Universidad De Las Américas Escuela de Ciencias Físicas y Matemáticas Introducción al Cálculo Mat 110 - 31 Grupo N° 7

1. ESCUELA DE CIENCIAS
FISICAS Y MATEMÁTICAS
INTRODUCCIÓN AL
CÁLCULO
Daniel Sono MAT 100-31

2. DIGITALIZACIÓN DE LA MATERIA
Nombre: Aníbal Fernando Bonilla Ambrossi
Matrícula: 705366
Carrera: Ing. Sonido Y Acústica
Tutor: Sono Daniel David
El Conjunto de los números Reales
Definición: Un número real es cualquier número que puede representarse en forma
decimal.
Ejemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Subconjuntos Importantes de los Reales
1) Los números naturales o de conteo
2) Los enteros no negativos
3) Los enteros
4) Racionales
a y b son enteros y b
0
División para cero 3 casos
1)
2)

3. 3)
Respuesta Infinita
R = Reales
Q = Racionales
Q´ = Irracionales
Z = Enteros
F = Fraccionarios
N = Naturales
Diferencia en la forma decimal de un número racional con su irracional.
Ejemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Todo número racional expresado en su forma racional o termina o es periódico.

4. Un número irracional en cambio la forma decimal ni termina ni es periódica.
Ejemplos:
1)
=1,4142…
2)
= 1,73205…
3) π = 1,14159…
4) e = 2,718…
Observación y notación de intervalos
El conjunto de los números reales está ordenado. Esto significa que podemos comparar
dos números reales cualesquiera.
Símbolo
a>b
a<b
a≥b
a≤b
Definición
a-b es positivo
a-b es negativo
a-b es positivo o es 0
a-b es negativo o cero
Se Lee
a es mayor que b
a es menor que b
a es mayor o igual que b
A es menor o igual que b
Los símbolos <,>, ≤,≥ son símbolos de desigualdades.
Recta numérica
Resulta de asociar los puntos de una recta con los números reales.
-∞
-3
-2
-1
0
1
2
3
+∞
Recta numérica real
Intervalos acotados de números reales
Notación de
Intervalo
Tipo de Intervalo
Notación de
Desigualdad
[a,b]
Cerrado
a≤x≤b
(a,b)
Abierto
a<x<b
Gráfico
a
b
a
b

5. [a,b)
Semi abierto
a≤x<b
(a,b]
Semi abierto
a<x≤b
Los números a,b son extremos de cada intervalo.
Intervalos no acotados de números reales
Notación de Intervalo
Notación de Desigualdad
[a, -∞)
x≥a
(a,+∞)
x>a
(-∞, +b]
x≤b
(-∞, +b)
X<b
Guía N°1
1. (-1;3) : -1 es mayor que x y x es menor que 3
-1 < x ≤ 3
-∞
+∞
2. (-3;8] -3 < x ≤ 8 -3 menor que x y x menor o igual que 8
-3
8
3. X ≤ -7 x es menor o igual a -7
(-∞;-7]
-∞
+∞
Gráfico

6. Expresiones Algebraicas
Una expresión algebraica es un conjunto de letras (variables) y números (constantes)
relacionadas mediante operaciones algebraicas.
Suma, resta, multiplicación, división, radicación, potenciación.
Ejemplos:
Términos:
Definición.- Son cantidades separadas por signos (+;-)
Jerarquía de Operaciones de mayor a menor
Potenciación y radicación
Multiplicación y división
Suma y resta
Se destruye la jerarquía de operaciones cuando existen signos de agrupación.
Propiedades de los números reales
Sean u,v y w números reales, variables o expresiones algebraicas.
1.- Propiedad Conmutativa
Suma: u+v = v+u
Multiplicación: uv=vu
2.- Propiedad Asociativa
Suma: (v+v)+w= u+(v+w)
3- Propiedad de la Identidad

