Funcion lineal

¿Cuánto cuesta el hospedaje?
Conoce la función lineal

En el libro de Malba Tahan, El hombre que calculaba, se narra el siguiente episodio:
Llegamos a la posada. El dueño se llamaba Salim y había sido empleado de mi padre. Al verme, gritó
sonriente:
—¡Alá sea contigo, mi señor! Aguardo tus órdenes ahora y siempre.
Díjele entonces que necesitaba una habitación para mí y para mi amigo Beremís Samir, el calculista, secretario
del visir Maluf.
—¿Ese hombre es un calculista? —exclamó el viejo Salim—. Si es así, llegó en un momento oportuno para
sacarme de un apuro. Acabo de tener una seria divergencia con un joyero. Discutimos largo rato, y de nuestra
discusión ha resultado, al final, un problema que no sabemos resolver.
Al escuchar que un calculista había llegado a la posada, varias personas se aproximaron, curiosas. El vendedor
de joyas fue llamado, y declaró estar interesadísimo en la resolución de ese problema.
—¿Cuál es el origen de la deuda? —preguntó Beremís.
El viejo Salim contestó:
—Ese hombre (y señaló al joyero) vino desde Siria a vender joyas en Bagdad, prometiéndome pagar por el
hospedaje veinte dracmas si vendía las joyas por cien dracmas, y pagarme treinta y cinco si las vendía por
doscientos. Al cabo de varios días de ir y venir de aquí para allá, vendió todo en ciento cuarenta dracmas. ¿Cuánto
debe pagar, en consecuencia, ateniéndose a lo convenido, por concepto de hospedaje?
El mercader de joyas se adelantó y planteó la siguiente proporción:
200 : 35 140 : x
Expliquemos la proporción propuesta por el mercader.
Sabes que el comerciante, si vendiera las joyas en 200 dracmas, pagaría 35 dracmas por su
hospedaje. ¿Qué sucedería si vendiera las joyas a la mitad del precio, es decir, en 100 dracmas?
35
Tendría que pagar al dueño de la posada la mitad, es decir, 2 17,5 dracmas.
¿Y si vendiera las joyas al doble de precio, es decir, en 400 dracmas?
Pagaría al posadero el doble: 70 dracmas. Anota estos resultados en una tabla:
Precio de venta de las joyas Costo del hospedaje
100 dracmas 17,5 dracmas
200 dracmas 35 dracmas

Visualicemos la situación:
Costo del hospedaje
según el mercader
y

70

35

17,5

°
0 x
100 200 400 Precio de venta
de las joyas

Este gráfico parece ser de una función. Verifiquemos:
Recuerda que la primera condición de función es que cada elemento del dominio tenga una
imagen en el recorrido.
¿Cuál es el dominio?
Se puede representar por el intervalo1 P 0,400 (donde P es el precio de venta de las joyas
por parte del mercader). Observa que el valor 0 no forma parte del dominio, porque significaría
que el joyero ha vendido las joyas y no ha recibido valor alguno; lo que implicaría que el dueño
de la posada no le ha cobrado nada del hospedaje, lo cual no tendría sentido.
Como se observa, cualquiera que sea la cantidad de dracmas que se consigue por las joyas,
se tiene que pagar alguna cantidad de dracmas por el hospedaje.
Ahora verifica que se cumple la segunda condición: todo x en el dominio debe tener una
única imagen en el recorrido.
¿Cuál es el recorrido de esta relación?
El intervalo de 0 a 70 dracmas. Es decir, V 0,70 (donde V es el valor de la posada que
debe pagar el mercader).
Cada elemento del dominio tiene una imagen única, porque por cada valor de venta de las
joyas se pagará una única cantidad determinada por el hospedaje.
Así estamos seguros de que tenemos una función.
Encontremos su fórmula (modelo matemático). Se sabe que si las joyas se venden en 200
7
dracmas, el hospedaje costará 35, y eso significa que el hospedaje constituye las 40 partes de la
35 7
venta, porque: .
200 40
En el caso de que las joyas se vendieran en 100 dracmas, el hospedaje costaría 17,5 dracmas.
Al calcular la relación entre el valor del hospedaje y el precio de venta se tiene:

1
El dominio del conjunto en realidad es un conjunto finito, pues el dinero es una variable discreta, ya que la fracción
monetaria siempre es finita.

