principios básicos para hablar del movimiento de un movil en dos dimensiones

1. MINEDUC- EXPERIMENTAL. JALAPA
20 de abril de 2015
Autor: Élfego Alarcón
Segunda unidad, física fundamental
Matemática básica para la física

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Segundaunidad,físicafundamental|20/04/2015
Segunda unidad, física fundamental
Matemática básica para la física
TEMA: SOLUCION DE PROBLEMAS CON APLICACIÓN DE LAS COORDENADAS CARTESIANAS
“Introducción al movimiento de los cuerpos”.
El plano cartesiano el cual se define como dos rectas perpendiculares entre sí está formado por cuatro
cuadrantes los que se leen cuadrante I se ubica en los puntos cardinales nor-este, cuadrante II se
ubica en el nor-oeste, cuadrante III en el Sur-oeste y el cuadrante IV se ubica en el Sur-oeste. Partiendo
de aquí podemos colocar cuerpos que se desplazan en el plano de dos dimensiones, otro elemento
importante en la solución de este tipo de problemas es la escala utilizada se define la escala a el valor
arbitrario que se le asigna a cada centímetro, por ejemplo si utilizamos una escala de 1: 20km
entenderemos que cada centímetro tiene un valor de 20 km ya sea que se dirija al norte, al sur o a
cualquier punto cardinal. Otro elemento importante en este tipo de problemas es la utilización de la
ecuación de la distancia entre dos puntos
2
. Es importante aclarar que los
problemas de desplazamiento en el plano cada recorrido tiene un punto de salida y un punto de
finalización, cuando mencionamos las coordenadas cartesiana siempre se asigna un valor en “x” y otro
en “y” de tal manera que cuando se dice las coordenadas (5,6) son cinco espacios para “x” y seis para
“y” ósea 5 al este y 6 al norte, para entenderlo mejor veamos el siguiente ejemplo:
Un vehículo sale del km 50 al sur de la ciudad si tenemos una escala de 1:25km, significa que contamos
2 centímetros al sur porque 25+25 = 50km luego el vehículo se dirige 125km al este contamos 5 cm a la
derecha, posteriormente el vehículo se dirige al norte y recorre 100km entonces contamos 4 cm. Si
preguntamos ¿Cuántas millas han recorrido el vehículo en la ciudad? Lo resolvemos de la siguiente
manera
Solución:
Del punto1 al punto 2 = 125km
Del punto 2 al punto 3 =100km
Total de recorrido = 225km
225 *
.
=
.
=139.83 Mi
La física, la más fundamental de las ciencias físicas, tiene como objetos de estudio los principios básicos
del universo. Es el cimiento sobre el cual se basan las otras ciencias – astronómicas, biología, química y
geología -. La belleza de la física subyace en la simplicidad de las teorías físicas básicas y en la forma en
la que solo un pequeño número de conceptos esenciales, ecuaciones y suposiciones pueden alterar y
expandir la visión del mundo en contorno.
Toda la física puede dividirse en cinco áreas principales:
1. Mecánica clásica, la cual concierne al movimiento simple de los objetos que son grandes en
comparación con átomos y se mueven con rapidez mucho mejor que la de la luz.
2. Relatividad, que es una teoría que describe a los objetos que se mueven en cualquier
rapidez, incluso con rapidez que se acerca a la de la luz.

