1. DIGITALIZACIÓN DE LA MATERIA
Nombre: Daniel Felipe Arcila Valencia
Matrícula: 706372
Tutor: Sono Daniel David
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
Definición: Un número real es cualquier número que puede representarse en
forma decimal.
Ejemplos:

2. Subconjuntos Importantes de los Reales
Los números naturales o de conteo
Los enteros no negativos
Los enteros
Racionales
a y b son enteros y b
0
División para cero 3 casos
Respuesta Infinita

3. R = Reales
Q = Racionales
Q´ = Irracionales
Z = Enteros
F = Fraccionarios
N = Naturales
Diferencia en la forma decimal de un número racional con su irracional.
Ejemplos:

4. Todo número racional expresado en su forma racional o termina o es
periódico.
Un número irracional en cambio la forma decimal ni termina ni es periódica.
Ejemplos:
=1,4142…
= 1,73205…
π = 1,14159…
e = 2,718…
Observación y notación de intervalos
El conjunto de los números reales está ordenado. Esto significa que podemos
comparar dos números reales cualesquiera.
Símbolo
Definición
Se Lee
a>b
a-b es positivo
a es mayor que b
a<b
a-b es negativo
a es menor que b
a≥b
a-b es positivo o es 0
a es mayor o igual que b
a≤b
a-b es negativo o cero
A es menor o igual que
b

5. Los símbolos <,>, ≤,≥ son símbolos de desigualdades.
Recta numérica
Resulta de asociar los puntos de una recta con los números reales.
-∞
-3
-2
-1
0
1
2
3
+∞
Recta numérica real
Intervalos acotados de números reales
Notación de
Intervalo
Tipo de Intervalo
Notación de
Desigualdad
[a,b]
Cerrado
a≤x≤b
(a,b)
Abierto
a<x<b
[a,b)
Semi abierto
a≤x<b
(a,b]
Semi abierto
a<x≤b
Los números a,b son extremos de cada intervalo.
Gráfico
a
b
a
b

6. Intervalos no acotados de números reales
Notación de Intervalo
Notación de Desigualdad
[a, -∞)
x≥a
(a,+∞)
x>a
(-∞, +b]
x≤b
(-∞, +b)
X<b
Guía N°1
(-1;3) : -1 es mayor que x y x es menor que 3
-1 < x ≤ 3
-∞
+∞
(-3;8] -3 < x ≤ 8 -3 menor que x y x menor o igual que 8
-3
8
X ≤ -7 x es menor o igual a -7
(-∞;-7]
-∞
+
Gráfico

7. Expresiones Algebraicas
Una expresión algebraica es un conjunto de letras (variables) y números
(constantes) relacionadas mediante operaciones algebraicas.
Suma, resta, multiplicación, división, radicación, potenciación.
Ejemplos:
Términos:
Definición.- Son cantidades separadas por signos (+;-)
Jerarquía de Operaciones de mayor a menor
Potenciación y radicación
Multiplicación y división
Suma y resta
Se destruye la jerarquía de operaciones cuando existen signos de agrupación.

8. Propiedades de los números reales
Sean u,v y w números reales, variables o expresiones algebraicas.
1.- Propiedad Conmutativa
Suma: u+v = v+u
Multiplicación: uv=vu
2.- Propiedad Asociativa
Suma: (v+v)+w= u+(v+w)
3- Propiedad de la Identidad
Suma: u+o=u
4.- Propiedad del Inverso:
Suma: u+(-u)
Multiplicación: u. = 1, u ≠ 0
5.- Propiedad Distributiva
Multiplicación sobre la suma:
U(v+w)=uv+uw
(u+v)w=uw+vw
Multiplicaciones sobre la resta
u(v-w)=uv-uw
(u-v)=uw-vw

9. Propiedad del inverso activo
Sean u y v números reales variables expresiones algebraicas.
Propiedad:
Propiedad
Ejemplo
–u(-u) = u
(-u) * v = u * (-v) = -(u*v)
(-u) * (-v) = u* v
(-1) * (u) = -u
– (u+v) = (-u) + (-v)
-(-2) = 2
(-4)*3 = 4* (-3) = - (-4*3) = -12
(-6) * (-8) = 6 * 8 = -10
-1* (10) = -10
-(7 + 9) = (-7) + (-9) = -16
Exponentes Enteros:
Si a es un número real y n es un número entero o positivo.
Exponente
(
N veces a
Potencia n de a
base
Ejemplos:
)

10. Exponente 0
Definición: Si a es un número real diferente de 0.
Ejemplos:
Exponente Negativo
Definición: Si a es un número real y n un número entero.
Ejemplos:

11. Principales Teoremas de Exponentes
Teoremas
Guía N°2
Identifique la base. No calcule el valor
Simplifique la base (expresión). Asuma que las variables del denominador no
son cero.

