1. Aplicación de Dinámica de Sistemas al Valor Futuro y Presente Autor: ISC. Víctor Germán Ledesma García Asesor: MIA. Roberto Osorno Hinojosa Departamento de Electrónica, Sistemas e Informática, Universidad ITESO, Tlaquepaque, Jalisco, México Para mayor Información: Por favor contáctanos por correo electrónico [email_address] o [email_address] Y para obtener una copia del póster, paper y otros detalles, visita el Web http://kino.iteso.mx/~te28634 Reconocimientos A Federico G. Ledesma R., Ilya L. Ledesma G., I. Omar Garcia T., O. Nicolás Garcia C., Francisco Morfín O., y a ITESO por los diversos apoyos para la realización de este fin. Literatura Citada Cavana Robert, Maani Kambiz, (2002), “A methodological framework for integrating systems thinking and system dynamics”, http://pisis.unalmed.edu.co/cursos/dinamica/cavana41.pdf Ledesma Garcia, Víctor Germán, (2003), “Aplicación de dinámica de sistemas a estados financieros y al valor del dinero”, Edición del Autor, CD en español, Ubicación: Tesis.ISC.320 Biblioteca ITESO Dr. Jorge Villalobos Padilla S.J., Tlaquepaque, México. Sterman, John D, (2000), “Business Dynamics, systems thinking an modeling for a complex world”, Editorial Mc Graw Hill, USA, ISBN 0-07-231135-5 Métodos Se empleó un constructivismo matemático y se le acompañó en la administración del proyecto el método de la espiral; la metodología de dinámica de sistemas consistió de siete pasos, en este trabajo aplicó un procedimiento sujeto a propuestas abiertas como las recomendadas en (Sterman, 2000) y (Cavana, 2002). Actualmente esta representa la cuarta vuelta de refinamiento evolutivo desde Septiembre del 2001. Paso 3. Prototipo de simulación para computadora Cobrar Réditos” como flujo de réditos esta constituido por (P5) y sustentado en la tasa de interés efectiva de (15), por su parte “Retirar Descuentos” esta hecho por (P7) y el descuento efectivo de (16) . Paso 4. Ejecución del modelo, verificación y validación. En la tabla I se recogen los resultados de la ejecución cuando se consideran a prueba los casos de i en capitalización bianual ( m= 2), anual ( m= 1), semestral ( m= 0.5) y continua ( m  +∞), convalidándose correctamente con el obtenido mediante la formula (15) . Al trasladar parte de la experimentación a la prueba de diferentes h’s (pasos de tiempo en el simulador) como lo muestran la tabla II y la figura 5 se obtiene un nuevo hallazgo que gravita sobre las diferentes curvas de valor para la tasa de interés efectiva a pesar de tratarse de la misma m . La tabla III y figura 6 indican como el valor futuro se ve aumentado ya sea por la frecuencia de capitalización m o por el paso del tiempo del simulador h , agregando con ello importancia a la fracción de intervalos que componen un subperiodo de tiempo sujeto a m . Cuando se corre una misma m con diferentes h ’s se obtienen resultados disparejos para el mismo valor liquido en el tiempo. Se descubre así que existen valores efectivos para interés ( ie ) y descuento ( de ) condicionados a m (frecuencia de capitalización o descapitalización), así como valores efectivos condicionados a m-h (frecuencia de composición y del paso del tiempo) para interés ( ieh ) y para descuento ( deh ). Paso 5. Formulación de un modelo más completo. Los esquemas de las figuras 3 y 4 en conclusión son validos solamente si m = h , son además funcionales para tasas de interés y descuentos constantes. Bajo esta limitación es beneficioso agregar un lazo que funja para política de cambio con objeto de permitir la incorporación de tasas flotantes, así también sería ventajoso extender las capacidades del modelo con la añadidura de orientación a metas. Adicionalmente podría conjuntarse la capacidad de integración y desintegración de flujos para con ello llegar a obtener un modelo más genérico y minimalista. Y para la mejora final, apoyándose en una capa de interfase visual se le pueden instalar selectores a la capa del modelo para escoger el tipo de evento (continuo o discreto) y el monto final (VF o VP). La formula 17 tiene un razonamiento origen de la combinación de frecuencias de composición y de paso de tiempo para la obtención de tasa de interés efectiva, es decir de se despeja para ieh. Los hallazgos restantes sobre las formulas 18, 19 y 20 son incorporados al esquema genérico; y el modelo tiene como extra la capacidad de hacer un alto en el avance del paso de tiempo cuando la meta se alcanza. Paso 6. Experimentación de escenarios aplicando metas y políticas. Suponer que se tiene un monto inicial de $10, mediante simulación desea conocerse el tiempo que será necesario para alcanzar un monto final de $5,000,000; se requiere un margen de error de un día. Las tasas de interés anualizadas con capitalización trimestral requieren montos mínimos y están politizadas de