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3. Termodinámica, la cual trata del calor, trabajo, temperatura y del comportamiento estadístico
de un gran número de partículas.
4. Electromagnetismo, relacionado con la electricidad, magnetismo y campos
electromagnéticos.
5. Mecánica quántica, una colección de teorías relacionadas con el comportamiento de la
materia a niveles tanto micro como microscópicos.
Movimiento. La mecánica trata las relaciones entre fuerza, materia y movimiento; nos disponemos a
analizar los métodos matemáticos que describen el movimiento. Esta parte de la mecánica recibe el
nombre de cinemática.
Las siguientes son consideraciones que fundamentan dicho estudio:
1. El movimiento puede definirse como un cambio continuo de posición.
2. En el movimiento real de un cuerpo extenso, los distintos puntos del mismo se mueven
siguiendo trayectorias diferentes, pero consideraremos en principio una descripción del
movimiento en función de un punto simple (partícula
1
).
3. Tal modelo es adecuado siempre y cuando no exista rotación ni complicaciones
similares, o cuando el cuerpo es suficientemente pequeño como para poder ser
considerado como un punto respecto al sistema de referencia.
4. El movimiento más sencillo que puede describirse es el de un punto en línea recta, la
cual haremos coincidir con un eje de coordenadas.
2.2 Desplazamiento, velocidad y aceleración
Para comprender como se mueven los objetos cuando actúan en ellos fuerzas y momentos de
rotación externos no equilibrados, es importante configurar exactas imágenes físicas y matemáticas del
desplazamiento, la velocidad y la aceleración, comprender las relaciones entre estas tres cantidades.
En el proceso se imaginará un sistema que comprende tres ejes coordenados mutuamente
perpendiculares y un pequeño cuerpo en movimiento, que en el curso del tiempo, describe alguna clase
de trayectoria en el espacio de coordenadas.
El principio, no se tendrá interés en las fuerzas que provoca este movimiento, ni en la relación entre
estas causas físicas y la trayectoria resultante.
En vez de ello, se supondrá que se conoce una ecuación de movimiento que puede resolverse para
dar información explícita en todo momento acerca de la posición, la velocidad y la aceleración de la
partícula.
Sólo se considerarán los aspectos geométricos del movimiento, cuyo estudio se llama cinemática.
Inicialmente se supone que, de alguna manera, la partícula objeto del estudio está limitada a moverse
sólo a lo largo del eje “x” y de “y”.
Cuando se habla del movimiento entonces debemos de conocer los conceptos de desplazamiento,
recorrido y trayectoria
2
Descripción del movimiento
El siguiente recurso entrega la información necesaria para que comiences a conocer todo acerca del
movimiento, conceptos básicos utilizados en física y su definición. Contiene ilustraciones.
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Investigación estudiantil
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Investigación estudiantil

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Descripción del movimiento
Para referirse a los movimientos con la rigurosidad que exige la física, es imprescindible manejar muy
bien ciertos conceptos. Algunos de ellos, como trayectoria, desplazamiento, velocidad y aceleración, son
útiles para describir los movimientos;
Posición, tiempo y velocidad
El concepto central de la cinemática es el movimiento, que consiste en un cambio de posición respecto
de un sistema de referencia. Es importante destacar en este concepto, que para describir y estudiar el
movimiento de un cuerpo, no basta con decir que “cambia de lugar” o “se mueve” sino que siempre debe
explicitase respecto de “que” mueve. Esto de gran relevancia parta la cinemática, puesto que el
movimiento, al igual que el reposo, es un fenómeno relativo. En otras palabras, depende en gran medida
del observador. Por ejemplo. Si observamos un árbol plantado en el centro de una plaza… ¿se mueve?
Si observamos desde la Tierra, podemos asegurar que el árbol no cambia de posición respecto de la
plaza y está por lo tanto en reposo. Sin embargo, para un observador situado fuera del planeta, por
ejemplo en la Luna, la Tierra se mueve (rotando y trasladándose en torno al Sol) y en dicho movimiento
arrastra a todos los cuerpos que se encuentran sobre ella. Por lo tanto, para este segundo observador el
árbol si está en movimiento.
El sistema de referencia, es un marco o un sistema de coordenadas respecto del cual describimos las
posiciones y el movimiento de un cuerpo. El sistema de referencia, tal como veremos más adelante, es
totalmente arbitrario. Es decir, depende del observador.
Dado que en esta sección estudiaremos movimientos rectilíneos, nuestro sistema de referencia será el
eje de coordenadas cartesianas X, tal como se describe e ilustra a continuación:
Para describir el movimiento hay dos conceptos básicos a partir de los cuales se construyen todos los
demás. Ellos son: posición (x) y tiempo (t). La posición corresponde a la distancia a que se encuentra el
móvil de un punto cualquiera de la recta que denominaremos origen (0) y que podemos medir en
unidades como el metro (m) o el kilómetro (km). El tiempo es lo que marca un reloj o cronómetro y que
podemos medir en unidades como el segundo (s) o la hora (h).
No es muy común observar objetos que se muevan en forma uniforme. Una persona caminando o un
automóvil que transita por la calle, por ejemplo, por lo general cambian su velocidad con mucha
frecuencia, y solo la mantienen constante por lapsos muy breves. Sin embargo, hay algunos fenómenos
naturales y circunstancias particulares que bien pueden ser consideradas como movimientos uniformes.
En efecto, el sonido viaja en el aire a una velocidad de unos 340 m/s, si el aire es homogéneo (igual
temperatura, presión y sin que exista viento), y en el vacío, la luz viaja a una velocidad de casi 300.000
km/s. También un tren puede mantener una velocidad constante durante algunos minutos.
Sabiendo todo esto, ya estás en condiciones de resolver problemas como los siguientes:
Ejemplo 1. Si desde que vemos un rayo en una tormenta hasta que oímos el trueno transcurren 3
segundos, aproximadamente ¿a qué distancia de donde estamos se produjo el rayo?

