Estadística Aplicada Ingeniería Química Probabilidades

ESTADÍSTICA APLICADA A
LA INGENIERÍA QUÍMICA
Ing. Eder Vicuña Galindo
 INTRODUCCIÓN A LAS
PROBABILIDADES
 DISTRIBUCIONES DE VARIABLES
ALEATORIAS DISCRETAS
 DISTRIBUCIÓN NORMAL

INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA
DE LA PROBABILIDAD
Objetivos:
 Representar los conceptos básicos de probabilidad.
 Aplicar propiedades y operaciones de la probabilidad
y teoría de conjuntos.
 Analizar las distribuciones de variables aleatorias
discretas y continuas.
 Manejar tablas de distribuciones de probabilidad.
 Estudiar las aproximaciones de una distribución a
otra.
 Discernir las aplicaciones según sean los casos.

Técnicas de Conteo
Se llama así a los métodos que se usan para determinar, sin
la enumeración directa, del número de resultados posibles o
el número de elementos de un conjunto.
Ejemplos:
 Número de veces en las que se puede adquirir un
determinado repuesto de n tiendas en m ciudades.
 Número de alternativas de escoger una materia prima.

Principios de la Adición y la
Multiplicación
Principio de la Adición:
Si una operación se puede realizar de n maneras
distintas y otra de m maneras diferentes, siendo
ambas mutuamente excluyentes, no pudiéndose
realizar juntas ni en forma sucesiva, entonces el
número total de maneras en que puede realizarse
ambas operaciones es igual a n + m.

Principios de la Adición…
Ejemplos:
 Una repuesto de auto se vende en 6 tiendas de la
ciudad A y en 8 tiendas de la ciudad B. ¿En
cuantas tiendas se puede adquirir el repuesto?
14 (maneras)
 Para viajar de Lima a Huancayo se tiene dos rutas
por ómnibus, dos por avión y uno por tren. ¿De
cuántas maneras se puede viajar de Lima a
Huancayo?

Principio de la Multiplicación
Si una operación se puede realizar de n pasos
distintos y otro de m pasos diferentes, siendo ambas
no excluyentes, pudiéndose realizar juntas o en forma
sucesiva, entonces el número total de maneras en que
puede realizarse ambas operaciones es igual a nm.
Extensión
Si una operación se puede realizar de n1 pasos
distintos, otra segunda de n2 pasos, una tercera de n3
pasos, … etc. Entonces el número total de maneras en
que puede realizarse las operaciones es igual a n1
n2 n3…nK.

Principio de la Multiplicación …
Ejemplo 1: Para viajar de Tumbes a Lima se cuenta con
tres posibilidades: vía área, terrestre o marítima. Por
problemas en la carretera solo se puede viajar de Lima a
Tacna por vía área o marítima. ¿De cuántas maneras se
puede realizar el viaje de Tumbes a Tacna pasando por
Lima?
Lima
Tumbes Lima Tacna
Lima Tacna
3  2 = 6

Principio de la Multiplicación…
Ejemplo 2: En cierto restaurante se sirve el menú de con
las siguientes opciones: el primer plato consta de una
sopa o una entrada, para el segundo plato se puede elegir
entre 4 tipos de segundos, de bebida se tienen tres tipos:
gaseosa, mate o refresco; y para el postre son tres las
opciones: flan, helado o gelatina. ¿De cuántas maneras
un comensal puede elegir su menú?
Primer plato Segundo plato Bebida Postre Total
2 4 3 3 72 maneras

Cuando decidir sobre Principios de la
Adición y la Multiplicación
Adición Multiplicación
Si la actividad a desarrollar o a
ser efectuada tiene alternativas
para ser llevada a cabo, haremos
uso del principio aditivo.
Cuando se trata de una sola
actividad, la cual requiere de una
serie de pasos, entonces haremos
uso del principio multiplicativo
n m
n
m

Permutación
Es un arreglo de todos o parte de un conjunto de
objetos, en un orden definido y sin repetición.
Casos:
 Permutación Simple: Cuando se utilizan todos los
elementos n del conjunto.
Pn = n!
P(n, r)  n
rP  Pn

Permutación…
Ejemplo:
El número total de permutaciones que se
puede obtener con las letras A, B y C será:
3! = 32 = 6, éstas son:
ABC
BAC
CAB
ACB
BCA
CBA

Permutación …
 Permutación con una selección (r)
Ejemplo: Suponga que hay ocho tipos de computadora
pero solo tres espacios disponibles para exhibirlas en la
tienda de computadoras. ¿De cuantas maneras diferentes
pueden ser arregladas las 8 máquinas en los tres espacios
disponibles?
)!(
!
rn
n
Pn
r


336876
!5
!8
)!38(
!88
3 

P

Permutación …
 Permutación con repetición
Dados n elementos de los cuales n1 son de la clase 1, n2
son de la clase 2,..., ni son de la clase i hasta nk de la
clase k, llamamos permutaciones con repetición de n
elementos a los posibles arreglos que podemos formar
con n elementos.
n1 + n2 + --- + nk = n
!...!!
!
21 k
n
n
nnn
n
P i



Permutación …
Ejemplo:
Se desea instalar 12 computadoras en línea, cuatro son de
la marca A, tres son de la marca B, y cinco son de la
marca C. Si no se hace distinción entre las computadoras
de la misma marca; ¿de cuántas maneras se puede realizar
dicha instalación:
   
