Libro funciones reales

FUNCIONES REALES DE UN VECTOR

Newton HUAMAN´ CASTRO
I

Composiciń Diagramaciń, Montaje e Impresiń:
o o o
Newton Huaman´
ı
RUC: 10430946655

Esta obra se termin´ de imprimir en el mes de Octubre del 2011. En
o
APROVISA-Mz. D1-Lote 10-AYACUCHO - Telef. (066)31-6051

´
HECHO EL DEPOSITO LEGAL EN LA BIBLIOTECA
´
NACIONAL DEL PERU No 2011-13523

Pedidos: Asoc. APROVISA Mz. D1 Lote 10 - Ayacucho - Cel. 985222420

Newton Huaman´ castro
ı An´lisis de funciones reales
a

OBJETIVOS

Ofrecer una apreciaciń del an´lisis de funciones reales de un vector
o a
a partir del 1) an´lisis de los ejemplos cl´sicos y a trav´s de la 2)
a a e
observaciń detallada de las definiciones y proposiciones.
o

Establecer la condiciń para que la derivada direccional , ∂f , dependa
o ∂v
f
linealmente de v. Es decir, ∂(λv+αw)
= λ ∂f + α ∂f .
∂v ∂v

Establecer la condiciń para que una funciń sea diferenciable en un
o o
punto.

Conocer que la diferencial de una funciń en un punto, df (a), es una
o
transformaciń lineal y identificar con su matriz asociada a la base
o
canńica de Rn y R.
o

2

´
Indice general

0.1. Presentaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 4
0.2. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.3. Derivadas Direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
0.4. Funciones Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
0.5. Funciones de clase C k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
0.6. La diferencial de una funci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
o

3

a

0.1. Presentaciń
o

Este texto, de un tema, se escribi´ pensando hacer de ´l un material que
o e
aumente la comprensiń y apreciaciń del an´lisis de las funciones reales de
o o a
un vector de la forma m´s detallada a partir, no de c´lculos, sino a partir del
a a
an´lisis de las definiciones, proposiciones y ejemplos cl´sicos.
a a
Est´ dirigido a los lectores de matem´ticas, f´
a a ısica e ingenier´ y a los intere-
ıa
sados de la ciencia. Pero s´ suponemos que el lector este familiarizado con los
ı
n´meros reales, topolog´ en Rn , ideas de l´
u ıa ımite y derivada.
El an´lisis, dicen, es una tćnica importante y necesaria tanto para el matem´tico
a e a
como para aquel que usa las matem´ticas,entonces se puede decir que gracias
a
al an´lisis el tema se vuelve interesante. Por lo que hacemos uso del an´lisis
a a
en este texto, de alguna y otra forma, pero teniendo presente que el an´li-
a
sis no es sinńimo de la matem´tica, sino es un instrumento, no s´lo de las
o a o
matem´ticas, es tambiń de la ciencia para su desarrollo.
a e
En este texto discutiremos sobre las funciones con dominio en Rn y rango en
R. Una funciń es una correspondencia de un conjunto de vectores en un con-
o
junto de n´meros reales. Estas funciones tambiń suelen llamarse funciones
u e
reales de n variables reales. Los casos donde n es 2 ´ 3 son los que ocurren con
o
mayor frecuencia en las aplicaciones elementales y son, por consiguiente, de
inter´s para nosotros. Sin embargo , como los conceptos fundamentales aso-
e
ciados con funciones reales de un vector y las propiedades de estas funciones
no dependen realmente de la dimensiń del espacio (n´mero de variables ),
o u

