Matematicas financieras 3

Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes
1
Carlos Mario Morales C ©2012

2
Matemáticas Financieras
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Datos Catalográficos para citar este libro
Matemáticas Financieras
Carlos Mario Morales C.
Editorial propia. Medellín, 2012
ISBN: Pendiente
Formato 21x24 cm. Paginas:

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UNIDAD 3: ANUALIDADES Y GRADIENTES
OBJETIVO
Al finalizar la unidad los estudiantes estarán en capacidad de calcular operaciones financieras en las cuales la contraprestación se hace a través de cuotas periódicas. Para esto deducirá los modelos matemáticos para calcular el valor actual, futuro, interés y número de pagos para diferentes tipos de operaciones y aplicará estos en situaciones de la vida empresarial.
CONTENIDO
1. Anualidades
2. Anualidades anticipadas
3. Anualidades diferidas
4. Anualidades perpetuas
5. Gradientes
6. Ejercicios resueltos
7. Ejercicios propuestos
Anualidades y gradientes

4
Introducción
Es corriente que se pacte entre el deudor y acreedor el pago de una obligación financiera en cuotas periódicas a una tasa de interés, durante un tiempo determinado. Cuando las cuotas son constantes la operación recibe el nombre de anualidad, por el contrario si las cuotas son cambiantes se le denomina gradiente. Cuando, por ejemplo, una persona compra un automóvil pagado una cuota inicial y el resto del dinero en cuotas mensuales iguales durante un tiempo determinado, se configura una operación financiera de anualidades; si por el contrario las cuotas crecen con la inflación por ejemplo, la operación se denomina gradiente.
Anualidad o gradiente es un sistema de pagos a intervalos iguales de tiempo; de esta forma, no significa pagos anuales, sino pagos a intervalo regular; definida así en la vida cotidiana se encuentran innumerables ejemplos de este tipo de operaciones: el pago de dividendos, los fondos de amortización, los pagos a plazos, los pagos periódicos a las compañías de seguros, los sueldos, y en general todo tipo de renta son, entre otros, ejemplos de anualidades o gradientes.
En este tipo de operaciones se distinguen los siguientes elementos: la renta o pago, el periodo de pago o de renta, el tiempo o plazo y la tasa de interés. La renta se define como el pago periódico, también denominado como cuota o deposito. El periodo de renta es el tiempo que se fija entre dos pagos consecutivos; el tiempo o plazo de la operación es el intervalo de tiempo que sucede desde el inicio del primer periodo de pago y el final del último. Finalmente la tasa de interés es el tipo de interés que se acuerda en la operación.
Dependiendo de la forma como se pacten los montos y periodos de pago las operaciones se pueden clasificar en ordinarias, variables, anticipadas, diferidas, perpetuas. En esta unidad de aprendizaje se analizan cada una de ellas determinándose los modelos matemáticos que permiten simular y analizar estos tipos de operación financiera.

5
1. Anualidades
Son operaciones financieras en las cuales se pacta el cubrimiento de las obligaciones en una serie de pagos periódicos iguales que cumple con las siguientes condiciones:
 Los pagos (rentas) son de igual valor.
 Los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo
 A todos los pagos (rentas) se les aplica la misma tasa de interés
 El número de pagos y periodos pactados es igual
Las anualidades que cumplen con estas condiciones son las ordinarias o vencidas y las anticipadas. Los modelos matemáticos que se deducen para el cálculo y análisis de este tipo de anualidades tienen en cuenta las anteriores condiciones; por lo cual, es necesario que al momento de aplicarse las formulas a situaciones particulares, se asegure que se cumplan dichas condiciones.
Ejemplo 1.
Determinar si el siguiente sistema de pagos corresponde a una anualidad.
Respuesta
El sistema de pagos no corresponde a una anualidad ya que no obstante los pagos son iguales y se hacen a intervalos de tiempo igual, el número de pagos no es igual al número de periodos
0
1
2
3
4
5
6
A
A
A
A
A
A
A

6
Ejemplo 2.
Respuesta
Si se supone que la tasa de interés que se aplica a cada pago es la misma, se puede afirmar que el sistema corresponde a una anualidad teniendo en cuenta que los pagos son iguales, se hacen a intervalo de tiempo igual y los periodos pactados corresponden al número de pagos. Es la forma general de una anualidad ordinaria o vencida
Ejemplo 3.
Respuesta
El sistema de pagos no corresponde a una anualidad ya que no obstante que el número de pagos es igual al número de periodos y los intervalos de tiempo son iguales los pagos no son iguales.
Ejemplo 4.
0
1
2
3
4
5
6
A
A
A
A
A
A
0
1
2
3
4
5
6
A
A
A´
A´´
A
A
0
1
2
3
4
5
6
A
A
A
A
A
A

7
Respuesta
Si se supone que la tasa de interés que se aplica a cada pago es la misma, se puede afirmar que el sistema corresponde a una anualidad teniendo en cuenta que los pagos son iguales, se hacen a intervalo de tiempo igual y los periodos pactados corresponden al número de pagos. Es la forma general de una anualidad anticipada
1.1 Valor presente de la anualidad
Para la deducción del modelo matemático se considera una operación en la cual un préstamo se paga en cuotas iguales , a una tasa de interés efectiva por periodo , durante periodos. La situación se muestra en la grafica No 7.
GRAFICA NO 7 – VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD
Para calcular el valor presente se utiliza la formula (12), considerando cada valor de A como un valor futuro y sumando todos los resultados en 0. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Factorizando A, se obtiene: [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( )
Multiplicando esta por el factor ( ) , esto da como resultado la siguiente ecuación:
0
1
2
3
n-2
n-1
n
A
Vp
i

8
( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( )
Restando la ecuación (a) de la (b), se obtiene: ( ) [ ( ) ( ) ]
Despejando de este resultado el Vp, se obtiene: [ ( ) ]
La cual también se puede expresar como: [ ( ) ] ( )
Donde:
El factor * ( ) + suele nombrarse como: ( ⁄ ). Este significa el factor para hallar , dado el pago o renta , la tasa de interés efectiva a la cual son trasladados los pagos al valor inicial y el número de pagos . La formula (23) se puede escribir en notación clásica, como: ( ⁄ ) ( )
Ejemplo 5.
Un pequeño empresario para reponer su equipo de producción hoy, está en capacidad de realizar 36 pagos de $2´000.000 mensuales, a partir del próximo mes; si el banco que financia la operación cobra una tasa de interés del 24% N-m. ¿De cuánto dinero dispondrá para la reposición de los equipos?
Solución
Parámetros

9
o Pagos: $2´000.000
o Numero de pagos: 36
o Tasa de interés: 24% N-m
Representación gráfica
Para determinar lo que el pequeño empresario tendrá disponible para reposición de equipos, se debe hallar el valor presente de los pagos mensuales. En la siguiente gráfica se representa la operación:
Cálculos
Para determinar el valor presente, lo primero que se debe hacer es hallar la tasa efectiva mensual a partir de la tasa nominal, para esto se utiliza la formula (15):
Teniendo la tasa efectiva de interés se procede a calcular el valor presente, considerando ( ⁄ ). Nótese que la tasa efectiva de interés coincide los periodos en los cuales se realiza los pagos. El calculo se realiza utilizando la formula (23) [ ( ) ]
[ ( ) ]
Respuesta
El pequeño empresario dispondrá de para la reposición de los equipos.
0
1
2
3
34
35
36
2´000.000
Vp =¿?
j = 24%N-m

10
1.2 Pagos o renta a partir del valor presente
De la ecuación (23) se puede deducir el factor para hallar , dado el valor presente , o lo que es igual ( ⁄ ). [ ( ) ] ( ) ( ⁄ ) ( )
Los símbolos tienen el mismo significado que en la ecuación (23)
Ejemplo 6.
Una persona desea comprar un automóvil que tiene un precio de $64´000.000 a través de un crédito. Si la empresa de financiamiento ofrece las siguientes condiciones: préstamo del 90% del valor total en cuotas iguales durante 60 meses y una tasa efectiva de interés del 0,95% EM, ¿Cuál será el valor de la cuota mensual?
Solución
Parámetros
o Valor del automóvil: $64´000.000
o Financiación: 90% del valor total
o Numero de pagos: 60
o Tasa de interés: 0,95% EM
Considerando que solo se financia el 90% del valor del vehículo el préstamo debe ser por un valor de: 푃
En la siguiente gráfica se representa la operación:
Cálculos
Para determinar el valor de los pagos mensuales, ( ⁄ ), para lo cual se aplica
0
1
2
3
58
59
60
A= ¿?
Vp =57´600.000
i = 0,99% EM

11
directamente la formula (25), considerando la tasa efectiva de interés mensual: [ ( ) ]
[ ( ) ]
Respuesta
El valor de la cuota mensual será de $
1.3 Pagos o renta con base en el valor futuro
Igual que se hizo en el la deducción anterior, para determinar este modelo, se considera una operación en la cual el valor final es equivalente a pagos iguales , a una tasa de interés efectiva por periodo , durante periodos. La situación se muestra en la grafica No 8.
GRAFICA NO 8 – VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD
Para determinar el valor futuro ( ⁄ ) remplazamos en la formula (24) el valor presente en función del valor futuro, formula (12). ( ) ( ) [ ( ) ] ( )
Remplazando ( ) en ( ), se obtiene: ( ) [ ( ) ]
0
1
2
3
n-2
n-1
n
A
Vf
i

