porcentajes2

1. Concepto de Porcentaje
 La expresión porcentaje o tanto
por ciento equivale a “ tantos
de cada 100 ”.
 Es decir, hablar del 40% es
hablar de 40 de cada 100, osea
40% =
100
40

2. Cálculo de porcentajes: porcentaje como fracción
Hallar el 35% de 420 :
35 % de 420 = 147
420
100
35


Cálculo de porcentajes: porcentaje como regla de tres
Ejemplo: Calcular 40% de 650
Total Parte
100 - - - - - - 40
650 -- - - - - x

3. PORCENTAJES
Problemas de porcentajes
Asignaremos nombres a los diferentes elementos
que integran el cálculo de un tanto por ciento:
30% de 40 = 12
porcentaje
total
parte
En el salón de clase, el 40% son mujeres. Si en total hay 30
alumnos, ¿cuántas son las mujeres?

4. PORCENTAJES
En mi clase, de 30 que somos en total, 12 son mujeres.
¿Qué porcentaje representan las chicas?
Alumnos %
30 ------- 100
12 ------- x
En mi clase hay 12 mujeres y representan el 40% del
total. ¿Cuántos somos en total?
% Alumnos
40 ---------- 12 mujeres
100 --------- x

5. APLICACIONES COMERCIALES
Precio de Venta = Precio de costo + Ganancia
Precio de Venta = Precio de costo - Pérdida
PV = PC + G
PV = PC - P
Precio de Venta = Precio de Lista - Descuento
PV = PL - D

6. SEMEJANZA

7. Descripción: Dos figuras son semejantes
cuando tienen la misma “forma”, pero no
necesariamente el mismo tamaño
La idea de la “misma forma” aparece
en las ampliaciones o reducciones.

8. ¿ Qué observas ?
10 cm
5 cm
4 cm
8 cm

9. ¿Cómo expresamos matemáticamente esta
idea de la “ misma forma”?
 La respuesta es comparando el largo y el
ancho de ambas fotografías :
Las razones entre el ancho y el largo de
cada foto son iguales; es decir:
las dos fotografías son:
¿IDÉNTICAS O SEMEJANTES ?
cm
cm
cm
cm
10
5
8
4

Así es, ya que los
productos “cruzados”
son iguales
10 x 4 = 8 x 5

10. Dos figuras son semejantes
porque:
1º Tienen la misma forma, por
ampliación o por reducción.
2° Tienen diferente tamaño, porque los
lados de la figura mayor son una
ampliación en forma proporcional
de los lados de la figura menor,
manteniéndose constante los
ángulos.

11. No son figuras semejantes

12. ¿Qué elementos determinan la semejanza de las
figuras?

13.  Dos figuras son semejantes si sus
ángulos correspondientes son iguales
y sus lados correspondientes
proporcionales.
 Los elementos que se corresponden
(puntos, segmentos, ángulos …) se
llaman “homólogos”.
¿Qué elementos determinan la
semejanza de las figuras?

14. Triángulos semejantes
 Dos triángulos son semejantes si sus
ángulos son, respectivamente, iguales y
sus lados homólogos son proporcionales.

15. Dado un triángulo de lados 4m, 5m y 6m.
Multiplica cada uno de los lados por 3.
Los lados del triángulo se han triplicado.
4m
5m
6m
A
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R

16. 16
Identificamos algunos elementos :
RAZÓN DE SEMEJANZA : 3
LADOS HOMÓLOGOS
AB
BC
AC
PQ
QR
PR

17. Criterios de semejanza de triángulos
 Existen algunos principios que nos
permiten determinar si dos triángulos son
semejantes sin necesidad de medir y
comparar todos sus lados y todos sus
ángulos.
 Estos principios se conocen con el nombre
de criterios de semejanza de triángulos

18. Existen tres criterios de
semejanza de triángulos
1. AA ( ángulo-ángulo)
2. LLL (lado-lado-lado)
3. LAL (lado-ángulo-lado)

19. Primer criterio : AA
 Dos triángulos que tienen los dos
ángulos congruentes son semejantes
entre sí.
A´
B´
C’
A
B
C
a´
a
b´
b
g´
g
Es decir: Si a  a´ , b  b´ de lo anterior se deduce que g  g´
Entonces, D ABC semejante con D A´B´C´

20. Ejemplo
¿Son los siguientes triángulos semejantes?
¡SI!
Por que al tener dos de
sus ángulos congruentes,
cumplen con el criterio AA
65° 25°
A
B
C
Q
65°
P
R

21. Segundo criterio: LLL
 Dos triángulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre sí.
A´
B´
C’
A
B
C
a
a´
El cociente obtenido de
comparar los lados
homólogos entre sí
recibe el nombre de
razón de semejanza.
Es decir:
a
a´ =
b
b´ =
c
c´ =K
b b´
c
c´

22. Ejemplo :
Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes
Verifiquemos si las medidas de los
lados son proporcionales
1,5
3
= =
3,5
7
5
10
A
B
C
1,5
3,5
5
P
Q
R
3
7
10
Efectivamente , así es, ya que
los productos la razón entre
los lados correspondientes es
constante
Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son
semejantes por criterio LLL
= 0,5

23. Tercer criterio:LAL
 Dos triángulos que tienen dos lados
proporcionales y el ángulo comprendido entre
ellos es igual, son semejantes entre sí.
A’
B’
C’
A
B
C
Es decir:
a
a’
a
a’ = c
c’
c
c’
y a = a’
a
a´
Entonces D ABC semejante a D A’B’C’

24. Ejemplo :
¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes?
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9
= 4
12
Efectivamente así es,
ya que los productos
“cruzados” son iguales
3 • 12 = 4 • 9
¿Los ángulos formados por
estos dos lados son
congruentes?
Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente, porque,
tal como se señala en el
dibujo, ambos son rectos
A
B
C
4
3
D
E
F
9
12