12. NOTACIÓN CIENTÍFICA
Se dice que un número x está escrito en notación científica si
donde
Esta notación sirve para realizar operaciones con números muy grandes o
muy pequeños.
Ejemplos:
Gúgol =
Gúgolplex =
Gúgol dúplex =
Exponente Fraccionario
Ejemplos:

13. Radicación
Definición de raíz -n-sima: y cumple lo siguiente:
Ejemplos:
Definición de elementos de un radical
Raíz n-sima de a
Cantidad Subradical
Simplificación de Radicales
Fundamento 1
Ejemplo.

14. Factorización Numérica
18
2
9
3
3
1
1
Fundamento 2:
Ejemplo:

15. Guía N°3
Evaluar las siguientes raíces.
-
=
=
=
Guía N°4
Racionalización de denominadores
En matemáticas no se acostumbra dejar radicales en un denominador.
Para eliminar un radical de un denominador se debe hacerlo sin alterar el
valor de la función.
Fundamento:

16. Guía N°5
=
=
=

17. POLINOMIOS
Expresiones Algebraicas
Es un conjunto de letras (variables) y números (constantes) relacionados
mediante las relaciones algebraicas; suma, resta, multiplicación, división,
potenciación, radicación.
Ejemplos:

18. Polinomios:
Definición: Son expresiones algebraicas que tienen con su variable
únicamente operaciones suma, resta o multiplicación.
Ejemplos:
Forma general de un polinomio en la variable.
Un polinomio en una variable x tiene la siguiente forma.
Grado: n
Variable: x
Término Independiente:
Coeficiente Líder:
Tipos de Polinimios
Monomios:
Los polinomios que tienen un termino igual.
Binomios:
Los polígonos que tienen dos términos igual.
Trinomios:
Los polinomios que tienen 3 términos o igual.

19. Polinomios:
Los polinomios que tienen más de 3 y los anteriores.
Guía N°6
Grado: 9
Coeficiente Líder: -8
Grado: 4
Coeficiente Líder: 7
Término Independiente: -14
Variable: x
Grado: 5
Coeficiente Líder: 1
Término Independiente: 3
Variable: q
Operaciones con Polinomios
Suma y resta: Para sumar o restar polinomios, se simplifican los términos
semejantes (términos que tienen igual su parte literal)

20. Guía n°6
Sume colocando un polinomio debajo del otro:
y
Multiplicación de Polinomios
3.
4.
5. –
6.
Ejemplo:
Guía N°6

21. Regla
Se multiplica cada término de un polinomio por cada término del polinomio.
Productos Notables
Existe en el álgebra un tipo especial de multiplicaciones cuyo resultado se
puede hacer directamente sin realizar la multiplicación.
Algunos Productos Notables
Demostración
Nota: Las variables a y b pueden ser expresiones algebraicas, no solo una
variable.

22. Ejercicios Guía N°7
Escriba el polinomio
a
b
y
3y
14.
15.
16.
17.
20
a
b

23. FACTORIAZACIÓN DE POLINOMIOS
Definición: Es un proceso algebraico que consiste en transformar sumas y
restas en productos.
Ejemplo:
Factorizar:
Factor común:
Proceso:
Se escribe factor común (cantidad contenida en todos los términos) ”x”.
Se abre un paréntesis y dentro de el se escribe la respuesta en dividir cada
término para el factor común.
GUÍA N°8
FACTOR
A veces un polinomio de 4 o más términos no tiene factor común general.
En este caso pueden agruparse los términos para sacar factor común, y luego
si es posible un factor común general con lo que el polinomio que da
factorado.
Nota:
La agrupación no siempre permite factorar al polinomio por lo que es
necesario agrupar de otra manera e intentar factorar nuevamente al
polinomio.