  
27720
3214321
12...876
5...3213214321
12...321
!5!3!4
!1212
)5,3,4(









P

Combinaciones
Las combinaciones de n objetos tomando o seleccionando
r de ellos a la vez, representan el número de subconjuntos
diferentes de tamaño r que se pueden formar con los n
objetos; en este caso el orden de aparición u
ordenamiento no es importante.
!)(!
!
),(
rnr
n
r
n
CrnC n
r









Combinaciones …
Ejemplo: De un grupo de nueve alumnos, cinco de los
cuales son varones, se desea formar un grupo que consta
de tres varones y dos mujeres. ¿De cuántas maneras se
puede formar el grupo?
 !24!2
!4
  !35!3
!5

= 60






3
5
mujeres varones






2
4

Experimento aleatorio
Es una representación ficticia de un proceso, cuyo
resultado o resultados depende únicamente de fenómenos
aleatorios o leyes del azar. Es representado por .
Características:
a) Se puede repetir indefinidamente, bajo las mismas
condiciones. Aunque con resultados diversos.
b) No se puede predecir el resultado. Solo intuir.
c) La intuición se acerca al pronóstico a medida que se
aumenta el número de repeticiones.

Experimento aleatorio…
Se define un fenómeno aleatorio como aquel en el
que pequeños cambios en sus factores producen
grandes diferencias en su resultado.
En ocasiones el azar es consecuencia de la
ignorancia de un suceso o de la incapacidad para
procesar toda la información que se tiene.

Experimento aleatorio …
Ejemplo:
 Lanzamiento de un dado y observar el resultado
obtenido.
 Seleccionar un determinado número de piezas de
un lote.
 La temperatura suba en un reactor exotérmico.

Espacio Muestral
Se llama espacio muestral al conjunto formado por todos
los posibles resultados de un experimento aleatorio.
Puede ser un conjunto finito o infinito. Se representa por
la letra griega . Para el ejemplo anterior:











6
5
4
3
2
1
Punto de Muestra:
Es un elemento del
espacio muestral;
para el ejemplo
anterior uno puede
ser el valor de 6.

Eventos
Es cualquier subconjunto del espacio muestral.
También llamado suceso. Del ejemplo anterior se
puede plantear los siguientes eventos:
 Que el dado muestre el número 4.
 Que los resultados del lanzamiento del dado sean
menores a 5.
 Que los resultados del lanzamiento generen
resultados entre 1 y 3 inclusive.

Algebra de Eventos
 La unión de los eventos A y B ocurre sí, y solo sí,
ocurre A, ocurre B o ambos a la vez (por lo menos
ocurre uno de ellos):
AB
 La intersección de los eventos A y B ocurre sí, y solo
sí, ocurren simultáneamente A y B.
A∩B
 El complemento del evento A ocurre sí, y solo sí, no
ocurre el evento A.
Ac  A’

Diagrama de Árbol
Este es un diagrama que permite manejar de
manera sistemática la determinación del número
de eventos en un espacio muestral finito;
especialmente cuando este proceso de
determinación es tedioso o muy difícil.

Eventos Mutuamente Excluyentes
Dos eventos son mutuamente excluyentes si no
pueden ocurrir o suceder en forma simultánea, esto
es, si y sólo si su intersección es vacía.
A∩B = 0

Evento colectivamente exhaustivo
Un conjunto de eventos E1, E2, ..., En es
colectivamente exhaustivo cuando E1E2....En =
S, donde S es el espacio muestral.
Ejemplo: Sean los eventos A y B mutuamente
excluyentes y colectivamente exhaustivos:
A∩B = 0
AB = S

Definición de Probabilidad
Si un experimento aleatorio  tiene n() resultados
igualmente posibles, y n(A) de tales resultados están a
favor del evento A, entonces la probabilidad de
ocurrencia del evento A está dado por:
Ejemplo: De una urna, con cinco bolas blancas y cuatro
negras:
a) Se saca una; señale la probabilidad de obtener 1 bola
blanca.
b) Se saca 4 de forma consecutiva sin reemplazo;
determine la probabilidad de obtener 2 bolas blancas.
)(
)(
)(


n
An
Ap

Probabilidad en Espacios
Muestrales Finitos
Es considerado cuando se tiene un finito número de
eventos.
Debe satisfacer estas tres condiciones:
 La probabilidad P es de aditividad finita.
 P es no negativa.
 P() ó P(S) = 1.
Ejemplos:
 Probabilidades de eventos en el lanzamiento de un
dado.
 Probabilidades de obtener un determinado color y
número de artículos de un lote de 100 artículos.

Muestrales Finitos …
Ejemplo:
¿Cuál es la probabilidad de que una familia que tiene tres
hijos, tenga dos niñas y un niño, si se considera
igualmente probable el nacimiento de un niño o niña?
Espacio muestral; Usando "a" para niña y "o" para niño,
el espacio muestral es:
S = {aaa, aao, aoa, aoo, oaa, oao, ooa, ooo}
n(S) = 8; FINITO

Muestrales Finitos …
El evento A en que haya dos niñas y un niño es
A = {aao, aoa, oaa}; n(A) = 3
Obsérvese que siempre 0 < P(A) < 1, puesto que
0 < n(A) < n(S)
375,0
8
3
)(
)(
)( 
Sn
An
Ap
8
1
)(
)(
)( 
Sn
An
Ap aao
aao
8
1
)(
)(
)( 
Sn
An
Ap aoa
aoa
8
1
)(
)(
)( 
Sn
An
Ap oaa
ooa
;
;

Axiomas de Probabilidad
La probabilidad de un evento A se define como el
número P(A), de modo tal que cumpla con los
siguientes axiomas:
 AXIOMA 1: La probabilidad P(A) de cualquier
evento no debe ser menor que cero ni mayor que
uno: 0 < P(A) < 1
 AXIOMA 2: P(S) = 1

