MATEMÁTICA TEXTO - 3° ED SECUNDARIA.pdf

3
Educación Secundaria
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G r u p o E d i t o r i a l
ARITMÉTICA ÁLGEBRA GEOMETRÍA
Carpeta INICIALES 3ro TEXTO OK.indd 1 25/01/2020 00:29:55

Compartimos nuestras
costumbres y valoramos la
diversidad de nuestro país
Nuestro país está privilegiado por la gran diversidad biológica existente en las distintas regiones de
nuestro territorio, además, dependiendo de dónde vivamos, tenemos distintas costumbres y lenguas.
Es por ello que debemos aprender a valorar, respetar y compartir cada una de estas diferencias para
poder conocer mejor nuestro Perú.
Intercultural
Enfoque tranversal
Identidad, respeto
Valores
Desempeños
• ¿Conoces la diversidad cultural que hay en otros departamentos del país?
• ¿Qué costumbres típicas tienen en el lugar donde vives?
• ¿Por qué crees que es importante respetar las distintas costumbres que tenemos?
Observamos y respondemos
Geometría
Unidad I
• Reconoce las distintas posiciones y ángulos
entre las rectas.
• Clasifica los triángulos de acuerdo a la
medida de sus ángulos y de sus lados.
• Identifica las líneas notables de los triángulos,
mediana, altura, bisectriz y mediatriz.
• Diferencia los puntos notables de los
triángulos con sus respectivas propiedades
• Resuelve problemas de triángulos usando
métodos de congruencia.
Unidad II
• Aplica las propiedades para calcular el
número de diagonales y la medida de los
ángulos de los polígonos.
• Reconoce los elementos asociados a los
cuadriláteros.
• Identifica los elementos de la circunferencia
y las posiciones relativas entre ellas.
• Utiliza las propiedades de los ángulos de la
circunferencia y los relaciona con la medida
de los arcos.
• Aplica los criterios de proporcionalidad para
la solución de problemas de semejanza de
triángulos.
• Asocia la semejanza de triángulos con las
propiedades de relaciones métricas.
Unidad III
• Utiliza las principales relaciones métricas de la
circunferencia para la solución de ejercicios.
• Aplica las fórmulas para hallar el área de los
diversos tipos de triángulos.
• Identifica la manera de cómo resolver
problemas asociados al área de regiones
cuadrangulares y circulares.
• Analiza las posiciones relativas de los planos.
• Conoce el concepto intuitivo de ángulo diedro
y ángulos poliedros.
• Identifica un ángulo diedro y clasifica los tipos
de ángulos poliedros.
Unidad IV
• Identifica los elementos de un poliedro,
vértices, caras, diagonales, aristas.
• Reconoce los principales poliedros regulares.
• Resuelve problemas donde se tengan
que hallar el perímetro, área y volumen de
poliedros regulares.
• Identifica los elementos de los prismas y de
las pirámides, así como sus propiedades.
• Calcula el perímetro, área y volumen de
prismas y pirámides.
• Encuentra la manera de como generar
una esfera o un cono a partir de una figura
bidimensional.
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reproducción
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de
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libro
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Editorial.
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117
Valor absoluto y relativo
a. Valor absoluto (V.A): Es el valor que tiene la cifra
por su definición.
b. Valor relativo (V.R): Es el valor que toma la cifra
teniendo en cuenta la base y su respectivo orden.
Ejemplo:
En el siguiente numeral: 1234(5), se tiene:
V.A (1) = 1 V.R (4) = 4 × 50
V.A (2) = 2 V.R (3) = 3 × 51
V.A (3) = 3 V.R (2) = 2 × 52
V.A (4) = 4 V.R (1) = 1 × 53
Expresión literal de un número
Toda cifra de un numeral, se puede representar
por una letra del abecedario, sea minúscula o ma-
yúscula, cubriéndolas con una barra horizontal.
• pqn: Es cualquier número de dos cifras en la
base n.
• abcd: Es cualquier número de cuatro cifras en
la base 10.
• abc25: Es cualquier número de cinco cifras en
la base 10 que termina en 25.
Descomposición polinómica de un número
Es expresar el numeral como la suma de los valo-
res relativos de todas sus cifras, veamos:
Ejemplos:
• 1054(6) = V.R. (1) + V.R. (0) + V.R. (5) + V.R. (4)
1054(6) = 1 × 63
+ 0 × 62
+ 5 × 6 + 4 = 250
• 1054 (7) = V.R. (1) + V.R. (0) + V.R. (5) + V.R. (4)
1054 (7) = 1 × 73
+ 0 × 72
+ 5 × 7 + 4 = 382
Recuerda que la descomposición polinómica de
un numeral se puede realizar por bloques, veamos:
abcd(n) = ab × n2
+ cd
Conversión de un numeral en base 10 a una
base n cualquiera
Se efectúa usando las divisiones sucesivas, para lo
cual se debe dividir el número entre la base n, si
el cociente es mayor o igual que n se divide nue-
vamente entre n y así hasta obtener un cociente
menor que n, el numeral se forma concatenando
el número formado por el último cociente y to-
dos los residuos de derecha a izquierda.
Ejemplo:
• Expresa 104 en base 5
Solución:
Por divisiones sucesivas se tiene:
104 5
4 20 5
0 4
⇒ 104 = 404 (5)
Conversión de un numeral de base n a base m
El proceso se reduce a expresa el número de base
n a base 10 y de base 10 a base m.
Ejemplo:
• Expresa 124(6) en base 5
Solución:
Convirtiendo 124(6) a base 10:
124(6) = 1 × 62
+ 2 × 6 + 4 = 52
Luego, convirtiendo 52 en base 5, se tiene:
52 5
2 10 5
0 2
⇒ 124(6) = 202(5)
Propiedades fundamentales
1. Numeral con cifras de valor máximo
(n – 1) (n – 1) ... (n – 1)(n) = nk
– 1
k cifras
2. Bases sucesivas
1a
1b
1c
1m(n)
= n + a + b + c + ... + m
...
Metacognición
• ¿Qué aprendí? ¿Cómo lo hice?
• ¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las
superé?
• ¿Cómo puedo aplicar lo aprendido en
otras situaciones de mi vida diaria?
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Aritmética
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l.
Unid
ad
1
Tomamos medidas
necesarias para
mejorar nuestro planeta
Unidad I
• Aplica las distintas propiedades de
potenciación y radicación de números reales
para la solución de problemas.
• Clasifica las expresiones algebraicas,
monomios, binomios, trinomios y
polinomios.
• Resuelve operaciones algebraicas entre
monomios y polinomios.
• Reconoce los productos notables más
usuales y los utiliza para la resolución de
problemas.
• Identifica los principales métodos que se
usan para dividir polinomios, método de
Horner y método de Ruffini.
Unidad II
• Utiliza adecuadamente los cocientes notables
para el desarrollo de problemas algebraicos.
• Emplea los métodos de factorización y los
relaciona con los productos notables.
• Representa gráficamente los números
complejos y usa adecuadamente sus
propiedades.
• Identifica las distintas representaciones de
los números complejos, forma binómica,
forma polar y forma trigonométrica.
• Resuelve ecuaciones de segundo grado,
usando la fórmula general y los métodos de
factorización.
Unidad III
• Resuelve inecuaciones lineales,
identificando el conjunto solución de las
mismas.
• Usa los métodos para la solución de
inecuaciones cuadráticas.
• Utiliza las propiedades de valor absoluto
para dar la solución de ecuaciones e
inecuaciones
• Emplea las propiedades del logaritmo para
resolver ejercicios de aplicación.
• Reconoce las relaciones que se pueden dar
entre los números reales y los representa en
el diagrama sagital.
Unidad IV
• Interpreta pas diferencias entre relaciones y
funciones, señalando su dominio y su rango.
• Grafica mediante tabulación las distintas
funciones que se presentan.
• Identifica la gráfica y el comportamiento de
las funciones, monotonía de funciones.
• Conoce las aplicaciones de las funciones en
la vida real.
• Identifica la regla de correspondencia y la
gráfica de las funciones más usuales.
Actualmente, nuestro planeta pasa por cambios muy graves debido al uso indiscriminado de los
recursos naturales de nuestro medioambiente. Esto ha traído como consecuencia la destrucción de
ecosistemas, espacios vitales para los seres vivos que habitan en cada uno; por ello, es necesario co-
menzar a tomar medidas para revertir esta problemática. ¿Qué acciones debemos ejercer?
Nuestro deber como ciudadanos es actuar de forma responsable, practicando acciones que contribu-
yan con la protección del planeta en el que vivimos.
Ambiental
Enfoque transversal
Solidaridad planetaria
Naturaleza
Valores
Desempeños
• ¿Crees que es importante concientizar a la población acerca del calentamiento global? ¿Por qué?
• Actualmente, ¿crees que la sociedad se preocupa por los problemas ambientales? Explica. ¿Qué
podemos hacer para contribuir con el cuidado del medioambiente?
Álgebra
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71
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El contenido del libro está dividido por áreas: Aritmética, Álgebra y Geometría, lo cual
ayudará al alumno a comprender con exactitud cada tema trabajado en clase.
Sistemas de numeración
Es el conjunto de reglas y leyes que permiten
la formación de la escritura y de la lectura de
números.
Principios
1. La cifra que forma parte de un numeral tiene
asociado un orden y un lugar. Recuerda que, el
orden se cuenta de derecha a izquierda a partir
de 0 y; mientras el lugar de la cifra se cuenta de
izquierda a derecha a partir de 1.
Ejemplo:
Orden
4 3 2 1 0
4 8 3 0 6
1 2 3 4 5
Lugar
2. La base de un sistema de numeración siempre
será mayor que 1.
3. Toda cifra que forma parte del numeral, es me-
nor que la base.
Ejemplo:
16 unidades en base 3
1 conjunto
de 3 decenas
2 conjunto
de 3 unidades
1 unidad
1 2 1(3)
Fidel entrena para ganar la medalla de oro en el
campeonato de lanzamiento de bala que orga-
niza la provincia en donde vive. Previo a partici-
par en el campeonato, debe competir con otros
deportistas y ser elegido como representante
de su escuela, por ello, Fidel realiza una rutina
de ejercicios de 212 minutos, esta consiste en
realizar 25 planchas, 80 saltos, entre otros más.
¿Él número 212 es capicúa? ¿Cómo se expresaría
este en el sistema nonario?
Principales sistemas de numeración
Entre los principales sistemas tenemos:
Base Nombre Cifras a utilizar
2 Binario 0; 1
3 Terciario 0; 1; 2
4 Cuaternario 0; 1; 2; 3
5 Quinario 0; 1; 2; 3; 4
6 Senario 0; 1; 2; 3; 4; 5
7 Heptanario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
8 Octanario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
9 Nonario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
10 Decimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
11 Undecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10
12 Duodecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11
Debemos tener en cuenta lo siguiente:
1. En una igualdad de numerales se cumple que
el mayor numeral aparente tendrá menor base
y viceversa.
Ejemplos:
• 104(m) = 1000(n)
Se cumple que n < m pues 1000 > 104
• 41(p) = 53(q)
Se cumple que q < p, pues 53 > 41
2. Un numeral de base n puede usar cifras cuyo
valor es como máximo: 0; 1; 2; …; (n – 1)
Ejemplo:
• 1111(12)
• 99(10) = 99
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Apertura del área
Presenta situaciones retadoras gracias a las cuales movilizarás tus habilidades,
destrezas, valores y afectos a través del diálogo y la apreciación personal.
Título del área
Presenta los aprendizajes
esperados.
Formula
preguntas para
orientar el análisis
de la imagen
Presenta
un texto
motivador
Se presenta un
conflicto cognitivo
relacionado con el
enfoque transversal.
Nos proponemos
lograr metas
trabajando en equipo
Unidad I
• Resuelve problemas de conjuntos como:
unión, diferencia, intersección y diferencia
simétrica.
• Interpreta proposiciones lógicas haciendo
uso de los conectores lógicos.
• Efectúa problemas en donde intervienen
proposiciones lógicas, haciendo uso de las
leyes de la lógica proposicional.
• Identifica numerales escritos en otras bases
y efectúa conversiones de una base a otra.
• Construye e interpreta tablas de distribución
de frecuencias para datos no agrupados
• Interpreta los conceptos básicos como
intervalos de clase, ancho de clase, marca de
clase, etc., para la construcción de tablas de
frecuencias de datos agrupados.
Unidad II
• Reconoce los criterios de divisibilidad y
resuelve problemas por medio de dichos
criterios.
• Elabora conceptos y relaciona las
propiedades sobre números primos.
• Resuelve problemas aplicando correctamente
las propiedades de MCD y MCM.
• Interpreta las distintas propiedades de los
números racionales y resuelve problemas
relacionados con los números racionales.
• Representa datos estadísticos mediante
gráficos como circular, barras, histogramas, etc.
• Resuelve problemas en los que debe
calcular la tendencia central sobre la
media, mediana y moda; tanto para datos
agrupados como no agrupados.
Unidad III
• Reconoce las propiedades fundamentales
del conjunto de los números reales.
• Analiza los datos disponibles en la aplicación
de las propiedades sobre razones y
proporciones.
• Emplea procedimientos matemáticos para
resolver problemas relacionados al reparto
proporcional.
• Identifica gráficos y expresiones
matemáticas referentes a magnitudes
proporcionales.
• Interpreta postulados y teoremas basados
en el análisis combinatorio.
• Determina el valor de la desviación media,
estándar y varianza de los datos expresados
en una tabla de frecuencias.
Unidad IV
• Elabora diseños y esquemas para la
aplicación de la regla se tres simple o
compuesta.
• Identifica las reglas de descuento y aumento
sucesivos referente al tanto por ciento en
aplicaciones comerciales.
• Establece relaciones entre datos y las
transforma a expresiones que incluyen la
media aritmética, geométrica y armónica.
• Selecciona la estrategia conveniente para
resolver problemas que involucran mezclas y
aleaciones.
• Examina propuestas de modelos de
probabilidad condicional que involucran
eventos aleatorios.
El ser humano por naturaleza busca siempre ir mejorando, es por ello que es importante que se plantee retos y
trabaje de manera constante para cumplirlos.
El trabajo en equipo es un factor que permite a la persona alcanzar metas de forma más rápida, además le per-
mite ampliar sus conocimientos en distintos ámbitos.
Búsqueda de la excelencia
Enfoque transversal
Desempeños
Aritmética
Compañerismo, solidaridad
Valores
• ¿Crees que es importante el trabajo en equipo?
• ¿Sabes como trabajar adecuadamente en equipo?
• ¿De qué forma pueden apoyar los padres a sus hijos a lograr sus metas?
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Organizadores internos
Conociendo nuestro libro
Se integra el enfoque transversal y
los valores a trabajar en la unidad.
Cuando veas
los marcadores,
significa que te están
invitando a participar
de una experiencia
en REALIDAD
AUMENTADA, en
la que, además
de reforzar el
aprendizaje de la
unidad, te divertirás
mucho con esta
genial tecnología.

