Introducción a la mecánica de fluidos, vibraciones y termodinámica

2011
(Desde el 2009)
FISICA
GENERAL
UNA INTRODUCCION A LOS
FLUIDOS, VIBRACIONES Y TERMODINAMICA
Con numerosos ejemplos
e ilustraciones
S O L D O V I E R I
LA UNIVERSIDAD DEL ZULIA
(EN EDICION Y REVISION)

Terenzio Soldovieri C.
www.cmc.org.ve/tsweb

SOLDOVIERI C., TERENZIO
Licenciado en Física
Profesor agregado del Departamento de Física
Facultad de Ciencias - La Universidad del Zulia (LUZ)
tsoldovieri@luz.edu.ve
tsoldovieri@fec.luz.edu.ve
www.cmc.org.ve/tsweb
FISICA GENERAL
Una introducción a los ﬂuidos, vibraciones y termodinámica
con numerosos ejemplos e ilustraciones
1era
edición (preprint)
(EN CONSTRUCCION Y REVISION)
Comenzado en el 2009 - Actualización 2011 (versión 7)
Escrito usando LATEX
Copyright c 2011 por Terenzio Soldovieri C.
República Bolivariana de Venezuela
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ÍNDICE
I MECANICA DE FLUIDOS 1
1 Hidrostática 3
1.1 Densidad absoluta, densidad relativa y peso específico . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Densidad absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Densidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Peso específico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Acciones mecánicas sobre los fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Fuerzas de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Fuerzas de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 La presión y sus unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 La presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Manómetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Rango de presiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Ecuaciones fundamentales de la Hidrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7 Presión Vs orientación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8 Variación de la presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8.1 Con la profundidad (medida de la presión ejercida por un fluido
en reposo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8.2 Con la altura (medida de la presión atmosférica) . . . . . . . . . . . 27
1.9 Vasos comunicantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.10 Teorema de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.10.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.10.2 Prensa hidráulica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
I

ÍNDICE
1.11 Principio de Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.11.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.11.2 Equilibrio de los cuerpos sumergidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.11.3 Equilibrio de los cuerpos flotantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.12 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2 Hidrodinámica 57
2.1 Métodos de análisis utilizados para describir el estado de movimiento de
un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.1.1 Método de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.1.2 Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2 Características generales del flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3 Trayectorias y líneas de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4 Ecuaciones fundamentales de la Hidrodinámica . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4.1 Ecuación de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4.2 Ecuación de Bernoulli (Teorema de Bernoulli) . . . . . . . . . . . . . . 67
2.5 Aplicaciones de las ecuaciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.5.1 Cálculo de la velocidad de un líquido que sale del tapón de un
grifo en la base de un recipiente (Teorema de Torricelli) . . . . . . . 74
2.5.2 Efecto Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Aplicaciones del efecto Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.5.3 Tubo o medidor de Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.5.4 Tubo de Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
II VIBRACIONES 105
3 Oscilaciones 107
3.1 Oscilador armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.1.1 Significado físico de ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.1.2 Significado físico de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.1.3 Velocidad y aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Para una solución del tipo x (t) = A Cos (!t + 'o) . . . . . . . . . . . . 110
Para una solución del tipo x (t) = A Sen (!t + 'o) . . . . . . . . . . . . 112
3.2 Resortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.2.1 Ley de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: II

ÍNDICE
3.2.2 Unidades de k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.2.3 Energía de un oscilador armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.3 Algunos sistemas armónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.3.1 El péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.3.2 El péndulo físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.4 El oscilador amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.4.1 Ecuación de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.4.2 Velocidad y aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.4.3 Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.5 Oscilador forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.6 Resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.6.1 Resonancia en la amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.6.2 Resonancia en la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4 Movimiento ondulatorio 193
4.1 Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
4.2 Tipos de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
4.2.1 Según el medio en que se propaguen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
4.2.2 Según el número de dimensiones que involucran . . . . . . . . . . . 196
4.2.3 Según la relación entre la vibración y la dirección de propagación 197
4.2.4 De acuerdo a las fronteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.2.5 Períodicas y no periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4.3 Pulso, tren de ondas, frente de onda y rayo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4.4 Descripción de la propagación de una onda . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
4.5 Ecuación de onda y principio de superposición . . . . . . . . . . . . . . . . 202
4.6 Ondas armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4.7 Fase, constante de fase y velocidad de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
4.7.1 Fase y constante de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
4.7.2 velocidad de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.8 Velocidad de las ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
4.8.1 Ondas transversales en una cuerda tensa . . . . . . . . . . . . . . . . 215
4.8.2 Ondas logitudinales en una barra elástica . . . . . . . . . . . . . . . 217
4.8.3 Ondas longitudinales en un ﬂuido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
4.9 Energía y potencia para una onda armónica en una cuerda . . . . . . . . 230
4.10 Intensidad de una onda tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
4.11 Ondas longitudinales armónicas de sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: III

ÍNDICE
4.12 Interacción de las ondas con las barreras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
4.12.1 Reflexión y transmisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
4.12.2 Difracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
4.13 Interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
4.13.1 Interferencia constructiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
4.13.2 Interferencia destructiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
4.14 Ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
4.14.1 En una cuerda fija en ambos extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
4.14.2 En una cuerda fija en uno de sus extremos . . . . . . . . . . . . . . . 265
4.14.3 En tubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
En un tubo abierto en ambos extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
En un tubo cerrado en uno de sus extremos . . . . . . . . . . . . . . 275
4.15 Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
4.15.1 La fuente y el observador se mueven en la misma dirección y sentido283
La fuente trata de adelantar al observador . . . . . . . . . . . . . . . 283
El observador trata de adelantar a la fuente . . . . . . . . . . . . . . 284
4.15.2 La fuente y el observador se mueven en la misma dirección y sen-
tidos opuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
Acercándose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
Alejándose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
4.16 Ondas de choque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
4.17 El sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
4.17.1 La naturaleza del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
4.17.2 El sonido y su propagación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
4.17.3 Sonido físico y sensación sonora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
4.17.4 Cualidades del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Tono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
Timbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
4.18 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
III TERMODINAMICA FENOMENOLOGICA 313
5 Temperatura y dilatación térmica 319
5.1 Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
5.2 Termómetros y escalas de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
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ÍNDICE
5.3 Dilatación térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
5.3.1 Dilatación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
5.3.2 Dilatación volumétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
5.4 Compresión térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
5.5 Asignaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
6 Calorimetría 335
6.1 Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
6.2 Capacidad calorífica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
6.3 Calor específico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
6.4 Calor de fusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
6.5 Calor de vaporización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
6.6 Calor de combustión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
6.7 Equilibrio térmico y ley cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
6.8 Equivalente en agua de un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
6.9 Calor específico de un sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
6.10 Calor específico de los líquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
6.11 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
7 Leyes 1 y 2 de la termodinámica 359
7.1 Gases ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
7.2 Gases reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
7.3 El calor y el trabajo mecánico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
7.4 Energía interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
7.5 Primera ley de la termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
7.5.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
7.5.2 Algunas ejemplos donde se aplica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
7.6 Energía interna de un gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
7.7 Capacidades caloríficas de un gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
7.8 Energía interna de un gas real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
7.9 Procesos cíclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
7.10 Procesos reversibles e irreversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
7.11 Máquina térmica de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
7.12 Entropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
7.12.1 Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
7.12.2 Entropía de algunos sistemas termodinámicos notables . . . . . . . 396
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: V

ÍNDICE
Entropía de un cuerpo sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
Entropía de un gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
Entropía de un gas de van der Waals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
7.13 Segunda ley de la termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
7.13.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
7.14 Tercera ley de la termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
7.15 Máquinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
7.15.1 Máquinas térmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
7.15.2 Refrigeradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
7.16 Motores de combustión externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
7.16.1 Máquina de vapor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
7.17 Motores de combustión interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
7.17.1 Motor de explosión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
7.17.2 Motor diesel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
7.18 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
A Factores de Conversión 419
B Derivación 423
B.1 Deﬁnición de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
B.2 Segunda derivada y derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . 423
B.3 Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
B.4 Derivadas de las funciones más comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
C Ecuaciones diferenciales 427
D Minibiografías 431
D.1 Newton, Isaac (1642-1727) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
D.2 Pascal, Blaise (1623-1662) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
D.3 Arquímedes (287-212 a.C.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
D.4 Lagrange, Joseph Louis, Conde de (1736-1813) . . . . . . . . . . . . . . . . 434
D.5 Euler, Leonhard (1707-1783) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
D.6 Bernoulli, Daniel (1700-1782) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
D.7 Torricelli, Evangelista (1608-1647) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
D.8 Venturi, Giovanni Battista (1746-1822) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
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ÍNDICE
D.9 Pitot, Henri (1695-1771) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
D.10 Joule, James Prescott (1818-1889) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
D.11 Carnot, Nicolas Léonard Sadi (1796-1832) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
D.12 Boyle, Robert (1627-1691) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
D.13 Mariotte, Edme (1620-1684) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
D.14 Galileo (Galileo Galilei) (1564-1642) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
D.15 Fahrenheit, Daniel Gabriel ( 1686-1736) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
D.16 Celsius, Anders (1701-1744) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
D.17 Kelvin, Lord o Thomson, William (1824-1907) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
D.18 Davy, Sir Humphry (1778-1829) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
D.19 Mayer, Julius von (1814-1878) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
D.20 Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646-1716) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
D.21 Clausius, Rudolf Emanuel (1822 -1888) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
D.22 Arrhenius, Svante August (1859-1927) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
D.23 Planck, Max Karl Ernst Ludwig (1858-1947) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
D.24 Van der Waals, Johannes Diderik (1837-1923) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
D.25 Doppler, Christian (1803-1853) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
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ÍNDICE
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LISTA DE ILUSTRACIONES
1.1 Fuerza de volumen y fuerza de superficie sobre un elemento de volumen
dV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 La componente tangencial de la fuerza de superficie en un fluido en re-
poso debe ser nula porque, de lo contrario, dicha componente haría que
el fluido fluyera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Diagrama de cuerpo libre de un elemento de volumen para la obtención
de las ecuaciones fundamentales de la Hidrostática. . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Elemento de volumen soportando fuerzas de volumen con diferentes di-
recciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 En un mismo punto, p no depende de la orientación. . . . . . . . . . . . . . 19
1.6
!
G para un campo gravitacional donde la aceleración debida a la gra-
vedad esté dirigida a lo largo del eje z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Los puntos del plano imaginario están sometidos a la misma presión. . . 21
1.8 Variación de la presión con la altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.9 Presión medida desde la superficie libre de un fluido . . . . . . . . . . . . . 22
1.10 Ejemplo 1.13: Cálculo de la fuerza total sobre el fondo de una piscina con
fondo inclinado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.11 Ejemplo 1.18: Columna de mercurio en un tubo vertical abierto en su
extremo inferior en una cubeta abierta de mercurio. . . . . . . . . . . . . . 25
1.12 Ejemplo 1.19: Cálculo de fuerzas en un depósito cúbico. . . . . . . . . . . 26
1.13 Vasos comunicantes en forma de U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.14 Ejemplo 1.25: Tubo en forma de U con agua y mercurio. . . . . . . . . . . . 30
1.15 Ejemplo 1.26: Cálculo de niveles en un tubo en forma de U con agua y
mercurio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
IX

