Este documento presenta una introducción a los diferentes tipos de números, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. También describe propiedades de los números reales y operaciones matemáticas como suma, resta, multiplicación y división de números reales y polinomios.

17. NOMBRE: Sarita Conejo
NIVEL: 1ero Contabilidad ¨B¨
FECHA: 30/09/2013
Un conjunto es un grupo, clase o colección de
objetos denominados elementos del conjunto.
Estos elementos pueden ser concretos - sillas,
mesas, etc., o abstractos como son los
números, letras, etc. Algunos ejemplos de
conjuntos
de
números
son:
1. Los números naturales - Un número natural es cualquiera de los números, ya
sea N = {1, 2, 3...}, que se usa para contar los elementos de un conjunto.
Busca el término desconocido en las siguientes operaciones:
4 · (5 +...) = 36
(30 −...): 5 + 4 = 8
18 ·... + 4 ·... = 56
430 −...: 8 = 25
2. Los números enteros - Se obtienen a partir de los números naturales. Este
conjunto incluye a los números positivos {1, 2, 3…}, los números negativos {-1, 2, -3…} y el 0. El conjunto de números enteros se denota como Z = {... -3, -2, -1,
0, 1, 2, 3...}.
Los números enteros son los números simples hasta el infinito o periódicos.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 -20- 30- 40- 50- 60- 70- 80- 90 100- 500- 1000- 10.000100.000- 1.000.000- infinito

18. Números enteros son los números ordinales:
1.º primero
2.º segundo
3.º tercero
4.º: cuarto
5.º: quinto
6.º: sexto
7.º: séptimo
8.º: octavo
9.º: noveno
10.º: décimo
3. Los números racionales - Son aquellos que pueden expresarse como el
cociente (resultado de una división) de dos números enteros, que se
representan como Q = {... 1/2, 5/3, 8/10...}. Este conjunto de números incluye a
los números enteros y fraccionarios, es un subconjunto de los números reales.
Como hemos dicho, los números racionales pueden representarse en forma de
fracciones:
1/2
1/4
3/5
8/10
4/24
4. Los números reales - incluyen tanto a los números racionales como a los
números irracionales, son aquellos que no se pueden expresar de manera
fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Por ejemplo:
0.123456789101112... Los matemáticos usan la letra "R" (en negrita) para
representar el conjunto de todos los números reales.
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
1) Propiedad Conmutativa: a+b = b+a Sean a,b pertenecientes a los reales.
2) Propiedad Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c) Sean a,b,c pertenecientes a losreales.
3) Existencia de elemento inverso (inverso aditivo): a+ (-a)=0

19. 4) Existencia de elemento neutro: a+0 =a
5) Propiedad Conmutativa del producto: a.b=b.a
6) Propiedad Asociativa del producto: (a.b).c= a.(b.c)
7) Existencia de elemento inverso: a.1/a = 1
8) Existencia de elemento neutro (del producto) : a.1 = a
9) Propiedad Distributiva: (a+b).c = ac+bc (a.b)+c=(a+c).(b+c)
10) Tricotomía: a>b, a<b o a=b
11) Monotonía de la suma
12) Monotonía del producto.
13) Propiedad Transitiva a>b>c entonces a>c14) Propiedad Uniforme.
OPERACIONES CON NUMEROS REALES
1. Interna:
El resultado de sumar dos números reales es otro número real.
a + b
+
2. Asociativa:
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
(a + b) + c = a + ( b + c) ·
3. Conmutativa:
El orden de los sumandos no varía la suma.
a + b = b + a
4. Elemento neutro:
El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el
mismo número.
a + 0 = a
+ 0 =

20. 5. Elemento opuesto:
Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.
e − e = 0
El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.
− (− 1) = 1

21. POTIFICIA UNVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR SEDE IBARRA
NOMBRE: Sarita Conejo
NIVEL: 1ro ¨B¨
FECHA: 23/10/2013
PRODUCTOS NOTABLES
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones
algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante
simple inspección, sin verificar la multiplicación. Su aplicación simplifica y sistematiza
la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la
factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios
conjugados, y recíprocamente.
Factor común
Representación gráfica de la regla de factor común. Forma un gnomon.
El resultado de multiplicar un binomio
propiedad distributiva:
por un término
se obtiene aplicando la
Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura adjunta. El área
del rectángulo es

