Fracciones: representaciones y equivalencias

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1 Números racionales
INTRODUCCIÓN RESUMEN DE LA UNIDAD
a d
Esta unidad desarrolla conceptos y técnicas • Dos fracciones y son equivalentes
ya conocidos de otros cursos. Sin embargo, b c
si se cumple que a ⋅ c = b ⋅ d.
es conveniente repasar las distintas interpretaciones
que ofrecen las fracciones, las diferencias • Fracción irreducible es aquella que no se puede
de interpretación de fracciones positivas y negativas, simplificar.
y la diferencia entre fracciones propias e impropias. • Para comparar, sumar y/o restar fracciones,
A lo largo de la unidad se resolverán operaciones tales estas deben tener igual denominador.
como sumas, restas, multiplicaciones, divisiones • El producto de dos fracciones es otra fracción
y obtención del común denominador de varias cuyo numerador es el producto de los numeradores,
fracciones, que pondrán de manifiesto su utilidad para y con denominador, el producto de los denominadores.
resolver problemas de la vida diaria. Conviene hacer • Para dividir fracciones se realiza el producto
reflexionar a los alumnos sobre la presencia cruzado de los términos de cada una de ellas.
de las fracciones en distintos contextos. • El conjunto de los números racionales lo forman
Además, se trabajará la relación entre los números los números enteros y los números fraccionarios.
racionales y los números decimales, aprendiendo
a pasar de unos a otros. Se practicará la lectura
y escritura de números decimales exactos y su
expresión en forma de fracciones decimales.

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS
1. Reconocer las formas • Numerador y denominador. • Utilización de dibujos y expresiones.
de representación que • Representación escrita, • Identificación de una fracción.
tiene una fracción. numérica, gráfica y en la recta. • Representación de una fracción.
2. Reconocer y obtener • Obtención de fracciones • Obtención de fracciones equivalentes.
fracciones equivalentes equivalentes a una dada. • Determinación de si dos fracciones
a una dada. son equivalentes.
3. Amplificar y simplificar • Amplificación de fracciones. • Obtener fracciones equivalentes
fracciones. • Simplificación de fracciones. por amplificación y simplificación.
• Fracción irreducible. • Reconocimiento de la fracción irreducible.

4. Reducir fracciones • Obtención del común • Búsqueda del denominador común
a común denominador. denominador de varias fracciones. de dos fracciones.
• Comparación de fracciones. • Ordenación de un conjunto de fracciones. ADAPTACIÓN CURRICULAR

5. Sumar, restar, • Suma y resta de fracciones. • Operaciones con fracciones.
multiplicar y dividir • Multiplicación y división • Operaciones combinadas.
fracciones. de fracciones.
6. Obtener la forma • Expresión de fracciones • Obtención de la expresión decimal
decimal de una fracción. en forma decimal. de una fracción.
7. Reconocer los diferentes • Decimal exacto. • Distinción de los números decimales
tipos de números • Decimal periódico puro. exactos, periódicos puros y periódicos
decimales. • Decimal periódico mixto. mixtos.

8. Obtener fracciones • Expresión de números • Cálculo de la expresión fraccionaria de
a partir de números decimales como fracciones. un número decimal exacto o periódico.
decimales.

࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 241

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1 OBJETIVO 1
RECONOCER LAS FORMAS DE REPRESENTACIÓN QUE TIENE UNA FRACCIÓN

NOMBRE: CURSO: FECHA:

Una fracción está compuesta por un numerador y un denominador.
• Denominador → Partes en que se divide la unidad.
• Numerador ⎯→ Partes que tomamos de la unidad.

EJEMPLO
F NUMERADOR =3
3
Fracción:
4 F
DENOMINADOR =4
• Denominador → Dividimos la unidad en cuatro partes iguales.

• Numerador → Tomamos tres partes del total.

3 3
F F
4 4

FORMAS DE REPRESENTACIÓN DE UNA FRACCIÓN
Una fracción se puede representar de distintas formas:
• Representación escrita. • Representación gráfica.
• Representación numérica. • Representación en la recta numérica.

EJEMPLO

REPRESENTACIÓN REPRESENTACIÓN REPRESENTACIÓN REPRESENTACIÓN
ESCRITA NUMÉRICA GRÁFICA EN LA RECTA NUMÉRICA

2
Dos quintos −1 0 2 1
5
5

4
Cuatro séptimos −1 0 4 1
7
7

4
Cuatro tercios
3 −2 −1 0 1 4 2
3

242 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯

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1
1 Completa la siguiente tabla.

REPRESENTACIÓN REPRESENTACIÓN REPRESENTACIÓN REPRESENTACIÓN
ESCRITA NUMÉRICA GRÁFICA EN LA RECTA NUMÉRICA

4
Cuatro quintos
5

7
Siete quintos
5

2 Partiendo del dibujo, halla la fracción que representa y escribe cómo se lee.

a) F F ............... octavos
8

b) F F ............... ...............

c) F F ............... medios
2

d) F F ............... ...............

ADAPTACIÓN CURRICULAR
3 ¿Cuál es la respuesta correcta? Rodéala.

