SOBRE EL TEOREMA DE DARBOUX.

Universidad Autónoma Benito Juárez de Oaxaca
Escuela de Ciencias
SOBRE EL TEOREMA DE
DARBOUX
Tesis presentada por Ramiro Garc´ıa Bautista
para obtener el t´ıtulo de LICENCIADO EN MATEMÁTICAS
Asesor de Tesis: Dr. Armando A. Sánchez Argáez
2013
Departamento de Matemáticas

Dedicatoria
Esta tesis esta dedicada a:
A mi padre Crisanto Garc´ıa López por apoyarme todo este tiempo, por confiar
en m´ı y creer en mi capacidad para seguir con mis estudios.
A mi madre Soledad Bautista Vázquez por darme la vida, por haber confiado
en m´ı capacidad, también por ser una gran madre y apoyarme siempre.
A mi prometida Enedina Olivera Mart´ınez al estar a mi lado desde hace mas
de seis años, por haber decidido compartir su vida conmigo, por el gran amor
que siento por ella, por estar en los momentos mas dif´ıciles y alegres de mi vida
y porque es una gran mujer. También se lo dedico, a sus padres por el apoyo
que he recibido de parte de ellos y a toda su familia en general.
A mi hermano Venancio Claudio Garc´ıa Bautista por ser un ejemplo de lucha
constante y de superación.
A todos mis hermanos por todos los momentos que hemos pasado.
A Dios por bendecir este camino que estoy emprendiendo.
2

Agradecimientos
Este trabajo no hubiera sido posible sin el apoyo del Doctor Armando Sánchez Ar-
gáez y dos sinodales en la revisión de la tesis. Agradezco a todos los profesores de
la licenciatura en matemáticas de la Escuela de Ciencias UABJO por transmitir sus
valiosos conocimientos durante mi formación a lo largo de la carrera. Ofrezco un
reconocimiento especial a mi hermano Venancio Claudio Garc´ıa Bautista por el so-
porte económico para poder sostener mi carrera. Y a Enedina Olivera Mart´ınez por
el apoyo que recib´ı cuando escrib´ı la tesis.
Agradezco a las siguientes instituciones donde me forje.
Escuela Primaria Emiliano Zapata de Santa Rosa, Putla Villa de Guerrero,
Oaxaca.
Escuela Primaria Cuauhtémoc de San Isidro Paz Y Progreso, Tlaxiaco, Oaxaca.
Escuela Preparatoria Lázaro Cárdenas Del R´ıo de Tlaxiaco, Oaxaca.
Escuela De Ciencias de la UABJO.
Agradezco al Instituto de Matemáticas, UNAM por seguir formándome en la maes-
tr´ıa.
3

Resumen
El trabajo hecho en esta tesis fue estudiar algunas propiedades de la topolog´ıa sim-
pléctica en particular el comportamiento local de variedades simplecticas, para eso se
entendió la demostración del teorema de Darboux, el enunciado de este es interesante
por que afirma que dos variedades diferenciables con estructura simplécticas local-
mente no tienen invariantes topológicas, eso quiere decir que al momento de analizar
dos variedades simplecticas y querer compararlas, no servir´ıa un estudio local por
que el teorema nos afirmar´ıa que son idénticas y que se comportan de la misma ma-
nera alrededor de cualquier punto, esto nos indica que tenemos que hacer un estudio
global para diferencia algunas propiedades topológicas y geométricas. Si el estudio
que se quiere hacer de cualquier variedad simpléctica es puramente local basta con
analizar la variedad simpléctica (R2n
, ω0), por que el teorema de Darboux nos afirma
que son simplectomorfas localmente. Esto simplifica enormemente el trabajo, dado
que se conocen muchas cosas de esta variedad diferenciable.
Lo interesante de este trabajo es la forma en como se estudio la demostración del
teorema de Darboux, basándose en el trabajo de Moser sobres campos vectoriales
y formas diferenciales, esto simplifica y pone con mas claridad la demostración, de
tal manera que el teorema de Darboux queda como aplicación inmediato de esté
trabajo. Lo que no se observa en otras demostraciones hechas para esta teorema
como es puede ver en [7] y en el trabajo original de Darboux.
Ramiro Garc´ıa Bautista
4

Índice general
Dedicatoria 2
Agradecimientos 3
Resumen 4
Introducción 7
1. Estudio de objetos con estructuras diferenciales 10
1.1. Variedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.1. Derivadas direccionales, vectores tangentes . . . . . . . . . . . 15
1.1.2. Haz tangente, campo vectorial y haz cotangente . . . . . . . . 21
1.1.3. Aplicación diferenciable y el teorema de la función impl´ıcita . 25
1.2. Formas Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.1. Álgebra Alternante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.2. Formas diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.3. Formas diferenciales en Variedades . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.4. Definición de Cohomolog´ıa de De Rham . . . . . . . . . . . . 32
1.2.5. Derivada de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2. Introducción al estudio de los Simplectomorfismos 38
2.1. Estructura Simpléctica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.1. Espacio vectorial simpléctico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.2. Variedades Simplécticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2. Subvariedades Lagrangianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5

6 Índice general
2.2.1. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3. Estudio del teorema de Darboux 58
3.1. Teor´ıa de Moser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1.1. Teorema de Moser Versión I y II . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1.2. Teorema de Moser Versión local . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2. Teorema de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Conclusión 64
Bibliograf´ıa 65

Introducción
La topolog´ıa (El termino que fue introducido por primera vez por L.B. Listing en
1836) es una rama importante de las matemáticas que surge de la necesidad de
“medir” la proximidad de los objetos en un espacio X en la que no se tiene una
métrica, es decir, no se cuenta con una forma de medir que tan cerca o que tan lejos
están dos objetos. La topolog´ıa busca hacer estudios similares como en el caso de los
espacio Euclidianos que cuentan con una métrica. Uno de sus objetivos es extender
la noción de continuidad de manera mas rigurosa y estudiar los espacios topológicos.
Un conjunto X se le llamará espacio topológico si consta de una colección τ ∈ X
llamado topolog´ıa que satisface las siguientes condiciones:
1) El conjunto vac´ıo y el total pertenecen a la colección.
2) La unión arbitraria de sus elementos están en la colección.
3) La intersección finita de sus elementos están en la colección.
A los elementos de τ se les conoce como conjuntos abiertos y a los elementos de X
puntos.
Un conjunto β ⊂ τ es una base si cualquier elemento de τ se puede escribir como
unión de elementos de β. El espacio topológico X se le llamará segundo numerable
si tiene una base numerable y Hausdorff (en honor a Félix Hausdorff que fue un
matemático alemán considerado como uno de los impulsores de la topolog´ıa moderna
y que ha contribuido también a la teor´ıa de conjuntos, la teor´ıa de la medida, el
análisis funcional ) si para dos puntos de X se puede encontrar abiertos disjuntos
que contengan a cada uno. No todos los espacio topológicos tienen estas propiedades.
A un punto p ∈ X se le puede asignar un espacio vectorial llamado espacio tangente
TpX (en 1860 surge la definición axiomática de este espacio)pero bajo ciertas con-
diciones que se pide a X, esto quiere decir que no a todo punto del espacio se le
7

8 Índice general
puede asignar un espacio tangente. Se puede decir que X es una variedad diferencial
(este concepto fue introducido por Hermann Weyl en 1983) si es Hausdorff, segundo
numerable y para cada punto se le puede asignar un espacio tangente, otra forma
de decirlo es que el espacio X sea una superficie sin picos, la definición formal se
dará en el cap´ıtulo 1, este tipo de espacio topológico aparecen en diversos campos de
la f´ısica como es la relatividad general, teor´ıa de cuerdas, en mecánica clásica para
describir la situación de un solido r´ıgido, entre otros estudios.
Sobre los espacios tangentes se se estudiará funciones biliniales antisimetricas espe-
ciales la cual se definirán formalmente en el cap´ıtulo 1. Este trabajo se enfocará en
estudiar algunas propiedades del par (X, ω) donde X es una variedad diferenciable y
ω es una 2-forma cerrada, no degenerada en X llamada la forma simpléctica. A este
tipo de variedad se le llamará simpléctica.
Esta tesis se preocupará por entender la demostración del teorema de Darboux que
fue demostrado en 1882 en el art´ıculo SUR LE PROBLÈME DE PFAFF, este
teorema nos afirma que todas las variedades simplécticas de las mismas dimensiones
localmente son simplectomorfas, es decir, localmente son indistinguibles, entonces la
forma de diferenciar dos variedades simplécticas es estudiar sus propiedades globales,
aunque en esta tesis solamente estudia la parte local. El objetivo ahora es entender
la demostración del teorema para eso se dividirá esta tesis en tres partes.
Como primera parte se estudiará propiedades generales de las variedades diferencia-
les, se definirá dos espacios vectoriales especiales que nos interesan el haz tangente y
el haz cotangente que más adelante se demostrará que tienen una estructura natural
de variedad diferencial, posteriormente se introducirá el concepto de álgebra alter-
nante de un espacio vectorial sobre el cual se definirá un producto exterior o cuña,
este mismo producto nos servirá para definir la derivada exterior d en los espacios
de las k-formas diferenciales. Para concluir esta primera parte se dará el concepto
de un campo vectorial X sobre una variedad diferencial la cual nos servirá para dar
algunas propiedades de la derivada de Lie L sobre las k-formas diferenciales y sera
de gran utilidad para la demostración del teorema de Darboux.
La segunda parte se estudiará propiedades de los espacios vectoriales simplécticos y
la noción de una función simpléctica, sobres los espacios simplécticos se definirá los
simplectomorfismos que son isomorfismos lineales que mandan funciones simplécticas

Índice general 9
a funciones simplécticas, posteriormente se definirá una 2-forma diferencial simplécti-
ca y se observará que una variedad simpléctica (M, ω) esta formada por una variedad
diferencial M y una forma 2-forma simpléctica ω, una observación importante es que
solamente se les puede dotar de estructura simpléctica a las variedades con dimensión
par. Para concluir con esta parte se dará la definición de la variedad lagrangiana. Se
introducirá una receta para construir simplectomorfismos usando esta variedad, as´ı
como una aplicación de esta construcción la cual se conoce como teor´ıa de billares.
Como tercera y última parte se probará primeramente dos versiones del teorema
de Moser para variedades simplécticas compactas para ello se utilizara el teorema
existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales vista en el capitulo uno, y poste-
riormente se demostrar una versión local del teorema de Moser para una variedad
simpléctica en general, para eso se hará uso del material visto en las primeras dos
partes de la tesis, tomaremos especial atención en la versión local que es una pieza
muy importante en la demostración del teorema de Darboux y como conclusión de la
primera, segunda y tercera parte se hará la demostración del teorema de Darboux.
Cabe destacar que para entender bien la demostración del teorema de Darboux se
necesita fuertes conocimientos de geometr´ıa diferencial, topolog´ıa, álgebra entre otras
ramas de las matemáticas, la cual fue un gusto y fue un paseo emocionante.

Cap´ıtulo 1
Estudio de objetos con estructuras
diferenciales
En este cap´ıtulo se estudiarán propiedades generales de las variedades diferenciales,
se definirán dos espacios vectoriales especiales: el haz tangente y el haz cotangente.
A estos espacios vectoriales se les dotará de una estructura natural de variedad
diferenciable. Posteriormente se introducirá el concepto de álgebra alternante de un
espacio vectorial sobre el cual se definirá un producto exterior o cuña. Este mismo
producto nos servirá para definir la derivada exterior en los espacios de las k-formas
diferenciales. Para concluir esta primera parte se dará el concepto de campo vectorial
sobre una variedad diferencial el cual nos servirá para introducir algunas propiedades
de la derivada de Lie sobre las k-formas diferenciales y se proporcionará la definición
de Cohomolog´ıa de De Rham.
1.1. Variedades.
Definición 1.1.1. Sea M un espacio topológico Hausdorff y segundo numerable. M
es una variedad topológica si cumple:
Para todo x en M, existe una vecindad abierta U de x y un homeomorfismo φ :
U −→ V ⊂ Rn
, V abierto en Rn
(ver Figura 1).
Al par (U, φ) se le conoce como carta coordenada o simplemente una carta de
la variedad topológica M. Si p ∈ U se dice que (U, φ) es una carta alrededor de p.
10

1.1. Variedades. 11
La carta coordenada está centrada en p cuando φ(p) = 0, n es la dimensión de la
variedad y se escribe n = dimM.
Se observa que las variedades topológicas son un caso especial de los espacios to-
pológicos que tienen la propiedad de ser segundo numerable, Hausdorff y con cierta
caracter´ıstica especial: localmente tiene la misma propiedad que el espacio Rn
. Dicha
caracter´ıstica simplifica el análisis que se quiera hacer sobre la variedad topológica.
Observación: Es claro que si φ1 : U1 −→ V1 y φ2 : U2 −→ V2 son dos homeomorfismos
tal que U1 ∩ U2 = ∅, entonces φ2 ◦ φ−1
1 : φ1(U1 ∩ U2) −→ φ2(U1 ∩ U2) es un homeo-
morfismo, porque si φ1 es homeomorfismo también lo es su inversa y la composición
de homeomorfismo es homeomorfismo, ver Figura 2.
Al hecho anterior se le llama un cambio de cartas. Dos cartas (U1, φ1) y (U2, φ2)
son diferencialmente compatibles si el cambio de cartas es un difeomorfismo.
Definición 1.1.2. Sea M una variedad topológica.
Un atlas A para M es una colección de cartas cuyo dominio cubre todo M.
Un atlas A tal que cualquier par de cartas es diferencialmente compatible se
denomina un atlas diferenciable A en M.