Axiomas de Probabilidad …
 AXIOMA 3: Si A y B son dos eventos mutuamente
excluyentes (A∩B = Ø), entonces: P(AB) = P(A) +
P(B)
Toda la teoría elemental de la probabilidad está
construida sobre las bases de estos tres simples
axiomas.
Si el espacio muestral es infinito, debemos reemplazar
el axioma 3 por el
 AXIOMA 4: Si A1, A2, … son eventos mutuamente
exclusivos, entonces tenemos que P(A1A2…) =
P(A1) + P(A2) +…+

Axiomas de Probabilidad…
a) P(A) = 1 - P(A’)
b) P() = 0
c) P(B-A) = P(B) - P(A∩B)
d) Si A  B entonces P(A) ≤ P(B)
e) 0 <= P(A) <= 1 para todo suceso A
f) P(AB) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
g) P(ABC) = P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-
P(B∩C)+P(A∩B∩C)

Axiomas de Probabilidad…
Ejemplos:
Defina el evento
 En una planta industrial se va a fabricar un nuevo lote
del producto químico, ¿cuál es la probabilidad de que
el rendimiento sea ≥ 80%?
 Probabilidad de estudiantes varones en un salón de
clases. Clasificación por género.
 Recipiente con 3 bolitas blancas y 7 rojas. Extraigo 2
bolitas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambas
sean blancas? Considere que las extracciones se
hacen:
a) las dos bolitas juntas; b) 1 a 1 sin reposición; c) 1 a
1 con reposición

Ejemplos:
Defina el evento
 En una planta industrial se va a fabricar un nuevo
lote del producto químico, ¿cuál es la probabilidad
de que el rendimiento sea ≥ 80%?
 Probabilidad de estudiantes varones en un salón de
clases. Clasificación por género.
Recipiente con 3 bolitas blancas y 7 rojas. Extraigo 2
bolitas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambas
sean blancas? Considere que las extracciones se hacen:
a) E1 = las dos bolitas juntas;
b) E2 = 1 a 1 sin reposición;
c) E3 = 1 a 1 con reposición

Ejemplos:
a)
b)
c)
   
 
45
3
9
2
10
3
!210!2
!10
!07!0
!7
!23!2
!3
2
10
0
7
2
3
)(
)(
)( 1
1 


























n
En
EP
R
B
R
R
B
B
 45
3
9
2
10
3
)(
)(
)( 2
2 


n
En
EP
50
3
10
3
10
3
)(
)(
)( 3
3 


n
En
EP

Ejercicios
¿Cuáles de los siguientes pares de sucesos son
mutuamente excluyentes y complementarios?
a) A: El 65% de las semillas de guisante que han sido
plantadas germinará.
B: El 50% de las semillas de guisante que han sido
plantadas no llegará a germinar.
b) A: José sufre hipotermia.
B: La temperatura de José es de 39 °C.
c) A: El pH de una muestra de superficie de terreno
es igual a 7,0.
B: La muestra de superficie de terreno es alcalina.

Ejercicios …
El índice de contaminación atmosférica elaborado por
una central meteorológica clasifica los días como:
extremadamente buenos, buenos, tolerables, malos o
extremadamente malos. La experiencia anterior
indica que el 50% de los días se clasifican como
extremadamente buenos, el 22% como buenos, el
18% como tolerables, el 8% como malos y el 2%
como extremadamente malos. Se emite un pronóstico
de los días clasificados como malos o
extremadamente malos. ¿Cuál es la probabilidad de
que un determinado día, elegido aleatoriamente, esté
incluido en ese pronóstico?

Ejercicios…
Un determinado análisis químico tiene un alcance
más bien limitado. Generalmente, el 15% de las
muestras están demasiado concentradas para que
puedan contrastarse sin llevar a cabo una dilución
previa, el 20% están contaminadas con algún material
obstaculizante que deberá ser eliminado antes de
llevar a cabo el análisis. El resto puede ser analizado
sin pretratamiento. Supongamos que las muestras no
están en ningún caso concentradas y contaminadas a
la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra
seleccionada aleatoriamente pueda ser contrastada sin
pretratamiento?

Probabilidad Condicional
Sea B un evento del espacio muestral , con P(B) = 0.
La probabilidad de un evento A suceda una vez que B
haya sucedido, o dicho de otra manera, la probabilidad
condicional de A dado B, que se denota por P(A/B) se
define de la siguiente manera:
)(
)(
)/(
BP
BAP
BAP



Probabilidad Condicional…
Ejemplo:
La probabilidad de que un vuelo programado
normalmente salga a tiempo es 0,83; la probabilidad de
que llegue a tiempo es 0,82 y la probabilidad de que salga
y llegue a tiempo es 0,78. Encuentre la probabilidad de
que un avión:
a) Llegue a tiempo, dado que salió a tiempo.
b) Salga a tiempo, dado que llegó a tiempo.
Solución:
E1: evento que salga a tiempo;
E2: evento que llegue a tiempo

Probabilidad Condicional…

E1 E2
94,0
83,0
78,0
)(
)(
)/(
1
21
12 


EP
EEP
EEP
95,0
82,0
78,0
)(
)(
)/(
2
12
21 


EP
EEP
EEP

Propiedades de Probabilidad
Condicional
 0  P(A/B)  1
 P(/B) = 1
 P(B/) = P(B)
 P(A/B) = 1 - P(AC/B)
 P[(AB)/C] = P(A/C) + P(B/C) - P[(AB)/C]. Si
A y B son mutuamente excluyentes: (AB = Ø);
entonces P[(AB)/C] = P(A/C) + P(B/C)