1.16 Ejemplo 1.27: Cáculo de la fuerza sobre el fondo de un matraz lleno de
agua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.17 Prensa hidráulica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.18 Determinación del empuje
!
E de Arquímedes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.19 Empuje vs Peso de un cuerpo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.20 (a) un cuerpo asciende en el seno de un líquido cuando el empuje es
mayor que su peso; (b) pero, a medida que emerge, el empuje dismiuye.
Entonces (c) cuando las dos fuerzas son de igual módulo, el cuerpo flota. 40
1.21 Ejemplo 1.31. Empuje sobre un cuerpo sumergido, suspendido mediante
una cuerda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.22 Ejemplo 1.32: Tina rectangular hecha de una capa delgada de cemento
que flota en un lago. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.23 Ejemplo 1.35: Globo de plomo lleno de aire, con radio externo R, total-
mente sumergido en un tanque de agua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.24 Problema 43: Cable anclado en el fondo de un lago que sostiene una
esfera hueca de plástico bajo su superficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.25 Problema 44: Dos depósitos que contienen agua y que están unidos me-
diante un conducto que puede abrirse o cerrarse mediante una llave. . . 52
1.26 Problema 64: Cálculo de presión en un tubo en forma de U con uno de
sus extremos cerrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.27 Problema 67: Cálculo de la fuerza que debe aplicarse en la palaca de
un gato hidráulico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.28 Problema 71: Cilindro de madera de roble de longitud L flotando parcial-
mente sumergido en agua dulce, suspendido por uno de sus extremos de
un hilo a una altura h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.29 Problema 72: Cálculo de la fuerza que actúa sobre la superficie plana de
una presa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.1 Diagrama de línea de flujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2 (A) Líneas de corriente o flujo laminar. (B) Flujo turbulento. . . . . . . . . . . 60
2.3 Línea de corriente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4 Tubo de flujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5 Ecuación de continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.6 Ejemplo 2.7: Confluencia de dos corrientes que forman un río. . . . . . . . 66
2.7 Flujo de fluidos: Para la derivación de la Ecuación de Bernoulli. . . . . . . . 68
2.8 Teorema de Torricelli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.9 Ejemplo 2.15: Tanque lleno de fluido al cual se le ha hecho una per-
foración lateral a cierta profundidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
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2.10 El tubo o medidor de Venturi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.11 Ejemplo 2.21: Conducto horizontal con estrechamiento y con un tubo en
forma de U anexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.12 Ejemplo 2.22: Tubo de Venturi con tres tomas de presión estática verticales. 84
2.13 Sección transversal de un tubo de Pitot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.14 Ejemplo 2.28: Diagrama de velocidades relativas para un avión que se
desplaza hacia el Norte en presencia de un viento en contra hacia el
Oste del Sur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.15 Problema 25: Cálculo de la velocidad del fluido que sale por un orificio
lateral de un depósito, tomando en cuenta la velocidad de la superficie
del fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.16 Problema 26.: Depósito de agua unido a un conducto horizontal con
diferentes secciones transversales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.17 Problema 27: Cálculo de la velocidad del agua en una tubería empal-
mada a un tubo en forma de T de menor sección con tubos manométri-
cos anexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.18 Problema 28: Tubería en la que hay instalado un medidor de Venturi con
mercurio como líquido manométrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.19 Problema 34: Cálculo de la profundidad en la confluencia de dos co-
rrientes que forman un río. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.20 Problema 38: Cálculos de presión y área en una toma de agua de una
presa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.21 Problema 42: Cálculo de la distancia horizontal a la que cae un fluido
que sale por un orificio lateral de un depósito. . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.22 Problema 43: Tanque sellado y sometido a cierta presión absoluta que
contiene gasolina, al cual se le ha efectuado un disparo. . . . . . . . . . . 97
2.23 Problema 44: Tubo en forma de U que contiene un fluido, al cual se le
sopla aire sobre uno de sus extremos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.24 Problema 45: Presa con un tapón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.25 Problema 46: Sifón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.26 Problema 47: Jarra con orificio en el fondo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.27 Problema 52: Agua que fluye por un tubo que tiene un estrechamiento. . 101
2.28 Problema 53. Depósito abierto unido a un conducto con diferentes sec-
ciones transversales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.29 Problema 55: Depósitos abiertos muy grandes unidos por un conducto. . 102
2.30 Problema 57: Tubo horizontal con estrechamiento, al cual se ha anexado
un tubo en forma de U que sirve de manómetro. . . . . . . . . . . . . . . . 102
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2.31 Problema 62: Tubo de Venturi con tres tomas de presión estática verticales.103
2.32 Problema 63: Dispositivo automático para un calentador de agua. . . . . 104
3.1 Una partícula de masa m se mueve sometida a una fuerza del tipo kx. . 108
3.2 Interpretación de 'o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.3 Ejemplo 3.6.: Una masa de m que está conectada a un resorte ligero. . . 123
3.4 Energía en el oscilador armónico simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.5 Fuerzas actuantes en un péndulo simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.6 Fuerzas en un péndulo físico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.7 Ejemplo 3.26: Varilla delgada y uniforme de largo L y masa M sostenida
por uno de sus extremos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.8 Ejemplo 3.30: Un anillo de radio r suspendido de una varilla. . . . . . . . . 144
3.9 Ejemplo 3.31: Una esfera de radio R suspendida desde un punto fijo por
una cuerda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.10 Oscilador amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.11 Oscilador sub-amortiguado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.12 Oscilador forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.13 Variación de A en un oscilador forzado ( 1 < 2). . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.14 Variación de la amplitud de la velocidad respecto a !f . . . . . . . . . . . . 171
3.15 Problema 39: Sistemas con dos resortes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
3.16 Problema 45: Masa unida a dos resortes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.17 Problema 46: Péndulo físico formado por una varilla y dos esferas macizas. 178
3.18 Problema 91: Péndulo simple con punto de inflexión. . . . . . . . . . . . . . 185
3.19 Problema 114: Péndulo cónico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
3.20 Problema 117: Barra homogénea delgada que cuelga de un punto me-
diante dos hilos inextensibles y sin masa atados a sus extremos. . . . . . . . 189
3.21 Problema 119: Dos resortes están enganchados por uno de sus extremos
a un bloque que puede desplazarse sin rozamiento sobre una superficie
horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3.22 Problema 121: Varilla metálica delgada y uniforme que pivota sin roza-
miento sobre un eje que pasa por su extremo superior y es perpendicular
a la varilla y que esta unida a un resorte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.1 Ejemplo de la propagación de una perturbación. . . . . . . . . . . . . . . . 194
4.2 Ondas superficiales que se forman al arrojar una piedra en un estanque
tranquilo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
4.3 Una onda (a) longitudinal y (b) onda transversal. . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.4 (a) Pulso y (b) tren de ondas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
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4.5 (a) Frente de onda plano, (b) frente de onda cilíndrico, (c) frente de
onda circular y (d) frente de onda esférico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
4.6 Cuerda en la cual se hace propagar una perturbación o pulso hacia la
derecha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
4.7 Ilustración de un pulso del tipo f (x vt) que se mueve en sentido +x y
f (x + vt) que se mueve en sentido x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
4.8 Superposición de dos pulsaciones que viajan en direcciones opuestas en
la misma cuerda tensa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4.9 Onda senoidal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.10 Representación de una onda senoidal progresiva. . . . . . . . . . . . . . . 205
4.11 Efecto de la constante de fase 'o sobre una onda. Nótese que en una
gráfica contra t “adelante de” significa “a la izquierda de”, mientras
que en una gráfica contra x “adelante de” significa “a la derecha de”. 209
4.12 Pulso en una cuerda tensa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4.13 (a) “Instantánea” de un pulso de onda que se mueve hacia la derecha
en la cuerda con una velocidad v. (b) Fuerzas sobre la pequeña (pero
no infinitesimal) parte del pulso de longitud `. . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
4.14 Barra eslástica antes y después de ser deformada. . . . . . . . . . . . . . . 218
4.15 Elemento de una barra elástica de sección S en la posición x de anchura
dx que, a causa de una perturbación, se traslada , y se deforma d , de
modo que la nueva anchura del elemento es dx + d . . . . . . . . . . . . . 218
4.16 Fuerzas sobre un elemento de una barra elástica. . . . . . . . . . . . . . . . 219
4.17 Tubo de sección recta constante S, que contiene el fluido. . . . . . . . . . 220
4.18 Elemento de fluido de masa masa oSdx en el cual se muestran las pre-
siones aplicadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
4.19 Ejemplo 4.10: Trazo del desplazamiento en función de la posición en el
tiempo t = 0, para una onda transversal que viaja por una cuerda. . . . . 227
4.20 Ejemplo 4.11: Alambre tenso sobre el cual se generen pulsaciones en sus
extremos, separadas por un intervalo de tiempo t. . . . . . . . . . . . . . 228
4.21 Elemento de masa m y longitud x de una cuerda sobre la cual viaja
una onda senoidal hacia la derecha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
4.22 Intensidad de una onda esférica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
4.23 Pistón que al oscilar armónicamente produce ondas sonoras armónicas
unidimensionales armónicas en un tubo largo y delgado que contiene un
fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
4.24 Comparación entre s y p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
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4.25 Pulsos reflejado y transmitido en dos cuerdas unidas de diferente densi-
dad lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
4.26 Cuerda unida a un punto que puede moverse libremente. . . . . . . . . . 248
4.27 Interacción de un frente de onda plano con un obstáculo que tiene un
agujero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
4.28 Esquema de la interacción de un frente de onda plano con un obstáculo
que tiene un agujero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
4.29 Esquema de la interacción de un haz de partículas con un obstáculo que
tiene un agujero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
4.30 Interacción de un frente de onda plano con un obstáculo que tiene un
agujero cuya dimensión es grande con respecto a la longitud de onda. . 250
4.31 Dos ondas armónicas coherentes 1 y 2 que se originan en fuentes pun-
tuales y cuya interferencia queremos calcular en cierto punto O. . . . . . 251
4.32 Interferencia constructiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
4.33 Interferencia destructiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
4.34 Interferencia entre dos ondas (caso intermedio). . . . . . . . . . . . . . . . 255
4.35 Cuerda tensada de longitud ` sujeta en ambos extremos a dos soportes
fijos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
4.36 Primeros tres armónicos de una cuerda fija en ambos extremos. . . . . . . 261
4.37 Cuerda fijada, en uno de sus extremos, a una pared. . . . . . . . . . . . . . 265
4.38 Algunos armónicos para la cuerda fija en uno de sus extremos. . . . . . . 266
4.39 Ejemplo 4.42: Cuerda sujeta en uno de sus extremos y con el otro extremo
unido a un anillo sin peso que puede deslizarse a lo largo de una barra
sin fricción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
4.40 Tubo de órgano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
4.41 Algunos armónicos para el caso de un tubo abierto en ambos extremos.
La perturbación sonora es generada por un parlante en uno de los ex-
tremos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
4.42 Algunos armónicos para el caso de un tubo cerrado en uno de sus ex-
tremos. La perturbación sonora es generada por un parlante en el ex-
tremo abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
4.43 Ejemplo 4.54: Aparato que puede emplearse para medir la velocidad del
sonido en el aire usando la condición de resonancia. . . . . . . . . . . . . 279
4.44 Efecto Doppler para una velocidad de movimiento de la fuente emisora
menor que la velocidad de propagación de la onda. . . . . . . . . . . . . 282
4.45 Efecto Doppler para fuente y observador en movimiento en ls misma di-
rección y sentido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: XIV