12 Cap´ıtulo 1. Estudio de objetos con estructuras diferenciales
Una estructura diferenciable en M es una atlas diferenciable maximal A.
Maximal en el sentido de que si la carta (U, φ) es diferencialmente compatible
con todas las cartas de A entonces (U, φ) ∈ A.
Definición 1.1.3. (Variedad Diferenciable) Una variedad diferenciable de di-
mensión n es un par (M, A) donde M es una variedad topológica y A es una estruc-
tura diferenciable.
Dado que únicamente se trabajará con variedades diferenciables, se escribirá sólo M
al menos que sea necesario especificar la estructura diferencial.
Se darán a continuación algunos ejemplos de variedades diferenciables y como el
lector podrá notar, algunos ya los habrá visto en algún curso de cálculo.
Ejemplo 1.1.1. Un abierto U de Rn
con la estructura diferenciable inducida por
(U, IU ) donde IU es la función identidad. En particular, Rn
es una variedad con la
estructura determinada por el atlas que consiste de una sola carta (Rn
, Id) (Espacios
Euclidianos).
Ejemplo 1.1.2. (n-esfera unitaria) Sea Sn
el conjunto de vectores unitarios de
Rn+1
.
Sn
= x ∈ Rn+1
| x = 1

1.1. Variedades. 13
Para cada ´ındice i = 1, . . . , n + 1, sea U+
i el subconjunto de Sn
donde la i-ésima
coordenada es positiva, es decir;
U+
i = {(xi, . . . , xn+1) ∈ Sn
|xi > 0}.
De manera similar, U−
i es el conjunto donde la i-ésima coordenada es negativa.
Para cada i sea ϕ±
i : U±
i −→ Rn
la función
ϕ±
i (x1, . . . , xn+1) = (x1, . . . , ˆxi, . . . , xn+1)
donde ˆxi indica que la i-ésima coordenada ha sido omitida. Observese que cada ϕ±
i
es un homeomorfismo sobre su imagen (la bola unitaria Bn
⊂ Rn
), cuya inversa está
dada expl´ıcitamente por
(ϕ±
i )−1
(x1, . . . , xn) = (x1, . . . , xi−1, ± 1 − x 2, xi, . . . , xn)
para cada i = 1, . . . , n + 1.
Las (U±
i ,ϕ±
i ) denotan la cartas coordenadas de Sn
. Para cualquier´ındice i, j el cambio

de cartas coordenadas está dado por ϕ±
j ◦ (ϕ±
i )−1
. Para el caso de i < j, se tiene
ϕ±
i ◦ (ϕ±
j )−1
(x1, . . . , xn) = (x1, . . . , ˆxi, . . . , ± 1 − x 2, . . . , xn)
y de manera similar para i > j, cuando i = j ϕ±
i ◦ (ϕ±
i )−1
= IdBn . Como el lector
puede notar los cambios de coordenadas son diferenciables porque cada entrada es
diferenciable. La colección de cartas {(U±
i , ϕ±
i )} es un atlas maximal para Sn
.
As´ı, Sn
es una variedad diferenciable con la estructura diferenciable inducida por
Rn+1
. Esta no es la única estructura diferenciable que se le puede dotar a la esfera.
Ejemplo 1.1.3. (Espacio proyectivo) El espacio proyectivo real de dimensión n
denotado por Pn
(o RPn
), está definido como el conjunto de subespacios lineales
de dimensión 1 de Rn+1
. La topolog´ıa de Pn
, está dada por la topolog´ıa cociente
determinada por la función natural
π : Rn+1
{0} −→ Pn
x −→ λx
Sea [x] = π(x) la clase de equivalencia de x en Pn
. Para cada i = 1, . . . , n + 1, sea
Ui ⊂ Rn+1
{0} el conjunto donde xi = 0 y sea Ui = π(Ui) ⊂ Pn
. Ui es abierto y
como Ui = π−1
(Ui) se tiene que Ui es también abierto, π : Ui −→ Ui es una función
cociente porque un conjunto es abierto en su imagen si y sólo si la preimagen del
conjunto bajo π es abierto en el dominio. Sea ϕi : Ui −→ Rn
la función
ϕi[x1, . . . , xn+1] =
xi
xi
, . . . ,
xi−1
xi
,
xi+1
xi
, . . . ,
xn+1
xi
la cual está bien definida pues no hay división sobre cero. La inversa de ϕi es:
ϕ−1
i (x1, . . . , xn) = [x1, . . . , xi−1, 1, xi, . . . , xn]
el lector puede observar que esta función es continua pues cada entrada es continua.
As´ı, ϕi es claramente un homeomorfismo.
De este modo, (Ui, ϕi) es una carta para el espacio proyectivo Pn
con cambio de

1.1. Variedades. 15
cartas coordenadas
ϕj ◦ ϕ−1
i (x1, . . . , xn) =
x1
xj
, . . . ,
xj−1
xj
, . . . ,
xi−1
xj
,
1
xj
,
xi+1
xj
, . . . ,
xn
xj
tomando i > j. Esta función es un difeomorfismo de ϕi(Ui ∩ Uj) a ϕj(Ui ∩ Uj). Asi
se tiene una estructura diferenciable en Pn
.
Si los subespacios de dimensión 1 pertenecen al campo de los complejos, a este
espacio se le conoce como espacio proyectivo complejo y se le denota por CPn
. La
construcción es similar a la construcción dada para el caso real.
Observación: a) Cualquier espacio vectorial real de dimensión finita n se le puede
dotar de una estructura de variedad diferenciable, es decir, se puede identificar con
la variedad diferenciable Rn
.
b) Todo subconjunto abierto de una variedad diferenciable es una variedad diferen-
ciable.
Con esta observación se puede entender mejor los siguientes ejemplos.
Ejemplo 1.1.4. (Matrices) Sea (Mm×n, R) el espacio de matrices de tamaño mn
con coeficientes reales el cual se puede identificar con el espacio Rn×m
, por ser un
espacio vectorial con la operación suma de matrices y multiplicación por un escalar.
Esto hace que sea una variedad diferenciable de dimensión nm, que en particular es
un ejemplo de espacio euclidiano.
Ejemplo 1.1.5. (El Grupo General Lineal) El grupo general lineal GL(n, R) es
el conjunto de matrices invertibles n×n con entradas reales. Es una variedad diferen-
ciable de dimensión n2
porque es un subconjunto abierto de la variedad (Mn×n, R).
Para más ejemplos ver [5].
1.1.1. Derivadas direccionales, vectores tangentes
La idea ahora es colocar sobre cada elemento p de M un espacio vectorial llamado
espacio tangente y darle estructura de espacio vectorial, por que mas adelante se
pretende definir unos objetos llamados formas diferenciales y este espacio vectorial
nos servirá de base.

Definición 1.1.4. Sea M una variedad diferenciable, p un punto de M y sean
α, β : (− , ) −→ M curvas diferenciables en M tales que α(0) = β(0) = p. Se
dice que α y β son equivalentes si y sólo si para alguna carta (U, ϕ) de p se tiene que
(ϕ ◦ α) (0) = (ϕ ◦ β) (0).
Esta definición no depende de la carta elegida por que en caso de escoger otra se hace
un cambio de cartas coordenada. Como el lector notará el concepto de equivalencia de
curvas define una relación de equivalencia. Se denota por [α] la clase de equivalencia
de α, [α] se le llamará vector tangente (primera definición de vector tangente)
a α en p.
Definición 1.1.5. El espacio tangente a una variedad M en el punto p es el conjunto
de clases de equivalencia de curvas
TpM = {[α]|α : (− , ) −→ M}
con la relación de equivalencia de la definición anterior.
Dado un vector v y una función f, se puede calcular la derivada direccional de f en
la dirección de v entonces la intención es definir este concepto para dar una segunda
definición de vector tangente.

1.1. Variedades. 17
Sea U ⊂ Rn
abierto, f : U −→ R una función diferenciable en un punto p ∈ U y sea
v ∈ Rn
. Se define la derivada direccional v : C∞
(U) −→ R de f como
v(f) := dfp(v) = f(p), v
donde C∞
(U) es el conjunto de todas las funciones diferenciales en U, hay que aclara
que se esta haciendo un abuso de notación con v.
La cual tiene las siguientes propiedades:
1) Si 1 es la función constante uno entonces v(1) = 0.
2) Sea a, b ∈ R y f, g ∈ C1
(U), entonces f es lineal y satisface la regla de Leibniz, es
decir, se tiene:
a)v(af + bg) = av(f) + bv(g)
y
b) v(fg) = f(p)v(g) + g(p)v(f)
Se puede considerar a v como un operador lineal en el conjunto de funciones definidas
en una vecindad de p que además son diferenciables en p.
Definición 1.1.6. Sea M una variedad diferencial y p ∈ M. Considérese el conjunto
de funciones diferenciables en alguna vecindad de p. Def´ınase una relación en este
conjunto: f ∼p g si y sólo si f es igual a g en alguna vecindad de p. Ésta relación es
de equivalencia. Un representante de la clase de equivalencia se denota como [f] y se
llama el germen de la función f en p. Sea GpM el conjunto de todos los gérmenes
en p.
Para cada germen def´ınase [f](p) = f(p) abusando de notación. En GpM se definen
las operaciones:
1) [f] + [g] = [f + g]
2) a[f] = [af]
3) [f][g] = [fg]
es decir, GpM es una k-álgebra conmutativa.
Definición 1.1.7. (Segunda definición de vector tangente) Sea M una va-
riedad diferencial y p ∈ M. Un vector tangente a M en p es un operador lineal

v : GpM −→ R que satisface la regla de Leibniz
v([fg]) = f(p)v([g]) + g(p)v([f])
.
donde v es la derivada direccional definido anteriormente. El espacio tangente a
M en p es el conjunto TpM de vectores tangentes a M en p.
Las dos definiciones anteriores del espacio tangente TpM están estrechamente rela-
cionadas: si α es una curva diferenciable en M con α(0) = p, entonces se puede
definir un operador de GpM a R vα como
vα([f]) = (f ◦ α) (0)
el cual no depende de la función f elegida en el germen de [f] dado que es un
representante de la clase. Observemos también que
vα([fg]) = vα([f][g])
= ((f ◦ g) ◦ α) (0)

1.1. Variedades. 19
= f(α(0))(g ◦ α) (0) + g(α(0))(f ◦ α) (0)
= f(p)vα([g]) + g(p)vα([f]).
Esto demuestra que vα es un operador que satisface la regla de Leibniz. Como el lector
podrá comprobar existe una correspondencia biyectiva entre los conjuntos dados por
las dos definiciones del espacio tangente.
Con la definición anterior TpM tiene la estructura de espacio vectorial la cual se deja
al lector comprobar. Ahora tiene sentido preguntar ¿Cuál es la dimensión de TpM?
Sea (U, ϕ) una carta con p ∈ U ⊂ M y sea ui las funciones de coordenadas cartesianas
en Rn
. Sea xi = ui ◦ ϕ : U −→ R y def´ınase
( ∂
∂xi
)p : GpM −→ Rn
[f] → ∂
∂ui
(f ◦ ϕ−1
)(ϕ(p))
donde ∂
∂ui
es la derivada parcial de la función con respecto de la i-ésima variable en
Rn
.
Se demostrará que
∂
∂x1 p
, . . . ,
∂
∂xn p
es una base para TpM. Para eso es necesario demostrar el siguiente lema.
Lema 1.1.1. Sea V ∈ Rn
un abierto convexo con 0 ∈ V y f ∈ C∞
(V ). Entonces
existen g1, . . . , gn ∈ C∞
(V ) tales que
f(u) = f(0) +
n
i=1
uigi(u) con u = (u1, . . . , un) ∈ V y gi(0) =
∂f
∂ui
(0).
Demostración: Sea u ∈ V y def´ınase h(t) = f(tu) entonces por el teorema funda-
mental del calculo tenemos:
f(u) − f(0) = h(1) − h(0) =
1
0
h (t)dt =
1
0
n
i=1
ui
∂f
∂ui
(tu)dt =
n
1
uigi(u)
donde gi(u) =
1
0
∂f
∂ui
(tu)dt. Obsérvese que gi(0) = ∂f
∂ui
(0) lo que concluye la demos-
tración.