Eventos Independientes
Dos eventos A y B son independientes si y solo si:
P(A/B) = P(A) y P(B/A) = P(B); de otra forma A y B son
dependientes.
P(A∩B) = P(A/B)P(B) = P(B/A)P(A)
P(A∩B) = P(A)P(B) = P(B)P(A)
)(
)(
)/(
BP
BAP
BAP


)(
)(
)/(
AP
ABP
ABP



Eventos Independientes …
Ejemplo:
Un mecanismo eléctrico que contiene cuatro interruptores
sólo funciona cuando todos ellos están cerrados. En
sentido probabilístico, los interruptores son
independientes en lo que se refiere al cierre o a la
apertura, y, para cada uno de ellos, la probabilidad de que
no funcione es 0,1. Calcúlese la probabilidad de que no
funcione el mecanismo en conjunto, despreciando todas
las causas que pueden hacer que el mecanismo no
funcione, excepto los propios interruptores.

Eventos Independientes …
F: no funcione
S1 suceso de que el interruptor 1 esté cerrado
6561,0)9,0)(9,0)(9,0)(9,0( 
)(1)( FPFP 
1,0)( 1 SP P(S1) = 1 – P( 1S ) = 0,9
)()( 4321 SSSSPFP 
)()()()()( 43214321 SPSPSPSPSSSSP 
3439,0561,01)(6561,0)(  FPFP

Ejemplo:
Una caja de fusibles contiene 20 unidades, de los cuales
cinco son defectuosos. Si se seleccionan al azar uno
después del otro de la caja sin reemplazar el primero,
¿cuál es la probabilidad de que ambos fusibles estén
defectuosos?
Evento E1: fusible defectuoso en la primera selección
Evento E2: fusible defectuoso en la segunda selección
P(E1∩E2) = P(E2/E1)P(E1)
=
20
5
19
4

Probabilidad Conjunta
P(A∩B)
P(E1∩E2) = P(E2/E1)P(E1)
=
20
5
19
4

Partición de un evento
Los eventos Ai, i = 1, 2,…K,…, k, forman una partición
del espacio muestral , si son mutuamente excluyentes
(AiAj = Ø,  i  j) y su unión es .
  

Ak
A3
A1
A2

Partición de un evento…
iA
jiAA ji  ,
 kAKAA ......21
Propiedades

Teorema de Probabilidad Total
Si los eventos Ai, i = 1, 2,…K,…, k, forman una
partición del espacio muestral  y B es un evento
cualquiera de , entonces: 

k
i
ii ABPAPBP
1
)/()()(
  

Ak
A3
A1
A2
B

Ejemplo
 En una fábrica de pernos, las máquinas A, B y C
fabrican 25, 35, y 40 por ciento de la producción
total respectivamente; produciendo el 5, 4 y 2% de
pernos defectuosos consecuentemente. Si se escoge
un perno al azar,
¿cuál es la probabilidad de que el perno sea
defectuoso?;
¿cuál es la probabilidad de que el perno defectuoso
provenga de la máquina A?

Teorema de Bayes
Si los eventos Ai, i = 1, 2,…K,…, k, forman una partición
del espacio muestral  y B es un evento cualquiera de ,
entonces:
Demostración
P(Ai B) = P(B)P(Ai /B)  P(Ai)P(B/Ai)
 



 k
i
ii
iii
i
ABPAP
ABPAP
BP
BAP
BAP
1
)/()(
)/()(
)(
)/(


k
i
ii ABPAPBP
1
)/()()(

Ejemplo
 En una fábrica de pernos, las máquinas A, B y C
fabrican 25, 35, y 40 por ciento de la producción total
respectivamente; produciendo el 5, 4 y 2% de pernos
defectuosos consecuentemente. Si se escoge un perno
al azar,
¿cuál es la probabilidad de que el perno defectuoso
provenga de la máquina A?
035,002,040,004,035,005,025,0)/()()(
1
 
k
i
ii ABPAPBP
36,0
02,040,004,035,005,025,0
013,0
)/()(
)/()(
)/(
1




k
i
ii ABPAP
ABPAP
BAP

Ejemplo
Si se colocan en un estante en orden aleatorio 4
volúmenes de cierta obra, ¿cuál es la probabilidad de que
el orden sea perfecto? (Ascendente o Descendente).
 = P4 = 4! = 24
























24
2
1
1Vol2Vol3Vol4Vol
4Vol3Vol1Vol2Vol
4Vol3Vol2Vol1Vol
A
A
A

Ejemplo …
E1 = Volumen 1 ocupe el primer orden;
E2 = Volumen 2 ocupe el segundo orden; una vez que el
Volumen 1 ocupó el primer orden
E3 = Volumen 3 ocupe el tercer orden; si el Volumen 2
ocupó el segundo orden; una vez que el Volumen 1
ocupó el primer orden.
E4 = Volumen 4 ocupe el cuarto orden; si ya el Volumen
3 ocupó el tercer orden, cuando el Volumen 2 ocupó
el segundo orden; una vez que el Volumen 1 ocupó
el primer orden.
A1 = Orden ascendente de organizar los volúmenes
A24 =Orden descendente de organizar los volúmenes