22. (el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la
suma de las dos áreas coloreadas:
y
Ejemplo:
Cuadrado de un binomio
Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los
cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:
Un trinomio de la expresión siguiente:
perfecto.
se conoce como trinomio cuadrado
Cuando el segundo término es negativo, la igualdad que se obtiene es:
En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo.
Ejemplo:
Simplificando:
Producto de dos binomios con un término común

23. Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común.
Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, el cuadrado del término
común se suma con el producto del término común por la suma de los otros, y al resultado se
añade el producto de los términos diferentes.
Ejemplo:
Agrupando términos:
Luego:
Producto de dos binomios conjugados
Véase también: Conjugado (matemática).
Producto de binomios conjugados.
Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su
multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término
conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.

24. Ejemplo:
Agrupando términos:
A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.
Polinomio al cuadrado
Elevación de un trinomio al cuadrado de forma gráfica.
Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada
término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de
términos.
Ejemplo:
Multiplicando los monomios:

25. Agrupando términos:
Luego:
Cubo de un binomio
Descomposición volumétrica del binomio al cubo.
Para calcular el cubo de un binomio se suman, sucesivamente:



El cubo del primer término con el triple producto del cuadrado del primero por el
segundo.
El triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
El cubo del segundo término.
DIVISION DE POLINOMIOS
La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un producto,
que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el producto de ambos
factores llamado dividendo.
De la definición anterior se deduce que el dividendo coincide con el producto del divisor por el
cociente. Así por ejemplo, si dividimos 8xy  2 xy  4 , se cumplirá que 4  2 xy  8xy
cociente
divisor dividendo
dividendo
 cociente
divisor

26. Si el residuo no fuera igual a cero, entonces:
dividendo
residuo
 cociente 
divisor
divisor
Para efectuar una división algebraica hay que tener en cuenta los signos, los exponentes y los
coeficientes de las cantidades que se dividen.
(+)÷(+)=+
(–)÷(–)=+
(+)÷(–)=–
(–)÷(+)=–
División de un monomio por otro
Para dividir dos monomios se divide el coeficiente del dividiendo entre el coeficiente del divisor
y a continuación se escriben las letras ordenadas alfabéticamente, elevando cada letra a un
exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el exponente que
tiene en el divisor. El signo del cociente será el que corresponda al aplicar la regla de los signos.
EJEMPLO:
6
4
Dividir 8x  4 x
  
6
4
6
4
6 4
 2x 2
SOLUCIÓN: 8x  4 x  8x : 4 x  8 : 4x
EJEMPLO:
 12 x 3 y 2 z
3xy
Dividir
 12 x 3 y 2 z
  12 : 3x 31  y 21  z 10  4 x 2 yz
3xy
SOLUCIÓN:
EJEMPLO:
 18a 3b 4 c 2
3 2 2
Dividir  6a b c
 18a 3b 4 c 2
  18 : 6a 33  b 42  c 22  3b 2
3 2 2
SOLUCIÓN:  6a b c
En ocasiones el cociente de dos monomios es fraccionario y, por consiguiente, la división
propiamente dicha no puede efectuarse en los siguientes casos:
a) Cuando una letra está elevada a un exponente menor al que se halla elevada dicha letra
en el divisor.
b) Cuando el divisor contiene alguna letra que no se halla en el dividendo.
EJEMPLO:

27. 12a 2 b 3 c
2

3 4 2
Dividir  18a b c d 3abcd
División de un polinomio por un monomio
Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada uno de los términos del polinomio
por el monomio teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman los cocientes parciales así
obtenidos.
EJEMPLO:


3
2
Dividir 4 x  6 x  8x  2 x 
4 x
3

 
 
 6 x 2  8 x  2 x   4 x 3  2 x   6 x 2  2 x   8 x   2 x 
 2 x  3x  4
2
SOLUCIÓN:
EJEMPLO:
6 x 4 y  9 x 3 y 2  12 x 2 y 3  6 xy 4
3xy
Dividir
6 x 4 y  9 x 3 y 2  12 x 2 y 3  6 xy 4 6 x 4 y 9 x 3 y 2 12 x 2 y 3 6 xy 4