2 2 1 1
a) c)
5 8 3 12

2 2
3 5

2 1 4 1
b) d)
5 2 6 3


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1 OBJETIVO 2
RECONOCER Y OBTENER FRACCIONES EQUIVALENTES A UNA DADA


a c
Dos fracciones y son equivalentes cuando el producto cruzado de numeradores y denominadores
b d
es igual.
a c
= → a ⋅d = b ⋅c
b d

EJEMPLO
2 4
Las fracciones y son equivalentes, ya que 2 ⋅ 6 = 3 ⋅ 4.
3 6

1 Dibuja las siguientes fracciones.

3 2 4
a) c) e)
6 3 8

4 5 1
b) d) f)
6 10 2

2 Observando el ejercicio anterior vemos que algunas fracciones, a pesar de ser diferentes,
nos dan el mismo resultado. Coloca en dos grupos estas fracciones.

Ά
Fracciones que
Grupo 1 representan la
mitad de la tarta.

Ά
Fracciones que
Grupo 2 representan dos
tercios de la tarta.

3 Calcula tres fracciones equivalentes.
9
a) = = =
12
16
b) = = =
24
2
c) = = =
4
6
d) = = =
12

4 Halla el número que falta para que las fracciones sean equivalentes.
1 x 4 8 x 2
a) = b) = c) =
5 10 3 x 30 15


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OBJETIVO 3
AMPLIFICAR Y SIMPLIFICAR FRACCIONES 1

AMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
• Para obtener una fracción equivalente a otra fracción dada multiplicamos el numerador y el denominador
de dicha fracción por un número distinto de cero. Este método se llama amplificación.
• Observa que podemos obtener tantas fracciones amplificadas como queramos.

EJEMPLO
1
Obtén una fracción equivalente y amplificada de .
2
1 1⋅ 3 3 1 3 1 3
→ = = Las fracciones son equivalentes, es decir, y
2 2⋅3 6 2 6 representan el mismo número. 2 6
F

F

1 Calcula fracciones equivalentes por amplificación.
1 22 ⋅ 4 22 1 22
a) → = =
2 22 ⋅ 4 2 2
F

F

2 22 ⋅ 5 22 2 22
b) → = =
3 22 ⋅ 5 3
F

F


2 Halla dos fracciones equivalentes.

2 2⋅4 22 2 22 2⋅5 22 2 22
a) → = = = =
3 3⋅4 3 3⋅5 3
1 22 ⋅ 22 22 22 22 22 ⋅ 55 22 22 22
b) → = = = =
4 22 ⋅ 22 22 ⋅ 55
4 22 ⋅ 22 22 22 22 22 ⋅ 55 22 22 22
c) → = = = =
5 22 ⋅ 22 22 ⋅ 55
9 22 ⋅ 22 22 22 22 22 ⋅ 55 22 22 22
d) → = = = =
2 22 ⋅ 22 22 ⋅ 55


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1
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
• Simplificar una fracción es encontrar otra fracción equivalente a ella dividiendo numerador
y denominador por un factor común.
• Observa que el proceso, al contrario que en la amplificación, no se puede realizar indefinidamente.
Se termina al encontrar una fracción que no se puede simplificar. Esta fracción se llama
fracción irreducible.

EJEMPLO
Simplifica las siguientes fracciones.
5 5:5 1 5 1
= = y son equivalentes
10 10 : 5 2 10 2
20 20 : 10 2 20 2
= = y son equivalentes
30 30 : 10 3 30 3
F
F

3 Amplifica y simplifica la siguiente fracción.
2 2⋅2 22
Amplificar: = =
F

F 4 4⋅2
2 2 22 22
= =
4 4 22 22
F 2 2:2 22
F

Simplificar: = =
4 4:2

4 Haz lo mismo con estas fracciones.
6 22 ⋅ 22 22
F
Amplificar: = =
21 22 ⋅ 22
6 6 22 22
a) = =
21 21
F 6 22 : 22 22
Simplificar: = =
21 22 : 22

12 22 ⋅ 22 22
F
Amplificar: = =
20 22 ⋅ 22
12 12 22 22
b) = =
20 20
F 12 22 : 22 22
Simplificar: = =
20 22 : 22


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OBJETIVO 4
REDUCIR FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR 1

COMPARAR FRACCIONES
1 1
• ¿Qué fracción es mayor, o ?
2 3
Representamos las fracciones con un dibujo y lo vemos fácilmente:
1 1
2 3

• El dibujo, sin embargo, no siempre es tan claro. Por tanto, vamos a aprender a hacerlo
creando una fracción equivalente de cada fracción, con común denominador, es decir,
tenemos que conseguir que el denominador de las dos fracciones sea el mismo.
1 1⋅ 3 3
= =
2 2⋅3 6
F 6 es el común denominador.
F
1 1⋅ 2 2
= =
3 3⋅2 6
1 1 3 2
• Ahora, en lugar de comparar con , comparamos con .
2 3 6 6
3 2
• Como el denominador es común, comparamos los numeradores de y para saber
cuál de las fracciones es mayor: 6 6

3 2 1 1
> ; por tanto, >
6 6 2 3

• Recuerda que, dadas dos fracciones con igual denominador, es mayor la que tiene
mayor numerador.