4.46 Ejemplo 4.61: Fuente sonora que se mueve en una trayectoria circular
con rapidez constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
4.47 Ondas de choque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
4.48 Onda de choque en una cubeta de ondas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
4.49 Ejemplo 4.64: Estampido sónico originado por un avión supersónico. . . . 290
4.50 Ejemplo 4.65: Estampido sónico originado por un avión supersónico. . . . 291
4.51 Problema 23: Onda de choque de un avión supersónico. . . . . . . . . . . 302
4.52 Estructura de un fenómeno termodinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
4.53 Tipos de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
5.1 Pirómetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
5.2 Problema 29: Lámina rectangular sometida a un aumento de temperatura.330
6.1 Calorímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
6.2 Dispositivo utilizado por Joule para medir el equivalente mecánico del calor337
6.3 Capacidad caloríﬁca de distintos sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
6.4 Calor de fusión del hielo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
6.5 Calor de vaporización del agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
6.6 Calorímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
7.1 Proceso termodinámico genérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
7.2 Trabajo realizado por un gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
7.3 Diagrama para un gas ideal que experimenta un proceso isotérmico . . . 363
7.4 Procesos isocórico e isobárico para un gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . 364
7.5 Comparación de comportamientos isotérmico y adiabático para un mol
de gas ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
7.6 Gas ideal encerrado en un dispositivo de cilindro y émbolo. . . . . . . . . . 375
7.7 La temperatura dada de una masa de gas aumenta en la misma can-
tidad ya sea por un proceso a presión constante ab o por un proceso a
volumen constante ac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
7.8 Diversos estados de un gas cuando efectúa un ciclo . . . . . . . . . . . . . 383
7.9 Representación gráﬁca del ciclo en un diagrama pV . . . . . . . . . . . . . 383
7.10 Proceso reversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
7.11 Ciclo de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
7.12 Todo ciclo reversible puede aproximarse mediante una serie de ciclos de
Carnot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
7.13 La integral
H
dS de la entropía para un ciclo reversible es igual a cero. Por
tanto, la diferencia de entropía entre los estados a y b, Sa Sb =
R b
a
dS, es
la misma para la trayectoria I que para la II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: XV

7.14 Máquina de combustión externa (izquierda) y máquina de combustión
interna (derecha). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
7.15 Máquina térmica real (izquierda) y máquina térmica perfecta (derecha). 402
7.16 Refrigerador real (izquierda) y refrigerador “perfecto” (derecha). . . . . . 403
7.17 Refrigerador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
7.18 Caldera de vapor. (A) cilindro con agua y vapor, (B) válbula de se-
guridad, (C) tubo de conducción del vapor, (D) entrada del agua a la
caldera, (E) manómetro, (F) nivel, (G) chimenea, (H) fogón, (I) sección
tubular de la caldera, (J) tabiques deﬂectores del calor y (K) colector de
cenizas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
7.19 Cilindro o distribuidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
7.20 Transformación del movimiento rectilíneo en circular en la máquina de
vapor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
7.21 Motor de explosión de cuatro tiempos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
7.22 Carburador (partes fundamentales). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
7.23 Sistema de encendido del motor de un automóvil. . . . . . . . . . . . . . . 409
7.24 Motor diesel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
7.25 Problema 12: Ciclo reversible efectuado por un gas ideal monoatómico- 412
7.26 Problema 13: Ciclo reversible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
7.27 Problema 16: Sistema termodinámico que pasa de su estado inicial A
hasta otro estado B y regresa de nuevo a A a través del estado C como
lo muestra la trayectoria ABCA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
7.28 Problema 17: Cilindro que contiene gas y que está cerrado por un ém-
bolo móvil. El cilindro se sumerge en una mezcla de hielo y agua. . . . . . 414
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: XVI

LISTA DE TABLAS
1.1 Densidad de algunos sólidos y líquidos a 20o
C. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.1 Velocidad del sonido en algunos medios gaseosos, líquidos y sólidos, a
1atm y 0o
C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
5.1 Coeficientes de dilatación promedio a 20o
C de algunos sólidos. . . . . . . 323
5.2 Coeficientes de dilatación promedio a 20o
C de algunos líquidos y gases. . 324
6.1 Calor específico a 20o
C y presión constante de 1 atm. . . . . . . . . . . . . 339
XVII

Prefacio
E
l presente texto constituye un intento de ...
XIX

CAPÍTULO 1
Hidrostática
Antes de definir lo que es la hidrostática, es necesario definir lo que es un fluido:
Se denomina fluido toda aquella sustancia que cede inmediatamente a
cualquier fuerza tendente a alterar su forma, con lo que fluye y se adapta a la
forma del recipiente. Los fluidos pueden ser líquidos o gases.
Las partículas que componen un líquido no están rígidamente adheridas entre sí,
pero están más unidas que las de un gas. El volumen de un líquido contenido en
un recipiente hermético permanece constante, y el líquido tiene una superficie límite
definida. En contraste, un gas no tiene límite natural, y se expande y difunde en el
aire disminuyendo su densidad. A veces resulta difícil distinguir entre sólidos y fluidos,
porque los sólidos pueden fluir muy lentamente cuando están sometidos a presión,
como ocurre por ejemplo en los glaciares.
Se denomina hidrostática a la parte de la mecánica de fluidos que estudia
el equilibrio de los mismos.
En el presente estudio, la estructura molecular exacta de un fluido no desempeña
un papel directo, así, podremos considerar que los fluidos son medios continuos. Una
masa dada de fluido tiene un volumen definido. Como el fluido es completamente de-
formable, toma la forma de su recipiente. Este ejerce una fuerza sobre él, que debe ser
normal a la superficie, porque cualquier componente tangencial ejercería una fuerza
cortante sobre el fluido y éste respondería deformándose hasta que desapareciera la
fuerza de corte.
3

CAPÍTULO 1. HIDROSTÁTICA
1.1 Densidad absoluta, densidad relativa y peso específico
Si deseamos estudiar el comportamiento de un fluido bajo ciertas condiciones o
la de un sólido inmerso total o parcialmente en un determinado fluido, existen mag-
nitudes físicas que atañen por igual a los sólidos y a los líquidos y que, además, son
propias de cada sustancia en particular. Estas cantidades son:
1.1.1 Densidad absoluta
La densidad absoluta (o simplemente densidad) se define como la razón entre
la masa de una sustancia y su volumen. Matemáticamente se escribe:
=
m
V
(1.1)
donde m es la masa de una cantidad de sustancia cuyo volumen es V .
A diferencia de la masa o el volumen, que dependen de cada objeto, su cociente
depende solamente del tipo de material de que está constituido y no de la forma
ni del tamaño de aquél. Se dice por ello que la densidad es una propiedad o atri-
buto característico de cada sustancia. En los sólidos la densidad es aproximadamente
constante, pero en los líquidos, y particularmente en los gases, varía con las condi-
ciones de medida. Así en el caso de los líquidos se suele especificar la temperatura
a la que se refiere el valor dado para la densidad y en el caso de los gases se ha de
indicar, junto con dicho valor, la presión (de la cual hablaremos más adelante).
La unidad de medida en el S.I. de Unidades es Kg=m3
, también se utiliza frecuente-
mente la unidad g=cm3
.
En la tabla 1.1 se muestran las densidades de algunos sólidos y líquidos a 20o
C
(Tomadas de [12] págs.36 37)1
.
1
En [3] pág. 385 y en [4] pág. 252, podemos encontrar también tablas con las densidades de ciertos
materiales.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 4

1.1. DENSIDAD ABSOLUTA, DENSIDAD RELATIVA Y PESO ESPECÍFICO
Sustancia Densidad (g=cm3
) Sustancia Densidad (g=cm3
)
Acero 7; 7 7; 9 Oro 19; 31
Aluminio 2; 7 Plata 10; 5
Cinc 7; 15 Platino 31; 46
Cobre 8; 93 Plomo 11; 35
Cromo 7; 15 Silicio 2; 3
Estaño 7; 29 Sodio 0; 975
Hierro 7; 88 Titanio 4; 5
Magnesio 1; 76 Vanadio 6; 02
Níquel 8; 9 Wolframio 19; 34
Sustancia Densidad (g=cm3
) Sustancia Densidad (g=cm3
)
Aceite 0; 8 0; 9 Bromo 3; 12
Acido sulfúrico 1; 83 Gasolina 0; 68 0; 72
Agua 1; 0 Glicerina 1; 26
Agua de mar 1; 01 1; 03 Mercurio 13; 55
Alcohol etílico 0; 79 Tolueno 0; 866
Tabla (1.1): Densidad de algunos sólidos y líquidos a 20o
C.
1.1.2 Densidad relativa
La densidad relativa (o gravedad específica) R de una sustancia es la relación
o cociente entre la densidad de la misma y la correspondiente a otra sustancia que
se toma como patrón. En los sólidos y líquidos la densidad relativa se suele referir al
agua a 40
C. La abreviaremos R y es un número sin dimensiones. Matemáticamente:
R =
H20 (40C)
(1.2)
Como la densidad del agua a 40
C es 1; 00 g=cm3
= 1; 00:103
Kg=m3
; la densidad rela-
tiva de cualquier sustancia será prácticamente igual, numéricamente, a su densidad
especificada en g=cm3
o 10 3
veces su densidad especificada en Kg=m3
:
La determinación de densidades de líquidos tiene importancia no sólo en la física,
sino también en el mundo del comercio y de la industria. Por el hecho de ser la den-
sidad una propiedad característica (cada sustancia tiene una densidad diferente)
su valor puede emplearse para efectuar una primera comprobación del grado de
pureza de una sustancia líquida.