Teorema 1.1.1. Sea M una variedad diferenciable de dimensi´on n, p ∈ M. Sea
(U, ϕ) una carta con p ∈ U y xi = ui ◦ ϕ. Entonces
v =
n
i=1
v([xi])
∂
∂xi p
para todo v ∈ TpM
Demostraci´on: Sin perdida de generalidad se puede suponer que ϕ(p) = 0 por que
existe un cambio de coordenada en la que se puede lograr. Sea f ∈ C∞
(ϕ−1
(Br(0))),
donde Br(0) es la bola con centro en 0 y radio r. Por el lema anterior aplicado a
f ◦ ϕ−1
∈ C∞
(Br(0)) se tiene que
f ◦ ϕ−1
(u) = f ◦ ϕ−1
(0) +
n
i=1
uigi(u)
gi(0) =
∂
∂ui
(f ◦ ϕ−1
)(0)
entonces
f(x) = f(p) +
n
i=1
xi(gi ◦ ϕ) x ∈ ϕ−1
(Br(0))
lo que implica que
v([f]) = v
n
i=1
xi(gi ◦ ϕ)
=
n
i=1
v(xi(gi ◦ ϕ))
=
n
i=1
v([xi])(gi ◦ ϕ)(p) +
n
i=1
v([gi ◦ ϕ])xi(p)
=
n
i=1
v([xi])
∂
∂ui
(f ◦ ϕ−1
)(0)
=
n
i=1
v([xi])
∂
∂xi p
([f])

1.1. Variedades. 21
Como consecuencia inmediata del teorema se tiene el corolario siguiente.
Corolario 1.1.1. Sea M una variedad diferenciable y p ∈ M entonces TpM es un
espacio vectorial de dimensión igual a la de M.
Se observa que la estructura diferencial de M juega un papel importante para dotar
de una estructura de espacio vectorial a TpM, entonces podremos decir que un espacio
topológico segundo numerable y Hausdorff tiene una estructura diferencial si para
cada punto de ella se le puede asignar un espacio vectorial tangente.
1.1.2. Haz tangente, campo vectorial y haz cotangente
Aqu´ı se definirán los haces vectoriales canónicos tangentes y contantes, la cual se les
dotara de una estructura de variedad diferencial.
Definición 1.1.8. Dada una variedad M de dimensión n, el haz tangente de M de-
notado por TM. Se define, como conjunto, la unión disjunta de los espacios tangentes
en cada punto.
TM =
p∈M
TpM.
Un elemento de TM se escribe como (X, p) donde p ∈ M y Xp ∈ TpM. Para TM se
tiene una proyección natural π : TM −→ M la cual manda a cada vector de TpM a
p, es decir, si (X, p) ∈ TM =⇒ π(X, p) = p.
Teorema 1.1.2. Sea M un variedad diferencial de dimensión n. El haz tangente
TM es una variedad diferencial de dimensión 2n.
Demostración: Sea (U, ϕ) cualquier carta para M y (x1, . . . , xn) las funciones coor-
denadas de ϕ. Def´ınase ϕ : π−1
(U) −→ R2n
por
ϕ(v) = (x1, . . . , xn, v1, . . . , vn)
donde v = n
i vi([xi])( ∂
∂xj
)p la cual esta formada por las vi dado por las xi . Obsérvese
que la imagen de ϕ(π−1
(U)) = ϕ(U)×Rn
es un subconjunto abierto de R2n
y es una
biyección sobre su imagen cuya inversa se puede escribir expl´ıcitamente por
ϕ−1
(x1, . . . , xn, v1, . . . , vn) =
n
i
vi([xi])(
∂
∂xi
)|ϕ(x)−1

entonces ϕ es un homeomorfismo entre π−1
(U) y ϕ(U)×Rn
, denotamos a π−1
(U) :=
TU y la llamaremos carta correspondiente al abierto U en TM.
Ahora dados dos cartas (U, ϕ) y (V, ψ) para M se tienes dos cartas correspondientes
(TU, ϕ) y (TV, ψ) en TM, se observa que ϕ(TU ∩ TV ) = ϕ(U ∩ V ) × Rn
y ψ(TU ∩
TV ) = ψ(U ∩ V ) × Rn
son abiertos en R2n
y la función cambio de coordenada
ψ ◦ ϕ−1
: ϕ(U ∩ V ) × Rn
−→ ψ(U ∩ V ) × Rn
se puede escribir expl´ıcitamente usando el Teorema 1.1.1 como
ψ ◦ ϕ−1
(x1, . . . , xn, v1, . . . , vn) = (x1(x), . . . , xn(x),
∂x1(x)
∂xj
vj, . . . ,
∂xn(x)
∂xj
vj)
la cual es claramente diferenciable.
Si A = {(U, ϕ)} es una estructura diferenciable de M se obtiene una estructura dife-
renciable asociada A = {(TU, ϕ)|(U, ϕ) ∈ A} para TM se observa que la dimensión
es 2n.
A las coordenadas (x1, . . . , xn, v1, . . . , vn) de este teorema se les llama las coordenadas
tangentes asociadas a TM. Observemos que la topolog´ıa natural para TM es la dada
por las cartas (TU, ϕ).
Definición 1.1.9. Sea M una variedad diferencial, TM su haz tangente y π :
TM −→ M la proyección π(p, v) = p, si v ∈ TpM. Un campo vectorial en M
es una transformación X : M −→ TM tal que π ◦ X es la identidad en M; es decir,
X(p) ∈ TpM para todo p ∈ M.
Si X es diferenciable se dirá que es un campo vectorial diferenciable, se denota como
X(M) el conjunto de campos diferenciables en M.
Para ampliar el estudio de campos vectoriales ver [5], enunciaremos el siguiente
teorema como complemento para la demostración del teorema de Moser.
Teorema 1.1.3. Si M es una variedad diferencial compacta y X ∈ X(M), entonces
el conjunto maximal donde esta definida la solución de la ecuación diferencial ξ (t) =
X(t, ξ(t)) es R × M.

1.1. Variedades. 23
Demostración: Ver en [9] pagina 30-34.
Se introducirá el haz cotangente que nos servirá para el estudio de las formas sim-
plécticas que serán vistas en el siguiente cap´ıtulo.
Sea M una variedad diferencial, para cada p ∈ M, TpM es un espacio vectorial
entonces se puede hablar de su espacio dual, denote por T∗
p M el espacio dual de
TpM:
T∗
p M = (TpM)∗
los elementos de T∗
p M se llaman covector tangente en p o simplemente vector cotan-
gente en p.
Definición 1.1.10. Sea M una variedad diferencial. La unión disjunta
T∗
M =
p∈M
T∗
p M
es llamado el haz cotangente de M.
Este haz cotangente tiene una proyección natural π : T∗
M −→ M que manda
ω ∈ T∗
p M en p ∈ M.
Sea M una variedad diferencial de dimensión n y T∗
M su haz cotangente. Sea
p = (x1, ..., xn) ∈ M, (U, ϕ) una carta alrededor de p y xi : U −→ R, ∀i ∈ 1, ..., n las

funciones coordenadas de ϕ, dado {( ∂
∂xi
)p}i=1,...,n base de TpM se tiene una base dual
(dx1)p, . . . , (dxn)p para T∗
p M ( se escribe la base dual como {(dxi)p}i=1,...,n por con-
veniencia dado que más adelante se usará para las k-formas definidas en la siguiente
sección). Entonces cualquier ξ ∈ T∗
p M se puede escribir de la forma ξ = Σξi(dxi)p
para algunos ξi ∈ R.
Esto induce una función
ψ : T∗
U −→ R2n
(p, ξ) −→ (x1, . . . , xn, ξ1, . . . , ξn)
La carta inducida (T∗
U, ψ) es una carta coordenada para T∗
M y las coordenadas
x1, . . . , xn, ξ1, . . . , ξn son las coordenadas cotangentes asociadas a las coordenadas
x1, . . . , xn en U.
Sea A = {(T∗
U, ψ)} una colección de cartas para T∗
M se comprobara que la función
cambio de carta es diferenciable.
Sea (U, x1, . . . , xn) y (U , x1, . . . , xn) dos cartas tal que las cartas asociadas T∗
U y
T∗
V estén en A, sea x ∈ U ∩ V y ξ ∈ T∗
p M entonces (x, ξ) ∈ T∗
U ∩ T∗
V , ahora para
ver que el cambio de cartas es diferenciable basta ver el cambio de coordenada de ξ.
ξ =
n
i=1
ξi(dxi)x =
n
i=1
ξi
n
j=1
∂xi
∂xj
(dxj)x
=
n
i,j
(
∂xi
∂xj
)(dxj)x
=
n
j=1
ξj(dxi)x
donde ξj = n
j (∂xi
∂xj
) es diferenciable, esto quiere decir que A le da una estructura
diferenciable a T∗
M.
Como consecuencia de esta observación se tiene el siguiente teorema.
Teorema 1.1.4. Sea M una variedad diferenciable, el haz cotangente T∗
M tiene
estructura de variedad diferenciable y la dimensión del la variedad es 2n.
Ver demostración en [5] o [8].

1.1. Variedades. 25
1.1.3. Aplicación diferenciable y el teorema de la función
impl´ıcita
Se quiere extender la definición de función diferenciable, pero ahora entre variedades
diferenciales; se enunciará el teorema de la función impl´ıcita el cual es un resultado
importante en matemáticas dado que afirma cuando se puede despegar una variable
en términos de las otras y se concluirá con una aplicación del teorema. Esto nos da
una forma alternativa para demostrar cuando un conjunto es una variedad diferencial.
Definición 1.1.11. Sea f : X −→ Y una función entre dos variedades diferenciables.
Se dice que f es diferenciable en un punto p ∈ X si existen cartas (U, x) alrededor
de p y (U , y) alrededor de f(p) de modo que la función y ◦ f ◦ x−1
es diferenciable
en x(p). Se dice que f es diferenciable si lo es en todos los puntos de X.
Definición 1.1.12. Sea f : X −→ Y una aplicación diferenciable entre variedades.
Un punto p ∈ X es un punto cr´ıtico de f si dfp : TpX −→ Tf(p)Y no es sobreyectiva.
Un punto q ∈ Y es un valor cr´ıtico de f si es la imagen de un punto cr´ıtico de f. En
caso contrario se dice que q es un valor regular.
Teorema 1.1.5. (Función impl´ıcita) Sea f : X −→ Y una aplicación diferencia-
ble entre variedades diferenciables y sea p ∈ X tal que df|p sea sobreyectiva. Entonces

existe un sistema de coordenadas x alrededor de p y un sistema y alrededor de f(p)
de modo que y ◦f ◦x−1
: Rm
−→ Rn
es la proyección en las n primeras coordenadas.
Demostración: Ver [9] pagina 17.
Teorema 1.1.6. Sea f : X −→ Y una aplicación diferenciable entre variedades de
dimensión m y n respectivamente, sea r ∈ R un valor regular de f tal que W =
f−1
(r) = ∅. Entonces W es una subvariedad de X de dimensión m − n.
Demostración: Se demostrará que existe una carta (U, ϕ) tal que ϕ(U ∩W) = ϕ(U)∩
(Rk
× {0}).
Sea r = f(p), como p es regular se tiene que df|p es de rango n y por el teorema de
la función impl´ıcita existen cartas (U, x) y (V, y) tal que x(p) = 0, y(r) = 0 y
y ◦ f ◦ x−1
(t1, . . . , tm) = (t1, . . . , tn, 0, . . . , 0)
para t ∈ x(U ∩ f−1
(V )), sea U = U ∩ f−1
(V ), obsérvese que f−1
(r) = (y ◦ f)−1
(0) y
además
x(U ∩ f−1
(r)) = x(U) ∩ x(f−1
(r))
= x(U) ∩ (y ◦ f ◦ x)−1
(0)
= {(0, . . . , 0, tn+1, . . . , tm) ∈ x(U)}
= x(U) ∩ (Rm−n
× {0})
U ∩ W es abierto en W con la topolog´ıa inducida de M, sea
Π : Rm
−→ Rm−n
la proyección en las m − n coordenadas y ϕ = Π ◦ x|U∩W que es biyección sobres su
imagen cuya inversa está dada por ϕ−1
= (x|U∩W )−1
◦ i, donde i es la inclusión de
Rm−n
en Rm
, ϕ un homeomorfismo.
Sea A = {(U, ϕ)} una colección de cartas para W construidas de la forma vista
anteriormente, Sea (U, ϕ) y (V, ψ) dos cartas en A con U ∩ V = 0 entonces se puede
ver que el cambio de cartas ψ ◦ ϕ−1
es diferenciable. Esto demuestra que W es una
subvariedad diferenciable de dimensión m − n.