1 Ordena estas fracciones.

4 22 ⋅ 10
= = COMÚN DENOMINADOR
3 22 ⋅ 10 30
3 22 ⋅ 15
= = > > >
2 22 ⋅ 15 30 30 30 30 30
8 20 ⋅ 15
= = > > >
6 20 ⋅ 15 30 22 22 22 22
4 20 ⋅ 15
= =
5 20 ⋅ 15 30


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1
BUSCAR EL DENOMINADOR COMÚN
7 2 3
Queremos comparar las siguientes fracciones: , y .
10 3 5
10 3 5
• ¿Cuáles son los denominadores? ……, …… y ……

• El común denominador será un número mayor que 10, 3 y 5, pero que tenga a 10, 3 y 5 como divisores,
por ejemplo:

a) El número 12 es mayor que 10, 3 y 5, pero ¿tiene a todos ellos como divisores?
12 = 3 ⋅ 4
12 = 10 ⋅ ?
12 = 5 ⋅ ?
No tiene a 10 ni a 5 como divisores, solo a 3. Por tanto, 12 no sirve.

b) El número 15 es también mayor que 10, 3 y 5. Pero veamos qué pasa cuando lo utilizamos:
15 = 10 ⋅ ?
15 = 3 ⋅ 5
15 = 5 ⋅ 3
Tampoco sirve 15, ya que no tiene a 10 como divisor.

c) Probamos con el número 30.
30 = 10 ⋅ 3
30 = 5 ⋅ 6
30 = 3 ⋅ 10
El número 30 sirve como común denominador, aunque no es el único. Si continuásemos buscando
encontraríamos más: 60, 90, …

• Vamos a hallar fracciones equivalentes a las dadas, con denominador común 30:

7 7⋅3 21
= = ¿Qué número hay que multiplicar para que el denominador sea 30
10 10 ⋅ 3 30 si partimos de 10? 10 ⋅ ? = 30

2 2 ⋅ 10 20
3 3 ⋅ 10 30 si partimos de 3? 3 ⋅ ? = 30

3 3⋅6 18
5 5⋅6 30 si partimos 5? 5 ⋅ ? = 30

7 2 3 21 20 18
Por tanto: , , F , ,
10 3 5 30 30 30

Ahora ordenamos las fracciones de mayor a menor:

21 20 18 7 2 3
> > F > >
30 30 30 10 3 5


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1
7 5 2 5 3
2 Ordena las siguientes fracciones: , , , y .
12 6 3 2 4
• Nos fijamos en los denominadores: ........, ........, ........, ........, ........
• Queremos encontrar un número que contenga a todos los denominadores como divisores.
El número más adecuado es 12.
7 ⋅
= =
12 ⋅ 12

F
5 ⋅2
= = ¿Cómo se calcula este número? 12 : 6 = 2
6 ⋅2 12 F

F
2 ⋅
= = ¿Cómo se calcula este número? 12 : 3 =
3 ⋅ 12
F

5 ⋅
= =
2 ⋅ 12

3 ⋅
= =
4 ⋅

• Ahora ordenamos de mayor a menor:

REDUCIR FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR
7 8
Reduce a común denominador estas fracciones: y .
15 9
Hallamos el m.c.m. 15 3 9 3
de los denominadores. 5 5 3 3 15 = 3 ⋅ 5⎫
⎪
⎬ → m.c.m. (15, 9) = 3 ⋅ 5 = 45
2
1 1 9 = 32 ⎪ ⎪
⎭

El m.c.m. de los denominadores 7 F7 ⋅ 3 = 21 F 21 8 F 8 ⋅ 5 = 40 F 40
F

F

es el nuevo denominador 15 F 45 : 15 = 3 45 9 F 45 : 9 = 5 45
de las fracciones.
F

F


3 Completa la tabla.

FRACCIONES REDUCIDAS A COMÚN DENOMINADOR ORDENADAS DE MENOR A MAYOR

7 3 5
, ,
4 5 6

47 23 7
, ,
12 15 24


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1 OBJETIVO 5
SUMAR, RESTAR, MULTIPLICAR Y DIVIDIR FRACCIONES


SUMA (O RESTA) DE FRACCIONES CON IGUAL DENOMINADOR
La suma (o resta) de fracciones con igual denominador es otra fracción con el mismo denominador
y cuyo numerador es la suma (o resta) de los numeradores.

EJEMPLO
1 4 5
+ =
3 3 3

F

F
F

+ =
Dibújalas

Un tercio más cuatro tercios son cinco tercios.

SUMA (O RESTA) DE FRACCIONES CON DISTINTO DENOMINADOR
Para sumar (o restar) fracciones con distinto denominador, reducimos primero a denominador común y,
después, sumamos (o restamos) sus numeradores.

EJEMPLO
1 6
Haz esta suma de fracciones: + .
3 5
Para sumar las fracciones hay que obtener fracciones equivalentes con el mismo denominador.
1 1⋅ 5 5 6 6⋅3 18
= = = =
3 3⋅5 15 5 5⋅3 15
Nos interesa obtener el mínimo común denominador de 3 y 5, en este caso 15.
Ahora sumamos las fracciones con igual denominador:
1 6 5 18 23
+ = + =
3 5 15 15 15

1 Realiza las siguientes operaciones.

3 1 5
a) − + =
4 4 4

⋅ ⋅
F

10 2 10 2
b) − = − = = = = =
7 3 7 ⋅ 3 ⋅
F


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1

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores
y el denominador es el producto de los denominadores:
a c a ⋅c
⋅ =
b d b ⋅d

EJEMPLO
3 4 3⋅4 12
⋅ = =
2 5 2⋅5 10

2 Realiza las multiplicaciones de fracciones.
7 5 1 4
a) ⋅ = e) ⋅ =
3 4 5 15
10 13 7 11
b) ⋅ = f) ⋅ =
11 9 8 9
6 4 1 1
c) ⋅ = g) ⋅ =
8 3 2 3
5 8 12 4
d) ⋅ = h) ⋅ =
4 20 5 3

