Aplicación de las derivadas

1. 1
Instituto Universitario de Tecnología
“Antonio José de Sucre”
Extensión San Cristóbal
APLICACIÓN DE LA DERIVADA
Alumna:
Karly Nieto
C.I: 27.601.386
Matemática I
Julio, 2021

2. 2
Introducción:
En primer lugar, es importante mencionar el origen de las derivadas, esta
surge del deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, que condujo a que
en el siglo XVII se diera la noción de lo que hoy en día es la derivada. El estudio de
las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen el cálculo
infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente en
el siglo XVII. En lo que concierne a las derivadas existen dos conceptos de tipo
geométrico que le dieron su principal origen, estos fueron el problema de la tangente
a una curva y el teorema de los extremos: máximos y mínimos; que en su conjunto
dieron origen a lo que modernamente se conoce como calculo diferencial. Ya
teniendo eso en cuenta, a continuación, se explicará sobre que es la derivada, su
aplicación y la gran importancia que esta tiene y ha contribuido en el mundo de las
matemáticas.

3. 3
Índice:
Introducción…………………………………………………………………………….2
Las derivadas………………………………………………………………………….4
Aplicación de las derivadas………………………………………………………..5-7
Ejemplos dentro de la vida cotidiana………………………………………………..7
Conclusión……………………………………………………………………………..8
Bibliografía…………………………………………………………………………….9

4. 4
¿Qué es la derivada?
La Derivada es un elemento utilizado en la matemática para calcular
respuestas de una función a la que se le están alterando sus valores iniciales. La
derivada de una función está representada gráficamente como una línea recta
superpuesta sobre cualquier curva (función), el valor de esta pendiente respecto al
eje sobre el cual está siendo estudiada la función recibe el nombre de Derivada. La
derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de
la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo
considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por
eso se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado.
Realmente las derivadas no fueron hechas solo para un punto de vista teórico
y que de esta forma los estudiantes puedan entender distintos temas de las
matemáticas, por el contrario, existe una gran variedad de aplicaciones importantes
de las derivadas dentro del día a día del ser humano. Las derivadas hallan un lugar
vital en la rama de las ingenierías, así mismo en la física y además se ha
demostrado que en los negocios y la economía, también están presentes. Así bien
ya se sabe que la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que
cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente.

5. 5
Algunas de las principales aplicaciones dentro de las derivadas son las
mencionadas a continuación:
✓ Se aplica: En aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que
se produce el cambio de una magnitud o situación.
✓ Dentro de la medicina: El concepto de derivada permite conocer
la evolución de ciertas enfermedades puesto que podemos modelizar el
número de bacterias, virus, células infectadas... y estudiar su ritmo de
crecimiento/decrecimiento al utilizar fármacos, comprobando así su
efectividad. Se puede estudiar la evolución de ciertas epidemias puesto que
podemos modelizar el número de enfermos en función del tiempo
transcurrido.
✓ Punto Crítico: El punto crítico tiene una cantidad vasta de aplicaciones que
incluyen la termodinámica, la física de la materia condensada, etc. Un punto
crítico es aquel donde la derivada de la función es cero, no existe en absoluto.
Si una sustancia dada se mantiene a una temperatura constante, entonces
su volumen V depende de la presión P. La compresibilidad isotérmica está
relacionada con la derivada del volumen respecto a la presión mediante la
siguiente fórmula:
✓ Determinación de valores mínimos y
máximos: A este proceso se le denomina optimización. Existen una serie de
problemas que requieren la determinación de los valores mínimos y máximos
de alguna función tal como la determinación del menor costo, aproximación
del menor tiempo, cálculo de mayor ganancia, etc. Puede existir un mínimo
local / punto máximo que se denomina mínimo relativo / máximo punto o

