Este documento explica el método del triángulo, un artificio de integración que permite transformar integrales algebraicas en integrales trigonométricas. El método involucra identificar una raíz cuadrada con dos términos al cuadrado dentro de la integral original y usar un triángulo rectángulo para reemplazar términos de la integral con funciones trigonométricas, resultando en una nueva integral en términos de la variable z. Se proveen ejemplos para ilustrar los pasos de aplicar esta técnica.

1. Existen algunas técnicas que nos permiten Resolver
Integrales que no podrían integrarse ni con fórmula directa
ni realizando operaciones.
Estas TÉCNICAS se llaman
ARTIFICIOS DE INTEGRACIÓN
INTEGRACIÓN POR PARTES
Son tres
MÉTODO DEL TRIANGULO
principalmente y sus
nombres son:
FRACCIONES PARCIALES
1

2. Este artificio de integración consiste en cambiar una
integral compleja en una nueva integral.
El Artificio que vamos a explicar en este pequeño
tutorial se llama:
INTEGRACIÓN Original está en ORIGINALde la
La Integral PORaEL MÉTODO DEL TRIÁNGULO
Si la INTEGRAL términos le
O
aplicamos Una NUEVA INTEGRAL en
variable “X” y la Nueva los PASOS DEL
POR EJEMPLO supongamos Integral estará en
SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA la variable “Z”
Original. términos de
que ésta es la Integral MÉTODO DEL TRIANGULO
términos de la variable “Z”
La variable que aquítendríamos esta integral es más fácil de
se puede como resultado…
observar es la “X” resolver que la ORIGINAL
∫ dx
X2 √ 4 + X2
. Pasos del
método
Trigonométrico
.
∫ Sec(z) dz
4 Tg2 (z)
.
Integral Original Nueva Integral
2

3. Sustitución Trigonométrica o Método
del triángulo
La única condición necesaria para
cambiar una Integral algebraica y
convertirla en Integral
Esta raíz puede
Trigonométrica usando este estar en el
artificio de integración, es que en la Denominador o
integral original se encuentre una raíz en el Numerador
cuadrada con dos términos al cuadrado, de la Integral
sumándose o restándose, en su interior . Original
a2 – b2 x2 a2 + b2 x2  b2 x2 – a2
ejemplo ejemplo ejemplo
4 – 9 x2 5 + x2  6 x2 – 9 3

4. Sustitución Trigonométrica o Método
del triángulo
Por ejemplo tenemos tres términos algebraico a
Ahora
Para lograr la transformación de
Supongamos que la√ 4 Laemplea un TRIÁNGULO RECTÁNGULO
trigonométrico se 2 Original es:
1. La raíz Integral
+Xseparamos de la Integral y
que se forma con la RAÍZ de la INTEGRAL ORIGINAL
sacamos la raíz cuadrada de
colocando sus X
2. La “X” términos en los lados del TRIÁNGULO de la
cada uno de sus términos
siguienteraíz de la constante
3. La manera…
2
Lo primero que tenemos que hacer es
identificar una raíz con dos términos al
∫ dx términos se colocan
Estos tres
en la √ 4 + X
.
X2 hipotenusa y en cada
2 cuadrado en su interior
cateto del triángulo
√ 2 + este
rectángulo,X2 triángulo es el
4
que nos va a ayudar a realizar z
nuestra transformación de la
Aquí está la raíz
integral original a una nueva
4

5. Sustitución Trigonométrica o Método
Si la raíz de la del triángulo
INTEGRAL ORIGINAL
es positiva, la raíz se
Sec (z) = hip/ady a2 + x2 = a Sec (z)
coloca en laa ver algo de teoría con respecto a cómo se forma
Vamos
hipotenusa del El acomodo de los tres Tg (z) = op / adyraíz cambia
el triángulo. datos de la x = a Tg (z)
triángulo rectángulo,
de acuerdo a que si ésta es positiva o negativa, veamos la
la constante se pone
teoría.
siempre en el
adyacente
Si la raíz es
negativa, el Sen (z) = op/hip x = a Sen(z)
primer término
Cos (z) = ady/hip a2 – x2 = a Cos(z)
dentro de la raíz
es la hipotenusa.
Si la constante no es
la hipotenusa, se
acostumbra ponerla Sec (z) = hip/ady z x = a Sec (z)
siempre en el
Estas funciones nos van a Tg (z) = op / ady a2 – x2 = a Tg (z)
adyacente, y la
ayudar a transformar la
variable en el opuesto
integral original por una nueva
integral en términos de Z 5