1.1.3 Peso específico
Se denomina peso específico de una sustancia al producto de su densidad
por la aceleración de la gravedad y representa la fuerza con que la tierra atrae a un
volumen unidad de la misma sustancia considerada.
Matemáticamente podemos escribir,
=
w
V
(1.3)
donde w es el peso de la sustancia. O al utilizar (1.1) y tener presente que w = mg,
entonces,
= g (1.4)
Como podemos notar de (1.3) el peso específico de una sustancia depende de la
intensidad g del campo gravitacional en el cual dicha sustancia se encuentre inmersa.
Es fácil notar que lo mismo no ocurre con su densidad ¿por qué?.
Ejemplo 1.1: Hallar la densidad y la densidad relativa de la gasolina sabiendo que 51g
de ésta ocupan un volumen de 75 cm3
.
Solución: Al usar (1.1),
=
m
V
=
51 g
75 cm3
= 0; 68 g=cm3
y, al usar (1.2),
R =
H20 (40C)
=
0; 68 g=cm3
1; 00 g=cm3
= 0; 68
Ejemplo 1.2: Hallar el volumen que ocupan 300 g de mercurio sabiendo que su densi-
dad es de 13; 6 g=cm3
.
V =
m
=
300 g
13; 6 g=cm3
= 22; 1 cm3
Ejemplo 1.3: Calcular la densidad, el peso específico y la densidad relativa del alu-
minio, sabiendo que 3 m3
pesan 8100 Kp.

Solución: La masa se obtiene a partir de,
m =
w
g
=
8100:9; 8 N
9; 8 m=s2
= 8100 Kg
ahora, al usar (1.1), (1.3) y (1.2), se obtiene,
=
m
V
=
8100 Kg
3 m3
= 2700 Kg=m3
=
w
V
=
8100 Kp
3 m3
= 2700 Kp=m3
R =
H20 (40C)
=
2700 Kg=m3
1; 00:103 g=cm3
= 2; 7
Ejemplo 1.4: Una estrella de neutrones es mucho menor que nuestro Sol, y tiene la
densidad de un núcleo atómico. Una estrella de neutrones característica tiene
un radio de 10 Km y una masa de 2:1030
Kg, la masa del Sol. ¿Cuánto pesaría
un volumen de 1 cm3
de esa estrella, bajo la inﬂuencia de la gravedad en la
superﬁcie de la Tierra?.
Solución: Primero calculemos la densidad est de la estrella. A partir de (1.1),
est =
mest
Vest
(1)
y si suponemos que la estrella es esférica de radio rest, entonces su volumen Vest viene
dado por,
Vest =
4
3
r3
est (2)
ahora, al sustituir (2) en (1), obtenemos,
est =
3
4
mest
r3
est
=
3
4
2:1030
Kg
3; 14: (10:103m)3 = 0; 5:1018 Kg
m3
= 0; 5:1012 g
cm3
Por último, la masa de 1 cm3
de esa estrella, a partir de (1.1), vendrá dada por,
m = estV = 0; 5:1012 g
cm3
:1cm3
= 0; 5:1012
g
y su peso w es,
w = mg = 0; 5:1012
g:980
cm
s2
= 4; 90:1014
dinas
= 4; 90:109
N

Ejemplo 1.5: Determinar la masa y el peso del aire en una habitación, cuya área del
suelo es de 20 m2
y la altura, 3; 0 m. Densidad del aire 1; 29 Kg=m3
.
Solución: El volumen V de la habitación será,
V = 20 m2
:3; 0 m = 60 m3
por lo tanto, al usar (1.1), resulta,
m = V = 1; 29Kg=m3
:60 m3
= 77; 4 Kg
y el peso w será,
w = mg = 77; 4 Kg:9; 8
m
s2
= 7; 6:102
N
Ejemplo 1.6: El oro puede aplastarse hasta obtener un grosor de 0; 10 m. ¿Qué super-
ﬁcie puede recubrirse con una hoja de oro si su masa es de 2; 0 g?. Densidad del
oro 1; 93:104
Kg=m3
.
Solución: Si S y d la superﬁcie y el grosor de la hoja de oro respectivamente, en-
tonces su volumen V vendrá dado por,
V = Sd
que al sustituirlo en (1.1), resulta,
=
m
Sd
) S =
m
d
y teniendo presente que 1 m = 10 6
m,
S =
2; 0:10 3
Kg
1; 93:104Kg=m3:0; 10
= 1; 04 m2
Ejemplo 1.7: Una pieza de hierro fundido con volumen exterior de 3; 1 dm3
posee la
masa de 21 Kg. ¿Existen en ella oquedades? Si existen, ¿qué volumen ocupan?.
Densidad del hierro fundido 7; 4:103
Kg=m3
.
Solución: Lo primero que debemos hacer es calcular la densidad de la pieza de
hierro a ver si corresponde con la densidad conocida del hierro. Al usar (1.1) con
V = Vext (volumen exterior de la pieza), resulta,
=
m
Vext
=
21Kg
3; 1:10 3m3
= 6; 8:103 Kg
m3

que, como no son iguales, signiﬁca que la pieza posee oquedades. Ahora, siendo V
el volumen real del hierro que constituye la pieza y Voq el volumen de las oquedades,
podemos escribir,
V = Vext Voq
que al sustituir en (1.1), resulta,
=
m
V
=
m
Vext Voq
) Voq = Vext
m
y si sustituimos los valores correspondientes,
Voq = 3; 1:10 3
m3 21Kg
7; 4:103Kg=m3
= 2; 6:10 4
m3
Ejemplo 1.8: Una aleación de oro y plata con densidad de 1; 4:104
Kg=m3
tiene la masa
de 0; 40 Kg. Determinar el porcentaje y la masa de oro en la aleación, con-
siderando que el volumen de la aleación es igual a la suma de los volúmenes de
sus partes integrantes.Se sabe que la densidad del oro es 1; 93:104
Kg=m3
y la de
la plata es 1; 05:104
Kg=m3
.
Solución: Sea m, V y la masa, el volumen y la densidad de la aleación; mAu, VAu y
Au la masa, el volumen y la densidad del oro; y mAg, VAg y Ag la masa, el volumen y la
densidad de la plata. El porcentaje de oro en la aleación vendrá dado por mAu
m
:100%.
Al cociente mAu
m
lo denominaremos f por comodidad.
La masa de la aleación vendrá dada por,
m = mAu + mAg (1)
que al dividirla por m resulta,
1 =
mAu
m
+
mAg
m
(2)
o también,
1 = f +
mAg
m
)
mAg
m
= 1 f (3)
Por otro lado, el volumen de la aleación vendrá dado por,
V = VAu + VAg (4)
pero, por (1.1),
V =
m
(5)

VAu =
mAu
Au
(6)
VAg =
mAg
Ag
(7)
Al sustituir estos tres volúmenes en (4) obtenemos,
m
=
mAu
Au
+
mAg
Ag
(8)
que al dividir por m queda como,
1
=
1
Au
mAu
m
+
1
Ag
mAg
m
(9)
o también,
1
=
1
Au
f +
1
Ag
mAg
m
(10)
Ahora, al sustituir (3) en (10) para
mAg
m
resulta,
1
=
1
Au
f +
1
Ag
(1 f) (11)
de donde,
f = Au Ag
Au Ag
(12)
que al sustituir los valores correspondientes a las densidades resulta,
f = 0; 548 (13)
es decir, la aleación contiene un 54; 8 % de oro.
Por último, la masa de oro la encontramos a partir de la definición que le dimos a
f, es decir,
f =
mAu
m
) mAu = fm
) mAu = 0; 548:0; 40 Kg = 0; 22 Kg
1.2 Acciones mecánicas sobre los fluidos
Para estudiar la estática de un fluido es conveniente dividir las fuerzas actuantes
sobre un elemento de volumen en dos categorías principales:

1.2. ACCIONES MECÁNICAS SOBRE LOS FLUIDOS
1.2.1 Fuerzas de superficie
Son las fuerzas que ejercen los elementos en contacto con el elemento dV , como
otros elementos de fluido, paredes, cuerpos en contacto, etc.
Lo anterior es en el sentido de que el volumen considerado puede pensarse estar
encerrado en una especie de película de contorno que lo mantiene separado de
todo aquello que le circunda. La denotaremos como
!
F S
:
1.2.2 Fuerzas de volumen
Son aquellas acciones ejercidas por elementos capaces de ejercer fuerzas pro-
porcionales al volumen dV del elemento considerado
Por ejemplo: la fuerza gravitacional o la fuerza centrífuga, que siendo proporciona-
les a la masa dm contenida en el elemento de volumen dV , resultan proporcionales al
mismo volumen por efectode la relación dM = dV; con uniforme dentro de dV: La
denotaremos como
!
F V
.
Figura (1.1): Fuerza de volumen y fuerza de superficie sobre un elemento de volumen dV .
Considerando un elemento de volumen dV en forma de paralelepípedo, como el
mostrado en la figura 1.1, donde una de sus caras tiene un área dS cuyo vector normal
es !n ; la fuerza de superficie que del exterior se ejerce sobre dS; está representada por
d
!
F S
:
La fuerza de volumen saliente del elemento de volumen dV es indicada con d
!
F V
y
puede ser expresada mediante la relación:
d
!
F V
=
!
Gdm (1.5)

que evidencia la proporcionalidad directa a la masa, donde
!
G representa un vector
que tiene las dimensiones de una aceleración. Por ejemplo, en el caso de que la
fuerza de volumen sea sólo el peso, se tiene que
!
G = !g ; donde !g es la aceleración
debida a la gravedad.
Es de utilidad el descomponer d
!
F S
en una componente d
!
F S
n normal a dS y una
componente d
!
F S
t tangencial a dS: Estas componentes se les denominan esfuerzos y
se definen como:
p =
dFS
n
dS
(esfuerzo normal) (1.6)
=
dFS
t
dS
(esfuerzo tangencial o de corte) (1.7)
Notemos que los esfuerzos, que son cantidades escalares, poseen las dimensiones
de una fuerza por unidad de superficie.
1.3 La presión y sus unidades
1.3.1 La presión
Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo deformable, los efectos que pro-
voca dependen no sólo de su intensidad, sino también de cómo esté repartida sobre
la superficie del cuerpo. Así, un golpe de martillo sobre un clavo bien afilado hace
que penetre más en la pared de lo que lo haría otro clavo sin punta que recibiera el
mismo impacto. Un individuo situado de puntillas sobre una capa de nieve blanda se
hunde, en tanto que otro de igual peso que calce raquetas, al repartir la fuerza sobre
una mayor superficie, puede caminar sin dificultad.
Existe una diferencia en la manera en que una fuerza superficial actúa sobre un
fluido y sobre un sólido. En un sólido no existe ninguna restricción respecto a la direc-
ción de tal fuerza, pero en un fluido en reposo, la fuerza superficial debe estar siempre
dirigida perpendicularmente a la superficie de dicho fluido (ver figura 1.2). Un fluido en
reposo no puede soportar una fuerza tangencial, ya que, en ese caso, las diferentes
capas de fluido simplemente resbalarían unas sobre las otras (de hecho, es esta habi-
lidad de los fluidos para resistir dichas fuerzas tangenciales lo que les permite cambiar
su forma o fluir). Por lo tanto, para un fluido sin movimiento el esfuerzo de corte (1.7)
es nulo, siendo no nulo el esfuerzo normal (1.6) al cual se le da el nómbre de presión.
Podemos escribirla simplemente como,