3xy
3xy
3xy
3xy
3xy
SOLUCIÓN:
 2 x 3  3x 2 y  4 xy 2  2 y 3
EJEMPLO:
3x 3 y 2  5 x 2 y  6 xy 2
4x 2 y
Dividir
3x 3 y 2  5 x 2 y  6 xy 2 3x 3 y 2 5 x 2 y 6 xy 2



4x 2 y
4x 2 y 4x 2 y 4x 2 y
3
5 3y
 xy  
4
4 2x
SOLUCIÓN:
División de un polinomio por un polinomio.
Para dividir dos polinomios se procede de la manera siguiente:
1) Se ordena el dividendo y el divisor con respecto a una misma letra.
2) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor,
obteniéndose así el primer término del cociente
3) Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y el producto así
obtenido se resta del dividendo, para lo cual se le cambia de signo y se escribe cada
término de su semejante. En el caso de que algún término de este producto no tenga

28. ningún término semejante en el dividendo, es escribe dicho término en el lugar que le
corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y del divisor.
4) Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, obteniéndose
de este modo el segundo término del cociente.
5) El segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto así
obtenido se resta del dividendo, cambiándole todos los signos.
6) Se divide el primer término del segundo resto entre el primer término del divisor y se
repiten las operaciones anteriores hasta obtener cero como resto.
EJEMPLO:
Dividir:
5x 2  xy  3 y 2 15x 4  7 x 3 y  6 x 2 y 2  7 xy 3  3 y 4
3x 2  2 xy  y 2
5 x 2  xy  3 y 2 15 x 4  7 x 3 y  6 x 2 y 2  7 xy 3  3 y 4
 15 x 4  3 x 3 y  9 x 2 y 2
 10 x 3 y  3x 2 y 2  7 xy 3  3 y 4
10 x 3 y  2 x 2 y 2  6 xy 3
5 x 2 y 2  xy 3  3 y 4
 5 x 2 y 2  xy 3  3 y 4
0
Para resolver la operación anterior se procedió del modo siguiente:
En primer lugar se han ordenado dividendo y divisor en orden ascendente con respecto a la letra
y y en orden descendente con respecto a la letra x.
4
A continuación se ha dividido el primer término del dividendo, 15x , entre el primer término
2
2
del divisor, 5x , obteniéndose 3x , por cada uno de los términos del divisor, obteniéndose
4
3
2 2
como resultado 15x  3x y - 9 x y , que se escribe debajo de los términos semejantes del
dividendo cambiando los signos de todos los términos semejantes, obteniéndose como primer
3
2 2
3
4
resto  10 x y  3x y  7 xy  3 y .
3
2
Después se ha dividido  10 x y entre 5x obteniéndose como cociente  2 xy , que es el
segundo término del cociente. Multiplicando  2 xy por todos los términos del divisor que se
obtiene como resultado  10 x y  2 x y  6 xy , que se escribe debajo de los términos
semejantes del primer resto cambiando los signos de todos sus términos para efectuar la resta.
3
2
2
3
A continuación se ha procedido a efectuar la reducción de términos semejantes, obteniéndose
2 2
3
4
como segundo resto 5x y  xy  3 y

29. 2
2 2
2
Finalmente se ha dividido 5 x y entre 5x , obteniéndose como cociente y . Multiplicando
y 2 por todos los términos del divisor se obtiene como producto 5x 2 y 2  xy 3  3 y 4 , que se
escribe debajo de los términos semejantes del segundo resto cambiando los signos de todos lo
términos para efectuar la resta. A continuación se ha procedido a efectuar la reducción de
términos semejantes, obteniéndose como tercer resto 0, con lo cual queda acabada la división.
EJEMPLO:

 

4
3
2
2
Dividir: x  5x  11x  12 x  6  x  3x  3
x 2  2x  2
x 2  3 x  3 x 4  5 x 3  11x 2  12 x  6
- x 4  3x 3  3x 2
 2 x 3  8 x 2  12 x  6
2x3  6x 2  6x
2x 2  6x  6
- 2x 2  6x  6
0

30. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL ECUADOR SEDE
IBARRA
NOMBRE: Sarita Conejo
NIVEL: 1ero ¨B¨
FECHA: 17/10/2013
TEMA: Expresiones Algebraicas
Expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es una combinación de números, variables, y operaciones
de sumas división etc.
Raíz cuadrada de 2x - 6 / x 4x - 7x + 2
Términos: Son las partes de las cuales consta una expresión algebraica y están
separados por signos + y - ejemplo:
4 términos 2x - 6 x + 7x - 1 =
Términos semejantes: Son los que tiene el mismo coeficiente numérico ejemplo:
Nota: el signo > significa elevado a la potencia
6 x>5 75 x>5
Suma y producto de expresiones algebraicas
Debemos saber que la suma solo se puede dar entre términos semejantes, es decir,
las x solo se suman con las x y las x al cuadrado con las x al cuadrado ejemplo:
4x + 2x >2 + 5x - x>2 = 0
x>2 + 9x = 0
En el producto de las expresiones algebraicas no tenemos que hacer todo entre
términos semejantes, aquí se puede mezclar todo, pero tenemos que seguir las leyes
de los exponentes:
Leyes de los exponentes:
a>0 = 1
a>1 = a
(a>n)m=a>n*m
a>n * a>m = a>n+m
a>n/a>m = a>n-m = 1/a>am-n
a>-n = 1/a>n
Con estas leyes podemos efectuar fácilmente el producto ejemplo:
(2 a>2 b) (-3ab>2)= -6 a >3 b>3
Clasificación de las expresiones algebraicas
Para su estudio las expresiones se clasifican en:
Monomios:
Son todas aquellas expresiones algebraicas que posee un solo término algebraico.

31. -5xyz
-5
4 x² y² z
wxyz
xy
4 x y² z²
Binomios:
Son todas aquellas expresiones algebraicas que están formadas de don y solo dos
términos algebraicos, separado por el signo más o menos.
-5xy+6z
x-5
4 x² - 5 y²
2w-y
x-y
- 4 y² - 2 z²
Trinomios.
Son todas aquellas expresiones algebraicas que están formadas de tres y solo tres
términos algebraicos separados por el signo más o menos.
-5x+6z-3
x+y-5
4 x² - 5 y² - 1
2w+3x-y
x-y+z
x² - 2 x - 7
Polinomios:
Son todas aquellas expresiones algebraicas que están formadas por dos o más
términos algebraicos separados por el signo mas o menos:
-5y-z
x5 + x4 - x3 + x2 - x - 5
x² + x - 5
w7 - y7
x4 - 3x3 + x2 - x + 3
4 y16 - 2 z16
Grado de una expresión algebraica:
El grado de una expresión algebraica se define por el término que posee el mayor
grado dentro de la expresión algebraica o polinomio y el número de incógnitas de un
polinomio es el número de literales que intervienen en el mismo.
4 x5 - 5 x4 + 6 x3 - 7 x2 - 6 x + 5
5o. grado
3 x3 y2 - 4 x5 y3 - x4 y3 - 3 x2 y5 - 3 x2 y6
8o. grado
2 x3 y2 z4 - 3 x3 y2 z5 - 5 x5 y3 z6 - 4 x4 y3
14o. grado
z3
x4 y5 - 5 x5 y5 - 4 x5 y4
10o. grado
VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN
ALGEBRAICA.
La evaluación de expresiones algebraicas, es el proceso que consiste en sustituir los
valores numéricos asignados para las literales de una expresión algebraica y que al
efectuar las operaciones indicadas se obtiene la evaluación correspondiente.
JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES
1. Se efectúa toda operación que se encuentre entre paréntesis o arriba o debajo
de una raya de fracción.

