Este documento resume conceptos matemáticos como transformaciones geométricas, simetría, traslación, rotación y teselaciones. Explica cómo estos conceptos se usan en arte, arquitectura y la naturaleza. También presenta ejemplos del trabajo del artista M.C. Escher y sugiere actividades para que los estudiantes exploren estas ideas.

1. FUNCIONES DEL PLANO EN EL PLANO Profesora Responsable : Nathalia Weigle

2. Índice Introducción Transformaciones geométricas Simetría Traslación Rotación Arte y geometría Frisos Mosaicos Polígonos regulares Teselaciones Mauritis Cornelius Escher Ejemplos en la vida real Así se trabajó

3. Introducción OPINIONES : Este trabajo trata de explicar algunos de los temas de matemática que encontramos interesantes ya que como todos saben las Matemáticas son una parte importante de la vida cotidiana, a continuación se presenta una serie actividades de investigación para trabajar con los alumnos. Este material tiene como objetivo principal ser claro y sencillo para el aprendizaje. Trata de hacer comprender y aprender conceptos como el de traslación, rotación y simetría. Muestra de forma dinámica e ilustrada la creación desde la antigüedad de obras de arte que utilizaron como fuente de inspiración la belleza de la perfección matemática.

4. Transformaciones Geométricas Un movimiento transforma una figura plana en otra figura de igual forma y tamaño. Los movimientos se clasifican en traslaciones, simetrías y giros. Una transformación geométrica en el plano es la que nos permite obtener un punto P` a partir de otro punto P mediante una regla precisa. Un movimiento es una transformación geométrica que conserva las distancias y los ángulos. http://youtu.be/LJturc6OllI

5. Simetría Axial. Las simetrías son movimientos muy utilizados en diversos campos del conocimiento, como la arquitectura, el diseño, el arte y la moda. Es una transformación isométrica fijada por una recta llamada “eje de simetría”. Además, es un concepto geométrico que tiene especial importancia en el estudio de las funciones. Es una función cuyo dominio y codominio son parte del plano. El punto A va a tener como imagen al punto A`.

6. Propiedades de la simetría axial. 1ª:La simetría axial: La imagen de un segmento en una simetría axial es otro segmento de igual longitud. 2ª: Las figuras simétricas conservan ángulos, área y perímetro. 3ª: En una simetría axial los puntos pertenecientes al eje de simetría se mantienen fijos. 4ª: La simetría axial aplicada a una circunferencia nos da como imagen otro circunferencia de igual radio y centro ó simétrico de o con respecto al eje c. Se dice que una figura tiene simetría axial cuando hay un eje de simetría que pueda dividirla en dos mitades idénticas respecto de éste (al plegar el papel en relación con el eje de simetría coinciden sus elementos).

7. Simetría Central Es una función, cuya función dominio y codominio son parte del plano. Surge de realizar dos simetrías axiales consecutivas de ejes perpendiculares. Tiene por referencia un punto al que llamaremos centro y que coincide con el punto de intersección de dos ejes perpendiculares . Una simetría central de centro O es equivalente a un giro de centro ese mismo punto ,O y ángulo 180º. Ambos producen el mismo resultado al transformar cualquier figura.

8. Traslación Se llama traslación de una figura a la transformación en otra figura mediante un desplazamiento. Para definir una traslación es necesario conocer un vector y un punto. Una traslación de vector v es un movimiento que transforma cualquier punto P en otro punto P´, de forma que PP´ tiene el mismo módulo, dirección y sentido que v.

