1. FUNCIONES DEL PLANO
EN EL PLANO
Profesora Responsable : Nathalia Weigle

2. Índice
Introducción
Transformaciones geométricas
Simetría
Traslación
Rotación
Arte y geometría
Frisos
Mosaicos
Polígonos regulares
Teselaciones
Mauritis Cornelius Escher
Ejemplos en la vida real
Así se trabajó

3. Introducción
OPINIONES : Este material tiene como
objetivo principal ser claro y
sencillo para el aprendizaje.
aprendizaje.
Este trabajo trata de explicar Trata de hacer comprender y
algunos de los temas de aprender conceptos como el
matemática que encontramos de traslación, rotación y
interesantes ya que como simetría.
simetría.
todos saben las Matemáticas Muestra de forma dinámica e
son una parte importante de ilustrada la creación desde la
la vida cotidiana, a antigüedad de obras de arte
continuación se presenta una que utilizaron como fuente de
serie actividades de inspiración la belleza de la
investigación para trabajar perfección matemática.
matemática.
con los alumnos.
alumnos.

4. Transformaciones
Geométricas
•Un movimiento transforma una figura plana en otra figura de igual
forma y tamaño. Los movimientos se clasifican en traslaciones,
simetrías y giros.
•Una transformación geométrica en el plano es la que nos permite
obtener un punto P` a partir de otro punto P mediante una regla
precisa.
•Un movimiento es una transformación geométrica que conserva las
distancias y los ángulos.
http://youtu.be/LJturc6OllI

5. Simetría Axial.
•Las simetrías son movimientos muy utilizados en diversos campos
del conocimiento, como la arquitectura, el diseño, el arte y la moda.
•Es una transformación isométrica fijada por una recta llamada “eje
de simetría”.
•Además, es un concepto geométrico que tiene especial importancia
en el estudio de las funciones.
•Es una función cuyo dominio y codominio son parte del plano. El
punto A va a tener como imagen al punto A`.

6. Propiedades de la simetría
axial.
1ª:La simetría axial: La imagen de un segmento en una simetría
axial:
axial es otro segmento de igual longitud.
longitud.
2ª: Las figuras simétricas conservan ángulos, área y perímetro.
perímetro.
3ª: En una simetría axial los puntos pertenecientes al eje de
simetría se mantienen fijos.
fijos.
4ª: La simetría axial aplicada a una circunferencia nos da como
imagen otro circunferencia de igual radio y centro ó simétrico de o
con respecto al eje c.
Se dice que una figura
tiene simetría axial cuando
hay un eje de simetría que
pueda dividirla en dos
mitades idénticas respecto
de éste (al plegar el papel
en relación con el eje de
simetría coinciden sus
elementos).
elementos).

7. Simetría Central
Es una función, cuya función dominio y
codominio son parte del plano. Surge de
plano.
realizar dos simetrías axiales consecutivas de
ejes perpendiculares. Tiene por referencia un
perpendiculares.
punto al que llamaremos centro y que coincide
con el punto de intersección de dos ejes
perpendiculares.
Una simetría central de centro O es equivalente a un giro
de centro ese mismo punto ,O y ángulo 180º. Ambos
producen el mismo resultado al transformar cualquier
figura.

8. Traslación
Se llama traslación de una figura a la
transformación en otra figura mediante un
desplazamiento.
desplazamiento. Para definir una traslación es
necesario conocer un vector y un punto.
punto.
Una traslación de vector v es un movimiento
que transforma cualquier punto P en otro punto
P´, de forma que PP´ tiene el mismo módulo,
PP´
dirección y sentido que v.

9. Traslación
Foto de una de las carpetas

10. Rotación
Un giro o rotación es un movimiento que asocia a cada punto otro
punto situado a la misma distancia que él de un punto llamado
centro, O, y de modo que se cumple una determinada relación
angular.
angular.
Una rotación es una transformación isométrica que mueve una
figura en torno a un punto fijo, llamado centro de rotación, y en un
determinado ángulo, llamado ángulo de rotación. El ángulo se dice
rotación.
positivo si el giro se realiza en el sentido contrario a los punteros del
reloj, y negativo en el otro caso.
caso.
Actividad:
Analiza un modelo de la Tierra, observa el eje terrestre y
su movimiento de rotación.
Revisa lo que estudiaste en este punto y piensa si el eje
terrestre es un eje de simetría y qué tienen en común el
movimiento de rotación de la Tierra con los que acabas
de observar en el plano. Anota tus observaciones y
conclusiones en tu cuaderno y convérsalas con tu
profesor de Geografía

11. Polígonos Regulares
Un polígono regular es un polígono en el que
todos tienen la misma longitud y todos los
ángulos interiores son de las misma mediada
Una característica de los polígono regulares,
es que se pueden trazar inscritos en una
circunferencia que tocara cada uno de los
vértices del polígono. A medida que crece el
polígono.
numero de los lados de un polígono regular,
su apariencia se asemeja cada vez mas a la
de un circulo.
circulo.
Actividad:
Escribe los nombres de los polígonos regulares que aparecen
en la diapositiva e investiga en internet como se construyen.