24. Determine el factor común por agrupación
15.
Forma a
Forma b
18.
TRINMIO DE LA FORMA
Procedimiento:
Se escriben dos paréntesis [(.
Se escribe x en ambos paréntesis, en este caso la variable correspondiente es
“x”.
En el primer paréntesis se escribe el signo del segundo término el trinomio y
en el segundo el producto de los signos del segundo por el tercer término del
trinomio.
Se buscan 2 números que sumados algebraicamente den el coeficiente del
segundo término del trinomio y que multiplicados de el tercer término del
trinomio.

25. Ejercicios:
El polinomio es primo por que no existen factores.
TRINOMIO DE LA FORMA
Procedimiento:
Multiplicar y dividir el trinomio por el primer coeficiente.
Aplicar el procedimiento para el trinomio de la forma
Simplificar la respuesta
Ejemplos:
42.
Demostración:

26. 41.
Solución:
El polinomio es primo no existen factores.
48.
DIFERENCIA DE CUADRADOS
Fundamento:

27. Ejemplo:
52.
57.
59.
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
Ejemplo Guía N°9
PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR EL CASO DE FATORIZAIÓN AL QUE
CORRESPONDE UN EJERCICIO
Si es solo un término el polinomio ya que esta factorado.
Factor común por agrupación: Si no hay factor común contar el número de
términos (cantidades separadas con signos + o -)Si son 2 términos diferencia de cuadrados + o – de
potencia al cuadrado.
, suma o diferencia de
Si son 3 términos trinomio al cuadrado perfecto, trinomio de la forma
Si son 4 o más términos: Factor común por agrupación.
Guía N°9

28. EXPRESIONES RACIONALES
Son expresiones de la forma
.
Son fracciones que resultan de dividir 2 polinomios, es decir.
Ejemplos:
VALORES EXCLUIDOS DEL DOMINIO DE UNA FRACCIÓN

29. Nota: Se deben excluir del dominio de una fracción los valores de la variable
que hagan 0 a 1 o más denominaciones.
Ejemplos:
En el ejemplo 1 el dominio son todos los números reales excepto el “2”
En el ejemplo 2 el dominio son todos los reales excepto “3”.
En el ejemplo 4 el dominio es todos los números reales, menos
Ejercicios propuestos por los estudiantes:
Guía 6:

30. Guía 7:
5
10x
4
2x
Guía 8:
Guía 9:
25
10x

31. SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRÁICAS
Fundamento:
Ejemplo Guía N 10:
OPERACIONES CON EXPRESIONES RACIONALES
Multiplicación:
Fundamento:
DIVISIÓN DE EXPRESIONES RACIONALES
Fundamento:

32. SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES RACIONALES
Fundamento:
Proceso:
Para sumar y restar
Se factoran los denominadores.
Se halla un común denominador que contenga a todos los denominadores o
el producto de ellos.
Se divide el común denominador para cada uno de los denominadores y cada
resultado se multiplica por cada uno de los numeradores.
Sumar y Restar
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES COMPLEJAS O COMPUESTAS
Son fracciones que tienen otras fracciones en su numerador o denominador.
Pasos simplificados:
Se deben realizar las operaciones de su numerador y denominador hasta que
quede una fracción en cada uno de ellos.
Se realiza la división de las 2 fracciones resultantes.

33. Ejemplo:
NUMEROS COMPLEJOS
Los números complejos son operaciones de la forma: a+bi; con a, b (Números
Reales) y la expresión “i” que cumple lo siguiente: i=
Ejemplos:
;

34. 1) α= 2+3i
2) β= -1+5i
3) ε= -3+ i
4) 7i
5) 4
Igualdad de números complejos
a+bi= c+di ≡a=c; b=d
Ejemplos guía numero 13:
Ejercicio 18
2+3i=x+yi ≡2=x; 3=y
x=2; y=3
Ejercicio 19
6+yi=x-6i ≡6=x; y=-6
x=6; y=-6
Ejercicio 20
(-2-7i)-3= x-(-1+yi) ⇔ -5=x+1; -7=-y
-5-7i=x+1-yi
x=6; y=7
Operaciones con números complejos
Suma y Resta de números complejos: Para sumar o restar números
complejos se simplifica términos semejantes.