4

a

podemos sin dificultad alguna, estudiar el caso general. Un ejemplo de fun-
ciń real de un vector es la temperatura en un habitaciń, si establecemos
o o
para el cuarto un sistema de coordenadas, definimos la funciń temperatura
o
T como sigue: en cualquier punto p = (x, y, z) de la habitaciń , T (p) es la
o
temperatura en este punto. El dominio de esta funciń es el conjunto de los
o
puntos de la habitaciń y el rango es el conjunto de numeros reales: son los
o
valores de la temperatura en cada punto de la habitaciń.
o
Esta divido en 6 secciones, en el segundo nos ocupamos de la derivada parcial,
en tercero del derivada direccional, cuarto sobre diferenciabilidad, quinto de
clase C k , por ultimo de la diferencial.
´
Finalmente, espero que pasen por alto las errores cometidos tanto en la redac-
ciń de las soluciones y/o demostraciones y como en la digitaciń del material.
o o

0.2. Derivadas parciales

Cuando se estudian funciones reales de n variables, esto es, definidas en
subconjuntos del espacio Rn , y se busca para estas funciones una nociń de
o
derivada que tenga propiedades an´logas a las de la derivada de una funciń
a o
definida en un intervalo, la idea que se tiene naturalmente es la de ”derivada
parcial”que expondremos ahora.
Para efectos de la derivaciń, donde se compara el incremento f (a+h)−f (a)
o
de la funciń f con el incremento (a + h) − a = h dado al punto a, el dominio
o
mas adecuado es un subconjunto abierto U ⊆ Rn . Pues en este caso dado

5

a

a ∈ U por la definiciń de un conjunto abierto se sigue que existe una bola
o
B(a, δ) tal que B(a, δ) ⊆ U . Para que a + h ∈ U se tenga es necesario que
a + h − a < δ, es decir h debe tener un incremento lo suficientemente
pequeõ.
n

Definiciń 0.2.1 Sea f : U −→ R una funciń real, definida en un subcon-
o o
junto abierto U ⊆ Rn y a ∈ U .
La i-´sima derivada parcial de f en el punto a (donde 1 ≤ i ≤ n) es el l´mite
e ı

∂f f (a + tei ) − f (a)
(a) = l´
ım
∂xi t−→0 t

cuando tal l´mite existe.
ı

Las veces,cuando fuese necesario usaremos tambiń la notaciń ∂i f (a).
e o

Observaciń 0.2.1 El s´mbolo o notaciń de la derivada parcial.
o ı o

∂f ∂f
El simbolo ∂xi
tendr´ para nosotros el mismo significado que
a , ∂f ,etc.
∂yi ∂zi
El
que importa en un simbolo de este tipo no es el ”nombre”de la variable, que
tanto puede ser ”x”, como y, z, etc. Lo importante es el ´
ındice i, se trata de la
derivada de f en relaciń a la i-´sima variable, sea cual fuere el seãl usado
o e n
para indicarla. Estrictamente hablando, la mejor notaciń para la i-´sima
o e
∂f
derivada parcial es ∂i f , pero continuaremos escribiendo ∂xi
por respeto a la
tradiciń, por lo est´tico y principalmente porque nos permite escribir de la
o e
forma m´s natural ciertas formulas, como por ejemplo la Regla de la Cadena.
a

6

a

Observaciń 0.2.2 Derivada parcial en una funciń de dos variables
o o

Una funciń f : U −→ R cuando U ⊆ R2 se llama ”funciń real de dos
o o
variables”. Se escribe f (x, y) para indicar su valor en el punto z = (x, y). De
esta forma, las derivadas parciales de f en el punto c = (a, b) ∈ U pueden
tambiń ser representadas por
e

∂f ∂f ∂f ∂f
(c) y (c) en vez de (c),
∂x ∂y ∂x1 ∂x2 (c)

As´ pues tenemos:
ı

∂f f (a + t; b) − f (a; b) ∂f f (a; b + t) − f (a; b)
(c) = l´
ım , (c) = l´
ım
∂x t−→0 t ∂y t−→0 t

An´logamente, si U ⊆ R3 , una funciń f : U −→ R es una ”funciń real
a o o
de tres variables”. Su valor en un punto p = (x; y; z) se escribe f (x; y; z)
y sus derivadas parciales en el punto q = (a; b; c) pueden ser escritas como
∂f
∂x
(q), ∂f (q)
∂y
y ∂f
∂z
(q).