2.
Si: AB // CD // EF
Se cumple:
x =
a b
ab
+
A C E
D
F
B
a
b
x
Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes, si sus ángulos in-
teriores tienen igual medida y lados homólogos
son proporcionales.
Los lados homólogos son aquellos lados opuestos
a los ángulos de igual medida.
A α θ
β
C
B
+
α θ
β
P R
Q
La notación entre dos triángulos semejantes es:
∆ABC a ∆PQR
Se lee: El triángulo ABC es semejante al
triángulo PQR.
Los lados homólogos son:
AB y PQ; BC y QR; AC y PR
Se cumple:
PQ
AB
QR
BC
PR
AC
= =
De la misma manera que en la congruencia de
triángulos, la semejanza presenta los tres siguien-
tes criterios:
Caso 1: dos triángulos son semejantes, si tienen
al menos dos ángulos respectivamente de igual
medida.
A α θ
C
B
α θ
P R
Q
En el gráfico se tiene:
m∠BAC = m∠QPR y m∠BCA = m∠QRP
⇒ ∆ABC a ∆PQR
Caso 2: dos triángulos son semejantes, si tienen
un ángulo de igual medida y la longitud de los
lados que se determinan entre dicho ángulo son
respectivamente proporcionales.
A θ
B
C
a
a
b
b
P
R
Q
θ
n
n
m
m
En la figura:
m∠BCA = m∠QRP ∧
n
b
m
a
=
⇒ ∆ABC a ∆PQR
Caso 3: dos triángulos son semejantes, si las
longitudes de sus lados son respectivamente
proporcionales.
A
B
C
b
b
a
a
c
c
P
R
Q
q
q
p
p
r
r
En la figura:
p
a
q
b
r
c
= =
⇒ ∆ABC a ∆PQR
Observación
Al trazar una recta paralela a uno de sus lados, se
forma un triángulo parcial semejante al total.
• Si L1 // AC
A
C
B
P
Q
L1
β
α
α
θ
θ
∆ABC a ∆PBQ
• Si L1 // AC
A
C
B
α
β
θ
θ α
P Q
L1
∆ABC a ∆QBP
147
Geometría
Unid
ad
2
Prohibid
a
la
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cción
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o
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cualquie
r
medio
o
procedi
miento
sin
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expreso
de
la
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l.
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1
c. Identidad de Cauchy:
Esta identidad se da al factorizar algunos
elementos de la suma o diferencia al cubo
• Suma
(a + b)3
= a3
+ b3
+ 3ab(a + b)
• Resta
(a – b)3
= a3
– b3
– 3ab(a – b)
d. Identidad de Stevin:
Es también conocido como identidad de
equivalencia.
(x + a)(x + b) = x2
+ (a + b)x + ab
e. Identidad trinómica de Árgan'd:
(a2n
+ an
+ 1)(a2n
– an
+ 1) = a4n
+ a2n
+ 1
f. Identidad de Lagrange:
Es aquel producto de la suma de cuadrados,
como lo mostramos a continuación:
(a2
+ b2
)(x2
+ y2
) = (ax + by)2
+ (ay – bx)2
g. Identidades condicionales:
Dados a; b y c
Si a + b + c = 0, entonces:
a2
+ b2
+ c2
= –2(ab + bc + ac)
a3
+ b3
+ c3
= 3abc
a4
+ b4
+ c4
=2(ab + bc + ac)2
6. Propiedades auxiliares
a. Si a2n
+ b2n
+ c2n
= 0 ∀ n ∈ ℤ+
& a = b = c = 0
b. Si a b c
n n n
2 2 2
+ + = 0; ∀ n ∈ ℤ+
& a = b = c = 0
c. Si a b c
m m m
+ + = –(dn
+ en
+ fn
)
Además : m y n son pares
& a = b = c = 0 ∧ d = e = f = 0
d. En todo T.C.P. se cumple que su discrimi-
nante es igual a 0, es decir:
∆ = 0 ∨ b2
– 4ac = 0
& b2
= 4ac
1. Determina el valor de la siguiente expresión:
L = (x + 4)(x + 2) – (x + 3)2
Por la identidad de Stevin tenemos:
(x + 4)(x + 2) = x2
+(4 + 2)x + 4(2)
& (x + 4)(x + 2) = x2
+ 6x + 8
Por el binomio al cuadrado:
(x + 3)2
= x2
+ 2(3)(x) + 32
= x2
+ 6x + 9
& (x + 3)2
= x2
+ 6x + 9
Reemplazando en L:
L = x2
+ 6x + 8 – (x2
+ 6x + 9)
L = x2
+ 6x + 8 – x2
– 6x – 9 = –1
& L = –1
2. Reduce la siguiente expresión:
P = (m + n)(m – n)(m2
+ n2
) + (m4
+ n4
) – 1
Por diferencia de cuadrados:
(m + n)(m – n) = m2
– n2
La expresión quedaría:
(m2
– n2
)(m2
+ n2
) + (m4
+ n4
) –1
Nuevamente aplicamos diferencia de
cuadrados:
(m2
– n2
)(m2
+ n2
) = m4
– n4
Finalmente:
P = m4
– n4
+ m4
+ n4
– 1
& P = 2m4
– 1
3. Halla el equivalente de la siguiente expresión:
R = a3
– 3ab(b – a) – b3
+ 3ab2
– 3a2
b + 2b3
Desarrollamos:
3ab(b – a) = 3ab2
– 3a2
b
Entonces R queda de la siguiente manera:
R = a3
– 3ab2
+ 3a2
b – b3
+ 3ab2
– 3a2
b + 2b3
& R = a3
– b3
+ 2b3
= a3
+ b3
Por lo tanto
R = a3
+ b3
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Álgebra
para
análisis
en
o
el
sal.
Los ejercicios resueltos
son ejemplos de como
se deben resolver los
problemas referidos a
los temas propuestos.
Para el desarrollo
del libro se
presentan
secciones
diferenciadas
por medio de
unidades.
Este es tu Texto Escolar,
no escribas en él. Para
practicar usa tu Libro de
Actividades.
Cajitas adicionales
Dato histórico: brinda información histórica
que narra hechos o personajes matemáticos
que influyeron a lo largo del tiempo.
Enlace: como su nombre lo dice, vincula lo
trabajado con contenidos afines.
Dato importante: brinda información
sustancial al tema trabajado.
En 5 minutos: propone actividades sen-
cillas que deberás realizar en el aula.
TIC: sug
encontr
cionada
Metacognición: son preguntas formu-
ladas para que reflexiones sobre tu
propio aprendizaje.
Sabías que... presenta datos curiosos
que brindan información complemen-
taria al tema.
En 5 minutos
Indica cuál de los enunciados son correctos.
•
• Seno y secante no son R.T. recíprocas
•
• Cotangente y tangente son R.T. recíprocas
•
• Coseno y secante no son R.T. recíprocas
Ingresa al link donde encontrarás un video que
amplía la información sobre las R.T. de ángulos
cuadrantales:
https://www.youtube.com/
watch?v=yH0bCp_zpaw&t=1085s
Enlace
Ingres
amplí
Pitágoras fue un filósofo y matemático griego.
Nació en la isla de Samos en el año 497 a. C., fue
discípulo de Tales de Mileto y perteneció a su
escuela, hizo aportes al campo matemático los
cuales son muy importantes hasta la actualidad;
un ejemplo de sus aportes es el teorema de
Pitágoras.
Dato histórico Dato importante
Para ubicar un punto P(x;y) en el plano
cartesiano, primero debemos reconocer el
signo de la abscisa y la ordenada para de
esta manera saber en que cuadrante se
encuentra.
Metacognición
•
• ¿Qué aprendí?, ¿cómo aprendí?
•
• ¿Qué dificultades tuve?, ¿cómo las su-
peré?
•
• ¿Para que me sirve lo aprendido en este
tema?
El teorema de Pitagoras es una herramienta
muy usada en la resolución de problemas que
involucran las R.T. de ángulos agudos.
Sabías que...
•
QR
BQ
QP
AQ
=
B A
P R
Q
L
b. Teorema de la bisectriz interior: en todo trián-
gulo al trazar la bisectriz interior relativa a un
lado, sobre dicho lado se determina segmentos
proporcionales a los otros dos.
b
a
n
m
=
a b
x
α α
α
m
m n
n
c. Teorema de la bisectriz exterior: en todo trián-
gulo al trazar la bisectriz exterior relativa a un
lado, sobre la prolongación de dicho lado se
determinan segmentos proporcionales a los
otros dos lados.
v
v
A D
B
b
c u
a
α
α
C
a
b
u
v
= v = c + u
Propiedades principales:
1.
α
α
A
B
a
N
m C
n
Se cumple:
a2 = m × n
Proporcionalidad y semejanza
La razón geométrica de segmentos se da me-
diante el cociente de las longitudes, cuando estas
están expresadas en la misma unidad de medida.
P Q S V
5u
5u 8u
8u
Entonces se tiene:
SV
PQ
u
u
8
5
= &
SV
PQ
8
5
=
De manera general tenemos:
W R L M
p
p q
q
LM
WR
q
p
=
Teorema de Thales
Si dos rectas cualesquiera, intersectan a dos o más
rectas paralelas, entonces dichas rectas paralelas
determinan sobre las dos rectas dadas, segmen-
tos respectivamente proporcionales.
BC
AB
EF
DE
=
A
a b
L1
L2
L3
D
B E
C F
Se cumple lo siguiente:
AC
AB
DF
DE
= AC
BC
DF
EF
=
a. Consecuencias del teorema de Tales
Dado el triángulo PQR y la recta L paralela a
PR se tiene:
• Q
P
A B
L
R
AP
QA
BR
QB
=
Ángel y Ana viven en pueblos distintos, los cuales
quedan en lo alto de montañas contiguas, sin em-
bargo, ambos tienen que bajar hacia el pie de la
montaña, pues solo por ese lugar pasa el río en el
cual alimentan a sus vacas. Ana llega mucho más
rápido que Ángel, pues la altura de la montaña
donde ella vive es la mitad de la altura de la mon-
taña donde vive Ángel.
¿Ángel recorre lo mismo que recorre Ana para
llegar al río? ¿Cuál es la diferencia entre ambos
recorridos?
Proporcionalidad y semejanza
146
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3. Binomio al cubo
Mostramos los siguientes casos:
a. Suma al cubo
Esteproductonotableresultademultiplicarle
un (a + b) al resultado de la suma al cuadrado
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
b. Diferencia al cubo
Esteproductonotableresultademultiplicarle
un (a − b) al resultado de la diferencia al
cuadrado
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
4. Suma y diferencia de cubos
Este resultado viene dado por el producto de
factores que tienen la siguiente forma:
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3
5. Identidades adicionales
a. Identidad de Legendre:
Al realizar operaciones básicas como suma
o diferencia a los productos notables
anteriores, nos da como resultado las
siguientes variaciones:
• Primera variación
(a + b)2 + (a – b) 2 = 2(a2 + b2)
• Segunda variación
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
b. Trinomio al cuadrado:
Tiene el siguiente desarrollo:
(a + b + c)2 =a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)
Productos notables
Son productos los cuales se obtienen de forma
directa, sin necesidad de efectuar la propiedad
distributiva debido a la forma característica que
presentan.
1. Multiplicación algebraica
Sea x, a, b ∈ ℝ se cumple lo siguiente:
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Polinomios multiplicados Producto
Ejemplo :
Resuelve la siguiente multiplicación algebraica:
M = (x + 7)(x – 5)
Por fórmula tenemos:
(x + 7)(x – 5) = x2 +(7+(–5))x + 7(–5)
& (x + 7)(x – 5) = x2 + 2x – 35
Finalmente:
M= x2 + 2x – 35
2. Binomio al cuadrado:
Tenemos los siguientes casos:
a. Suma al cuadrado
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b. Diferencia al cuadrado
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Al desarrollo del binomio al cuadrado se le
denomina trinomio cuadrado perfecto.(T.C.P.)
Observación: para todo n ∈ ℕ se tiene:
(a – b)2n = (b – a)2n
El dióxido de carbono es el principal responsable
del efecto invernadero. Este se concentra en la at-
mósfera debido al uso de combustible fósiles para
procesos industriales y medios de transporte.
Carmela desea construir una maqueta para re-
presentar otros gases de efecto invernadero. La
maqueta tiene de largo (a + b)2 cm y de ancho
(a2 + b2 + 2ab) cm.
¿La maqueta tendrá forma cuadrada?
¿Qué productos notables conoces?
Productos notables
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78