Ejemplo …
P(E1) = 1/4
3/1)(
)(
)()(
)(
)(
)/( 2
1
12
1
12
12 

 EP
EP
EPEP
EP
EEP
EEP
2/1)(
)(
)()(
)(
)(
)/( 3
2
23
2
23
23 

 EP
EP
EPEP
EP
EEP
EEP
1)(
)(
)()(
)(
)(
)/( 4
3
34
3
34
34 

 EP
EP
EPEP
EP
EEP
EEP
P(A1) = P(E1E2E3E4) = P(E1)P(E2)P(E3)P(E4) =
2
1
3
1
4
1

P(A2) =
24
1
P(A24) =
24
1
P(E1) = 1/4
3/1)(
)(
)()(
)(
)(
)/( 2
1
12
1
12
12 

 EP
EP
EPEP
EP
EEP
EEP
2/1)(
)(
)()(
)(
)(
)/( 3
2
23
2
23
23 

 EP
EP
EPEP
EP
EEP
EEP
1)(
)(
)()(
)(
)(
)/( 4
3
34
3
34
34 

 EP
EP
EPEP
EP
EEP
EEP
P(A1) = P(E1E2E3E4) = P(E1)P(E2)P(E3)P(E4) =
24
1
1
2
1
3
1
4
1

P(A2) =
1

Ejemplo …
B = Evento de organizar los volúmenes de forma
ascendente o descendente.
 
12
1
24
1
24
1
)( 241  AAPBP

Ejemplo …
Vol 1
Vol 2
Vol 3 Vol 4



Vol 4
Vol 3
Vol 2
1/4
1/3
1/2
1

Variables Aleatorias
Sea  el espacio muestral asociado a un experimento
aleatorio , una variable aleatoria es una función que hace
corresponder a cada elemento del espacio muestral un
número real.
Las variable aleatorias se denotan por X, en forma
general, y su domino y rango por DX y RX
respectivamente.
De la definición se deduce que el dominio de X es  y su
rango es un subconjunto de los números reales A (A 
).

Ejemplo
Una caja contiene cuatro chips de audio y tres de
video, estos chips son idénticos entre sí, a excepción
del código de identificación. Se sacan dos chips en
forma sucesiva sin reemplazo de esta caja. Se define
la variable aleatoria X como el número de chips de
audio extraídos. Halle el dominio y rango de X.
 = X1, X2, X3, X4 
RX = X1, X2

Variables Aleatorias …Correspondencia
1
2



n
x1
x2



xn
 A
• El número de unidades vendidas de un cierto producto.
• El número de productos defectuosos en una línea de
producción.

Clasificación de las variables
aleatorias
Las variables aleatorias se clasifican según su rango en
dos grupos: Variables aleatorias discretas y variables
aleatorias continuas.
 Variables Aleatorias Discretas
Se dice que es discreta cuando su rango toma valores
finitos o un número infinito de valores que se pueden
asociar al conjunto de números enteros.
De lo anterior se infiere que el rango de una variable
aleatoria discreta es un conjunto numerable (se puede
contar sus elementos).

Variables Aleatorias
 Variables Aleatorias Continuas
Es continua cuando su rango es un conjunto infinito de
valores que se pueden asociar a los puntos de un
segmento de una recta.
De lo anterior, se puede deducir que el rango de una
variable aleatoria continua es un conjunto no
numerable (no se puede contar).
 El voltaje de una batería de un automóvil.
 La temperatura de un disco duro de una PC en
funcionamiento.

Variables Aleatorias Discretas
Función de Probabilidad o Función de masa o Función de
Densidad
Sea X una variable aleatoria discreta con valores x1, x2, x3, …,
xn; la probabilidad de que X tome un valor xi, i = 1, 2, …, n,
denotada por P(X = xi), se define como
P(X = xi) = f(xi),  xi  Rx.
 f: Función de Distribución o Función de Probabilidad.
 El domino de f es el rango de X.
X x1 x2
   xn
P(X = xi) = f(xi) f(x1) f(x2)    f(xn)

Ejemplo
Una caja contiene cuatro chips de audio y tres de video,
estos chips son idénticos entre sí, a excepción del código
de identificación. Se sacan dos chips en forma sucesiva
sin reemplazo de esta caja.
a) x1: 2 chips de audio extraídos.
   
 
21
6
!27!2
!7
!03!3
!3
!24!2
!4
2
7
0
3
2
4
)(
)(
)( 1
1 


























n
xn
xf

Ejemplo
b) x2: 1 chip de audio y 1 chip de video extraídos.
c) x3: 2 chips de video extraídos
   
 
21
12
!27!2
!7
!13!1
!3
!14!1
!4
2
7
1
3
1
4
)(
)(
)( 2
2 


























n
xn
xf
   
 
21
3
!27!2
!7
!23!2
!3
!04!0
!4
2
7
2
3
0
4
)(
)(
)( 2
3 


























n
xn
xf

Ejemplo
X x1 x2 x3
P(X = xi) = f(xi) f(x1)=6/21 f(x2)=12/21 f(x3)=3/21

Propiedades
 f(xi)  0

 P(X = xi) = f(xi)
1)(
1

n
i
ixf

Función de Distribución
(Acumulativa)
Sea X una variable aleatoria discreta con función de
probabilidad f ; la función de distribución
acumulativa de X, denotada por F se define como
P(x) = P(X  x) = x  
n
i
ixf
1
)(

Propiedades
 F(-) = 0
 F() = 1
 0  F(x)  1
 Si a < b, entonces:
 F(a)  F(b);
 P(a  x  b) = F(b) - F(a).
 F(a) = P(x  a)
   axxpaF )()(

Valor Esperado de una variable
aleatoria
probabilidad f y rango RX, la media, valor esperado,
esperanza matemática o simplemente esperado de X,
denotada por X o E(X), se define como:


Xi Rx
iiX xfxXE )()(

Ejemplo
En una operación comercial se puede obtener una utilidad
de $1000 o sufrir una pérdida de $500. Si la probabilidad
de una utilidad es de 0.6, demuestre que la utilidad
esperada en dicha operación es de $400.
x1 = utilidad de $ 1000
x2 = pérdida de $ 500
RX = x1, x2
400$0,45000)$(-0,61000)($)(  XEX


2
1
)()(
i
iiX xfxXE

Propiedades
 E(a) = a
 E(aX) = aE(X)
 E(aX + b) = aE(X) + b
 E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)

Varianza de una variable aleatoria
probabilidad f y rango RX, la varianza X, denotada
por 2
X o V(X), se define como:
 
   222
22
)()(
)()(
XEXEXV
xfxXV
X
Rx
iXiX
Xi

 



Propiedades
 V(a) = 0
 V(aX) = a2V(X)
 V(aX + b) = a2V(X)
 V(aX + bY) = a2V(X) + b2V(Y)

Distribución Binomial
 Mide el número de éxitos en una secuencia de n
experimentos independientes, con una probabilidad p
de ocurrencia del éxito en cada uno de los
experimentos. Por tanto 1 – p de fracaso.
 Su función de densidad de probabilidad está dada por:
 Función de Distribución Acumulativa:









x
k
knk
pp
k
n
pnxB
0
)1(),;(
knk
pp
k
n
pnxb 






 )1(),;(

Características y Propiedades
Características
 Los experimentos son idénticos, independientes y de
probabilidad constante.
Propiedades
 Esperanza E(x)   = np
 Varianza Var(x)  2 = np(1 – p)
 Acumulativas
 Probabilidad (x  a) = B(a, n, p)
 Probabilidad (x > a) = 1 - B(a, n, p)
 Probabilidad (a  x  b) = B(b, n, p) - B(a-1, n, p)

Características y Propiedades…

Aplicaciones
 Estas aplicaciones fundamentalmente se dan
(dentro de la ingeniería) en procedimientos de
control de calidad cuando se analiza piezas o
productos para establecer si son defectuosos o
buenos.
 Muestreo de aceptación
 Gráficos de control

Tabla de Función de Distribución

Ejemplo aplicativo
Un representante realiza 5 visitas cada día a los comercios de
su ramo y por su experiencia anterior sabe que la
probabilidad de que le hagan un pedido en cada visita es del
0,4. Obtener:
• El número medio de pedidos por día.
• La varianza.
• La probabilidad de que el número de pedidos que realiza
durante un día esté comprendido entre 2 y 4 inclusive.
0,65
• La probabilidad de que por lo menos realice dos pedidos.
0,66
24,05)(  npxE 
2,1)4,01(2)1()( 2
 pnpxVar 
)4.0,5;1()4.0,5;4()42( BBxP 
)4.0,5;1(1)2( BxP 

Distribución de Poisson
Cuando n es relativamente grande y p pequeña (regla
empírica: np < 5 y p < 0,1), las probabilidades binomiales se
aproximan por medio de la fórmula
donde:
• p(x, ) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el
número promedio de ocurrencia de ellos es .
•  = np, media o promedio de éxitos por unidad de tiempo,
área o producto.
• x = variable que nos denota el número de éxitos que se
pronostica que ocurra.
!
);(
x
e
xp
x 





Propiedades
 Se puede demostrar que P(s) = 1:
 Esperanza, E(x) = 
 Varianza, Var(x) = 
 Identidad
 Acumulativas
 Probabilidad (x  a) = P(x  a) = F(a, )
 Probabilidad (x > a) = P(x > a) = 1 - F(a, )
 Probabilidad (x  a) = P(x  a) = 1 - F(a - 1, )
);1();();(   xFxFxf

Propiedades…
Esperanza:






































ee
ee
ee
x
xxxpxE
x
x
x
...
!2!1
1...
!2!1
...
!2
2
!1
10
!
)()(
232
2
00










000 !!
),(
x
x
x
x
x x
e
x
e
xf

 

Aplicando la serie de Maclaurin

e
xx
x


0 !
Finalmente:
1),(
0
 


 
 eexf
x
Propiedades…

Ejemplo de aplicación
En la inspección de hojalata producida por un proceso
electrolítico continuo, se identifican 0,2 imperfecciones
en promedio por minuto. Determine las probabilidades
de identificar:
a) una imperfección en 3 minutos,
0,33
b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos,
0,26
c) a lo más una imperfección en 15 minutos.
0,20
!1
6,0
)2,03;1(
6,01 

e
xp 
)2,05;1(1)2(  Pxp
)2,015;1()1(  Pxp

Aplicaciones
 En el campo del control de calidad de productos
que tengan las características de ser evaluados por
unidad de tiempo, área, pieza o producto. Por
ejemplo líneas de producción, telas, piezas y así.
 Específicamente se utiliza en un tipo de gráfico de
control C, para atributos.