12. Teselaciones
Una teselación o mosaico es un patrón de figuras repetidas que
cubre, pavimenta o embaldosa una superficie plana sin dejar
espacios ni sobreponer figuras.
figuras.
Las teselaciones se crean usando las transformaciones
isométricas, es decir, los movimientos de rotación, traslación y
simetría.
simetría.
Teselaciones regulares son aquella que se construye usando un
polígono regular, y sólo existen tres: las que se forman con un
tres:
triángulo equilátero, con un cuadrado y con un hexágono regular.
regular.
Esto es porque solo se puede embaldosar el plano con polígonos
regulares en que la medida de su ángulo interior sea un divisor de
360º
360º.
http://youtu.be/0DP_kH2S0TI

13. Teselaciones Regulares
http://youtu.be/mQI53yK_vmw
Actividad:
1)Construye una teselación con regla y compás sobre
una cartulina.
2)Construye la misma teselación con GeoGebra.

14. Teselaciones Islámicas
La geometría alcanza en el arte islámico todo un valor
constructivo y decorativo, cuyas figuras están impregnadas de
significado simbólico, cosmológico y filosófico. Puesto que el
Corán prohíbe la representación en pintura o escultura de los
seres vivos, esta decoración toma un carácter abstracto,
armonioso y estilizado

15. Frisos
Se llama Friso o cenefa a un dibujo que se genera por
traslaciones sucesivas del mismo motivo. Los frisos se
motivo.
obtienen al aplicar la misma traslación a un motivo,
figura base o elemento generador. En el arte persa es
generador.
famoso el friso de los arqueros.
arqueros.
Foto de una de las
carpetas de
estudiantes
Foto del libro “La enciclopedia
del estudiante”

16. Mosaicos
Los mosaicos son un revestimiento de una superficie con piedras de colores
distintos, que casi siempre forman dibujos, geométricos o de figuras: los bizantinos
figuras:
y los romanos hicieron mosaicos de gran perfección.
perfección.
Mosaicos Pararregulares Cuando utilizamos polígonos no regulares que
permiten recubrir correctamente el plano el mosaico formado se llama
pararregular.
pararregular. Podemos conseguir mosaicos pararregulares uniendo teselas o
piezas iguales, obtenidas a partir de la deformación de polígonos regulares.
regulares.
Foto de una de las
carpetas

17. Mosaicos semirregulares
Se pueden realizar algunos diseños de baldosas basados en los
mosaicos semirregulares, aquellos que utilizan dos o más tipos de
polígonos regulares, de modo que alrededor de cada vértice se
encuentren siempre los mismos polígonos en el mismo orden.
orden.
Al igual que en los mosaicos pararregulares, la suma de los
ángulos coincidente en cada vértice ha de ser 360º. Existen ocho
360º
mosaicos semirregulares.
semirregulares.
Foto de “La enciclopedia del http://youtu.be/5LxKSqvRrAI
estudiante- Matemática II “

18. Mauritis Cornelius Escher
http://docentes.educacion.navarra.
http://docentes.educacion.navarra.es/~msadaall/geog
ebra/escher.
ebra/escher.htm
http://youtu.be/6hGgGHcKJa0
REPTILES
Actividad:
1) Busca información sobre la vida y obra de
M. Escher para compartir con tus
compañeros de clase.
2) Recorta diferentes polígonos regulares y
con un espejo determina los ejes de
simetría. CISNES

19. AUTORRETRATO
Actividad: Busca en internet los nombres de las siguientes obras.

20. Ejemplos en la vida real
http://youtu.be/0XG-g84X8t4
http://youtu.be/fYpVmFUM5RY
TESELACIONES Y ARQUITECURA
SIMETRÍA EN EL ARTE
Actividad: Realiza un informe guiado por el profesor de historia sobre la
geometría y simetría en monumentos, obras de arte y arquitectura.

21. Ejemplos en la vida real
SIMETRÍA EN LA NATURALEZA
Actividad:
Realiza un informe guiado por el profesor de biología sobre la
simetría en la naturaleza .Se recomienda analizar el video Artifact
One Symmetry in Nature en youtube.

