1. Lógica matemática.
La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que
por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es
válido. La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía,
matemáticas, computación, física. En la filosofía para determinar si
un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener
diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el
significado correcto. En las matemáticos para demostrar teoremas
e inferir resultados matemáticas que puedan ser aplicados en
investigaciones.
EJEMPLO N.1
EJEMPLO N.2
3. Es toda oración o enunciado al que se le puede asignar un
cierto valor (v o f). Si no puede concluir que es verdadero o
falso no es proposición. Es cualquier agrupación de palabras
o símbolo que tengan sentido y de la que en un momento
determinado se pueda asegurar si es verdadera o falsa. La
verdad o falsedad de una proposición es lo que se llama su
valor lógico o valor de verdad. Las proposiciones se denotan
con letras minúsculas. Ejemplo: p, q, r, a, b.
Ejemplo:
Hoy es lunes. (si es proposición ya que se puede verificar).
Hablo y no hablo.
Viene o no viene.
Carlos fuentes es un escritor.
(Simple)
Sen (x) no es un número mayor que 1.
(Compuesta)
El 14 y el 7 son factores del 42.
(Simple)
El 14 es factor del 42 y el 7 también es factor del 42.
(Compuesta).
CLASE DE PROPISICIONES COMPUESTA
Existen dos clases de proposiciones:
PROPOSICIONES SIMPLES: tambien denominadas
proposiciones atómicas. Son aquellas proposiciones que no
se pueden dividir.
Ejemplos:
El cielo es azul.
4. PROPOSICIONES COMPUESTAS: tambien denominadas
moleculares. Son aquellas que están formadas por dos o más
proposiciones simples unidas por los operadores lógicos.
Ejemplos:
Fui al banco , pero el banco estaba cerrado.
Los lectores de este libro son jóvenes o universitarios.
Si el miércoles próximo me saco la lotería entonces te regalare
un auto.
Conectivos lógicos en proporciones compuestas.
Existen conectores u operadores lógicas que permiten formar
proposiciones compuestas(formadas por varias proposiciones). Los
operadores o conectores básicos son :Operador and (y)Se utiliza
para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se
pueda obtener un resultado verdadero. Si símbolo es: {Ù , un punto
(.), un paréntesis}. Se le conoce como la multiplicación lógica
:Ejemplo. Sea el siguiente enunciado "El coche enciende cuando
tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería "Sean: p: El
coche enciende q: Tiene gasolina el tanque .r: Tiene corriente la
batería De tal manera que la representación del enunciado anterior
usando simbología lógica escomo sigue: = q Ù rSu tabla de verdad
es como sigue:
q
r
p = q Ù r
1 1 11 0 00 1 00 0 0Donde.1 = verdadero0 = falsoEn la tabla
anterior el valor de q=1 significa que el tanque tiene gasolina, r=1
significa quela batería tiene corriente y p = q Ù r=1 significa que el
coche puede encender. Se puede
5. Proposiciones condicionales.
Las Proposiciones Condicionales expresan la condición necesaria
para que tenga efecto lo que indica la oración principal; ésta indica
la causa o efecto de tal condición.
EJEMPLOS
1. Me alegraría mucho, si me acompañaras.
2. Si quieres, paso por ti a las seis.
3. Te llevaré al baile; si me prometes ser puntual.
4. Si pones atención, aprenderás más pronto.
5. Podría llevar dos materias, si asisto por las tardes.
Proposición bicondicional.
En matemáticas y lógica, un bicondicional, (también
llamado equivalencia o doble implicación, en ocasiones abreviado
en español como ssi), es una proposición de la forma «P si y solo si
Q» y se admite el bicondicional Sergio es verdadero en el caso de
que ambos componentes tengan el mismo valor vertitativo. En
otras palabras, que si P ocurre entonces también ocurre Q; y
viceversa: si Q ocurre entonces también ocurre P.
Otra forma de expresar el bicondicional es decir que Q es
una condición necesaria y suficiente para P. También se conoce
con el nombre de coimplicación.
6. EJEMPLO N.1
1.- 3 + 2 = 7 si, y solamente si, 4 + 4 = 8.
Si se toma p como: «3 + 2 = 7» y q como: «4 + 4 = 8», entonces el
valor de verdad de p, es falso, pero el valor de verdad de q es
verdadero, luego entonces la bicondicional p <--> q es falsa.
2.- Londres está en Inglaterra si, y solamente si, París está en
Francia.
Sea p «Londres está en Inglaterra» y q «París está en Francia»,
entonces tanto el valor de p, como de q, son verdaderos, es decir
tienen el mismo valor de verdad, luego entonces la bicondicional p
<--> q es verdadera.
