på
samme måte i alt seks ganger, samlet seg i hauger på gulvet. Det viste
seg at det var igjen 1161 perler på halskjedet.
Om du er ﬂink til å regne med brøker, så si meg hvor mange perler det i
alt hadde vært på kjedet som prydet den unge kvinnens hals!




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100




Læreren har funnet et fenomen som kan fungere som et
undersøkelseslandskap.

Lærer: Hva tror dere vil skje hvis. . .
Elevene ser nøyere på fenomenet og begynner å undersøke –
Elev: Men kan det være slik at. . .
Elev: Ja, men hva skjer hvis. . .
Elev: Og hvis. . .
Lærer: Hvorfor det, tro?
Elev: Ja, hvorfor det. Kan det være slik at . . .
Elev: Men her stemmer ikke akkurat det, kanskje det må være. . .




Elevene beﬁnner seg i et undersøkelseslandskap.
inviterer og frister til å utforske.
Dette fordrer åpne oppgaver.




Elevene beﬁnner seg i et undersøkelseslandskap.
inviterer og frister til å utforske.
Dette fordrer åpne oppgaver.
Eksempel:
Plasser tall fra 1 til 9 i de tre sirklene slik at summen blir 9:

= 9



Undersøkeseslandskap

Ingvill Merete Stedøy-Johansen forteller om Fru Flink [6].
Fru Flink introduserte elevene til Kaprekars konstant: 6174.




Gi meg et tall!




Gi meg et tall! 6953.




Gi meg et tall! 6953.

«Skriv tallet i en annen rekkefølge, slik at tallet blir 9653
størst mulig.»
«Bytt om rekkefølgen på sifrene, slik at tallet blir så 3569
lite som mulig.»
«Trekk det minste fra det største.» 6084
«Gjør dette om igjen og om igjen.» 8640
8640 − 0468 = 8172
8721 − 1278 = 7443
7443 − 3447 = 3996
...
7641 − 1467 = 6174



Kaprekars konstant

«Da gjør Matt en spennende oppdagelse: ‘Hei, hvis jeg starter
med tallet 9753, kommer jeg til Kaprekars konstant med en gang!
Jeg lurer på om det skjer med ﬂere tall?’»



Kaprekars konstant

«Da gjør Matt en spennende oppdagelse: ‘Hei, hvis jeg starter
med tallet 9753, kommer jeg til Kaprekars konstant med en gang!
Jeg lurer på om det skjer med ﬂere tall?’»

9973 8862 7751 6640
9863 8752 7641 6530
9753 8642 7531 6420
9643 8532 7421 6310
9533 8422 7311 6200



Karakteristiske trekk ved ulike oppgaver
Fru Flinks

1 «Den gode historien»
2 Halvåpne og åpne oppgaver
3 Oppgaver som kan forstås og løses på ulike nivåer, avhengig
av den enkelte elevs forutsetninger
4 Jakten på mønster og system
5 Oppgaver der det er en fordel å arbeide sammen med andre
6 Oppgaver egnet for diskusjon i full klasse
7 Oppgaver som gir konkrete resultater
8 Konkurranser, spill og pusleoppgaver
9 Aktiviteter der elevene lager oppgaver til hverandre.



Oppgaver

Oppgave 1
10 personer møtes og de håndhilser på hverandre. Hvor mange
håndtrykk blir det? I en klasse er det 27 elever. Dersom alle skulle
håndhilse på hverandre. Hvor mange håndtrykk blir det? Hvor
mange håndtrykk blir det når 100 personer skal håndhilse på
hverandre?



Oppgaver

Oppgave 2
På sirklene nedenfor er det plassert punkter. Trekk for hver sirkel
opp linjestykker mellom hvert par avmerkede punkter. Hvor
mange linje stykker blir det? Hvor mange linjestykker blir det
dersom vi hadde 10 punkter på en sirkel?



Oppgaver

Oppgave 3
I ei gruppe på 5 personer skal det velges to personer som skal
sitte i et utvalg. Hvor mange mulige måter kan vi velge to
personer ut av en gruppe på 5 personer? Hvor mange måter kan
vi velge to personer ut av en gruppe på 10 personer?