1.3. LA PRESIÓN Y SUS UNIDADES
Figura (1.2): La componente tangencial de la fuerza de superficie en un fluido en reposo debe ser nula
porque, de lo contrario, dicha componente haría que el fluido fluyera.
p =
dF
dS
(1.8)
donde suponemos de antemano que dF es el elemento de fuerza normal aplicado
sobre el elemento de superficie dS. Entonces,
La presión es la fuerza por unidad de superficie que ejerce un líquido o un
gas perpendicularmente a dicha superficie.
En forma no diferencial,
p =
F
S
(1.9)
1.3.2 Unidades
De acuerdo con (1.8) las unidades de presión se obtienendividiendo las unidades
de fuerza entre las unidades de superficie.
En el sistema M.K.S.C. la unidad de presión es el pascal, se representa por
Pa y se define como la presión correspondiente a una fuerza de un newton
de intensidad actuando perpendicularmente sobre una superficie plana de un
metro cuadrado. 1 Pa equivale, por tanto, a 1 N=m2
.
Existen, no obstante, otras unidades de presión que sin corresponder a ningún sis-
tema de unidades en particular han sido consagradas por el uso y se siguen usando
en la actualidad junto con el pascal. Entre ellas se encuentran la atmósfera y el bar.
La atmósfera (atm) se define como la presión que a 0o
C ejercería el peso de
una columna de mercurio de 76 cm de altura y 1 cm2
de sección sobre su base.

Es posible calcular su equivalencia en N=m2
sabiendo que la densidad del mercurio
es igual a 13; 6:103
Kg=m3
y recurriendo a las siguientes relaciones entre magnitudes:
Peso (N) = masa (Kg):9; 8 m=s2
Masa = volumen:densidad
Presión =
Fuerza
Superficie
Como el volumen del cilindro que forma la columna es igual a la superficie de la
base por la altura, se tendrá:
Presión = 1 atm =
masa.9; 8m=s2
Superficie
=
Superficie:0; 76m:13; 6:103
Kg=m3
:9; 8m=s2
Superficie
es decir:
1 atm = 1; 013:105
Pa
En el sistema C.G.S.S. la unidad de presión es la baria (o bar), se representa
por bar y se define como la presión correspondiente a una fuerza de una dina
de intensidad actuando perpendicularmente sobre una superficie plana de un
centímetro cuadrado. 1 bar equivale, por tanto, a 1 din=cm2
.
En meteorología se emplea con frecuencia el milibar (mbar) o milésima parte del
bar,
1 mbar = 102 Pa
1 atm = 1013 mbar
1 bar = 1
din
cm2
= 0; 1 Pa
Ejemplo 1.9: Calcular la presión, en pascales, ejercida por una tachuela cuya punta
tiene una sección transversal de 0; 02 mm2
, cuando sobre ella se aplica una fuerza
de 0; 5 Kp.
p =
F
S
=
0; 5:9; 8 N
0; 02:10 6 m2
= 2; 45:108
Pa

1.3. LA PRESIÓN Y SUS UNIDADES
Ejemplo 1.10: Un cuerpo en forma de cubo tiene una arista de 16 cm y un peso especí-
fico de 2; 4 p=cm3
. Calcular la presión que ejerce sobre el suelo apoyándose sobre
una de sus caras.
Solución: La superficie S de una cara del cubo de arista a vendrá dada por (por ser
cuadradas las caras de un cubo),
S = a2
y su volumen por,
V = a3
Por otro lado, al usar (1.3),
w = V = F
Entonces, al usar (1.9),
p =
F
S
=
V
S
=
a3
a2
= a
= 2; 4
p
cm3
:16 cm = 38; 4
p
cm2
Ejemplo 1.11: Calcular la fuerza que actúa sobre el tapón de un colchón de aire de
los usados en las playas, sabiendo que tiene una presión de 1; 4 atm y que el radio
del tapón es de 1; 5 mm.
Solución: La superficie S de un tapón circular de radio r es dada por,
S = r2
entonces, al usar (1.9),
F = pS = r2
p
= 3; 14: 1; 5:10 4
m
2
: 1; 4:1; 013:105 N
m2
= 0; 01 N
Ejemplo 1.12: Calcular la presión que ejerce una columna de concreto de 6 cm de
radio y 1; 8 m de altura, si tiene un peso específico de 4; 3 p=cm3
.
Solución: El volumen V de una columna cilíndrica de radio r y altura h viene dado
por,
V = r2
h
y la superficie S de la base viene dada por,
S = r2

Por otro lado, a partir de (1.3) su peso w que es igual a la fuerza F que la misma
ejerce, viene dado por,
w = V = F
entonces, al usar (1.9),
p =
F
S
=
V
r2
=
r2
h
r2
= h
= 4; 3
p
cm3
:1; 8.102
cm = 774
p
cm2
Es interesante hacer notar que la presión no depende del radio de la columna de
concreto y sólo depende de su altura. Un comportamiento análogo observaremos,
más adelante, para columnas de fluido en reposo sobre una superficie.
1.4 Manómetros
La mayoría de los medidores de presión, o manómetros, miden la diferencia entre
la presión de un fluido y la presión atmosférica local. Para pequeñas diferencias de
presión se emplea un manómetro que consiste en un tubo en forma de U con un
extremo conectado al recipiente que contiene el fluido y el otro extremo abierto a la
atmósfera. El tubo contiene un líquido, como agua, aceite o mercurio, y la diferencia
entre los niveles del líquido en ambas ramas indica la diferencia entre la presión del
recipiente y la presión atmosférica local. Para diferencias de presión mayores se utiliza
el manómetro de Bourdon, llamado así en honor al inventor francés Eugène Bourdon.
Este manómetro está formado por un tubo hueco de sección ovalada curvado en
forma de gancho. Los manómetros empleados para registrar fluctuaciones rápidas de
presión suelen utilizar sensores piezoeléctricos o electrostáticos que proporcionan una
respuesta instantánea.
Un manómetro es un instrumento que, en generál, mide la diferencia entre
la presión de un fluido determinado almacenado en un contenedor y la presión
atmosférica local
Debido a lo anterior, hay que sumar presión atmosférica al valor indicado por el
manómetro para hallar la presión absoluta. Una lectura negativa del manómetro co-
rresponde a un vacío parcial.
Las presiones bajas en un gas (hasta unos 10 6
mm de mercurio de presión abso-
luta) pueden medirse con el llamado dispositivo de McLeod, que toma un volumen
conocido del gas cuya presión se desea medir, lo comprime a temperatura constante

1.5. RANGO DE PRESIONES
hasta un volumen mucho menor y mide su presión directamente con un manómetro.
La presión desconocida puede calcularse a partir de la ley de Boyle-Mariotte. Para
presiones aún más bajas se emplean distintos métodos basados en la radiación, la
ionización o los efectos moleculares.
1.5 Rango de presiones
Las presiones pueden variar entre 10 8
y 10 2
mm de mercurio de presión abso-
luta en aplicaciones de alto vacío, hasta miles de atmósferas en prensas y controles
hidráulicos.
Con fines experimentales se han obtenido presiones del orden de millones de at-
mósferas, y la fabricación de diamantes artificiales exige presiones de unas 70000 at-
mósferas, además de temperaturas próximas a los 3000 C.
En la atmósfera, el peso cada vez menor de la columna de aire a medida que
aumenta la altitud hace que disminuya la presión atmosférica local. Así, la presión
baja desde su valor de 101325 Pa al nivel del mar hasta unos2350 Pa a 10700 m (35000
pies, una altitud de vuelo típica de un reactor).
Por presión parcial se entiende la presión efectiva que ejerce un compo-
nente gaseoso determinado en una mezcla de gases.
La presión atmosférica total es la suma de las presiones parciales de sus compo-
nentes (oxígeno, nitrógeno, dióxido de carbono y gases nobles).
1.6 Ecuaciones fundamentales de la Hidrostática
Consideremos el elemento de volumen mostrado en la figura 1.3. Encontremos la
consecuencia de imponer la condición de equilibrio traslacional sobre las fuerzas de
superficie dirigidas a lo largo del eje y. En esta dirección intervienen sólo las contribu-
ciones de la fuerza de superficie relativas a las caras ABCD y EFGH, mientras que las
contribuciones de las otras fuerzas son ortogonales al eje y, por lo tanto:
d
!
F S
EFGH d
!
F S
ABCD + d
!
F V
y = 0 (1.10)
Ahora, indicando con (x; y; z) las coordenadas de la cara EFGH y con (x; y + dy; z)
las coordenadas de la cara ABCD; la expresión 1.10 se puede escribir como:

Figura (1.3): Diagrama de cuerpo libre de un elemento de volumen para la obtención de las ecuaciones
fundamentales de la Hidrostática.
p (x; y; z) dxdz p (x; y + dy; z) dxdz + Gydxdydz = 0 (1.11)
pudiéndose escribir, depués de unos cambios triviales, como (verificarlo):
@p
@y
= Gy (1.12)
Procediendo de manera análoga con los otros dos ejes, se obtiene (ejercicio):
8
>>>><
>>>>:
@p
@x
= Gx
@p
@y
= Gy
@p
@z
= Gz
(1.13)
que representan las ecuaciones fundamentales de la hidrostática.
1.7 Presión Vs orientación
Consideremos un elemento de fluido en equilibrio como el mostrado en la figura
1.4: la cara ABCD es perpendicular al eje y y tiene un área dS, la cara EFGH tiene
una normal bn0
que forma un ángulo con el eje y y su área es dS0
, mientras que el
volumen del elemento es dV = dS4y: La proyección de la fuerza a lo largo del eje y
debe dar una suma nula (¿por qué?):
pdS p0
dS0
Cos + GydS4y = 0 (1.14)