12
[ ( ) ] ( ) ( ⁄ ) ( )
Ejemplo 8.
De cuánto deberá ser el ahorro mensual de una persona que proyecta adquirir una casa de $100´000.000 dentro de cinco años, si la fiducia le asegura una tasa de interés efectiva mensual del 0,7%.
Solución
Parámetros
o Valor futuro: $100´000.000
o Numero de pagos: 5 años = 60 meses (inicia un mes después de tomar la decisión)
Cálculos
Para determinar los pagos del ahorro ( ⁄ ) se aplica directamente la formula (26), considerando la tasa efectiva de interés mensual: [ ( ) ]
[ ( ) ]
Respuesta
Se deberá realizar un ahorro de $ mensual
0
1
2
3
58
59
60
A= ¿?
Vf =100´000.000
i = 0,7 EM

13
1.4 Valor futuro de la Anualidad
De la formula (26) se puede determinar el valor futuro en función de los pagos, así: [ ( ) ] ( ) ( ⁄ ) ( )
Ejemplo 7.
Un padre de familia quiere conocer de cuánto dispondrá para la educación superior de su hijo, si inicia un ahorro mensual de 300.000, un mes antes de que cumpla 10 años y hasta cuando cumpla 18, edad en la cual estima iniciara los estudios universitarios; la fiducia donde se realiza el ahorro asegura una de interés del 10% N-m
Solución
Parámetros
o Valor de los pagos: $300.000
o Numero de pagos: 8 años = 96 meses
Cálculos
Para determinar el valor futuro del ahorro ( ⁄ ) inicialmente se debe hallar la tasa de interés efectiva mensual, para esto se aplica la formula (15), considerando que la tasa de interés que ofrece la fiducia esta expresa en nominal:
Con esta tasa de interés efectiva se puede calcular, ( ⁄ ), para lo cual se aplica directamente la formula (28), considerando la tasa efectiva de interés mensual:
0
1
2
3
94
95
96
A= 300.000
Vf =¿?
j = 10% N-m

14
[ ( ) ]
[ ( ) ]
Respuesta
El Padre de familia dispondrá de $ cuando su hijo cumpla 18 años
1.5 Número de pagos con base en el valor futuro
Si se conocen el , los pagos , y la tasa de interés , de la ecuación (28) se puede determinar el valor de ; es decir, el número de pagos. Lo mismo se podría hacer a partir de la ecuación (23) cuando se conocen , los pagos , y la tasa de interés . A continuación se deduce la formula para calcular el valor de , a partir de la ecuación (28). [ ( ) ] ( ) ( )
Aplicando logaritmo en ambos lados de la ecuación se obtiene: ( ( ) ) ( )
Por propiedades de los logaritmos, se obtiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Despejando , se obtiene: ( ) ( ) ( )

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Ejemplo 8.
Cuántos pagos semestrales de $600.000 deberá realizar un padre de familia para pagar la universidad de su hijo que en futuro estima le costará $4´500.000; el banco reconoce por este tipo de ahorros una tasa de interés del 7% N-s
Solución
Parámetros
o Valor futuro: 4´500.000
o Tasa de interés: 7% N-s
Cálculos
Inicialmente se hallar la tasa de interés efectiva semestral aplicando la formula (15), considerando que la tasa de interés nominal que cobra el banco:
Con esta tasa de interés efectiva, el valor futuro , y el valor de los pagos se puede determinar el valor de para lo cual se aplica directamente la formula (30), considerando la tasa efectiva de interés semestral: ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Esta respuesta indica que deben hacerse 6,77 pagos semestrales. No obstante, desde el punto de vista practico el ahorrador (deudor) tiene dos opciones:
a) Terminar de ahorrar (pagar) en el semestre 6, aumentando el último pago
0
1
2
3
n-2
n-1
n
A= 600.000
Vp=4´500.000
j = 7% N-s

16
b) O terminar de ahorrar (pagar) en el semestre 7, disminuyendo el ultimo pago
Respuesta
Se deben realizar 6 o 7 pagos.
1.6 Número de pagos con base en el valor presente
Si se conocen el , los pagos , y la tasa de interés , de la ecuación (23) se puede determinar el valor de ; es decir, el número de pagos. A continuación se deduce la fórmula para calcular el valor de , a partir de la ecuación (23). [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( ) ( )
Aplicando logaritmo en ambos lados de la ecuación, se obtiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Ejemplo 9.
Cuántos pagos semestrales de $600.000 deberá realizar un padre de familia para pagar la universidad de su hijo que hoy día cuesta $4´500.000; el banco cobra tasa de interés del 3,5% ES
Solución
Parámetros
o Valor presente: 4´500.000
o Tasa de interés: 3,5% ES

17
Cálculos
El número de pagos se puede calcular directamente de la formula (31), considerando la tasa efectiva de interés semestral: ( ) ( )
( ) ( )
Esta respuesta indica que deben hacerse 8,85 pagos semestrales. No obstante, desde el punto de vista practico el ahorrador (deudor) tiene dos opciones:
a) Terminar de ahorrar (pagar) en el semestre 8, aumentando el último pago
b) O terminar de ahorrar (pagar) en el semestre 9, disminuyendo el último pago
Respuesta
Se deben realizar 8 o 9 pagos.
1.7 Tasa efectiva de interés a partir del valor presente
Cuando se tienen los demás elementos de la anualidad, es decir: el valor presente o valor futuro , el valor y numero de pagos se puede determinar el valor de la tasa de interés a partir de la formula (23) o (28). No obstante por tratarse de ecuaciones con más de una raíz, no es posible hallar la solución analíticamente; por esta razón se debe utilizar un método de tanteo y error. [ ( ) ]
0
1
2
3
n-2
n-1
n
A= 600.000
Vp=4´500.000
i = 3,5% ES

18
[ ( ) ]
La forma de proceder en estos casos, es la siguiente:
a) Se asigna un valor inicial a la tasa de interés y se calcula la ecuación.
b) Si el valor es menor que la igualdad entonces se disminuye la tasa y se vuelve a calcular, en caso contrario se aumenta la tasa y se vuelve a calcular
c) Cuando se logre determinar dos valores, uno mayor y otro menor, suficientemente aproximados a los valores de la igualdad, se procede a calcular la tasa de interés por interpolación.
Con el siguiente ejemplo se ilustra el anterior procedimiento:
Ejemplo 10.
Si una compañía de pensiones ofrece, por un pago inmediato de $90 millones, una renta de $5 millones durante 30 años. ¿Qué tasa de interés está reconociendo?
Solución
Parámetros
o Valor presente: 90´000.000
o Valor de los pagos: $5´000.000
o Numero de pagos: 30 anuales
Cálculos
Para determinar la tasa de interés se parte de la formula (23): [ ( ) ]
0
1
2
3
28
29
30
A= 5´000.000
Vp=90´000.000
i = ¿? EA

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De acuerdo al procedimiento descrito se le da valor inicial a la tasa (efectiva anual) y se calcula el valor del lado derecho, así para un valor de , se obtiene:
Considerando que el valor de la derecha es mucho mayor al lado izquierdo, aumentamos el valor de y se vuelve a calcular. En este caso se calcula para , obteniendo:
Considerando que el valor de la derecha es mayor al lado izquierdo, aumentamos el valor de y se vuelve a calcular. En este caso se calcula para , obteniendo:
Considerando que en este caso el valor de la menor al lado derecho, se puede concluir que la tasa de interés está entre 3% y 4%. El valor exacto se calcula por interpolación como se indica a continuación:
98´002.206,75
3%
90´000.000
X
86´460.166,50
4%
Aplicando una sencilla regla de tres: si para una diferencia entre 98´002.206,75 y 86´460.166,50, existe una diferencia del 1%; que diferencia en % habrá para diferencia entre 98´002.206,75 y 90´000.000, así se obtiene la fracción que sumada a 3% completa la tasa de interés.
Sumando el resultado a 3%, se obtiene la tasa de interés buscada: 3,693%
Este resultado se puede comprobar remplazando este valor en la ecuación (23) y verificando que se cumple la igualdad. [ ( ) ]
Respuesta
La compañía de pensiones reconoce una tasa efectiva anual de: 3,693%