Resonneringskompetanse

Denne kompetansen består i å kunne
Følge og bedømme andres matematisk resonnement
Vite og forstå hva et matematisk bevis er og ikke er
Forstå logikken bak et moteksempel
Avdekke de bærende ideer i et matematisk bevis
Tenke ut og gjennomføre uformelle og formelle
resonnementer på basis av intuisjon. For eksempel omforme
heuristiske resonnementer til gyldige bevis.



Ressoneringskompetanse

Har to rektangler som har samme areal også samme omkrets?
Dersom vi fordobler arealet, fordobles da også omkretsen?
Marie og Per bor hhv. 1,2 km og 2 km fra skolen. Da må de
bo 3,2 km fra hverandre.



Ressoneringskompetanse

Har to rektangler som har samme areal også samme omkrets?
Dersom vi fordobler arealet, fordobles da også omkretsen?
Marie og Per bor hhv. 1,2 km og 2 km fra skolen. Da må de
bo 3,2 km fra hverandre.
Hva med denne:
2
Vi vet at x + 1 = xx−1 , og siden 12 − 1 = 0, så får vi ved å sette
−1

x = 1 inn i likheten over at 2 = 0.



Resonneringskompetanse

Å kunne uttrykkje seg skriftleg i matematikk inneber å løyse
problem ved hjelp av matematikk, beskrive og forklare ein
tankegang og setje ord på oppdagingar og idear. Ein lagar
teikningar, skisser, ﬁgurar, tabellar og diagram. I tillegg nyttar ein
matematiske symbol og det formelle språket i faget.



Resonnering

Antall som hilser



Rike problem
Karakteriseres ved:

1 Problemet skal introdusere viktige matematiske ideer eller visse
løsningsstrategier
2 Problemet skal være lett å forstå og alle skal ha en mulighet til å
arbeide med det
3 Problemet skal oppleves som en utfordring, kreve anstrengelser og
ta tid
4 Problemet skal kunne løses på ﬂere måter, med ulike strategier og
representasjoner
5 Problemet skal kunne initiere en matematisk diskusjon med
utgangspunkt i elevenes løsninger som viser ulike typer strategier,
representasjoner og matematiske ideer
6 Problemet skal kunne fungere som brobygger mellom ulike
matematiske områder.
7 Problemet skal kunne lede til at elever og lærere formulerer nye
interessante problem.



Rike problem
Stenplattor



Rike problem
Stenplattor

La h(n) være antall heller på ﬁgur n, l(n) antall lyse og m(n) antall
mørke heller på ﬁgur n. Da er

h(n) = (n + 2)2
l(n) = n2
m(n) = h(n) − l(n)
= n2 + 4n + 4 − n2
= 3n + 4



Rike problem

Oppgave 1
Jeg har 8 mynter i lommen min som til sammen blir 30 kroner.
Hvilke mynter har jeg da i lommen?



Rike problem

Oppgave 1
Jeg har 8 mynter i lommen min som til sammen blir 30 kroner.
Hvilke mynter har jeg da i lommen?

Oppgave 2
Lag en tilsvarende oppgave som har mer enn én løsning.



Både praktisk og teoretisk. . .

Fra formålet til LK06:
Matematikk er ein del av den globale kulturarven vår. Mennesket
har til alle tider brukt og utvikla matematikk for å utforske
universet, for å systematisere erfaringar og for å beskrive og forstå
samanhengar i naturen og i samfunnet. Ei anna inspirasjonskjelde
til utviklinga av faget har vore glede hos menneske over arbeid
med matematikk i seg sjølv.

...

Matematikkfaget i skolen medverkar til å utvikle den matematiske
kompetansen som samfunnet og den einskilde treng. For å oppnå
dette må elevane få høve til å arbeide både praktisk og teoretisk.