ARITMÉTICA
1
Nos proponemos
lograr metas
trabajando en
equipo
6 - 7
Valores
Compañerismo,
solidaridad
Enfoque
tranversal
Búsqueda de la
excelencia
Lógica proposicional 9
Conjuntos 12
Sistema de numeración 16
Tabla de frecuencias para
datos agrupados y no agrupados 19
2
Divisibilidad 23
Números primos y compuestos 26
Máximo común divisor y
mínimo común múltiplo 29
Número racionales (ℚ) 32
Gráficos estadísticos 34
Medidas de tendencia central 37
3
Números reales (ℝ) 42
Razones y proporciones 45
Reparto proporcional 48
Magnitudes proporcionales 50
Análisis combinatorio 52
Medidas de dispersión 55
4
Regla de tres simple y compuesta 59
Porcentajes 61
Regla de interés 63
Mezcla y aleación 65
Probabilidades 67
ÁLGEBRA
1
Tomamos
medidas
necesarias para
mejorar nuestro
planeta
70 - 71
Valores
Solidaridad
planetaria
Naturaleza
Enfoque
tranversal
Ambiental
Exponentes y radicales 73
Polinomios 75
Productos notables 78
División algebraica 81
2 Cocientes notables 85
Factorización 88
Introducción a los números complejos 91
Ecuaciónes de segundo grado 94
3
Inecuaciones lineales y cuadráticas 97
Ecuaciones e Inecuaciones
con valor absoluto 100
Logaritmos 102
Relaciones binarias 104
4 Funciones I 108
Funciones II 111
Funciones especiales 113
1
2
3
4
Comp
Capa

GEOMETRÍA
1
Compartimos
nuestras
costumbres y
valoramos la
diversidad de
nuestro país
116- 117
Valores
Identidad,
respeto
Enfoque
tranversal
Intercultural
Ángulos entre rectas
paralelas y secantes 119
Triángulos 121
Líneas notables en el triángulo 125
Puntos notables en el triángulo 128
Congruencia de triángulos 131
2
Polígonos 135
Cuadriláteros 138
Circunferencia 141
Ángulos asociados a la
circunferencia 144
Proporcionalidad y semejanza 146
Relaciones métricas
en el triángulo 149
3
Relaciones métricas
en la circunferencia 153
Área de regiones triángulares 155
Área de regiones cuadrangulares 157
Área de regiones circulares 159
Geometría del espacio 161
Ángulos poliedros 164
4 Sólidos geométricos 168
Prisma y pirámide 171
Sólidos de revolución 173
Competencias
• Resuelve problemas de
cantidad
regularidad, equivalencia
y cambio
movimiento, forma y
localización
• Resuelve problemas
de gestión de datos e
incertidumbre
Capacidades
• Traduce cantidades a
expresiones numéricas
• Comunica su
comprensión sobre
los números y las
operaciones
• Usa estrategias y
procedimientos de
estimación y cálculo
• Argumenta afirmaciones
sobre las relaciones
numéricas y las
operaciones
• Traduce datos
y condiciones a
expresiones algebraicas
• Comunica su
comprensión sobre las
relaciones algebraicas
procedimientos para
encontrar reglas
generales
sobre relaciones de
cambio y equivalencia
• Modela objetos con
formas geométricas y sus
transformaciones
• Comunica su
comprensión sobre
las formas y relaciones
geométricas
procedimientos para
orientarse en el espacio
sobre relaciones
geométricas
• Representa datos con
gráficos y medidas
estadísticas o
probabilísticas
• Comunica la
comprensión de los
conceptos estadísticos y
probabilísticos
procedimientos para
recopilar y procesar datos
• Sustenta conclusiones
o decisiones en base a
información obtenida

Nos proponemos
lograr metas
trabajando en equipo
Unidad I
• Resuelve problemas de conjuntos como:
unión, diferencia, intersección y diferencia
simétrica.
• Interpreta proposiciones lógicas haciendo
uso de los conectores lógicos.
• Efectúa problemas en donde intervienen
proposiciones lógicas, haciendo uso de las
leyes de la lógica proposicional.
• Identifica numerales escritos en otras bases
y efectúa conversiones de una base a otra.
• Construye e interpreta tablas de distribución
de frecuencias para datos no agrupados
• Interpreta los conceptos básicos como
intervalos de clase, ancho de clase, marca de
clase, etc., para la construcción de tablas de
frecuencias de datos agrupados.
Unidad II
• Reconoce los criterios de divisibilidad y
resuelve problemas por medio de dichos
criterios.
• Elabora conceptos y relaciona las
propiedades sobre números primos.
• Resuelve problemas aplicando correctamente
las propiedades de MCD y MCM.
• Interpreta las distintas propiedades de los
números racionales y resuelve problemas
relacionados con los números racionales.
• Representa datos estadísticos mediante
gráficos como circular, barras, histogramas, etc.
• Resuelve problemas en los que debe
calcular la tendencia central sobre la
media, mediana y moda; tanto para datos
agrupados como no agrupados.
El ser humano, por naturaleza, busca siempre ir mejorando, es por ello, que es importante que se plantee retos y
trabaje de manera constante para cumplirlos.
El trabajo en equipo es un factor que permite a la persona alcanzar metas de forma más rápida; además, le per-
mite ampliar sus conocimientos en distintos ámbitos.
Búsqueda de la excelencia
Enfoque transversal
Desempeños
Compañerismo, solidaridad
Valores
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1 LOGICA PROPORCIONAL 3ERO - TEXTO.indd 6 24/01/2020 22:45:06

Unidad III
• Reconoce las propiedades fundamentales
del conjunto de los números reales.
• Analiza los datos disponibles en la aplicación
de las propiedades sobre razones y
proporciones.
• Emplea procedimientos matemáticos para
resolver problemas relacionados al reparto
proporcional.
• Identifica gráficos y expresiones
matemáticas referentes a magnitudes
proporcionales.
• Interpreta postulados y teoremas basados
en el análisis combinatorio.
• Determina el valor de la desviación media,
estándar y varianza de los datos expresados
en una tabla de frecuencias.
Unidad IV
• Elabora diseños y esquemas para la
aplicación de la regla se tres simple o
compuesta.
• Identifica las reglas de descuento y aumento
sucesivos referente al tanto por ciento en
aplicaciones comerciales.
• Establece relaciones entre datos y las
transforma a expresiones que incluyen la
media aritmética, geométrica y armónica.
• Selecciona la estrategia conveniente para
resolver problemas que involucran mezclas y
aleaciones.
• Examina propuestas de modelos de
probabilidad condicional que involucran
eventos aleatorios.
Aritmética
• ¿Crees que es importante el trabajo en equipo?
• ¿Sabes como trabajar adecuadamente en equipo?
• ¿Cómo el trabajo en equipo ayuda a los estudiantes a lograr sus metas?
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UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
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ARITMÉTICA