Observaciń 0.2.3 Derivada parcial en una funciń de una variable.
o o

Volviendo al caso general, sea f : U −→ Rn definida en el abierto U ⊆ Rn .
Dado el punto a ∈ U y el entero i ∈ {1, ..., n}, la imagen del camino λ : R −→
Rn , λ(t) = a + tei , es el que se llama ”la recta que pasa por a y es paralela a
la i-´sima coordenada (eje)”(note que λ(0) = a). Como U es abierto, existe
e
> 0 tal que:
− < t < −→ λ(t) = a + tei ∈ U.

7

a

La i-´sima derivada parcial de f en el punto a es la derivada, en el punto
e
t=0, de la funciń f ◦ λ : − ,
o −→ R, osea que

∂f
(a) = (f ◦ λ) (0).
∂xi

Podemos decir que f restringida al segmento de recta abierto J = a− ei , a+
∂f
ei , se vuelve una funciń real, f (a + tei ), de la variable real t y
o ∂xi
(a) es la
derivada de esa funciń en el punto t = 0.
o

Observaciń 0.2.4 interpretaciń geom´trica de la derivada parcial.
o o e

Cuando n = 2, el gr´fico de f : U ⊆ R2 −→ R es una superficie en R3 , la
a
restricciń de f al segmento de recta que pasa por c = (a, b) y es paralela
o
al eje de las abscisas tiene como gr´fico la curva plana obtenida en esa su-
a
perficie haciendo constante la ordenada ”(obs´rvese tambiń que la curva es
e
2
e
la intersecciń de la superficie con el plano P que es perpendicular al plano
o
xy y contiene el segmento recta que pasa por c y es paralela a ei = (1; 0)),

8

a

∂f
luego ∂x
(c) es la inclinaciń de la recta tangente a esa curva, en el punto
o
(a,b,f(a,b)) relativo al plano horizontal.

Observaciń 0.2.5 C´lculo practico de la i-´sima derivada parcial
o a e

El c´lculo prćtico de la i-´sima derivada parcial de una funciń f (x1 ; ...; xn )
a a e o
se hace considerando todas variables como si fuesen constantes exepto la i-
´sima y aplicando las reglas usuales de derivaciń relativa a esa variable.
e o
∂f
El comportamiento de la i-´sima derivada parcial
e ∂xi
(c) a lo largo de un
segmento de recta contenido en el dominio de f es igual (´ similar) al i-´simo
o e
eje de la informaciń sobre el crecimiento de f a lo largo de tal segmento.
o
As´ por ejemplo, si f : U −→ R est´ definida en U ⊆ R2 y que el segmento de
ı a
recta J = {(a, t) : 0 ≤ t ≤ 1} paralelo al ejeY est´ contenida en U y adem´s
a a
∂f
resulta ∂y
(z) > 0 para todo z ∈ J, entonces f es creciente, esto es:

0 ≤ s ≤ t ≤ 1 −→ f (a, s) < f (a, t).

Definiciń 0.2.2 Sea U ⊆ Rn y f : U −→ R.
o
Diremos que f no depende de la i-´sima variable caundo dados a = (a1 ; ...; ai−1 ; x; ai+1 ; ...; an )
e
y b = (a1 ; ...; ai−1 ; y; ai+1 ; ...; an ) en U se tiene f (a) = f (b).
En otros t´rminos, si a, b ∈ U con la propiedad de que b = a + tei entonces
e
f (a) = f (b).

Definiciń 0.2.3 Sea U ⊆ Rn un subconjunto.
o
Se dice que U es i-convexo cuando a, b ∈ U con b = a+tei se tiene [a, b] ⊆ U .
Donde, [a, b] := {tb + (1 − t)a : 0 ≤ t ≤ 1}.

