Matemáticas III Secundaria Eje: Forma, espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos Contenido: Construcción de figuras congruentes o semejantes y análisis de sus propiedades. Diapositivas sobre el tema de congruencia y semejanza, con ejercicios aplicados. Espero les sirva ;)

1. TEMA: FIGURAS Y CUERPOS
CONTENIDO: CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS CONGRUENTES O SEMEJANTES Y ANÁLISIS DE
SUS PROPIEDADES
PROFA. ADRIANA GUZMÁN GONZÁLEZ

2. ¿CÓMO SON LAS FIGURAS MOSTRADAS?

3. EJEMPLOS DE CONGRUENCIA
 Estas SÍ son figuras congruentes
 Estas SÍ son figuras congruentes
 Estas NO son figuras congruentes

4. CONGRUENCIA
 Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma
forma y tamaño, es decir, si al colocarlas una sobre otra
son coincidentes en toda su extensión.

5. EJEMPLOS DE SEMEJANZA
 Estas SÍ son figuras semejantes
 Estas SÍ son figuras semejantes
 Estas NO son figuras semejantes

6. SEMEJANZA
 Dos o más figuras son semejantes si tienen la misma forma
pero no el mismo tamaño, es decir, deben tener lados
proporcionales y ángulos iguales)

7. PAGINA 26
CONECTA ESTRATEGIAS
 Equipos de 3 integrantes
 Material:

8. ¡ADIVINAR EL CUADRILÁTERO OCULTO!
 ¿Cuadrilátero ABCD?
 Cada equipo escribirá preguntas (mientras menos mucho
mejor) solicitando a la maestra la información que necesite
para trazar un cuadrilátero congruente con el que oculta.
Solo pueden ser preguntas que se contesten con una
medida, o con sí o no.

9.  Cada equipo traza su figura con las respuestas dadas por la
maestra.
 Se superponen las figuras para ver si coinciden… los equipos
que coincidan tendrán un punto, y los que lo hayan hecho
con el menor número de preguntas ganarán uno extra!

10. RAZÓN DE SEMEJANZA
Cuando dos segmentos, figuras o cuerpos son
semejantes, la razón de semejanza es el cociente
que surge de dividir la mayor longitud, área o
volumen entre el menor.
Es la razón de los lados homólogos.
Ejemplo: (La figura superior es A y la inferior es B)
Segmento AB=5cm; segmento A'B'=10 cm
Razón de semejanza = 10/5= 2
homólogos.

11.  Ejercicio nº 1.- Observa estas tres fotografías e indica si son semejantes entre
sí y por qué:
 Ejercicio nº 2.- Un cuadrado tiene de lado 5 cm. Construye otro cuadrado
semejante de forma que la razón de semejanza sea 0,6.

12. Ejercicio nº 3.- Los lados de un triángulo miden 6, 8 y 12 cm. Se construye
otro semejante cuyas dimensiones son 9, 12 y 18 cm. ¿Cuál es la razón de
semejanza?
Ejercicio nº 5.- Un rectángulo tiene unas dimensiones de 15 cm x 20 cm. Si el
lado menor de otro rectángulo semejante a él mide 6 cm, ¿cuánto mide el
lado mayor?

13. CRITERIOS DE CONGRUENCIA
Se llama criterios de congruencia a los
postulados y teoremas que enuncian cuáles
son las condiciones mínimas que deben reunir
dos o más triángulos para que sean
congruentes.

14. CRITERIOS DE
CONGRUENCIA
LLL LAL ALA LLA

15. TRIÁNGULOS CONGRUENTES
 Dos triángulos son congruentes si y sólo si sus partes
correspondientes son congruentes.
A
B C
D
E F
ABC  DEF

16. DEFINICIÓN: DOS TRIÁNGULOS ABC Y
DEF SON CORRESPONDIENTES SI:
 Sus lados correspondientes son iguales
 Sus ángulos correspondiente son iguales.
 En la figura
A
EFACDFBCEDAB  ;;
B
C
E
F D
 




17. POSTULADOS DE CONGRUENCIA
 Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes
con los de otro, entonces los triángulos son congruentes.
 Criterio LAL: Si los lados que forman a un ángulo, y éste, son congruentes con dos
lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son
congruentes.
 Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con
dos ángulos y el lado entre ellos de otro triángulo, entonces los triángulos son
congruentes.
 Criterio LLA: Si el lado más largo del triangulo, junto con otro lado de éste, y el ángulo
superior del lado más largo del triángulo son congruentes con los del otro triangulo,
entonces los triángulos son congruentes.