la siguiente manera: (10%, $10), (12%, $2,000), (15%, $40,000), (20%, $1,000,000). Para obtener la solución es necesario ajustar los parámetros de la siguiente manera: m =4, monto inicial=10, Meta=5000000, h =360, y condicionar i con respecto al valor líquido; adicionalmente se puede agregar el periodo anual máximo de búsqueda en la capa de interfase visual, la cual podría establecerse por omisión en 120 años. Como resultado de este escenario la meta es alcanzada a los 109 años y 32 días. Introducción La presente es un caso de la recapitulización actualizada de una investigación de tesis (Ledesma, 2003) en ITESO. Este material puede considerarse una herramienta de apoyo para potenciar el conocimiento en el campo educacional sobre el proceso de interés compuesto y su proceso inverso. El proceso del valor del dinero sobre la línea del tiempo se explica sistemáticamente por acciones de flujo que acumulan o desacumulan al monto, figurando el laso de retroalimentación; el modelo experimental permite la iteración sobre escenarios diferentes y orientación a metas. La explicación de procesos utilizando esta estructura de modelos permite la herencia de aprendizajes al paso del tiempo. El problema es tratado para facilitar la interpretación matemática – temporal, además ofrece una nueva formulación de una tasa de interés efectiva sujeta al paso del tiempo (configurable para la composición de sub periodos desde eventos discretos hasta los continuos); así como el proceso reversible mediante descuentos, del cual poco se habla . Antecedentes Históricamente los cálculos financieros han sido objeto de numerosas aplicaciones y mejoras. Hemos encontrado con que el análisis financiero no solo se puede entender como el estudio de un estado determinado en un momento, sino como un continuo sujeto a cambios, ajustes y entorno. En este supuesto, podemos descubrir comportamientos financieros más exactos en modelos sistémicos. El comportamiento financiero de una empresa obedece a la interacción de diferentes agentes, mismos que añaden complejidad dinámica al sistema: encontramos no solo relaciones causales sino acumulaciones, demoras y ciclos de retroalimentación (Sterman 2000). La visión del comportamiento financiero en función de flujos y niveles no es del todo nueva, sin embargo el modelado y aplicación para la toma de decisiones y el aprendizaje son terrenos que deben ser aún explorados. El reto de encontrar aplicaciones prácticas en las organizaciones es abordado en el presente trabajo. Conclusiones Para entender el proceso del valor del dinero en el tiempo se conoce que se inicia de un monto inicial que pasa por un valor liquido para llegar a un monto final, en este pasar del tiempo pueden agregársele réditos o aplicársele descuentos lo cual le señala como una tarea de acumulaciones o desacumulaciones que, ha decir de estos últimos poca importancia se le brinda al origen de los réditos y al destino de los descuentos. El plano matemático es fundamental en la elaboración de modelo prototipo, cabe mencionar que en los cálculos de réditos y descuentos de eventos discretos (P8, P9) se trabaja con rectas secantes y al llevarle a los eventos continuos se obtienen rectas tangentes (P10, P11) , para ambos casos se tienen la recta izquierda para descuentos y recta derecha para réditos. En las operaciones para Valor futuro y Valor presente de las formulas (7, 9) al llevarles por intervalos de tiempo infinitamente pequeños que es a lo apuntado por (5, 6) da por resultado (8, 10) . Siendo esta la puerta que permite entender la elevación de casos de eventos discretos a continuos. En este contexto (11, 13) expresan que existen procesos recursivos motivados por lasos de retroalimentación, a diferencia de (12,14) que solo sitúan al cálculo por factores de multiplicación. Queda manifiesta la importancia de las acciones de flujo de réditos y descuentos como instrumentos de apalancamiento que usa la discrepancia para llegar a la meta y así darle rumbo al sistema. Logra visualizarse la trascendencia de los lazos de alimentación de regreso para operar con políticas de cambio en variables que en este caso particular le permite tasa de interés flotante. Durante la experimentación resulta obligatorio considerar el timestep del simulador (h) y la frecuencia de composición de un periodo (m) a fin de obtener valores efectivos en el paso del tiempo, esta experiencia puede servir como procedimiento para evitar técnicas de interpolación lineal para valores comprendidos dentro en un subperiodo de composición. Respecto al paso 6, la experimentación con un escenario donde la composición de periodos se ejecuta de forma trimestral requiere el monitoreo de la discrepancia en intervalos de tiempo diarios, ello retoma la importancia que tienen las frecuencias de