En praktisk oppgave

I en lærebok for tidligere 7. klasse ﬁnner vi følgende oppgave:
Et borettslag skulle sette gjerde rundt hagen sin. Den hadde
følgende form:
70 m

50 m

a) Regn ut omkretsen
b) Det skal settes ned en gjerdestolpe for hver 3. meter. Hvor
mange gjerdestolper går med?



Hva er en liter?

Elevene sitter krumbøyd over en serie med omgjøringsstykker.

1 l = 10 dl
1, 3 l = 12 dl
0, 4 l = 4 dl
12 dl = 1, 2 l osv.

De lærer systemet. Etter hvert går det lettere. Kommaer ﬂyttes,
nuller settes til. Av og til må læreren komme og bekrefte at det er
rett gjort. Til slutt gjennomgås noen av de vanskeligste stykkene,
og læreren gjentar reglene sammen med elevene.



Hva er en liter?

I neste time er det heimkunnskap. Rundstykker og kjøttsuppe. Bra!
Men frøken! Frøken, her står det 1/4 dl melk til rundstykkene.
Hvordan frøken? Og 2,5 l vann til kjøttbeina. Frøken – hvordan vet
vi at vi har 2,5 l vann?

En rekke studier som viser at det er problematisk å overføre
kunnskap fra en situasjon og uttrykksform til en annen.[1]



Matematikk vår tids latin?
Hvorfor skal matematikk være et eget skolefag?

Professor i spesialpedagogikk ved Universitetet i Oslo, Edvard
Befring ﬁkk i gang en heftig debatt i 1999 da han tok til orde for å
fjerne matematikken som eget skolefag, under henvisning til
forrige århundreskiftes endelige oppgjør med latinen som
skolefag: Matematikk er vår tids latin!



Matematikk vår tids latin?
Hvorfor skal matematikk være et eget skolefag?

Professor i spesialpedagogikk ved Universitetet i Oslo, Edvard
Befring ﬁkk i gang en heftig debatt i 1999 da han tok til orde for å
fjerne matematikken som eget skolefag, under henvisning til
forrige århundreskiftes endelige oppgjør med latinen som
skolefag: Matematikk er vår tids latin!
Forskning, nr 7 1999
Mitt utgangspunkt er den mangelfulle og negative læring mange elever
har i faget. Dette gjør mange til tapere. Det ville vært en
oppdragelsessvikt hvis vi ikke hjalp barna i læring av den praktiske
regningen de trenger til daglig. Forslaget om å fjerne matematikken som
eget skolefag går ut på å integrere matematikken i andre fag, og gi den
praktiske regningen sin renessanse. I grunnskolen bør ikke enkeltfag
dyrkes, vi bør tvert imot dempe fagenes stilling. Geograﬁ, samfunnsfag
og historie er allerede slått sammen til ett fag, nå er det så å si bare
matematikk og norsk som står igjen som isolerte fag.



TIMSS og PISA
Hva sier forskerne i TIMSS og PISA?

Liv Sissel Grønmo:
Anvendt matematikk er mer kompleks enn ren matematikk
Anvendt matematikk (problemløsing, mathematical literacy)
forutsetter
En basis av grunnleggende kunnskaper og ferdigheter (ren
matematikk)
Mathematical literacy er ikke noe alternativ til ren matematikk

Tatt fra presentasjon på Matematikksenteret
http://www.matematikksenteret.no/attachment.ap?id=326



Praktisk matematikk versus teoretisk matematikk

Tony Gardiner, 2004:
Mathematics teaching may be less effective than most of us
would like; but we should hesitate before embracing the idea that
school mathematics would automatically be more effective on a
large scale if the curriculum focused ﬁrst on «useful mathematics
for all» (numeracy), with more formal, more abstract mathematics
to follow for the few.