17,5 175 7
100 1000 40
¡Hemos encontrado la proporción entre los dos valores! (Ahora, haz el cálculo para el caso
en el que la venta ascendiera a 400 dracmas). Ya lo sabes: la ecuación de la función del mercader
7
es la siguiente: y 40 x .
Esta es una recopilación de todo lo que sabes sobre ella:

Costo del hospedaje
según el mercader
y

70
7
y 40 x
35
Precio de venta
17,5 de las joyas

°
x
0
100 200 400

Dominio: P 0,400 . Recorrido: V 0,70
Ahora se conoce cómo funciona la propuesta del mercader de joyas. Utilicemos la fórmula
para encontrar la cantidad que debe pagar el mercader por la posada en el caso real: cuando las
7
joyas se han vendido por 140 dracmas. Así: y 40 140 24,5 dracmas.
Según el mercader de joyas, él debe pagar al posadero 24,5 dracmas.
—¡Debo pagar veinte y cuatro dracmas y medio! —exclamó el mercader sirio—. Si vendiendo a doscientos
dracmas pagaría treinta y cinco, vendiendo a ciento cuarenta debo pagar veinte y cuatro y medio.
—Está equivocado —replicó irritado el viejo Salim—. Por mis cálculos son veinte y ocho. Vea usted: si por
cien dracmas debía pagarme veinte, por ciento cuarenta debo recibir veinte y ocho. Se lo demostraré ahora mismo.
La proporción que acaba de plantear el dueño de la hospedería es la siguiente:
100 : 20 140 : x
Se sabe que el viejo Salim cobraría 20 dracmas si el mercader vendiera las joyas en 100
dracmas. ¿Qué pasaría si las vendiera a la mitad, es decir, en 50 dracmas? Tendría que pagar al
dueño de la posada la mitad de 20, es decir, 10 dracmas. ¿Y si vende las joyas al doble de precio,
es decir, en 200 dracmas? Así pagaría al posadero el doble de 20, es decir, 40 dracmas. Anota
estos resultados en una tabla:
Costo del hospedaje
Precio de venta de las joyas

Visualiza la tabla en un gráfico:
Cost o del hospedaje
según el viejo Salim
y

40

20
10

°
0
x
50 100 200 Precio de vent a
de las joyas

Este gráfico también es de una función. Verifiquémoslo:
Recuerda que la primera condición de función es que cada elemento del dominio tenga una
imagen en el recorrido.
El intervalo S 0,200 (donde S representa el valor de venta de las joyas según Salim).
Observa que el cero, como en el caso anterior, no es parte del dominio porque al vender las joyas
debe hacerse por algún valor, eso implica además que no se cobre el hospedaje. Cualquiera que
sea la cantidad que el mercader obtenga por las joyas, se tendrá que pagar alguna cantidad de
dinero por el hospedaje.
Ahora verifica la segunda condición: todo x en el dominio debe tener una imagen única y en
el recorrido.
El intervalo de 0 a 40 dracmas. Es decir, PS 0,40 (P de posada y S de Salim, el valor que
debe para por la posada según el posadero). Por cada valor de venta de las joyas, se cobrará una
cantidad determinada por el hospedaje. Así, cada elemento del dominio tiene una imagen única.
Ahora estamos seguros de que tenemos una función.
¿Puedes encontrar su fórmula?
Se sabe que si las joyas se venden en 100 dracmas, el hospedaje costará 20; entonces el
20
hospedaje constituirá 1 de la venta, porque: 100 1
5 5

En el caso de que las joyas se vendieran en 50 dracmas, el hospedaje costaría 10 dracmas. Lo
cual se verifica en la siguiente proporción: 10 1
50 5

¡Es la misma proporción! (Haz el cálculo para el caso en el que la venta sea igual a 200
dracmas). Ahora se sabe que la ecuación de la función del viejo Salim es la siguiente: y 1 x .
5