1.2. Formas Diferenciales 27
Ejemplo 1.1.6. 1 es valor regular para f : Rn+1
−→ R dada por f(x) = x2
1 + · · · +
x2
n+1, la cual es una demostración alternativa que Sn
es una subvariedad de Rn+1
.
1.2. Formas Diferenciales
1.2.1. Álgebra Alternante
Definición 1.2.1. Sea ω : V k
−→ R una función k-lineal, se dice que es alternante
si ω(x1, · · · , xn) = 0, cuando xi = xj para i = j.
El espacio de funciones k-alternantes se escribe como Altk
(V ) y a sus elemento se
les llamará k-formas.
Observación Si k > dimV entonces Altk
(V ) = 0.
Denote como S(k) el grupo de permutaciones del conjunto {1, . . . , k}.
Lema 1.2.1. Sea ω ∈ Altk
(V ) y σ ∈ S(k), entonces
ω(ξ1, . . . , ξk) = sign(σ)ω(ξσ(1), . . . , ξσ(k))
Definición 1.2.2. Un (p, q)-barajeo σ es una permutación de {1, . . . , p + q} tal que
σ(1) < . . . < σ(p) y σ(p + 1) < . . . < σ(p + q)
el conjunto de las (p, q)-barajeos se denota como S(p, q). Un (p, q)-barajeo σ está de-
terminado únicamente por el conjunto {σ(1), . . . , σ(p)} y la cardinalidad del conjunto
S(p, q) es
p + q
p
.
Definición 1.2.3. (Producto exterior o cuña) Sea ω1 ∈ Altp
(V ) y ω2 ∈ Altq
(V )
entonces se define
(ω1 ∧ ω2)(ξ1, . . . , ξp+q)
=
σ∈S(p,q)
sign(σ)ω1(ξσ(1), . . . , ξσ(p))ω2(ξσ(p+1), . . . , ξσ(p+q))
Una observación inmediata es que ω1 ∧ ω2 es una función (p + q)-lineal.

Lema 1.2.2. Si ω1 ∈ Altp
(V ) y ω2 ∈ Altq
(V ) entonces ω1 ∧ ω2 ∈ Altp+q
(V )
De la definición del producto exterior y del Lema 1.2.1 es clara las siguientes propie-
dades:
1) (ω1 + ω1) ∧ ω2 = ω1 ∧ ω2 + ω1 ∧ ω2
2) (λω) ∧ ω2 = λ(ω1 ∧ ω2) = ω1 ∧ (λω2)
3) ω1 ∧ (ω2 + ω2) = ω1 ∧ ω2 + ω1 ∧ ω2
Para ω1, ω1 ∈ Altp
(V ) y ω2, ω2 ∈ Altq
(v).
Ver [6] para la demostración.
Con este producto, la suma directa
Alt∗
(V ) =
n
k=0
Altk
(V )
es un álgebra no conmutativa con 1, llamada el Álgebra Alternante de V .
Lema 1.2.3. Si ω1 ∈ AltP
(V ), ω2 ∈ AltP
(V ) y ω3 ∈ Altr
(V ) entonces
ω1 ∧ (ω2 ∧ ω3) = (ω1 ∧ ω2) ∧ ω3
Esto demuestra que el producto cuña es asociativo.
Lema 1.2.4. Para 1-formas ω1, . . . , ωp ∈ Alt1
(V ) se tiene que
(ω1 ∧ · · · ∧ ωp)( 1, . . . , p) = det(ωi( j))
Ver demostración de los Lemas 1.2.3 y 1.2.4 en [6].
Teorema 1.2.1. Sea e1, . . . , en una base de V y 1, . . . , n base dual de Alt1
(V ).
Entonces
ξ = { σ(1) ∧ σ(2) ∧ · · · ∧ σ(p)}σ∈S(p,n−p)
es una base de Altp
(V ). En particular
dimAltP
(V ) =
dimV
p

Demostración: Se demostrará que ξ genera a Altp
(V ). Como i(ej) = 0 cuando i = j,
y i(ei) = 1 y por lema 1.2.4
i1 ∧ · · · ∧ ip (ej1 , . . . , ejp ) =
0 si {i1, . . . , ip} = {j1, . . . , jp}
sign(σ) si {i1, . . . , ip} = {j1, . . . , jp}
aqu´ı σ es la permutación σ(ik) = jk del lema 1.2.1 y de la expresión anterior se tiene
ω =
σ∈S(p,n−p)
ω(eσ(1), . . . , eσ(p)) σ(1) ∧ · · · ∧ σ(p)
para cualquier p-forma. Esto demuestra que ξ genera a Altp
(V ), evaluando (eσ(1), . . . , eσ(p))
en
σ∈S(p,n−p)
λσ σ(1) ∧ · · · ∧ σ(p) = 0 λσ(p) ∈ R
Se tiene que λσ = 0, lo que demuestra que ξ es un conjunto linealmente independiente.
Por tanto ξ es base de Altp
(V ).
1.2.2. Formas diferenciales
Definición 1.2.4. Una p-forma diferencial en U, con U abierto de Rn
, es una función
diferenciable ω : U −→ Altp
(Rn
).
El espacio vectorial de todas la p-formas diferenciables es denotado por Ωp
(U), si
p = 0 entonces Alt0
Rn
= R y Ω0
(U) = C∞
(U, R).
El producto exterior en Alt∗
(Rn
) induce un producto exterior en el espacio Ω∗
(U) =
n
i=1 Ωi
(U) definido por
(ω1 ∧ ω2)(x) = ω1(x) ∧ ω2(x)
Definición 1.2.5. (Pulback) Sea U1 ⊂ Rn
y U2 ⊂ Rn
, conjuntos abiertos y Φ :
U1 −→ U2 una función diferenciable. El morfismo inducido Φ∗
: Ωp
(U2) −→ Ωp
(U1)
está definido por
Φ∗
(ω)x = ωΦ(x)(DΦ)
Teorema 1.2.2. Con la definición anterior se tiene

(i) Φ∗
(ω ∧ τ) = Φ∗
(ω) ∧ Φ∗
(τ)
(ii) Φ∗
(f) = f ◦ Φ si f ∈ Ω0
(U2)
Para la demostración ver [6].
En cada punto p ∈ Rn
, el conjunto {dx
σ(1)
p ∧ · · · ∧ dx
σ(k)
p }σ∈S(k,n−k) es base de
Altk
(TpRn
). As´ı, cualquier ω ∈ Ωk
(Rn
) se escribe
ω =
σ∈S(k,n−k)
ασ(1)...σ(k)dxσ(1)
∧ · · · ∧ dxσ(k)
ασ(1)...σ(k) ∈ C∞
(Rn
)
Para simplificar la notación, para 1 < σ(1) < . . . < σ(k) < n se utilizará la notación
I = (σ(1), . . . , σ(k)) y se escribirá lo anterior como ω = I αIdxI
.
Derivada Exterior
Definición 1.2.6. Sea U ⊂ Rn
abierto. La derivada exterior d : Ωk
(U) −→ Ωk+1
(U)
se define para k ≥ 0 por
d
I
fIdxI
=
I
dfI ∧ dxI
donde dfI se define como dfI = k
i
∂fI
∂xi
dxi.
Proposición 1.2.1. La derivada exterior tiene los siguientes propiedades:
1) d es lineal.
2) si ω ∈ Ωk
(U) y η ∈ Ωl
(U), entonces
d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)k
ω ∧ dη
3) si f ∈ C∞
(U), entonces d(df) = 0.
Demostración: 1) Es claro que d es lineal.
2) Si ω = fdxI
y η = gdxJ
, tenemos que ω ∧ η = fgdxI
∧ dxJ
entonces

d(ω ∧ η) = (gdf + fdg) ∧ dxI
∧ dxJ
= df ∧ dxI
∧ (gdxJ
) + fdg ∧ dxI
∧ dxJ
= dω ∧ η + (−1)k
ω ∧ dη
3) Si f ∈ C∞
(U), entonces
d(df) = d
n
i=1
∂f
∂xi
dxi
=
n
i=1
d
∂f
∂xi
∧ dxi
=
n
i,j=1
∂2
f
∂xi∂xi
dxj
∧ dxi
=
j<i
∂2
f
∂xj∂xj
dxj
∧ dxi
−
j<i
∂2
f
∂xj∂xj
dxj
∧ dxi
= 0
Corolario 1.2.1. Si ω ∈ Ωk
(U), entonces
d(dω) = 0
y
dΦ∗
(ω) = Φ∗
(dω)
1.2.3. Formas diferenciales en Variedades
Generalizando la definición de formas diferenciales (ver [5]) y de la derivada exterior
a variedades se tiene la siguiente definición.
Sea M una variedad diferenciable de dimensión n. Se denotará el espacio de funciones
alternantes de TpM por Altk
(TpM). Considérese la familia ω = {ωp}p∈M de funciones
k-alternantes en TpM donde ωp ∈ Altk
(TpM), sea g : W −→ M una parametrización
local, es decir, la inversa de la carta diferenciable, donde W es un abierto en Rn
. Si

x ∈ W
Dxg : Rn
−→ Tg(x)M
es un isomorfismo, esto induce un isomorfismo
Altk
(Dxg) : Altk
(Tg(x)M) −→ Altk
(Rk
)
donde Altk
(Dxg)(ω) = ω(Dxg) donde ω ∈ Altk
(Tg(x)M). Def´ınase
g∗
(ω) : W −→ Altk
(Rk
)
la función valuada en x como
g∗
(ω)x = Altk
(Dxg)(ωg(x)) (g∗
(ω)x = ωg(x) para k = 0)
Definición 1.2.7. Una familia ω = {ωp}p∈M de k-formas alternantes en TpM se dice
diferenciable si g∗
(ω) es una función diferenciable para todo parametrización local.
El conjunto de tales formas diferenciales forman un espacio vectorial denotado como
Ωk
(M). En particular Ω0
(M) = C∞
(M).
Definición 1.2.8. Sea M una variedad diferenciable y ω ∈ Ω(M) se define la deri-
vada exterior d como
d(
J
ωJ dxJ
) =
J
dωJ ∧ dxJ
donde dωJ es la diferencial de la función ωJ .
No se profundizará más en el estudió de las formas diferenciales y la derivada exterior
en variedades, pero si el lector quiere ampliar este estudio se recomienda ver [5].
1.2.4. Definición de Cohomolog´ıa de De Rham
Definición 1.2.9. Sea M una variedad diferenciable.
* Una k-forma en M es cerrada si y sólo si dω = 0. Se denotará por Zk
(M) al espacio
de k-formas cerradas en M.

* Una k-formas en M es exacta si y sólo si existe una (k −1)-forma η tal que ω = dη.
Se denotara por Bk
(M) al espacio de k-formas exactas.
* Como d ◦ d = 0, Bk
(M) ⊂ Zk
(M), def´ınase el k-ésimo grupo de Cohomolog´ıa de
De Rham de M como
Hk
(M) =
Zk
(M)
Bk(M)
Para estudiar mas de la Cohomolog´ıa de De Rham se recomienda [5], [9], [6] y [8].
1.2.5. Derivada de Lie
Sea M una variedad y ρ : M × R −→ M una función, donde ρt(p) := ρ(p, t).
Definición 1.2.10. La función ρ es una isotop´ıa si ρt : M −→ M es un difeomorfismo
∀t ∈ R y ρ0 = IdM
Definición 1.2.11. Sea M una variedad diferenciable, un campo vectorial depen-
diente del tiempo en M es una función continua V : J × M −→ TM donde J ⊂ R
es un intervalo abierto, tal que V (t, p) ∈ TpM para cada (t, p) ∈ J × M. Es decir,
∀t ∈ J, la función Vt : M −→ TM definido por Vt = V (t, p) es un campo vectorial
en M.
Observación 1.1 Dado una isotop´ıa ρ, se obtiene un campo vectorial dependiente
del tiempo, es decir, una familia de campos vectoriales Vt, t ∈ R , dado por
Vt(p) =
d
ds
ρs(q)|s=t donde q = ρ−1
t (p) y p ∈ M
Es decir d
dt
ρt = Vt ◦ ρt.
Rec´ıprocamente, por el teorema 17.5 en [5] (pagina 451), dado un campo vectorial
V dependiente del tiempo, localmente existe una solución diferenciable ρ que satis-
face la ecuación diferencial d
dt
ρt = Vt ◦ ρt, la cual es única por el teorema unicidad
de ecuaciones diferenciales. Ahora si M es compacto por el teorema 1.1.3 ρ se pue-
de extender a todos los reales, entonces ρ es una isotop´ıa. Observación: Si M es
compacto. Entonces se tiene una correspondencia 1-1 entre los conjuntos
{isotopias de M}
1−1
←→ {los campos vectoriales de M dependientes del tiempo}

