TRABAJO-ENERGÍA

TRABAJO - ENERGIATRABAJO - ENERGIA
1
Universidad Tecnológica Metropolitana de Chile,
Facultad de Ciencias Naturales, matemáticas y medio ambiente
Departamento de Física
Material preparado por
Eugenio Miranda y Cecilia Ríos

2
 TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA
CONSTANTE
• Consideremos un cuerpo de masa
"m" que se encuentra en reposo
sobre una superficie horizontal
• Al aplicar una fuerza constante F no
balanceada que forma un cierto
ángulo θ con la horizontal, el cuerpo
experimentará un desplazamiento “d"
hacia la derecha.

3
 TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA
CONSTANTE
• El trabajo realizado por una fuerza
constante se define como el producto de
la componente de la fuerza en la dirección
del desplazamiento y la magnitud del
desplazamiento.
• La fuerza que produce el trabajo mecánico, en este ejemplo,
corresponde a la componente horizontal de la fuerza, luego:
xW F d=
W Fd cos= θComo FX = Fcosθ , entonces,
Esta expresión es equivalente al producto escalar
W F • d Fdcos= = θ
r r

4
Producto escalar de dos vectores
El producto escalar o punto se puede calcular como:
x y z
ˆ ˆ ˆA A i A j A k= + +
r
x y z
ˆ ˆ ˆB B i B j B k= + +
r
x x y x z x y x y y y z
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆA •B (A B )i • i (A B )j • i (A B )k • i (A B )j • i (A B )j • j (A B )j •k= + + + + + +
r r
z x z y z z
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ(A B )k • i (A B )k • j (A B )k • k+ + +
x x y y z zA •B (A B ) (A B ) (A B )= + +
r r
Demostración:
Sean
uur
A

5
Producto escalar de dos vectores
x x y x z x y x y y y z
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Â •B (A B )i • i (A B )j • i (A B )k • i (A B )j • i (A B )j • j (A B )j •k= + + + + + +
r r
z x z y z z
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ(A B )k • i (A B )k • j (A B )k • k+ + +
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ î • i j • j k • k 1= = =
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ î • j j • k i • k 0= = =
Pero el producto de los vectores unitarios
además,
A • B
r r
A
rEsto es equivalente a establecer que es una magnitud escalar
igual al producto de la magnitud de y a la proyección de
sobre .
B
r
uur
A
x x y y z zA •B (A B ) (A B ) (A B )= + +
r r

GRAFICAMENTE
6
Area = ∆A = Fx∆x
∆x
Fx
x
Para una fuerza constante Fx aplicada en un desplazamiento ∆x.
El área bajo la curva (recta) representa el trabajo
realizado por la fuerza Fx.

Observaciones:
Una fuerza realiza trabajo cuando se cumplen las siguientes
condiciones:
• El objeto debe experimentar un desplazamiento, es decir, una
fuerza no realiza trabajo si el objeto no se mueve.
• La fuerza aplicada debe tener una componente distinta de
cero en la dirección del desplazamiento. Si la fuerza es
perpendicular a la dirección del desplazamiento, el trabajo es
cero ya que cos 90º = 0.
7

8
Signos del trabajo.
.
 W es positivo cuando el vector asociado con la
componente F cos θ está en la misma dirección y
sentido del desplazamiento.
 W es negativo cuando la componente F cos θ
está en sentido contrario al desplazamiento.
.
El signo del trabajo depende de la dirección de
respecto a .
ur
Fur
d
¿qué pasa en
cada caso?

9
El trabajo neto
 El trabajo neto sobre un sistema, equivale a la suma algebraica
de todos los trabajos que realizan cada una de la fuerzas que
actúan sobre el cuerpo.
Otra forma, es determinar la fuerza neta aplicada y con este
vector realizar el producto punto con el desplazamiento.

10
SISTEMA UNIDADES UNIDAD
COMBINADA
Internacional
(S.I.)
Newton·metro (N·m) Joule (J)
Cegesimal
(C.G.S.)
dina · centímetro (dina·cm) Erg
Técnico
gravitacional
kilopondio · metro ( Kpm)
Kilogramo fuerza ·metro
(kgm)
kpm
kgm
Inglés británico libra-fuerza · pie ( lbf pie ) Lbf-pie
UNIDADES DE TRABAJO

11
Potencia:
La potencia (P) corresponde a que tan rápido realiza trabajo una
fuerza. Es también una magnitud física escalar y su unidad de
medida es el Watt (W). Así se definen, la potencia media Pm y la
potencia instantánea P de la forma siguiente
=m
w
P
t
=
dw
P
dt
Si la fuerza F aplicada es constante, entonces la potencia
puede expresarse como:

12
EJEMPLO 1.
Un cajón de 48 kg de masa es
arrastrado 8.0 metros por una rampa
hacia arriba, mediante una cuerda cuya
tensión es 540 N. El coeficiente de
rozamiento cinético es µk = 0,4.
Determinar:
a.) el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan
sobre el cajón.
b.) El trabajo neto o total.