6. Sustitución Trigonométrica o Método
del triángulo
Pasos para usar el Método del Triángulo
1. Identificar una raíz cuadrada con dos términos al cuadrado en su
interior.
2. Seleccionar el triángulo adecuado para la raíz cuadrada identificada.
3. Sacar de cada triángulo DOS funciones trigonométricas; de una función
trigonométrica despejar raíz, de otra despejar la X y derivar la X para
obtener dx
4. Remplazar cada elemento de la integral original por su equivalente en
términos trigonométricos
5. Resolver la nueva integral empleando fórmulas directas o bien
identidades y principios trigonométricos
6. Remplazar el resultado final por términos de X empleando el triangulo
seleccionado anteriormente.
Paso 1 Paso 2 Paso 3
∫ dx
X2 √ 4 + X2
.
X
√ 4 + X2 Sec (z) = hip/ady
Tg (z) = op / ady
4 + x2 = 2 Sec (z)
x = 2 Tg (z)
dx = 2 Sec2(z) dz
2 6

7. Sustitución Trigonométrica o Método
del triangulo
Pasos para usar el Método del Triángulo
4. Remplazar cada elemento de la integral original
por su equivalente en términos trigonométricos
Esta es la dx
2
Esta es la XEsta es la RAIZ
Pasos del Método del
Triángulo
∫ dx
X2 √ 4 + X2
.
4 + x2 = 2 Sec (z)
x = 2 Tg (z)
∫ 2Sec2(z) dz .
(2Tg(z))2 2Sec(z)
dx = 2 Sec2(z) dz
Integral Original Nueva Integral
En los pasos anteriores 1,2 y 3 se obtuvieron
estas igualaciones. Con ellas vamos a
remplazar cada término de la integral
original (x, raíz y dx) por funciones
trigonométricas 7

8. Sustitución Trigonométrica o Método
del triangulo
Pasos para usar el Método del Triángulo
Sólo haremos ejercicios con este método hasta el
paso 4 que consiste en transformar una integral
algebraica en trigonométrica empleando un
triángulo rectángulo. Los pasos 5 y 6 son para
resolver la integral pero esos se verán en otra
ocasión
8

9. SegundoPaso:
Tercer Paso:
Primer Paso:
Ejemplo 1 Identificarde cada triángulo DOS funciones trigonométricas;en su
Seleccionar el triángulo adecuado para la raízal cuadrado de una
Sacar una raíz cuadrada con dos términos cuadrada
identificada. En este casodespejar raíz, de otra despejar la X de
función trigonométrica la raíz es positiva por lo que debe y
interior.
colocarse la Xla hipotenusa del triángulo
derivar en para obtener dx
∫ Paso 1
Paso 3
Cuarto Paso:
Ahora con estos tres elementos ( x, dx y  ) se hace la
transformación de la integral cambiando todas las “x”
por su equivalente trigonométrico. La raíz también se
cambia e igualmente la “dx” se quita y se coloca lo que
vale según la derivada
x = 2 Tg Z 4 + x2 = 2 Sec Z
dx = 2 Sec2Z dz
Paso 2
La “x” siempre se deriva
Paso 4
Pasos del Método del
Triángulo
∫ dx
X2 √ 4 + X2
.
4 + x2 = 2 Sec (z)
x = 2 Tg (z)
∫ 2Sec2(z) dz .
(2Tg(z))2 2Sec(z)
dx = 2 Sec2(z) dz 9
Integral Original Nueva Integral

10. SegundoPaso:
Tercer Paso:
Primer Paso:
Ejemplo 2 Identificarde cada triángulo DOS funciones trigonométricas;en su
Seleccionar el triángulo adecuado para la raízal cuadrado de una
Sacar una raíz cuadrada con dos términos cuadrada
identificada. En este casodespejar raíz, de otra despejar la X y
función trigonométrica la raíz es negativa por lo que debe de
interior.
colocarse la X para obtener dx la hipotenusa del triángulo
derivar el primer término en
∫ Paso 1
Antes de Pasar al SEGUNDO EJEMPLO, no debemos dePaso 3
olvidar que este método nos ayuda a pasar una
INTEGRAL ORIGINAL que está en términos de “x”, a
Cuarto Paso:
una NUEVA INTEGRALtres elementos en dx y  ) se hace la“z” .
Ahora con estos que estará ( x, términos de
La única condición para usar este método es que EL
transformación de la integral cambiando todas las “x”
PROBLEMA TENGA A LAtrigonométrico. RAÍZ CUADRADA
por su equivalente VISTA UNA La raíz también se
CON DOS cambia e igualmente la “dx” se quita y seSU INTERIOR,
TERMINOS AL CUADRADO EN coloca lo que
RESTANDOSEsegún la derivada
vale O SUMANDOSE
Paso 2
Paso 4
Pasos del Método del
Triángulo
∫ dx
√ 4 – X2
.
4 + = 2 Cos (z)
x2
x = 2 Sen (z)
∫ 2Cos(z) dz .
2Cos(z)
dx = – 2 Cos(z) dz
Integral Original Nueva Integral 10

11. Por hoy ha sido todo.
Ahora a practicar, este tema lo podrás
repasar en tu manual, se llama:
“ARTIFICIO DE INTEGRACIÓN POR EL
MÉTODO DEL TRIÁNGULO O
SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA”
GRACIAS