modelos de creci

1. PRÁCTICA: MODELOS DE CRECIMIENTO POBLACIONAL
Objetivo:Calcular el crecimiento poblacional con diferentes modelos y analizar su
comportamiento.
GENERALIDADES:
CRECIMIENTO POBLACIONAL
El crecimiento poblacional o crecimiento demográfico es el cambio en la población en
un cierto plazo, y puede ser cuantificado como el cambio en el número de individuos en
una población usando "tiempo por unidad" para su medición. El término crecimiento
demográfico puede referirse técnicamente a cualquier especie, pero refiere casi siempre a
seres humanos, y es de uso frecuentemente informal para el término demográfico más
específico tarifa del crecimiento poblacional, y es de uso frecuente referirse
específicamente al crecimiento de la población del mundo.
Los modelos simples del crecimiento demográfico incluyen el modelo del crecimiento de
exponencial y el modelo logístico.
MODELOS DE CRECIMIENTO POBLACIONAL
1-. Modelos de crecimiento
Dos grupos de procesos afectan a la densidad de una población: nacimientos e
inmigración que tienden a incrementar la población y las muertes y la emigración que la
disminuyen. Para esta simulación asumiremos que la inmigración y emigración se
contrarrestan una a la otra, siendo por tanto los nacimientos y las muertes los factores
que determinan el crecimiento y la densidad de la población. También asumiremos que
todos los individuos tienen la misma probabilidad de reproducirse y que los recursos
ambientales son infinitos.
Primero vamos a considerar una planta anual o un insecto que presente
generaciones no solapadas. Ya que la mayoría de los individuos de la población
presentan un estado de crecimiento similar, este crecimiento DISCRETO puede ser
descrito mediante una ecuación diferencial finita, es decir:
Si
Nt = Tamaño de la población en el momento t
b = Nacimientos por hembra y por intervalo de tiempo
p = probabilidad de supervivencia en el intervalo de tiempo
Entonces
N1 = N0 p + p b N0
Nt+1 = Nt p + p b Nt = Nt (p + b p) =  Nt

2. Nt=  Nt-1 = ( Nt-2) = t N0
Nt = t N0
donde  es una constante llamada ‘coeficiente de incremento geométrico’.
Ahora consideraremos organismos con generaciones solapadas. El crecimiento
CONTINUO de este tipo de poblaciones puede ser descrito mediante la ecuación:
dN/dt = (b - d) N
donde:
b = Tasa instantánea de nacimiento por hembra
d = Tasa instantánea de mortalidad por hembra
N = Tamaño de la población
b – d = r = Tasa instantánea de crecimiento por hembra
Integrando la expresión anterior obtenemos que
N=N0ert
1.1. Crecimiento Exponencial.
El primer modelo se muestra en la Figura 1. Él representa el crecimiento de la
población en una fuente de presión constante. La fuente de presión constante puede
abastecer tanta energía como se necesita. Por ejemplo, piense en una población de
conejos en crecimiento, con abastecimiento de alimento que no considera la rapidez con
que ellos comen. Siga el flujo del diagrama para ver como la población de conejos
aumenta, esta retroalimenta para traer mas energía (a través de más alimentación) para
procrear mas conejos. Si el sistema comienza con un conejo macho y una hembra, y ellos
producen cuatro conejitos que a su vez producen ocho; y así, en la misma tasa de
aumento, la próxima generación producirá 16, la próxima 32, la próxima 64 y así
sucesivamente. Como el número de conejos aumenta, ellos usan más de la fuente de
energía y el número aumenta rápidamente.

3. Figura 1 Crecimiento exponencial de un sistema con fuente de energía
que mantiene una presión constante.
Modelo 2: Crecimiento Logístico.
Las poblaciones creciendo inicialmente rápido en una fuente de presión constante, se
vuelven tan numerosas que pierden su capacidad de crecer debido a interacciones entre
los miembros de la población, resultando entonces un estado de equilibrio. Este tipo de
crecimiento se llama crecimiento logístico.
Crecimiento logístico es el balance entre producción en proporción a la población, y a
las pérdidas en proporción a la oportunidad de interacciones individuales.
El proceso de crecimiento puede ser entendido con el auxilio del diagrama de símbolos
del modelo en la Figura 2. Un ejemplo es el crecimiento de levadura en el fermento del
pan. Primeramente, el crecimiento de la población es casi exponencial. La disponibilidad
de alimento es constante y como la población crece esto implica comer más y más. Sin
embargo, las células de levaduras se vuelven tan numerosas que sus productos
comienzan a interferir con el propio crecimiento. Resultando un estado de equilibrio entre
producción y pérdida de células.