9. Traslación Foto de una de las carpetas

10. Rotación Un giro o rotación es un movimiento que asocia a cada punto otro punto situado a la misma distancia que él de un punto llamado centro, O, y de modo que se cumple una determinada relación angular. Una rotación es una transformación isométrica que mueve una figura en torno a un punto fijo, llamado centro de rotación, y en un determinado ángulo, llamado ángulo de rotación. El ángulo se dice positivo si el giro se realiza en el sentido contrario a los punteros del reloj, y negativo en el otro caso. Actividad: Analiza un modelo de la Tierra, observa el eje terrestre y su movimiento de rotación. Revisa lo que estudiaste en este punto y piensa si el eje terrestre es un eje de simetría y qué tienen en común el movimiento de rotación de la Tierra con los que acabas de observar en el plano. Anota tus observaciones y conclusiones en tu cuaderno y convérsalas con tu profesor de Geografía

11. Polígonos Regulares Un polígono regular es un polígono en el que todos tienen la misma longitud y todos los ángulos interiores son de las misma mediada Una característica de los polígono regulares, es que se pueden trazar inscritos en una circunferencia que tocara cada uno de los vértices del polígono. A medida que crece el numero de los lados de un polígono regular, su apariencia se asemeja cada vez mas a la de un circulo. Actividad: Escribe los nombres de los polígonos regulares que aparecen en la diapositiva e investiga en internet como se construyen.

12. Teselaciones Una teselación o mosaico es un patrón de figuras repetidas que cubre, pavimenta o embaldosa una superficie plana sin dejar espacios ni sobreponer figuras. Las teselaciones se crean usando las transformaciones isométricas, es decir, los movimientos de rotación, traslación y simetría. Teselaciones regulares son aquella que se construye usando un polígono regular, y sólo existen tres: las que se forman con un triángulo equilátero, con un cuadrado y con un hexágono regular. Esto es porque solo se puede embaldosar el plano con polígonos regulares en que la medida de su ángulo interior sea un divisor de 360º. http://youtu.be/0DP_kH2S0TI

13. Teselaciones Regulares http://youtu.be/mQI53yK_vmw Actividad: 1)Construye una teselación con regla y compás sobre una cartulina. 2)Construye la misma teselación con GeoGebra.

14. Teselaciones Islámicas La geometría alcanza en el arte islámico todo un valor constructivo y decorativo, cuyas figuras están impregnadas de significado simbólico, cosmológico y filosófico. Puesto que el Corán prohíbe la representación en pintura o escultura de los seres vivos, esta decoración toma un carácter abstracto, armonioso y estilizado

15. Frisos Se llama Friso o cenefa a un dibujo que se genera por traslaciones sucesivas del mismo motivo. Los frisos se obtienen al aplicar la misma traslación a un motivo, figura base o elemento generador. En el arte persa es famoso el friso de los arqueros. Foto de una de las carpetas de estudiantes Foto del libro “La enciclopedia del estudiante”

16. Mosaicos Los mosaicos son un revestimiento de una superficie con piedras de colores distintos, que casi siempre forman dibujos, geométricos o de figuras: los bizantinos y los romanos hicieron mosaicos de gran perfección. Mosaicos Pararregulares Cuando utilizamos polígonos no regulares que permiten recubrir correctamente el plano el mosaico formado se llama pararregular. Podemos conseguir mosaicos pararregulares uniendo teselas o piezas iguales, obtenidas a partir de la deformación de polígonos regulares. Foto de una de las carpetas

17. Mosaicos semirregulares Se pueden realizar algunos diseños de baldosas basados en los mosaicos semirregulares, aquellos que utilizan dos o más tipos de polígonos regulares, de modo que alrededor de cada vértice se encuentren siempre los mismos polígonos en el mismo orden. Al igual que en los mosaicos pararregulares, la suma de los ángulos coincidente en cada vértice ha de ser 360º. Existen ocho mosaicos semirregulares. Foto de “La enciclopedia del estudiante- Matemática II “ http://youtu.be/5LxKSqvRrAI

18. Mauritis Cornelius Escher http://docentes.educacion.navarra.es/~msadaall/geogebra/escher.htm REPTILES CISNES Actividad: Busca información sobre la vida y obra de M. Escher para compartir con tus compañeros de clase. Recorta diferentes polígonos regulares y con un espejo determina los ejes de simetría. http://youtu.be/6hGgGHcKJa0

19. AUTORRETRATO Actividad: Busca en internet los nombres de las siguientes obras.

20. Ejemplos en la vida real TESELACIONES Y ARQUITECURA SIMETRÍA EN EL ARTE http://youtu.be/0XG-g84X8t4 http://youtu.be/fYpVmFUM5RY Actividad: Realiza un informe guiado por el profesor de historia sobre la geometría y simetría en monumentos, obras de arte y arquitectura.