22. Geometría y publicidad
Una parte sustancial de los gastos de imagen
corporativa que realizan las grandes marcas han
sido invertidos en el diseño de símbolos que, al
mismo tiempo, sean sencillos e inconfundibles como
sello distintivo de sus productos. Éste es el logotipo
productos.
de una marca. En él, las regularidades geométricas,
marca.
como los polígonos, regulares, predominan; así, el
predominan;
símbolo, además de sencillez, transmite la
perfección que es inherente a la Geometría.
Geometría.
Actividad:
Recorta o dibuja con regla y compás por lo menos tres
logotipos de marcas conocidas e indica que figuras
geométricas las forman. Luego indica si tienen ejes o
centro de simetrías.

23. Aportes de los alumnos
Fotos de los trabajos anexos en las
carpetas 2008
EXPOSICIÓN 2007 DE TESELACIONES
LICEO Nº2 de Maldonado

24. Liceo Nº2 de Maldonado
EXPOSICIÓN PERMANENTE EN
EL HALL DEL LICEO Nº 2 DE
MALDONADO
Actividad:
Realiza una lámina o escultura
aplicando los conceptos
trabajados en la presentación.
Solicita consejos del profesor MOSAICOS Y FRISOS
de Educación visual y plástica.

25. Fuentes de información
LIBROS:
La enciclopedia del estudiante. Matemática 2- Santillana
2-
Matemática Segundo Año del Ciclo Básico- Belcredi, Zambra.
Básico- Belcredi,
Atlas universal (Matemáticas)
Enciclopedia de Matemáticas Océano.
Material didáctico en internet:
VIDEOS :
http://youtu.be/LJturc6OllI
http://youtu.be/0DP_kH2S0TI
http://youtu.be/mQI53yK_vmw
http://youtu.be/5LxKSqvRrAI
http://youtu.be/6hGgGHcKJa0
http://youtu.be/fYpVmFUM5RY
http://youtu.be/0XG-
http://youtu.be/0XG-g84X8t4
SONIDO:
Sinfonía+...wma

