1. C Á LC UL O D I FE RE N CI AL
Cuaderno de Apuntes
Aprendem@s
Sobre:
Cálculo de Máximos y Mínimos
Ing. Miguel Angel Carrillo Valenzuela

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Cálculos de máximos y mínimos de una ecuación
Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor
forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos
mecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar respuesta a estos
problemas, que de otro modo parecería imposible su solución.
Entre los valores que puede tener una función nos podemos encontrar con uno
que sea el más grande y otro que sea el más pequeño. A estos valores se les
llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos.
Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto
cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto crítico y en
él puede existir un máximo relativo, aunque comúnmente se le llama sólo
máximo.
Por el contrario, si una función continua es decreciente en cierto intervalo hasta
un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos punto crítico y
en él puede existir un mínimo relativo, o simplemente mínimo.
Una función puede tener uno, ninguno o varios puntos críticos.
Curva sin máximos ni mínimos función sin máximos ni mínimos

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La pendiente de la recta tangente a una curva (derivada) en los puntos críticos
máximos y mínimos relativos es cero, ya que se trata de una recta horizontal.
En los puntos críticos máximos, las funciones tienen un valor mayor que en su
entorno, mientras que en los mínimos, el valor de la función es menor que en su
entorno.
En un punto crítico máximo relativo, al pasar la función de creciente a
decreciente, su derivada pasa de positiva a negativa.
En un punto crítico mínimo relativo, la función deja de decrecer y empieza a ser
creciente, por tanto, su derivada pasa de negativa a positiva.
Otra explicación de Máximos y mínimos
Como se ha mencionado, la interpretación geométrica de la derivada es la
pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto
determinado es muy útil para el trazado de las gráficas de funciones. Por
ejemplo, cuando la derivada es cero para un valor dado de x (variable
independiente) la tangente que pasa por dicho punto tiene pendiente cero y, por
ende, es paralela al eje “x”. También, se pueden establecer los intervalos en los
que la gráfica está sobre o debajo de la tangente.
Gráfica de máximos y mínimos

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Valor máximo relativo.
Se dice que la función tiene un
valor máximo relativo en “c” ya que
la derivada en un punto anterior a
“c” es positiva y en un punto
posterior es negativa.
En la figura de la derecha (fig.1) se
puede observar un ejemplo de una
función que tiene un valor máximo
relativo en c. Dicho valor es d y
ocurre en c.
(fig.1)
Se llama máximo absoluto al valor
que esté más hacia arriba de la
figura geométrica.
Valor mínimo relativo:
Se dice que la función tiene un
valor mínimo relativo en “c” ya que
la derivada en un punto anterior a
“c” es negativa y en un punto
posterior es positiva.
En la figura de la derecha (fig.2) se
puede observar un ejemplo de una
función que tiene un valor mínimo
relativo en c. Dicho valor es d y
ocurre en c.
(fig.2)
Se llama mínimo absoluto al valor
que esté más hacia debajo de la
figura geométrica.
Para obtener el valor de los puntos donde ocurre un máximo o un mínimo en una
ecuación existen dos métodos:
Criterio de la primera derivada.
Primer Paso. Derivar la ecuación.
Segundo Paso.
Igualar la derivada a 0 y factorizar para obtener valores de x, cada valor se llama
valor crítico donde puede existir un máximo o un mínimo.
Tercer Paso.
Cada valor crítico se analiza de la siguiente manera:

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


Se le resta un valor muy pequeño al valor entero (.0001); se sustituye en
la derivada y se observa el signo del resultado.
Se le suma un valor muy pequeño al valor entero (.0001); se sustituye en
la derivada y se observa el signo del resultado.
Si “a” fue positivo y “b” fue negativo en el valor crítico hay un máximo. Si
“a” fue negativo y “b” fue positivo en el valor crítico hay un mínimo. Si los
signos son iguales no es máximo ni mínimo.
Cuarto Paso.
Se obtiene el valor de “y” para tener el punto completo, sustituyendo el valor
crítico en la ecuación general.
Criterio de la segunda derivada:
El paso 1, 2, y 4 son iguales al método anterior.
Tercer paso.
Se obtiene la segunda derivada, en la segunda derivada se sustituye cada valor
crítico, si el resultado es positivo hay un mínimo en ese valor crítico; si el
resultado es negativo, hay un máximo en ese valor crítico, si no hay signo se
analiza con el primer método o bien es un punto de inflexión
Ejemplos
1. De la ecuación
y = 1 x3 + 1 x2 – 6x + 8, obtener los máximos y mínimos.
3
2
Primer Paso. Derivar la ecuación
dy = d(1/3 x3 + ½ x2 – 6x – 8)
dx
dx
dy = 1 (3x2) + 1 (2x) - 6
dx 3
2
dy = x2 + x – 6
dx
Segundo Paso. Factorizar e igualar a cero cada factor
x2 + x – 6
(x + 3)(x – 2)
x+3=0
x = -3
x–2=0
x=2