Se definirá la derivada de Lie para formas diferenciales, para ver la definición para
campos vectoriales se puede consultar [5], [9], [3], [4] y [2].
Definición 1.2.12. Sea V un campo vectorial dependiente del tiempo en M y ρ la
solución local, se define la derivada Lie para Vt como:
LVt : Ωk
(M) −→ Ωk
(M)
LVt ω :=
d
dt
(ρt)∗
ω|t=0
Obsérvese las siguientes fórmulas que se usarán posteriormente:
1) (Fórmula de Cartan) LV ω = ιV dω + dιV ω, donde ιV es la contracción por el
campo vectorial V
2) d
dt
ρ∗
t ω = ρ∗
t LVt ω.
Ver la demostración de las fórmulas en [4].
Proposición 1.2.2. Para una familia diferenciable ωt, t ∈ R, de d-formas, se cumple
d
dt
ρ∗
t ωt = ρ∗
t (LVt ωt +
d
dt
ωt)
Demostración: Aplicando la regla de la cadena se tiene
d
dt
ρ∗
t ωt =
d
dx
ρ∗
xωt|x=t +
d
dy
ρ∗
t ωy|y=t
y por la formula de Cartan y 2) se tiene
d
dt
ρ∗
t ωt = ρ∗
t LVt ωt + ρ∗
t
d
dt
ωt
= ρ∗
t (LVt ωt +
d
dt
ωt)
Teorema de la vecindad Tubular
Sea M una variedad de dimensión n y X una subvariedad de dimensión k donde
k < n. Sea i : X → M la inclusión. Para cada x ∈ X, el espacio tangente de x en

X se puede considerar como un subespacio del espacio tangente de x en M, v´ıa la
inclusión dxi : TxX → TxM, donde x = i(x).
El espacio cociente NxX := TxM/TxX, es un espacio vectorial de dimensión n − k,
el cual es llamado es espacio normal de X en x. El haz normal de X se define como
NX = {(x, v)|x ∈ X, v ∈ NxX}
obsérvese que el conjunto NX se le puede dotar de una estructura de haz vectorial
sobre X de rango n−k bajo la proyección natural. NX es una variedad de dimensión
n. La sección cero de NX es
i0 : X → NX
x → (x, 0)
Una vecindad U0 de la sección cero X en NX es llamada convexa si la intersección
U0 ∩ NxX con cada fibra es convexa.
Teorema 1.2.3. (Teorema de la vecindad Tubular) Existe una vecindad conve-
xa U0 de X en NX y una vecindad U de X en M, y un difeomorfismo ϕ : U0 −→ U
tal que el diagrama
NX ⊇ U0 U ⊆ M
X
E
ϕ

Q
i

k
i0
conmuta.
Ver demostración en el caso compacta en [8](pagina 34).
Restringiendo ϕ al subconjunto U0 ⊆ NX del teorema de la vecindad tubular se
obtiene una submersión U0
π0
−→ X con las fibras π−1
0 convexas. Estas fibraciones se
pueden llevar a U mediante π = π0 ◦ ϕ−1

U0 ⊆ NXes fibración =⇒ U ⊆ Mes fibración
X X
c
π0
c
π
Esta es llamada la fibración de la vecindad tubular.
Formula Homotópica
Observación: Si U es una vecindad tubular de una subvariedad X en M. El mor-
fismo i∗
: Hd
DeRham(U) → Hd
DeRham(X) inducido por la inclusión es sobreyectiva e
inyectiva (este argumento es por la homotop´ıa-invariante de Rham).
Corolario 1.2.2. Para cualquier grado n, Hn
DeRham(U) Hn
DeRham(X).
Demostración: Ver [6] Teorema 6.8 página 41.
Proposición 1.2.3. Si una l-forma cerrada ω ∈ Ωl
(U) tiene restricción i∗
ω = 0,
entonces ω es exacta, i.e. ω = dµ para algún µ ∈ Ωl−1
(U). Mas aun, se puede escoger
µ tal que µx = 0 para todo x ∈ X.
Demostración: V´ıa ϕ : U0 −→ U, es equivalente trabajar con U0. Definimos para
todo 0 ≤ t ≤ 1 una función
ρt : U0 −→ U0
(x, v) → (x, tv)
la cual está bien definida por que U0 es convexa, obsérvese que la función ρ1 = Id y
ρ0 = i0 ◦π0, cada ρt fija a X, esto es ρt ◦i0 = π0. Se tiene que la familia {ρt|0 ≤ t ≤ 1}
es una homotop´ıa entre i0 ◦ π0 y la identidad.
Un operador homotópico de De Rham entre ρ0 y ρ1 es la función lineal
Q : Ωl
(U0) −→ Ωl−1
(U0)
satisfaciendo la siguiente fórmula
Id − (i0 ◦ π0)∗
= dQ + Qd

Por hipótesis se tiene que dω = 0 y i∗
0ω = 0, aplicando ω a la fórmula obtenemos
ω = dQω, y tomando µ = Qω se tiene que ω = dµ lo que demuestra la primera parte
del teorema.
Un operador en concreto está dado por la fórmula
Qω =
1
0
ρ∗
t (ιVt ω)dt
donde Vt es el campo vectorial generado por la curva ρt.
Se demostrará que Q satisface la fórmula homotópica. En el caso tratado, sea x ∈ X
y tómese ρt(x) = x ∀t la curva constante, as´ı que Vt se anula ∀t, x, entonces µx = 0,
ahora se demostrará que efectivamente Q satisface la fórmula homotópica.
Qdω + dQω =
1
0
ρ∗
t (ιVt dω)dt + d
1
0
ρ∗
t (ιVt ω)dt
=
1
0
ρ∗
t ((ιVt dω)dt + d(ιVt ω))dt
=
1
0
ρ∗
t LVt ωdt
donde LVt es la derivada de Lie en el campo vectorial Vt, usando la fórmula de Cartan
y 2) junto con el teorema fundamental del cálculo se tiene que
Qdω + dQω =
1
0
d
dt
ρ∗
t ωdt = ρ∗
1ω − ρ∗
0ω
lo cual completa la demostración del teorema.

Cap´ıtulo 2
Introducción al estudio de los
Simplectomorfismos
En este cap´ıtulo se estudiará propiedades de los espacios vectoriales simplécticos y
la noción de función simpléctica, sobre los espacios simplécticos. También se defi-
nirá el concepto de simplectomorfismo isomorfismos lineales que mandan funciones
simplécticas a funciones simplécticas. Posteriormente, se definirá una 2-forma dife-
rencial simpléctica y se observará que una variedad simpléctica (M, ω) está formada
por una variedad diferencial M y una 2-forma simpléctica. Para concluir con este
cap´ıtulo se dará la definición de la variedad Lagrangiana, se introducirá una forma
para construir simplectomorfismos usando esta variedad, as´ı como una aplicación de
esta construcción conocida como teor´ıa de billares.
2.1. Estructura Simpléctica.
2.1.1. Espacio vectorial simpléctico.
El siguiente teorema caracteriza la base de cualquier espacio vectorial con una función
bilineal alternante definida en el cap´ıtulo 1.
Teorema 2.1.1. (Base canónica para funciones bilineales alternantes) Sea
ω una función bilineal alternante en el espacio vectorial V de dimensión finita. Existe
una base u1, · · · , uk, e1, · · · , en, f1, · · · , fn de V tal que
38

2.1. Estructura Simpléctica. 39
a) ω(ui, v) = 0 para todo i , para todo v ∈ V
b) ω(ei, ej) = 0 = ω(fi, fj)para todo i, j y
c) ω(ei, fj) = δi,j para todo i, j
Demostración: Sea U = {u ∈ V | ω(u, v) = 0 ∀ v ∈ V } y W tal que V = U ⊕ W. Sea
u1, . . . , uk una base para U.
Sea e1 ∈ W con e1 = 0. Entonces existe f1 ∈ W tal que ω(e1, f1) = 0 ya que en caso
de no existir se tiene que e1 ∈ U lo cual no puede ser ya que U ∩ W = {0}.
Supóngase que ω(e1, f1) = 1, sea
W1 = e1, f1
y
Wω
1 = {w ∈ W| ω(w, v) = 0 ∀ v ∈ W1}
Afirmación: W1 ⊕ Wω
1 = W
Demostración de la afirmación: sea v ∈ W1 ∩ Wω
1 , como v ∈ W1 se tiene que v =
ae1 + bf1 para algún a, b ∈ R.
Obsérvese que 0 = ω(v, e1) = −b y 0 = ω(v, f1) = a, =⇒ v = 0 por tanto W1 ∩Wω
1 =
0.
Sea v ∈ W con ω(v, e1) = c y ω(v, f1) = d. Entonces v = (−cf1 +de1)+(v+cf1 −de1)
en donde −cf1 + de1 ∈ W1 y v + cf1 − de1 ∈ Wω
1 , esto implica que W1 ⊕ Wω
1 .
Siguiendo la misma idea, sea e2 ∈ Wω
1 , e2 = 0. Existe f2 ∈ Wω
1 tal que ω(e2, f2) = 0
donde asumimos que ω(e2, f2) = 1, sea
W2 = e2, f2
Wω
2 = {v ∈ Wω
1 |ω(w, v) = 0 ∀w ∈ W2}
y as´ı sucesivamente. El proceso se termina por que dimV ∞.
De esta construcción se concluyen que
V = U ⊕ W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wn
Donde todos los subespacios son ortogonales con respecto a ω, y además cada Wi
tiene como base a {ei, fi} con ω(ei, fi) = 1.

40 Cap´ıtulo 2. Introducción al estudio de los Simplectomorfismos
Observación: Como dimU = k no depende de la base escogida entonces k es un
invariante del espacio (V, ω) y además dimV = k + 2n.
Dada una forma bilineal arbitraria ω. Sea ˜ω : V −→ V ∗
la función lineal tal que
˜ω(v)(u) = ω(v, u). Es decir, ˜ω aplica a cada elemento de V una funcional lineal del
espacio dual.
Definición 2.1.1. (Función simpléctica) Una función bilineal alternante ω se dice
simpléctica (no degenerada) si ˜ω es biyectiva, es decir, si ker˜ω = 0. Al espacio (V, ω)
se le llama un espacio vectorial simpléctico y a ω una estructura simpléctica.
Observación: Por el teorema de la base canónica la dimensión de un espacio vec-
torial simpléctico (V, ω) es 2n.
Ejemplo 2.1.1. El espacio vectorial real R2n
con la función simpléctica ω0 =
n
i=1 dxi ∧ dyi forman un espacio vectorial simpléctico.
Teorema 2.1.2. Sea (V, ω) un espacio vectorial simpléctico de dimensión 2n. En-
tonces existe una base u1, . . . , un, v1, . . . , vn tal que
ω(ui, uj) = 0 = ω(vi, vj) y ω(ui, vj) = δij
a tal base se le conoce como base simpléctica del espacio vectorial simpléctico
(V, ω).
Demostración: Como el espacio (V, ω) es simpléctico se tiene que ker˜ω = 0 entonces
por la demostración del teorema de la base canónica se tiene construida la base
deseada.
Hay que observar que la base simpléctica de un espacio vectorial simpléctico no es
única.
Lema 2.1.1. Si V es un espacio vectorial real de dimensión 2n entonces una forma
bilineal alternante ω en V es no degenerada si y sólo si la n-ésima potencia exterior
no es cero: ωn
= ω ∧ · · · ∧ ω = 0

Demostración: Supóngase que ωn
es una forma bilineal alternante distinta de cero
y la cual es además degenerada. Sea v = 0 tal que ω(v, w) = 0, ∀w ∈ V . Sea
v1, . . . , v2n una base de V tal que v1 = v. Entonces ωn
(v1, . . . , v2n) = 0 lo que
contradice que ωn
= 0. Rec´ıprocamente, supóngase que ω es no degenerada. Entonces
dado que ωn
0 es una forma de volumen y del teorema de la base simpléctica se sigue
que wn
= 0.
Definición 2.1.2. Un simplectomorfismo ϕ entre espacios vectoriales simplécticos
(V1, ω1) y (V2, ω2) es un isomorfismo lineal ϕ : V1 −→ V2 tal que ϕ∗
ω2 = ω1 donde
ϕ∗
ω(u, v) = ω(ϕ(u), ϕ(v)) para todo u, v ∈ V . Si existe tal simplectomorfismo se
dirá que los espacios son simplectomorfos.
Observese que el conjunto de simplectomorfismos (V, ω) forma un grupo que deno-
tamos Sp(V, ω). Para más propiedades de Sp(V, ω) ver [7].
Definición 2.1.3. Sea Y un subespacio lineal de un espacio vectorial simpléctico
(V, ω) definimos el ortogonal simpléctico de Y como:
Y ω
:={v ∈ V | ω(v, u) = 0 ∀ u ∈ Y }.
Lema 2.1.2. Para cualquier subespacio W ⊂ V .
1. dimW + dimWω
= dimV .
2. Wωω
= W.
Demostración: Def´ınase iω : V −→ V ∗
como iω(v)(w) = ω(v, w). Cuando ω es no
degenerada iω es un isomorfismo. Entonces se puede identificar Wω
con W⊥
de W
en V ∗
, por otro lado dimW + dimW⊥
= dimV , entonces dimW + dimWω
= dimV .
Es fácil ver que Wωω
= W.
Definición 2.1.4. Sea (V, ω) un espacio vectorial simpléctico de dimensión finita.
1. Un subespacio Y de V es simpléctico si ω|Y es simpléctico.
2. Un subespacio Y es isotrópico si Y ⊂ Y ω
.
3. Un subespacio Y es coisotrópico si Y ω
⊂ Y .