Distribución Hipergeométrica
Primera extracción (de la definición clásica de
probabilidad)
Segunda extracción o
dependiendo si en la primera extracción se haya obtenido
o no un elemento defectuoso. Así pues, las extracciones no
son independientes y no puede aplicarse la distribución
binomial, sino la hipergeométrica.
N
a
1
1


N
a
1N
a
n
N
a defectuosos

Función de densidad
Donde:
x: los éxitos (de obtener un elemento defectuoso), x =
0, 1, 2,. . ., a
a: número de elementos característicos (defectuosos)
en el lote
n: tamaño de la muestra
N: número de elementos en el lote





















n
N
xn
aN
x
a
Nanxh ),,;(

Esperanza
   
 
np
N
a
n
N
an
n
N
n
N
a
xn
aN
x
a
a
n
N
xx
xn
aN
xaaa
x
n
N
n
N
xn
aN
x
a
xxxpxE
a
x
a
x
a
x
a
x






















































































 


 
1
1
1
11
1...1
1...1
1
)()(
0
0
0 0

Ejemplo de aplicación
En un laboratorio de química hay 50 puestos dotados con
un mechero Bunsen de los cuales 15 no funcionan
correctamente. Diez estudiantes llegan al laboratorio y se
sientan aleatoriamente cada uno de ellos ante un puesto.
• Calcular la probabilidad de que al menos tres
estudiantes hayan elegido mecheros defectuosos.
Pr(x3) = h(x=3, n=10, a=15, N=50)+ h(x=4, n=10, a=15, N=50)+
...+ h(x=10, n=10, a=15, N=50)
Pr(x3) = 1 - H(x=2, n=10, a=15, N=50)  1 – H(2; 10, 15, 50)

Ejemplo de aplicación…
 Calcular la probabilidad de que todos escogieron
mecheros defectuosos.
   
 !1050!10
!50
!035!0
!35
!1015!10
!15
10
50
1010
1550
10
15
)50,15,10;10(

























h
0000003,0
50494847464544434241
1514131211109876





Aplicaciones
También se da en el control de calidad,
específicamente para Muestreo de Aceptación; dado
que las examinaciones de las piezas o elementos del
producto implican muchas veces daños o destrucción
del mismo.

Variables Aleatorias Continuas
Función de Distribución para una variable aleatoria
continua viene dada por
En un Rango [a b]: F(x) = P(a  X  x)
Función de Probabilidad
axdxxfaF
a
  
)()(








 
bx
bxadttf
ax
xF
x
a
si1
si)(
si0
)(
)('
)(
)( xF
dx
xdF
xf 

Ejemplos:
Una variable X aleatoria tiene por función de
densidad:
a) Calcular F(x)
b) P(x  1)
c) P(1 < x  2)

















x
x
xx
x
xx
x
xf
40
434,0
322,02,0
212,0
102,0
00
)(

Ejemplos…
Para la distribución exponencial:
Hallar la función de distribución


 


casootroen0
0
)(
xe
xf
x


Esperanza matemática
Se define la esperanza matemática (o simplemente
esperanza) de una variable aleatoria X como su valor
medio. Se denota por E(X) o μ, y se calcula de la
siguiente forma:
Propiedades de la esperanza:
(i) Si C es una constante, E(C) = 0.
(ii)  a, b  R, E(ax + b) = aE(x) + b



 dxxxfxE )()(

Esperanza matemática …
(iii) Si g(x) es una función de x, entonces:
La radiación solar diaria que incide en una zona específica
de Florida en el mes de octubre tiene una función de
densidad de probabilidad dada por
cuyas medidas se expresan en cientos de calorías.
Determine la radiación solar esperada para octubre.
  


 dxxfxgxgE )()()(






puntootrocualquieren0
62)6)(2(
32
3
)(
yyy
yf

Función de Distribución Uniforme
La distribución uniforme continua es una distribución de
probabilidad para variables aleatorias continuas, tal que
la probabilidad para todo el rango es la misma. El
dominio está definido por dos parámetros, a y b, que son
sus valores mínimo y máximo. La distribución es a
menudo escrita en forma abreviada como U(a, b). La
función de densidad de probabilidad de la distribución
uniforme continua es:
ópara0
para
1
)(







bxax
bxa
abxf

Función de Distribución Uniforme
Esperanza y Varianza
para1
para
para0
)(











bx
bxa
ab
ax
ax
xF
 
122
2
abba 

Ejemplo
Supóngase que la concentración de cierto
contaminante se encuentra distribuida de manera
uniforme en el intervalo de 0 a 20 ppm (partes por
millón). Si se considera tóxica una concentración de
8 o más, ¿cuál es la probabilidad de que al tomarse
una muestra la concentración de ésta sea tóxica?
Calcule la concentración media y su varianza.
Determine la probabilidad de que la concentración
sea exactamente 10.

Función de Distribución Exponencial
La distribución exponencial es una distribución de
probabilidad continua con un parámetro λ > 0 cuya
función de densidad es:
Su función de distribución es:
El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con
distribución exponencial son:







casootrocualquieren0
0
1
);( xexf
x


modootrode0
0para
)(


 


xe
xf
x

0para1
0para0
)(





 
xe
x
xF x
  2
1
)(
1

 xVxE

Aplicaciones
 La distribución exponencial es útil para modelar el
tiempo transcurrido entre sucesos consecutivos
cuando éstos ocurren de manera independiente y a
un frecuencia (tasa) constante.
 También en estudios de fiabilidad de sistemas.
 En variables que representan tiempo de vida de
componentes con pequeño desgaste.

Ejemplo
La variable x representa el tiempo en horas que una
persona tarda en realizar determinado trabajo y sigue
una distribución exponencial con parámetro  = 2
horas.
¿Cuál es el tiempo medio en que se espera realice
dicho trabajo?
¿Cuál es la probabilidad de que lo realice en menos
de 30 minutos?, ¿y en más de 1 hora?