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Tercer Paso por el Primer método:
Para el primer valor crítico
-3 - .0001 = - 3.0001 Restar un valor muy pequeño
x2 + x – 6 = (-3.0001)2 + (-3.0001) – 6 = +
-3 + .0001 = -2.9999
x2 + x – 6 = (-2.9999)2 + (-2.9999) – 6 =
a) ---- +
b) ---- -
–
hay un máximo en x = – 3
Para el segundo valor crítico
2 - .0001 = 1.9999
x2 + x – 6 = (1.999)2 + (1.999) – 6 =
–
2 + .0001 = 2.0001
x2 + x – 6 = (2.0001)2 + 2.001 – 6 =
+
a) = b) = +
hay un mínimo en x = 2
Tercer Paso por el Segundo método:
x2 + x – 6
2x + 1
Se obtiene la segunda derivada de la ecuación
x = -3
2(-3) + 1 = 0
-6 + 1= -5
es un máximo por el signo negativo
x=2
2(2) + 1 = 0
4 + 1= 0
=+5
es un mínimo por el signo positivo
2. Obtener máximos y mínimos de la ecuación y = x4 + 2x3 – 3x2 – 4x + 4
y = x4 + 2x3 – 3x2 – 4x + 4 (derivar)
dy = 4x3 + 6x2 – 6x - 4 + 0
dx
dy = 4x3 + 6x2 – 6x – 4
dx
4x3 + 6x2 – 6x – 4 (factorizar)
(x – a) a = número que encontré de todos los posibles
combinaciones para multiplicar
que dé – 4 ( 2 -2 = -4, -4 1 = -4, 4 -1 = -4 ) de todos los
múltiplos sustituimos , hasta encontrar uno que dé 0 al sustituir.
4x3 + 6x2 – 6x – 4
4(1) 3 + 6(1) 2 – 6(1) – 4= 0

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(x – 1) ÷ (4x3 + 6x2 – 6x – 4)
(x – 1)
(resolvemos la división)
4x2 + 10x + 4
4x + 6x2 – 6x – 4
-4x3 + 4x2
10x4 – 6x
-10x4 + 10x
4x – 4
-4x + 4
0
3
(x – 1)( 4x2 + 10x + 4)
(2x + 4)
(2x + 1)
(se sigue factorizando)
(x – 1)(2x + 4)(2x + 1)
x -1 = 0
2x + 4 = 0
2x + 1 = 0
x=1
x=1
x = -4/2 x = -2
x = -1/2 x = -1/2
Paso tres por el segundo método:
4x3 + 6x2 – 6x – 4
Derivar la derivada
dy = 12x2 + 12x -6 – 0
dx
Resultado Final
Para x = 1 12(1)2 + 12(1) – 6 =
+ (mínimo en x = 1)
Para x = -2 12(-2)2 + 12(-2) – 6 = + (mínimo en x = -2)
Para x = -1/2 12(-1/2)2 + 12(-1/2) – 6 = - (máximo en x = -1/2)
Ejercicios para hacer en Casa
Obtener los máximos y mínimos en los siguientes ejercicios
1. y = x4 + 2x3 – 3x2 – 4x + 4
2. y = 1/3 x3 + ½ x2 – 6x + 8

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Problemas Aplicados de Máximos y Mínimos
1. Se tiene una lámina circular que tiene de radio 70 cm. De la que se desea
cortar un rectángulo de la mayor área posible.
a) ¿Qué medidas debe tener el rectángulo?
b) ¿Cuál debe ser el área máxima)
Algunas formas de recortar rectángulos en el círculo
Si representamos la longitud del rectángulo con L y la anchura con A.
siendo el diámetro D = 2 r = 140 cm. Puesto que el diámetro del círculo es
la recta transversal del rectángulo, que lo divide en dos triángulos
rectángulos:
Por el teorema de Pitágoras: L2 + A2 = D2
(140 cm.)2
L2 + A2 = 19600
A = √19600 - L2
El área (Y) del rectángulo será Y = (L)(A) = (L) (√ 19600 - L2) obteniendo
el máximo de la función por algunos de los métodos para obtener
máximos y mínimos.
Y = (L) (√ 19600 - L2)
Y = (L)( ½ ) ( 19600 - L2) – ½ (– 2L) + (√ 19600 - L2)
Se iguala la derivada a cero
Largo = 98.99
Por el método de la primera derivada se obtiene que en L=98.99 hay un
máximo.
Ancho = √19600 - L2 = 98.99
Área = (L)(A) = ( 98.99)(98.99) = 9800 cm2