21. Ejemplos en la vida real SIMETRÍA EN LA NATURALEZA Actividad: Realiza un informe guiado por el profesor de biología sobre la simetría en la naturaleza .Se recomienda analizar el video Artifact One Symmetry in Nature en youtube.

22. Geometría y publicidad Una parte sustancial de los gastos de imagen corporativa que realizan las grandes marcas han sido invertidos en el diseño de símbolos que, al mismo tiempo, sean sencillos e inconfundibles como sello distintivo de sus productos. Éste es el logotipo de una marca. En él, las regularidades geométricas, como los polígonos, regulares, predominan; así, el símbolo, además de sencillez, transmite la perfección que es inherente a la Geometría. Actividad: Recorta o dibuja con regla y compás por lo menos tres logotipos de marcas conocidas e indica que figuras geométricas las forman. Luego indica si tienen ejes o centro de simetrías.

23. Aportes de los alumnos EXPOSICIÓN 2007 DE TESELACIONES LICEO Nº2 de Maldonado Fotos de los trabajos anexos en las carpetas 2008

24. Liceo Nº2 de Maldonado EXPOSICIÓN PERMANENTE EN EL HALL DEL LICEO Nº 2 DE MALDONADO MOSAICOS Y FRISOS Actividad: Realiza una lámina o escultura aplicando los conceptos trabajados en la presentación. Solicita consejos del profesor de Educación visual y plástica.

25. Así trabajé. En la primera etapa me basé en un proyecto de investigación del año 2008 con mis alumnos de 2º año en Liceo Nº2 de Maldonado. El mismo lo adapté con los acotaciones de mis compañeros en el foro para elaborar un material reutilizable con mis futuros estudiantes, tomando en cuenta más de una vía de acceso y estimulando las diferentes capacidades de los alumnos. El programa que utilicé PowerPoint, los videos los extraje de YouTube, las imágenes las baje de diferentes páginas y el sonido de archivos disponibles en internet . La idea de este producto final es de que se pueda trabajar mirando sólo las diapositivas, combinando con los videos o seleccionando que videos se desean ver en esa clase o en varias clase, ya que no es un único tema, es una unidad temática.

26. Fuentes de información LIBROS: La enciclopedia del estudiante. Matemática 2- Santillana Matemática Segundo Año del Ciclo Básico- Belcredi, Zambra. Atlas universal (Matemáticas) Enciclopedia de Matemáticas Océano. Material didáctico en internet: VIDEOS : http://youtu.be/LJturc6OllI http://youtu.be/0DP_kH2S0TI http://youtu.be/mQI53yK_vmw http://youtu.be/5LxKSqvRrAI http://youtu.be/6hGgGHcKJa0 http://youtu.be/fYpVmFUM5RY http://youtu.be/0XG-g84X8t4 SONIDO:

27. CRÉDITOS DE LAS FOTOGRAFÍAS: http://es.dreamstime.com/fotograf-iacutea-de-archivo-libre-de-regal-iacuteas-paisaje-sim-trico-con-los-rboles-en-el-lago-image12759077 http://belgrano.olx.com.ar/profesor-particular-fisica-matematica-quimica-iid-171257442 http://la-clase-de-plastica.blogspot.com/2010/07/practicar-la-simetria.htm http://www.paginasprodigy.com/mosaicospeninsular/Residencias.htm http://images.google.com.uy/url?q=http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Vazquez/carpeta/GEOMETRIA/MOV.%2520PLANO/TRASL/movimientos6x.html&ei=oDvvTpi4JIHAgAfRs42FCQ&sa=X&oi=unauthorizedredirect&ct=targetlink&ust=1324303016598782&usg=AFQjCNFLlaIVUDV3KzYGftvMmRcYZPLIUA http://images.google.com.uy/url?q=http://www.kalipedia.com/matematicas-geometria/tema/movimientos-plano/traslacion.html%3Fx%3D20070926klpmatgeo_265.Kes%26ap%3D0&ei=4TvvTuvtCcSKgwfHwL3lCA&sa=X&oi=unauthorizedredirect&ct=targetlink&ust=1324303081163599&usg=AFQjCNGjhfbtXL9TwIkMvM5-jPMiBmehHQ http://images.google.com.uy/url?q=http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Teselaciones.htm&ei=t07vTo7ADsbIgQfBt_nIBQ&sa=X&oi=unauthorizedredirect&ct=targetlink&ust=1324307903239996&usg=AFQjCNEHVshppr-97q9ju5xUs9lHHWEpxw /wiki/Imagen:Polig_04b.svg http://images.google.com.uy/imgres?imgurl=http://www.juguetes.org/wp-content/uploads/mosaico2.png&imgrefurl=http://www.juguetes.org/mosaicos-infantiles-de-djeco/&h=420&w=595&sz=588&hl=es&start=11&usg=__8jAWRrV7suwmPWEwwRx8FTOlb_Q=&tbnid=sz9jJYoIANJbwM:&tbnh=95&tbnw=135&prev=/images%3Fq%3Dmosaicos%26gbv%3D2%26hl%3Des full/escher.jpg http://images.google.com.uy/imgres?imgurl=http://www.poulsons.com/Alhambra.jpg&imgrefurl=http://metaluna.freehostia.com/2007/12/11/teselaciones-donde-se-unen-matematicas-y-arte-3/&h=525&w=700&sz=162&hl=es&start=18&um=1&usg=__HDeiVa31s5r7a32tEaq9-AvdDtc=&tbnid=o6g3kOZXOCFLTM:&tbnh=105&tbnw=140&prev=/images%3Fq%3Dteselaciones%2B%252B%2Barquitectura%26um%3D1%26hl%3Des%26sa%3DN http://images.google.com.uy/imgres?imgurl=http://menkaura.blogspot.es/img/mifoto05.jpg&imgrefurl=http://menkaura.blogspot.es/&h=730&w=550&sz=225&hl=es&start=16&um=1&usg=__-sHFYdb9v2d03HdxPQw9OaTTM2E=&tbnid=Q70D5OmOMU6ZmM:&tbnh=141&tbnw=106&prev=/images%3Fq%3Dsimetr%25C3%25ADa%2By%2Barte%26um%3D1%26hl%3Des http://images.google.com.uy/imgres?imgurl=http://farm3.static.flickr.com/2311/1795709206_96b427b049_b.jpg&imgrefurl=http://www.taringa.net/posts/offtopic/1257320/Matem%25C3%25A1ticos-revelan-secretos-sobre-el-arte-de-la-simetr%25C3%25ADa.html&h=880&w=1024&sz=347&hl=es&start=7&um=1&usg=__2Q7oVJhqkHBk27ZUEVBDBfF_KR4=&tbnid=Q5EG2IR91RsVLM:&tbnh=129&tbnw=150&prev=/images%3Fq%3Dsimetr%25C3%25ADa%2By%2Barte%26um%3D1%26hl%3Des http://images.google.com.uy/imgres?imgurl=http://farm4.static.flickr.com/3257/2298709193_3c717e79ea.jpg&imgrefurl=http://machincuepa.com/%3Fp%3D830&h=375&w=500&sz=126&hl=es&start=5&um=1&usg=__UxCdVJmk9PpAjni1BuObBJDYhLE=&tbnid=5xn0YU0k7CSzeM:&tbnh=98&tbnw=130&prev=/images%3Fq%3Dsimetr%25C3%25ADa%2By%2Barte%26um%3D1%26hl%3Des http://docentes.educacion.navarra.es/~msadaall/geogebra/escher.htm