6. 6
mínimo global / máximo punto que se le llama como mínimo absoluto / punto
máximo. El máximo absoluto es uno, para todos los puntos del dominio de la
función. Mientras que un punto máximo relativo es uno, para todos los puntos
en un período abierto en las proximidades de x igual a c.
✓ Método de Newton: Una aplicación digna de notar de las derivadas es el
método de Newton, este es utilizado para rastrear las raíces de una ecuación
en una cascada de etapas para que en cada paso de la solución encontremos
una solución mejor y más adecuada como raíz de la ecuación. Este envuelve
también el uso de algunos términos de las Series Taylor. En términos llanos,
el método de Newton puede establecerse como.
✓ Aplicaciones en la Arquitectura: es frecuente trabajar con curvas
complejas (paraboloides, hiperboloides, superficies irregulares...) de las que
necesitamos obtener información relevante (máximos, mínimos, zonas de
concavidad y convexidad). También se utiliza la derivada (y la integral) para
calcular áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Para
resolver problemas de optimización (reducir costes de los materiales).
✓ En la economía y el comercio: Existe una gran cantidad de lugares en el
comercio donde las derivadas son requeridas. Dado que el objetivo final del
comercio es el de maximizar las ganancias y minimizar las pérdidas, la teoría
de máximos y mínimos puede utilizarse aquí para evaluar la respuesta
correcta y así aumentar la productividad total del comercio. También resulta
conveniente analizar el costo promedio de un artículo lo que puede ayudar al
aumento de la ganancia.

7. 7
✓ Aproximación lineal: En una serie de ramas de la física, como es el caso
de la óptica, la Aproximación lineal juega un papel vital. En este utilizamos
una función lineal con el fin de encontrar la aproximación de cualquier función
general. Esta es más comúnmente conocida como una aplicación de la recta
tangencial al gráfico de cualquier función lineal.
✓ Tasa de variación: Esta es la aplicación más utilizada de las derivadas.
Encuentra su aplicación en muchos problemas de la física. La tasa de
variación en la localización de un punto te dará la velocidad de ese punto. De
manera similar la tasa de cambio de la velocidad de un punto se conoce como
la aceleración del mismo. La velocidad de un punto se despeja como, aquí x
es el punto cuya velocidad será calculada y t representa el intervalo de
tiempo.
✓ La gráfica de dos dimensiones (La geometría): Se considera la derivada
como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto . Se puede
aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia
entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es
decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta
interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los
gráficos de funciones, tales como monotonía de una función (si es creciente
o decreciente) y la concavidad o convexidad. Por lo tanto, la derivada de la
superficie o área es la longitud y la derivada del volumen es la superficie.
Algunos ejemplos dentro de la vida cotidiana donde podemos encontrar las
derivadas son:
✓ La variación del espacio en función del tiempo.
✓ El crecimiento de una bacteria en función del tiempo (visto dentro de la rama
de la biología).
✓ El desgaste de un neumático en función del tiempo.
✓ El beneficio de una empresa en función del tiempo.
✓ Los ingenieros químicos o ingenieros en procesos utilizan la derivada
para representar fenómenos que ocurren en un proceso mediante el uso de
ecuaciones diferenciales. Se utilizan en los sistemas de tratamiento de aguas
residuales, así como en la recogida y tratamiento de residuos.

8. 8
Conclusión:
Para finalizar es importante agregar que el deseo de medir y de cuantificar el
cambio, la variación, se condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada, y de
ahí en adelante las derivadas han ayudado a resolver una gran cantidad de
problemas no solo matemáticos, sino de muchos otros ámbitos; y es que
ciertamente para los que no conocen mucho la materia, o no sean matemáticos,
pueden ver las derivadas como algo complicado, pero realmente solo se necesita
de atención, análisis y estudio para entenderlas. Existen personas que dedican su
vida a la investigación de esta ciencia para así prácticas y explicaciones de las
distintas que tiene esta teoría y que además no dejan de aparecer día a día. Es por
eso que dentro de las matemáticas se ha convertido en uno de los conceptos más
importantes. No solo en las derivadas, si no en general dentro de las matemáticas
existen cantidad de teorías que permiten crear modelos teóricos que sirven para
explicar fenómenos que suceden en la vida real, gracias a la información concreta,
directa y científica que esta puede llegar a generar, y que sin ser utilizadas o si no
se hubieran conocido, muchas de las cosas que conocemos hoy en día, no
existieran.

9. 9
Bibliografía:
Juan Antonio García Hernández. Aplicación de la derivada en la vida real. Blog de
Educación. Recuperado el 21 de noviembre, 2017. de:
http://entenderlasmates.blogspot.com/2017/11/aplicaciones-de-la-derivada-en-la-
vida.html
Marcos Palón. A. Aprendiendo matemáticas – 2018. De:
https://www.cecyt3.ipn.mx/ibiblioteca/mundodelasmatematicas/u3tipos.html