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2. Con una malla de 380 m. se desea cercar un terreno rectangular.
¿Cuáles deben ser las medidas del terreno para que su área sea máxima?
Se pueden cercar infinidad de terrenos rectangulares con una malla de 380 m.
aquí algunos casos.
largo
ancho
Perímetro
Area
1
110 m.
80 m
380 m
8800 m2
2
140 m.
50 m
380 m
7000 m2
3
112 m.
78 m
380 m
8736 m2
4
100 m.
90 m
380 m
9000 m2
5
120 m.
70 m
380 m
8400 m2
Suponiendo A = área del terreno, b = longitud y h = anchura, podemos plantear
la función.
A=bh
Siendo una función de dos variables, ponemos una en función de la otra:
Perímetro de rectángulo = 2b +2h = 380
2b = 380 - 2h
b = 190 - h
La función con una variable es: A = (190 - h) h = 190 h - h2
Calculando el máximo de la función: A = 190 h - h2
A = 190 - 2 h
190 - 2 h = 0
h = 95
Por el método de la segunda derivada. Se obtiene A” = - 2 al ser negativa la
segunda derivada, hay un máximo en h = 95
A = 190 h - h 2 = 190 (95) - (95) 2 = 9025
B = 190 - h = 190 - 95 = 95
Por lo tanto, el terreno es un cuadrado que mide 95 m por lado y su área es
de 9025 m2
3. A las 3:00 PM la persona A se encuentra a 150 Km. Al oriente de la
persona B. La persona A se dirige al poniente a razón de 10 Km./h y la

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persona B hacia el sur a 20 Km./h. Si ambos mantienen sus rumbos y
velocidades
a) ¿Cuándo estarán más próximos entre sí?
b) ¿Cuál es la distancia mínima a la que se acercarían?
Consideremos Ao y Bo las posiciones de las personas a las 3:00 PM y A1
y B1 sus posiciones X horas después.
La distancia recorrida en X horas es 10X y 20X respectivamente.
La distancia entre las dos personas (Y) se puede representar en la
ecuación:
Y2 = (20X) 2 + (150 - 10X) 2 de donde:
Y = √ (20X) 2 + (150 -10X) 2 = √ 500X 2 - 3000X +22500
Calculando el mínimo de la función
Y = √ 500X2 - 3000X + 22500
Derivando Y´= ½ (500X2 - 3000X + 22500) – ½
(1000X – 3000)
Igualando la derivada a 0 y despejando X = 3000 / 1000 = 3
X=3
Para X = 3 existe un mínimo en la función, por lo tanto después de tres
horas se encuentran más próximos entre sí, es decir, a las 6:00 PM
La distancia que las separa en ese memento es:
Y= 500X2 - 3000X + 22500 = 500(3) 2 - 3000(3) + 22500 = 134.164 Km.
4. De una lámina de 120 cm. x 75 cm. se desea construir una caja sin tapa,
del mayor volumen posible recortando cuadrados iguales de las esquinas
de la lámina y doblando hacia arriba las salientes para tomar las caras laterales.
a) ¿Cuáles deben de ser las dimensiones de la caja para que su volumen
sea máximo?
b) ¿Cuál es el volumen máximo que puede contener?
Al asignar X a la altura de la caja y V a su volumen, se expresa
algebráicamente:
V = (120 - 2X) (75 - 2X) (X)
V = 4X3 - 390 X2 + 9000X

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No se le puede recortar a la lámina más de 37.5 cm., por lo que la altura
debe estar en el intervalo: 0<X<37.5 Calculando el máximo en la función
V = 4X3 - 390 X2 + 9000X
V ‘ = 12X2 - 780X + 9000
X1 = 50 y
estar
12X2 - 780X + 9000 = 0
X2 = 15 desde ahora puede descartarse el valor X = 50 por
Fuera del intervalo: 0< X<37.5
V” = 24X - 780 sustituyendo los valores X1 = 50 y X2 = 15 en la segunda
Derivada:
V” = 24 (50) - 780 = 420 por ser positivo, hay un mínimo para X = 50
V” = 24(15) - 780 = - 420 por lo tanto se encuentra el máximo que
buscamos en
X = 15
Al sustituir en la función V = 4X3 - 390X2 + 9000X el valor X = 15,
encontramos el volumen máximo de la caja:
V = 4(15) 3 - 390 (15) 2 + 9000 (15)
V = 60 750 cm3
La altura debe ser X = 15cm
La longitud es (120 - 2X) = 120 - 2(15) = 90 cm.
La anchura es (75 - 2X) = 75 - 2(15) = 45 cm.
5. Encontrar dos números positivos cuya suma sea 144 y su producto sea
máximo
Si representamos por P y Q los números buscados, tendremos la función
Y = P Q como esta función depende de dos variables, ponemos una de
ellas en función de la otra:
Como P+Q = 144, entonces P = 144 - Q y la función queda de una sola
variable:
Y = Q (144 - Q) = 144 Q – Q2
Obtenemos el máximo de la función:
Y ‘ = 144 - 2Q