7. Suma: u+o=u
4.- Propiedad del Inverso:
Suma: u+(-u)
Multiplicación: u.
= 1, u ≠ 0
5.- Propiedad Distributiva
Multiplicación sobre la suma:
U(v+w)=uv+uw
(u+v)w=uw+vw
Multiplicaciones sobre la resta
u(v-w)=uv-uw
(u-v)=uw-vw
Propiedad del inverso activo
Sean u y v números reales variables expresiones algebraicas.
Propiedad:
Propiedad
1) –u(-u) = u
2) (-u) * v = u * (-v) = -(u*v)
3) (-u) * (-v) = u* v
4) (-1) * (u) = -u
5) – (u+v) = (-u) + (-v)
Ejemplo
-(-2) = 2
(-4)*3 = 4* (-3) = - (-4*3) = -12
(-6) * (-8) = 6 * 8 = -10
-1* (10) = -10
-(7 + 9) = (-7) + (-9) = -16
Exponentes Enteros:
Si a es un número real y n es un número entero o positivo.
Exponente
(
)
N veces a

8. Potencia n de a
base
Ejemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Exponente 0
Definición: Si a es un número real diferente de 0.
Ejemplos:
Exponente Negativo
Definición: Si a es un número real y n un número entero.
Ejemplos:
Principales Teoremas de Exponentes
Teoremas
1.
2.

9. 3.
4.
5.
Guía N°2
Identifique la base. No calcule el valor
1.
2.
Simplifique la base (expresión). Asuma que las variables del denominador no son
cero.
3.
4.
5.
Notación Científica
Se dice que un número x está escrito en notación científica si
donde
Esta notación sirve para realizar operaciones con números muy grandes o muy pequeños.
Ejemplos:
Gúgol =
Gúgolplex =
Gúgol dúplex =
Exponente Fraccionario
Ejemplos:
1.

10. 2.
Radicación
Definición de raíz -n-sima: y cumple lo siguiente:
Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
Definición de elementos de un radical
Raíz n-sima de a
Cantidad Subradical
Simplificación de Radicales
Fundamento 1
Ejemplo.
Factorización Numérica
18
2
9
3
3
1
1

11. Fundamento 2:
Ejemplo:
Guía N°3
1. Evaluar las siguientes raíces.
-
=
=
=
Guía N°4
Racionalización de denominadores
En matemáticas no se acostumbra dejar radicales en un denominador.
Para eliminar un radical de un denominador se debe hacerlo sin alterar el valor de la
función.
Fundamento:

12. Guía N°5
1.
2.
3.
Simplifique la expresión
4.
=
=
=
5.
Polinomios
Expresiones Algebraicas
Es un conjunto de letras (variables) y números (constantes) relacionados mediante las
relaciones algebraicas; suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación.
Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

13. Polinomios:
Definición: Son expresiones algebraicas que tienen con su variable únicamente
operaciones suma, resta o multiplicación.
Ejemplos:
1.
2. –
3.
Forma general de un polinomio en la variable.
Un polinomio en una variable x tiene la siguiente forma.
Grado: n
Variable: x
Término Independiente:
Coeficiente Líder:
Tipos de Polinimios
Monomios:
Los polinomios que tienen un termino igual.
Binomios:
Los polígonos que tienen dos términos igual.
Trinomios:
Los polinomios que tienen 3 términos o igual.
Polinomios:
Los polinomios que tienen más de 3 y los anteriores.

14. Guía N°6
1.
Grado: 9
Coeficiente Líder: -8
2.
Grado: 4
Coeficiente Líder: 7
Término Independiente: -14
Variable: x
3.
Grado: 5
Coeficiente Líder: 1
Término Independiente: 3
Variable: q
Operaciones con Polinomios
Suma y resta: Para sumar o restar polinomios, se simplifican los términos semejantes
(términos que tienen igual su parte literal)
4.
5.
Guía n°6
Sume colocando un polinomio debajo del otro:
y

15. Multiplicación de Polinomios
1.
2.
3.
4.
5. –
6.
Ejemplo:
Guía N°6
Regla
Se multiplica cada término de un polinomio por cada término del polinomio.
Productos Notables
Existe en el álgebra un tipo especial de multiplicaciones cuyo resultado se puede hacer
directamente sin realizar la multiplicación.
Algunos Productos Notables
1.
Demostración
2.
3.
Nota: Las variables a y b pueden ser expresiones algebraicas, no solo una
variable.