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Ejemplo 2. Si la distancia del Sol a la Tierra es de 150.000.000 de km, ¿cuánto tiempo tarda la luz en
viajar desde él hasta nosotros?
La luz viaja por el vacío del espacio a razón de 300.000 km/s. Se tiene que el tiempo que demora en
llegar a la Tierra debe ser: ; es decir, , lo que corresponde a Dt = 500 s. Si
dividimos por 60, sabremos que el retraso con que vemos el Sol es de 8,3 minutos.
Ejemplo 3. Un tren viaja uniformemente y en línea recta con una velocidad de 72 km/h. Si su longitud
total es de 100 metros, ¿cuánto tiempo tarda en pasar frente a nosotros?
se tiene que este tiempo se determina mediante la siguiente relación:
; es decir, = 5 s.
Es importante notar que 72 km/h corresponden a
72. = 20 m/s.
O simplemente 72 Km/h=72:3, 6[m/s]=20[m/s]
Cuando un movimiento no es uniforme, la representación gráfica de la posición en función del tiempo es
de gran utilidad. A este tipo de gráfico lo denominamos itinerario, y debes saber construirlos y extraer
información de ellos para poder, por ejemplo, responder preguntas como las siguientes:
Ejemplo 4. Un automóvil viaja en línea recta de modo que su posición (x) respecto de un punto (origen)
está descrita por el gráfico siguiente:
a) ¿Aproximadamente dónde está el vehículo en el instante t = 20 s?
Una lectura directa del gráfico nos hace ver que la respuesta es x ˜ 80 m.
b) ¿Aproximadamente en qué instante o instantes el vehículo estuvo situado a 200 m del origen?
Esto ocurre según el gráfico en dos instantes. Aproximadamente en t ˜ 1,5 s y también en t ˜ 6 s.
c) ¿Qué desplazamiento realiza en los 24 s descritos en el gráfico?
Como el desplazamiento es Dx = xf - xi, y xi = 150 m y xf = 0 m, tenemos que Dx = – 150 m.
d) ¿Qué camino recorrió en los 24 s representados en el gráfico?