20
2. Anualidades anticipadas
En los negocios es frecuente que los pagos se efectúen al comienzo de cada periodo; es el caso de los arrendamientos, ventas a plazos, y contratos de seguros, este tipo de operaciones financieras reciben el nombre de anualidades anticipadas.
Una anualidad anticipada es una sucesión de pagos o rentas que se efectúan o vencen al principio del periodo del pago. En la gráfica No 9 se comparan las anualidades vencidas y anticipadas
GRAFICA NO 9 – COMPARACIÓN DE ANUALIDADES VENCIDAS Y ANTICIPADAS
2.1 Valor presente de las anualidades anticipadas
Para la deducción del modelo matemático se considera una operación en la cual un préstamo se paga en cuotas iguales , a una tasa de interés efectiva por periodo , durante periodos, desde el periodo 0. La situación se muestra en la grafica No 10.
GRAFICA NO 10 – VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA
Si se analiza la operación se puede afirmar que el valor presente en este caso se puede determinar como la suma de y el valor presente de una anualidad durante n-1 periodos.
. . .
0
1
2
3
n-2
n-1
n
Anualidad Vencida
2
3
1
n-1
n
Anualidad Anticipada
0
1
2
3
n-2
n-1
n
A
푽 풑
i

21
[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( )
Ejemplo 11.
El contrato de arriendo de una oficina fija pagos de $4´000.000 mensuales al principio de cada mes, durante de un año. Si se supone un interés del 2,5% efectivo anual; ¿Cuál será el pago único al inicio del contrato que cubre todo el arriendo?
Solución
Parámetros
o Valor de los pagos anticipados: $4´000.000
o Numero de pagos: 12 mensuales
o Tasa de interés efectiva mensual: 2,5%
Cálculos
Para determinar el valor presente de la anualidad anticipada se aplica directamente la formula (32): [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]
Respuesta
El valor total del contrato al momento de su firma es:
0
1
2
3
10
11
12
A= 4´000.000
푉푝 =¿?
i = 2,5% EM

22
2.2 Valor futuro de las anualidades anticipadas
Para la deducción del modelo matemático se considera una operación en la cual un ahorro se paga en cuotas iguales , a una tasa de interés efectiva por periodo , durante periodos, desde el periodo 0. La situación se muestra en la grafica No 11.
GRAFICA NO 11 – VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA
Si se analiza la operación se puede afirmar que el valor futuro de la anualidad anticipada es igual al valor futuro de la anualidad durante n periodos (desde -1 hasta n-1) trasladada 1 periodo, ha través de la formula (11), hasta el periodo n. [ ( ) ]( ) ( )
Ejemplo 12.
Una empresa arrienda una bodega que tiene de sobra por $5´000.000 mensuales, los cuales se pagan de manera anticipada. Si cada que recibe el arriendo lo coloca en un fondo de inversiones que promete una tasa de interés del 2% EM. ¿Cuánto podrá retirar al cabo de un año?
Solución
Parámetros
o Valor de los pagos anticipados: $5´000.000
o Numero de pagos: 12 mensuales
o Tasa de interés efectiva mensual: 2%
0
1
2
3
n-2
n-1
n
A
푽 풇
i
-1

23
Cálculos
Para determinar el valor futuro de la anualidad anticipada se aplica directamente la formula (33): [ ( ) ]( ) [ ( ) ]( )
Respuesta
El valor ahorrado por el empresario al cabo de un año es:
3. Anualidades diferidas
Hasta el momento se ha considerado que el pago de las rentas se inicia inmediatamente después de que se plantea la operación; no obstante, existen transacciones donde los pagos o rentas se realizan después de haber pasado cierta cantidad de periodos, en estos casos la operación se denomina anualidad diferida. En la gráfica No 12 se ilustran este tipo de actividades.
GRAFICA NO 12 –ANUALIDAD DIFERIDA
0
1
2
3
10
11
12
A= 5´000.000
푉푓 =¿?
i = 2% EM
1
2
3
n-3
n-2
n-1
n
A
푽풑
i
0

24
3.1 Valor presente de las anualidades diferidas
En este caso se halla el valor presente de la anualidad en un periodo antes de iniciarse los pagos, utilizando para ello la formula (23), el valor hallado se traslada al periodo 0 utilizando para ello la formula (12)
Ejemplo 12.
Una empresa acepta que un cliente le pague el valor de una compra realizada el día de hoy, en seis cuotas mensuales de $800.000 a partir del séptimo mes. Si la empresa aplica una tasa efectiva de interés del 2,5% EM, ¿Cuál será el valor de la venta?
Solución
Parámetros
o Numero de pagos: 6 mensuales, a partir del mes 7
Cálculos
Para determinar el valor presente inicialmente calculamos el valor presente de la anualidad en el periodo 6, utilizando para ello la ecuación (23): [ ( ) ] [ ( ) ]
Este valor se traslada al periodo 0, para esto se utiliza la formula (12)
1
2
3
7
8
9
10
800.000
푽풑 ¿?
i = 2,5%
0
11
12

25
( ) ( )
Respuesta
El valor de la venta realizada por la empresa es:
3.2 Valor futuro de las anualidades diferidas
En este caso se halla el valor presente de la anualidad un periodo antes de iniciarse los pagos, utilizando para ello la formula (23), el valor hallado se traslada al periodo n utilizando para ello la formula (11)
Ejemplo 13.
Si un padre inicia un ahorro mensual de $50.000, cuando su hijo cumple 1 año, ¿Cuál será el valor ahorrado, cuando este cumpla 18 años, si el banco donde hace el deposito le reconoce un interés anual del 0,6% EM?
Solución
Parámetros
o Numero de pagos: 204 mensuales, a partir del mes 12
Cálculos
Para determinar el valor futuro inicialmente calculamos el valor presente de la
1
11
12
211
212
213
214
50.000
푽풇 ¿?
i = 0,6%
0
215
216

26
anualidad en el periodo 11, utilizando para ello la ecuación (23): [ ( ) ] [ ( ) ]
Este valor se traslada al periodo 216, para esto se utiliza la formula (11) ( ) ( )
Respuesta
El valor del ahorro cuando el hijo cumpla 18 años es :
4. Anualidades perpetuas
Cuando el número de pagos de una anualidad es muy grande, o cuando no se conoce con exactitud la cantidad de pagos se dice que la anualidad es perpetua.
Al deducirse los modelos matemáticos se debe tener en cuenta que solo existe el valor presente ya que por tratarse de una anualidad perpetua el valor futuro de este tipo de anualidades sería infinito.
Partiendo del valor presente de la anualidad formula (23) se puede hallar el limite cuando n tiende a infinito, teniendo en cuenta la definición de anualidad perpetua. [ ( ) ] im A →∞ [ ( ) ] im →∞ ( )
Ejemplo 14.
El consejo municipal de Santa Fe de Antioquia resuelve crear un fondo para proveer a perpetuidad las reparaciones del puente colonial de esa población que se estima tendrá un costo anual de $91 millones de pesos, doce años después de una reparación general. ¿Cuánto se deberá colocar en el fondo al momento de terminar la reparación general, si

27
la tasa de interés de colocación del mercado es del 7% anual?
Solución
Parámetros
o Valor de los pagos: $91 millones
o Numero de pagos: infinitos, a partir del año 12
o Tasa de interés efectiva anual: 7%
Cálculos
Lo que habrá que depositar en el fondo será igual al valor presente de la anualidad perpetua calculada en el año 11, para lo cual se utiliza la formula (34), y este valor trasladado al momento 0, que es donde se supone se termino la reparación general, para esto se utiliza la formula (12): ( ) ( )
Respuesta
En el fondo se deben colocar:
1
11
12
13
14
15
n-2
91 millones
푽풑 ¿?
i = 7% EA
0
n-1
∞

28
5. Gradientes
Son operaciones financieras en las cuales se pacta cubrir la obligación en una serie de pagos periódicos crecientes o decrecientes que cumplen con las siguientes condiciones:
 Los pagos cumplen con una ley de formación
 Los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo
 A todos los pagos (rentas) se les aplica la misma tasa de interés
 El número de pagos y periodos pactados es igual
La ley de formación, la cual determina la serie de pagos, puede tener un sinnúmero de variantes; no obstante, en la vida cotidiana las más utilizadas son el gradiente aritmético y el geométrico; las cuales a su vez pueden generar cuotas crecientes o decrecientes.
Como el lector ya lo habrá deducido, las anualidades son casos particulares de los gradientes donde el crecimiento es cero, lo que causa que los pagos sean todos iguales; entonces igual que el caso de la anualidad los modelos matemáticos que se deducen para el cálculo y análisis de los gradientes tienen en cuenta las anteriores condiciones por lo cual, es necesario que al momento de aplicarse las formulas a situaciones particulares, se asegure que se cumplan dichas condiciones
5.1 Gradiente aritmético
Para el gradiente aritmético, la ley de formación indica que cada pago es igual al anterior, más una constante ; la cual puede ser positiva en cuyo caso las cuotas son crecientes, negativa lo cual genera cuotas decrecientes. En el caso de que la constante sea cero, los pagos son uniformes, es decir se tiene el caso de una anualidad.
5.1.1 Ley de formación
Considerando que los pagos en cada periodo serán diferentes, entonces estos se identificaran con un subíndice que indica el consecutivo del pago.
De acuerdo a la ley de formación, en este caso, cada pago será igual al anterior más una constante, así como se muestra a continuación:

29
푃 ( )
5.1.2 Valor presente de un gradiente aritmético
Para la deducción del modelo matemático se considera una operación en la cual un préstamo se paga en una serie de cuotas formada a través de un gradiente aritmético, a una tasa de interés efectiva por periodo , durante periodos. La situación se muestra en la grafica No 13.
GRAFICA NO 13 – VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMÉTICO
Para calcular el valor presente se utiliza la formula (12), considerando cada valor de las cuotas y sumando todos los resultados en 0. ( )
0
1
2
3
n-2
n-1
n
푨ퟏ
Vp
i
푨ퟏ 풌
푨ퟏ ퟐ풌
푨ퟏ (풏 ퟑ)풌
푨ퟏ (풏 ퟐ)풌
푨ퟏ (풏 ퟏ)풌

30
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Rescribiendo la ecuación se obtiene el siguiente resultado:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
De la anterior expresión se puede concluir que la primera parte, las fracciones con numerador corresponde al valor presente de la anualidad y que las otras expresiones tienen como factor común K; de esta forma la ecuación se puede escribir como:
[ ( ) ] [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( )
Supongamos que el factor de es igual , es decir: [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]
Si multiplicamos la ecuación anterior por ( ), entonces se obtiene: ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )( )]
Si se resta ( ) de , se obtiene: ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )( )] [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( )

31
[ ( ) ] ( ) ( )
Remplazando (b) en (a), se obtiene: [ ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( )
Ejemplo 15.
Un padre de familia esta dispuesto a realizar el ahorro que se muestra en la grafica; de cuánto debería ser la inversión hoy para igualar dicho ahorro, sí el banco reconoce una tasa de interés del 5% semestral.
Solución
Parámetros
o Valor del pago inicial: $800.000
o Numero de pagos: 6 semestrales
o Tasa de interés efectiva anual: 5% ES
o El gradiente tiene un crecimiento de $200.000, es decir
Cálculos
Para hallar el equivalente del ahorro se debe calcular el valor presente del gradiente, para lo cual se utiliza la formula (35): [ ( ) ] [ ( ) ( ) ]
0
1
2
3
4
5
6
ퟖퟎퟎ ퟎퟎퟎ
Vp = ¿?
i =5%
ퟏ ퟎퟎퟎ ퟎퟎퟎ
ퟏ ퟐퟎퟎ ퟎퟎퟎ
ퟏ ퟒퟎퟎ ퟎퟎퟎ
ퟏ ퟔퟎퟎ ퟎퟎퟎ
ퟏ ퟖퟎퟎ ퟎퟎퟎ

32
[ ( ) ] [ ( ) ( ) ]
Respuesta
El valor equivalente del ahorro al día de hoy es:
5.1.3 Valor futuro de un gradiente aritmético
Para hallar el valor futuro ( ), basta remplazar el valor presente ( ) del gradiente, formula (37), en la formula (11). ( ) [ ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] ( )
Ejemplo 15.
¿Qué valor recibirá una persona que realiza el ahorro semestral que se indica en la gráfica? El banco donde se realiza el ahorro reconoce una tasa de interés del 6% semestral.
Solución
Parámetros
o Valor del pago inicial: $800.000
0
1
2
3
4
5
6
ퟖퟎퟎ ퟎퟎퟎ
Vf = ¿?
i
ퟏ ퟑퟎퟎ ퟎퟎퟎ
ퟏ ퟖퟎퟎ ퟎퟎퟎ
ퟐ ퟑퟎퟎ ퟎퟎퟎ
ퟐ ퟖퟎퟎ ퟎퟎퟎ
ퟑ ퟑퟎퟎ ퟎퟎퟎ

33
o Tasa de interés efectiva anual: 6% ES
o El gradiente tiene un crecimiento de $500.000, es decir
Cálculos
Para hallar el valor final del ahorro se debe calcular el valor futuro del gradiente , para lo cual se utiliza la formula (38): [ ( ) ] [ ( ) ]
[ ( ) ] [ ( ) ]
Respuesta
El valor final del ahorro es:
5.1.4 Valor presente de un gradiente aritmético infinito
Cuando se habla de pagos de gradientes matemáticos infinitos, solo tiene sentido hablar del valor presente, como equivalente de dichos pagos. La principal aplicación de dicha serie es el cálculo del costo de capital.
GRAFICA NO 14 – VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMÉTICO INFINITO
Modelo matemático
0
1
2
3
4
…
∞
푨ퟏ
Vp = ¿?
i
푨ퟐ
푨ퟑ
푨ퟒ

34
Planeando la ecuación de valor de la serie se obtiene: im →∞ [ [ ( ) ] [ ( ) ( ) ]] im →∞ [ ( ) ] im →∞ [ ( ) ] im →∞ [ ( ) ] [ ] ( )
Ejemplo 16.
¿Qué valor deberá cancelar una persona un año antes de su retiro para recibir anualmente una pensión de 30 millones, la cual se incrementara 2 millones cada año? El fondo de pensiones reconoce una tasa de interés del 6,5% anual.
Solución
Parámetros
o Valor del pago inicial: $30´000.000
o Numero de pagos: infinitos
o Tasa de interés efectiva anual: 6,5% EA
o El gradiente tiene un crecimiento de $2´000.000, es decir
Cálculos
Para hallar el valor inicial que debe colocar la persona se debe calcular el valor presente del gradiente infinito , para lo cual se utiliza la formula (37):
0
1
2
3
4
…
∞
ퟑퟎ ퟎퟎퟎ ퟎퟎퟎ
Vp = ¿?
i = 6,5 %
ퟑퟐ ퟎퟎퟎ ퟎퟎퟎ
ퟑퟒ ퟎퟎퟎ ퟎퟎퟎ
ퟑퟔ ퟎퟎퟎ ퟎퟎퟎ

35
( )
Respuesta
El futuro pensionado deberá cancelar :
5.2 Gradiente geométrico
Para el gradiente aritmético, la ley de formación indica que cada pago es igual al anterior, multiplicado por una constante (1+G); si G es positiva el gradiente será con cuotas crecientes, si G es negativo el gradiente será decreciente y si G es igual a 0, los pagos son uniformes, es decir se tiene el caso de una anualidad.
5.2.1 Ley de formación
Considerando que los pagos en cada periodo serán diferentes, entonces estos se identificaran con un subíndice que indica el consecutivo del pago.
De acuerdo a la ley de formación, en este caso, cada pago será igual al anterior multiplicado por una constante, así como se muestra a continuación: 푃 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5.2.2 Valor presente de un gradiente geométrico
Para la deducción del modelo matemático se considera una operación en la cual un préstamo se paga en una serie de cuotas formadas a través de un gradiente

36
geométrico, a una tasa de interés efectiva por periodo , durante periodos. La situación se muestra en la grafica No 14.
GRAFICA NO 14 – VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO
Para calcular el valor presente se la ecuación de valor, para lo cual se utiliza la formula (12), considerando cada valor de las cuotas y sumando todos los resultados en 0. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Multiplicando la ecuación anterior por ( ) ( ) , se obtiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Restando ( ) de ( ), se obtiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
1
2
3
n-2
n-1
n
푨ퟏ
Vp
i
푨ퟏ(ퟏ 푮)
푨ퟏ(ퟏ 푮)ퟐ
푨ퟏ(ퟏ 푮)풏 ퟑ
푨ퟏ(ퟏ 푮)풏 ퟐ
푨ퟏ(ퟏ 푮)풏 ퟏ

37
[ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ] ( )
Si el valor presente es indeterminado; no obstante, esta situación se puede aclarar usando la regla de L´ôpital y derivando la expresión con respecto a ; así como se muestra a continuación: im → ( ) [ ( ) ( ) ] im → ( ) [ ( ) ( ) ] im → [ ( ) ( ) ] ( ) ( )
De ( ) y ( ) se puede concluir que:
( ) [ ( ) ( ) ]
( )
( )
Ejemplo 17.
¿Cuál será el valor hoy de una pensión de un trabajador que le pagaran durante su época de jubilación 24 pagos anuales iniciando en 2´000.000 y con incrementos del 10% anual? Suponga que se reconoce una tasa de interés del 7% EA
Solución
Parámetros

38
o Tasa de interés efectiva anual: 7% EA
o El gradiente tiene un crecimiento del 10% anual, es decir
Representación grafica
Cálculos
Para hallar el valor inicial de la pensión que se deberá pagar se aplica la formula (38) cuando , considerando que se trata de un gradiente geométrico con un crecimiento del 10%. ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ]
Respuesta
El valor presente de la pensión es :
Ejemplo 18.
¿Cuál será el valor hoy de una pensión de un trabajador que le pagaran durante su época de jubilación 24 pagos anuales iniciando en 2´000.000 y con incrementos del 10% anual? Suponga que se reconoce una tasa de interés del 10% EA
Solución
Parámetros
0
1
2
3
…
…
24
ퟐ ퟎퟎퟎ ퟎퟎퟎ
Vp = ¿?
i = 7 %
ퟐ ퟐퟎퟎ ퟎퟎퟎ
ퟐ ퟒퟐퟎ ퟎퟎퟎ
ퟏퟕ ퟗퟎퟖ ퟔퟎퟒ ퟖퟕ