Lógica proposicional
Lógica proposicional
Es una oración que se caracteriza por tener la pro-
piedad de ser verdadera o falsa, pero no ambas a
la vez; aquellas que asumen ambos valores según
las variables, se le llaman enunciados abiertos.
Ejemplos:
• Cristóbal Colón descubrió América.
• Lima fue fundada el 18 de enero de 1532.
• x + 3 = 8 es un enunciado abierto (si x = 5 es
verdadera, si x = 4, es falsa.)
Notación
Una proposición lógica se representa mediante
letras minúsculas: p, q, r, s, t,….
• p: Lima es la capital del Perú.
• q: Todo conjunto vacío no tiene elementos.
Si el valor de verdad de una proposición lógica es
verdadero, se le asigna la letra «V» y si es falsa, se
le asigna la letra «F».
Ejemplos:
• p: 2 es un número primo. (V)
• q: El conjunto vacío tiene al menos un
elemento. (F)
Tipos de proposiciones
Las proposiciones lógicas pueden ser:
a. Simples o atómicas: Son aquellas que se consti-
tuyen por una sola proposición, no lleva conec-
tivos lógicos, ni la negación.
Ejemplos:
• 2020 es un año bisiesto.
• 24 es un número divisible entre 6.
b. Compuestas o moleculares: Son aquellas que
están formadas por dos o más proposiciones
simples unidas mediante conectores lógicos.
Fernanda desea ingresar al equipo de vóley
de la escuela, por esta razón entrena de forma
constante para mejorar su rendimiento.
Mirtha, su madre, busca motivarla en su objetivo,
por eso coloca algunos afiches en su cuarto con
las frases: «¡Sigue adelante!», «Si entrenas con
esmero lograrás tu objetivo». ¿De qué forma
apoya Mirtha a su hija?
¿Cuál de las frases anteriores se consideran
proposiciones?
Ejemplos:
• Machu Picchu se ubica en Cusco y fue
construida por los Incas.
Esta proposición está formada por:
p: Machu Picchu se ubica en Cusco.
q: Machu Picchu fue construida por los Incas.
• Si 24 es par, entonces es divisible entre 2.
Esta proposición está formada por:
p: 24 es un número par.
q: 24 es divisible entre 2.
Conectivos lógicos
Son aquellos símbolos que reemplazan a los co-
nectores lógicos gramaticales y al adverbio de ne-
gación «no». Se muestran en la siguiente tabla:
Lenguaje común Símbolo Proposición
No es cierto que … ~ Negación
… y … ˄ Conjunción
… o … ˅ Disyunción
Si … entonces … → Condicional
… si y solo si… ↔ Bicondicional
Tipos de proposiciones compuestas
1. Negación (~): Para una proposición «p», la ne-
gación de p, se denota por ~p y se lee : «no p»,
o «no es cierto que p», que la convierte en falsa
cuando es verdadera y en verdadera cuando es
falsa, su tabla de verdad viene dada por:
p ~p
V F
F V
9
Aritmética
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Ejemplo:
• p: Mi polo es de color rojo.
• ~p: Mi polo no es de color rojo.
2. Conjunción (˄): Proposición compuesta por
dos proposiciones simples p y q, que se rela-
cionan mediante el conector "y", se denota
por «p ˄ q» y se lee «p y q», su tabla de ver-
dad viene dada por:
p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Ejemplo:
• p: 28 es un número divisible por 4
• q: 28 es divisible por 11
Entonces:
• p ˄ q: 28 es un número divisible por 4 y por 11.
• El valor de verdad de esta proposición es:
V ˄ F = F
3. Disyunción (˅): Proposición compuesta por dos
proposiciones simples «p» y «q», que se relacionan
mediante el conector «o». Se denota por p ˅ q y se
lee «p o q», su tabla de verdad viene dada por:
p q p ˅ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Ejemplo:
• q: 28 es divisible por 11
Entonces:
• p ˅ q: 28 es un número divisible por 4 o por 11.
V ˅ F = V
4. Condicional (→): Proposición compuesta por
dos proposiciones simples «p» y «q», que se re-
lacionan mediante el conector «Si … entonces
…». Se denota por p → q y se lee «Si p entonces
q», su tabla de verdad viene dada por:
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
Ejemplo:
• q: 28 es un número compuesto
Entonces:
• p → q: Si 28 es un número divisible por 2
entonces es 28 un número compuesto.
V → V = V
5. Bicondicional (↔): Proposición compuesta por
dos proposiciones simples «p» y «q», que se re-
lacionan mediante el conector «si y solo si». Se
denota por p ↔ q y se lee «p si y solo si q». Su
tabla de verdad viene dada por:
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Ejemplo:
• p: Un triángulo es equilátero
• q: Un triángulo es equiángulo
Entonces:
• p ↔ q: Un triángulo es equilátero si y solo si
es equiángulo
V ↔ V = V
En general, el número de valores de verdad que
se asigna a cada variable resulta de aplicar la fór-
mula 2n, donde n es el número de variables pro-
posicionales que hay en el esquema molecular.
Esquemas moleculares
Un esquema molecular es la agrupación de pro-
posiciones y conectivos lógicos. Para encontrar
el valor de verdad de un esquema molecular,
es necesario determinar los valores de verdad a
partir de cada una de las variables proposicio-
nales, los esquemas pueden ser:
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a. Tautología: Cuando todos los valores de verdad
del resultado final de la tabla son verdaderos.
b. Contradictorios: Cuando todos los valores de
verdad del resultado final de la tabla son falsos.
c. Contingencia: Cuando en el resultado final hay
por lo menos una verdad y una falsedad.
Ejemplos:
Clasifica los siguientes esquemas moleculares
a partir de la clasificación anterior.
a. ~p ˅ (~q → p)
p q ~p ˅ (~q → p)
V V F V F V V
V F F V V V V
F V V V F V F
F F V V V F F
Por lo tanto, es tautología
b. (p ˅ q) → ~q
p q (p ˅ q) → ~q
V V V V V F F
V F V V F V V
F V F V V F F
F F F F F V V
Por lo tanto, es contingencia.
Leyes de la lógica proposicional
1. Idempotencia
p ˅ p = p p ˄ p = p
2. Conmutativa
p ˅ q = q ˅ p p ˄ q = q ˄ p
3. Asociativa
(p ˅ q) ˅ r = p ˅ (q ˅ r)
(p ˄ q) ˄ r = p ˄ (q ˄ r)
4. Distributiva
p ˅ (q ˄ r) = (p ˅ q) ˄ (p ˅ r)
p ˄ (q ˅ r) = (p ˄ q) ˅ (p ˄ r)
Ejercicios resueltos
1. Expresa de manera simbólica la siguiente
expresión:
"Si estudias todos los días, entonces tendrás
buenas notas y obtendrás el primer puesto".
Sean:
p: estudias todos los días
q: tendrás buenas notas
r: obtendrás el primer puesto
Formalizando:
p → (q ˄ r)
2. Establece el valor de verdad de:
p ˄ (~q ˄ ~p)
p q p ˄ (~q ˄ ~p)
V V V F F F F
V F V F V F F
F V F F F F V
F F F F V V V
Notemos que en este caso el esquema mo-
lecular resulta ser una contradicción.
3. Indica si el esquema molecular de:
[p → (q ∨ p)] ∧ q
Es tautología, contradicción o contingencia.
p q [p → (q ∨ p)] ∧ q
V V V V V V V V V
V F V V F V V F F
F V F V V V F V V
F F F V F F F F F
Luego, el esquema molecular es una con-
tingencia.
11
Aritmética
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Unidad
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Conjuntos
Conjuntos
Colección de elementos con características simi-
lares. Los elementos de un conjunto pueden ser:
personas, números, colores, letras, figuras, entre
otros.
Para representar a un conjunto se utilizan las le-
tras mayúsculas: A, B, C y, para denotar sus ele-
mentos, se usan letras o números separados por
punto y coma.
Ejemplo:
.20 .35 .15
.10 .40 .30
.45 .25 .5
A
A = { 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45}
Relación de pertenencia
Es una relación que se da entre el elemento y el
conjunto, sirve para identificar si un elemento for-
ma parte de un conjunto determinado.
Notación:
Cuando un elemento «x» pertenece a un conjunto
A se denotará por "x ∈ A", caso contrario se deno-
tará como "x ∉ A "
Ejemplo:
Sea el conjunto:
A = {5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45}
• 5 ∈ A
• 45 ∈ A
• 10 ∈ A
• 50 ∉ A
• 25 ∈ A
• 0 ∉ A
• 40 ∈ A
• 32 ∉ A
Santiago finalizó el año escolar con sobrepeso,
es por ello que durante las vacaciones llevó una
dieta estricta acompañada de una alimentación
balanceada. La dieta estaba conformada por ve-
getales, frutas, pescado y otros tipos de carne. Al
finalizar las vacaciones notó que la dieta había
funcionado, pues Santiago había bajado de peso.
¿De qué forma construirías un diagrama de
Venn que represente los alimentos de una die-
ta balanceada?
Determinación de un conjunto
Un conjunto se puede expresar de dos maneras:
a. Extensión: Cuando se nombra explícitamente
cada uno de los elementos que pertenecen al
conjunto.
Ejemplo:
A = {0; 2; 4, 6; 8}
b. Comprensión: Cuando se indica una propie-
dad o una característica de los elementos del
conjunto.
Ejemplo:
A = { x/x ∈ N ^ x es par menor que 10}
Cardinal de un conjunto
Dado un conjunto A, el cardinal de A es la cantidad
de elementos que posee el conjunto, se denota
por n(A) y se lee "el cardinal de A".
Ejemplos:
• H = {0; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 5; 5; 6} ⇒ n(H) = 7
• T = {a; e; i; o; u} ⇒ n(T) = 5
Clases de conjuntos
1. Conjunto finito
Es aquel conjunto que tiene una cantidad finita
de elementos.
Ejemplo:
T = { x/x es número primo menor que 12}
T = {2; 3; 5; 7; 11}
⇒ n(T) = 5
2. Conjunto infinito
Es aquel conjunto que tiene infinitos elemen-
tos.
Ejemplo:
T = { x/x es número par}
T = {0; 2; 4; 6; 8;…}
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2 CONJUNTOS ARITMETICA 3ERO - TEXTO.indd 12 24/01/2020 22:45:14

3. Conjunto vacío
Es aquel conjunto que no tiene elementos, se
le denota por: Ø, { }
Ejemplo:
R = { x/x ∈ N ^ 0 < x < 1} = { }
4. Conjunto unitario
Es aquel conjunto que posee un solo elemento.
Ejemplo:
P = { x/x es un número que es par y primo} = {2}
5. Conjunto universal
Conjunto de referencia que se elige de modo
que contenga a todos los elementos conside-
rados.
Ejemplo:
R = {0; 2; 4; 6; 8; 10}
Un conjunto universal (U), será:
U = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
6. Conjunto potencia
Es aquel conjunto formado por todos los posi-
bles subconjuntos del conjunto de referencia.
Para un conjunto A, su conjunto potencia se le
denota por P(A).
Ejemplo:
Si A = { 0; 1}, entonces:
P(A) = { Ø; { 0}; { 1}; { 0; 1} }
En general, para un conjunto finito A se cumple:
n [ P(A) ] = 2n(A)
Para el conjunto del caso anterior:
n [ P(A) ] = 2n(A) = 22 =4
Relaciones entre conjuntos
1. Inclusión:
Un conjunto A está incluido en un conjunto B,
si todos los elementos del conjunto A, también
son elementos del conjunto B.
Notación: A ⊂ B
A ⊂ B ; C ⊄ B
B C
.x
A
2. Igualdad:
Dos conjuntos son iguales, cuando comparten
los mismos elementos (cuando uno está inclui-
do en el otro y viceversa).
A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A
Ejemplos:
• A = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17}
• B = { x/x es un número primo menor que 18}
B = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17}
Entonces A = B
3. Conjuntos disjuntos:
Dos conjuntos A y B son disjuntos cuando no
tienen ningún elemento en común.
Ejemplo:
A = {x/ x es un número par}
B = {x/ x es un número impar}
A y B son disjuntos
Operaciones entre conjuntos
1. Unión (∪)
A ∪ B = { x/x ∈ A ∨ x ∈ B}
Gráficamente, se tienen los siguientes casos:
a. No disjuntos
A B
U
b. Disjuntos
U
A B
c. Comparables
U
B
A
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Unidad
1

2. Intersección (∩)
A ∩ B = { x/x ∈ A ∧ x ∈ B}
a. No disjuntos
A B U
b. Disjuntos
U
A B
c. Comparables
U
B
A
3. Diferencia (–)
A – B = { x/x ∈ A ⋀ x ∉ B}
a. No disjuntos
A B U
b. Disjuntos
U
A B
c. Comparables
U
B
A
4. Diferencia simétrica (△)
Tiene dos definiciones equivalentes, estas vie-
nen dadas por:
A △ B = { x/x ∈ (A ∪ B) ⋀ x ∉ (A ∩ B) }
A △ B = { x/x ∈ (A – B) ⋁ x ∈ (B – A) }
a. No disjuntos
A B U
b. Disjuntos
U
A B
c. Comparables
U
B
A
5. Complemento (Ac
)
Se define como:
A
c
= { x/x ∉ A }
Gráficamente
U
A
Dato importante
Dado cualquier conjunto A siempre se va a
cumplir:
A ∪ Ac = U
Donde U denota el conjunto universal.
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Principales leyes del álgebra de conjuntos
1. Unidad
A ∪ U = U A ∩ U = A
A ∪ Ø = A A ∩ Ø = Ø
2. Idempotencia
A ∪ A = A
A ∩ A = A
3. Conmutativa
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
4. Asociativa
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
5. Distributiva
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
6. De Morgan
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
1. Observa el conjunto:
C = {2; {2}; {2; 3}}
Determina el valor de verdad de las siguientes
proposiciones, justifica tu respuesta.
a. {2; 3} ⊂ C b. 3 ∈ C c. {2; {2; 3}} ⊂ C
a. Falso:
Al ser {2; 3} un elemento de C la relación
que hay entre ambos es de pertenencia
mas no de inclusión, por lo tanto {2; 3} ⊄ C.
b. Falso:
Pues los únicos elementos de C son:
2; {2}; {2; 3}
Por lo tanto, 3 ∉ C
c. Verdadero:
Al ser �{2}; {2; 3}� un subconjunto de
C entonces la relación que hay entre
ambos es de inclusión, por lo tanto:
�{2}; {2; 3}� ⊂ C
4. Si se sabe que:
n [ P (A ∩ B) ] = 4 n [ P (A – B) ] = 8
n [ P (A ∪ B) ] = 128
Calcula la cantidad de elementos de la potencia
del conjunto B.
• n [ P (A ∩ B) ] = 4 ⇒ 2 n (A ∩ B) = 22
⇒ n (A ∩ B) = 2
• n [ P (A – B) ] = 8 ⇒ 2 n (A – B)= 23
⇒ n (A – B) = 3
• n [P (A ∪ B) ] = 128 ⇒ 2 n [ (A ∪ B) ] = 27
⇒ n [ (A ∪ B) ]=7
Graficando:
A B U
.3 .x
.2
3 + 2 + x = 7 ⇒ 5 + x = 7 ⇒ x = 2
Piden la cantidad de elementos de la por-
tencia de B
2n(B) = 24 = 16
En el siglo XIX, en Europa, habían retoma-
do el estudio de la lógica Aristotélica y de
la lógica hecha por George Boole, fue en ese
tiempo que Augustus Morgan logra la for-
malización de las leyes correspondientes,
actualmente llamadas Leyes de Morgan.
Dato histórico
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
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Unidad
1

Es el conjunto de reglas y leyes que permiten
la formación de la escritura y de la lectura de
números.
Principios
1. La cifra que forma parte de un numeral tiene
asociado un orden y un lugar. Recuerda que, el
orden se cuenta de derecha a izquierda a partir
de 0 y; mientras el lugar de la cifra se cuenta de
izquierda a derecha a partir de 1.
Ejemplo:
Orden
4 3 2 1 0
4 8 3 0 6
1 2 3 4 5
Lugar
2. La base de un sistema de numeración siempre
será mayor que 1.
3. Toda cifra que forma parte del numeral, es me-
nor que la base.
Ejemplo:
16 unidades en base 3
1 conjunto
de 3 decenas
2 conjunto
de 3 unidades
1 unidad
1 2 1(3)
Fidel entrena para ganar la medalla de oro en el
campeonato de lanzamiento de bala que orga-
niza la provincia en donde vive. Previo a partici-
par en el campeonato, debe competir con otros
deportistas y ser elegido como representante
de su escuela, por ello, Fidel realiza una rutina
de ejercicios de 212 minutos, esta consiste en
realizar 25 planchas, 80 saltos, entre otros más.
¿Él número 212 es capicúa? ¿Cómo se expresaría
este en el sistema nonario?
Principales sistemas de numeración
Entre los principales sistemas tenemos:
Base Nombre Cifras a utilizar
2 Binario 0; 1
3 Terciario 0; 1; 2
4 Cuaternario 0; 1; 2; 3
5 Quinario 0; 1; 2; 3; 4
6 Senario 0; 1; 2; 3; 4; 5
7 Heptanario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
8 Octanario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
9 Nonario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
10 Decimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
11 Undecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10
12 Duodecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11
Debemos tener en cuenta lo siguiente:
1. En una igualdad de numerales se cumple que
el mayor numeral aparente tendrá menor base
y viceversa.
Ejemplos:
• 104(m) = 1000(n)
Se cumple que n < m pues 1000 > 104
• 41(p) = 53(q)
Se cumple que q < p, pues 53 > 41
2. Un numeral de base n puede usar cifras cuyo
valor es como máximo: 0; 1; 2; …; (n – 1)
Ejemplo:
• 1111(12) • 99(10) = 99
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3 SISTEMAS DE NUMERACION 3ERO - TEXTO.indd 16 24/01/2020 23:42:19