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Es importante notar que si la velocidad aumenta, entonces la aceleración es positiva; si disminuye, será
negativa; y si se mantiene constante, la aceleración será cero.
La velocidad también se puede expresar por medio de un gráfico. Al igual que los gráficos itinerarios,
debes saber construirlos y extraer información de ellos. Veamos un ejemplo de esto último.
Ejemplo 2. Un ciclista se mueve en línea recta, de tal forma que el valor de su velocidad cambia de
acuerdo a como muestra el gráfico siguiente:
a) ¿Aproximadamente qué velocidad tiene el ciclista en el instante t = 2 s?
La lectura directa del gráfico indica que esta velocidad es de unos 17,5 m/s.
b) ¿Qué aceleración posee en t = 3,2 s? También se ve directamente en el gráfico que entre t = 3 y t = 4
s la velocidad del ciclista se mantuvo constante (20 m/s), lo que significa que su aceleración durante ese
tiempo fue nula.
Aceleración y desplazamiento:
Si un objeto acelera constantemente, aumentando su velocidad, en cada segundo experimentará cada
vez mayores desplazamientos. Por ejemplo, supongamos una moto que acelera como lo indica el gráfico
siguiente:
También puedes verificar que el desplazamiento Dx corresponde al área achurada del gráfico de
velocidades.
Supongamos que inicialmente el motociclista estaba en la posición x = 0. Si calculas sus posiciones (con
la fórmula [3]) segundo a segundo, verás que ellas corresponden a los valores de la tabla y gráfico
siguiente:

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.
Sistemas de referencia y trayectoria
La trayectoria de un cuerpo, también puede cambiar al cambiar de sistema referencia. Por ejemplo, si en
el mismo tren anterior dejamos caer un cuerpo libremente, un observador en el interior del cagón
observará un movimiento rectilíneo y totalmente vertical. Sin embargo para el observador situado en
Tierra, la piedra no sólo se mueve verticalmente sino que además tiene un movimiento horizontal debido
a la velocidad con que el tren se mueve. Este observador percibirá entonces una trayectoria curva
(parabólica).
Lo mismo ocurre cuando desde un avión que vuela horizontalmente a cierta altura con velocidad
constante se deja caer un bulto. Para el tripulante del avión, el bulto cae verticalmente ya que siempre lo
percibe debajo de él, mientras que para un observador en Tierra el bulto se mueve parabólicamente,
debido a su movimiento vertical combinado con el movimiento horizontal.

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Relatividad del Movimiento
Las velocidades son relativas
Cuando medimos una velocidad tomamos como referencia una "posición fija" de algún cuerpo para
realizar las medidas. Dicho de otra forma, tomamos como referencia algún cuerpo que se considere en
reposo y medimos las velocidades de los demás relativas a él o referidas a él.
En nuestro caso usamos la Tierra (o algo ligado a ella) como referencia, para lo cual suponemos que está
en reposo. Así decimos que la velocidad es medida relativa a la Tierra o tomando la Tierra como
referencia.
Debido al carácter relativo de la velocidad, un objeto puede aparentar tener un movimiento para un
observador y otro movimiento diferente para otro observador, dependiendo de cómo se muevan los
observadores uno con respecto a otro.
Veamos un ejemplo sencillo. Supón que dos personas van en un autobús, una delante y otra detrás, por
una carretera recta.
Nosotros, que queremos medir la velocidad, nos situamos en la carretera, hacemos dos marcas
separadas 50 m y observamos que el autobús tarda 5 s en recorrer esa distancia.
Según nuestros cálculos, la persona que va sentada delante del autobús se mueve con una velocidad de
50 m / 5 s = 10 m/s, relativa a nosotros (o a la Tierra).
El pasajero que va sentado detrás del autobús observa que durante ese tiempo, la persona de delante no
se ha movido con respecto a él, es decir que mide una velocidad de 0 m / 5 s = 0 m/s, relativa a él (o al
autobús).
Entonces, ¿cuál es la velocidad correcta del pasajero?
Simplemente, la velocidad correcta o verdadera de un cuerpo no existe.
Ninguna de estas dos medidas de la velocidad es mejor que la otra. Ambas velocidades son correctas,
cada una en su sistema de referencia.