39
o Tasa de interés efectiva anual: 10% EA
Cálculos
Para hallar el valor inicial de la pensión que se deberá pagar se aplica la formula (38) cuando , considerando que se trata de un gradiente geométrico con un crecimiento del 10%. ( ) ( )
Respuesta
El valor presente de la pensión es :
5.2.3 Valor futuro de un gradiente geométrico
Para hallar el valor futuro ( ), basta remplazar el valor presente ( ) del gradiente, formula (40), en la formula (11). ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]( )
0
1
2
3
…
…
24
ퟐ ퟎퟎퟎ ퟎퟎퟎ
Vp = ¿?
i = 7 %
ퟐ ퟐퟎퟎ ퟎퟎퟎ
ퟐ ퟒퟐퟎ ퟎퟎퟎ
ퟏퟕ ퟗퟎퟖ ퟔퟎퟒ ퟖퟕ

40
( ) [( ) ( ) ]
De otro lado, ( ) ( ) ( )
De esta manera,
( ) [( ) ( ) ]
( )
( )
Ejemplo 19.
¿Cuál será el valor final de un ahorro que se realiza durante 36 semestres iniciando con un pago de 3´000.000 e incrementos del 4%? Suponga que se reconoce una tasa de interés del 3,5% ES
Solución
Parámetros
o Tasa de interés efectiva semestral: 3,5% ES

41
Cálculos
Para hallar el valor final del ahorro se aplica la formula (39) cuando , considerando que se trata de un gradiente geométrico con un crecimiento del 4%. ( ) [( ) ( ) ] ( ) [( ) ( ) ]
Respuesta
El valor del ahorro es:
Ejemplo 20.
¿Cuál será el valor final de un ahorro que se realiza durante 36 semestres iniciando con un pago de 3´000.000 e incrementos del 4%? Suponga que se reconoce una tasa de interés del 4% ES
Solución
Parámetros
o Tasa de interés efectiva semestral: 4% ES
0
1
2
3
…
…
36
ퟑ ퟎퟎퟎ ퟎퟎퟎ
Vf = ¿?
i = 3,5%
ퟑ ퟏퟓퟎ ퟎퟎퟎ
ퟑ ퟑퟎퟕ ퟓퟎퟎ
ퟏퟔ ퟓퟒퟖ ퟎퟒퟔ ퟏퟎ

42
Cálculos
Para hallar el valor final del ahorro se aplica la formula (39) cuando , considerando que se trata de un gradiente geométrico con un crecimiento del 4%. ( )
( )
Respuesta
5.2.4 Valor presente de un gradiente aritmético infinito
Cuando se habla de pagos de gradientes geométricos infinitos, solo tiene sentido hablar del valor presente, como equivalente de dichos pagos. La situación se ilustra en la grafica No 16.
0
1
2
3
…
…
36
ퟑ ퟎퟎퟎ ퟎퟎퟎ
Vf = ¿?
i = 4%
ퟑ ퟏퟓퟎ ퟎퟎퟎ
ퟑ ퟑퟎퟕ ퟓퟎퟎ
ퟏퟔ ퟓퟒퟖ ퟎퟒퟔ ퟏퟎ

43
GRAFICA NO 16 – VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO INFINITO
Modelo matemático
De la ecuación ( ) para cuando , se obtiene: ( ) [ ( ) ( ) ] im →∞ ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) im →∞ [( ( ) ( ) ) ]
Si entonces la expresión ( ( ) ( ) ) es mayor que 1, y no tendrá límite cuando tiende a ∞.
Si entonces la expresión ( ( ) ( ) ) es menor que 1, y por consiguiente el límite será igual , cuando tiende a ∞. ( ) [ ] ( ) ( )
De la ecuación ( ) para cuando , se obtiene: im →∞ ( ) ( )
En este caso, no hay límite
0
1
2
3
4
…
∞
푨ퟏ
Vp = ¿?
i
푨ퟐ
푨ퟑ
푨ퟒ

44
De ( ) y ( ) entonces se puede escribir el valor presente de un gradiente geométrico infinito, como:
( )
( )
∞
Ejemplo 21.
¿Cuál será el valor de la prima de un seguro que pretende realizar pagos de forma indefinida, iniciando en 4´000.000 con incrementos mensuales del 1%? Suponga que se reconoce una tasa de interés del 1,5% EM
Solución
Parámetros
o Tasa de interés efectiva mensual: 1,5% EM
o El gradiente tiene un crecimiento del 1% mensual, es decir
Cálculos
Para hallar el valor de la prima del seguro se debe calcular el valor presente de la serie infinita de la formula (42), considerando que ≤ , y teniendo en cuenta que se trata de un gradiente geométrico con un crecimiento del 1%.
0
1
2
3
… ∞
ퟒ ퟎퟎퟎ ퟎퟎퟎ
Vp = ¿?
i = 1,5%
ퟒ ퟎퟒퟎ ퟎퟎퟎ
ퟒ ퟎퟖퟎ ퟒퟎퟎ

45
( )
( )
Respuesta

46
6. Ejercicios resueltos
6.1 Un padre de familia cuando su hijo cumple 12 años hace un depósito de $X en una fiduciaria con el objeto de asegurar sus estudios universitarios, los cuales se iniciara al cumplir 20 años. Se estima que para esa época el valor de la matrícula anual de la universidad va ser de $3´000.000 y no sufrirá modificaciones durante los seis años que duraran sus estudios, ¿Cuál deberá ser el valor del depósito $X? Suponga que la fiducia le reconoce una tasa de interés del 30% anual.
Solución
Parámetros
o Valor de los pagos: $3 millones
o Numero de pagos: 6, a partir del año 12
o Tasa de interés efectiva anual: 7%
Cálculos
Para calcular el deposito se calcula el valor presente 7 de la anualidad, aplicando la formula (23) y el resultado se traslada al periodo 0, es decir cuando el hijo cumple 12 años, utilizando la formula (12) [ ( ) ] [ ( ) ] ( )
13
19
20
21
22
23
24
3 millones
푽풑 ¿?
i = 30% EA
12
26
0
1
7 8 9 10 11 12 13

47
( )7
Respuesta
El deposito que deberá hacer el padre de familia es:
6.2 Una pequeña empresa solicita un préstamo el día 1 de marzo de 2010 y acuerda efectuar pagos mensuales de $1´200.000, desde el 1 de octubre de 2010, hasta el 1 de agosto de 2011. Si el banco aplica una tasa de interés del 3.5% efectivo mensual, ¿Cuál será el valor del préstamo?
Solución
Parámetros
o Valor de los pagos: $1´200.000
o Numero de pagos: 11, a partir del 1 de octubre
Cálculos
Para calcular el préstamo se calcula el valor presente de la anualidad, aplicando la formula (23) y el resultado se traslada al periodo 0, es decir el 01 de marzo del 2010, utilizando la formula (12) [ ( ) ] [ ( ) ]
1´200.000
푽풑 ¿?
i = 3,5% EM
01.03.10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
01.10.10
01.08.11

48
( ) ( )
Respuesta
El préstamo será de:
6.3 Un inversionista que depositó el primero de abril de 2010, $10 millones, en un fondo que paga un interés del 6% N-s ¿Cuántos retiros semestrales de $800.000 podrá hacer, si el primer retiro lo hace el primero de abril de 2013?
Solución
Parámetros
o Tasa de interés: 6% N-s
o Periodos semestrales
Cálculos
Para calcular el número de retiros, inicialmente llevamos el deposito inicial hasta seis meses antes de iniciar lo retiros, es decir el 01 de abril del 2013; esto con el fin de configurar la anualidad, para esto se utiliza la formula (11)
Tasa de interés efectiva se calcula a partir de la formula (15)
Numero de periodos: 5 periodos (semestres)
800.000
푽풑 ퟏퟎ ퟎퟎퟎ ퟎퟎퟎ
j = 6% N-s
01.04.10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9… n …
01.04.11
01.04.12
01.04.13

49
( ) ( )
A partir de la anualidad configurada se puede calcular el numero de retiros (pagos) utilizando la formula (31)
( ) ( ) ( ) ( )
Respuesta
El inversionista podrá hacer: retiros semestrales de $800.000 y un veinteavo retiro por una fracción de los $800.000
6.4 Un trabajador deposita en un fondo de pensiones el día de hoy la suma de $1´000.000 y dentro de tres años $3´000.000; al final del año 5 comienza a hacer depósitos anuales de $5´000.000, durante 6 años, ¿Cuánto dinero podrá retirar anualmente en forma indefinida, comenzando al final del año 14? El fondo reconoce una tasa del 20% efectivo anual
Solución
Parámetros
o Valor de los pagos: 5´000.0000
o Tasa de interés: 20% EA
o Periodos anuales: 6
o Depósitos extras; año 1: 1´000.000, año 3: 3´000.000
A = ¿?
푽ퟎ ퟏ ퟎퟎퟎ ퟎퟎퟎ
i = 20% EA
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17… n
푽ퟑ ퟑ ퟎퟎퟎ ퟎퟎퟎ
푽푨 ퟓ ퟎퟎퟎ ퟎퟎퟎ