DIVISIÓN DE FRACCIONES
La división de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto del numerador de la primera
por el denominador de la segunda fracción, y cuyo denominador es el producto del denominador
de la primera fracción por el numerador de la segunda:
a Fc
:F =FFa ⋅ d
b d b ⋅c

EJEMPLO
11 3 11 ⋅ 5 55
: = = ADAPTACIÓN CURRICULAR
2 5 2⋅3 6

3 Realiza las siguientes divisiones de fracciones.
8 4 8 16
a) : = e) : =
3 5 3 18
9 5 2 4
b) : = f) : =
5 7 7 3
4 1 6 3
c) : = g) : =
5 7 4 8
5 1 18 5
d) : = h) : =
2 10 5 2


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1
Recuerda que, cuando se realizan operaciones combinadas, es decir, sumas, restas, multiplicaciones
y divisiones a la vez:
• Se hacen primero las operaciones de los paréntesis.
• Luego se resuelven las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
• Por último, se operan las sumas y restas, en el mismo orden.

EJEMPLO

3 5 3 1 5
⋅ + : −
2 2 4 5 4
3 5 3 1 5
⋅ + : − En este caso, la operación queda divida en tres BLOQUES.
2 2 4 5 4

3 5 + 3 1 − 5
⋅ : Realizamos las operaciones de cada bloque antes de sumar o restar:
2 2 4 5 4
A B C A: Hacemos la multiplicación.
B: Hacemos la división.
C: No se puede operar.
F

F

F

15 15 5 25
+ − Ahora realizamos las sumas y las restas: Solución =
4 4 4 4

7 5 ⎛2 ⎞
4 Realiza estas operaciones: − ⋅ ⎜ + 1⎟ .
⎜ ⎟
⎟
3 2 ⎜3
⎝ ⎟
⎠

• Tenemos dos bloques con los que debemos operar por separado:
⎧
⎪ 7
⎪ A:
⎪ No se puede operar.
5 ⎛2 ⎞ ⎪
⋅ ⎜ + 1⎟
7 ⎪ 3
− ⎜ ⎟
⎟ → ⎨
3 2 ⎝⎜3 ⎟
⎠ ⎪ ⎛2 ⎞
⎪ B:
⎪
5
⋅ ⎜ + 1⎟ Tenemos que operar por partes, volviendo
⎟
⎪ ⎜
⎜3 ⎟
⎟
A B ⎪
⎪
⎩ 2 ⎝ ⎠ a dividir en bloques la operación.

• Como no hay sumas o restas fuera de los paréntesis, tiene prioridad el producto:

⎧ I: No se puede operar.
⎪ ⎫
⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪
⎪ II: Realizamos la suma: 2 + 1 = 2 + ⎪
⎪
⎪ = ⎪
F

⎪ m
5 ⎛2 ⎞
⎜ + 1⎟ ⎪
→ ⎪ 3 3 3 3 ⎪
⎪
⎪→ 5 ⋅
⋅ ⎜ ⎟
⎟ ⎨ ⎬ =
⎜
⎝3 ⎟
⎠ ⎪ ⎪ 2
F

2 ⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪
⎪ ⋅3 ⎪
⎪
I II ⎪ 1= = ⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪
⎩ ⋅3 3 ⎪
⎭
F

7 5 ⎛2 ⎞ 7
− ⋅ ⎜ + 1⎟ =
⎜ ⎟
⎟ − = − =
3 2 ⎜3
⎝ ⎟
⎠ 3
F

Común
denominador


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OBJETIVO 6
OBTENER LA FORMA DECIMAL DE UNA FRACCIÓN 1

Para obtener la forma decimal de una fracción o número racional se divide el numerador
entre el denominador.

EJEMPLO
3
4
F 30 | 4
20 0,75
020
3
FORMA FRACCIONARIA: F FORMA DECIMAL: 0,75
4
14
11
F 14 | 11
030 1,2727…
0080
00030
000080
000003
14
FORMA FRACCIONARIA: F FORMA DECIMAL: 1,2727… = 1,27
11
13
6
F 13 | 6
110 2,166…
0140
00140
00014
13
FORMA FRACCIONARIA: F FORMA DECIMAL: 2,166… = 2,16
6

1 Expresa en forma decimal estas fracciones y ordénalas.
5 9 37 ADAPTACIÓN CURRICULAR
a) c) e)
3 5 30

7 31 17
b) d) f)
6 25 6

...... < ...... < ...... < ...... < ...... < ...... → ...... < ...... < ...... < ...... < ...... < ......


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1 OBJETIVO 7
RECONOCER LOS DIFERENTES TIPOS DE NÚMEROS DECIMALES


Al dividir el numerador entre el denominador de una fracción para obtener su expresión decimal pueden
darse estos casos.
• Si el resto es cero:
– Cuando el cociente no tiene parte decimal, tenemos un número entero.
– Cuando el cociente tiene parte decimal, decimos que es un decimal exacto.
• Si el resto no es cero: las cifras del cociente se repiten, la expresión decimal tiene infinitas cifras.
Se obtiene un decimal periódico.
– Cuando la parte que se repite comienza desde la coma, se llama decimal periódico puro.
– Cuando la parte que se repite no comienza desde la coma, se llama decimal periódico mixto.