4. Y es Lagrangiano si Y es un subespacio isotrópico del espacio vectorial V y
la dimY = 1
2
dimV
Ejemplo 2.1.2. Sea V espacio vectorial complejo y sea H una forma Hermitiana en
V . Entonces (V, ImH) es un espacio vectorial real simpléctico.
Para más ejemplos ver [7].
2.1.2. Variedades Simplécticas.
Sea M una variedad y sea ω una 2-forma diferencial en la variedad M, para no
escribir tanto solamente se hablará de 2-forma en lugar de 2-forma diferencial.
Definición 2.1.5. Sea ω una 2-forma, ω es una 2-forma simpléctica si cumple la
siguientes dos condiciones:
1) ω es cerrada i.e. dω = 0 y
2) ωp es simpléctica para todo p ∈ M
Definición 2.1.6. (Variedad simpléctica) Una variedad simpléctica es un par
(M, ω), donde M es variedad diferencial y ω es una 2-forma simpléctica en M.
Se puede observar que Rk
tiene una estructura simpléctica cuando k = 2n, obsérvese
el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.1.3. Sea M = R2n
con coordenadas lineales x1, . . . , xn, y1, . . . , yn. La
forma
ω0 =
n
i=1
dxi ∧ dyi
es simpléctica, y el conjunto
∂
∂x1 p
, . . . ,
∂
∂xn p
,
∂
∂y1 p
, . . . ,
∂
∂yn p
es un base simpléctico para TpM.
Definición 2.1.7. Sea (M1, ω1) y (M2, ω2) variedades simpléctica de dimensión 2n
y g : M1 −→ M2 un difeomorfismo. Se dirá que g es un simplectomorfismo si
g∗
ω2 = ω1.

Formas tautológicas
A continuación se dará la definición de formas tautológicas y canónicas en coorde-
nadas.
Sea X una variedad diferenciable de dimensión n, (U, ϕ) una carta para X y (T∗
U, ψ)
la carta coordenada asociada. Sea xi las funciones coordenadas de ϕ escr´ıbase (U, ϕ)
en coordenadas como (U, (x1, . . . , xn)) y si ξ ∈ TpX se escribirá a (T∗
U, ψ) como
(T∗
U, x1, . . . , xn, ξ1, . . . , ξn)
Def´ınase una 2-forma
ω =
n
i=1
dxi ∧ dξi
y considérese la 1-forma en T∗
U
α =
n
i=1
ξidxi
se observa que
dα =
n
i
dξi ∧ dxi = −
n
i
dxi ∧ dξi = −ω
lo que implica ω = −dα
Se demostrará que la definición de α no depende de las cartas coordenadas.
Sea (T∗
U, x1, . . . , xn, ξ1, . . . , ξn) y (T∗
U , x1, . . . , xn, ξ1, . . . , ξn) dos cartas coordena-
das cotangentes. En T∗
U ∩ T∗
U , los dos conjuntos de coordenadas son de la forma
ξj = i ξi(∂xi
∂xj
) y dxj = i(
∂xj
∂xi
)dxi entonces se tiene
α =
n
j=1
ξjdxj =
n
j
n
i
ξi(
∂xi
∂xj
)
n
i=1
∂xj
∂xi
dxi
= [ξ1(
∂x1
∂x1
) + · · · + ξn(
∂xn
∂x1
)][
∂x1
∂x1
dx1 + · · · +
∂x1
∂xn
dxn]
+ · · · + [ξ1(
∂x1
∂xn
) + · · · + ξn(
∂xn
∂xn
)][
∂xn
∂x1
dx1 + · · · +
∂xn
∂xn
dxn]

= ξ1[(
∂x1
∂x1
)(
∂x1
∂x1
dx1 + · · · +
∂x1
∂xn
dxn) + · · · + (
∂x1
∂xn
)(
∂xn
∂x1
dx1
+ · · · +
∂xn
∂xn
dxn)] + · · · + ξn[(
∂xn
∂x1
)(
∂x1
∂x1
dx1 + · · · +
∂x1
∂xn
dxn) + . . .
+ (
∂xn
∂xn
)(
∂xn
∂x1
dx1 + · · · +
∂xn
∂xn
dxn)]
= ξ1dx1 + · · · + ξndxn (por la regla de la cadena)
=
i
ξidxi = α
Esto demuestra que α no depende de las cartas coordenadas escogidas.
A la 1-forma α se le llama la 1-forma tautológica y a ω se le conoce como la
2-forma tautológica simpléctica.
Se definirá la 1-forma tautológica y la 2-forma tautológica simpléctica puntualmente.
Sea M = T∗
X y π : M −→ X la proyección natural i.e. si p = (x, ξ) ∈ M entonces
π(p) = x.
La 1-forma tautológica se puede definir puntualmente como
αp = (dπp)∗
ξ ∈ T∗
p M
donde (dπp)∗
es el pulback de dπp y (dπp)∗
ξ = ξ ◦ dπp
p = (x, ξ) TpM T∗
p M
x TxX T∗
x X
c
π
c
dπp
T
(dπp)∗
Es decir αp(v) = ξ((dπp)v) para v ∈ TpM.
Sea X1 y X2 variedades de dimensión n con haz cotangentes M1 = T∗
X1 y M2 =
T∗
X2, y 1-formas tautológicas α1 y α2.
Supóngase que f : X1 −→ X2 es un difeomorfismo. Entonces existe un difeomorfismo
natural
f : M1 −→ M2
que levanta a f ; es decir, si p1 = (x1, ξ1) ∈ M1 para x1 ∈ X1 y ξ1 ∈ T∗
x1
X1, entonces
se define como

f (p1) = p2 = (x2, ξ2), con
x2 = f(x1) ∈ X2 y
ξ1 = (dfx1 )∗
ξ2
donde (dfx1 )∗
: T∗
x2
X2 −→ T∗
x1
X1, as´ı f |T∗
x1
X1 es la inversa de la función lineal (dfx1 )∗
.
Se demostrará que f as´ı definido es efectivamente un difeomorfismo.
1) El siguiente diagrama es conmutativo.
M1 M2
X1 X2
c
π1
E
f
c
π2
E
f
Sea p1 = (x1, ξ1) ∈ M1 entonces f (p1) = p2 = (x2, ξ2), además π2(p2) = x2, y
π1(p1) = x1, por definición de f se tiene que f(x1) = x2, lo que implica que el
diagrama es conmutativo.
2) Sea q1 = (y1, ξ1), q2 = (y2, ξ2) en M2 y p1 = (x1, ξ1), p2 = (x2, ξ2) en M1 tal que
f (p1) = q1 y f (p2) = q2. Supóngase que f (p1) = f (p2) entonces
y1 = y2 =⇒ f(x1) = f(x2)
=⇒ x1 = x2
=⇒ ξ1 = (dfx1)∗
ξ1 = (dfx2)∗
ξ1
y ξ1 = ξ2 =⇒ (dfx2)∗
ξ1 = (dfx2)∗
ξ2 = ξ2
=⇒ p1 = p2
esto demuestra que f es inyectiva.
Sea p = (x2, ξ2) ∈ M2 con x2 ∈ X2 y ξ2 ∈ T∗
x2
X2, como f es biyectiva existe x1 tal
que f(x1) = x2 y tomando ξ1 = (dfx2 )∗
ξ2, def´ınase p = (x1, ξ1) entonces f (p1) = p2.
Esto demuestra que f es sobreyectiva.
Por lo tanto f es biyectiva.
3) Como f es biyectiva existe su inversa, sea f−1
su inversa. Observese que f es
diferenciable y f−1
es diferenciable por el teorema de la función inversas.
∴ 1), 2) y 3) demuestran que f es un difeomorfismo.

Teorema 2.1.3. El levantamiento f de un difeomorfismo f : X1 −→ X2 regresa la
forma tautológicas de T∗
X2 a la forma tautológica de T∗
X1, i.e. (f )∗
α2 = α1
Demostración: Sea p1 = (x1, ξ1) ∈ TX1, para demostrar el teorema basta demostrar
que (df )∗
p1
(α2)p2 = (α1)p1 , donde p2 = f (p1) y p2 = (x2, ξ2).
Por definición de α2 se tiene la siguiente igualdad
(df )∗
p1
(α2)p2 = (df )∗
p1
(dπ2)∗
p2
ξ2
y como p2 = f (p1) se tiene lo siguiente
(df )∗
p1
(dπ2)∗
p2
ξ2 = (df )∗
p1
(dπ2)∗
f (p1)ξ2
= ((dπ2)∗
f (p1)ξ2) ◦ (df )p1
= ξ2 ◦ (dπ2)f (p1) ◦ (df )p1
por la regla de la cadena
ξ2 ◦ (dπ2)f (p1) ◦ (df )p1 = ξ2 ◦ (d(π2 ◦ f ))p1
= (d(π2 ◦ f ))∗
p1
ξ2
y como el diagrama
M1 M2
X1 X2
c
π1
E
f
c
π2
E
f
es conmutativo se tiene
(d(π2 ◦ f ))∗
p1
ξ2 = (d(f ◦ π1))∗
p1
ξ2
= (dπ1)∗
p1
(df)∗
xξ2

2.2. Subvariedades Lagrangianas 47
por la definición de f y α1 se tiene la siguiente igualdad
(dπ1)∗
p1
(df)∗
xξ2 = (dπ1)∗
p1
ξ1
= (α1)p1
lo que concluye la demostración del teorema.
Un resultado del teorema 2.1.3 es el siguiente corolario.
Corolario 2.1.1. El levantamiento f de un difeomorfismo f : X1 −→ X2 es un
simplectomorfismo, i.e.
(f )∗
ω2 = ω1
donde ω1, ω2 son las formas simpléctica canónicas.
Demostración: Sean α1, α2 las 1-forma tautológicas de X1, X2 respectivamente y
ω2 = −dα2, ω1 = −dα1 las dos formas tautológicas.
Entonces se tiene que
(f )∗
ω2 = (f )∗
(−dα2) = −d(f )∗
α2
y por el teorema 2.1.3 se tiene que
−d(f )∗
α2 = −dα1 = ω1
el cual concluye que f es un simplectomorfismo.
2.2. Subvariedades Lagrangianas
Sea M y X variedades diferenciables con dimX dimM
Definición 2.2.1. Un función i : X → M es una inmersión si dpi : TpX → Ti(p)M
es inyectiva para cualquier punto p ∈ X.
Un encaje es una inmersión que es un homeomorfismo sobre su imagen.
Un encaje cerrado es una inmersión inyectiva propia.

Definición 2.2.2. Una subvariedad de M es una variedad X con un encaje cerrado
i : X → M.
Definición 2.2.3. (Subvariedades lagrangianas) Sea (M, ω) una variedad sim-
pléctica de dimM = 2n.
Una subvariedad Y de M es una variedad lagrangiana si a cada p ∈ Y , TpY es un
subespacio lagrangiano de TpM, i.e. ωp|TpY ≡ 0 y la dimTpY = 1
2
dimTpM. Equi-
valentemente, si i : Y → M es la inclusión, entonces Y es lagrangiano si y sólo si
i∗
ω = 0 y dimY =1
2
dimM.
Sea X una variedad de dimensión n, con haz cotangente M = T∗
X. Sea x1, . . . , xn
las coordenadas de U ⊆ X entonces las coordenadas cotangentes asociadas son
x1, . . . , xn, ξ1, . . . , ξn en T∗
U.
La sección cero de T∗
X
X0 = {(x, ξ) ∈ T∗
X|ξ = 0 en T∗
x X}
es una subvariedad de dimensión n de T∗
X donde la intersección con T∗
U está dada
por ξ1 = · · · = ξn = 0 entonces la 1-forma tautológica α = ξidxi se anula en
X0 ∩ T∗
U. En particular si i0 : X0 → T∗
X es la función inclusión, se tiene i∗
0α = 0
de aqu´ı que i∗
0ω = i∗
0dα = 0, esto implica que X0 es Lagrangiano.
Sea Xµ una sección de T∗
X de la forma
Xµ = {(x, µx)|x ∈ X, µx ∈ T∗
x X}
este tiene una estructura de subvariedad de dimensión n donde el covector µx depende
diferenciablemente en x, y µ : X −→ T∗
X es una 1-forma de De Rham.
Proposición 2.2.1. Sea Xµ = {(x, µx)|x ∈ X, µx ∈ T∗
x X} y µ la 1-forma de
De Rham asociada. Sea Sµ : X −→ T∗
X, x −→ (x, µx), considérese a µ como una
función. Observe que la imagen de Sµ es Xµ. Sea α la 1-forma tautológica en T∗
X.
Entonces
S∗
µα = µ
Demostración: Por definición de la 1-forma tautológica se tiene que α = (dπp)∗
ξ
donde p = (x, ξ) ∈ M = T∗
X, para p = Sµ(x) = (x, µx), se tiene αp = (dπp)∗
µx.