26. CRÉDITOS DE LAS FOTOGRAFÍAS:
http://es.dreamstime.com/fotograf-iacutea-de-archivo-libre-de-regal-iacuteas-paisaje-sim-trico-con-los-rboles-en-el-lago-image12759077
http://es.dreamstime.com/fotograf-iacutea-de-archivo-libre-de-regal-iacuteas-paisaje-sim-trico-con-los-rboles-en-el-lago-image12759077
http://belgrano.olx.com.ar/profesor-particular-fisica-matematica-quimica-iid-
http://belgrano.olx.com.ar/profesor-particular-fisica-matematica-quimica-iid-171257442
http://la-clase-de-plastica.blogspot.com/2010/07/practicar-la-
http://la-clase-de-plastica.blogspot.com/2010/07/practicar-la-simetria.htm
http://www.paginasprodigy.com/mosaicospeninsular/Residencias.htm
http://images.google.com.uy/url?q=http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Vazquez/carpeta/GEOMETRIA/MOV.%2520PLANO/TRASL/movimien
http://images.google.com.uy/url?q=http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Vazquez/carpeta/GEOMETRIA/MOV.%2520PLANO/TRASL/movimien
tos6x.html&ei=oDvvTpi4JIHAgAfRs42FCQ&sa=X&oi=unauthorizedredirect&ct=targetlink&ust=1324303016598782&usg=AFQjCNFLlaIVUDV3KzYG
ftvMmRcYZPLIUA
http://images.google.com.uy/url?q=http://www.kalipedia.com/matematicas-geometria/tema/movimientos-
http://images.google.com.uy/url?q=http://www.kalipedia.com/matematicas-geometria/tema/movimientos-
plano/traslacion.html%3Fx%3D20070926klpmatgeo_265.Kes%26ap%3D0&ei=4TvvTuvtCcSKgwfHwL3lCA&sa=X&oi=unauthorizedredirect&ct=targ
etlink&ust=1324303081163599&usg=AFQjCNGjhfbtXL9TwIkMvM5-jPMiBmehHQ
etlink&ust=1324303081163599&usg=AFQjCNGjhfbtXL9TwIkMvM5-
http://images.google.com.uy/url?q=http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Teselaciones.htm&ei=t07vTo7ADsbIgQfBt_nIBQ&sa=X&oi=unauthorizedredire
http://images.google.com.uy/url?q=http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Teselaciones.htm&ei=t07vTo7ADsbIgQfBt_nIBQ&sa=X&oi=unauthorizedredire
ct&ct=targetlink&ust=1324307903239996&usg=AFQjCNEHVshppr-
ct&ct=targetlink&ust=1324307903239996&usg=AFQjCNEHVshppr-97q9ju5xUs9lHHWEpxw
/wiki/Imagen:Polig_04b.svg
http://images.google.com.uy/imgres?imgurl=http://www.juguetes.org/wp-content/uploads/mosaico2.png&imgrefurl=http://www.juguetes.org/mosaicos-
http://images.google.com.uy/imgres?imgurl=http://www.juguetes.org/wp-content/uploads/mosaico2.png&imgrefurl=http://www.juguetes.org/mosaicos-
infantiles-de-
infantiles-de-
djeco/&h=420&w=595&sz=588&hl=es&start=11&usg=__8jAWRrV7suwmPWEwwRx8FTOlb_Q=&tbnid=sz9jJYoIANJbwM:&tbnh=95&tbnw=135&pre
v=/images%3Fq%3Dmosaicos%26gbv%3D2%26hl%3Des
full/escher.jpg
http://images.google.com.uy/imgres?imgurl=http://www.poulsons.com/Alhambra.jpg&imgrefurl=http://metaluna.freehostia.com/2007/12/11/teselaciones-
http://images.google.com.uy/imgres?imgurl=http://www.poulsons.com/Alhambra.jpg&imgrefurl=http://metaluna.freehostia.com/2007/12/11/teselaciones-
donde-se-unen-matematicas- arte-3/&h=525&w=700&sz=162&hl=es&start=18&um=1&usg=__HDeiVa31s5r7a32tEaq9-
donde-se-unen-matematicas-y-arte-3/&h=525&w=700&sz=162&hl=es&start=18&um=1&usg=__HDeiVa31s5r7a32tEaq9-
AvdDtc=&tbnid=o6g3kOZXOCFLTM:&tbnh=105&tbnw=140&prev=/images%3Fq%3Dteselaciones%2B%252B%2Barquitectura%26um%3D1%26hl
%3Des%26sa%3DN
http://images.google.com.uy/imgres?imgurl=http://menkaura.blogspot.es/img/mifoto05.jpg&imgrefurl=http://menkaura.blogspot.es/&h=730&w=550&sz=225
http://images.google.com.uy/imgres?imgurl=http://menkaura.blogspot.es/img/mifoto05.jpg&imgrefurl=http://menkaura.blogspot.es/&h=730&w=550&sz=225
&hl=es&start=16&um=1&usg=__-
&hl=es&start=16&um=1&usg=__-
sHFYdb9v2d03HdxPQw9OaTTM2E=&tbnid=Q70D5OmOMU6ZmM:&tbnh=141&tbnw=106&prev=/images%3Fq%3Dsimetr%25C3%25ADa%2By%
2Barte%26um%3D1%26hl%3Des
http://images.google.com.uy/imgres?imgurl=http://farm3.static.flickr.com/2311/1795709206_96b427b049_b.jpg&imgrefurl=http://www.taringa.net/posts/offt
http://images.google.com.uy/imgres?imgurl=http://farm3.static.flickr.com/2311/1795709206_96b427b049_b.jpg&imgrefurl=http://www.taringa.net/posts/offt
opic/1257320/Matem%25C3%25A1ticos-revelan-secretos-sobre-el-arte-de-la-
opic/1257320/Matem%25C3%25A1ticos-revelan-secretos-sobre-el-arte-de-la-
simetr%25C3%25ADa.html&h=880&w=1024&sz=347&hl=es&start=7&um=1&usg=__2Q7oVJhqkHBk27ZUEVBDBfF_KR4=&tbnid=Q5EG2IR91RsV
LM:&tbnh=129&tbnw=150&prev=/images%3Fq%3Dsimetr%25C3%25ADa%2By%2Barte%26um%3D1%26hl%3Des
http://images.google.com.uy/imgres?imgurl=http://farm4.static.flickr.com/3257/2298709193_3c717e79ea.jpg&imgrefurl=http://machincuepa.com/%3Fp%3
http://images.google.com.uy/imgres?imgurl=http://farm4.static.flickr.com/3257/2298709193_3c717e79ea.jpg&imgrefurl=http://machincuepa.com/%3Fp%3
D830&h=375&w=500&sz=126&hl=es&start=5&um=1&usg=__UxCdVJmk9PpAjni1BuObBJDYhLE=&tbnid=5xn0YU0k7CSzeM:&tbnh=98&tbnw=130
&prev=/images%3Fq%3Dsimetr%25C3%25ADa%2By%2Barte%26um%3D1%26hl%3Des
http://docentes.educacion.navarra.es/~msadaall/geogebra/escher.htm