EJEMPLO

3 Decimal 14 Decimal 13 Decimal
= 0,75 → = 1,27 → = 2,16 →
4 exacto 11 periódico puro 6 periódico mixto

1 Completa la tabla, clasificando la expresión decimal de las fracciones en exactas, periódicas
puras o periódicas mixtas.

FORMA FORMA DECIMAL DECIMAL DECIMAL
FRACCIONARIA DECIMAL EXACTO PERIÓDICO PURO PERIÓDICO MIXTO

5
1,6 No Sí No
3
7
6
9
5
31
25
37
30
17
6

2 Escribe en cada número las cifras necesarias para completar diez cifras decimales.

a) 1,347347… e) 3,2666…
b) 2,7474… f) 0,25373737…
c) 4,357357… g) 1,222…
d) 0,1313… h) 43,5111…


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OBJETIVO 8
OBTENER FRACCIONES A PARTIR DE NÚMEROS DECIMALES 1

Todo número decimal exacto o periódico se puede expresar en forma de fracción.
Para ello hay que multiplicarlo por la potencia de 10 adecuada y realizar una serie de operaciones
hasta obtener una fracción.

NÚMEROS DECIMALES EXACTOS

0,32

• Llamamos x a 0,32. x = 0,32

• Multiplicamos por la unidad seguida F 100x = 100 ⋅ 0,32
de tantos ceros como cifras decimales
tiene el número. F 100x = 32
32
F x=
100

F
• Simplificamos, si es posible.
8 8
F x= F 0, 32 =
25 25

1 Completa la operación.

0,14

x = 0,14

F 100x = 100 ⋅ 0,14

F 100x =

F x=
100
F

F x= F 0,14 = ADAPTACIÓN CURRICULAR
25

2 Halla la forma fraccionaria de este número decimal.

0,3

¿Por qué hemos multiplicado x = 0,3
por 10 y no por 100?
F 10x = 10 ⋅ 0,3

F
F

F x= F 0, 3 =
25


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1
3 Expresa estos números decimales como fracción.

a) 0,101

x = 0,101
¿Por qué valor multiplicamos?
F

F
x= F 0,101 =
25

b) 0,24

F
x= F 0,24 =
25

c) 0,7

F

x= F 0,7 =
25

d) 0,44
F

x= F 0, 44 =
25

4 Expresa mediante un número decimal la parte gris de la figura.

Escribimos de forma fraccionaria Pasamos a
F
la parte gris de la figura. forma decimal.


826523 _ 0241-0262.qxd 27/4/07 13:32 Página 257

1

NÚMEROS DECIMALES PERIÓDICOS PUROS

Queremos obtener la forma fraccionaria del número decimal 2,333… = 2,3 .

• Si 2,333… no tuviera infinitas cifras decimales, podríamos obtener la forma fraccionaria como
en el caso de los números decimales exactos.

• Por tanto, no podemos actuar de esta manera.

2,333…

x = 2,333…

F 10x = 10 ⋅ 2,333…

F 10x = 23,333…

F
23, 333... 23, 333…
F x = F 2, 333… =
10 10

• Tenemos que eliminar las infinitas cifras decimales.

2,333…

Multiplicamos por la unidad x = 2,333…
seguida de tantos ceros
como cifras tiene el período.
F 10x = 10 ⋅ 2,333…

F 10x = 23,333…

10x = 23,333… Realizando esta resta ADAPTACIÓN CURRICULAR

−x = −2,333… eliminamos la parte
decimal.
9x = 21

F 21
Simplificamos. x =
9
F

7 7
F x = F 2,3 =
3 3

• Siempre hay que simplificar, si se puede, la fracción resultante.


826523 _ 0241-0262.qxd 27/4/07 13:32 Página 258

1
5 Completa las siguientes operaciones.

a) 5,7 = 5,777…

x = 5,777…
F 10x =

F 10x =

10x =
−x = −5,777…
9x =

F
x= F 5,7 =

b) 45,8 = 45,888…

x = 45,888…
F
= 10 ⋅ 45,888…

F = 458,888…

= 458,888…
−x = −45,888…
=
F

x= F 45,8 =

c) 7,3

x=
F

F

−x =
=
F

x= F 7,3 =


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1
6 Calcula la forma fraccionaria de los números decimales.

a) 15,474747…

x = 15,474747…
Multiplicamos
por 100. F 100x = 100 ⋅ 15,474747…

F 100x =

100x =

−x = −15,474747…
99x =

F
x= F 15,47 =

b) 24,35

x = 24,353535…

F

F
F

x= F 24,35 = ADAPTACIÓN CURRICULAR

c) 103,251251…

x = 103,251251…

F

F
F

x= F 103,251 =


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1
NÚMEROS DECIMALES PERIÓDICOS MIXTOS

Queremos obtener la forma fraccionaria del número decimal 2,1333… = 2,13 .

• Si actuamos como en el caso de los decimales puros, tenemos que:

x = 2,1333…

F 10x = 10 ⋅ 2,1333…

F 10x = 21,333…

10x = 21,333…
−x = −2,133…
9x = 19,2

19,2
F x= No obtenemos una fracción.
9

• Hay que utilizar otro procedimiento.