9

a

Proposiciń 0.2.4 Sea U ⊆ Rn un abierto i-convexo y f : U −→ Rn una
o
∂f
funciń tal que
o ∂xi
(x) = 0 para todo x ∈ U . Entonces f es independiente de
la i-´sima variable.
e

Demostraciń/. Sean a, b ∈ U con b = a + tei . entonces la funciń ξ :
o o
[0, t] −→ R definida por ξ(s) = f (a + sei ) = 0, para todo s ∈ [0, 1]. por
hip´tesis ya que que U es i-convexo lo que implica que [a, b] ⊆ U, o sea que
o
a + sei ∈ U para todo s ∈ [0.t]. Luego se sigue que ξ es constante en [0, 1].
As´ pues
ı

ξ(0) = ξ(t)

f (a) = f (a + tei ) = f (b)

f (a) = f (b).

En el plano se dice horizontalmente y verticalmente convexo en vez de 1 −
convexo y 2 − convexo respectivamente.

Ejemplo 1 Sea X = {(x, 0) ∈ R2 : x ≥ 0} el semie-eje positivo cerrado de
las abcisas.
El abierto U = R2 − X es horizontalmente convexo (m´s no verticalmente)
a

Soluciń/.
o

U = R2 − X = {(x, 0) ∈ R2 : x < 0}

Sea a, b ∈ U con b = a + te1 . Entonces a1 < 0 y b1 < 0 y que (b1 , 0) =
(a1 , 0) + t(1, 0).

10

a

Afirmemos [a, b] ⊆ U
Sea z ∈ [a, b] entonces (z = a) ∨ (z = b) ∨ (z = (1 − λ)a + λb, algń λ ∈
u
0, 1 )

Si z = a, entonces z ∈ U pu´s a ∈ U .
e

Si z = b lo mismo sucede.

z = (1 − λ)a + λb para algń λ ∈ 0, 1
u

= ((1 − λ)a1 + λb1 , 0)

como a1 < 0, b1 < 0 entonces (1 − λ)a1 < 0,λb1 < 0 pu´s 0 < 1 − λ ya
e
que 0 < λ < 1 y 0 < λ. Sumando tenemos (1 − λ)a1 + λb1 < 0. Por lo
tanto, ((1 − λ)a1 + λb1 , 0) ∈ U o sea z ∈ U . ♠

Ejemplo 2 La funciń f : R2 −→ R, definida por:
o

 2
 x si x>0 ∧ y>0
f (x, y) =
 0 si
 x≤0 ∨ y≤0

∂f
a) Posee derivada parcial ∂y
= 0 en todo R2 .

b) no es independiente de la segunda variable, y.

soluciń.
o

11

a

a) Sea a = (a1 , a2 ) ∈ R2 . Entonces (a1 > 0 ∧ a2 > 0) ∨ (a1 ≤ 0 ∨ a2 ≤ 0)
o sea
(a1 > 0 ∧ a2 > 0) ∨ (a1 ≤ 0) ∨ (a2 ≤ 0)
(i) (ii) (iii)

∂f f (a + te2 ) − f (a) f (a1 , a2 + t) − f (a1 , a2 )
(a) = l´
ım = l´
ım
∂y t−→0 t t−→0 t

Caso (i): si a1 > 0 ∧ a2 > 0, luego

∂f a2 − a2
(a) = l´ 1
ım 1
= 0,
∂y t→0 t

Caso (ii): si a1 ≤ 0, luego

∂f 0−0
(a) = l´
ım = 0,
∂y t→0 t

∂0
Caso iii: si a2 ≤ 0, luego ∂y
(a) = 0.