1
Recopilando lo averiguado: y 5 x ,dominio: S 0,200 , recorrido: PS 0,40 .
Al utilizar esta fórmula, se encuentra la cantidad que debe pagar el mercader según el dueño
de la posada. Como las joyas se vendieron por 140 dracmas, el cálculo es:

1
y 5
140 28
Según el posadero, el mercader de joyas debe cancelar, por el concepto de hospedaje, 28
dracmas.
—¡Como pueden ver, el mercader me debe veinte y ocho dracmas! —exclamó el posadero.
—¡No, solo veinte y cuatro y medio! —protestó el mercader.
—¡Calma, mis amigos! —interrumpió Beremís—. Es preciso encarar las dudas con serenidad y bondad. La
precipitación conduce al error y a la discordia. Los resultados que los señores indican están equivocados, según voy
a demostrar.
Y aclaró el caso del siguiente modo:
—De acuerdo al trato, el sirio pagaría veinte dracmas si vendiese las joyas en cien, y se vería obligado a pagar
treinta y cinco si las vendiese en doscientos.
Tenemos así:
Precio de venta Costo del hospedaje
200 35
100 20
Diferencia 100 15
—Observen que a una diferencia de cien dracmas en el precio de venta, corresponde una diferencia de quince
dracmas en el costo de hospedaje.
Y planteó la siguiente proporción: 100 : 15 40 : x
¿Qué debemos comprender en el planteamiento de Beremís?
Obsérvese en un gráfico el planteamiento de Beremís:
según Beremís
y

35

?
20

0
x
de las joyas

¿Será esta relación es una función? ¡Demostrémoslo!
Recordemos que la primera condición de función es que cada elemento del dominio tenga
una imagen en el recorrido.
Es el intervalo J 100,200 (J de precio de las joyas). A cada precio al que sean vendidas
las joyas, entre 100 y 200 dracmas, le corresponde un costo de hospedaje. Así, queda satisfecha
la primera condición de función.

Ahora verifiquemos que se cumple la segunda condición: todo elemento del dominio debe
tener una imagen única en el recorrido.
El intervalo H 20,35 (H de costo del hospedaje). Cada elemento del dominio tiene una
imagen única, porque a cada precio que puedan tener las joyas, le corresponde un solo costo de
hospedaje. Queda satisfecha la segunda condición, por lo que ahora tenemos una función.
Para encontrar su fórmula, o, en otras palabras, para encontrar la relación entre el precio de
las joyas y el costo del hospedaje según Beremís, ¿qué hay que reflexionar?
Piénsenlo un poco... Tienen razón, puede ser complejo... Pero ¿por qué?
Hasta ahora se ha aprendido a determinar la fórmula de una función cuya recta pasa por el
origen. Ahora es diferente: la recta de Beremís no pasa por el origen.
No importa: ¡no necesitas saber la fórmula de la función para resolver el problema! Haz una
recopilación de todo lo que sabes de esta función:
Dominio: J 100,200 , recorrido: H 20,35
Ahora regresemos al problema: ¿qué costo del hospedaje le corresponde a la venta de las
joyas en 140 dracmas? Busca en tu gráfico la proporción que plantea Beremís:

según Beremís
y

A
35

¿? F 15
?
20 B D C
40

0
100 x
de las joyas

Como se puede ver, entre los triángulos ABC y FBD existe una proporción, pues ambos
triángulos son semejantes, de modo que sus lados son proporcionales. Se desconoce la medida
del lado FD. La del lado AC es de 15 y el lado BD representa 40 dracmas. El lado BC es 100.
Utilizando el teorema de Tales para escribir la proporción que hay entre estas cuatro magnitudes:
x 40
15 100
Al despejar la incógnita se tiene:
40 15
x 100 6
Ahora grafiquemos lo conocido:

según Beremís
y

35

¿?
6
20

0
x
de las joyas

—El acrecentamiento es de seis dracmas —dijo Beremís—. ¿Está claro esto?
—Claro como la leche de camello —asintieron todos.
—Ahora —prosiguió el calculista—, si un acrecentamiento de cien dracmas en la venta produce un aumento de
quince en el hospedaje, un acrecentamiento de cuarenta corresponde a un aumento de seis a favor del posadero.
Entonces el pago que corresponde a los ciento cuarenta dracmas (que son cien más cuarenta) es, pues, veinte más
seis, o sea, veinte y seis dracmas.
Este es el cálculo de Beremís: 20 6 26 .
Anotando en el gráfico:

según Beremís
y

35

26
20

0
x
de las joyas

Ya se sabe: si el mercader vende las joyas en 140 dracmas, según Beremís, tendrá que pagar
por el hospedaje 26 dracmas. Según Beremís, la diferencia que se le debe agregar al menor valor
de hospedaje, es decir, a los 20 dracmas, es de 6 dracmas. Por lo tanto, el precio real del
hospedaje es de 26 dracmas.
Dirigiéndose al joyero sirio, Beremís habló así:
—¡Mi amigo! Los números, a pesar de su simplicidad aparente, no es raro que engañen, aun al más capaz. Las
proporciones, que nos parecen perfectas, nos conducen, a veces, al error.
—¡El señor tiene razón! —asintió el joyero—. Reconozco ahora que mi cálculo estaba equivocado.

—¡Yo también fallé en mis cuentas! —exclamó el viejo Salim. Y te agradezco, Beremís, por hacerme ver mi
error. Para mí sería un honor que tú y mi amigo se hospedaran en mi humilde posada sin costo alguno, durante el
tiempo que deseen.
El mercader sacó de su bolsa veinte y seis dracmas, y se los entregó al viejo Salim. Además, ofreció como
presente al talentoso Beremís un hermoso anillo de oro con dos piedras oscuras, acompañando el obsequio con
expresiones afectuosas.
¿Pueden verlo? Debido a que el mercader y el posadero enfocaban el problema de una
manera parcial (es decir, sin tomar en cuenta el punto de vista del otro), ambos dieron una
respuesta equivocada. En cambio, Beremís vio el problema de una manera imparcial, sin dar
preferencias ni al uno ni al otro. ¡Y su respuesta fue correcta!
Solo desde la totalidad se dará la respuesta adecuada a cada situación.

¡Practícalo!
Si analizas el problema de Beremís mediante la teoría de las interpolaciones (porcentajes), el
resultado riguroso no será veinte y seis dracmas. Expliquémoslo.
Recuerda el problema: si el mercader consigue 100 dracmas por sus joyas, el viejo Salim le
cobrará 20 dracmas por el hospedaje. Y si el mercader logra vender sus joyas por 200 dracmas,
el posadero le cobrará por el hospedaje 35 dracmas. ¡Pero el mercader logró vender las joyas en
140 dracmas! Ahora ambos se encuentran en el dilema de saber cuánto debe costar el hospedaje.
¿Qué tal si, en vez de considerar los valores en dracmas, consideras sus porcentajes? Al
analizar la primera parte del trato (si las joyas se venden en 100 dracmas, el hospedaje costará 20
dracmas), busca el porcentaje que representa el hospedaje de 20 dracmas respecto de la venta de
100. Los 100 dracmas representan el 100 % (pues en este caso esta es tu totalidad). Solo debes
encontrar el porcentaje que, guardando la misma proporción, corresponda a 20 (que es la parte).
Así:
100 % x
100 20
Ya conoces el valor de x:
20 100 %
x
100
¡Entonces, los 20 dracmas constituyen el 20 % de los 100 dracmas!
Ahora, al analizar la segunda parte del trato (si las joyas se venden en 200 dracmas, el
hospedaje costará 35 dracmas), ¿qué porcentaje de 200 representa 35?
100 % x
200 35
Al despejar la x:
35 100 %
x 17,5%
200
¡35 dracmas representan el 17,5 % de la venta! Coloquemos estos datos en una tabla:

Precio de venta de las joyas Porcentaje que representa el hospedaje respecto de la venta
100 dracmas 20 %
200 darcmas 17,5 %

A continuación, un gráfico para visualizar la situación:
Porcentaje que representa
hospedaje respecto de la venta
y