Tony Gardiner, 2004:
Mathematics teaching may be less effective than most of us
would like; but we should hesitate before embracing the idea that
school mathematics would automatically be more effective on a
large scale if the curriculum focused ﬁrst on «useful mathematics
for all» (numeracy), with more formal, more abstract mathematics
to follow for the few.
«The TIMSS 2003 results support the premise that successful
problem solving is grounded in mastery of more fundamental
knowledge and skills.» (Mullis mﬂ. 2004)




En basis av grunnleggende kunnskaper og ferdigheter i ren
matematikk er
en nødvendig betingelse
men ikke en tilstrekkelig betingelse
for å anvende matematikk på problemer i
dagligliv/samfunnsliv (Mathematical literacy)



Matematisk kompetanse

Asse ssm e nt

ng
Level III Pyra m id
ki
anaylsis
in
Th
Over time,
of

assessment
ls

Level II
ve

connections
questions
Le

should quot;fillquot;
the pyramid.
Level I
reproduction

difficult
ra
eb
alg
e try
om
Do ge
ma er d
mb se
ins nu
& Po
of ic s y easy ns
Ma tist ilit
th sta ob ab t io
em p r s
at ue
ic s Q

F 1


Freudenthal

Freudenthal:
horisontale matematisering
vertikale matematisering
«horisontal matematikk handler om å bevege seg fra
virkelighetens verden til symbolenes verden, mens vertikal
matematikk handler om å bevege seg inne i symbolenes verden.»



Realistisk matematikk

Nettverk av
matematiske
relasjoner

Vertikal
matematisering

Matematisk
Reelle kontekster
modellering
Horisontal
matematisering




Morten Blomhøj, i Hull i kulturen:
En teoretisk forståelse av et matematisk begrep innebærer at
elevene kan skille begrepene fra de konkrete situasjonene hvor de
anvendes i. En teoretisk forståelse av de begreper som inngår i en
gitt matematisk modell er jo en forutsetning for å kunne utøve en
faglig kritisk dømmekraft over anvendelsen av modellen.



Freudenthal
Fire typer matematikkundervisning

Mekanistisk: «demonstrere, drille og øve»



Freudenthal

Empiristisk: Elevene jobber med stoff fra den virkelige verden. Det vil si at
elevene møter situasjoner hvor de gjør «horisontal
matematisering», uten å koble dette til teoretisk matematikk
(ingen formler, modeller, etc). Treffers (1991) peker på at denne
tilnærmingsmåte ikke blir brukt. (men kanskje i Norge?)



Freudenthal

Strukturalistisk: (eller «moderne matematikk»). Bassert på mengdelære,
venn-diagrammer ol. som er en slags horisontal matematisering,
men som ikke har noe å gjøre med den lærendes verden.



Freudenthal

Strukturalistisk: (eller «moderne matematikk»). Bassert på mengdelære,
venn-diagrammer ol. som er en slags horisontal matematisering,
men som ikke har noe å gjøre med den lærendes verden.
Realistisk: en reell situasjon som utgangspunkt for å lære matematikk.
Dette utforskes ved horisontal matematiseringsaktiviteter. Dette
medfører at elevene organiserer problemet, prøver å identiﬁsere
matematiske aspekter ved problemet og oppdager
sammenhenger. Så, ved å bruke vertikal matematisering,
utvikles matematiske begreper.



Freudenthal

Horisontal Vertikal
Type
matematisering matematisering
Makanistisk – –
Empiristisk + –
Strukturalistisk – +
Realistisk + +



Modeller i matematikk

I RME (Realistic matemathematics education) er modeller deﬁnert
på ulike nivå. Det tales om modell av en situasjon som eleven
kjenner til. Ved generalisering blir modellen et objekt i seg selv.
Den blir en modell for matematisk resonnering.

Situasjonsbetinget





Henvisende
Situasjonsbetinget





Generell
Henvisende
Situasjonsbetinget





Formell
Generell
Henvisende
Situasjonsbetinget



Modellering

Virkelige verden Matematiske verden
Oversettelse, abstrahering
Et matematisk
Problem problem

Vanskelig vei å Vurdering av manipulering innenfor den
gå svar matematiske modellen,
løsningsmetoder

Løsning Løsning
Vurdering av svar, oversettelse



Modelleringskompetanse

Forarbeid:
Strukturere, forenkle, idealisere, presisere
Matematisk modell:
Oversette
Lage en matematisk modell
Behandle og løse
Etterarbeid:
Tolke og oversette
Analysere
Validere: Godkjenne, forkaste, forbedre modell
Eventuelt starte prosessen på nytt




Oppgave
En tube tannkrem inneholder 75 cm3
tannkrem. Åpningen i tuben er
sirkelformet og diameteren i åpningen er
6 mm.
Alle i en familie på 4 pusser tennene
morgen og kveld. For hver tannpuss
brukes 1,5 cm tannkrem.
Hvor mange dager varer 1 tube tannkrem
for denne familien?