35. 1) (9-5i)+(8+9i)
=9+5i+8+9i
=17+4i
2) (-7+5i)-9
=-7+5i-9
=-16+5i
3) (5-i)+(6-
)
=5-i+6=11-(1+
Multiplicación de números complejos: Se multiplica como el binomio
de dos productos de cual es quiera.
1) 4i(3-8i)= 12i - 32
=12i -32(-1)
=32+12i
2) (3+6i)(4+9i)= 12 +27i+24i+54
=12+51i+54(-1)
=-42+51i
División de números complejos: Se debe multiplicar el numerador y
denominador por el conjugado del denominador.
Conjugado ≡α= a+bi;ἆ= a-bi

36. Ejemplo:
29)
=
=
=
Expresiones Algebraicas
Una expresión algebraica es un conjunto de letras (variables); y números
(constantes); relacionados mediante operaciones algebraicas (suma, resta,
multiplicación,división,potenciación,radicación).
Ejemplos:
1)
2)
3)
Términos: Los términos son cantidades separadas por signos (+ o -).
Ecuaciones y Desigualdades
Ecuaciones Lineales: Son ecuaciones de la forma ax+b=0, donde a y b son
números reales y a≠0.
ax + b = 0 →
2do. Termino

37. ↓
1er. Termino
Ejemplo:
1)
2)
3)
Resolución de un Ecuación de 1er. Grados:
Fundamento:
1)
2)
3)
4)
- Se realizan las operaciones que tenga la expresión hasta expresarla en
la forma ax+b=0
Ejercicios guía 14
Determine si el valor dado es solución de la ecuación. Responda SI o NO
1)
2)
Despejar de la formula dada la incógnita indicada.
17)
; Despejar

38. Inecuaciones de 1er Grado en una variable
Son desigualdades de la forma ax+b<0; ax+b≥0
ax + b > 0 →
2do. Miembro
↓
1er. Miembro
Fundamentos:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Ejemplos:
1) 3
2)
3)
4)
Resolución de Inecuaciones de 1er Grado con 1 variable.
1) Se realiza las operaciones que se encuentre en la inecuación hasta
dejarla en la forma ax+b
.
2) Se despeja x

39. Ejemplos:
1) 3
3x
X
Solución = ( ;+∞)
S=
-∞
2) -2
-2x
X
2/3
+∞
Solución = (-∞; 2]
S=
-∞
2
Inecuaciones con valor Absoluto
Fundamento
1)
2)
+∞

40. Ejemplo:
Resolver:
=
2da. Inecuacion
1era. Inecuacion
Solución = [-1; 4]
S=
-∞
-1
4
+∞

41. Solución = (-∞,2)
S=
-∞
-2
12
+∞
Guía 16
Resolver las ecuaciones cuadráticas utilizando factoreo.
3)
=
= (x+8) (x-2) = 0
X1= -8
X2=2
S= {-8,2}
Resolver las ecuaciones cuadráticas aplicando las propiedades de raíz
cuadrada.
9)
=
=

42. X1= 2
X2=-2
S= {2,-2}
Resolver las ecuaciones cuadráticas completando el trinomio cuadrado
perfecto.
17)
=
=
X1=
S= {
X2=
,
}
Resolver las ecuaciones cuadráticas aplicando la formula general
21)
A= 1

43. B= 3
C= -10
X1=
X2=
S= {
}
GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA EN 2 VARIABLES
Fundamento:

44. 1) Forma de la ecuación:
- La grafica siempre es una parábola.
2) sí “a” es “+” entonces la parábola se abre hacia arriba.
3) sí “a” es “-“ la parábola se abre hacia abajo

45. - La abscisa del vértice se encuentra con la siguiente formula

46. Ejercicios Guía 17
1)
“a” es “+” la parábola se abre hacia arriba.
A=1
B=6
C=8
=3
Interceptos con el eje “x”
0

47. Ejercicios Guía 17
“a” es “-” la parábola se abre hacia abajo.
A=1
B=6
C=8
= -1
Interceptos con el eje “x”
0

48. VALOR ABSOLUTO
Definición:
El valor absoluto de un número real “a” se representa
siguiente forma
” y se obtiene de la
Ejemplo:
- Resuelta la ecuación determine si no tiene soluciones
Ejercicios Guía 17
S=
Comprobación
-