Distribuciones Variables Aleatorias
Continuas
Distribuciones más conocidas: la Uniforme, Exponencial,
Normal, t de student, chi cuadrado y el F de Fisher. La más
importante es la distribución normal: es la que más se asocia a
muchos fenómenos existentes de todo tipo.
chi cuadrado F de Fisher

Distribuciones Variables Aleatorias
Continuas
Esta Función de Distribución Normal se representa
por N (; σ) donde la representación gráfica de su
función de densidad es una curva positiva continua,
simétrica respecto a la media:
 -2  -   +  +2
2 %
14 %
2 %
14 %
34 %34 %
x
f

Efecto de la media () y la
varianza ()

Distribución Normal
 El área encerrada bajo la curva normal N(; σ) siempre
es 1.
 Tiene una única moda, que coincide con su media y su
mediana.
 La distancia entre la línea trazada en la media y el
punto de inflexión de la curva es igual a una desviación
típica (). Cuanto mayor sea , más aplanada será la
curva de la densidad.
 El área bajo la curva comprendida entre los valores
situados aproximadamente a dos desviaciones estándar
de la media es igual a 0,95. En concreto, existe un 95%
de posibilidades de observar un valor comprendido en
el intervalo.

Función Distribución Normal
 Función de probabilidad; Función de densidad de
probabilidad.
 Función de Distribución de Probabilidad; Función de
Distribución Acumulativa.
50%

Estandarizada
Si X sigue una distribución N(; σ), entonces la
variable sigue una distribución N(0,1).
(El paso de la variable X → N(; σ) a la Z → N(0;1)
se denomina tipificación de la variable X).



X
Z
-2 -1 0 1 2
2 %
14 %
2 %
14 %
34 %34 %
z
f

Estandarizada…
Para un valor cualquiera k, definimos la probabilidad de que la
distribución Z, N(0;1) , sea menor o igual que k como: P(Z ≤
k) = “Área encerrada bajo la curva normal N(0,1) desde −
hasta k” (es decir la parte rayada de la figura siguiente).
0 k z
f


 kx
k

Estandarizada…
Si k es positivo y queremos calcular P(Z ≥ k), es
decir el área rayada; p(Z ≥ k) = 1 - P(Z ≤ k):
0 k z
f

Estandarizada…
Probabilidades comprendidas entre dos valores, p(k1 ≤ Z ≤ k2),
es decir el área rayada en la figura:
se calcula restando las áreas:
Esto es, p(Z ≤ k2) − p(Z ≤ k1)
0 k1 k2 z
f
0 k2 z
f
0 k1 z
f

Uso de la Función Distribución
Normal Estandarizada…
Ejemplo:
Un estudio analiza el porcentaje de pureza del oxígeno de cierto
proveedor. Suponga que la media fue 99,61 con una desviación
estándar de 0,08. Suponga que la distribución del porcentaje de
pureza fue aproximadamente normal. ¿Qué valor de pureza
esperaría que excediera exactamente 5% de la población?
 ¿Población?: Conjunto de recipientes que contiene oxígeno.
 ¿Elemento de la población?: Recipiente que contiene oxígeno.
 ¿Variable?: Una característica del oxígeno contenido en el
recipiente que es la PUREZA; de naturaleza aleatoria.
 5% de la población: 5% de los datos (pureza de oxígeno en el
recipiente) que es equivalente a 5% de probabilidad, por la
definición clásica de probabilidad.

Tablas de la Distribución Normal

Tablas de la Distribución Normal…

 Primer paso: entender el problema, identificando
los datos:  = 99,61% y  = 0,08%.
 Segundo paso: esquematizar
xk  = 99,61% x
5%
f(x)

 Tercer paso: obtener el valor de k de la tabla de
distribución normal estandarizada:
k 0 z
5%
f(z)
k = -1,645

 Cuarto paso: Retornar a la variable x, mediante la
ecuación
 Y de aquí: xk = 99,4784% = 99,48%.
 Quinto paso: Respuesta: esta pureza de oxígeno
igual a 99,48% es mayor al 5% de los datos.
%08,0
%61,99
645,1



 kk xx
k



Ejemplos…
 La resistencia a la tensión de cierto componente de
metal se distribuye normalmente con una media de
10000 kg/cm2 y una desviación estándar de 100
kg/cm2. Las mediciones se registran a los 50 kg/cm2
más cercanos.
 ¿Qué proporción de estos componentes excede
10150 kg/cm2 de resistencia a la tensión?
 Si las especificaciones requieren que todos los
componentes tengan resistencia a la tensión entre
9800 y 10200 kg/cm2 inclusive, ¿qué proporción de
piezas esperaría que se descartara?

Ejemplos…
 La longitud de un determinado tipo de tornillos ha
de estar comprendida entre 10 y 10,3 mm. Se ha
observado que la longitud de los tornillos que salen
de fábrica se distribuyen normalmente con media
igual a 10,2 mm. De un pedido de 1000 tornillos,
cuántos habrá que desechar debido a su longitud
inadecuada, sabiendo que el 0,3% de ellos tienen
una longitud menor de 10 mm.

Ejemplos…
 Una máquina troqueladora produce tapas de latas
cuyos diámetros están normalmente distribuidos,
con una desviación estándar de 0.01 pulgadas. ¿En
qué diámetro “nominal” (promedio) debe ajustarse
la máquina de tal manera que no más del 5% de
las tapas producidas tengan diámetros que
excedan las 3 pulgadas?

Ejemplos…
 Ciertos bastoncillos plásticos moldeados por
inyección son cortados automáticamente con
longitudes nominales de 6 pulgadas. Las longitudes
reales están distribuidas normalmente alrededor de la
media de 6 pulgadas y su desviación estándar es de
0.06 pulgadas.
 ¿Qué proporción de los bastoncillos rebasan los
límites de tolerancia, que son de 5.9 a 6.1 pulgadas?
 ¿A qué valor es necesario reducir la desviación
estándar si el 99% de los bastoncillos debe estar
entre los límites de tolerancia?

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