Oppgave
En tube tannkrem inneholder 75 cm3
tannkrem. Åpningen i tuben er
sirkelformet og diameteren i åpningen er
6 mm.
I en familie er det 4 personer. Hvor mange
dager varer 1 tube tannkrem for denne
familien?




Tre komponenter
Å kunne analysere en modell
holdbarhet og
rekkevidde
«Avmatematisere» en modell. Dvs å kunne tolke modellen og
resultatene i forhold til en gitt situasjon
Å kunne aktivt lage modeller.

betrakte en modell som beskriver høyden på norske rekrutter
fra 1950 – 1970
Eksponentiell befolkningsvekst

N(t) = 4 300 000 1.03t



Eksempel fra PISA 2003

SKRITT

Bildet viser fotavtrykkene til en mann som går. Skrittlengden P er avstanden mellom
bakre kant av to påfølgende fotavtrykk.

n
For menn gir formelen = 140 et tilnærmet forhold mellom n og P
P
hvor,

n = antall skritt pr. minutt, og

P = skrittlengde i meter.

Spørsmål 1: SKRITT M124Q01- 0 1 2 9

Hvis formelen gjelder for Haralds måte å gå på og Harald tar 70 skritt pr. minutt, hva
blir Haralds skrittlengde? Vis hvordan du fant svaret.



Eksempler på modellering

Strikkskyting
Balltrilling



Janvier tabellen

Fra / til Situasjon Tabell Graf Formel
Situasjon måling skisse modellering
Tabell avlesning plotting tilpassing
Graf tolking avlesing kurvetilpasning
Formel gjenkjenning beregning plotting



Modellering

Matematisk modellering, Eleven kan ikke sette Elevene kan se Eleven kan analysere Eleven kan Eleven kan oversette enkle
anvendelser opp et matematisk sammenhengen mellom enkle situasjoner fra gjenkjenne (tilpasset alderstrinnet)
uttrykk for en praktisk helt enkle virkeligheten og sette matematikken i en problemer fra virkeligheten,
Kunne gjenfinne situasjon og kan ikke problemstillinger fra opp et matematisk virkelig situasjon, oversette til matematikk,
matematikken i en praktisk tolke en løsning på et virkeligheten og et uttrykk for det. I noen kan oversette til vurdere alternative modeller,
situasjon, kunne regnestykke som matematisk uttrykk som tilfeller løser eleven det matematikk, men løse det matematiske
matematisere situasjonen, løsning på et praktisk beskriver denne matematiske har problemer enten problemet, vurdere løsningen,
dvs. oversette den til et problem. Eleven kan virkeligheten (for problemet, men kan med å løse det oversette tilbake til
matematisk språk og løse kjenne igjen en eksempel en situasjon bare delvis drøfte hva matematiske virkeligheten, vurdere
de matematiske problemstilling fra med priser, kjøp og salg, dette betyr for den problemet eller med gyldigheten av modellen og
problemene. Kunne virkeligheten som en eller beregning av areal opprinnelige å oversette tilbake til kunne si noe om kvaliteten på
vurdere om løsningen er matematisk situasjon, ved oppdeling i kjente problemstillingen. virkeligheten. modellen.
realistisk, og drøfte men ikke hva slags figurer), men er ikke i Eleven kan til en
løsningen i forhold til den matematikk det dreier stand til å finne uttrykket viss grad vurdere om
opprinnelige situasjonen. seg om. selv. løsningen er
realistisk i forhold til
NB: For 4. trinn vil den virkelige
denne kompetansen mest situasjonen.
dreie seg om anvendelser
av matematikk.

