Ejemplos de integrales: ¿Cómo usar las fórmulas de integración?

1. C Á LC UL O I NT E G R AL
Cuaderno de Apuntes
Aprendem@s
Sobre:
Fórmulas Fundamentales de
Integración
Ing. Miguel Angel Carrillo Valenzuela

2. C Á LC UL O I NT E G R AL
Fórmulas Fundamentales de Integración
Explicación de la integral.
La integral es una operación matemática contraria a la derivada; es decir que el
problema empieza con una derivada o diferencial y termina cuando encontramos
una ecuación original (función primitiva) a partir de la cual se obtuvo la derivada.
Ejemplo 1.
y =x2
y = x2 + 1
y =x2 – 7
dy=d(x2)
dx dx
dy=d(x2+1)
dx
dx
dy=d(x2 – 7)
dx
dx
dy=2x
dx
dy =2x
dx
dy =2x
dx
dy=2xdx
dy =2xdx
dy =2xdx
Se integran
diferenciales
Fórmula de integración
 vndv= vn+1
+c
n+1
2xdx
Todas las fórmulas directas de integración
terminan con una constante que se llama
constante de integración.

2 x dx
n=1
v=x
2 (x2)
2
y= x2+c
Función original
Cada una de las
funciones del ejemplo
son primitivas de esta
función.
Todos los números que estén dentro de una
integral multiplicando, se sacan de la integral.
Se identifica cuál es la operación principal que
se está presentando en la integral. De acuerdo
a esa operación se selecciona la fórmula de
integración a utilizar.
Cuando se deriva una función pierde su
constante por lo que al integral se añade la
constante de integración.

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Ejemplo 2.
Ejemplo 3.
(x2+1)5 2xdx
 (x3+1)2 x2dx

2 (x2+1)5 xdx
Seleccionamos la fórmula de acuerdo a la operación principal.
vn dv= vn+1 +c
vn dv= vn+1 +c
n+1
n+1
Se identifican los términos de la fórmula como los datos del problema.
n =5
v = x2+1
sobra dv =x dx
n =2
v =x3+1
sobra dv= x2 dx
La v siempre se deriva y su resultado debe de ser igual a lo que colocamos en
sobra, si no son iguales, sólo se puede completar sobra con puras constantes.
d(x2+1)
dx
d(x3+1)
dx
dv =2xdx
dv= 3x2dx
sobra dv =x dx (2) completar sobra
sobra dv= x2 dx (3)
Cuando se coloca una constante multiplicando a sobra, en el resultado final se
pone multiplicando el inverso de esa constante.
1 ( 2 (x2+1)6 +c )
2
6
1 (x3+1)3 +c
3
3
Se puede simplificar el resultado final realizando las multiplicaciones más
simples.
(x2+1)6 +c
6
(x3+1)3 +c
9
(x3+1)3 +c
Nota.
Para calcular la constante de integración, se asignan valores a las variables, tanto
dependientes como independientes de la ecuación y se despeja la constante.
Cada ocasión en que las variables cambien de valor, la constante cambiará y así
se obtendrá una primitiva de la función.

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Ejemplo 4.
 (x2+10x-1)3 (x+5) dx
n =3
v = x2+10x-1
Sobra
(x+5) dx
dv= (x+5) dx
dv = 2 (x+5) dx
Sobra
(x+5) dx (2)
1 (x2+10x-1)4 +c
2
4
( x +1)5 dx
x
d v =
dx
dv =
Recordemos que la v siempre se
deriva y se debe de comparar con el
sobrante.
Si lo que sobra es una constante, se
puede completar el sobrante, de lo
contario, se deben de realizar otros
procedimientos para resolver la
integral.
Todo lo que se le añada al sobrante se
coloca también en el resultado final.
Ejemplo 5.
Sobra
dx
x
n =5
v = x +1
Siempre se selcciona el término más
complejo del problema y sobre ese
término se identifica la fórmula a
utilizar.
dv = 1 .
d x 2 x
Al sobrante se le pueden añadir
términos enteros o fraccionarios. En el
resultado final siempre se pone el
mismo término pero inverso.
El signo de lo añadido siempre es el
mismo.
Cuando no se puede completar lo que
Sobra (o diferencial), se pueden
realizar operaciones algebráicas tales
como: desarrollo de binomios,
multiplicaciones, identidades,
productos notables etc.
1 dx
2 x
Sobra
dx ( ½ )
x
(2) (x +1)6 +c
6