50
Cálculos
Para determinar el valor que trabajador puede retirar anualmente en forma indefinida se debe configurar la anualidad perpetua con valor presente en el periodo 13. Este valor se calcula, por su parte, como el valor futuro de la anualidad con pagos de $5´000.000, traslada al periodo 13, más el valor futuro, en este mismo periodo, de los ahorros de $1´000.000 y 3´000.000. Para calcular los valores futuros se utilizan las formulas (11) y (28).
( ) ( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ]( )
Para determinar el monto que puede retirar a perpetuidad, aplicamos la formula (34), despejando A
Respuesta
El trabajador podrá realizar retiros anuales de 23´013.807,71
6.5 Una empresa estudia el arriendo de una casa lote para sus operaciones. Su agente inmobiliario le presenta dos ofertas: una casa para la cual se estima un costo de mantenimiento de $2.000.000 anuales y de $3.000.000 cada 4 años para reparaciones mayores; de otro lado se ofrece una casa que requerirá de una suma de $3.000.000 anuales para mantenimiento y de $2.500.000 cada tres años para reparaciones adicionales. Si la casa-lote se va usar por tiempo indefinido y suponiendo que el costo de capital de la empresa es del 35% efectivo anual. ¿Cuál de las dos alternativas le aconsejaría tomar a la empresa?
Solución
Parámetros

51
o Casa No 1
o Anualidad mantenimiento: 2´000.0000 anual; anualidad de reparaciones $3´000.000 cada 4 años
o Casa No 2
o Anualidad mantenimiento: 3´000.0000 anual; anualidad de reparaciones $2´500.000 cada 3 años
o Periodos anuales: perpetuo
En la siguientes gráficas se representan las dos alternativas:
Casa No1
Casa No2
Cálculos
Para determinar la mejor alternativa; se compara el valor presente de ambas alternativas. El calculo del valor presente se realiza aplicando la formula (34) y considerando que ambos casos el valor presente es la suma de las dos anualidades en el periodo cero (0)
Casa No1
푨ퟐ ퟑ ퟎퟎퟎ ퟎퟎퟎ
i = 35% EA
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12… n
푨ퟏ ퟐ ퟎퟎퟎ ퟎퟎퟎ
푨ퟐ ퟐ ퟓퟎퟎ ퟎퟎퟎ
i = 35% EA
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12… n
푨ퟏ ퟑ ퟎퟎퟎ ퟎퟎퟎ

52
Para la anualidad de cada cuatro años se debe determinar la tasa efectiva equivalente partiendo de la tasa efectiva anual, para ello se utiliza la formula (16), considerando que es igual a 1 y es ( ) ( )
Considerando esta tasa de interés se puede ahora calcular el valor presente de la alternativa, como sigue:
Casa No2
Para la anualidad de cada tres años se debe determinar la tasa efectiva equivalente partiendo de la tasa efectiva anual, para ello se utiliza la formula (16), considerando que es igual a 1 y es ( ) ( )
Considerando esta tasa de interés se puede ahora calcular el valor presente de la alternativa, como sigue:
Respuesta
El valor presente de la segunda alternativa es mucho mayor que el de la primera por lo cual la mejor opción será la casa No1

53
6.6 Con una tasa de interés del 24% N-t, ¿Cuál debe ser el valor de los pagos semestrales vencidos que, hechos por 10 años, amortizarán una deuda de $120´000.000?
Solución
Parámetros
o Valor presente o actual: $120´000.000
o Tasa de interés: 24% N-t
o Periodos semestrales: 20
Cálculos
Considerando que se trata de pagos semestrales es necesario determinar la tasa de interés efectivo semestral a partir de la tasa nominal trimestral dada. Para esto, inicialmente se halla la tasa efectiva trimestral a partir de la nominal, utilizando para ello la formula (15)
A partir de esta tasa se halla la tasa efectiva semestral, utilizando para ello la formula (16), considerando que es igual a 4 y es ( ) ( )
Considerando esta tasa de interés se puede ahora calcular los pagos de la anualidad, utilizando para ello la formula (25), como sigue:
[ ( ) ] [ ( ) ]
Respuesta
Las cuotas semestrales para pagar la deuda son de
i = 24% N-t
0 1 2 3 4 5 6 7 8… 16 17 18 19 20
푨 ¿?

54
6.7 Con una tasa de interés del 24% N-t, ¿Cuál debe ser el valor de los pagos semestrales anticipados que, hechos por 10 años, amortizarán una deuda de $120´000.000?
Solución
Parámetros
o Valor presente o actual: $120´000.000
o Tasa de interés: 24% N-t
o Periodos semestrales: 20
Cálculos
Considerando que se trata de pagos semestrales es necesario determinar la tasa de interés efectivo semestral a partir de la tasa nominal trimestral dada. Para esto, inicialmente se halla la tasa efectiva trimestral a partir de la nominal, utilizando para ello la formula (15)
A partir de esta tasa se halla la tasa efectiva semestral, utilizando para ello la formula (16), considerando que es igual a 4 y es ( ) ( )
Considerando esta tasa de interés se puede ahora calcular los pagos de la anualidad, despejando A de la formula (32), como sigue:
i = 24% N-t
0 1 2 3 4 5 6 7 8… 16 17 18 19 20
푨 ¿?

55
[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ]
Respuesta
Las cuotas semestrales anticipadas para pagar la deuda son de
6.8 Un señor desea comprar una póliza de seguro que garantice a su esposa el pago de $4´000.000 mensuales durante 10 años y adicionalmente $5´000.000 al final de cada año durante este mismo período. Si el primer pago se efectúa al mes del fallecimiento del señor, hallar el valor de la póliza de seguro suponiendo que la compañía de seguros garantiza el 24% N-m
Solución
Parámetros
o Anualidad 1: $4´000.000 mensuales durante 120 meses
o Anualidad 2: $5´000.000 anuales durante 10 años
Cálculos
El valor de la póliza corresponde al valor presente de la suma de las dos anualidades. Para realizar el cálculo se requiere hallar la tasa efectiva de interés
i = 24% N-m
0 1 2 3… 12 13… 24… 36… 48… 117 118 119 120
푨ퟏ ퟒ ퟎퟎퟎ ퟎퟎퟎ
푨ퟐ ퟓ ퟎퟎퟎ ퟎퟎퟎ

56
anual y mensual equivalente a la tasa nominal dada.
Tasa efectiva mensual
Tasa efectiva anual
A partir de esta tasa efectiva mensual se halla la tasa efectiva anual, utilizando para ello la formula (16), considerando que es igual a 12 y es ( ) ( )
Considerando estas tasas de interés se puede ahora calcular los valores presentes de las anualidades y sumarlos para obtener el valor de la póliza. Para esto se utiliza la formula (23), como sigue:
[ ( ) ]
Anualidad mensual [ ( ) ]
Anualidad anual [ ( ) ]
Valor de la póliza:
Respuesta
El valor de la póliza es:

57
6.9 Una pequeña empresa acuerda con su banco un préstamo el cual se pagara en 12 cuotas mensuales. Si el primer pago es de $6´000.000 y los pagos sucesivos disminuyen cada uno en $800.000
a) ¿Cuál será el valor del último pago?
b) ¿Cuál será el valor final de los pagos, suponiendo una tasa del 36% N-m?
Solución
Parámetros
o Pagos mensuales decrecientes, con y
Cálculos
Para calcular el pago en el periodo 12, se utiliza la ley de formación del gradiente matemático considerando y . ( ) ( )
Para realizar el cálculo del valor final se requiere hallar inicialmente la tasa efectiva de interés mensual equivalente a la tasa nominal dada.
Tasa efectiva mensual
Considerando la tasa de efectiva mensual se puede ahora calcular el valor final de
i = 36% N-m
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
푨ퟏ ퟔ ퟎퟎퟎ ퟎퟎퟎ 풚 푲 ퟖퟎퟎ ퟎퟎퟎ
푨ퟏ ퟐ ퟖퟎퟎ ퟎퟎퟎ

58
los pagos. Para esto se utiliza la formula (36), como sigue:
[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]
Respuesta
El valor de la póliza es:
6.10 Hallar el valor de $X en el flujo de caja que se muestra en la gráfica, considerando una tasa de interés efectiva del periodo del 30%
Solución
Parámetros
o Tasa de interés: 30% E
o Pagos mensuales crecientes, con y
Cálculos
El Valor de X será equivalente al valor de la serie gradiente aritmética que inicia en el periodo 2, valorada en el periodo 5, más el valor futuro en el periodo 5 de los valores de los periodos 1 y 2.
Lo primero es hallar el valor presente de la serie gradiente en el periodo 2, una vez hallado, este se lleva al periodo 5. Para calcular el valor presente del gradiente
80.000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
100.000
120.000
220.000
200.000
180.000
160.000
140.000
X

