El documento resume tres temas: 1) Intervalos, incluyendo definiciones y tipos de intervalos, 2) Valor absoluto, incluyendo su definición y propiedades, y 3) Desigualdades, incluyendo propiedades y ejemplos de cómo resolver desigualdades definidas por valor absoluto.

1. 1. Intervalos
2. Valor absoluto
3. Desigualdades
TEMAS

2. 1. INTERVALOS.
Definición:
 Es un subconjunto de la recta real, el cual contiene a
todos los números comprendidos entre otros dos
números a y b llamados extremos del intervalo.
 Los intervalos se pueden escribir de tres maneras
diferentes:
a. Notación de intervalo: ( a ,b ); [ a , b ]
b. Notación de conjuntos: x: a  x  b 
c. Representación grafica:
INTERVALOS

3. INTERVALOS
 Clases de Intervalos:

4. INTERVALOS
 Ejemplos:
1. Expresar de diferentes maneras los siguientes
intervalos:
a) [ − 3, 9); 𝑥 𝑥 − 3 ≤ 𝑥 < 9 ;
−3 9
b) 𝑥 𝑥 −
2
3
< 𝑥 < 1 ; ( −
2
3
, 1) ;
−
2
3 1
c) D ; ( − 5, 5]; 𝑥 𝑥 − 5 < 𝑥 ≤ 5 ;;
−5 5

5. Valor Absoluto
2. VALOR ABSOLUTO
 El valor absoluto de un número es la distancia que hay del
número al origen; es decir, al cero.
 El valor absoluto de un número real 𝑎 se denota por 𝑎 y
puede ocurrir que:
𝒂 =
−𝒂 𝒔𝒊 𝒂 < 𝟎
𝒂 𝒔𝒊 𝒂 ≥ 𝟎
 Ejemplo:
𝒂 =
𝟓
𝟕
entonces por ser mayor que cero
𝟓
𝟕
=
𝟓
𝟕
; pero si
𝒂 = −
𝟓
𝟕
entonces por ser menor que cero se tendría que:
−
𝟓
𝟕
= − −
𝟓
𝟕
=
𝟓
𝟕

6. Valor Absoluto
 Algunas propiedades del valor absoluto.
a. Números opuestos aditivos tienen igual valor.
𝑎 = −𝑎
3,25 = −3,25 = 3,25
b. El valor absoluto de un producto es igual al producto de los
valores absolutos de los factores.
𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑎 ⋅ 𝑏
2
3
⋅ (−5) =
2
3
⋅ −5
−
10
3
=
2
3
⋅ − −5
− −
10
3
=
2
3
⋅ 5
10
3
=
10
3

7. Valor Absoluto
c. El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma
de los valores absolutos de los sumandos.
𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏
1,7 + (−2,51) ≤ 1,7 + −2,51
1,7 − 2,51) ≤ 1,7 + [− −2,51 ]
−0,81 ≤ 1,7 + 2,51
0,81 ≤ 4,21

8. DESIGUALDADES
3. DESIGUALDADES
 Una desigualdad es una expresión algebraica relacionada por los
signos mayor (), menor (), mayor o igual (), o menor o igual
(≤).
 Propiedades:
a. Si a  b y b  c entonces a  c
2,7 < 2,9 y 2,9 < 3,1 entonces 2,7 < 3,1
b. Si a  b entonces a + c  b + c
2,7 < 2,9 entonces 2,7 + 3,1 < 2,9 + 3,1
5,8 < 6,0
c. Si a  b y c  0 entonces ac  bc
2,7 < 2,9 entonces 2,7•3,1 < 2,9•3,1
7,83 < 8,99
d. Si a  b y c  0 entonces ac  bc
2,7 < 2,9 entonces 2,7•(- 3,1) > 2,9•(- 3,1)
- 7,83 > - 8,99
a = 2,7
b = 2,9
c = 3,1

9. DESIGUALDADES
 Desigualdades definidas por valor absoluto.
a. Un intervalo, 𝑥 − 𝑎 ≤ 𝑑 entonces 𝑎 − 𝑑 ≥ 𝑥 ≤ 𝑎 + 𝑑
𝑑 𝑑
𝑎 − 𝑑 𝑎 𝑎 + 𝑑
b. Dos intervalos, 𝑥 − 𝑎 ≥ 𝑑 entonces
𝑥 ≤ 𝑎 − 𝑑 y 𝑥 ≥ 𝑎 + 𝑑
𝑑 𝑑
𝑎 − 𝑑 𝑎 𝑎 + 𝑑

10. DESIGUALDADES
 Ejemplos:
a. Resuelva 𝑥 − 3 ≤ 2
−2 ≤ 𝑥 − 3 ≤ 2
−2 + 3 ≤ 𝑥 ≤ 2 + 3
1 ≤ 𝑥 ≤ 5
b. Resuelva 𝑥 + 2 > 3
Caso 1: Si 𝑥 + 2 < 0 entonces 𝑥 + 2 = −(𝑥 + 2)
− 𝑥 + 2 > 3
−𝑥 − 2 > 3
−𝑥 > 3 + 2
−𝑥 > 5
−𝑥(−1) > 5(−1)
𝑥 < −5
Caso 2: Si 𝑥 + 2 > 0 entonces 𝑥 + 2 = 𝑥 + 2
𝑥 + 2 > 3
𝑥 > 3 − 2
𝑥 > 1
Por tanto la solución esta en (−∞, −5) y (1, ∞)