2,1333…

Multiplicamos por la unidad x = 2,1333…
como cifras tiene su parte
periódica y no periódica.
F 100x = 100 ⋅ 2,1333…

F 100x = 213,333…
Multiplicamos por la unidad
como cifras tiene su parte
F 10x = 21,333…
decimal no periódica.
100x = 213,333… Realizando esta resta
eliminamos
−10x = −21,333…
los decimales.
90x = 192

F 192
x =
90
Simplificamos.
F

32 32
F x = F 2,13 =
15 15


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1

7 Expresa estos números decimales en forma de fracción.

a) 5,37 = 5,3777…

x = 5,3777…
F
100x = 100 ⋅ 5,3777…
F 100x =
F 10x =

100x =
−10x = −53,777…
90x =

F
x= F 5,37 =

b) 45,28 = 45,2888…

x = 45,2888…
F

F

F
F

x= F 45,28 =

c) 0,73
x=
F

F

F
F

x= F 0,73 =


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1
8 Completa la siguiente operación.

3,57474…

Multiplicamos 1.000x = 3,57474…
por 1.000.
F 1.000x = 1.000 ⋅ 3,57474…
F 1.000x = 3.574,7474…

F 1.010x = 35,7474…

1.000x = 3.574,7474…

−10x = 00.35,7474…
990x =

F
x= F 3,574 =

9 Expresa como una fracción.

5,24545…

x=
F

F

F

F

x= F 5,245 =

Hay números decimales que no se pueden expresar como una fracción.
2 = 1,4142… ␲ = 3,1415… 5 = 2,2360…
Estos números reciben el nombre de números irracionales.

10 Clasifica los siguientes números.

a) 0,14 b) 4,37777… c) 3,4 d) 2,44 e) 43,2727… f) 2 = 1,4142…

DECIMAL DECIMAL DECIMAL
IRRACIONAL
EXACTO PERIÓDICO PURO PERIÓDICO MIXTO


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2 Números reales
INTRODUCCIÓN RESUMEN DE LA UNIDAD
Los alumnos han trabajado en cursos anteriores con • Un número a, llamado base, elevado a un exponente n
las potencias, y conocen el significado de las potencias es: an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ … ⋅ n veces ⋅ …
de exponente natural y de las partes que las componen.iiiii • Producto de potencias de la misma base: se escribe
Se empezará la unidad repasando las operaciones la base y se suman los exponentes.
con potencias: multiplicación, división, potencia • División de potencias de la misma base: se escribe
de una potencia y sus operaciones combinadas. la base y se restan los exponentes.
A continuación, se introducirá el caso de potencias de • Potencia de una potencia: se escribe la base
exponente negativo. Se señalará que estas potencias y se multiplican los exponentes.
cumplen las mismas propiedades que las potencias • Un número a elevado a un exponente negativo −n
con exponente natural, y por tanto, las reglas es igual al inverso de la potencia de base a
de las operaciones son las mismas. 1
y exponente n: a−n = n .
La parte que puede presentar mayor dificultad a
a los alumnos es la notación científica de las potencias. • Para sumar o restar en notación científica se reducen
Su utilidad radica en la posibilidad de expresar los números al orden de magnitud del mayor
números muy grandes y muy pequeños mediante y se suman o restan las partes enteras o decimales.
potencias de 10. • Para multiplicar o dividir en notación científica
Es fundamental conseguir que los alumnos alcancen se multiplican o dividen los decimales entre sí
el mayor grado de comprensión posible a la hora y las potencias de 10, después se pone el resultado
de identificar y trabajar con los distintos tipos de en notación científica.
números que aparecen en la unidad; por tanto, deben • Los números irracionales son los números
aprender a distinguir los diferentes números decimales: con infinitos decimales no periódicos.
exacto, periódico puro, periódico mixto e irracional. • El conjunto de los números reales lo forman
los números racionales y los irracionales.

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS
1. Realizar operaciones con • Potencias: base y exponente. • Expresión del producto de varios
potencias. • Multiplicación de potencias factores iguales como potencia.
de la misma base. • Producto y división de potencias
• División de potencias de la misma base.
de la misma base. • Potencia de una potencia.
• Potencia de una potencia. • Utilización de las reglas de las
• Potencias de exponente operaciones combinadas
negativo. con potencias.
• Definición de potencia de exponente ADAPTACIÓN CURRICULAR
negativo.
2. Expresar números en • Notación científica • Paso de un número en notación
notación científica. de un número decimal. decimal a científica, y viceversa.
• Orden de magnitud. • Comparación de números escritos
en notación científica.
3. Realizar sumas y restas • Suma y resta de números • Distinción del orden de magnitud
en notación científica. en notación científica. de un número en notación científica.
• Reducción a un mismo orden de
magnitud para sumar y restar.
4. Realizar multiplicaciones • Multiplicación y división • Multiplicación y división de números
y divisiones en notación en notación científica. decimales y potencias de 10
científica.


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2 OBJETIVO 1
REALIZAR OPERACIONES CON POTENCIAS


POTENCIA
• Un número a, llamado base, elevado a un exponente natural n es igual al resultado de multiplicar
a por sí mismo n veces:
14444244443 = a
a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅…⋅a n

n veces
F n: exponente (indica cuántas veces se multiplica la base).
an
F a: base
• Se lee: «a elevado a n».

EJEMPLO
6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 63 → Se lee: «seis elevado a tres».