Valor absoluto y relativo
a. Valor absoluto (V.A): Es el valor que tiene la cifra
por su definición.
b. Valor relativo (V.R): Es el valor que toma la cifra
teniendo en cuenta la base y su respectivo orden.
Ejemplo:
En el siguiente numeral: 1234(5), se tiene:
V.A (1) = 1 V.R (4) = 4 × 50
V.A (2) = 2 V.R (3) = 3 × 51
V.A (3) = 3 V.R (2) = 2 × 52
V.A (4) = 4 V.R (1) = 1 × 53
Expresión literal de un número
Toda cifra de un numeral, se puede representar
por una letra del abecedario, sea minúscula o ma-
yúscula, cubriéndolas con una barra horizontal.
• pqn: Es cualquier número de dos cifras en la
base n.
• abcd: Es cualquier número de cuatro cifras en
la base 10.
• abc25: Es cualquier número de cinco cifras en
la base 10 que termina en 25.
Descomposición polinómica de un número
Es expresar el numeral como la suma de los valo-
res relativos de todas sus cifras, veamos:
Ejemplos:
• 1054(6) = V.R. (1) + V.R. (0) + V.R. (5) + V.R. (4)
1054(6) = 1 × 63 + 0 × 62 + 5 × 6 + 4 = 250
• 1054 (7) = V.R. (1) + V.R. (0) + V.R. (5) + V.R. (4)
1054 (7) = 1 × 73 + 0 × 72 + 5 × 7 + 4 = 382
Recuerda que la descomposición polinómica de
un numeral se puede realizar por bloques, veamos:
abcd(n) = ab × n2 + cd
Conversión de un numeral en base 10 a una
base n cualquiera
Se efectúa usando las divisiones sucesivas, para lo
cual se debe dividir el número entre la base n, si
el cociente es mayor o igual que n se divide nue-
vamente entre n y así hasta obtener un cociente
menor que n, el numeral se forma concatenando
el número formado por el último cociente y to-
dos los residuos de derecha a izquierda.
Ejemplo:
• Expresa 104 en base 5
Solución:
Por divisiones sucesivas se tiene:
104 5
4 20 5
0 4
⇒ 104 = 404 (5)
Conversión de un numeral de base n a base m
El proceso se reduce a expresa el número de base
n a base 10 y de base 10 a base m.
Ejemplo:
• Expresa 124(6) en base 5
Solución:
Convirtiendo 124(6) a base 10:
124(6) = 1 × 62 + 2 × 6 + 4 = 52
Luego, convirtiendo 52 en base 5, se tiene:
52 5
2 10 5
0 2
⇒ 124(6) = 202(5)
Propiedades fundamentales
1. Numeral con cifras de valor máximo
(n – 1) (n – 1) ... (n – 1)(n) = nk – 1
k cifras
2. Bases sucesivas
1a
1b
1c
1m(n)
= n + a + b + c + ... + m
...
Metacognición
•
•
superé?
•
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Unidad
1

1. Determina el valor de p, si se verifica que:
102(11) = 2p4(7)
Convirtiendo 102(11) a base 10, tenemos:
102(11) = 1 × 112 + 2 = 123
Convirtiendo 2p4(7) a base 10, tenemos:
2p4(7) = 2 × 72 + 7p + 4 = 102 + 7p
Igualando:
123 = 102 + 7p
21 = 7p
p = 3
2. Convierte el número 12425 a base 3.
Efectuando la descomposición polinómica:
1242(5) = 1 × 53 + 2 × 52 + 4 × 5 + 2
1242(5) = 125 + 50 + 20 + 2
1242(5) = 197
Luego, pasando a base 3 tenemos:
197 3
2 65 3
2 21 3
0 7 3
1 2
197 = 21022(3)
3. Se verifica la siguiente igualdad:
13 (14) (pq)
= 51(8)
Calcula pq + 4
Usando la propiedad fundamental
tenemos:
13 (14) (pq)
= 51(8)
� 13 (pq + 4) = 41
Luego, descomponiendo el numeral, se tiene:
pq + 4 + 3 = 41
� pq + 7 = 41
� pq = 34
� pq + 4 = 34 + 4 = 38
4. Expresa el numeral (a+2)(a+1)a en base 3, si se
cumple que:
11a31(4) = 15a(9) + 14aa(5)
Efectuando la descomposición polinómica
de cada uno de los elementos:
• 11a31(4) = 1×44+1×43+a×42+3×4+1
= 256+64+16a+12+1
⇒ 11a31(4) = 333 + 16a
• 15a(9) = 1×92+5×9+a
= 81+45+a
⇒ 15a(9) = 126 + a
• 14aa(5) = 1×53+4×52+a×5+a
= 125+100+5a+a
⇒ 14aa(5) = 225 + 6a
� 333+16a = (126+a) + (225+6a)
16a – 7a = 351 – 333
9a = 18
a = 2
Reemplazando tenemos:
(a+2)(a+1)a = 432
Convirtiendo 432 a base 3:
432 3
0 144 3
0 48 3
0 16 3
1 5 3
2 1
⇒ 432 = 121 000(3)
5. Silosnumeralesmostradosestáncorrectamente
escritos, determina abc.
140(a); 2aa(c); 3c4(b); b62(8)
Se cumple:
• a � 4
• b � c; b � 4
• c � a
• b � 8
Entonces:
8 � b � c � a � 4
Luego, los únicos valores posibles para a; b
y c son:
a = 5; b = 7; c = 6
Reemplazando tenemos:
abc = 576
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Tabla de frecuencias para
datos agrupados y no agrupados
Tabla de distribución de frecuencias para
datos no agrupados
Es aquella tabla en donde se organiza datos se-
gún la variable estadística que se va a estudiar.
Para elaborar una tabla de frecuencias debemos
de tener en cuenta los siguientes conceptos.
1. Frecuencia absoluta (fi): Indica el número de
veces en que se repite un dato en una muestra
de n datos. La suma de todas las frecuencias
absolutas es igual al total de datos (n).
f1+f2+f3+ ...+fk = n
Donde: k es el número de valores distintos que
existen en el conjunto estudiado.
2. Frecuencia absoluta acumulada (Fi): Es la suma
de frecuencias absolutas de valores iguales o
inferiores al valor i considerado.
Fi = f1+f2+f3+ ... +fi
3. Frecuencia relativa (hi): Es la frecuencia absolu-
ta de un intervalo dividida entre el número de
datos o tamaño de la muestra.
h n
f
i
i
=
4. Frecuencia relativa acumulada (Hi): Es la suma
de frecuencias relativas de valores iguales o in-
feriores al valor i considerado.
H h h h h
i 1 2 3 i
f
= + + + +
5.Frecuencia relativa porcentual (hi%): Representa
el tanto por ciento de la frecuencia relativa.
hi% = hi × 100%
A continuación, mostraremos cómo elaborar una
tabla de frecuencias.
La profesora del 3° año de secundaria desea
que sus estudiantes mejoren su aprendizaje,
por ello, propone aplicarles al final de cada mes
una encuesta acerca de las dificultades que
presentan, de modo que se puedan absolver
sus dudas posteriormente.
¿Crees que es importante la encuesta realizada
por la profesora?
¿Será útil construir una tabla de frecuencias
para el estudio de los resultados de la encuesta?
Ejemplo:
En el siguiente arreglo se muestra las edades de
los padres de familia del 3° año de secundaria.
32 40 40 48 39 32 35 40 35 32
39 35 35 39 32 35 42 42 35 40
Elabora una tabla de frecuencia.
Solución:
• Primero verifica los datos en la muestra:
a1=32; a2=35; a3=39;
a4=40; a5=42; a6=48
• Luego, las frecuencias absolutas para cada uno
de los datos de la muestra son:
f1=4; f2=6; f3=3;
f4=4; f5=2; f6=1
• Ahora, determinamos las frecuencias relativas:
h n
f
20
4
0,20
1
1
= = = h n
f
20
4
0,20
4
4
= = =
h n
f
20
6
0,30
2
2
= = = h n
f
20
2
0,10
5
5
= = =
h n
f
20
3
0,15
3
3
= = = h n
f
20
1
0,05
6
6
= = =
Edades fi Fi hi Hi Hi%
32 4 4 0,20 0,20 20%
35 6 10 0,30 0,50 50%
39 3 13 0,15 0,65 65%
40 4 17 0,20 0,85 85%
42 2 19 0,10 0,95 95%
48 1 20 0,05 1 100%
19
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Unidad
1
4 TABLA DE FRECUENCIAS 3ERO - TEXTO.indd 19 24/01/2020 22:45:59

Tabla de distribución de frecuencias para
datos agrupados
Es aquella tabla en la que los datos se clasifican
en intervalos de clase que se utiliza cuando la
cantidad de datos de la muestra es muy grande.
Para elaborar este tipo de tablas debemos tener
en cuenta los siguientes conceptos:
1. Tamaño de la muestra (n): indica el número to-
tal de datos.
Ejemplo:
La siguiente tabla muestra el peso de los pa-
cientes del pabellón 10 del hospital de la pro-
vincia de Cañete.
Tabla 1
50 52 54 56 56 58 60 60 62 64
64 66 68 68 68 70 72 74 76 80
El tamaño de la muestra es: n =20
2. Alcance (A): es el intervalo cerrado cuyos extre-
mos son el mayor y menor valor de los datos.
Ejemplo:
En la tabla 1, se tiene que:
A = [80; 50]
3. Rango (R): es la longitud del alcance y se obtie-
ne de la diferencia entre los valores del mayor y
menor de los datos, también recibe el nombre
de recorrido.
Ejemplo:
En la tabla 1: R = 80 – 50 ⇒ R = 30
4. Intervalo de clase (Ii): es una partición del
alcance.
Ejemplo:
li = 54; 60
7
Límite inferior = (Li) Límite superior = (Ls)
5. Número de intervalos de clase (k): es la can-
tidad de intervalos de clase en que se divide
el alcance. Se puede determinar mediante la
Regla de Joule o la regla de Sturges.
k = n k = 1 + 3,3 (log n)
Regla de Joule Regla de Struges
Se aproxima el resultado al número entero más
próximo.
Ejemplo:
En la tabla 1, el número de intervalos es:
k 20 4,47
k 4
.
= =
Por lo tanto, el número de intervalos es 4.
6. Ancho de clase (wi): es la longitud del intervalo
de clase.
wi = Ls – Li
Observación:
Para que el ancho de clase tenga la misma lon-
gitud debe cumplir:
w
k
R
=
Para la tabla 1 se tiene que:
w
4
30
7,5
= =
7. Marca de clase (xi): es la media aritmética entre
los extremos de los intervalos de clase.
x
2
L L
i
s i
=
+
Luego, la tabla de frecuencias para la tabla 1 es
la siguiente:
Li xi fi Fi hi Hi
[50; 57,5〉 53,75 5 5
20
5
0,25
= 0,25
[57,5; 65〉 61,25 6 11
20
6
0,30
= 0,55
[65; 72,5〉 68,75 6 17
20
6
0,30
= 0,85
[72,5; 80] 76,25 3 20
20
3
0,15
= 1
TIC
Ingresaalasiguientepáginawebparacompletarlo
aprendidoenclase
https://www.youtube.com/
watch?v=5z-jDh0H-Ik
20
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1. Luis a encuestado a 20 familias acerca del
número de miembros que conforman cada
uno de sus hogares y obtuvo los siguientes
resultados.
4 2 3 5 6 2 3 3 4 5
3 7 2 2 3 6 3 3 4 2
Elabora una tabla de frecuencias y responde
a las siguientes preguntas:
a. ¿Cuántas familias están conformadas por 4
integrantes?
b. ¿Qué porcentaje representa las familias
compuestas por 6 integrantes?
c. ¿Cuánto es el valor de f2+F4?
d. ¿Cuántas familias tienen menos de 5
integrantes?
La tabla de frecuencias está dada de la
siguiente forma:
Integrantes fi Fi hi
2 5 5 0,25
3 7 12 0,35
4 3 15 0,15
5 2 17 0,10
6 2 19 0,10
7 1 20 0,05
a. El total de familias conformada por 4
integrantes son 3.
b. Nos piden determinar el porcentaje que
representa las familias compuestas por
6 integrantes, es decir, nos piden el valor
de h5%:
% %
% , % % %
h h
h h
100
0 10 100 10
5 5
5 5
&
#
#
=
= =
^ ^
h h
c. Si f2=7 ∧ F4=17 ; entonces:
f2+F4 = 7+17 = 24 ⇒ f2+F4 = 24
d. La cantidad de familias que tienen menos
de 5 integrantes está representada en la
tabla como F3:
F3=15
2. EL profesor Javier realizó una encuesta acerca
de la cantidad de horas que dedicaban sus
estudiantes a practicar durante la semana lo
aprendido en clase.
1 8 10 14 15 21
16 16 10 3 4 12
16 11 17 12 10 5
3 9 4 8 7 6
3 5 10 12 10 6
Construye una tabla de datos agrupados y
determina el intervalo que registra la mayor
frecuencia relativa.
Primero debemos determinar el número
de intervalos utilizando la regla de Joule,
teniendo en cuenta el número de dato de
la muestra es n = 30.
k 30 5,48
k 5
&
.
=
=
Ahora, determinamos el ancho de clase (w):
R = 21 – 1 ⇒ R=20
Entonces:
w
k
R
5
20
4
= = =
La amplitud o ancho de clase es 4. Por lo
tanto, los intervalos serán:
1;5 ; 5;9 ; 9;13 ; 13;17 ; 17;21
8 8 8 8 8 A
Luego, las marcas de clase son:
x
2
1 5
3 ; x
2
5 9
7;
x
2
9 13
11; x
2
13 17
15
x
2
17 21
19
1 2
3 4
5
=
+
= =
+
=
=
+
= =
+
=
=
+
=
Finalmente, la tabla de datos no agrupados es
Li xi fi Fi hi Hi
[1; 5〉 3 6 6 0,20 0,20
[5; 9〉 7 7 13 0,23 0,43
[9; 13〉 11 10 23 0,33 0,76
[13; 17〉 15 5 28 0,17 0,93
[17; 21] 19 2 30 0,07 1
Por lo tanto, luego de construir la tabla,
podemos decir que el intervalo con mayor
frecuencia relativa es 9;13
8 .
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Aritmética
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UNIDAD
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Proyecto educativo
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ARITMÉTICA
5 DIVISIBILIDAD.indd 22 24/01/2020 22:46:57