59
se utiliza la formula (35), considerando que
[ ( ) ] [ ( ) ( ) ]
[ ( ) ] [ ( ) ( ) ]
Para hallar el valor futuro del valor anterior en el periodo 5, aplicamos la formula (11), considerando 3 periodos y la tasa de interés efectiva del periodo ( ) ( ) ( )
Para hallar el valor futuro de los valores de los periodos 1 y 2 se aplica igualmente la formula (11)
( )
( ) ( )
( ) ( )
El valor de X, será igual a la suma de ( ), ( ) y ( )
Respuesta
El valor de X es:
6.11 Hallar el primer pago de un gradiente aritmético creciente en $300.000, que tenga 50 pagos y que sea equivalente a 50 pagos que crecen un 20%, con primer pago de $1´000.000, suponga una tasa del 20%

60
Solución
Parámetros
o Serie gradiente aritmética, con ¿? y , y
o Serie gradiente geométrica, con y y
Cálculos
Para hallar el primer pago de la serie aritmética con y pagos; se debe hallar primero el valor presente de la serie geométrica con y un . Para esto se aplica la formula (38), considerando que
( )
( )
Considerando que el gradiente aritmético es equivalente, entonces el valor presente debe ser igual al del gradiente geométrico; con esto y sabiendo el numero de pagos, interés y valor del incremento, utilizando la formula (35), se puede despejar el valor de [ ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ( ) ]
Respuesta
El valor de la primera cuota del gradiente aritmético es:
6.12 Con interés efectivo del 14% hallar el valor final de la siguiente serie.
Periodo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Valor
300
500
700
900
1.100
1.300
1.000
700
400
100
-200
-500

61
Solución
En la tabla se identifican dos series
a) La primera es una serie aritmética creciente que se inicia en el periodo 0 y termina en el periodo 6, con y
b) La segunda es una serie aritmética decreciente que se inicia en el periodo 6 y termina en el periodo 12, con y
Cálculos
El Valor final será igual a la suma de las dos series creciente y decreciente valoradas en el periodo 12. Para calcular el valor final se utiliza la formula (36) y la formula (11)
[ ( ) ] [ ( ) ] ( )
Primera serie
El valor final de esta serie en el periodo 6, es:
[ ( ) ] [ ( ) ]
Considerando que se requiere el valor equivalente en el periodo 12, se halla el valor futuro del anterior valor en 12 utilizando la formula (11) ( ) ( )
Segunda serie
El valor final de esta serie en el periodo 12, es:
[ ( ) ] [ ( ) ] ( )
El valor de la serie será igual , es decir:

62
Respuesta
El valor final de la serie será:
6.13 Con interés efectivo del 6% hallar el valor presente de la siguiente serie.
Periodo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Valor
60
60
60
60
72
86,4
103,68
124,42
149,3 + 9,4
179,16
215
Solución
En la tabla se identifica lo siguiente:
a) Una anualidad con pagos , iniciando en el periodo y terminando en
b) Una serie gradiente geométrica creciente que se inicia en el periodo y termina en el periodo , con y
c) Un pago de 9,4 en el periodo 9
Cálculos
El valor presente de la serie será igual a la suma del valor presente de la anualidad, más el valor de la serie geométrica valorada en 0, más el valor presente del pago realizado en el periodo 9.
Anualidad
Para calcular el valor presente en 0 de la anualidad se utiliza la formula (23), considerando , y la tasa de interés efectiva del periodo
[ ( ) ] [ ( ) ] ( )
Gradiente geométrico
Para valorar el gradiente en el periodo 0, inicialmente se calcula el valor presente en 4 el gradiente utilizando la formula (38), considerando que , seguidamente para este valor se calcula el equivalente en 0, utilizando la formula () ( ) [ ( ) ( ) ]

63
( ) [ ( ) ( ) ]
Para hallar el valor en el periodo 0, se utiliza la formula (12), considerando 4 periodos ( )
( ) ( )
Pago periodo 9
El valor presente del pago del periodo 9, se calcula utilizando la formula (12)
( )
( ) ( )
El valor de la serie será igual a la suma de
Respuesta
El valor inicial de la serie será:
6.14 Hallar el valor presente de una serie infinita de pagos, si el primero corresponde a $1´000.000, son crecientes en un 10% y la tasa efectiva es del 8%.
Solución
Parámetros
o Serie gradiente creciente con y
Cálculos
Recordemos que en la formula (40) si el , entonces el valor presente del gradiente es infinito, considerando que este es el caso, entonces: ∞

64
( )
∞
Respuesta
El valor inicial de la serie será: ∞
6.15 ¿Cuál será el valor inicial equivalente de una serie infinita de pagos mensuales que crecen cada mes en $300.000, cuyo primer pago es de $2´000.000 y para el cual se reconoce una tasa del 2.5% efectivo mensual?
Solución
Parámetros
o Serie gradiente aritmética creciente con y
Cálculos
El valor equivalente inicial de una serie aritmética infinita se calcula utilizando la formula (37), considerando el primer pago, el gradiente y la tasa de interés.
( )
Respuesta
El valor inicial de la serie es:
6.16 Para el mantenimiento y preservación de la carretera de acceso a una vereda los vecinos de la región quieren establecer un fondo. Se estima que los trabajos para el próximo año tendrán un costo de 10 millones de pesos; y que este se incrementará todos los años en un 18%. Hallar el valor del fondo, suponiendo que la fiducia reconoce un interés del 28% efectivo anual
Solución

65
Parámetros
o Serie gradiente geométrica creciente con y
Cálculos
El valor del fondo será el valor inicial de la serie geométrica infinita de los pagos estimados para el mantenimiento y preservación, de esta forma el valor se calcula utilizando la formula (40), considerando que la tasa de interés es mayor que el gradiente.
( )
( )
Respuesta
Los vecinos deben establecer un fondo con un valor inicial de :
6.17 Una entidad financiera presta a un cliente $30 millones, con un interés del 34.8% N-m. El deudor tiene un plazo de 15 años para amortizar la deuda, mediante pagos mensuales. Suponiendo que la primera cuota es de $100.000 y vence al final del primer mes, ¿cuál debe ser el porcentaje de reajuste mensual de la cuota, para cancelar la deuda?
Solución
Parámetros
o Valor inicial
o Valor de la primera cuota:
o Numero de pagos: 180, mensuales
o Tasa de interés: 34.8% N-m
Cálculos
Para calcular el gradiente de la serie geométrica creciente, inicialmente se debe calcular la tasa de interés efectiva mensual, utilizando la formula (15); seguidamente se despejara de la formula (38), previendo que .

66
( ) [ ( ) ( ) ]
Considerando que se trata de una ecuación de orden con varias raíces de orden superior, la solución debe hacerse por tanteo y error. Después de hacer algunos tanteos se llega a un valor de 3,48%
Respuesta
La cuota debe tener un incremento mensual de:
6.18 A un pequeño empresario le ofrecen en comodato un restaurante durante un año, se le garantiza al menos la venta mensual de 6.000 almuerzos durante todo año; los cuales le serán pagados a razón de $5.000 cada uno, al final del año sin intereses. El empresario calcula que el costo de los insumos de cada almuerzo será de $2.000 los cuales deberán ser pagados al principio de cada mes. El valor de los insumos se estima tiene un incremento del 5% mensual. El costo mensual de mano de obra, la cual se considera permanecerá estable es de $2´500.000; además estima que requerirá hacer una inversión inicial de $10 millones para la adecuación del restaurante. Suponiendo un interés mensual del 3%. Calcular cuál será el valor de su ganancia en pesos de hoy
Solución
Parámetros
o Valor total de los almuerzos: 푃
o Costo de los insumos: con incrementos mensuales de (serie geométrica creciente con pagos anticipados)
o Costo de la mano de obra: (anualidad con pagos vencidos)
o Inversión inicial
o Tasa de interés: 3% EM
Cálculos
El valor de la ganancia será igual a los ingresos menos los egresos; valorados en el periodo 0 (en pesos de hoy).
Periodo 0 (en pesos de hoy)
Para hallar la ganancia se calcula los ingresos, costo de insumos y mano de obra en 0; no es necesario calcular el equivalente de la inversión, teniendo en cuenta que este pago se realiza en este mismo periodo.