Problembehandling Eleven kan forstå hva Eleven kan forstå hva Eleven kan tenke ut en Eleven kan løse Eleven kan lett forstå



Representasjoner

Representasjonskompetansen består i å kunne håntere forskjellige
representasjoner av matematiske objekter, begreper, fenomener
og problemer.

forstå (dekode, tolke og skille fra hverandre) og nyttegjøre
seg av ulike representasjoner av matematiske objekter
forstå relasjoner mellom ulike representasjoner av samme
objekt
å velge og veksle mellom ulike representasjoner.



Representasjoner

Representasjonskompetansen består i å kunne håntere forskjellige
representasjoner av matematiske objekter, begreper, fenomener
og problemer.

forstå (dekode, tolke og skille fra hverandre) og nyttegjøre
seg av ulike representasjoner av matematiske objekter
forstå relasjoner mellom ulike representasjoner av samme
objekt
å velge og veksle mellom ulike representasjoner.

Eksempel «fem», 5, V,
Ulike representasjoner av lineære funksjoner som
f (x) = 2x + 4.



Representasjoner

Marit Holm referer i [4] undersøkelser hvordan barn anvender
matematikk utenfor skolen. Skoleungdommer mellom 9 og 15 år
som arbeidet med gatesalg klarte å løste aritmetsike oppgaver
knyttet til de ﬁre regneartene.
årsaken til barnas sikre regneferdigheter i dagliglivet er at de
får forholde seg til matematikkoppgaver direkte relatert til de
formål eller gjenstander som var involvert i oppgavene som
skulle løses. (Carraher)

«Når elevene skal regne, er det avgjørende at tallstørrelsene
blir uttrykt på måter som barna er fortrolige med» [2]



Representasjoner

Abstrakt
Symboler
Halv-abstrakt
Ikonisk
Halv-konkret
tegninger, bilder
Konkret
ting, brikker



Representasjoner
Konkreter

Vi kan dele konkretene inn i
Strukturerte (eksempel: multibase materiell)
Ustrukturerte (eksempler: knapper, vekt, måleband, steiner,
pinner, etc)
Vi kan bruke konkretene til å simulere virkeligheten.
Eksempel
I en klasse på 25 elever var det 3 jenter mer enn gutter. Hvor
mange jenter og gutter var det i klassen?



Representasjoner
Konkreter

Vi kan dele konkretene inn i
Strukturerte (eksempel: multibase materiell)
Ustrukturerte (eksempler: knapper, vekt, måleband, steiner,
pinner, etc)
Vi kan bruke konkretene til å simulere virkeligheten.
Eksempel
I en klasse på 25 elever var det 3 jenter mer enn gutter. Hvor
mange jenter og gutter var det i klassen?

Eksempel (de velkjente eplene)
Ole hadde tre epler. Hvor mange epler hadde han dersom han ﬁkk
to til?



Representasjoner

Konkret

Kan simulere med
f.eks knapper



Representasjoner

Konkret Halv-konkret

Kan simulere med
f.eks knapper



Representasjoner

Konkret Halv-konkret Halv-abstrakt

Kan simulere med
f.eks knapper



Representasjoner

Konkret Halv-konkret Halv-abstrakt Abstrakt

3+2=5

Kan simulere med
f.eks knapper



Representasjoner
Konkreter

Bjørnar Alseth referer i [2] til en undersøkelse der 75 % av
femåringene klarte å løse oppgaver av følgende type dersom de
ﬁkk «spille» det som skjedde med konkreter:

Lise har 20 perler. Hun legger perlene i esker med ﬁre perler i
hver eske. Hvor mange esker trenger hun?
Jens har tre tyggegummipakker med seks biter i hver pakke.
Hvor mange tyggegummibiter har Jens?



Representasjoner
Translasjonsprosesser (Richard Lesh, tatt fra [5])



Representasjoner

Eksempel
Solid idrettslag eier halvparten av Solidhuset. Stord kommune eier
1/3 mens Trott eier resten. Hvor stor del av huset eier Trott?