Divisibilidad
Se dice que un número «m» es divisible por «n», si
la división entre «m» y «n» es exacta.
Ejemplos:
• 84 es divisible por 12
Dados dos números «a» y «b» se dice que «b» es
divisor de «a» si lo divide de forma entera y exacta.
Múltiplos
Se dice que un número «m» es múltiplo de «n»,
si «m» se puede escribir como el producto de «n»
con un número entero, o cuando «m» contiene a
«n» un número entero y exacto de veces.
Simbólicamente:
A es múltiplo de B si ∃ n ∈ N / A = B × n
Notación
Si A es múltiplo de B, lo denotaremos por: A=B
°
Ejemplos:
• 5
°
= {0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; …}
• 10
°
= {0; 10; 20; 30; 40; 50; 60; …}
• 3
°
= {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; …}
• 7
°
= {0; 7; 14; 21; 28; …}
• 11
°
= {0; 11; 22; 33; 44; …}
Propiedades de los múltiplos
1. El 0 es múltiplo de todos los números naturales.
2. La unidad es divisor de cualquier número natu-
ral o entero.
3. Todo número tiene infinitos múltiplos, pero fi-
nitos divisores.
Ejemplos:
• 5
°
= {0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; … }
• 5 tiene dos divisores
• 1 es divisor de cualquier número natural
Números no divisibles
Recordando que un número «a» es divisible entre
«b», si al efectuar la división de «a» entre «b» esta
es exacta, pero cuando la división es inexacta, se
dice que el dividendo es múltiplo del divisor más
un residuo.
& A = Bq + r
A B
r q
Ejemplo:
& 36 = 7 (5) + 1
36 = 7
°
+ 1
36 7
1 5
& 36 = 7 (6) – 6
36 = 7
°
– 6
36 7
6 6
Observa que:
=
7
°
+ 1
suman 7
7
°
– 6
Por defecto Por exceso
Operaciones con múltiplos
1. La suma de los múltiplos de un número es otro
múltiplo del número.
Ejemplo:
16 + 24 = 40

4
°
+ 4
°
= 4
°
Divisibilidad
Es importante cuidar nuestro ambiente de
estudio, como la biblioteca y el aula de clases.
Por esta razón, los 135 estudiantes del 3° de
secundaria se plantearon como objetivo
mantener el aula ordenada y limpia. Para ello
trabajan en equipo conformados, cada uno, por
la misma cantidad de integrantes.
¿Es importante mantener el aula limpia?
¿El número de estudiantes es un número
divisible por 3; 9 y 5?
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2. La diferencia de los múltiplos de un número es
otro múltiplo del número.
Ejemplo:
40 – 24 = 16

4
°
– 4
°
= 4
°
3. El producto de los múltiplos de un número es
otro múltiplo del número.
Ejemplo:
40 × 24 = 16

4
°
× 4
°
= 4
°
4. El múltiplo de un número elevado a una de-
terminada potencia, sigue siendo múltiplo de
dicho número.
Ejemplo:
(12)2 = 144

4
° 2
` j = 4
°
5. No siempre es cierto que la división entre dos
múltiplos de un número, sea múltiplo de dicho
número.
Ejemplo:
20
100
= 5 &
10
10
°
°
≠ 10
°
Criterios de divisibilidad
Son reglas que permiten saber si un número es
divisible por otro, sin necesidad de realizar la
división.
a. Divisibilidad por 2
Un número es divisible por 2, cuando su última
cifra es 0 o un número par.
Ejemplos:
48 es divisible por 2 pues 8 = 2
°
210 es divisible por 2 pues su última cifra es 0
b. Divisibilidad por 3 y por 9
Un número es divisible entre 3 (o entre 9) si y
solamente si, la suma de sus cifras es múltiplo
de 3 (o de 9).
De manera general, por ejemplo, para un
número de 4 cifras:
abcd = 3
°
a + b + c + d = 3
°
abcd = 9
°
a + b + c + d = 9
°
Ejemplos:
• 276 es divisible entre 3, pues;
2 + 7 + 6 = 15 y 15 = 3
°
• 909 es divisible entre 9, pues:
9 + 0 + 9 = 18 y 18 = 9
°
c. Divisibilidad entre potencias de 2
Veamos los siguientes casos:
• Un número es divisible entre 2 (2 = 21) sí y
solo sí su última cifra es par o es 0.
solo sí el número formado por sus dos últimas
cifras es múltiplo de 4.
solo sí el número formado por sus tres últimas
cifras es múltiplo de 8.
Simbólicamente:
Si abcde = 2
°
⇔ e = 2
°
Si abcde = 4
°
⇔ de = 4
°
Si abcde = 8
°
⇔ cde = 8
°
d. Divisibilidad entre potencias de 5
Veamos los siguientes casos:
• Un número es divisible entre 5 (5 = 5) sí y solo
sí su última cifra es 0 o 5.
• Un número es divisible entre 25 (25 = 52)
sí y solo sí el número formado por sus dos
últimas cifras es múltiplo de 25.
• Un número es divisible entre 125 (125 = 53)
sí y solo sí el número formado por sus tres
últimas cifras es múltiplo de 125.
Simbólicamente:
Si abcde = 5
°
⇔ e = 0 o 5
Si abcde = 25
°
⇔ de = 25
°
Si abcde = 125
°
⇔ cde = 125
°
e. Criterio de divisibilidad entre 7
Para saber si un número es divisible por 7 se
procede de la siguiente manera:
Sea el abcdef de derecha a izquierda se
multiplicará cada cifra por:
a b c d e f
–2 -3 –1 +2 +3 +1
Si la suma del resultado es multiplo de 7
entonces abcdef es divisible por 7. Es decir:
abcdef = 7
°
⇔ f + 3e + 2d – c – 3b – 2a = 7
°
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Ejemplo:
Veamos si 7 182 es múltiplo de 7, por criterio de
divisibilidad por 7 se tiene:
7 1 8 2
–1 +2 +3 +1
⇒ 2×1 + 8×3 + 1×2 + 7×(–1) = 21
21 = 7
°
Entonces, 7 182 si es múltiplo de 7.
f. Divisibilidad por 11
Un número es divisible por 11 sí y solo sí la
diferencia entre la suma de sus cifras de orden
par y la suma de las cifras de orden impar, es un
múltiplo de 11.
Ejemplo:
709181 es divisible entre 11, pues:
709181
Cifras de orden par: 8, 9, 7
Cifras de orden impar: 1, 1, 0
• Suma de cifras de orden par:
8 + 9 + 7 = 24
• Suma de cifras de orden impar:
1 + 1 + 0 = 2
• Diferencia entre estas sumas:
24 – 2 = 22 y 22 = 11
°
1. ¿Cuántos números de dos cifras son múltiplos
de 11?
Sea ab un numeral de dos cifras, además
es multiplo de 11, entonces ab = 11
°
. Es decir:
ab = 11k, k ∈ N
Queremos saber cuántos número hay de
dos cifras, entonces ab será mayor o igual a
10 pero menor a 100.
Entonces:
10 # ab < 100
10 # 11k < 100
11
10
# k <
11
100
& 0,9... # k < 9,09...
Como k es natural:
⇒ k = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
Así 9 números de dos cifras son múltiplos de 11.
2. ¿Qué valores puede tomar «x»? Si se sabe que el
numeral a237ex es divisible entre 5
Por el criterio de divisibilidad entre 5, se
debe cumplir que:
x = 0 ∨ x = 5.
3. ¿Cuántos números mayores o iguales a 2 y
menores que 54, son de la forma 7
°
+ 1?
Como los números son de la forma 7
°
+ 1,
entonces se les puede escribir como 7k + 1,
según la desigualdad:
2 # 7
°
+ 1 < 54
2 # 7k + 1 < 54
1 # 7k < 53
0,14… # k < 7,57…
Como solo nos interesan los números natu-
rales, entonces:
k = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
Entonces, 7 números verifican dicha condición
4. Cuál es el menor valor que debe tomar «a» para la
siguiente igualdad para que se cumpla lo siguiente.
aa685 = 3
°
Primero «a» no puede ser 0, pues no existi-
ría el numeral, entonces 0 �a ≤ 9. Así a pue-
de tomar los valores: 1; 2; ... ; 9 y por el criterio
de divisibilidad entre 3, la suma de cifras de
dicho numeral debe ser múltiplo de 3, así:
a + a + 6 + 8 + 5 = 3
°
2a + 19 = 3
°
Si a = 1 & 2 + 19 = 21 = 3
°
(cumple)
a = 2 & 4 + 19 = 23 ≠ 3
°
(no cumple)
El mínimo valor para «a» es 1
5. Determina el valor de «a» en la siguiente
igualdad:
5a2a3 = 11
°
Por el criterio de divisibilidad entre 11
cifras de orden par: a; a
5a2a3
cifras de orden impar: 3; 2; 5
a + a – (3 + 2 + 5) = 11
°
2a – 10 = 11
°
& a = 5
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Unidad
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Números primos
Son los números que solo son divisibles por si mis-
mos y por la unidad, en otras palabras son aquellos
números que poseen solamente dos divisores.
Ejemplos:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; …
Observación:
Los números primos y la unidad forman el con-
junto de números llamado "números simples"
Números compuestos
Son aquellos números mayores a 2 que no son pri-
mos. Este resulta de la multiplicación de dos o más
números primos y tienen más de dos divisores.
Ejemplos:
10, pues D(10) = {1; 2; 5; 10}
12, pues D(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
15, pues D(15) = {1; 3; 5; 15}
Números primos entre sí (PESI)
Se dicen que dos o más números son primos en-
tre sí cuando solo tienen como único divisor en
común a la unidad (1).
Ejemplos:
9 y 20 son PESI, pues:
D(9) = {1; 3; 9}
D(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}
Solo tienen a 1 como divisor común.
Criba de Eratóstenes
Eratóstenes estableció un criterio para obtener
los números primos hasta cierta cantidad, vea-
mos cómo encontrar los números primos desde
el 1 hasta el 100.
El criterio es el siguiente:
1. Empieza con el número 2, resalta el número 2
como primo, pero tacha todos los múltiplos de
2 (4; 6; 8; 10; …)
2. Continua con el número 3, resalta el número 3
3 (6; 9; 12; 15; …)
3. Continua con el número 5, resalta el número 5
5 (5; 10; 15; 20; …)
4. Continúa con el 7 y tacha todos sus múltiplos
hasta el 100
5. Repite el proceso hasta llegar al número no ta-
chado, así tendrás los números primos meno-
res que 100, estos son: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29;
31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Teorema fundamental de la aritmética
Todo número natural mayor que 1 se puede ex-
presar como producto de sus divisores primos ele-
vados a cierta potencia, a esto se le conoce como
descomposición canónica.
Números primos y compuestos
Por el aniversario del colegio se realizan
diversas actividades. Cada aula debe presentar
un número artístico. El aula de Marcos va a
presentar una danza, es por ello que cada uno
de los integrantes debe comprar su vestimenta.
Los padres de familia tienen un fondo de S/ 825
y desean repartirlo entre 33 estudiantes, ¿a cada
uno le tocará una cantidad exacta?
¿El número 825 es un número primo?
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6 NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS.indd 26 24/01/2020 23:42:36