1.7. PRESIÓN VS ORIENTACIÓN
Figura (1.4): Elemento de volumen soportando fuerzas de volumen con diferentes direcciones.
Si hacemos tender 4y a cero la contribución de la fuerza de volumen GydS4y es
infinitésimo de orden superior a los términos pdS y p0
dS0
Cos y ,por lo tanto, puede ser
despreciado. Entonces:
Figura (1.5): En un mismo punto, p no depende de la orientación.
pdS p0
dS0
Cos = 0 (1.15)
pero de la figura ?? es trivial encontrar que (verificar):
dS0
Cos = dS (1.16)
en consecuencia,
p = p0
(en un mismo punto) (1.17)

En cada punto, la presión posee un valor independiente de la orientación
de la superficie sobre la cual ella es ejercida (ver figura 1.5).
1.8 Variación de la presión
Supongamos que la aceleración debida a la gravedad esté dirigida a lo largo del
eje z como se muestra en la figura 1.6, por lo tanto se tiene que el vector
!
G de las
ecuaciones (1.13), para este caso en particular, es:
Figura (1.6):
!
G para un campo gravitacional donde la aceleración debida a la gravedad esté dirigida
a lo largo del eje z.
!
G = (0; 0; g) (1.18)
donde g es el módulo de la aceleración debida a la gravedad en el lugar considerado
y el signo negativo es debido a la orientación con respecto al eje z.
Consideremos el caso en el cual la fuerza de volumen sea el peso. En este caso la
fuerza de volumen sobre un elemento de masa dm = dV tiene la expresión:
d
!
F V
=
!
G dV = !g dV (1.19)
entonces, para este caso en particular, las ecuaciones 1.13 quedan escritas como:

1.8. VARIACIÓN DE LA PRESIÓN
Figura (1.7): Los puntos del plano imaginario están sometidos a la misma presión.
8
>>>><
>>>>:
@p
@x
= 0
@p
@y
= 0
@p
@z
= g
(1.20)
indicándonos que:
Los planos horizontales en un fluido en equilibrio por acción de la gravedad
son superficies isobáricas (Ver figura 1.7).
1.8.1 Con la profundidad (medida de la presión ejercida por un fluido
en reposo)
La conclusión de la sección anterior nos indica que, en un campo gravitacinal
como el mostrado en la figura 1.6, la presión depende sólo de la coordenada z: p =
p (z) : Por lo tanto la tercera ecuación de las (1.20), se escribe ahora:
@p
@z
=
dp
dz
= g ) dp = gdz (1.21)
y, al integrar la ecuación (1.21) con las condiciones mostradas en la figura 1.8, resulta:
pA = pB + gh (Ley de Stevino) (1.22)

Figura (1.8): Variación de la presión con la altura
o también, al usar (1.4), podemos escribir,
pA = pB + h (1.23)
La cantidad gh corresponde a la presión hidrostática ph ejercida sobre la
base de una columna homogénea de fluido en equilibrio de altura h, por efecto
de la fuerza de gravedad.
Figura (1.9): Presión medida desde la superficie libre de un fluido
ph = gh = h (1.24)
Para las situaciones ordinarias de un líquido en un recipiente abierto (como el agua
de una piscina, un lago o el océano) existe una superficie libre en la parte superior, por
lo tanto, es conveniente medir las distancias desde esta superficie, es decir, hacemos
que h sea la profundidad en el líquido como se muestra en la figura 1.9 donde pB = po
representa la presión debida a la atmósfera de encima. Entonces,
p = po + gh (1.25)

En estas circunstancias, a la diferencia p po, o lo que es lo mismo gh, se le
denomina presión manométrica y p se denomina presión absoluta.
Su nombre proviene de los manómetros ya que, como vimos en la sección 1.4, esta
sería justametnte la que mediría un instrumento de este tipo.
Ejemplo 1.13: Una piscina tiene un fondo inclinado de modo que en un extremo la
profundidad es de 3; 5 m y en el otro de 1 m. La piscina tiene 15 m de largo y 7 m
de ancho. Hallar la fuerza total sobre el fondo.
Solución: La situación está representada en la ﬁgura 1.10.
Figura (1.10): Ejemplo 1.13: Cálculo de la fuerza total sobre el fondo de una piscina con fondo inclinado.
Si tomamos como base la cara abcd que es un trapecio, entonces el volumen interior
de la piscina de largo L y ancho A vendrá dado por,
V =
(h1 + h1) L
2
A (1)
Ahora bien, la fuerza F total sobre el fondo de la piscina no es más que el peso w
del líquido contenido en ella. Este peso, vendrá dado por,
w = mg = F (2)
pero según (1.1),
m = V (3)
entonces, al sustituir (1) en (3) y el resultado obtenido en (2),
F = g
(h1 + h1) L
2
A (4)
que al sustituir los valores respectivos resulta,
F = 1:103 Kg
m3
:9; 8
m
s2
:
(1m + 3; 5m) :15m
2
:7m
= 2315250 N

Ejemplo 1.14: Un tanque en forma de paralelepípedo de 10 x 15 cm de sección recta
y 30 cm de altura, está lleno de gasolina. Calcular la presión y la fuerza sobre el
fondo del tanque. Se sabe que el tanque está sellado y que la densidad de la
gasolina es 0; 68 g=cm3
.
Solución: Como el tanque está sellado po = 0, por lo tanto, a partir de (1.25),la
presión sobre el fondo será,
p = gh = 0; 68
g
cm3
:980
cm
s2
:30 cm = 19992
dinas
cm2
Por otro lado, La superﬁcie S del fondo del tanque vendrá dada por,
S = 10 cm:15 cm = 150 cm2
que al introducirla en (1.9), resulta,
F = pS = 19992
dinas
cm2
:150 cm2
= 3:106
dinas
Es fácil mostrar que esta fuerza corresponde al peso del volumen de gasolina con-
tenido en el tanque (ejercicio).
Ejemplo 1.15: Calcular la presión necesaria en un sistema de alimentación de aceite
que ha de elevarse 25; 5 m en vertical. Densidad del aceite 3; 12 g
cm3 .
Solución: Al usar (1.25) con po = 0,
p = gh = 3; 12
g
cm3
:980
cm
s2
:25; 5:102
cm
= 7; 79:106 dinas
cm2
Ejemplo 1.16: La sección recta de un pistón de una bomba es de 35 cm2
. Hallar la
fuerza que se debe aplicar para elevar gasolina a 42 m de altura. La densidad de
la gasolina es 0; 68 g=cm3
. Resp.: 135 Kp.
Solución: A partir de (1.9),
p =
F
S
y a partir de (1.25) con po = 0,
p = gh
que al igualarlas resulta,
F
S
= gh ) F = ghS
entonces,
F = 0; 68
g
cm3
:980
cm
s2
:42:102
cm:35cm2
= 1; 08:107
dinas

Ejemplo 1.17: ¿Cuál es la presión a 1 m de la superﬁcie del océano?. Densidad del
agua de mar 1; 03:103
Kg=m3
y que po = 1; 01:105
Pa es la presión atmosférica en la
superﬁcie del océano.
Solución: Al usar (1.25) se obtiene,
p = po + gh = 1; 01:105
Pa + 1; 03:103 Kg
m3
:9; 8
m
s2
:1m
= 1; 01:105
Pa + 1; 00:105
Pa = 2; 01:105
Pa
Ejemplo 1.18: Una columna de mercurio en un tubo vertical abierto en su extremo
inferior está en una cubeta abierta de mercurio. La columna está cerrada en su
extremo superior, después de evacuar todo el aire de la parte vacía; creando
una región al vacío. ¿Cuál es la altura H de la columna de mercurio?. Densidad
del mercurio 13; 6:103
Kg=m3
y presión atmosférica 1; 01:105
Pa.
Figura (1.11): Ejemplo 1.18: Columna de mercurio en un tubo vertical abierto en su extremo inferior en
una cubeta abierta de mercurio.
Solución: Al usar (1.22), con pA = p1, pB = p2 y h = H, se obtiene,
p1 = p2 + gH ) H =
p1 p2
g
pero p2 = 0, puesto que hemos evacuado todo el aire en este punto y p1 es la presión
atmosférica, entonces,
H =
1; 01:105
Pa
13; 6:103 Kg
m3 :9; 8m
s2
= 0; 76 m
Ejemplo 1.19: Un depósito cúbico, sellado, de 1; 5 m de arista está lleno de agua. Hallar
la fuerza que se ejerce (a) sobre el fondo y (b) sobre una de las caras laterales.
Solución:

(a) La presión ejercida sobre el fondo viene dada por (1.25) con po = 0,
p = gh (1)
la superficie del fondo, por ser cuadrada,
S = L2
(2)
donde L es la arista del cubo, y la fuerza por (1.9),
F = pS (3)
Ahora, al sustituir (1) y (2) en (3),
F = ghS = gL3
(4)
= 1:103 Kg
m3
:9; 8
m
s2
: (3m)3
= 264600 N
(b) La figura 1.12 muestra una de las caras del cubo, en la cual se ha dibujado un
elemento de superficie dS que viene dado por,
Figura (1.12): Ejemplo 1.19: Cálculo de fuerzas en un depósito cúbico.
dS = Ldz (5)
y además,de (1.8),
p =
dF
dS
(6)
por lo tanto,
dF = pLdz (7)
y de (1.21),
dz =
dp
g
(8)

Ahora, al sustituir (8) en (7) se obtiene,
dF =
L
g
pdp (9)
que al ser integrada,
Z F
0
dF =
L
g
Z 0
gL
pdp
F =
L
g
Z gL
0
pdp
F =
L
g
( gL)2
2
F =
1
2
gL3
(10)
que al comparar con (4), nos damos cuenta que es su mitad, por lo tanto,
F = 132300 N
es la fuerza sobre una de sus caras.
1.8.2 Con la altura (medida de la presión atmosférica)
Si suponemos que la densidad es proporcional a la presión en la atmósfera te-
rrestre,
o
=
p
po
(1.26)
(Ley de Boyle pV =ctte 2
) con o = 1; 20 Kg=m3
(a 20 o
C) y po = 1; 01:105
Pa la densidad
del aire y la presión atmosférica al nivel del mar respectivamente, se puede tener una
idea razonable de la variación de la presión con la altura (ecuación barométrica).
Usando esta suposición y la de que se pueden despreciar las variaciones de g con la
altura, podemos encontrar la presión p a una altura y por encima del nivel del mar,
encontrándose que:
p = p0e
g
0
p0
!
z
(1.27)
donde z es la altura sobre el nivel del mar, 0 y p0 son la densidad y la presión atmos-
férica a nivel del mar respectivamente, siendo g 0
p0
= 0; 116 Km 1
y p0 = 1 atm. De
esta manera (1.27) queda como,
p = p0e 0;116Km 1z
(1.28)
2
En [7] pág. 345, se presenta un estudio más detallado de esta Ley.