13
EJEMPLO 2.
Un cuerpo de 2 kg desciende en caída libre. a) ¿Qué fuerza F
constante es preciso aplicarle, en el instante en que su velocidad
es 25(m/s) para detenerlo en 2 (s)? b) ¿Qué trabajo realiza F
sobre el cuerpo desde que se aplica la fuerza hasta que se
detiene? c) ¿Qué trabajo realiza el peso? d) ¿Qué trabajo realiza
la fuerza neta?
R: a) 44,6(N) b) -1115(J) c) 490(J) d) -625(J)

14
EJEMPLO 3.
Un bloque de 5(Kg) se mueve en línea recta por una fuerza neta
en el mismo sentido del desplazamiento que varía con la posición
de acuerdo al gráfico. Calcule el trabajo realizado entre 0 y
8(m).
R: 25(J)

∑ ∆≅
f
i
x
x
x xFW
f
f
i
i
x
x
x xxx 0
x
W lim F x F dx
∆ →
= ∆ =∑ ∫
15
TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE -
CASO UNIDIMENSIONAL.
Sea un objeto que se desplaza a lo largo
del eje "x" con la acción de una fuerza
variable que actúa a lo largo del eje "x".
En este caso no se puede aplicar la
expresión Fd cos θ, ya que para cualquier
intervalo del desplazamiento la fuerza no
es la misma.
La curva de Fx se divide en un gran número de
intervalos, el trabajo será igual a:
Si hacemos los ∆x tender a cero, se tendrá que
W es:

16
x = 0x = 0
Fx es negativa ; x es positiva ( x > 0 )
xx
Fx es positiva ; x es negativa ( x< 0 )
xx
Fx = 0 ; x = 0
Trabajo hecho por un resorte

Al tener un resorte comprimido en una posición xi y que luego
se desplaza hasta una posición xf, el trabajo que realiza la
fuerza restauradora del resorte es:
17
 El signo negativo del trabajo aparece a causa que la fuerza del
resorte es siempre opuesta al desplazamiento.
f f
i i
x x
2 2
res f i
x x
1
W Fdx ( kx) dx k(x x )
2
= = − = − −∫ ∫
Si el resorte se comprime.
2 2
res
1 1
W k(( x) ) kx
2 2
= − − = −
Si el resorte se estira o elonga.
2 2
res
1 1
W k(x ) kx
2 2
= − = −

18
TRABAJO REALIZADO POR UN AGENTE EXTERNO AL
ESTIRAR O COMPRIMIR UN RESORTE
Para estirar o comprimir un resorte sin
acelerarlo, debemos ejercer una fuerza
externa F' sobre el resorte igual y
opuesta a la fuerza F ejercida por el
resorte.
Entonces, el trabajo hecho por esta
fuerza para estirarlo o comprimirlo desde
una posición xi hasta una posición xf
será:
x = 0x = 0
xx
xx
F’F’FF
FFF’F’
Si F = -kx y F' = -F = -(-kx) = kx ,
f f
i i
x x
2 2
f i
x x
1
W F'dx (kx)dx k(x x )
2
= = = −∫ ∫Entonces

19
TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGIA.
netoW Fd (ma)d= =
Consideremos una partícula de masa
"m" que se mueve una distancia "d"
hacia la derecha bajo la acción de una
fuerza neta constante F.Por segunda ley de newton, si F es constante entonces su aceleración
es constante.
El trabajo neto es:
pero, f iv v
a
t
−
= = + ×i f
1
d (v v ) t
2
y
2 2 2 2
neto f i f i
1 1 1
W m(v v ) mv mv
2 2 2
= − = −
f i
neto i f
v v 1
W m (v v ) t
t 2
− 
= × + × ÷
 
entonces,

20
TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGIA.
2 2 2 2
neto f i f i
1 1 1
W m(v v ) mv mv
2 2 2
= − = −
21
K mv
2
=donde representa la energía cinética que es la energía que
poseen los cuerpos en movimiento.
Entonces, el trabajo neto neto f iW K K K= − = ∆

21
ENERGÍA.
¿Tiene energía el agua?
¿Tiene energía
el atleta?
¿Tiene energía el Sol?
¿Qué es la energía?

22
ENERGIA.
Para los fines de este curso, se puede definir la energía como
«la capacidad de efectuar trabajo» esta definición simple no es
precisa, ni valida para todos los tipos de energía. Sin embargo
para la energía mecánica que se estudiará, sirve para marcar
la conexión fundamental entre el trabajo y la energía.
En cualquier caso, el aspecto crucial de todos los tipos de
energía es que pueden ser definidas consistentemente en una
manera tal que la suma de todos los tipos, o energía total, sea
la misma antes y después de que ocurra cualquier proceso: es
decir, la cantidad «energía» puede definirse de manera que
sea una cantidad que se conserve.