1 Completa.

a) 29 ⋅ 29 ⋅ 29 ⋅ 29 ⋅ 29 = «....................................»

b) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = «....................................»

c) = 135 «....................................»

d) = «siete elevado a cuatro»

e) = «nueve elevado a cinco»

MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS
• Como las potencias son multiplicaciones, aplicando la definición de potencia tenemos que:
64748 64748
34 ⋅ 33 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 37
6 8 64748
7 ← exponente
52 ⋅ 54 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 5 6
• Las potencias han de tener la misma base para poder sumar los exponentes.
32 ⋅ 54 = 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 → No se puede poner con el mismo exponente.
• La fórmula general para multiplicar potencias de la misma base es:
a n ⋅ a m = a n+m

2 Realiza las siguientes operaciones.

a) 102 ⋅ 105 = d) 32 ⋅ 36 = g) 113 ⋅ 113 =
●
b) 74 ⋅ 72 = 7 e) 33 ⋅ 33 ⋅ 35 = h) 195 ⋅ 197 =

c) 113 ⋅ 112 ⋅ 11 = f) ⋅ 35 = 37 i) 22 ⋅ = 25


826523 _ 0263-0274.qxd 27/4/07 13:21 Página 265

2

DIVISIÓN DE POTENCIAS
• Para dividir potencias con igual base, se restan los exponentes: a n : a m = a n−m.
• Ten en cuenta que la división entre potencias de distinta base no se puede realizar,
y debe quedar indicada.

EJEMPLO

75 7⋅7⋅7⋅7⋅7
75 : 72 = = = 7 ⋅ 7 ⋅ 7 = 73
72 7⋅7

3 Calcula estas operaciones.
56
a) 56 : 5 4 = = = 5⋅5=
54
3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3
b) 37 : 34 = = = ⋅ ⋅ =
3⋅3⋅3⋅3
c) 115 : 113 = d) 136 : 132 = e) 73 : 72 =

4 Realiza las divisiones.

a) 35 : 34 = c) 46 : = 43 e) 57 : = 52

b) : 72 = 75 d) 127 : 124 = f) 62 : 65 =

• Hay operaciones que combinan la multiplicación y la división. En estos casos, realizamos
las operaciones, paso a paso.
32 ⋅ 35 ⋅ 3 38
= 6 = 32
36 3

56 ⋅ 5 3 59
= 5 = 54
52 ⋅ 5 3 5
• Recuerda que solo podemos operar con potencias de la misma base.

72 ⋅ 73 ⋅ 52 75 ⋅ 52
= = 72 ⋅ 52
7 ⋅7
2
73


64748 2●
F

a) (25 ⋅ 24) : 14243 =
(23 ⋅ 22) = =
2●
F

b) (115 ⋅ 112 ⋅ 113) : (114 ⋅ 11) =

c) (105 : 102) ⋅ 105 = ⋅ =


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2
POTENCIA DE UNA POTENCIA
• Si elevamos una potencia a otra potencia, el resultado es una potencia con la misma base y cuyo
exponente es el producto de los exponentes:
(a n ) p = an ⋅ p

EJEMPLO
(72)3 = (7 ⋅ 7)3 = (7 ⋅ 7) ⋅ (7 ⋅ 7) ⋅ (7 ⋅ 7) = 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 = 76
(54)2 = (5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5)2 = (5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5) ⋅ (5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5) = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 58

● ●
a) (73)4 = 7 e) (42) = 48
● ●
b) (33) = 315 f) (25)2 = 2
● ●
c) (62) = 612 g) (53)4 = 5
● ●
d) (93) = 915 h) (102)3 = 10

• Hay operaciones combinadas que presentan las tres operaciones estudiadas hasta el momento.
• Antes de comenzar su estudio veamos las reglas para operar:

a n ⋅ a m = a n+m a m : a n = a m−n (a n) m = a n⋅m

multiplicación división potencia de una potencia

EJEMPLO

25 ⋅ 24 29
(25 ⋅ 24) : (22)3 = = 6 = 23
(22 )3 2

7 Realiza las operaciones.

΂ ΃ =(
3
a) (35 : 32)3 = )3 =

b) (57 : 53) ⋅ (56 : 52) = ⋅

c) (103)4 : (102 ⋅ 103) =

d) (42)3 ⋅ (45)2 =

e) (65 : 62) ⋅ (63)4 =

f) (72 : 7) ⋅ (73)2 =


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2

POTENCIA DE UNA FRACCIÓN
Para elevar una fracción a una potencia se elevan el numerador y el denominador a dicha potencia.
⎛a⎞
n n
⎜ ⎟ = a
⎜ ⎟
⎜b ⎟
⎝ ⎠⎟ bn

EJEMPLO
⎛2⎞
5
⎜ ⎟ = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 = 32
5
⎜ ⎟
⎜ 3⎟
⎟
⎝ ⎠ 3 3 3 3 3 3⋅3⋅3⋅3⋅3 35 243

8 Opera.
⎛2⎞ ⎛3⎞
7 3

a) ⎜ ⎟ =
⎜ ⎟ d) ⎜ ⎟ =
⎜ ⎟
⎝5⎟
⎜ ⎠
⎟ ⎝7⎟
⎜ ⎠
⎟

⎛ 6 ⎞ ⎛1⎞
3 4

b) ⎜ ⎟ =
⎜ ⎟ e) ⎜ ⎟ =
⎜ ⎟
⎝ 10 ⎟
⎜ ⎠ ⎟ ⎝5⎟
⎜ ⎠
⎟

⎛4⎞ ⎛2⎞
5 6

c) ⎜ ⎟ =
⎜ ⎟ f) ⎜ ⎟ =
⎜ ⎟
⎝3⎟
⎜ ⎠
⎟ ⎝3⎟
⎜ ⎠
⎟

⎛3⎞
2
3
Completa el ejercicio y resuélvelo: ⎜ ⎟ − .
⎜ ⎟
⎝4⎟
9
⎜ ⎠
⎟ 4
• Veamos el número de bloques en los que queda dividida la operación.
En este caso tenemos dos bloques separados por el signo −.