Ejemplo 1.20: Encuentre la altura a la cual la presión atmosférica es de 0; 5 atm.
Solución: Al usar (1.28) resulta,
p = p0e 0;116Km 1z
) ln
p
p0
= 0; 116Km 1
z ) z =
ln p
p0
0; 116Km 1
) z =
ln 0;5 atm
1 atm
0; 116Km 1
) z = 5; 98 Km
Ejemplo 1.21: Encuentre el valor de la presión atmosférica a una altura de 3000 m.
p = p0e 0;116Km 1z
= 1 atm e 0;116Km 1:3 Km
= e 0;348
atm = 0; 706 atm
Ejemplo 1.22: Calcular la fuerza que ejerce la atmósfera terrestre sobre un cuerpo
cuya sección transversal es de 10 m2
a una altura de 5 Km sobre el nivel del mar.
p = p0e 0;116Km 1z
= 1 atm e 0;116Km 1:5 Km
= e 0;58
atm = atm
y ahora de (1.9),
F = pS = :10m2
= Pa
1.9 Vasos comunicantes
Con el término de vasos comunicantes se entiende un sistema de recipientes
unidos entre sí mediante conductos y que presentan hacia el exterior dos o más
aberturas, no pequeñas, de manera tal que los efectos de capilaridad sean despre-
ciables.
Un vaso comunicante típico es el tubo en forma de U mostrado en la ﬁgura 1.13.

1.9. VASOS COMUNICANTES
Figura (1.13): Vasos comunicantes en forma de U
Supongamos inicialmente que este tubo está parcialmente lleno de un líquido 1 de
densidad 1; luego vertimos otro líquido 2 de densidad 2 por uno de los lados hasta
que queda a una distancia d sobre el nivel del líquido 1.
Los puntos sobre C están a la misma presión (¿por qué?), por lo tanto, la disminución
de la presión desde C en cada superficie es la misma, puesto que, cada superficie está
a la presión atmosférica (los extremos están descubiertos). De todo esto podemos
escribir:
h1
h2
= 2
1
(1.29)
En un sistema de vasos comunicantes, con líquidos en equilibrio, las alturas
alcanzadas por éstos son inversamente proporcionales a las densidades de los
líquidos.
Al anterior enunciado se le conoce como la ley de los vasos comunicantes.
La ecuación (1.29) puede ser escrita en función de los pesos específicos al usar
(1.4), resultando,
h1
h2
= 2
1
(1.30)
Ejemplo 1.23: En un tubo en forma de U hay dos líquidos no miscibles que alcanzan
alturas de 14 cm y 9 cm, respectivamente. Si el más denso tiene un peso específico
de 1; 3 p=cm3
, calcular el peso específico del más liviano.
Solución: Al usar (1.30), siendo h1 = 9 cm, h2 = 14 cm y 1 = 1; 3 p=cm2
, se obtiene,
2 =
h1
h2
1 =
9cm
14cm
:1; 3
p
cm3
= 0; 83
p
cm3

Ejemplo 1.24: Se dispone de un tubo en forma de U, cuyas ramas tienen secciones
iguales a 5 cm2
. En una de las ramas hay mercurio cuyo peso específico es 13; 6
p=cm3
y en la otra 250 cm3
de agua de peso específico 1 p=cm3
. Calcular la dife-
rencia de niveles entre las dos columnas.
Solución: Sean 1, h1 el peso específico y la altura de la columna de mercurio res-
pectivamente; y 2, h2 lo mismo pero para la columna de agua entonces, según (1.30),
h1
h2
= 2
1
(1)
La altura h2 vendrá dada por,
V2 = Sh2 ) h2 =
V2
S
=
250cm3
5cm2
= 50 cm (2)
donde V2 es el volumen de agua y S es la sección del tubo. Al sustituir (2) en (1), se
obtiene,
h1 = 2
1
h2 =
1 p
cm3
13; 6 p
cm3
50 cm = 3; 70 cm
entonces, la diferencia de niveles d vendrá dada por,
d = h2 h1 = 50 cm 3; 70 cm = 46; 3 cm
Ejemplo 1.25: Se vierten mercurio y agua por un tubo en forma de U de sección trans-
versal 2 cm2
. Si se vierten 163; 2 cm3
de agua y a continuación cierta cantidad de
mercurio, como se señala en la figura 1.14, calcular la diferencia de niveles entre
los líquidos.
Figura (1.14): Ejemplo 1.25: Tubo en forma de U con agua y mercurio.

1.9. VASOS COMUNICANTES
Solución: Si el subíndice 1 es para el mercurio y el 2 para el agua, entonces la altura
de la columna de agua vendrá dada por:
V2 = Sh2 ) h2 =
V2
S
=
163; 2 cm3
2 cm2
= 81; 6 cm
entonces, al usar (1.29), se obtiene,
h1
h2
= 2
1
) h1 = h2
2
1
= 81; 6 cm
1 g
cm3
13; 6 g
cm3
= 6 cm
por lo tanto, la diferencia de niveles d vendrá dada por,
d = h2 h1 = 81; 6 cm 6 cm = 75; 6 cm
Ejemplo 1.26: Un tubo en U simple contiene mercurio. Cuando en su rama derecha se
vierten 13; 6 cm de agua, ¿a qué altura se eleva el mercurio en el brazo izquierdo
a partir de su nivel inicial?. Densidad del mercurio 13; 6 g=m3
.
Solución: La figura 1.15(a) muestra el tubo en forma de U cuando contiene sólo
mercurio y la figura 1.15(b) cuando se ha vertido agua en él.
Figura (1.15): Ejemplo 1.26: Cálculo de niveles en un tubo en forma de U con agua y mercurio.
Es fácil notar que la altura a la cual se eleva el mercurio con respecto a su nivel en
la figura 1.15(a) es,
h =
hHg
2
(1)
donde hHg es la altura de la columna de mercurio con respecto al eje que pasa por la
interface como se muestra en la figura 1.15(b).
hHg
hH2O
= H2O
Hg
) hHg = H2O
Hg
hH2O (2)

Ahora bin, al sustituir (2) en (1) nos queda,
h =
1
2
H2O
Hg
hH2O (3)
y al sustituir los valores correspondientes,
h =
1
2
1 g
cm3
13; 6 g
cm3
13; 6 cm = 0; 5 cm
1.10 Teorema de Pascal
1.10.1 Enunciado
Las ecuaciones fundamentales de la hidrostática (1.13) fueron obtenidas para una
fuerza de volumen cualquiera, que en el caso particular de la fuerza de gravedad
(fuerza conservativa) se reducen al sistema (1.20).
En el caso en el cual la fuerza de volumen dada por (1.5),
d
!
F V
=
!
Gdm (1.31)
sea una fuerza conservativa cualquiera, las componentes de
!
G pueden ser escritas
como, 8
>>>><
>>>>:
Gx =
@U
@x
Gy =
@U
@y
Gz =
@U
@z
(1.32)
donde U = U(x; y; z) es la función potencial (energía potencial por unidad de masa).
Por ejemplo, en el caso particular de la fuerza de gravedad, como vimos antes,
!
G = (0; 0; g) (1.33)
se obtiene, a partir de (1.32),
U(x; y; z) = U(z) = gz + ctte (1.34)
que no es más que el conocido potencial gravitatorio.
Las ecuaciones fundamentales de la hidrostática (1.13), pueden ser escritas, usando
(1.32), como, 8
>>>><
>>>>:
@p
@x
= Gx =
@U
@x
@p
@y
= Gy =
@U
@y
@p
@z
= Gz =
@U
@z
(1.35)

1.10. TEOREMA DE PASCAL
Estas ecuaciones nos permiten encontrar la diferencia de presión existente entre
el punto P (x; y; z) y el punto Q (x + dx; y + dy; z + dz) en términos de la variación
correspondiente de energía potencial, de la siguiente manera,
dp = p (x + dx; y + dy; z + dz) p (x; y; z)
=
@p
@x
dx +
@p
@y
dy +
@p
@z
dz
=
@U
@x
dx
@U
@y
dy
@U
@z
dz
= dU
de aquí que,
dp = dU (1.36)
En el interior de un fluido homogéneo (densidad constante), la diferencia de presión
entre dos a y b puntos a distancia finita puede ser obtenida integrando (1.36) como
sigue,
Z b
a
dp =
Z b
a
dU ) pb pa = (Ub Ua)
) p = U (1.37)
concluyéndose, que para una fuerza de volumen conservativa,
En un fluido homogéneo, las superficies isobáricas p = 0 coinciden con las
superficies equipotenciales U = 0.
Esta propiedad generaliza el caso particular, ya visto, de la fuerza de gravedad,
para el cual los planos horizontales (equipotenciales) eran isobáricos.
Una consecuencia de (1.36) es el denominado teorema de Pascal que se enuncia
así:
En un fluido homogéneo en reposo, un incremento de presión, producido
en un punto cualquiera del fluido (líquido o gas), se transmite inalterado a cual-
quier otro punto del fluido.
A partir de (1.36) se deduce que, en un campo conservativo, la diferencia de pre-
sión 4p entre dos puntos de un fluido homogéneo en reposo depende de la diferencia
4U de energía potencial de la fuerza de volumen entre los dos puntos. Pero 4U de-
pende sólo de las coordenadas espaciales y por lo tanto, en particular, no depende
de la fuerza de superficie, por consiguiente ninguna presión adicional puede hacer
variar 4p: En otras palabras, el fluido realiza una transmisión hidráulica total de la pre-
sión ejercida sobre su superficie.