16. Ejercicios Guía N°7
9.
Escriba el polinomio
a
b
a
b
y
3y
14.
15.
16.
17.
20

17. FACTORIAZACIÓN DE POLIGONOS
Definición: Es un proceso algebraico que consiste en transformar sumas y restas en
productos.
Ejemplo:
Factorizar:
Factor común:
Proceso:
Se escribe factor común (cantidad contenida en todos los términos) ”x”.
Se abre un paréntesis y dentro de el se escribe la respuesta en dividir cada
término para el factor común.
GUÍA N°8
1.
2.
3.
FACTOR
A veces un polinomio de 4 o más términos no tiene factor común general.
En este caso pueden agruparse los términos para sacar factor común, y luego si es
posible un factor común general con lo que el polinomio que da factorado.
Nota:
La agrupación no siempre permite factorar al polinomio por lo que es necesario agrupar
de otra manera e intentar factorar nuevamente al polinomio.
Determine el factor común por agrupación
15.
Forma a
Forma b

18. 18.
TRINMIO DE LA FORMA
Procedimiento:
1. Se escriben dos paréntesis [(.
2. Se escribe x en ambos paréntesis, en este caso la variable correspondiente es “x”.
3. En el primer paréntesis se escribe el signo del segundo término el trinomio y en el
segundo el producto de los signos del segundo por el tercer término del trinomio.
4. Se buscan 2 números que sumados algebraicamente den el coeficiente del
segundo término del trinomio y que multiplicados de el tercer término del trinomio.
Ejercicios:
El polinomio es primo por que no existen factores.
TRINOMIO DE LA FORMA
Procedimiento:
1. Multiplicar y dividir el trinomio por el primer coeficiente.
2. Aplicar el procedimiento para el trinomio de la forma
3. Simplificar la respuesta
Ejemplos:
42.

19. Demostración:
41.
Solución:
El polinomio es primo no existen factores.
48.

20. DIFERENCIA DE CUADRADOS
Fundamento:
Ejemplo:
52.
57.
59.
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
1.
2.
Ejemplo Guía N°9
1.
2.
PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR EL CASO DE FATORIZAIÓN AL QUE
CORRESPONDE UN EJERCICIO
1. Si es solo un término el polinomio ya que esta factorado.
2. Factor común por agrupación: Si no hay factor común contar el número de
términos (cantidades separadas con signos + o -)3. Si son 2 términos diferencia de cuadrados + o – de , suma o diferencia de
potencia al cuadrado.
4. Si son 3 términos trinomio al cuadrado perfecto, trinomio de la forma
5. Si son 4 o más términos: Factor común por agrupación.
Guía N°9
1.
2.
3.
4.
5.
6.

21. EXPRESIONES RACIONALES
Son expresiones de la forma
.
Son fracciones que resultan de dividir 2 polinomios, es decir.
Ejemplos:
VALORES EXCLUIDOS DEL DOMINIO DE UNA FRACCIÓN
Nota: Se deben excluir del dominio de una fracción los valores de la variable que hagan 0
a 1 o más denominaciones.
Ejemplos:
1. En el ejemplo 1 el dominio son todos los números reales excepto el “2”
2. En el ejemplo 2 el dominio son todos los reales excepto “3”.
3.
4.
En el ejemplo 4 el dominio es todos los números reales, menos

22. Ejercicios propuestos por los estudiantes:
Guía 6:
1.
Guía 7:
2.
5
2x
Guía 8:
3.
Guía 9:
4.
5.
10x
4
25
10x

23. SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRÁICAS
Fundamento:
Ejemplo Guía N 10:
OPERACIONES CON EXPRESIONES RACIONALES
Multiplicación:
Fundamento:
DIVISIÓN DE EXPRESIONES RACIONALES
Fundamento:
SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES RACIONALES
Fundamento:
Proceso:
Para sumar y restar
1. Se factoran los denominadores.