67
Valor presente de los ingresos, se calculan utilizando la formula (12)
( )
( ) ( )
Valor presente de los insumos, considerando que se trata de un gradiente geométrico se utiliza la formula (38) teniendo en cuenta que el primer pago es: ( ) lo anterior considerando que se trata de pagos anticipados. A esta serie se le debe sumar el pago se hace en el periodo 0.
( ) [ ( ) ( ) ] ( )
Valor presente de la mano de obra, considerando que se trata de una anualidad se utiliza la formula (23), teniendo en cuenta que , e [ ( ) ]
[ ( ) ] ( )
La ganancia como se indico es igual a los ingresos ( ) menos el valor de los insumos ( ), menos el valor de la mano de obra ( ) y menos el valor de la inversión de
Respuesta
La utilidad a valores actuales que obtendrá el empresario es:

68
7. Ejercicios propuestos
7.1 Cuando su hijo cumple 10 años, un padre hace un depósito de $X en una fiduciaria a nombre de su hijo con el objeto de asegurar los estudios universitarios, los cuales iniciará cuando cumpla 18 años. Si la Fiducia reconoce una tasa de interés del 20% N-t y estimando que para esa época el valor de la matrícula anual en la universidad será de $2´500.000 y que permanecerá constante durante los seis años que duran los estudios; ¿Cuál deberá ser el valor del depósito?
7.2 Una persona quiere solicitar un préstamo bancario el día 1 de marzo del 2008; su capacidad económica solo le permite realizar pagos mensuales de $240.000, a partir del 1 de octubre del mismo año y hasta el 31 de diciembre del 2010. Si la entidad bancaria aplica una tasa de interés del 1,8% EM; ¿De qué valor deberá ser el préstamo?
7.3 Una persona próxima a pensionarse deposita en un fondo de inversión el 1 de mayo del 2000, la suma de $10´000.000. Si el fondo reconoce en promedio un interés del 36% N-s; ¿Cuántos retiros mensuales de $800.000 podrá hacer, a partir de la fecha de jubilación que se estima será el 1 de abril del 2006?
7.4 Un inversionista deposita hoy $1 millones, $3 millones en 2 años; al final del año 4 comienza a hacer depósitos semestrales de $800.000, durante 6 años; Si el fondo de inversiones le reconoce una tasa de interés del 12%EA; ¿Cuánto dinero podrá retirar mensualmente, en forma indefinida, comenzando al final del año 10?
7.5 Una empresa tiene dos alternativas para una instalación de producción: la primera de ellas requiere la suma de $2.500.000 mensuales como costo de mantenimiento y de $10´000.000 cada 4 años para reparaciones adicionales; de otro lado, la segunda alternativa requerirá de una suma de $3.000.000 mensuales para mantenimiento y de $12´500.000 cada tres años para reparaciones adicionales. Considerando que la instalación se usara por tiempo indefinido y que el costo de capital de la empresa es del 35% EA; ¿Cuál de las dos alternativas es más conveniente?
7.6 Si un banco aplica una tasa de interés del 24% N-t; ¿Cuál deberá ser el valor de los pagos semestrales vencidos, hechos durante un periodo de 10 años, para amortizar una deuda de $45´000.000?
7.7 Una entidad financiera presta a un cliente $300 millones, con un interés del 34.8% N. El deudor tiene un plazo de 20 años para amortizar la deuda, mediante pagos semestrales. Suponiendo que la primera cuota es de $2´000.000 y vence al final del primer semestre, ¿Cuál será el porcentaje de reajuste mensual de la cuota, para cancelar la deuda?
7.8 A un pequeño empresario le ofrecen en comodato un restaurante durante dos años, se le garantiza al menos la venta mensual de 10.000 platos durante todo año; los cuales le serán pagados a razón de $6.000 cada uno, al final del año sin

69
intereses. El empresario calcula que el costo de los insumos de cada almuerzo será de $2.000 los cuales deberán ser pagados al principio de cada mes. El valor de los insumos se estima tiene un incremento del 4% mensual. El costo mensual de mano de obra, la cual se considera permanecerá estable es de $3´500.000; además estima que requerirá hacer una inversión inicial de $50 millones para la adecuación del restaurante. Suponiendo un interés mensual del 3%. Calcular el valor de la ganancia en pesos al final del comodato.
7.9 Si un banco aplica una tasa de interés del 24% N-t; ¿Cuál deberá ser el valor de los pagos semestrales anticipados, hechos durante un periodo de 10 años, para amortizar una deuda de $45´000.000?
7.10 Un señor desea contratar una póliza de seguro que garantice a sus hijos el pago de $2´500.000 mensuales durante quince años y adicionalmente $5´000.000 al final de cada año durante ese periodo. Si el primer pago se realiza un mes después de la muerte del señor; ¿Cuál será el valor póliza? La compañía de seguros aplica una tasa de interés del 24% N-m
7.11 Una empresa metalmecánica tiene cuatro opciones para la compra de una maquinaria: el modelo A cuesta $300 millones; el modelo B, $500 millones, el C $700 millones y el modelo D, $900 millones. Si la persona puede hacer 42 pagos mensuales de máximo $30 millones comenzando al final del mes 6. ¿Cuál será el modelo más costoso que podrá comprar? Suponga una tasa del 24% N-m
7.12 Un filántropo ha creado una institución de caridad y desea asegurar su funcionamiento a perpetuidad. Se estima que esta institución necesita para su funcionamiento $10´000.000, al final de cada mes, durante el primer año; $12´000.000, al final de cada mes, durante el segundo año y $13´000.000, al final de cada mes, en forma indefinida. Suponiendo que la fiducia que administrara el dinero reconoce una tasa de interés del 30% N-m; ¿Cuál será el valor del depósito que deberá hacer el filántropo al inicio en la fiducia?
7.13 Un grupo de benefactores decide dotar un hospital de los equipos de laboratorio que requiere para operar. Se estima que el costo de los equipos el 1 de julio del 2011 es de $45´500.000 y que el costo de operación trimestral indefinidamente es de $3´000.000 a partir del primero del 1 de agosto, fecha en la cual entrará en funcionamiento. ¿Cuál debe ser el valor de la donación que se haga el 1 de enero del 2010 si el dinero es invertido inmediatamente en una fiduciaria que garantiza el 24% N-t?
7.14 Si se desea cancelar una deuda de $9´500.000 en pagos mensuales iguales durante tres años, el primero al final de mes, y además se efectuaran abonos anuales extraordinarios de dos y media veces la cuota mensual, comenzando al final del primer año; ¿De cuánto serán las cuotas mensuales y las extraordinarias? Suponga una tasa de interés del 36% N-b
7.15 Si una fiducia reconoce una tasa del 20% EA; ¿Qué es más conveniente para una institución de caridad recibir una renta perpetua de $4´800.000 cada 5 años

70
recibiendo el primer pago al final del cuarto año o recibir $2´000.000 anuales de renta perpetua comenzando al final del primer año?
7.16 Se quiere financiar la compra de un carro que tiene un costo de $47´000.000 mediante el pago de 60 cuotas mensuales vencidas; y cuotas anuales vencidas extraordinarias del 5% del valor total durante el periodo de vigencia del préstamo. Si la entidad financiera aplica una tasa de interés del 1,8 EM; ¿Cuál será el valor de las cuotas mensuales?
7.17 Una máquina llegará al final de su vida útil dentro de 2 años; para esa época se estima que una nueva costará $90´000.000; además que la máquina vieja podrá ser vendida en $20´000.000; ¿Qué ahorro trimestral debe hacer un empresario en una cuenta que paga el 30% N-m con el objeto de hacer la compra en el momento oportuno; si tiene previsto hacer el primer deposito al final del sexto mes?
7.18 Para cancelar una deuda un banco exige 12 pagos mensuales vencidos. Si el banco aplica una tasa de interés del 36% N-m y el primer pago es de $6´000.000, disminuyendo $800.000 por mes
a. ¿Cuál será el valor del último pago?
b. Al final; ¿Qué valor total se habrá pagado?
7.19 Si un Banco aplica una tasa de interés del 4% ES a un préstamo que se paga en 15 cuotas mensuales que decrecen linealmente en $40.000 y el primer pago es de $500.000; ¿Cuál será el valor del préstamo?
7.20 Para el siguiente flujo de caja, calcule el valor de X, si se aplica una tasa de interés del 25% N-b. Los periodos son meses.
Periodo
1
2
3
4
5
6
7
8
Valor
2.000
2.500
3.125
3.906,25
4.882,81
0
X
-50.000
7.21 Una persona quiere comprar un automóvil, que actualmente cuesta $40 millones; para tal fin, decide establecer un fondo mediante depósitos mensuales crecientes en un 10%. Si el primer depósito es de $500.000, el cual se hace al final del primer mes; ¿Cuánto tiempo le llevará reunir el dinero necesario para la compra, si el automóvil sube de precio cada mes un 1%? Suponga que los rendimientos pagados a los depósitos son el del 4% EM
7.22 ¿Cuántos pagos mensuales deben hacerse para cancelar una deuda de $20 millones, con intereses del 33% N-m? Suponga que la primera cuota es de $500.000 y que la cuota crece $50.000 mensualmente
7.23 Un benefactor quiere donar un monto de dinero que en un futuro sirva para operar el centro de urgencias de un Hospital. Si los costos de operación son inicialmente de $20´000.000 y se incrementan 3% cada mes; ¿Cuánto deberá depositar el benefactor, si la fiducia reconoce una tasa de interés del 8% EA?
7.24 Para mantener en buen estado la escuela de un pueblo, loa habitantes desean establecer una fiducia, para proveer recursos para las reparaciones futuras. Si se

71
estima una inversión inicial de $25´000.000 y que el costo de mantenimiento para el próximo año es de 10 millones; igualmente, se estima que este costo se incrementará todos los años en un 15%. Considerando que la fiducia reconocerá una tasa de interés del 22% EA; ¿Cuánto será el valor inicial que se deberá depositar en la fiducia?
7.25 ¿Qué suma de dinero debe ahorrar un padre de familia mensualmente en una entidad que reconoce interés racional y paga una tasa de interés simple del 21% anual, para dentro de seis meses pagar la matrícula de su hijo en la Universidad que tiene un costo de $3´000.000?

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