Entonces
(S∗
µα)x = (dSµ)∗
xα
por definición de la 1-forma tautológica se tiene la siguiente igualdad
(dSµ)∗
xα = (dSµ)∗
x(dπp)∗
µx
= (d(π ◦ Sµ))∗
xµx
y como la π ◦ Sµ = IdX se tiene
(d(π ◦ Sµ))∗
xµx = (dIdX)∗
xµx
= (IdX)∗
xµx
= µx
lo cual demuestra el teorema.
Suponga que Xµ es una subvariedad de T∗
X de dimensión n de la forma {(x, µx)|x ∈
X, µx ∈ T∗
x X} con una 1-forma µ asociada. Entonces Sµ : X −→ T∗
X es un encaje
con imagen Xµ, existe un difeomorfismo τ : X −→ Xµ, τ(x) := (x, µx), tal que el
diagrama siguiente conmuta.
X T∗
X
Xµ
E
Sµ
d
d
d‚
τ

i
Entonces se puede expresar la condición de Xµ sea lagrangiano en términos de la
forma µ.

Entonces se tiene lo siguiente
Xµ es lagrangiano ⇔ i∗
dα = 0
⇔ τ∗
i∗
dα = 0
⇔ (i ◦ τ)∗
dα = 0
⇔ S∗
µdα = 0
⇔ dS∗
µα = 0
y por el teorema anterior
dS∗
µα = 0 ⇔ dµ = 0
⇔ µ es cerrado
Por lo tanto existe una correspondencia de 1-1 entre el conjunto de subvariedades
lagrangianas de T∗
X de la forma {(x, µx)|x ∈ X, µx ∈ T∗
x X} al conjunto de la
1-formas cerradas en X.
Cuando X es simplemente conexo H1
Rham = 0, entonces toda 1-forma cerrada µ es de
la forma df para algún f ∈ C∞
(X). Cualquier tal primitiva es llamado una función
generadora para la subvariedad lagrangiana Xµ asociada a M. En una variedad
arbitraria X, la función f ∈ C∞
(X) genera una variedad lagrangiana bajo la imagen
df.
2.2.1. Aplicaciones
Sea (M1, ω1) y (M2, ω2) dos variedades simplécticas de dimensión 2n. Dado un di-
feomorfismo ϕ : M1 −→ M2, una pregunta natural que se tiene es ¿Cuándo ϕ es un
simplectomorfismo? es decir cuándo ϕ∗
ω2 = ω1.

Observese en el siguiente diagrama de proyecciones.
(p1, p2) M1 × M2 (p1, p2)
p1 M1 M2 p2
c

©
Pr1
d
d
d
d‚
Pr2
c
Sea ω = (Pr1)∗
ω1 + (Pr2)∗
ω2 la 2-forma en M1 × M2 y obsérvese que
dω = (Pr1)∗
dω1 + (Pr2)∗
dω2
y como ω1, ω2 son cerradas se tiene que dω = 0 lo que implica que es cerrada; pero
también se observa que
ω2n
=
2n
n
((Pr1)∗
ω1)n
∧ ((Pr2)∗
ω2)n
= 0
y por el lema 2.1.1 se tiene que ω es no degenerada. ∴ ω es 2-forma simpléctica.
Se tiene algo más general, si λ1, λ2 ∈ R {0}, entonces tenemos que la 2-forma
λ1(Pr1)∗
ω1+λ2(Pr2)∗
ω2 también es una 2-forma simpléctica en M1×M2. Si tomamos
λ1 = 1 y λ2 = −1 se obtiene la 2-forma torcida en M1 × M2
ω = (Pr1)∗
ω1 − (Pr2)∗
ω2
La gráfica de un difeomorfismo ϕ : M1 −→ M2 es la subvariedad de dimensión 2n de
M1 × M2
Γϕ := gráficaϕ = {(p, ϕ(p))|p ∈ M1}
esta subvariedad es un encaje de la imagen de M1 en M1 × M2, el encaje esta dada
por la siguiente función γ.
γ : M1 −→ M1 × M2
p −→ (p, ϕ(p))
Se dará a continuación una relación entre un simplectomorfismo y una subvariedad

lagrangiana.
Teorema 2.2.1. Un difeomorfismo ϕ es un simplectomorfismo si y sólo si Γϕ es una
subvariedad lagrangiana de (M1 × M2, ω)
Demostración: Por definición de subvariedad lagrangiana se tiene que Γϕ es lagran-
giana si y sólo si (γ)∗
ω = 0.
Entonces
γ∗
ω = γ∗
(Pr1)∗
ω1 − γ∗
(Pr2)∗
ω2
= (Pr1 ◦ γ)∗
ω1 − (Pr2 ◦ γ)∗
ω2
= (IdM1 )∗
ω1 − (ϕ)∗
ω2
= ω1 − (ϕ)∗
ω2
y del cálculo anterior se observa que
γ∗
ω = 0 ⇔ ϕ∗
ω2 = ω1
la cual concluye con la demostración.
Se construirá simplectomorfismos a partir de subvariedades de la misma dimensión.
Sea X1, X2 variedades de dimensión n, con haz cotangente M1 = T∗
X1, M2 =
T∗
X2 respectivamente, 1-formas tautológicas α1, α2 y 2-formas tautológicas ω1, ω2
asociadas a dichos haces.
Se usará la identificación natural
M1 × M2 = T∗
X1 × T∗
X2 T∗
(X1 × X2)
considérese la 1-forma tautológica en T∗
(X1 × X2)
α = (Pr1)∗
α1 + (Pr2)∗
α2
donde Pri : M1 × M2 −→ Mi para i = 1, 2 y la 2-forma tautológica en T∗
(X1 × X2)
ω = (Pr1)∗
ω1 + (Pr2)∗
ω2

y escr´ıbase la forma torcida como
ω = (Pr1)∗
ω1 − (Pr2)∗
ω2
, defina la inclusión de M2 por
σ2 : M2 −→ M2
(x2, ξ2) −→ (x2, −ξ2)
se observa que σ∗
2α2 = −α2. Sea σ = IdM1 × σ2 : M1 × M2 −→ M1 × M2 entonces se
tiene σ∗
ω = (Pr1)∗
ω1 + (Pr2)∗
ω2 = ω.
Dado Y subvariedad lagrangiana de (M1 × M2, ω) entonces se tiene que el espacio
torcido Y σ
:= σ(Y ) es una subvariedad lagrangiana de (M1 × M2, ω) que tiene como
2-forma a ω.
Regresando a la idea de producir simplectomorfismos se dá cuatro pasos a seguir
para producirlos.
1) Empezar con una subvariedad lagrangiana Y de (M1 × M2, ω).
2) Torciendo la subvariedad lagrangiana Y se obtiene una subvariedad lagrangiana
Y σ
de (M1 × M2, ω).
3) Verificar que Y σ
sea la gráfica de un difeomorfismo ϕ : M1 −→ M2.
4) Si lo es, entonces por el teorema 2.2.1 ϕ es un simplectomorfismo.
Se aplicará los pasos anteriores a subespacios lagrangianos generados por funciones
diferenciales y a esta aplicación lo llamaremos método de las funciones genera-
doras ver [7] página 280.
Sea f ∈ C∞
(X1 × X2), se tiene que df es 1-forma cerrada en X1 × X2 que genera
una subvariedad lagrangiana
Yf := {((x, y), (df)(x,y))|(x, y) ∈ X1 × X2}
usando la notación
dxf = (df)(x,y) proyección a T∗
x X1 × {0}
dyf = (df)(x,y) proyección a {0} × T∗
y X2

entonces se puede reescribir la subvariedad lagrangiana como
Yf = {(x, y, dxf, dyf)|(x, y) ∈ X1 × X2}
y torciendo se obtiene
Y σ
f = {(x, y, dxf, −dyf)|(x, y) ∈ X1 × X2}
cuando Y σ
f es la gráfica de un difeomorfismo ϕ : M1 −→ M2, se llamará a ϕ el
simplectomorfismo generado por f y a f la función generadora.
La pregunta natural que nos surge ahora es ¿cuándo Y σ
f es la gráfica de un difeo-
morfismo ϕ?
Sea (U1, x1, . . . , xn), (U2, y1, . . . , yn) cartas coordenadas para (x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)
con cartas asociadas (T∗
U1, x1, . . . , xn, ξ1, . . . , ξn), (T∗
U2, y1, . . . , yn, η1, . . . , ηn) para
M1 y M2 respectivamente. El conjunto
Y σ
f = {(x, y, dxf, −dyf)|(x, y) ∈ X1 × X2}
es la gráfica de un difeomorfismo ϕ : M1 −→ M2 si, y sólo si para cualquier (x, ξ) ∈
M1 y (y, η) ∈ M2 se tiene que
ϕ(x, ξ) = (y, η) ⇔ ξ = dxf y η = −dyf
por lo tanto dado un punto (x, ξ) ∈ M1 se trata de encontrar su imagen (y, η) =
ϕ(x, ξ), para esto se tiene que resolver la ecuación de Hamilton



ξi =
∂f
∂xi
(x, y) (※)
ηi = −
∂f
∂yi
(x, y) (※※)
Si existe una solución y = ϕ1(x, ξ) de (※) entonces se puede usar para encontrar una
solución η = ϕ2(x, ξ) de (※※), as´ı que ϕ(x, ξ) = (ϕ1(x, ξ), ϕ2(x, ξ)) , el teorema de la
función impl´ıcita nos da una condición necesaria para resolver el sistema localmente

en términos de x y ξ, el cual es
det[
∂
∂yj
(
∂f
∂xj
)]n
i,j=1 = 0
Esto es un método que ayudará a construir simplectomorfismos a partir de funciones
f ∈ C∞
(X1 × X2).
Aplicaciones del método de la función generadora
Sea X una variedad de dimensión n . Sea M = T∗
X su haz cotangente con forma
simpléctica canónica ω.
Suponga que se tiene una función diferenciable f : X × X −→ R que genera un
simplectomorfismo ϕ : M −→ M, dado por el método de la función generadora para
producir simplectomorfismos tratado anteriormente, i.e. ϕ(x, dxf) = (y, −dyf).
Una pregunta para estudiar el comportamiento de la función es ¿cuáles son los puntos
fijos de ϕ?
Para responder esta pregunta def´ınase la siguiente función como sigue
Ψ : X −→ R
x → f(x, x)
Proposición 2.2.2. Existe una correspondencia 1-1 entre los puntos fijos de ϕ y los
puntos cr´ıticos de Ψ.
Demostración: Sea x0 ∈ X, la derivada de la función Ψ es dx0 Ψ = (dxf +dyf)|(x0,x0),
sea ξ = dxf|(x0,x0).
Entonces x0 es punto cr´ıtico de Ψ ⇔ dx0 Ψ = 0 ⇔ dyf|(x0,x0) = −ξ.
Los puntos en Γϕ
f correspondientes a (x0, x0) es (x0, x0, ξ, ξ). Pero Γϕ
f es la gráfica de
ϕ entonces ϕ(x0, ξ) = (x0, ξ) es un punto fijo.
Considérese las iteraciones de ϕ
ϕn
= ϕ ◦ . . . ◦ ϕ
n
: M −→ M
con n = 1, 2, . . . , cada una de los cuales es un simplectomorfismo de M, si ϕn
fuera generado por alguna función fn
, entonces por la proposición previa existe una

correspondencia 1-1 entre estos conjuntos
{puntos fijos de ϕn
} ←→ {puntos cr´ıticos de Ψ : X → R, Ψn
(x) = fn
(x, x)}
Supóngase que ϕ está generado por f, nuestra pregunta inmediata es ¿Tiene ϕ2
una
función generadora?. La respuesta es parcialmente s´ı, pero dejaremos esta pregunta
sin resolver, aunque si se quiere ver a detalle este problema se puede consultar [1] y
[7]. Procederemos con otra aplicación.
Billares
Sea χ : R −→ R2
una curva plana diferenciable con periodo 1 ( es decir, χ(s + 1) =
χ(s)) y parametrizado por longitud de arco ( |dχ
ds
| = 1). Asúmase que la región Y
encerrada por χ es convexa, es decir, para cualquier s ∈ R, la l´ınea {χ(s) + tdχ
ds
}
intersecta a X := ∂Y en un solo punto χ(s). Supóngase que se pone a rodar una
pelota en Y con velocidad constante y revotando en la frontera con la ley usual de
la reflección. Esto determina una función
ϕ : R/Z × (−1, 1) −→ R/Z × (−1, 1)
(x, v) → (y, w)
con la regla siguiente: La pelota rebota en χ(x) con ángulo φ = cos−1
(v), y en el
siguiente rebote con χ(y) lo hace con una ángulo θ = cos−1
(w), ver Figura a.
Sea f : R/Z × R/Z −→ R definida por
f(x, y) = −|χ(y) − χ(x)|
se tiene que f es diferenciable fuera de la diagonal. Usemos χ para identificar R/Z
con la imagen de la curva X. Supóngase que ϕ(x, v) = (y, w), es decir, (x, v) y (y, w)
son puntos sucesivos de la orbita de la pelota.
Entonces se tiene que
dxf(x, y) =
χ(y) − χ(x)
|(χ(y) − χ(x))|
,
∂χ
∂x
(x) = cosφ = v,
dyf(x, y) = −
χ(y) − χ(x)
|(χ(y) − χ(x))|
,
∂χ
∂y
(y) = −cosθ = −w

lo que implica que f es una función generadora para ϕ. El problema de los billares
puede darnos información de como es que se mueve la pelota y que tanto caos tiene el
movimiento, también nos da una idea de los puntos fijos de este sistema, si el lector
quiere seguir estudiando este ejemplo se recomienda ver [7] página 275.