24. 2. Se halla un común denominador que contenga a todos los denominadores o el
producto de ellos.
3. Se divide el común denominador para cada uno de los denominadores y cada
resultado se multiplica por cada uno de los numeradores.
Sumar y Restar
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES COMPLEJAS O COMPUESTAS
Son fracciones que tienen otras fracciones en su numerador o denominador.
Pasos simplificados:
1. Se deben realizar las operaciones de su numerador y denominador hasta que
quede una fracción en cada uno de ellos.
2. Se realiza la división de las 2 fracciones resultantes.
Ejemplo:
NÚMEROS COMPLEJOS

25. Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
5. 4
IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS
Ejemplo: Guía N° 13
18.
19.
20.
OPERACIONES DE NÚMEROS COMPLEJOS
Suma y Resta con números complejos:
Para sumar o restar números complejos, se simplifican términos semejantes.
Ejemplos Guía Número 13:
1. (9-5i)+(8+9i) = 9-5i+8+9i = 17+4i
2. (4+5i)-(2+i) = 2+4i
3. 5i+(-9-i) = 5i-9-i = 4i-9
4.
—
—
5.
6.

26. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Se multiplica como el producto de 2 binomios cualesquiera, se toma en cuenta
Ejemplo Guía Número 13
1.
2.
3.
DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Se debe multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
Conjugado:
Ejemplos:
1.

27. EXPRESIONES ALGEBRÁICAS
Una expresión algebraica es un conjunto de letras (variables), y números (constantes)
relacionados mediante operaciones algebraicas. (Suma, resta, multiplicación y división).
Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
Nota: Los términos son cantidades separadas por signos „+‟ o „-‟.
Ecuaciones y Desigualdades
Ecuaciones lineales en una variable o de primer grado:
Son ecuaciones de la forma
0.
donde a y b son números reales y a diferente de
Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
Resolución de una ecuación de primer grado:
Fundamento:
1.
2.
3.
4.
1. Se realizan las operaciones que tenga la ecuación hasta expresarla en la forma
2. Se despeja a

28. Ejercicios Guía N° 14
1.
2.
3.
4.
INECUACIONES DE PRIMExR GRADO
Son desigualdades de la forma
Fundamentos:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
1

29. RESOLUCIÓN DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE
Se realiza las operaciones que se encuentre en la inecuación, hasta dejarle en la forma
Se despeja x
1.
Solución:
Gráfica
2. –
Solución:
Gráfica:
)

30. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Fundamento:
1.
2.
Ejemplo:
Resolver:
Solución:
Gráfica
∞-
∞
Ejercicios Guía N°15
8.
Solución:
Gráfica:
-∞
2
12
+∞

31. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Fundamento:
1.
2.
Ejemplo:
Resolver:
Grafica:
-1
4
∞
-∞
Ejercicios Guía N°15
1.
Gráfica:
2
-∞
2.
12
∞

32. Gráfica:
-∞
-2
16
∞
Ejercicios Guía N°16
Resolver las ecuaciones cuadráticas utilizando factoreo.
1.
2.
Resolver las ecuaciones cuadráticas aplicando las propiedades de la propiedad de la raíz cuadrada.
1.
2.
Resolver la ecuación cuadrática completando el trinomio cuadrado perfecto.
1.

33. Gráfica de una operación cuadrática en 2 variables
Fundamento:
1. Forma de la ecuación.
La gráfica siempre es una parábola.
2. Si “a” es positiva entonces la parábola se abre hacia arriba.

34. 3. Si “a” es negativa:
La abscisa del vértice se encuentra con la siguiente fórmula.
Ejercicios Guía N°17
1.
a=1; b=6; c=8
a es positiva, la parábola se abre hacia arriba.
Solución Algebraica
Intervalos con el eje X

35. Gráfica:
DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número real “a” se representa
y se obtiene de la siguiente
forma
Ejemplo:
1.
2.
–
Resuelva la ecuación en valor absoluto o determine si la ecuación no tiene soluciones.
Comprobación:
7=7;
7=7
Nota: En el valor absoluto es importante por lo que se debe comprobar su solución
necesariamente.