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144 - 2Q = 0
Q = 72
Y” = - 2 por ser negativa la segunda derivada, hay un máximo en Q = 72
Sustituyendo Q = 72 en la función Y = 144 Q - Q2
Y = 144 (72) - (72) 2 = 5184
P = 144 - Q = 144 - 72 = 72
Los números buscados son P = 72 y Q = 2 y su producto P Q = Y = 5184
6. Se lanza una pelota hacia arriba, desde una altura de 60 m. a una
velocidad inicial de 34.3 m/seg. Considerando la gravedad = 9.81 m/seg2.
calcular:
a) La altura máxima que alcanza la pelota respecto al piso.
b) El tiempo que tarda subiendo, bajando y durante todo el recorrido.
c) La velocidad al chocar con el piso.
d) La altura y velocidad por cada segundo que transcurre, hasta caer al
piso.
La ecuación que representa el movimiento de la pelota es
e = 60 + 34.3 t - ½ g t2 = 60 + 34.3 t - 4.9 t2
Obtenemos el máximo de la función e = 60 + 34.3 t - 4.9 t2
e’ = 34.3 - 9.8 t
tiempo.
la velocidad es la derivada del espacio respecto al
34.3 - 9.8 t = 0
en la parte mas alta, V = 0
t = 3.5
e” = - 9.8 la segunda derivada del espacio respecto al tiempo es la
derivada de la velocidad. e” es también la aceleración.
Al ser negativa la segunda derivada, hay un máximo en t = 3.5
Esto significa que la pelota tarda 3.5 segundos en llegar a la parte más
alta, que es:
e = 60 + 34.3 (3.5) - 4.9 (3.5) 2 = 120.025
La altura máxima de la pelota con respecto al piso es de 120.025 m.

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Para calcular el tiempo que tarda bajando, consideramos la ecuación a
partir del punto más alto.
e = 4.9 t2 de donde sustituimos t:
t = √ 120.025 / 4.9 = 4.95 seg.
Todo el trayecto se recorre en 3.5 seg. + 4.95 seg. = 8.45 seg.
La velocidad al caer al piso se puede obtener a partir del momento en que
empieza a caer:
V = at = 9.8 t = 9.8 (4.95) = 48.5 m/seg.
Punto de Inflexión
Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función
continua pasa de un tipo de concavidad a otro. La curva "atraviesa" la tangente.
Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es
cero, o no existe.
En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como
puntos de ensilladura
Pasos para encontrar puntos de inflexión
Se halla la primera derivada de
.
Se halla la segunda derivada de
Se halla la tercera derivada de
.
.
Se iguala la segunda derivada a 0:
.
Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de
la misma.
Se halla la imagen de cada
función.
sustituyendo la variable dependiente en la
Ahora, en la tercera derivada, se sustituye cada
Si
:
, se tiene un punto de inflexión en P(x1, y1).
Si
, debemos sustituir
en las sucesivas derivadas hasta sea
distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que
no sea nulo, hay
que ver qué derivada es:

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Si la derivada es impar, se trata de un punto de inflexión.
Si la derivada es par, se trata de un extremo local; un máximo si
un mínimo si
y
.
Otra forma de saber si es un punto de inflexión es restarle y sumarle valores
pequeños y sustituirlos en la segunda derivada para saber el tipo de concavidad
que tiene ese punto.
Toda ecuación presenta en su gráfica puntos dónde la línea cambia de
dirección.
Para obtener el valor de los puntos donde ocurre un máximo ó un mínimo en una
ecuación existen dos métodos:
Diremos que una función es CÓNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo
cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por
debajo de la curva.
Análogamente, diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia
arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por
encima de la curva.
Los puntos en los que la curvatura pasa de cóncava a convexa o viceversa se
llaman PUNTOS DE INFLEXIÓN.