23
TRABAJO REALIZADO POR FUERZAS CONSERVATIVAS.
• Una fuerza es conservativa si el trabajo efectuado por esta
fuerza es independiente de la trayectoria que toma la partícula
entre los puntos inicial "i" y final "f".
• El trabajo total efectuado por una fuerza conservativa sobre
una partícula es "cero" cuando la partícula se mueve en
cualquier trayectoria cerrada, regresando a su posición inicial.
• Ejemplos de fuerzas conservativas son la fuerza elástica y la
fuerza peso.

24
f f
i i
y y
mg C f i f i
y y
W W Fdy ( mg)dy mg(y y ) (mg y mg y )= = = − = − − = − × − ×∫ ∫
ue realiza el peso de un cuerpo es:
La expresión “Ug = mgy “ representa la energía potencial gravitatoria
que es la energía que poseen los cuerpos en virtud a su posición.
luego, C f iW (U U ) U= − − = − ∆
TRABAJO REALIZADO POR FUERZAS CONSERVATIVAS.

25
TRABAJO REALIZADO POR FUERZAS NO
CONSERVATIVAS.
• Una fuerza es no conservativa si el trabajo efectuado por
dicha fuerza depende de la trayectoria seguida. Es decir, si la
partícula se mueve a lo largo de una trayectoria cerrada, el
trabajo no es cero.
• Por ejemplo, la fuerza de rozamiento por deslizamiento es
una fuerza no conservativa, ya que esta fuerza siempre se
opone al movimiento
De acuerdo al teorema del trabajo y la energía
netoW K= ∆
NETO NC CW W W K= + = ∆

26
NETO NC CW W W K= + = ∆
CW U= − ∆ NCW K U= ∆ + ∆sabemos que, entonces:
NC o o 0 0W (K K ) (U U ) ( K U) (K U )= − + − = + − +
E K U= +Como entonces: NC F iW E E E= ∆ = −
Si sobre el sistema no actúan fuerzas no conservativas se cumple que:
E 0 E cte.∆ = ⇒ =
o oK U K U+ = +Por lo tanto
"PRINCIPIO DE
CONSERVACION DE LA
ENERGÍA MECANICA".
TRABAJO REALIZADO POR FUERZAS NO
CONSERVATIVAS.

27
"PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA ENERGÍA
MECANICA".

28
"PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA ENERGÍA
MECANICA".
Si se suelta la pelota ¿golpeará en la cara a la persona?

29
EJEMPLO
Una masa de 10(Kg) se eleva a una altura de 20(m) del suelo. En
ese marco referencial, a) ¿cuál es la energía potencial, la energía
cinética y la energía total? b) La masa es entonces liberada y cae
libremente. ¿Cuáles son la energía potencial, cinética y total,
potenciales y cinéticas cuando la masa se encuentra a 5(m) del
suelo?.c) ¿Cuál es la energía cinética y la velocidad de la masa en el
momento de llegar al suelo?
R: a) 1960(J), 0(J), 1960(J) b) 490(J), 1470(J), 1960(J) c) 1960(J),
19,8(m/s)

30
EJEMPLO
En la cima más alta de una montaña rusa un carro y sus ocupantes
está a una altura de 40(m) sobre el suelo y se mueve con una
rapidez de 5(m/s). Calcular su energía cinética y la velocidad cuando
está en una segunda cima situada a 20(m) si la masa total del
conjunto es 1000(Kg) y se desprecia el roce.
R: 208,5(KJ) y 20,42(m/s)

31
EJEMPLO
Un cuerpo de 0,5(Kg) comprime 40(cm) un resorte de constante
elástica 100(N/m) tal como se muestra en la figura. Despreciando el
roce, calcule la altura que alcanza el cuerpo en el plano inclinado.
R: 1,63(m)

32
EJEMPLO
Un pequeño objeto de masa m se suelta desde el punto A del rizo
mostrado en la figura. Si no existe roce, Calcular: a) La velocidad del
cuerpo en el punto C. b) La fuerza que ejerce la vía sobre el cuerpo
en dicho punto.
R: a) b) 7mgRg8

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