36. 18.
SOLUCIÓN DE ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Resolver:
Solución Algebraica:

37. Solución Gráfica:
Igualamos a Y
1.
2.
ECUACIONES RACIONALES
Fundamento:
Se debe excluir a la situación los valores de x que dan divisiones a ‘o’.
Inecuaciones Polinomiales:
Son ecuaciones de la formula
donde P(x) es un polinomio.
Ejemplo:
1.
2.
3.
Solución de una inecuación polinomial.
MÉTODO ABREVIADO
El método abreviado se aplica a inecuaciones polinomiales comparadas con ‘o’ en las que todas las
variables tienen coeficientes positivos.
Procedimiento:
1. Se ubican en la recta numérica todos los valores que hacen ‘0’ a cada factor de pimer
grado, con lo que la recta numérica queda divide en intervalos.

38. 2. Se colocan signos a los intervalos de derecha a izquierda, iniciando por el ‘+’, ‘-‘.
3. Se describe la solución como la unión de los intervalos positivos o negativos, según la
inecuación sea >’0’ o < ‘0’. Cuando es ≤0 ≥ se incluyen los extremos de los intervalos.
Nota: Si hay factores elevados al cuadrado o potencias pares no influyen en la respuesta y pueden
ir omitidos.
GEOMETRÍA ANALÍTICA
LA LÍNEA RECTA:
Ángulo de inclinación de una recta:
Es el menor ángulo positivo entre la recta y el eje “x” (sentido anti horario), en el senido
anti horario son positivos.
y
+
-x
ϴ Ángulo de inclinación
x
-y
Pendiente de una recta:
Es la tangente del ángulo de inclinación de la recta y se representa con la letra “m”.
Guía N° 31
1.
2.

39. 3.
Ecuación de la recta forma del puno y pendiente:
Se conoce un punto
y la pendiente m.
Datos:
Punto y Pendiente
Y
P=(x,y)
P1=(X1, Y1)
-X
X
-Y
Ejemplo:
1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el Punto
pendiente m=2
Punto = (-2,-1)
y tiene una

40. m=2
Ecuación de la recta
2. Ecuación de la recta dados 2 puntos.
Procedimiento:
1. Hallar m: Pendiente.
2. Aplicar la fórmula de punto y pendiente.
Ejemplo:
1. Hallar el valor de la recta que pasa por los puntos dados.
Ecuación de la Recta
Comprobación:

41. Ecuación de la recta
3. Ecuación de la recta de pendiente y ordenada en el origen.
Ordenada del punto
(o,b)
Abscisa del punto
Pendiente y ordenada en el origen.
GUÍA 31
Ejercicio 17
Determine la pendiente y el corte con el eje “y”, para la recta de ecuación dada.
Interceptas con el eje y, x=a
Ejercicio 22

42. Rectas Paralelas y Perpendiculares
Rectas Paralelas
L1
L1 paralelo L2
L2
Rectas Perpendiculares
L1 Perpendicular L2 =
Guía N° 32
1.
L1 Paralela L2
2.

43. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
Circunferencia está formada por todos los puntos que se encuentran a una distancia igual
a “r” (radio) del centro C.
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la circunferencia del centro = (2,2)
Datos:
C= (-2,2)
r=3
Determinar la distancia entre los puntos dados
y
P1 (0,0)
P2 (2,4)
x

44. COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO
Dado el segmento P1=(x1, y1) y P2= (x2,y2) las coordenadas del punto medio es= P = x,
y están dados por
y
Ejemplo:
Hallar el punto medio del segmento:
A = (-3, -2)
B = (4, 1)
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA
Guía N° 35
5.
h=3
K=-3
(3, -5)
P es mayor que cero por lo tanto la parábola se abre para arriba.
La función exponencial f es toda función de la forma
diferente de “b”, b es positiva y b diferente de 1.
La constante “a” es el valor inicial de
donde a es
y b es la
base.

45. FUNCIONES LOGARÍTMICAS
Es la forma inversa de la función exponencial y se debe a la siguiente forma:
1.
2.
3.
Leyes de Logaritmos
1.
2.
3.
ECUACIONES EXPONENCIALES
Tienen la incógnita como exponente.
Método de resolución.
Se igualan bases y exponentes.
Llevándolo a un tipo de ecuación conocida.
Por logaritmos.
ECUACIONES LOGARITMICAS
Tienen la incógnita dentro de un logaritmo.
Resolución de Ecuaciones Logarítmicas
a. Hallar el dominio (solo hay logaritmos de números positivos)
b. Resolver la ecuación para los valores del dominio.
1.