b) Para demostrar que f es dependiente de variable y basta negar la deﬁni-
ci´n (1.2), es decir que: f no es independiente bajo la ”si, y s´lo si,
o o 2

existe a, b ∈ R2 con b = a + te2 tal que f (a) = f (b).
Tomemos a = (a1 ; a2 ) con a1 > 0 y a2 > 0 y b = (a1 ; a2 ) + (−2a2 )(0; 1)
donde t = −2a2 .
As´ pues: f (a) = f (a1 ; a2 ) = x2 > 0
ı

f (b) = f (a1 ; −a2 ) = 0

12

a

de donde tenemos f (a) = f (b). ♠

Obs´rvese que las derivadas parciales no permiten conclusiones sobre el com-
e
portamiento ”n-dimensional”de la funciń. Por ejemplo la existencia de todas
o
las derivadas parciales en un punto no implica la continuidad de la funciń
o
en ese punto, como veremos ahora.

Ejemplo 3 Sea f : R2 −→ R definida por

xy
si x2 + y 2 = 0


x2 +y 2
f (x, y) =

 0 si (x; y) = (0; 0)

Demuestrese que f posee todas las derivadas parciales en todo los puntos del
plano, pero sin embargo f es discontinua en el origen.

soluciń/.
o

Si z = (x; y) no es el origen (z = (0; 0)), se tiene

∂f y(x2 + y 2 ) − xy(2x) y 3 − yx2
(z) = ∂1 f (z) = = 2 ; y
∂x (x2 + y 2 )2 (x + y 2 )2

∂f x(x2 + y 2 ) − xy(2y) x3 − xy 2
(z) = ∂2 f (z) = = 2 .
∂y (x2 + y 2 )2 (x + y 2 )2

mientras en el origen, nos valdremos de la definiciń.
o

∂f f (0 + te1 ) − f (0) 0−0
(0) = l´
ım = l´
ım =0
∂x t→0 t t→0 t

13

a

∂f f (0 + te2 ) − f (0) 0−0
(0) = l´
ım = l´
ım =0
∂y t→0 t t→0 t

As´ que, f posee derivadas parciales, en todos los puntos del plano.
ı
Entretanto, f es discontinua en el origen, es decir que l´
ım f (x; y) no es
(x;y)→(0;0)
f (0; 0).
En efecto.
xy y
Si x2 + y 2 = 0, entonces f (x; y) = x2 +y 2
=√ x √ = cosθ senθ donde
x2 +y 2 x2 +y 2

θ es el angulo formado por el semieje positivo de las abcisas y la semi-recta
´
que pasa por el origen y que contiene el punto (x; y) y lo largo de cada una
de esas semi-rectas f (x, y) tiene valor constante, lo que hace que dependa de
cada semi-recta.
Luego no existe l´
ım f (x; y) (por supuesto en el origen) Cuando nos
(x;y)→(0;0)
acercamos por dos semi-rectas diferentes con inclinaciones θ1 y θ2 tenemos
que
l´ f (x; y) = cos(θ1 )sen(θ1 ) = cos(θ2 )sen(θ2 ) = l´ f (x, y).
ım ım
(0;0) (0;0)

♠

0.3. Derivadas Direccionales

Viendo que las derivadas parciales, desacompa˜adas de hip´tesis adi-
n o
cionales, apenas ofrecen informaciones sobre la funci´n a lo largo de las rectas
o
paralelas a los ejes. Esto nos lleva al importante concepto de derivada direc-

14

a

cional.

Definiciń 0.3.1 Sean f : U −→ R definida en el abierto U ⊆ Rn , a ∈ U y
o
v ∈ Rn .
La derivada direccional de f en el punto a, segń el vector v, es por definiciń
u o
el l´mite
ı
∂f f (a + tv) − f (a)
(a) = l´
ım
∂v t→0 t

cuando tal l´mite existe.
ı

Observaciń 0.3.1 Las derivadas parciales se vuelven casos particulares de
o
las derivadas direccionales.