Procedimiento:
Se debe dividir al número por el menor de sus
divisores primos, el cociente se divide también
por el menor de sus divisores primos y se sigue el
proceso con los demás cocientes hasta tener un
cociente primo, que se dividirá consigo mismo.
Ejemplo:
3960 = 23 × 32 × 5 × 11
3960 2
1980 2
990 2
495 3
165 3
55 5
11 11
1
De manera general un número «n» puede ser ex-
presado de la siguiente manera:
n = ...
p p pn
1 2
# # #
a b c
Donde:
• p1; p2; …; pn: números primos
• α; β; …; γ: números naturales
Cantidad de divisores de un número
Sea «n» un número primo que viene expresado en
sus factores primos de la siguiente manera:
n = ...
p p pn
1 2
# # #
a b c
La cantidad de divisores de «n» o CD(n) viene
dado por:
CD(n) = (α + 1)(β + 1) … (γ + 1)
Ejemplo:
Determina la cantidad de divisores de 36
36 = 22 × 32
CD(36) = (2 + 1)(2 + 1) = 9
36 2
18 2
9 3
3 3
1
La cantidad total de divisores de un número «n»
siempre cumple la siguiente relación:
CD(n) = CDsimples + CDcompuestos
CD(n) – 1 = CDpropios
En el ejemplo anterior:
CD (36)=9 CDsimples=3 CDcompuestos= 9 – 3=6
De manera general:
CD(n) = CDprimos + CDcompuestos + 1
Propiedades
1. La unidad no es considerada número primo, ni
compuesto.
2. La descomposición en factores primos de un
número es única.
3. Dos números consecutivos, siempre serán PESI.
Suma de divisores de un número
Sea «n» un número primo que viene expresado en
sus factores primos de la siguiente manera:
n = ...
p p pn
1 2
# # #
a b c
La suma de divisores de «n» viene dado por:
SD(n) = ...
p
p
p
p
p
p
1
1
1
1
2 1
1
n
1
1
1
2
2
1 1
-
-
-
-
-
-
a b c
+ + +
J
L
K
K
K
K
K
J
L
K
K
K
K
K
J
L
K
K
K
K
K
N
P
O
O
O
O
O
N
P
O
O
O
O
O
N
P
O
O
O
O
O
Ejemplo:
Calcula la suma de divisores de 36.
Como se vio 36 = 22 × 32, entonces:
SD(36) =
2 1
2 1
3 1
3 1
3 3
-
-
-
-
J
L
K
K
K
K
J
L
K
K
K
K
N
P
O
O
O
O
N
P
O
O
O
O & SD(36) = 91
Producto de los divisores de un número (PD(n))
El producto de los divisores de un número «n» vie-
ne dado por:
PD(n) = n ( )
CD n
Ejemplo:
PD(36) = 36 6
9 18
= = 69
Función de Euler
Dado un número natural «n» la función de Euler
de «n» representada por f(n), indica la cantidad
de naturales menores que «n» y que son primos
relativos con «n», de manera general, si:
n = ...
p p pn
1 2
# # #
a b c
Entonces:
f(n) = ...
p p p p p p
1 1 1
n n
1
1
1 2
1
2
1
# # #
- - -
a b c
- - -
_ _ _
i i i
Ejemplo:
24 = 23 × 3
f(24) = 23 – 1(2 – 1) × 31 – 1(3 – 1) = 8
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Unidad
2

1. De los siguientes conjuntos, ¿cuál de ellos
tienen elementos PESI?
A = {33; 26}
B = {40; 35; 20}
• Para A = {33; 26} :
D(33) = {1; 3; 11; 33}
D(26) = {1; 2; 13; 26}
Son PESI, pues tienen a la unidad en
común
• Para B = {40; 35; 20} :
D(40) = {1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40}
D(35) = {1; 5; 7; 35}
D(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}
No son PESI, pues tienen al 1 y el 5 como
divisores comunes.
Solo el conjunto A tiene elementos PESI.
2. ¿Cuantos divisores tiene el número 1200?
1200 = 24 × 3 × 52
CD (1200) = (4 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 30
1200 2
600 2
300 2
150 2
75 3
25 5
5 5
1
El número 1 200 tiene 30 divisores
3. ¿Cuántos divisores compuestos tiene el
número: 86 – 84?
Hallamos la cantidad de divisores de 86 – 84
Factorizaremos y aplicaremos descomposi-
ción polinómica:
86 – 84 = 84(82 – 1) = 212 × 32 × 7
Así:
CD(86 – 84) = (12 + 1)(2 + 1)(1 + 1)
CD(86 – 84) = 78
CDsimples= 4
⇒ CDcompuestos = 78 – 4 = 74
4. ¿Cuántos divisores primos tiene 700?
700 = 22 × 52 × 7
Divisores primos: 2; 5; 7
700 tiene 3 divisores primos
700 2
350 2
175 5
35 5
7 7
1
5. Determina el valor de «n», si se sabe que 16n
tiene 45 divisores menos que 18n
Se sabe que:
16 = 24
18 = 2 × 32
Así:
a. CD(16n) = CD(24n) = 4n + 1
CD(16n) = 4n + 1 (α)
b. CD(18n) = CD(2n × 32n) = (n + 1)(2n + 1)
CD(18n) = (n + 1)(2n + 1) (β)
Por dato y de (α) y (β):
4n + 1 + 45 = (n + 1)(2n + 1)
4n + 1 + 45 = 2n2 + n + 2n + 1
4n + 46 = 2n2 + 3n + 1
⇒ 2n2 – n – 45 = 0
Por aspa simple se tiene:
(2n + 9)(n – 5) = 0
& n = 5 ∨ n =
2
9
-
Como «n» es natural
& n = 5
6. Determina el valor de «n», si M = 12 × 15n tiene
60 divisores.
Se sabe que: 12 = 22 × 3
15 = 3 × 5
M = 22 × 3 × 3n × 5n = 22 × 3n + 1 × 5n
Entonces:
3(n + 1 + 1)(n + 1) = 60
(n + 2)(n + 1) = 20 = 5×4
⇒ n + 2 = 5 ∨ n + 1 = 4
⇒ n = 3
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Máximo común divisor (MCD)
El máximo común divisor (MCD) de un conjunto
de números es el mayor divisor común que tienen
dichos números.
Ejemplo:
Números Divisores
16 1; 2; 4; 8; 16
24 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24
28 1; 2; 4; 7; 14; 28
Divisores comunes: 1; 2; 4
MCD (16; 24; 28) = 4
Divisores del MCD
Divisores comunes de 16, 24, 28
(1; 2; 4)
Se verifica:
n° de divisores comunes = n° de divisores del MCD
Ejemplo:
Determina la cantidad de divisores comunes que
tienen 100 y 120.
MCD (100; 120) = 20
D(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}
Como 20 tiene 6 divisores, entonces 100 y 120 tie-
nen 6 divisores comunes.
Propiedades del MCD
1. El MCD nunca es mayor que uno de los números.
Ejemplo:
MCD(15; 20; 40) = 5
5 , 15; 5 , 20; 5 , 40
2. Si el menor de los números es divisor común
de los otros, entonces el MCD será ese menor
número.
Ejemplo:
MCD (4; 16; 24; 28) = 4
Menor
Divisor común
De manera general:
Si A = B
°
& MCD(A; B) = B
3. El MCD de dos números primos entre sí, es la
unidad.
Ejemplos:
• MCD(K; K + 1) = 1, k ∈ N
• MCD(abc; ab(c + 1)) = 1
• MCD (32; 43) = 1
Cálculo del MCD
1. Descomposición simultánea
Ejemplo:
30 – 20 – 10 2
15 – 10 – 5 5
5 – 2 – 1
MCD(30; 20; 10) = 10
2. Por descomposición canónica
Ejemplo:
Sean: A = 22 × 35
B = 25 × 33
Se toman los factores primos comunes elevados a
sus menores componentes, así:
MCD (A; B) = 22 × 33
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
De forma inesperada les comunicaron a los
estudiantes que debían adornar sus aulas con
banderas y escudos hechos de papel de seda.
Rápidamente formaron grupos para poder
decorar su aula. Colocaron las banderas cada
120 cm y los escudos cada 150 cm. Al final del
día lograron dejar decorado su aula.
¿Por qué motivo tuvieron que adornar el aula?
¿En algún momento se colocaron una bandera
y un escudo en el mismo lugar?
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3. Divisiones sucesivas o algoritmo de Euclides
Se base en el algoritmo de la división, vamos:
D d
r q
dividiendo
residuo cociente
divisor
Se siguen los siguientes pasos:
I. Divide el número mayor entre el menor.
II. Si:
• Si la división es exacta, el divisor es el MCD.
• Si la división no es exacta, dividimos
el divisor entre el resto obtenido y
continuamos hasta obtener la división
exacta, siendo el último divisor el MCD.
Ejemplo:
Calcula el MCD de 36 y 30
Ubicamos los números 36 y 30 en la siguiente
tabla:
36 30
Dividimos 36 ÷ 30 colocando el cociente en la
parte de arriba y el residuo en la parte de abajo,
como en la tabla:
1
36 30 6
6
El residuo 6 ocupa el siguiente casillero central
y se efectúa 30 ÷ 6
1 5
36 30 6
6 0
Aquí paramos, pues la división es exacta.
Por lo tanto: MCD (36; 30) = 6
Propiedades del máximo común divisor
1. Si MCD (A; B; C) = d, entonces:
• MCD (An; Bn; Cn) = dn
• MCD( n
A
; n
B
; n
C
) = n
d
Ejemplos:
• MCD(25; 50; 75) = 25 × MCD(1; 2; 3) = 25 × 1
• MCD(6; 8) =
3
1
× MCD(18; 24)
3
6
2
=
2. MCD (A; B; E; F) = MCD (M; N)
Donde M = MCD(A; B); N = MCD (E; F)
Ejemplos:
Si MCD(A; B) = 36, MCD (B; C) = 54
Determina el MCD de A, B y C
Según la propiedad:
MCD (A; B; B; C) = MCD (36; 54)
MCD (A; B; C) = MCD (36; 54) = 9
3. Si MCD(A; B; C) = d
d
A
= p
d
B
= q
d
C
= r
Entonces:
A = pd B = qd C = rd
Se verifica que: p, q, r son PESI.
Ejemplos:
• Sabemos que MCD (45; 60; 75) = 15, entonces:

15
45
= 3
15
60
= 4
15
75
= 5
Se cumple que 3; 4 y 5 son primos entre sí.
• Sabemos que MCD (10; 25; 35) = 5, entonces:

5
10
= 2
5
25
= 5
5
35
= 7
Se cumple que 2; 5 y 7 son primos entre sí.
Mínimo común múltiplo (MCM)
Es el menor de todos los múltiplos comunes de
un conjunto de números, siendo. El MCM siempre
es un número natural distinto de 0.
Ejemplo:
Determina el MCM de 8 y 12
• 8
°
= {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; ...}
• 12
°
= {0; 12; 24; 36; 48; 60; ...}
Los números en verde son los múltiplos comunes,
así el MCM (8; 12) es 24.
Propiedad:
Múltiplos comunes
de (A; B y C)
= Múltiplos del MCM
de A; B y C
Ejemplo:
Determina cuántos múltiplos comunes tiene 9 y
6 entre 180 y 360.
MCM (9; 6) = 18 Múltiplos comunes: 18K
Por dato: 180 , 18K , 360 & 10 , K , 20
Dónde: K = 11; 12; … ; 19
Entonces, hay 9 múltiplos comunes.
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Cálculo del mínimo común múltiplo
Veremos dos métodos para calcular el MCM de
un conjunto de números:
1. Por descomposición simultánea
Ejemplo:
Determina el MCM de 180 y 240
MCM(180; 240) = 24 × 32 × 5
MCM(180; 240) = 720
180 – 240 2
90 – 120 2
45 – 60 2
45 – 30 2
45 – 15 3
15 – 5 3
5 – 5 5
1 – 1
2. Por descomposición canónica
Para ello toma los factores primos comunes y no
comunes elevados a sus mayores exponentes.
Ejemplo:
Si A = 26 × 35 × 54 y B = 24 × 53 × 72
Entonces: MCM(A; B) = 26 × 35 × 54 × 72
Propiedades
a. El MCM nunca es menor que alguno de los
números.
MCM (8; 16; 32) = 32
b. Si el mayor número es múltiplo de los otros,
entonces el MCM es el mayor número.
MCM (10; 20; 40; 80) = 80
c. El MCM de dos números primos entre sí, es el
producto de dichos números.
MCM(A; B) = A × B donde A y B son PESI
d. Dados dos números A y B:
MCM(A; B) × MCD (A; B) = A × B
1. Si el MCD de 45A y 63B es igual a 36, determina
el MCD de 25A y 35B.
Sean A y B dichos números entonces:
MCD (45A; 63B) = 36
MCD (9 × 5A; 9 × 7B) = 9 × 4
& MCD (5A; 7B) = 4
MCD (5 × 5A; 5 × 7B) = 5 × 4 = 20
2. Determina el valor de «K», si:
• MCD (A; B) = K
• MCD(C; D) =
K
4
• MCD(A; B; C; D) = 12
Por propiedad, se cumple que:
MCD(A; B; C; D) = MCD(M; N)
Donde M = MCD(A; B) N = MCD(C; D)
Así: MCD K;
4
K
4
K
=
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O = 12
Entonces: K = 4 × 12 = 48
3. Determina la cantidad de divisores compuestos
del MCM de 260 y 240.
Hallamos el MCM de ambos:
MCM(260; 240) = 24 × 3 × 5 × 13
MCM(260; 240) = 3 120
260 – 240 2
130 – 120 2
65 – 60 2
65 – 30 2
65 – 15 3
65 – 5 5
13 – 5 13
1 – 1
Sea A = MCM(260; 240) = 24 × 3 × 5 × 13
⇒ A = 24 × 3 × 5 × 13
Luego hallamos la cantidad de divisores de A:
CD(A) = (4+1) × (1+1) × (1+1) × (1+1)
= (5) × (2) × (2) × (2) = 40
Recordemos que:
CD(A) = CDprimos + CDcompuestos +1
⇒ 40 = 4 + CDcompuestos +1
⇒ CDcompuestos = 40 – 5
⇒ CDcompuestos = 35
Metacognición
•
•
superé?
•
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Número racional
Se dice que un número es racional cuando se en-
cuentra expresado como el cociente de dos nú-
meros enteros, además, se representa mediante
una fracción.
El conjunto de los números racionales
Se denota con la letra Q, y se encuentra definido
de la siguiente manera:
b
a
/a,b b 0
Q Z / !
!
= ' 1
Comparación de números racionales
1. Ley de Tricotomía
Dados los números racionales p
b
a
= y q
d
c
=
se pueden comparar únicamente de 3 formas:
p q p q p q
/ /
2 1
=
2. Orden de una fracción
a. Fracciones con igual denominador: para sa-
ber si dos fracciones es menor o mayor, sólo
analizamos el numerador de cada fracción.
b
a
,
b
c
Q
d
Es decir: comparar a y c
b. Fracciones con igual numerador: analizamos
únicamente el denominador y determina-
mos cual es menor y mayor.
a
,
d
a
Q
d
c
Es decir: comparar c y d
c. Fracciones con distinto numerador y deno-
minador: buscaremos la fracción equivalente
de cada fracción y luego comparamos como
en los casos anteriores.
a
,
d
b
Q
d
c
Números racionales (Q)
Ejemplo:
Compara
3
2
;
5
7
;secumplelaterceraobservación,
hacemos
3
2
15
10
= y
5
7
15
21
= ; observamos 10 < 21
Clasificación de los números racionales
Los números racionales se clasifican de la siguien-
te manera:
1. Por la relación de los términos de la fracción:
a. Fracción propia: Cuando el denominador es
mayor que el numerador y la fracción es me-
nor a la unidad, es decir:
Si p
b
a
a b p 1
< <
& /
=
b. Fracción impropia: Cuando el denominador
es menor que el numerador, y la fracción es
mayor a la unidad, es decir:
Si p
b
a
a b p 1
> >
& /
=
2. Por grupo de fracciones:
a. Fracciones homogéneas: Los denominado-
res del grupo de fracciones son iguales
b
a
,
b
c
Q
d
b. Fracciones heterogéneas: Los denominado-
res del grupo de fracciones son diferentes.
a
,
d
b
,
f
donde c d e
Q
d ! !
c e
3. Por los divisores de sus términos
a. Fracciones reductibles: se dice así, cuando el
numerador y denominador tienen más de un
divisor en común. Por ejemplo:
8
6
;
12
27
;
15
5
;
24
64
b. Fracciones irreductibles: se dice así, cuando
el numerador y denominador son PESI. Por
ejemplo:
3
2
;
5
7
;
13
11
;
25
63
El mes pasado Josefina obtuvo en el examen de
matemáticas 11
2
1
puntos.
A partir de esto, ella estuvo estudiando y
practicando de forma constante y así logro
elevar su nota en el siguiente mes a 15
2
1
, con lo
cual quedó muy contenta.
¿Cómo logró Josefina subir su nota de
matemáticas?
¿En qué fracción se elevó su nota?
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Operaciones en Q
Estudiaremos las propiedades que poseen las
principales operaciones en el conjunto de los nú-
meros racionales.
1. Adición en Q
Al igual que en la adición de números natura-
les, a los elementos de la adición de los núme-
ros racionales se les llamará sumandos y al re-
sultado suma. Simbólicamente:
b
a
d
c
b d
a d b c
#
# #
+ =
+
Propiedades de la adición
a. Clausura:
SI
b
a
;
d
c
b
a
d
c
Q Q
&
! !
+
b l
b. Conmutativa:
b
a
d
c
d
c
b
a
;
b
a
,
d
c
Q
6 !
+ = +
c. Asociativa:
b
a
d
c
f
e
b
a
d
c
f
e
b
a
;
d
c
;
f
e
Q
6 !
+ + = + +
b b
l l
d. Elemento neutro aditivo: el elemento neutro
aditivo en los racionales es el cero “0”.
b
a
0 0
b
a
b
a
b
a
Q
6 !
+ = + =
e. Propiedad de monotonía:
Si
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
;
d
c
f
e
f
e
Q
& 6 !
= + = +
f. Propiedad cancelativa:
Si
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
;
d
c
f
e
f
e
Q
& 6 !
+ = + =
2. Multiplicación en Q
Es la misma operación de los números natura-
les, a los elementos de la multiplicación se le
llama factores y al resultado producto.
b
a
d
c
b d
a c
b
a
;
d
c
Q
#
#
#
6 !
=
Propiedades de la multiplicación
a. Clausura:
Si
b
a
;
d
c
b
a
d
c
Q Q
& #
! !
b l
b. Asociativa:
b
a
d
c
f
e
b
a
d
c
f
e
b
a
;
d
c
;
f
e
Q
# # # # 6 !
=
b b
l l
c. Conmutativa:
b
a
d
c
d
c
b
a
b
a
;
d
c
Q
# # 6 !
=
d. Distributiva:
b
a
d
c
f
e
b
a
d
c
b
a
f
e
b
a
;
d
c
;
f
e
Q
# # #
! ! 6 !
=
b l
e. Elemento neutro multiplicativo:
b
a
1 1
b
a
b
a
b
a
Q
# # 6 !
= =
f. Elemento inverso multiplicativo:
b
a
a
b
/
b
a
a
b
a
b
b
a
1
Q Q # #
6 7
! ! = =
b b
l l
Donde: a
b
es el inverso multiplicativo de b
a
y 1
es elemento neutro.
3. División en Q
La división es una operación que también se
puede dar para los números racionales. Para
efectuar la división de dos fracciones se multi-
plica el dividendo por el inverso multiplicativo
del divisor, es decir:
b
a
b
a
b c
a d
b
a
;
d
c
d
c d
Q
' #
#
#
6 !
= =
c
1. Simplifica la siguiente expresión:
15
6
6
1
5
1
3
2
9
4
12
7
8
3
5
4
10
3
9
2
6
1
#
+ - + -
+ + -
b b
l l
a.En
15
6
6
1
5
1
+ - , se tiene MCM (15; 6; 5) = 30
15
6
6
1
5
1
30
2 6 5 1 6 1
30
11
# # #
+ - =
+ -
=
b. En
3
2
9
4
12
7
+ - , se tiene MCM (3; 9; 12) = 36
3
2
9
4
12
7
36
12 2 4 4 3 7
36
19
# # #
+ - =
+ -
=
30
11
36
19
10
3
10
3
9
2
6
1
1080
209
90
59
209
708
+ + -
= =
b b
l l
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Gráficos estadísticos
Son aquellas construcciones gráficas que se utili-
zan para representar de manera visual datos esta-
dísticos con respecto a una determinada variable
estadística. A continuación, mostraremos algunos
tipos de gráficos:
1. Gráfico de barras
Se utilizan para representar y comparar fre-
cuencias de variables cuantitativas o compor-
tamientos en un tiempo determinado.
Datos x
Diagrama de barras
x1 x2 x3 x4 x5
12
10
8
6
4
2
0
Frecuencia
2. Diagrama de líneas o gráfico lineal
Este diagrama se suele utilizar para variables
cualitativas para ver su comportamiento a lo
largo del tiempo (minutos, horas, días, sema-
nas, años, etc). Mediante este gráfico se puede
comprobar rápidamente el cambio de tenden-
cia de los datos.
Para dibujar un gráfico de líneas debemos te-
ner en cuenta lo siguiente:
• En el eje horizontal (X) se colocan los periodos
de tiempo.
• En el eje vertical (Y) se colocan las frecuencias
absolutas o relativas.
• A cada periodo de tiempo le corresponde un
punto en el valor de su frecuencia.
• Finalmente se unen los puntos consecutivos
mediante segmentos de líneas.
Gráficos estadísticos
Temperatura (C°)
E
n
e
r
o
F
e
b
r
e
r
o
M
a
r
z
o
A
b
r
i
l
M
a
y
o
J
u
n
i
o
J
u
l
i
o
30
25
20
15
10
5
0
3. Gráfico circular o diagrama de sectores
Es una representación gráfica que consiste en
dividir el círculo en sectores, cuyo tamaño es
proporcional a la frecuencia relativa de los dis-
tintos valores de la variable estadística.
Se emplea principalmente para fines compara-
tivos y para representar variables cualitativas en
porcentajes.
α
β
A
a% B
b%
C
c%
D
d%
E
e%
θ
ω
γ
Sectores: A; B; C; D; E
Partición de los sectores: a%; b%; c%; d%; e%
Ángulos de los sectores: α; β; θ; ω; γ
Se cumple que:
(Ángulo del sector)=(Partición del sector)(360°)
También por:
Totalde datos (n)
Frecuencia absoluta(f)
360
Grados del sector
°
i
=
Año Promedio
1° 16,5
2° 14,5
3° 15
4° 15,5
5° 17
El director de la escuela
desea que sus estudiantes
mejoren su promedio
académico, es por ello
que anota en una tabla el
promedio en general de
cada año.
¿Qué gráfico podría
utilizar para representar
los datos de la tabla?
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4. Histogramas
Se emplea para representar variables continuas
o cuando los datos están agrupados en inter-
valos. Sobre el eje X se colocan los distintos in-
tervalos o clases y sobre cada uno de ellos se
levanta un rectángulo de altura igual a la fre-
cuencia absoluta del intervalo.
Datos x
Diagrama de rectángulos
x1 x2 x3 x4 x5
12
10
8
6
4
2
0
Frecuencia
5. Polígonos de frecuencias
El polígono de frecuencias se obtiene al unir los
puntos medios superiores de cada barra vertical
del histograma; estos puntos coinciden con la
marca de clase de cada intervalo del histograma.
Observación:
Los polígonos de frecuencias se crea a partir de
un histograma de frecuencias.
Datos x
Diagrama de frecuencia
x1 x2 x3 x4 x5
12
10
8
6
4
2
0
Frecuencia
1. Escribeverdadero(V)ofalso(F)segúncorresponda.
a. Los gráficos estadísticos
representan datos estadísticos
con respecto a varias variables
estadísticas. ( V )
b. El gráfico lineal es conocido
también como diagrama de
líneas. ( F )
c. Si la frecuencia absoluta es 10 y
el total de datos es 40 entonces
el grado del sector es 90°. ( V )
2. El siguiente gráfico de barras muestra las notas del
aula del 3° año de secundaria del colegio Pilares.
Notas
N° de estudiantes
17
9
10
20
20
5
15
4
15
8
12
12
0
d. ¿Cuántos estudiantes aprobaron?
e. ¿Cuál fue la nota de mayor frecuencia?
a. La cantidad de estudiantes que aprobaron
son 15 + 20 + 12 + 9 = 56
Por lo tanto, aprobaron 56 estudiantes.
b. De acuerdo a la tabla, la nota que presenta
mayor frecuencia es 15.
3. El gobierno destina S/ 300 000 para mejorar el
bienestar del pueblo. Esta cantidad se invierte
en educación, salud y transporte tal como se
muestra en el siguiente diagrama circular.
α
ω
β
45%
35%
x%
Educación
Salud
Transporte
a. ¿Qué cantidad de dinero se destina al sector
transporte?
b. ¿Qué ángulo central le corresponde al sector
educación?
a.Sea x%, el porcentaje de dinero destinado
al sector transporte, entonces:
x%+35%+45%=100% ⇒ x%=20%
Luego: x%(300 000) = 20%(300 000)
x%(300 000) = 60 000
Por lo tanto, el Gobierno destina S/ 60 000
al sector transporte.
b. Utilizamos la fórmula del ángulo central
para un diagrama circular.
α = 45%(360°) ⇒ α =162°
Por lo tanto, el ángulo central es 162°
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