20%

17,5%

x
0
100 200 Precio de venta
de las joyas

Se puede observar que, mientras el precio de la venta de las joyas aumenta, el porcentaje en
el pago del hospedaje disminuye. Aunque este tipo de relación es nuevo, ¿se trata de una
función? ¡Demostrémoslo!
La primera condición de función es que cada elemento del dominio tenga una imagen en el
recorrido.
Es el intervalo I 100,200 , donde I representa el precio de las joyas. No importa si las
joyas son vendidas a un precio superior a 100 dracmas o inferior a 200, cada valor de venta
tendrá su correspondiente porcentaje de hospedaje. Así, queda satisfecha la primera condición de
función.
Ahora, la segunda condición: todo elemento del dominio debe tener una imagen única en el
recorrido.
Así es: el intervalo de 17,5 % a 20 %. Es decir, C 17,5 % ; 20% (C de porcentaje). Cada
elemento del dominio tiene una imagen única, porque a cada precio que puedan tener las joyas le
corresponde un solo porcentaje de hospedaje. Queda satisfecha la segunda condición; así que
ahora ¡se está seguro de que tenemos una función!
¿Determinemos su fórmula?
En otras palabras, hay que hallar la relación entre el precio de las joyas y el porcentaje del
hospedaje. Sin embargo, no se necesita saber la fórmula de la función de la recta que no pasa por
el origen para resolver el problema. (La formula se encuentra en el anexo 1).
Hagamos una recopilación de todo lo que se sabe de la función porcentaje:

Porcentaje que representa el
y

A
20%
¿0
y F

17,5% B C
D

0
x
de las joyas

Dominio J 100,200 , recorrido P 17,5% ; 20% .
Ahora sí se puede resolver el problema del viejo Salim y del mercader: si las joyas se
vendieron en 140 dracmas, ¿cuál fue el costo del hospedaje? Para eso primero se deduce el
porcentaje que corresponde a ese precio de la venta.
Cuando se encuentre el porcentaje correspondiente al precio de 140 dracmas, se estará a un
paso de conocer la respuesta. ¿Cómo encontrar el porcentaje?
Busquemos en el gráfico alguna proporción.
Como se puede ver, entre los triángulos ABC y FDC existe una proporción, pues ambos
triángulos son semejantes, ¡de modo que sus lados son proporcionales! No se conoce la medida
del lado FD; el lado AB es 2,5 %; el lado DC representa 60 dracmas; y el lado BC, 100 dracmas.
¡Al utilizar el teorema de Tales se escribe la proporción que hay entre estas cuatro magnitudes!
Los lados correspondientes de los triángulos semejantes son proporcionales. Al despejar la
incógnita se tiene:
FD 60 2,5% 60
FD 1,5%
2,5% 100 100

y

20%
¿0
y
1,5%
17,5%

0
x
de las joyas

Ahora, encontrar el porcentaje correspondiente a 140 dracmas es sencillo. Corresponde a:

17,5% 1,5% 19%
Por tanto, si el mercader vende las joyas en 140 dracmas, tendrá que pagar por el hospedaje
el 19 % del valor de venta de las joyas.

y

20%
19%

17,5%

0
x
de las joyas

¡Cuando el precio de las joyas es de 140 dracmas, el porcentaje que representa el hospedaje
es el 19 %! ¿Cuál es, entonces, el costo del hospedaje? Ya que los 140 dracmas representan el
100 %, solo debemos encontrar qué valor representa el 19 %:
140 x
.
100 % 19%
Despeja la incógnita:
140 10%
x 26,6
100 %
¡El pago que corresponde a 140 dracmas es de 26,6 dracmas, y no de 26 dracmas como lo
había indicado Beremís! Según la nueva forma de cálculo, el mercader de joyas debe pagar por
el hospedaje 26,6 dracmas.
Se ha dado otra respuesta al problema del costo del hospedaje. Ahora tienes dos respuestas:
26 y 26,6 dracmas. Discutan cuál de ellas es la correcta.