49. S=
NOTA: El valor absoluto se debe comprobar necesariamente.
SOLUCION DE ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
S=
Comprobación
-
SOLUCION GRAFICA “IGUALAMOS A “Y” “

50. x
y
-2
0
2
4
5
6
x y
2
3
3
3
3
3
3
4
1
3
0
2
1
1
2
0
3
1
4
2
5
3
6
4

52. Ejercicios
Guía 18
1.
5).

53. ECUACIONES RACIONALES
Se debe excluir los valores divisores para “x” que dan cero en el ejercicio.
INECUACIONES POLINOMIALES: Son ecuaciones de la forma
; donde P(x) es un polinomio.
Ejemplo:
(X+5) (X+3)
(2X-3) (X+2)(X+1)(X-4)
SOLUCION DE UNA ECUACION POLINOMIAL:
Método Abreviado: El método se aplica a inecuaciones polinomiales
comparados con cero, en las que todas las variables tienen coeficientes
positivos.
PROCEDIMIENTO:
Se ubica en la recta numérica dados los valores que hacen cero a cada factor
de 1er grado, con lo que la recta numérica queda dividida en intervalos.
Se colocan signos a los intervalos de derecha a izquierda iniciando por el “+”,
“-“.
Se escribe la solución como la unión de los intervalos positivos o negativos,
según la inecuación sea
cuando es
se incluyen los extremos de
los intervalos.
NOTA: Si hay factores elevados al cuadrado o potencias pares, no influyen en
la respuesta y pueden ser omitidos.

54. Ejercicios Guía 20
X1= −5
X2= −3
X1= −5
X2= −3
S=
-∞
-5
-3
+∞
∞,-5) U (3, +∞)

55. 5,-3)
4)

56. EJERCICIOS GUIA 25
1) Divida el número 60 en 2 partes como tales que de la primera más de la
segunda sumen 10
Datos
Número = 60
Primera parte = x-48
Segunda parte = 60-x

57. EJERCICIOS GUIA 30
1.
2)

59. GEOMETRÍA ANALÍTICA
Línea recta
Ángulo de inclinación de una recta: Es el menor ángulo positivo entre la
recta y el eje “X” (sentido anti horario positivo “+”)
Pendiente de una recta: Es la tangente del ángulo de inclinación de la recta y
se representa con la letra “m”

60. Ejercicios
Guía 31
Hallar la pendiente de la recta que pase por los puntos:
5.
6.
Ecuación de la recta punto y pendiente: Se conoce un punto
la pendiente m.
y

61. )
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto:
Ecuación de la recta
Ecuación de la recta dados dos puntos:
Procedimiento:
- Hallar m
- Aplicar la fórmula de punto y pendiente
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados:
)

62. X
-2
0
2
Y
Ecuación de la recta de pendiente y ordenada en el origen:

63. Ejercicios
Guía 31
Determine la pendiente y el corte con el eje “Y” para la recta de la ecuación
dada
17)
22)–

64. Rectas paralelas y perpendiculares:
Paralelas
Perpendiculares

65. Coordenadas del punto medio: Dado el segmento P1P2, entre los
puntos P1=(x1,y1) , y P2=(x2,y2), las coordenadas del punto medio
P=(x,y) , están dadas por :
X=
Y=
Ecuación de la Circunferencia:

66. Ecuacion de la parábola:
Ejercicios Guia 35

67. Función Exponencial:
Def: La función exponencial f es toda función de la forma f(x)=
es indiferente de 0 , b > 0 y diferente de 1.
donde a
La constante “a” es el valor inicial de F (valor en x igual a “0”) y b es la base
f(x)=
Valor inicial
1) b >1
La función es creciente
Si x aumenta la y también
1) b <1
La función es decreciente
Si x aumenta la y disminuye

68. Funciones logística
X
y
0
3
10
8.9
Y= 9 punto de la asíntota
Funciones logarítmica
Es la Funcion inversa de la función exponencial y se define de la siguiente
forma:

69. Ejemplos:
1)
;
2)
;
LEYES DE LOS LOGARITMOS