composición y de paso de tiempo de las formulas (17,18) , así como la retroalimentación para poder interactuar con tasas de interés flotantes (o variables). La dinámica de sistemas logra cosechar otro éxito como metodología ya que fortalece la comunicación del conocimiento utilizando modelos experimentales que, como instrumento de apoyo didáctico mejora el razonamientos de formulas, consolidándose como un recurso potencialmente empleable para la enseñanza de matemáticas financieras. Casos de valor presente y valor futuro Paso 1. Formulación del problema En la necesidad de realizar operaciones del dinero en el tiempo resulta socorrida el uso de la hoja de cálculo y calculadora financiera, sin embargo estos instrumentos solo operan con tasas de interés fijas y no soportan la incorporación de periodos de subcomposición, por lo que no da posibilidad de entrada a una fluctuación o manipulación intermedia en el rango de cómputo total; es decir calculan por un factor multiplicativo para la capitalización. Ampliamente sobre el tema son difundidas las siguientes formulas: Ante este tipo de limitaciones en consecuencia el objetivo a perseguir es la obtención de un modelo mediante dinámica de sistemas que sirva para entender el proceso de acumulación de intereses y desacumulación por descuentos; tanto en pasos de tiempo discreto como en continuo. Pues desea verificarse si existe un proceso retroalimentado adaptativo en contraste con el proceso explicado tradicionalmente de capitalización de progreso geométrico en el tiempo por medio de un factor. El primer reto es identificar todos los elementos del sistema y emprender su desarrollo matemático. Paso 2. Modelado por pensamiento Causal Observaciones finales Con la metodología de dinámica de sistemas se obtienen respuestas en cualquier fracción de tiempo, de manera que es posible analizar paso a paso cualquier evento en el tiempo; lo cual abre camino al campo de otros procesos derivativos de intereses y muy posiblemente a instrumentos de análisis e interpretación financiera. En estos modelos se precisó en hacer hincapié que las válvulas se nombran con acciones derivadas del flujo de objetos, en estos casos no se nombraron solo como “Réditos” o “Descuentos” pues se quiere diferenciar a las válvulas de flujo de ser simples índices de cambio (tasas) a ser acciones dependientes al cambio del tiempo (verbos en modo infinitivo bajo su forma verbal infinitivo); ello consideramos que facilita el uso del lenguaje para el apalancamiento en los modelos pues permite expresar transitividad entre un sujeto y un acusativo, emanando entera y finalmente en un rumbo contemplativo de acciones cronológico. Paso 7. Aprendizaje en el horizonte del tiempo. Basado en el comportamiento del modelo esencialmente puede concluirse que la capitalización de intereses es un proceso en el cual al monto inicial se le va acumulando réditos; por su parte la descapitalización por descuentos es un proceso en el cual al monto final se le desacumulan descuentos. El tiempo esta presente para ejercer influencia tanto en tasas de interés como de descuento, ya sea para valor efectivo por medio de la frecuencia de capitalización así como en la del paso de tiempo. Cuando h = m las formulas para ieh y deh se simplifican como las desarrolladas en el paso 1. El hallazgo de las formulas influidas con h es relevante ya que ello permite obtener el valor de una fracción simple en un intervalo de tiempo sin que esto repercuta en la formación de un nuevo periodo de subcomposición. El modelo mejorado tiene la posibilidad de incursionar en escenarios donde la tasa de interés o descuento nominal fluctúe en el devenir del tiempo y conlleva a simplificar procesos muy elaborados de cálculo. Monto inicial ( Vp ) Tasa de interés efectiva ( ie ) Rédito ( Vp )( ie ) ó ( valor liquido )( ie ) Valor liquido ( Vp+Réditos ) Monto final ( Vf ) + + + + + + + Fig. 1. Diagrama causal de Valor futuro + i + m + Monto inicial ( Vf ) Tasa de descuento efectivo ( de ) Descuento ( Vf )( de ) ó ( valor liquido )( de ) Valor liquido ( Vf-Descuentos ) Monto final ( Vp ) + + + + - + - Fig. 2. Diagrama causal de Valor Presente + d + m + Fig. 3. Esquema Vf Debe recibir Cobrar Réditos m i i e Vf 0 Debe dar Vf Vp Monto inicial (Vp) o ( Vf ) de Descuento ( Vf )( de ) ó ( valor liquido )( de ) Valor liquido (Vp+Réditos) ( Vf-Descuentos ) Monto final (Vf) o ( Vp ) + + + + - + - Fig. 7. Diagrama causal de Valor Presente / Valor Futuro + d + Rédito ( Vp )( ie ) ó ( valor liquido )( ie ) ie i + + + + + + + m h + + + + Meta Discrepancia + Fig. 8. Esquema Genérico Cobrar Réditos m i i eh Monto Final Monto Inicial d d eh Retirar Descuentos Meta Detener VF VP Discreta Continua h discrepancia Fig. 4. Esquema Vp Debe recibir Retirar Descuentos d m d e Vf n Debe dar Vp Vf