Anexo 1
Deducción de la ecuación de la función lineal
Ahora haremos la deducción de la ecuación de la función lineal. Con esta fórmula se podrá
verificar el problema del hospedaje y resolver cualquier problema en el que haya una relación
lineal.
Seguiremos la misma metodología usada por Beremís, es decir, fijaremos dos puntos
conocidos, en este caso P( x1 , y1 ) y Q( x2 , y2 ) , donde x1, x2, y1, y2 son números reales. Al igual
que Beremís, los representaremos con un gráfico:

y

y2 Q( x 2 , y 2 )

0
x
x1 x2

Ahora se marca un punto cualquiera de coordenadas x e y, por ejemplo R:

y
Q( x2 , y2 )
y2
y
y1
P( x1 , y1 )

0
x
x1 x x2

Identificaremos en el gráfico los triángulos PQT y PRS, así:

y

y2 Q

y R
y1 T
P S

0
x
x1 x x2

Como se observa, los triángulos son rectángulos. Además, como son semejantes, se puede
aplicar el teorema de Tales del siguiente modo:
QT RS
TP SP
Observa en el siguiente gráfico las expresiones correspondientes a la aplicación del teorema
de Tales:

y

Q
y2
¿y R y2-y1
y-y1
y1 p S T
x-x1

0
x2-x1 x
x1 x x2

QT RS
Sustituye en las expresiones según lo indica la gráfica:
TP SP
y2 y1 y y1
(1)
x2 x1 x x1
Esta expresión sirve para encontrar la ecuación de la recta, cuando se conocen dos puntos
pertenecientes a la recta.
y2 y1 y y1
Ecuación de la recta, conocidos dos puntos (ecuación cartesiana)
x2 x1 x x1

De (1) despeja la expresión y y1 y se obtiene:
y2 y1
y y1 ( x x1 ) (2)
x2 x1
y2 y1
La expresión con ( x2 x1 ) 0 se define como la pendiente de la recta, y es
x2 x1
representada con la letra m. Sustituyendo en (2) tenemos:
y y1 m( x x1 ) (3)
La expresión hallada se utiliza para encontrar la ecuación de una recta, cuando se conocen un
punto de la recta y su pendiente.
y y1 m( x x1 ) Ecuación de la recta en su forma: punto-pendiente

En la ecuación (3), al despejar y, tenemos:
y mx mx1 y1 (4)
Como -mx1+y1 es una operación numérica de reales, la reemplazamos por la constante “b”.
Siendo “b” elemento de los reales y denominándose ordenada al origen. La expresión (4) toma
la siguiente forma:
y mx b (5)
Utilizamos esta expresión para encontrar la ecuación de una recta, cuando se conocen su
pendiente y la coordenada (0,b). Por tanto:
y mx b Ecuación de la recta en su forma: pendiente ordenada al origen
Ahora regresemos a la ecuación (1) y resolvámosla de la siguiente manera:

( y2 y1 )( x x1 ) ( x2 x1 )( y y1 ) Aplicando la propiedad distributiva

xy2 xy1 x1 y2 x1 y1 x2 y x2 y1 x1 y x1 y1 Igualando a cero

xy2 xy1 x1 y2 x1 y1 x2 y x2 y1 x1 y x1 y1 0 Extraemos el factor común y nos queda

( y2 y1 ) x ( x1 x2 ) y x2 y1 x1 y1 x1 y2 x1 y1 0 Reduciendo términos semejantes

( y2 y1 ) x ( x1 x2 ) y x2 y1 x1 y2 0 Obtenemos la ecuación (6)

Puesto que ( y2 y1 ) , ( x1 x2 ) y x2 y1 x1 y2 son operaciones de reales, las representaremos
por A, B y C respectivamente. Por lo tanto, la ecuación (6) se escribe así:
Ax By C 0

La última expresión es conocida con el nombre de “ecuación general de la recta”.
Ax By C 0 Ecuación de la recta en su forma: general

Créditos: Margarita Kóstikova y Sheila Serrano

Corrección y adaptación: Equipo de currículo de BGU

Funcion lineal

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Destacado

Destacado (20)

Más de Bernardita Naranjo

Más de Bernardita Naranjo (20)

Funcion lineal