4. Figura 2 Crecimiento logístico: Crecimiento de un sistema con una fuente de energía a
presión constante y una auto-interacción en un drenaje de salida.
MATERIALES Y MÉTODOS
 Separatas
 Calculadora (o pc)
 Papel milimetrado o use una hoja de cálculo
PROCEDIMIENTOS
Primera actividad a realizar por el alumno
Con la ecuación obtenida anteriormente y partiendo de los rangos que se suministran en
la tabla 1, construye la curva de crecimiento de tu población para un total de 10
generaciones (t=1, 2,....,10)
Nt = t N0
Tabla 1. Valores máximos y mínimos de los parámetros de crecimiento  y N0
 N0
Máximo 2 100
Mínimo 0.5 10

5. Segunda actividad a realizar por el alumno
Con la ecuación obtenida anteriormente y partiendo de los rangos que se suministran en
la tabla 2, construye la curva de crecimiento de tu población para un total de 10
generaciones (t=1, 2,....,10)
N=N0ert
Tabla 2. Valores máximos y mínimos de los parámetros de crecimiento r y N0
r N0
Máximo 0.9 100
Mínimo 0.1 10
MODELOS POBLACIONALES GEOMÉTRICOS Y EXPONENCIALES
Tercera actividad a realizar por el alumno
Se presentan los datos de población desde el año 500 a 1900 y luego desde 1950 al
2000, debe de calcular el valor de r (recuerde que r = LN ( (Nn+1) / (N n) ) 1/100
y realizar la
gráfica de la población estimada vs. r, para cada periodo de año (de 500 a 1900 luego de
1950al 2000), para ello puede usar MS Excel eligiendo la opción de gráfico. Y analice sus
resultados obtenidos gráficamente.
Estimaciones del tamaño de la población humana mundial
A. De 500 a 1900
Tiempo
(siglos
desde 500)
Año Población
estimada r
0 500 190,000,000
1 600 200,000,000
2 700 207,000,000
3 800 220,000,000
4 900 226,000,000
5 1000 254,000,000
6 1100 301,000,000
7 1200 360,000,000
8 1300 360,000,000
9 1400 350,000,000
10 1500 425,000,000
11 1600 545,000,000
12 1700 600,000,000
13 1800 813,000,000
14 1900 1,550,000,000

6. B. De 1950 a 2000
Tiempo
(años
desde
1950)
Año Población
estimada r
0 1950 2,555,078,074
1 1951 2,592,861,684
2 1952 2,634,919,408
3 1953 2,680,253,696
4 1954 2,728,222,066
5 1955 2,779,669,781
6 1956 2,832,623,670
7 1957 2,888,444,047
8 1958 2,944,942,787
9 1959 2,997,268,998
10 1960 3,039,332,401
11 1961 3,080,114,361
12 1962 3,136,197,751
13 1963 3,205,706,699
14 1964 3,276,816,764
15 1965 3,345,837,853
16 1966 3,416,065,246
17 1967 3,485,807,350
18 1968 3,557,675,690
19 1969 3,632,341,351
20 1970 3,707,610,112
21 1971 3,785,190,759
22 1972 3,862,197,286
23 1973 3,938,708,588
24 1974 4,014,598,416
25 1975 4,088,224,047
26 1976 4,160,391,803
27 1977 4,232,928,595
28 1978 4,305,403,287
29 1979 4,380,776,827
30 1980 4,456,705,217
31 1981 4,532,964,932
32 1982 4,613,401,886
33 1983 4,693,932,150
34 1984 4,773,566,805
35 1985 4,854,602,890
36 1986 4,937,607,708
37 1987 5,023,570,176

7. 38 1988 5,110,153,261
39 1989 5,196,333,209
40 1990 5,283,755,345
41 1991 5,366,938,089
42 1992 5,449,663,819
43 1993 5,531,001,812
44 1994 5,610,978,348
45 1995 5,690,865,776
46 1996 5,768,612,284
47 1997 5,846,804,802
48 1998 5,924,574,901
49 1999 6,002,509,427
50 2000 6,080,141,683
Cuarta actividad a realizar por el alumno
Modelo geométrico de crecimiento
poblacional
Asume tasas per cápita de natalidad y mortalidad constantes
Recuerde que
Nacimientos totales = Nt * b
Muertes totales = Nt * d
R = b -d
Calcule los valores y rellene la tabla para graficarlo y analizar sus resultados.
t Nt Nacimientos
totales
Muertes
totales
b d R
0 100 1.25 0.5 0.75
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

8. 17
18
19
20
Quinta actividad a realizar por el alumno
Comparación de los modelos exponencial y geométrico
En la siguiente parte de la práctica debe de comparar el modelo exponencial y el
geométrico, para ellos complete la siguiente tabla, para luego elaborar sus gráficos
(tiempo vs. Nt tanto exponencial como geométrico) y analizar sus resultados.
Recuerde:
Nt exponencial = Nt(n-1) r * tn
Nt geométrico = (1 + R) tn * Nt (n-1)
r exponencial = LN (( Nt(n+1) / (Nt(n))
R geométrico = ((Nt(n+1) / (Nt(n)) - 1
Constantes
r= 0.25
R= 0.25
Valores calculados
Nt Nt r R
t Exponencial Geométrico Exponencial Geométrico
0 1 1 0.25 0.25
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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