Ejemplo 1.27: El cuello de un matraz tiene una sección transversal de 3 cm2
y el fondo
de 36 cm2
. Si se llena totalmente con agua y se trata de introducir un corcho
empleando una fuerza de 9 Kp. ¿Cuál es la fuerza sobre el fondo adicional a la
ya aplicada por el fluido que contiene?.(ver figura 1.16).
Figura (1.16): Ejemplo 1.27: Cáculo de la fuerza sobre el fondo de un matraz lleno de agua.
Solución: Aquí intervienen dos presiones, la presión debida al agua contenida en
el matraz y la presión originada al introducir el corcho. Estamos interesados en ésta
última.
Al usar (1.9), la presión p en el cuello del matraz originada por el corcho, viene dada
por,
p =
F
S
=
9 Kp
3 cm2
= 3
Kp
cm2
De acuerdo con el teorema de Pascal este incremento de presión se transmite
inalterado a todos los puntos del fluido. Por lo tanto, según (1.9), la presión p0
sobre el
fondo del matraz es,
p0
= p =
F0
S0
) F0
= pS0
= 3
Kp
cm2
:36cm2
= 108 Kp
Si se quiere hallar la fuerza total sobre el fondo, entonces debe sumarse la fuerza
debida al fluido que contiene.
Ejemplo 1.28: La sección interna del cuello de una botella mide 4 cm2
y la sección de
la base mide 50 cm2
. Está totalmente llena con un fluido de densidad igual a 1; 09
g=cm3
. Para taparla con un tapón hay que aplicar una fuerza de 2 Kp. Calcular la

1.10. TEOREMA DE PASCAL
fuerza total que actúa sobre la base de la botella supuesta en posición vertical,
sabiendo que la distancia desde el tapón hasta la base es de 30 cm.
Solución: Aquí intervienen dos presiones, la presión pf debida a la columna de
fluido sobre la base de la botella y la presión pt originada por el tapón que, según el
teorema de Pascal, se trasmite a todo el fluido con la misma intesidad.
La pf la encontramos al usar (1.25),
pf = po + f gh
pero po = 0 (la presión atmosférica no actúa sobre la superficie del fluido por estar
tapada la botella), entonces,
pf = f gh = 1; 09
g
cm3
:980
cm
s2
:30 cm = 32046
din
cm2
y la presión pt por (1.9), que calculamos en el cuello,
pt =
Ft
Scuello
=
2:9; 8:105
din
4 cm2
= 490000
din
cm2
la cual te trasmite íntegramente hasta el fondo de la botella.
Por lo tanto, la presión total pT sobre el fondo de la botella es,
pT = pf + pt = 32046
din
cm2
+ 490000
din
cm2
= 522046
din
cm2
y de aquí que, al usar (1.9), la fuerza total FT sobre el fondo sea,
FT = pT Sfondo = 522046
din
cm2
:50cm2
= 26102300 din
= 26; 635 Kp
1.10.2 Prensa hidráulica
Existen numerosos aparatos que aprovechan este teorema, entre ellos está la lla-
mada Prensa Hidráulica. La prensa hidráulica constituye la aplicación fundamental
del principio de Pascal y también un dispositivo que permite entender mejor su signifi-
cado.
La prensa hidráulica es una máquina simple semejante a la palanca de
Arquímedes, que permite amplificar la intensidad de las fuerzas y constituye el
fundamento de elevadores, prensas, frenos y muchos otros dispositivos hidráuli-
cos de la maquinaria industrial. Consiste, en esencia, (ver figura 1.17) en dos
cilindros de diferente sección comunicados entre sí, y cuyo interior está com-
pletamente lleno de un líquido que puede ser agua o aceite.

Figura (1.17): Prensa hidráulica
Dos émbolos de secciones diferentes se ajustan, respectivamente, en cada uno
de los dos cilindros, de modo que estén en contacto con el líquido. Cuando sobre
el émbolo de menor sección Si se ejerce una fuerza Fi la presión pi (el subíndice i
representa las catidades que llamaremos de entrada) que se origina en el líquido en
contacto con él se transmite íntegramente y de forma instantánea a todo el resto del
líquido, de modo que, si las mismas cantidades se representan mediante el subíndice
o (el subíndice o representa las catidades que llamaremos de entrada) para el émbolo
de mayor sección, podemos escribir:
pi = po (1.38)
Fi
Si
=
Fo
So
(1.39)
o ﬁnalmente,
So
Si
=
Fo
Fi
(1.40)
A la cantidad Fo
Fi
se le denomina ganancia mecánica de la prensa
hidráulica y es igual a la razón de las superﬁcies.
Ejemplo 1.29.: Las secciones transversales de los émbolos de una prensa hidráulica son
1200 cm2
y 30 cm2
. Si se aplica al émbolo más pequeño una fuerza de 10 Kp, ¿cuál
es la fuerza resultante sobre el otro émbolo?, ¿Cuál es su ganancia mecánica?.

1.11. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES
Solución:
Fo
So
=
Fi
Si
) Fo = Fi
So
Si
= 10Kp
1200 cm2
30 cm2
= 400 Kp
ganancia mecánica =
So
Si
=
1200 cm2
30 cm2
= 40
lo que signiﬁca que la fuerza aplicada sobre el émbolo menor será multiplicada por
40.
Ejemplo 1.30: El émbolo grande de una prensa hidráulica tiene un radio de 50 cm ¿qué
fuerza debe aplicarse al émbolo pequeño de radio 4; 5 cm para elevar un coche
de masa 4800 Kg?.
Solución: Si rg y rp son los radios del émbolo grande y del pequeño respectivamente,
estonces sus secciones transversales serán,
Sg = r2
g (1)
Sp = r2
p (2)
y de (1.40),
Sg
Sp
=
Fg
Fp
) Fp =
Sp
Sg
Fg (3)
Por último, al sustituir (1) y (2) en (3),
Fp =
r2
p
r2
g
Fg =
rp
rg
2
Fg (4)
y como Fg es el peso que va a elevar el émbolo grande, es decir,
Fg = 4800 Kg:9; 8
m
s2
= 47040 N
entonces,
Fp =
4; 5 cm
50 cm
2
:47040 N = 381; 024 N
1.11 Principio de Arquímedes
1.11.1 Enunciado
El Principio de Arquímedes se enuncia como sigue:

Un cuerpo inmerso total o parcialmente recibe, en un campo gravitatorio,
un empuje
!
E (empuje de Arquímedes) vertical orientado hacia arriba, cuyo
módulo es igual a la fuerza peso de la masa fluida desalojada y cuyo punto de
aplicación coincide con el centro de gravedad de la masa fluida del cuerpo.
Consideremos el cilindro mostrado en la figura 1.18, el cual se encuentra sumergido
totalmente en un fluido de densidad f que está contenido en un recipiente que está
sometido a una presión externa po. La base y la tapa poseen un área S y están sepa-
radas por una altura h: El fluido ejerce una presión, según (1.22), dada por,
p1 = po + f gh1 (1.41)
contra la tapa del cilindro, y la fuerza debida a esta presión es:
Figura (1.18): Determinación del empuje
!
E de Arquímedes.
F1 = p1S = po + f gh1 S (1.42)
dirigida hacia abajo. De manera análoga, es trivial encontrar que la fuerza F2 sobre el
fondo del cilindro viene dada por,
F2 = po + f gh2 S (1.43)
dirigida hacia arriba. La fuerza resultante debida a la presión del fluido, que es el
empuje de Arquímedes
!
E ; actúa hacia arriba y tiene una magnitud,
E = F2 F1 = f gV (1.44)
o también, al usar (1.4), podemos escribir,
E = f V (1.45)

donde V = Sh es el volumen del cilindro puesto que está completamente sumergido
o el volumen de la parte sumergina si estuviera parcialmente sumergido.
Para un cuerpo cualquiera, V corresponde al volumen de fluido desalojado
por la parte del cuerpo sumergida o la totalidad de su volumen si está comple-
tamente sumergido.
Como f es la densidad del fluido, el producto f gV = mf g es el peso del fluido
que tiene un volumen igual al del cilindro, de este modo, la fuerza de empuje sobre el
cilindro es igual al peso del fluido que éste desaloja. El resultado se cumple indepen-
dientemente de la forma del objeto y notemos que no depende de la acción externa
debida a po.
Por tanto, sobre el cuerpo actúan dos fuerzas el empuje y el peso del cuerpo, que
no tienen en principio el mismo valor ni están aplicadas en el mismo punto (ver figura
1.19).
Figura (1.19): Empuje vs Peso de un cuerpo.
En los casos más simples, supondremos que el sólido y el fluido son homogéneos y
por tanto coinciden el centro de masa del cuerpo con el centro de empuje.
A la diferencia entre el peso real w = mg de un cuerpo y el empuje originado
por un fluido en el cual se encuentra inmerso, se le denomina peso aparente wa
de dicho cuerpo,
wa = w E (1.46)
El aire es un fluido y también ejerce una fuerza de empuje. Los objetos comunes
pesan menos en el aire que cuando están en el vacío. Debido a que la densidad del
aire es muy pequeña, el efecto para los sólidos comunes es apenas perceptible. Sin

embargo, existen ciertos objetos que flotan en el aire, por ejemplo los globos llenos de
helio.
1.11.2 Equilibrio de los cuerpos sumergidos
De acuerdo con el principio de Arquímedes:
Para que un cuerpo sumergido en un líquido esté en equilibrio, la fuerza
de empuje E y el peso w han de ser iguales en magnitudes y, además, han de
aplicarse en el mismo punto.
En tal caso la fuerza resultante R es cero y también lo es el momento , con lo cual
se dan las dos condiciones de equilibrio. La condición E = w equivale de hecho a
que las densidades del cuerpo y del líquido sean iguales. En tal caso el equilibrio del
cuerpo sumergido es indiferente.
Si el cuerpo no es homogéneo, el centro de gravedad no coincide con el
centro geométrico, que es el punto en donde puede considerarse aplicada la
fuerza de empuje. Ello significa que las fuerzas E y w forman un par que hará
girar el cuerpo hasta que ambas estén alineadas.
1.11.3 Equilibrio de los cuerpos flotantes
Si un cuerpo sumergido sale a flote es porque el empuje predomina sobre el peso
(E > w) (ver figura 1.20).
En el equilibrio ambas fuerzas aplicadas sobre puntos diferentes estarán alineadas;
tal es el caso de las embarcaciones en aguas tranquilas, por ejemplo.
Figura (1.20): (a) un cuerpo asciende en el seno de un líquido cuando el empuje es mayor que su peso;
(b) pero, a medida que emerge, el empuje dismiuye. Entonces (c) cuando las dos fuerzas son de igual
módulo, el cuerpo flota.

Si por efecto de una fuerza lateral, como la producida por un golpe de una ola
en el mar, el eje vertical del navío se inclinara hacia un lado, aparecerá un par de
fuerzas que harán oscilar el barco de un lado a otro. Cuanto mayor sea el momento
del par, mayor será la estabilidad del navío, es decir, la capacidad para recuperar
la verticalidad. Ello se consigue diseñando convenientemente el casco y repartiendo
la carga de modo que rebaje la posición del centro de gravedad, con lo que se
consigue aumentar el brazo del par.
En general, un objeto flota en un fluido si su densidad es menor que la de
éste.
Ejemplo 1.31.: Una pieza fundida pesa 40 Kp y ocupa un volumen de 5 dm3
. Por medio
de una cuerda se suspende en un líquido de densidad relativa 0; 76. Hallar el
empuje de Arquímedes y la tensión de la cuerda.
Solución:
Figura (1.21): Ejemplo 1.31. Empuje sobre un cuerpo sumergido, suspendido mediante una cuerda.
El empuje de Arquímedes viene dado por,
E = f gV = R H2OgV
= 0; 76:1:103 Kg
m3
:9; 8
m
s2
5:10 3
m3
= 37; 24 N = 3; 8 Kp
La tensión T de la cuerda vendrá dada por el peso aparente del cuerpo en el agua
(ver figura 1.21), por lo tanto,

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