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Ejemplo 6
 (x3+1)3 xdx
n =3
v =x3+1
dv =3x2dx
Resolvemos con la fórmula
Sobra
x dx
 vn dv
Cuando se deriva v, se puede observar que no es
igual a Sobra y que le falta una x, además de un 3,
para que sean iguales. Cuando falten variables
para completar sobra, se deben de realizar otras
operaciones antes de volver a integrar.
Se desarrolla el binomio al cubo
((x3)3+3(x2)(1)+3(x3)(1)2+(1)3)
x
Se multiplica cada término del binomio por la x que está afuera de él. Cada suma
o resta es una integral.
(x9+ 3x6+ 3x3+1) x
x10+ 3x7+ 3x4+ x
 x10 dx + 3 x7dx + 3 x4dx + xdx

Todas las integrales son vn dv
x11 + 3x8 + 3x5 + x2+ c
11
8
5
2
Ejemplo 7.
 Sen5 (x2) Cos (x2) x dx
n =5
v =Sen (x2)
Sobra = Cos (x2) x dx
d Senx2 = Cosx2 dx2
dx
dx
dv = Cos(x2) 2xdx
La derivada se parece a Sobra sólo
falta un 2.
Sobra = Cos (x2) x dx (2)
Resultado Final
1 (Sen (x2))6 +c
2
6

Nuevamente se usa la fórmula vn dv

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Ejemplo 8.
 (x2+10x – 1 )3 (x + 5) dx
Cuando hay dos o más términos, se
debe de seleccionar el más complejo
para, de éste, identificar la fórmula de
integración a utilizar.
n=3
Sobra (x + 5) dx
v = x2+10x –1
dv= (2x+10) dx
dv =2(x+5) dx
En este caso, el término que tiene el
exponente más elevado nos servirá de
guía para seleccionar la fórmula.
Resultado Final
En un buen porcentaje la fórmula más
empleada es
1 (x2+10x-1)4 +c
2
4
Ejemplo 9.
 Arctg3(2x) dx
1+x
n =3
v = Arctg (x)
dv = 1
dx 1+x2
Sobra = dx
1+x2
dv = dx
1+x2
Resultado Final
(Arctg(x))4 +c
4
vn dv= vn+1 +c
n+1
Recordemos que siempre se deriva el
dato llamado v, para obtener dv, este dv
se compara con sobra (que en realidad
se llama diferencial), si lo que le falta a
sobra es una constante, se añade esa
constante a sobra y se coloca en el
resultado final el inverso con el mismo
signo.
En estos ejemplos, la constante siempre
está multiplicando pero hay ocasiones en
que faltará sumando o restándose, esa
clase de problemas se verán más
adelante.
Sobra siempre será todo aquel término
que no se consideró en la fórmula
incluyendo dx (el diferencial).
Ejemplo 10.
 ln (x) dx
x
n =1
v = ln (x)
Sobra = dx
x
dv = 1 dx
dx x dx
dv = dx
x
Resultado Final
( ln (x))2 +c
2
El resultado final es la función original
derivable, este resultado tiene una
constante ya que pueden pertenecer
varias funciones primitivas las que dieron
el diferencial a integral.
Una función primitiva es aquélla que ya
tiene un valor de la constante.

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Fórmulas Fundamentales de Integración
1)
2)
3)
dv = v+c
(v +- u) dv =  v dv +-  u dv
 c dv = c  dv
15) Csc2 (v) dv = -Ctg (v) +c
16) Sec (v) Tg (v) dv = Sec (v) +c
17) Csc (v) Ctg (v) dv = -Csc (v) +c
4)  v d v = v
n
n+1
+c
n+1
5)  dv = ln(v) +c
v
6) av = av +c
ln(a)
7) ev= ev+c
18)  dv = Arcsec v +c
a2-v2
a
19)  dv = 1 Arctg v +c
a2+v2 a
a
20)  dv
= 1 Arcsec v +c
2 2
vv -a
a
a
8) Sen (v) dv = -Cos(v) +c
21)  dv
= 1 ln | v – a | + c
v2-a2
2a
v+a
9) Cos (v) dv = Sen (v) +c
22)  dv
= 1 ln | v + a | + c
2 2
a -v
2a
v–a
10)  Tg (v) dv = Ln(Sen (v)) +c
23)  dv
= ln( v +  v2+a2 ) + c
2
2
v +a
11) Sec (v) dv = Ln (Sec (v) +Tg (v)) +c
24)  dv
=
2 2
v -a
ln( v +  v2 – a2 ) + c
12) Csc (v) dv = Ln (Csc (v) +Ctg(v)) +c
13) Ctg (v) dv = Ln (Cos (v)) +c
14) Sec2(v) dv = Tg (v) +c
25)  a2-v2 dv = ½ v a2 – v2 + ½ a2 ArscSen (v/a) + c
26)  v2+a2 dv = ½ v v2 + a2 + ½ a2 ln ( v +  v2+a2 ) + c
27)  v2–a2 dv = (½ v v2 – a2 ) – ½ a2 ln | v +  v2 – a2 | + c