⎛3⎞
2
⎜ ⎟ 3
⎜ ⎟ −
⎝4⎟
⎜ ⎠
⎟ 4
A B
• Realizamos las operaciones de cada bloque:
⎛3⎞
2
⎜ ⎟ = 3
A: ⎜ ⎟⎟ B: En este bloque no podemos operar.
⎜ ⎟
⎝4⎠ 4

F 3
− = − ADAPTACIÓN CURRICULAR
4
• Tenemos que resolver la resta, pero para ello necesitamos el denominador común.
El denominador común es:

= =

• Ahora sí podemos restar: Solución =


826523 _ 0263-0274.qxd 27/4/07 13:21 Página 268

2
10 Calcula, dando prioridad a las operaciones de los paréntesis.

⎛6⎞ ⎛1 2⎞
2

a) ⎜ ⎟ − ⎜ − ⎟ =
⎜ ⎟
⎜5⎟
⎟ ⎜
⎜3
⎟
⎟
⎟
⎝ ⎠ ⎝ 5⎠

⎛3 ⎞ 1
b) ⎜ − 1⎟ :
⎜
⎜5
⎟
⎟
⎟ 2
=
⎝ ⎠

⎛ 5⎞ ⎛ 1 ⎞
c) ⎜1 − ⎟ : ⎜− + 2⎟ =
⎜
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝ ⎟
⎟
⎝ 6⎠ ⎜ 3
⎟ ⎟
⎠

⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞
d) ⎜ − ⎟ : ⎜ − ⎟ =
⎜
⎜2
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝3
⎟
⎟
⎝ 3⎠ 2⎟
⎠


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2

POTENCIA DE EXPONENTE NEGATIVO
• Al efectuar una división de potencias, el resultado puede ser una potencia de exponente negativo:
73 7⋅7⋅7 1 1
73 : 75 =
= = = 2 = 7−2
75
7⋅7⋅7⋅7⋅7 7⋅7 7
• Es decir, un número entero elevado a una potencia negativa es una fracción.
1 1 1
3−4 = = =
34 3⋅3⋅3⋅3 81
1
• En general, las potencias de exponente negativo se definen como: a −n = .
an
• Las potencias de exponente negativo cumplen las mismas propiedades que las potencias
de exponente natural.

11 Opera con exponentes negativos.

1 52 25
a) 52 ⋅ 3−2 = 52 ⋅ = =
3● 3●

1 52 ⋅ 5 3
b) 52 ⋅ 5−7 ⋅ 53 = 52 ⋅ ⋅ 53 = =

1 1 23 ⋅ 33
c) 63 ⋅ 2−4 = 6 3 ⋅ = (2 ⋅ 3)3 ⋅ = =
F

F

6=2⋅3

1
d) 73 ⋅ 72 ⋅ 7−4 = ⋅ ⋅ =

e) 43 ⋅ 2−3 ⋅ 8 = 43 ⋅ ⋅ 8 = (2 ⋅ 2)3 ⋅ ⋅ 23 = =
F

F

F 4=2⋅2
F 8 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 23

12 Expresa en forma de potencia de la base indicada en cada caso.

OPERACIÓN BASE RESULTADO

9−7 ⋅ 911 3

46 : 8−3 2

(259)−3 5

(16−5 : 43)−2 2

(49−3)4 : 7−6 7


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2 OBJETIVO 2
EXPRESAR NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA


• La expresión de un número en notación científica consiste en representarlo como un número
entero o un número decimal, con una sola cifra entera, multiplicado por una potencia de 10
(positiva o negativa).
102 = 10 ⋅ 10 = 100
1 1
10−3 = = = 0,001
10 3 10 ⋅ 10 ⋅ 10
• Llamamos orden de magnitud de un número expresado en notación científica al exponente
de la potencia de 10.

EJEMPLO
Expresa en notación científica el número 3.220.000.
Desplazamos la coma seis lugares a la izquierda y multiplicamos por 106.
NOTACIÓN DECIMAL NOTACIÓN CIENTÍFICA
3.220.000 = 3,22 ⋅ 106
F F

PARTE DECIMAL POTENCIA DE 10

Determina el orden de magnitud del número anterior.
El orden de magnitud es 6, ya que el exponente de la potencia de 10 es 6.

1 Realiza las operaciones.

a) 103 = =
b) 10 = 4
=
c) 10 = 5
=
1
d) 10 −4
= = = = 0, 0...

e) 10−6 = =
−3
f) 10 =

2 Escribe en forma decimal estos números expresados en notación científica.

a) 3,2 ⋅ 104 = 3,2 ⋅ 10.000 =
1
b) 3,2 ⋅ 10−2 = 3,2 ⋅ =

3 Escribe, con todas sus cifras, estos números escritos en notación científica.

a) 2,51 ⋅ 106 =
b) 9,32 ⋅ 10−8 =
c) 1,01 ⋅ 10−3 =
d) 1,15 ⋅ 104 =
e) 3,76 ⋅ 1012 =


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