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En el siguiente ejemplo podemos seleccionar cuatro sistemas de referencia y observar las velocidades y
los desplazamientos que se producen con respecto a cada uno de ellos. Nuestro sistema tiene
una carretera por la que circula un coche y un río por el que navega un barco.
a) Puedes seleccionar el sistema de referencia moviendo el ratón por las diferentes zonas.
b) Puedes detener la animación pulsando con el ratón en cualquier sitio.
1. Si pulsas con el botón izquierdo, la animación continuará al levantarlo.
2. Si lo haces con el botón derecho, deberás pulsarlo de nuevo para reanudar la animación.
c) Puedes modificar las velocidades arrastrando a izquierda y derecha los extremos de los vectores,
cuando la animación está detenida.
d) Puedes ocultar las velocidades y calcular las velocidades medias de cada elemento con los datos
que aparecen.
e) Puedes reiniciar y elegir el sistema de referencia con el que desees comenzar pulsando sobre
ellos con el botón derecho del ratón, así como elegir las velocidades de los otros tres sistemas
con respecto al elegido.
La Posición
Si hemos acordado llamar movimiento al cambio de la posición con el tiempo, será necesario establecer
un criterio para determinar qué posición ocupa un cuerpo en un instante.
Se trata, de nuevo, de establecer un sistema de referencia adecuado para lo que necesitamos estudiar.
Una dimensión
Imagina que tenemos un cuerpo que se mueve por una recta, es decir que realiza un movimiento en una
dimensión. Para determinar su posición sólo necesitamos indicar a qué distancia del origen se encuentra.
Observa en el siguiente la posición del cuerpo puede ser positiva o negativa según se encuentre a la
derecha o a la izquierda del origen respectivamente.
Como ves resulta muy fácil hacerlo. Con una coordenada podemos conocer la posición de un punto
sobre una recta.
Dos dimensiones
Si el cuerpo realiza un movimiento en dos dimensiones, es decir se mueve por un plano, necesitaremos
dos coordenadas para determinar la posición que ocupa en un instante dado.
Los dos valores que determinan la posición de un cuerpo en un plano podemos establecerlos utilizando
como referencia un sistema de coordenadas cartesianas o un sistema de coordenadas polares.
En el caso de las coordenadas cartesianas se utilizan las distancias a los dos ejes acompañadas de los
signos (+) ó (-).

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En la figura de la izquierda aparece representado el
punto P (3,2).
Para evitar confusiones se tiene el acuerdo de
escribir primero la coordenada x y después la
coordenada y, separadas por una coma.
El signo negativo para la coordenada x se utiliza si el punto se encuentra a la izquierda del origen y para
la coordenada y cuando está por debajo del origen.
Las coordenadas polares utilizan la longitud de la recta que une nuestro punto con el punto de referencia
y el ángulo que forma esta recta con la horizontal.
En la figura de la izquierda se representa el punto P (3, 45°), que significa que la
distancia OP vale3 y que el ángulo vale 45°
MOVIMIENTO RELATIVO
En todo problema de Movimiento relativo (MR) se tiene que identificar tres personajes: uno de
ellos es un observador "fijo". Pero nada esta fijo en este universo... o te olvidaste de que la
Tierra está en movimiento. El segundo personaje de estas historias (que son siempre la misma)
es un espacio, un lugar, un medio, que se mueve con velocidad constante en la Tierra. Este
espacio tiene la particularidad de permitir movimientos adentro suyo. Ejemplos típicos son:
1) un río, que se mueve respecto de la Tierra y permite que adentro barcos, lanchas y
nadadores hagan la suya;
2) el aire, que al moverse se llama viento y permite que aves, aviones y superhéroes
vuelen a su aire (valga la redundancia);
3) un tren, que se mueve en las vías y permite que el cocacolero lo recorra de una punta a
la otra vendiendo gaseosas.
Es conveniente (sobre todo) que este espacio móvil lleve adentro un sujeto quieto; por ejemplo:
si es un río, un tipo en una balsa; si es el aire, un señor en un globo aerostático; si es un tren,