3.- 10 es un número impar si, y solamente si, 6 es un número primo
Si p es: «10 es un número impar» y q es: «6 es un número primo»,
entonces se observa que tanto el valor de verdad de p, como de q,
son falso, es decir tienen el mismo valor de verdad, luego entonces
la bicondicional p <--> q es verdadera.
7. TAUTOLOGIA, EQUIVALENCIAS Y CONTRADICCION.
TAUTOLOGIA
Definición:
Es una expresión lógica que resulta verdadera para cualquier
interpretación; es decir, para cualquier asignación de valores
de verdad. La construcción de una Tabla de verdad es un método
efectivo para determinar si una expresión cualquiera es una
tautología o no.
CONTRADICCION.
Definición:
Una proposición es una contradicción, si es falsa para
todos sus valores de verdad. Una de las más usadas y
correspondiente tabla de verdad.
8. LEYES NOTABLES DE LOGICA.
Leyes notables de lógica
Ley de doble negación: Dentro de un sistema de
lógica clásica, la doble negación, esto es, la negación
de la negación de una proposición p, eslógicamente
equivalente a p. Expresado simbólicamente, ¬(¬p) ⇔
p. En lógica intuicionista, una proposición implica su
doble negación, pero no al revés. Esto marca una
importante diferencia entre la negación clásica e
intuicionista. Algebraicamente, la negación clásica es
llamada una involución de periodo dos.
Sin embargo, en lógica intuicionista, sí tenemos la
equivalencia entre ¬¬¬p y ¬p. Es más, en el caso
proposicional, una oración es demostrable de forma
clásica, si su doble negación es demostrable de
manera intuicionista. Este resultado es conocido como
el teorema de Glivenko.
9. Leyes de idempotencia: En matemática y lógica, la
idempotencia es la propiedad para realizar una acción
determinada varias veces y aun así conseguir el
mismo resultado que se obtendría si se realizase una
sola vez. Un elemento que cumple esta propiedad es
un elemento idempotente, o un idempotente. De esta
manera, si un elemento al multiplicarse por sí mismo
sucesivas veces da él mismo, este elemento es
idempotente. Por ejemplo, los dos únicos números
reales que son idempotentes, para la operación
producto (·), son 0 y 1. (0·0=0,1·1=1).
Leyes asociativas: Las "Leyes asociativas" quieren
decir que no importa cómo agrupes los números (o
sea, qué calculas primero) cuando sumas o cuando
multiplicas.
(a + b) + c = a + (b + c)
(a × b) × c = a × (b × c)
Leyes conmutativas: Las "leyes conmutativas" sólo
quieren decir que puedes intercambiar los números
cuando sumas o cuando multiplicas y la respuesta va
a ser la misma.
a + b = b + a
a × b = b × a
10. Leyes distributivas: La "ley distributiva" es la MEJOR
de todas, pero hay que usarla con mucho cuidado
Quiere decir que la respuesta es la misma cuando:
Sumas varios números y el resultado lo multiplicas
por algo, o
Haces cada multiplicación por separado y luego sumas
los resultados
Así:
(a + b) × c = a × c + b × c
Leyes de De Morgan: En lógica proposicional y álgebra
de Boole, las leyes de De Morgan son un par de
reglas de transformación que son ambas reglas de
inferencia válidas. Las normas permiten la expresión
de las conjunciones y disyunciones puramente en
términos de sí vía negación.
Las reglas se pueden expresar en español como:
La negación de la conjunción es la disyunción de las
negaciones.
La negación de la disyunción es la conjunción de las
negaciones.
O informalmente como:
"no (A y B)" es lo mismo que "(no A) o (no B)"
Y también,
11. "no (A o B)" es lo mismo que "(no A) y (no B)"
Las reglas pueden ser expresadas en un lenguaje
formal con dos proposiciones P y Q, de esta forma:
METODOS DE DEMOSTRACION
Métodos de Demostración en Matemática. ... El
método de demostración directo tiene como
fundamento lógico la regla de inferencia clásica o
esquema argumentativo válido llamado ModusPonens:
[ P∧ (P→Q) ] →Que significa: si la hipótesis P es
verdadera y la hipótesis P implica la conclusión Q
entonces la conclusión Q es verdadera.
EJEMPLOS
-
12. -
TABLAS DE VERDAD
Implicación o Condicional. El condicional material es un operador
que actúa sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de
verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de falso sólo
cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y
verdadero en cualquier otro caso.