18. POSTULADO LLL
 Si los lados de un triángulo son congruentes con los lados de
un segundo triángulo, entonces los triángulos son
congruentes.
A
B C
D
E F
ABC  DEF

19. POSTULADO ALA
 Si dos ángulos y el lado incluido de un triángulo son congruentes con dos
ángulos y el lado incluido de otro triángulo, los triángulos son congruentes.
A
B
C
D
E
ABC  CDE

20. POSTULADO AAL
 Si dos ángulos y el lado no incluido de un triángulo son congruentes con dos
ángulos y el lado no incluido de otro triángulo, los triángulos son
congruentes.
A
B C
D
E
ABC  EFD
F

21. POSTULADO LAL
 Si dos lados y el ángulo incluido de un triángulo son congruentes a dos lados
y el ángulo incluido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son
congruentes.
A
B
C D
E
ABC  DEF
F

22. CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Existen algunos principios que nos permiten
determinar si dos triángulos son semejantes sin
necesidad de medir y comparar todos sus lados y
todos sus ángulos. Estos principios se conocen con el
nombre de criterios de semejanza de triángulos

23. CRITERIOS DE
SEMEJANZA
AA LLL LAL

24. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
POSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza.
Teorema: “ Si dos triángulos tienen sus dos ángulos correspondientes
congruentes, entonces el tercero también será congruente y los
triángulos son semejantes”.
Criterio LAL de semejanza.
Teorema: “ Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo
congruente comprendido entre lados proporcionales”.
Criterio LLL de semejanza.
Teorema: "Si los lados correspondientes de dos triángulos son
proporcionales, entonces los triángulos son semejantes".

25. A´
B´C’
A
B
C
I. PRIMER CRITERIO AA
 Dos triángulos que tienen los dos ángulos congruentes son semejantes
entre sí.
´

´

´

Es decir: Si   ´ ,   ´ de lo anterior se deduce que   ´
Entonces, D ABC semejante con DA´B´C´

26. EJEMPLO
¿Son los siguientes triángulos semejantes?
65 25
65
¡SI!
Por que al tener dos de
sus ángulos
congruentes, cumplen
con el criterio AA

27. II. SEGUNDO CRITERIO LLL
Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre
sí.
A´
B´C’
A
B
C
a
a´
El cociente obtenido de
comparar los lados
homólogos entre sí
recibe el nombre de
razón de semejanza.
Es decir:
a
a´ =
b
b´ =
c
c´ =K
b b´
c
c´
Entonces, D ABC semejante con DA´B´C´

28. EJEMPLO
Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes
A
B
C
P
Q
R
1,5
3,5
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los
lados son proporcionales
1,5
3 = =
3,5
7
5
10
Efectivamente , así es, ya que
los productos “cruzados” son
iguales
1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5
3,5 • 10 = 7 • 5 = 35
Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes por
criterio LLL

29. III. TERCER CRITERIO LAL
Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido
entre ellos es igual, son semejantes entre sí.
A´
B´C’
A
BC
Es decir:
a
a´
a
a´
= c
c´
c
c´
y  = ´

´
Entonces D ABC semejante a D A´B´C´

30. EJEMPLO
¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes?
A
B
C
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9
= 4
12
Efectivamente así es,
ya que los productos
“cruzados” son iguales
3 • 12 = 4 • 9
¿Los ángulos formados por
estos dos lados son
congruentes?
Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente, porque,
tal como se señala en el
dibujo, ambos son rectos