32. 2. Se efectúan todas las operaciones de multiplicación o división en el orden que
se presenten de izquierda a derecha.
3. Se efectúan las sumas y las restas en el orden de izquierda a derecha.
Ejemplo
Resuelve 2a2bc3,
cuando a=2, b=3 y c=1
2(2)2(3)(1)3 = 2(4)(3)(1) = 24
Ejemplo
3
Evaluar 4 bx ,
cuando b=8 y x=2
4 8  2  4 8  8  48  32
3
Ejemplo
8a 5b 2 2a 2b

 2
y
x y
Evaluar x
cuando a=1, b=2, y=4 y x=3.
81 52
21 2 81 54 212 8
4 96  180  4 272
5





 5


7
2
94 3
3
4
4
36
36
36
9
3 4 3
2
2
Ejemplo
4x  6
2
Resuelve
para x=3.
43  6 4  3  6 12  6 18



9
2
2
2
2
Ejemplo
Resuelve xy  3 y
para x=2 y=3.
 23  3 3  6  9  15
Ejemplo
5w  3 z
Evaluar w  2 z
cuando w = -4.2 z = 3.6
5w  3z 5 4.2  33.6  21  10.8  31.8



 10.6
w  2z
 4.2  23.6
 4.2  7.2
3
Funciones polinómicas


Las funciones polinómicas son aquellas que surgen de evaluar los polinomios sobre
las variables en las que están definidos. Son una clase de funciones suaves, esto es,
son infinitamente diferenciables (tienen derivadas de todos los órdenes finitos).
A las funciones polinómicas de
grado 0 se les llama funciones constantes
grado 1 se les llama funciones lineales,

33. 

grado 2 se les llama funciones cuadráticas,
grado 3 se les llama funciones cúbicas.
Debido a su estructura simple, los polinomios son muy sencillos de evaluar, y se usan
ampliamente en análisis numérico para interpolación polinómicas o para integrar
numéricamente funciones más complejas. Una manera muy eficiente para evaluar
polinomios es la utilización de la regla de Horner.
En álgebra lineal el polinomio característico de una matriz cuadrada codifica muchas
propiedades importantes de la matriz. En teoría de los grafos el polinomio cromático
de un grafo codifica las distintas maneras de colorear los vértices del grafo usando x
colores.
Con el desarrollo de la computadora, los polinomios han sido remplazados por
funciones spline en muchas áreas del análisis numérico. Las splines se definen a partir
de polinomios y tienen mayor flexibilidad que los polinomios ordinarios cuando definen
funciones simples y suaves. Éstas son usadas en interpolación spline y gráficos por
ordenador.
Operaciones con polinomios
Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los
monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un
monomio por el término del otro monomio y se simplifican los monomios semejantes,
posteriormente.
Factor común polinomio
Primero hay que sacar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables
(la que tenga menor exponente)
Veamos el siguiente ejemplo: 5x2(x -y) + 3x(x -y) +7(x -y)
Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x -y), entonces ese será el
factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es
decir: (5x2 + 3x +7)
Finalmente la respuesta será: (x -y)(5x2 + 3x +7)
En algunos casos debemos utilizar el número 1, por ejemplo en: 5a2(3a +b) +3a +b
Que se puede utilizar como: 5a2(3a +b) +1(3a +b)
Entonces la respuesta seria: (3a +b) (5a2 +1)
Caso II - Factor común por agrupación de términos
Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que
son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de
términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el
primer caso, es decir:

34. Caso III - Trinomio cuadrado perfecto
Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces exactas, y el
restante equivale al doble producto de las raíces. Para solucionar un T.C.P. debemos
reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz
cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los
escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo
término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado. Ejemplo:
Caso IV - Diferencia de cuadrados
Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos.
Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (ab)(a+b)), uno negativo y otro positivo. En los paréntesis deben colocarse las raíces.
Ejemplo:

35. Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el
restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus
raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no
cambie. Para solucionarlo, se usan como ayuda los casos número III y IV. Para moldar
debe de saber el coseno de la raíz de la suma de dos polinomios x que multiplicado
salga igual a la raíz de 2,
Caso VI - Trinomio de la forma X2 + bX + c
Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno
de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los
cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que
multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser
números negativos) den como resultado el término del medio. Ejemplo:
Ejemplo 2: x2+5x+6=0la factorización queda como:(x+3)(x+2)=0ya que 3x2=6 y 3+2=5
Caso VII Suma o diferencia de potencias a la n
La suma de dos números a la potencia n, an +bn se descompone en dos factores
(siempre que n sea un número impar):
Quedando de la siguiente manera: xn + yn =(x+y)(xn-1-xn-2y+xn-3y2-...+xyn-2+yn-1)
Ejemplo: x3 + 1=(x+1)(x2-x+1)
La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar.
Que dando de la siguiente manera:
xn - yn =(x-y)(xn-1+xn-2y+xn-3y2+...+xyn-2+yn-1)
Ejemplo:
x3 - 1=(x-1)(x2+x+1)
a2 - b2 = (a-b)(a+b)
Como podrán notar las famosas diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de
un caso particular de esta generalización.
Caso VIII Trinomio de la forma ax²+bx+c
En este caso se tienen 3 términos: El primer término es un cuadrado perfecto, ósea
que tiene raíz cuadrada exacta, el segundo término tiene la mitad del exponente del
término anterior y el tercer término es un término independiente, ósea sin una parte
literal, así:
Para factorizar una expresión de esta forma; primero se extraen los factores de los dos
términos de los extremos, después de extraídos se multiplican cruzándolos entre si,
ósea el primer factor del término de la derecha y el segundo factor del término de la
izquierda y lo mismo con los otros dos, así:
Los factores de 4x² son: 4x y x, y los de 9 son:3 y 3. Por lo tanto se multiplica 4x entre
3 y x entre 3, luego se suman los productos y el total debe ser el término de en medio,
en este caso 15x, veamos:

36. NOMBRE: SARITA CONEJO
NIVEL: 1ERO CONTABILIDAD ¨B¨
FECHA: 19/09/2013
CONCEPTOS BÁSICOS
Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos
pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc.
Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen
el conjunto se llaman elementos o miembros. Se dice que «pertenecen» al conjunto y se
denota mediante el símbolo ∈:n 1 a ∈ A se lee entonces como «a está en A», «a pertenece
a A», «A contiene a a», etc. Para la noción contraria se usa el símbolo ∉. Por ejemplo:
3 ∈ A, ♠ ∈ D
Amarillo ∉ B, z ∉ C
Notación
Existen varias maneras de referirse a un conjunto. En el ejemplo anterior, para los
conjuntos A y D se usa una definición intensiva o por comprensión, donde se
especifica una propiedad que todos sus elementos poseen. Sin embargo, para los
conjuntos B y C se usa una definición extensiva, listando todos sus elementos
explícitamente.
Es habitual usar llaves para escribir los elementos de un conjunto, de modo que:
B = {verde, blanco, rojo}
C = {a, e, i, o, u}
Esta notación mediante llaves también se utiliza cuando los conjuntos se especifican
de forma intensiva mediante una propiedad:
A = {Números naturales menores que 5}
D = {Palos de la baraja francesa}
Otra notación habitual para denotar por comprensión es:

37. A = {m: m es un número natural, y 1 ≤ m ≤ 5}
D = {p: p es un palo de la baraja francesa}
F = {n2: n es un entero y 1 ≤ n ≤ 10},
En estas expresiones los dos puntos («:») significan «tal que». Así, el conjunto F es el
conjunto de «los números de la forma n2 tal que n es un número natural entre 1 y 10
(ambos inclusive)», o sea, el conjunto de los diez primeros cuadrados de números
naturales. En lugar de los dos puntos se utiliza también la barra vertical («|») u
oblicua «/» .
Igualdad de conjuntos
Un conjunto está totalmente determinado por sus elementos. Por ello, la igualdad de
conjuntos se establece como:
Propiedad de la extensionalidad
Dos conjuntos A y B que tengan los mismos elementos son el mismo conjunto, A = B.
Esta propiedad tiene varias consecuencias. Un mismo conjunto puede especificarse
de muchas maneras distintas, en particular extensivas o intensivas. Por ejemplo, el
conjunto A de los números naturales menores que 5 es el mismo conjunto que A′, el
conjunto de los números 1, 2, 3 y 4. También:
B = {verde, blanco, rojo} = {colores de la bandera de México}
C = {a, e, i, o, u} = {vocales del español}
D = {Palos de la baraja francesa} = {♠, ♣, ♥, ♦}
Subconjuntos
Cuando A es un subconjunto de B, se denota como A ⊆ B y se dice que «A está
contenido en B». También puede escribirse B ⊇ A, y decirse que B es un
superconjunto de A y también «B contiene a A» o «B incluye a A».
Conjuntos disjuntos
Un conjunto A es disjunto a otro B si los elementos de A no pertenecen a B:

38. La disjunción de conjuntos es reciproca y si A es disjunto de B, B es disjunto de A:
Por lo tanto dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen elementos comunes, que
también puede decirse:
Los conjuntos A y B son disjuntos si: la intersección entre A y B es el conjunto vacío.
CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS
Por el número de elementos que poseen los conjuntos pueden clasificarse en:
Conjunto Vació.- Es aquel que carece de elementos, también llamado nulo y
se denota por el símbolo (∅ ). Ej.:
A= {x/x es un perro que tiene alas}
B= {x/ x3
= 27 donde x es par}
C= {x/x ∈ N; 12< x<13}
Conjunto Unitario.- Es aquel conjunto que está formado por un solo y único
elemento. Ej.:
P= {x/x está formado por satélites de la tierra}
Q= {x/x + 2 =7}
R= {2, 2, 2, 2} “ojo tiene un solo elemento”.
Conjunto Universal.- Se denota por la letra U; contiene, comprende o dentro
del cual están todos los demás conjuntos. Ej.:
Si consideramos U como el conjunto de todos los Elementos Químicos,
entonces dentro de U existirán subconjuntos de elementos sólidos, líquidos,
gaseosos, radiactivos, metales, etc.
Conjunto Finito.- Es aquel cuyo elemento se puede contar en forma usual
desde primero hasta el último. Ej.:
A= {El número computadoras del salón de clase}
B= {275 páginas del libro} C= {números impares de 5 al 21}
Conjunto Infinito.- Es aquel cuyo elemento al contarlos no se llega a un
último elemento del conjunto, es llamado también indeterminado. Ej.:
A= {x∈Z; x >2}
B= {x/x Es un número real}

39. CARDINALIDAD DE CONJUNTO
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. En el caso de un conjunto finito se pueden
contar los elementos del conjunto:
El número de elementos de un conjunto finito es su cardinal.
El cardinal se denota por |A|, card(A) o #A. Así, en los ejemplos anteriores, se tiene que |A|
= 4 (cuatro números), |B| = 3 (tres colores) y |F| = 10 (diez cuadrados). El único conjunto
cuyo cardinal es 0 es el conjunto vacío ∅.
En un conjunto infinito no hay un número finito de elementos. Es el caso por ejemplo de
los números naturales: N = {1, 2, 3,...}. Sin embargo, existe una manera de comparar
conjuntos infinitos entre sí, y se obtiene que existen conjuntos infinitos «más grandes» que
otros. El «número de elementos» de un conjunto infinito es un número transfinito.
OPERACIONES CON CONJUNTOS
Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse para, partiendo de ciertos
conjuntos dados, obtener nuevos conjuntos:
UNIÓN: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como A ∪ B,
es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los
conjuntos A y B.
INTERSECCIÓN: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el
conjunto A ∩ B de los elementos comunes a A y B.
DIFERENCIA: (símbolo ) La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A B que
resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B.
COMPLEMENTO: El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene
todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene.
DIFERENCIA SIMÉTRICA: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos
conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien
a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
PRODUCTO CARTESIANO: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos
conjuntos A y B es el conjunto A × B de todos los pares ordenados (a, b) formados con
un primer elemento a perteneciente a A, y un segundo elemento b perteneciente a B.
EJEMPLOS
{1, a, 0} ∪ {2, b} = {2, b, 1, a, 0}
{5, z, ♠} ∩ {♠, a} = {♠}
{5, z, ♠} {♠, a} = {5, z}
{♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8}
{1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)}

40. Bibliografía
(s.f.). Obtenido de http://www.monografias.com/trabajos-pdf4/teoria-de-conjuntos/teoria-deconjuntos.pdf
http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto
http://www.escolares.net/matematicas/los-conjuntos/