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una niña sentada. Fíjate que en los tres ejemplos este observador "quieto" tiene la misma
velocidad que el espacio móvil que lo contiene: a este lo suelen llamar el observador móvil, se
entiende por qué. Es el personaje hecho persona.
El tercer personaje de estas historias es el móvil propiamente dicho, aquel cuya posición o
velocidad en el tiempo queremos describir. En nuestros ejemplos podría ser un avión, una
lancha, un cocacolero, o lo que sea.
Ejemplo: Un tren se mueve a 60 km/h y en el mismo sentido en el que avanza el tren camina un
cocacolero vendiendo cocas. El paso del cocacolero es de 2 km/h, según observa una señorita
que está sentada en el tren pero que no toma gaseosas (por la dieta). Tú estás subido en un
árbol y ves pasar al tren. Como tenés un equipo que mide velocidades con una precisión
increíble. No te cabe ninguna duda de que el tren avanza a 60 km/h. También ves avanzar al
cocacolero a través de las ventanillas... y le medís la velocidad... ¿cuánto le
das? ¡62 km/h!, ¡obvio!
62 km/h = 2 km/h + 60 km/h
Te desafío: suponte que ves al cocacolero pero caminando hacia el furgón del tren, para atrás
¿cuánto medís ahora? Obvio... 58. La relación entre velocidades no sólo vale para movimientos
unidireccionales sino para cualquier tipo de velocidades. O sea, se trata de una relación
vectorial, y para escribirla correctamente hay que ponerle las flechitas que te indican que se trata
de vectores.
Cuando te enfrentes con un problema de MR en el que las velocidades implicadas no son
unidireccionales tenés básicamente dos formas de resolverlo. Una es gráficamente,
representando la suma vectorial y fijándote si tenés suficientes datos para resolver las
incógnitas. Y la otra es analítica
3
, operando algebraicamente la suma vectorial; para eso vas a
tener que descomponer cada uno de los tres vectores implicados en dos direcciones, según
un SR que vos elijas. Luego la relación vectorial se transforma en estas dos, que son numéricas,
y que podes plantear y resolver.
En x
En y
VMTx = VMRx + VRTx
VMTy = VMRy + VRTy
Reitero, en esas ecuaciones ya estás trabajando con escalares, pero ojo con los signos de esos
números, que dependerán del sentido positivo de cada eje.
Acuerdate que para sumar gráficamente dos vectores tenés que dibujar uno a continuación del
otro, y no importa el orden. El vector suma será aquel que tenga inicio en el inicio del par, y
extremo en el extremo del par. El orden de la suma no importa, fíjate que el resultado es el
mismo.
3
Uso de ecuaciones

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Bueno, en No me salen vas a encontrar esta nomenclatura. Decidí elegir estas letras por lo
siguiente: M por móvil, T por Tierra y R por río, que es un buen representante de un espacio
móvil.
CHISMES IMPORTANTES:
1) La ley de suma de velocidades del movimiento relativo es otra de las proezas de Galileo
Galilei. Y aunque te parezca una necedad resume una cuestión que se halla en los
cimientos de una revolución del conocimiento. En época de Galileo todavía se discutía si
la Tierra estaba quieta o no. Si se movía (o sea si tenía una velocidad no nula) esa
velocidad debía sumarse automáticamente a la velocidad de cualquier móvil que
anduviese sobre ella. De no ser así, la Física habría estado en serios problemas. Pero,
como casi siempre, Galileo tenía razón, y la Iglesia Católica no.
2) La Ley de suma de velocidades se aparta de la verdad cuando la suma se acerca al
valor de la velocidad de la luz. Más se aparta cuanto más se acerca.
PREGUNTAS CAPCIOSAS:
1) En época de Einstein todas las analogías se montaban sobre trenes en movimiento...
¿Qué bicho móvil usaba Galileo?
2) Hablando de Einstein... resulta que el loco descubrió que la ley de suma de velocidades
de Galileo (el tema de esta lección) no se cumple estrictamente, y que cuantas más
altas sean las velocidades más se aparta de la realidad. ¿Te animas a buscar la ley de
suma de velocidades relativista?
Algunos derechos reservados. Se permite su reproducción citando la fuente. Este material es
absolutamente gratuito, excepto para mí que me costó bastante armarlo... pero que lo hice con
mucho deleite. Última actualización nov-06. Buenos Aires, Argentina.
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