IKT i M87

M87, Læremiddel i matematikk:
Datamaskin vil vere eit slik
hjelpemiddel til å illustrere
matematiske forhold og til å granske
matematiske samanhengar. Slik bruk
kan knyttast til alle hovudemna i
matematikken.



IKT i L97

L97, arbeidsmåter i faget
. . . I matematikk er regneark et slikt
nyttig verktøy, men også annen
hensiktsmessig programvare bør tas
i bruk.



IKT – hva er så bra med det da?



IKT – hva er så bra med det da?

Hva vil vi med IKT?
Det ﬁns gode og dårlige måter å bruke IKT!



Evalueringen av L97

TIMSS 2003:
I L97 understrekes det: «(. . . ) at elevane skal vere aktive, handlande
og sjølvstendige. Dei skal få lære ved å gjere, utforske og prøve ut i
aktivt arbeid fram mot ny kunnskap og erkjenning» (L97, s. 75). At
elevene skal være aktive, er ofte tolket som å drive med ulike
aktiviteter av typen gruppearbeid, prosjektarbeid, lek og
eksperimenter. Faren ved å fokusere så sterkt på spesielle
arbeidsmetoder er at de faglige læringsmålene kan bli
nedprioritert. Bruk av ulike læringsaktiviteter synes å ha preg av å
være mål i seg selv uten at de relateres til klare læringsmål.



Evalueringen av L97

TIMSS 2003:
I L97 understrekes det: «(. . . ) at elevane skal vere aktive, handlande
og sjølvstendige. Dei skal få lære ved å gjere, utforske og prøve ut i
aktivt arbeid fram mot ny kunnskap og erkjenning» (L97, s. 75). At
elevene skal være aktive, er ofte tolket som å drive med ulike
aktiviteter av typen gruppearbeid, prosjektarbeid, lek og
eksperimenter. Faren ved å fokusere så sterkt på spesielle
arbeidsmetoder er at de faglige læringsmålene kan bli
nedprioritert. Bruk av ulike læringsaktiviteter synes å ha preg av å
være mål i seg selv uten at de relateres til klare læringsmål.

Er IKT et mål i seg selv?
Hvilke faglige mål har vi med vår anvendelse av IKT?



IKT i LK06

Å kunne bruke digitale verktøy dreier seg
først om å håndtere digitale hjelpemidler til spill, lek og
utforsking.
Senere vil det også handle om å vite om og kunne bruke og
vurdere digitale hjelpemidler til problemløsning, simulering
og modellering.
I tillegg er det viktig å kunne ﬁnne informasjon, analysere,
behandle og presentere data med passende hjelpemidler,
samt forholde seg kritisk til kilder, analyser og resultater.



IKT i L06
Kompetansemål etter 7. årstrinn

Mål for opplæringen er at eleven skal kunne
beskrive referansesystemet og notasjonen som benyttes for
formler i et regneark og bruke regneark til å utføre og
presentere enkle beregninger (Tall og algebra)
bruke koordinater til å beskrive plassering og bevegelse i et
koordinatsystem på papiret og digitalt (Geometri)
representere data i tabeller og diagrammer framstilt digitalt
og manuelt, samt lese, tolke og vurdere hvor hensiktsmessige
disse er (Statistikk og sannsynlighet)



IKT i L06
Kompetansemål etter 10. årstrinn

Mål for opplæringen er at eleven skal kunne
bruke, med og uten digitale hjelpemidler, tall og variabler i
utforskning, eksperimentering, praktisk og teoretisk
problemløsning og i prosjekter med teknologi og design (Tall
og algebra)
ordne og gruppere data, ﬁnne og drøfte median, typetall,
gjennomsnitt og variasjonsbredde, og presentere data med
og uten digitale verktøy (Statistikk og sannsynlighet)



Programmer

Pedagogiske programmer
Verktøyprogrammer


Problemløsning i matematikk

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Más de Tor Espen Kristensen

Más de Tor Espen Kristensen (20)

Problemløsning i matematikk