Cap´ıtulo 3
Estudio del teorema de Darboux
En este cap´ıtulo se probará primeramente dos versiones del teorema de Moser para
variedades simplécticas compactas y después poder demostrar una versión local para
una variedad simpléctica en general, para eso se hará uso del material visto en las
primeras dos partes de la tesis, tomaremos especial atención en la versión local que
es una pieza muy importante en la demostración del teorema de Darboux, como
conclusión del trabajo se hará la demostración del teorema de Darboux.
3.1. Teor´ıa de Moser
3.1.1. Teorema de Moser Versión I y II
Definición 3.1.1. Sea M una variedad diferenciable de dimensión finita.
1) (M, ω0), (M, ω1) son simplectomorfos si existe un isomorfismo ϕ : M −→ M
tal que ϕ∗
ω1 = ω0.
2) (M, ω0), (M, ω1) son fuertemente isotópicos si existe una isotop´ıa ρt : M −→
M tal que ρ∗
1ω1 = ω0.
3) (M, ω0), (M, ω1) son equivalentes por deformación si existe una familia dife-
renciable ωt de formas diferenciales entre ω1 y ω0.
4) (M, ω0), (M, ω1) son isotópicos si hay una equivalencia por deformación con [ωt]
independiente de t.
Observación:
58

3.1. Teor´ıa de Moser 59
2) =⇒ 1) Como (M, ω0), (M, ω1) son fuertemente isotópicos existe una isotop´ıa
ρt : M −→ M tal que ρ∗
1ω1 = ω0, si ϕ = ρ1 entonces (M, ω0), (M, ω1) son simplecto-
morfos.
4) =⇒ 3) Si (M, ω0), (M, ω1) son isotópicos entonces existe una equivalencia por
deformación entre ellos.
2) =⇒ 4) Sea ωt = ρ∗
t ω1, la cual forma una familia diferenciable de formas simplec-
ticas que cumplen que [ωt] = [ω0] para toda t, por lo tanto (M, ω0), (M, ω1) son
isotópicos.
Para que 4) =⇒ 2) se necesitará que M sea compacto. A esta implicación se le conoce
como el teorema de Moser dada a continuación.
Teorema 3.1.1. (Teorema de Moser-versión I) Suponga que M es compacto.
[ω0] = [ω1] y que la 2-forma ωt = (1 − t)ω0 + tω1 es simpléctico para cada t ∈ [0, 1].
Entonces existe una isotop´ıa ρ : M × R −→ M tal que ρ∗
t ωt = ω0, ∀t ∈ R
Demostración: Suponga que existe una isotop´ıa ρ : M ×R −→ M tal que ρ∗
t ωt = ω0,
∀t ∈ [0, 1]. Sea
Vt(ρt) =
d
dt
(ρt), t ∈ R
el campo vectorial asociado a la isotop´ıa ρ, por ser ρ∗
t ωt constante se tiene
0 =
d
dt
(ρ∗
t ωt) = ρ∗
t (L∗
Vt
ωt +
d
dt
ωt)
⇔ LVt ωt +
d
dt
ωt = 0 (*)
suponga rec´ıprocamente que se puede encontrar un campo vectorial Vt diferenciable
dependiente del tiempo, tal que (*) se cumple para 0 ≤ t ≤ 1. Entonces por la
observación 1.1 (página 27) existe una isotop´ıa ρ, ρ : M × R −→ M con
d
dt
(ρ∗
t ωt) = 0 =⇒ ρ∗
t ωt = ρ∗
0ω0 = ω0
entonces solamente hay que resolver (*) para Vt

60 Cap´ıtulo 3. Estudio del teorema de Darboux
Primero de ωt = (1 − t)ω0 + tωt, se tiene que
d
dt
ωt = ω1 − ω0
y como [ω0] = [ω1], entonces existe 1-forma tal que ω1 −ω0 = dµ, es decir, d
dt
ωt = dµ,
por la fórmula de Cartan se tiene
LVt ωt = dιVt ωt + ιVt dωt = dιVt ωt
lo que implica que
dιVt ωt − LVt ωt = 0
relacionando con (*) se obtiene la siguiente ecuación
dιVt ωt + dµ = 0
Entonces hay que encontrar, un campo vectorial Vt tal que
dιVt ωt + dµ = 0
para lo cual es suficiente resolver la ecuación
ιVt ωt + µ = 0
y por la condición no degenerada de ωt se puede resolver puntualmente, entonces
se obtiene un único campo vectorial Vt diferenciable que cumple la ecuación, lo que
demuestra el teorema.
Teorema 3.1.2. (Teorema de Moser-versión II) Sea M una variedad com-
pacta con forma simpléctica ω0 y ω1. Suponga que ωt, 0 ≤ t ≤ 1, es una familia
diferenciable de 2-formas cerradas entre ω0 y ω1 que satisface:
1) [ωt] es independiente de t i.e. d
dt
[ωt] = [ d
dt
ωt] = 0
2) ωt es no degenerada para 0 ≤ t ≤ 1
Entonces existe una isotop´ıa ρ : M × R −→ M tal que ρ∗
t ωt = ω0, 0 ≤ t ≤ 1
Demostración: De las hipótesis se concluye lo siguiente:

3.1. Teor´ıa de Moser 61
1) =⇒ ∃ una familia de 1-formas µt tal que d
dt
ωt = dµt, 0 ≤ t ≤ 1 también se puede
encontrar una familia diferenciable de µt tal que d
dt
ωt = dµt, 0 ≤ t ≤ 1.
2) =⇒ ∃ una familia de campos vectoriales Vt tal que ιVt ωt + µt = 0 (Ecuación de
Moser).
Por la observación 1.1 (página 27) se tiene una isotop´ıa ρ : M × R −→ M, donde
ρ es la isotop´ıa generada por Vt, entonces se tiene que
d
dt
(ρ∗
t ωt) = ρ∗
t (LVt ωt +
d
dt
ωt) = ρ∗
t (dιVt ωt + dµt) = 0
esto demuestra que ρ∗
t ωt = ω0, 0 ≤ t ≤ 1 .
3.1.2. Teorema de Moser Versión local
Teorema 3.1.3. (Teorema de Moser versión local) Sea M una variedad, X
una subvariedad compacta de M, i : X → M la inclusión, ω0 y ω1 formas simplécticas
en M tal que ω0|p = ω1|p ∀p ∈ X.
Entonces existen vecindades U0, U1 de X en M y un difeomorfismo ϕ : U0 −→ U1
tal que el diagrama
U0 U1
X
E
ϕ

id
ds
i
conmuta y ϕ∗
ω1 = ω0
Demostración: Sea U0 una vecindad tubular de X dado por el teorema 1.2.3, la 2-
forma ω1−ω0 es cerrada en U0, y (ω1−ω0)|p = 0 ∀p ∈ X entonces por la proposición
1.2.3 existe 1-forma µ tal que ω1 − ω0 = dµ y µp = 0 p ∈ X.
Considérese la familia ωt = (1 − t)ω0 + tω1 = ω0 + tdµ de 2-formas cerradas en U0,
se puede asumir que que ωt es simpléctica para 0 ≤ t ≤ 1.
Resolviendo la ecuación de Moser ιVt ωt + µ = 0 se obtiene un campo vectorial tal
que Vt = 0 en X.
Para el campo vectorial Vt existe una isotop´ıa ρ y dado que X es compacto la
isotop´ıa se puede extender a todos los reales, entonces existe ρ : U0 × R −→ M tal

62 Cap´ıtulo 3. Estudio del teorema de Darboux
que ρ∗
t ωt = ω0 ∀t ∈ [0, 1]. Donde Vt|X = 0 y ρt|X = IdX.
Sea ϕ = ρ1 y U1 = ρ1(U0).

3.2. Teorema de Darboux 63
Ahora se demostrará el Teorema de Darboux, después de toda la teor´ıa desarrollada
el teorema se convierte en un teorema sencillo de entender.
3.2. Teorema de Darboux
Teorema 3.2.1. (Darboux) Sea (M, ω) una variedad simpléctica de dimensión 2n,
y sea p cualquier punto en M. Entonces se puede encontrar un sistema coordenada
(U, x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) centrado en p tal que en U
ω =
n
i=1
dxi ∧ dyi
Demostración: Aplicando el teorema local de Moser a X = {p}, y escogiendo cual-
quier base simpléctica para TpM se construye un sistema coordenado centrado en p y
una vecindad U en el cual se tiene una 2-forma ωp = dxi ∧dyi|p, entonces se tiene
dos formas simplecticas en U , sea ω0 = ω y ω1 = dxi ∧ dyi, entonces aplicando el
teorema de Moser existe vecindades U0, U1 de p, y un difeomorfismo ϕ : U0 −→ U1
tal que
ϕ(p) = p y ϕ∗
( dxi ∧ dyi) = ω
dado que ϕ∗
( dxi ∧ dyi) = d(xi ◦ ϕ) ∧ d(yi ◦ ϕ), se tiene un nuevo sistema
coordenado xi = xi ◦ ϕ y yi = yi ◦ ϕ.
Por lo tanto tenemos que
ω = dxi ∧ dyi
lo cual demuestra el teorema.
Con este resultado llegamos al objetivo trazado en la tesis que era entender de manera
profunda la demostración del teorema de Darboux.

Conclusión
Una conclusión inmediata que tenemos del teorema de Darboux es que todas
las variedades simplécticas (M, ω) de dimensión 2n localmente son simplecto-
morfos a la variedad real R2n
con forma simpléctica ω0 = dxi ∧ dyi, es decir,
todas las variedades simplécticas tienen las mismas propiedades locales que
(R2n
, ω0).
Cualquier dos variedades simplecticas de la misma dimensión son simplecto-
morfas localmente.
La forma de diferencia dos variedades simplecticas será estudiar sus propieda-
des globales, el teorema de Darboux aunque nos dice que localmente (M, ω) y
(R2n
, ω0) son lo mismo, globalmente no los son. 1) La propiedad de ser com-
pacto: observemos que R2n
es una variedad simpléctica compacta pero M no
necesariamente es compacto. 2) Localmente no se tiene invariantes topológicos
y geométricas, pero globalmente si.
64

Bibliograf´ıa
[1] Ana Cannas. Lectures on Simplectic Geometry. Springer, 1997.
[2] Sylvestres Gallot y Dominique Hulin. Riemannian Geometry. Springer-Verlang,
2008.
[3] Jurguen Jost. Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Springer, 2008.
[4] Serge Lang. Differential and Riemannian Manifolds. Board, 1995.
[5] John M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds. University of Washington, 2000.
[6] Madsen y Jorgen Tornehave. From Calculus to Cohomology. Cambridge Univer-
sity, 1997.
[7] Dusa McDuff y Dietmar Salamon. Introduction to Symplectic Topology. Oxford
Science, 1998.
[8] James R. Munkres. Analysis on Manifolds. Addison-Wesley, 1990.
[9] Héctor Sánchez y Oscar A. Palmas. Geometr´ıa riemanniana. UNAM, 2007.
65

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