∂f ∂f
(a) = (a) : derivada direccional de f en el punto a segń el vector ei .
u
∂xi ∂ei

Interpretaciń: ( ∂f )(a) es la derivada, en el punto t = 0, de la funciń
o ∂v
o

compuesta f ◦ λ : − , −→ Rn es el camino rectil´
ıneo, λ(t) = a + tv, para
el cual se tiene λ(0) = a y λ (t) = v para todo t ∈ − , . Obs´rvese que
e

15

a

aqu´ > 0 es escogido tan pequeõ para que la imagen de λ este contenida
ı n
en U (esto es posible porque U es abierto, ya que a ∈ U por lo que es posible
tomar > 0 tal que B(a, ) ⊆ U )

Ejemplo 4 Evalu´ las derivadas direccionales de la funciń dada por
e o

xy
si x2 + y 2 = 0


x2 +y 2
f (x, y) =

 0 si (x; y) = (0; 0)

soluciń/.
o

La derivada direccional, ∂f (0, 0), para v = (α; 0) o v = (0; β) son nulas.
∂v
´

∂f
Para v = (α; β) con α = 0 y β = 0 no existe ∂v
(0, 0) ya que

∂f 1 tα tβ 1 αβ
(0; 0) = l´
ım = l´
ım ( 2 )
∂v t→0 t (tα)2 + (tβ)2 t→0 t α + β 2

el ultimo l´
´ ımite obtenido, evidentemente, no existe. ♣

∂f
Observaciń 0.3.2 En
o ∂v
, ¿v es un vector arbitrario?

Al contrario de la mayor´ de los libros de calculo en nuestra definiciń de
ıa o
∂f
∂v
, con prop´sitos de mostrar nuestra apreciaciń, no suponemos v = 1.
o o
∂f
Admitimos que v ∈ Rn sea un vector arbitrario con la finalidad de de que ∂v

dependa linealmente de v. Veamos si esto ocurre realmente. En primer lugar,
∂f
si α = 0 ∈ R entonces existe ∂(αv)
en un punto a ∈ U si y solamente si existe

16

a

∂f
∂v
en el caso afirmativo tenemos

∂f f (a + t(αv)) − f (a) f (a + t(αv)) − f (a)
= l´
ım = α l´ım
∂(αv) t→0 t t→0 αt
f (a + t(αv)) − f (a) ∂f
= α l´ım =α (a)
αt→0 αt ∂v

ya que t tiende a cero si y solamente si αt tiende a cero.

∂f
Observaciń 0.3.3
o ∂(αv)
no necesariamente es lineal

∂f
Por otro lado, el ejemplo siguiente muestra que la derivada direccional ∂(αv)

puede existir en todos los ‘puntos del dominio de f , segń todos los vectores
u
n ∈ Rn , sin que se tenga necesariamente

∂f ∂f ∂f
(a) = (a) + (a)
∂(v + w) ∂ ∂w

Ejemplo 5 Sea g : R2 −→ R definida por:

x2 y
si x2 + y 2 = 0


x2 +y 2
g(x, y) =

 0 si (x; y) = (0; 0)

∂g
muestre que existen las derivadas direccionales ∂v
en todos los puntos de
R2 segń cualquier vector v = (α; β) y que g es continua en todo el plano.
u
soluciń/.
o

a) Hagamos el c´lculo usando la definiciń. Sea (x; y) con x2 + y 2 = 0 y
a o

17

a

v = (α; β), luego

∂g g((x; y) + t(α; β)) − g(x; y)
(x; y) = l´
ım
∂v t−→0 t
(x+tα)2 (y+tβ) x2 y
(x+tα)2 +(y+tβ)2
− x2 +y2
= l´
ım
t−→0 t

Como se tiene 0 , luego aplicando la regla del H-ospital tenemos
0

d (x + tα)2 (y + tβ)
= l´
ım
t−→0 dt (x + tα)2 + (y + tβ)2
d 1
= l´
ım 1 y+tβ
t−→0 dt +
y+tβ x+tα
−1 −β (x + tα)β − (y + tβ)α
= l´
ım 2 +
t−→0 1 y+tβ (y + tβ)2 (x + tα)2
y+tβ
+ x+tα

−1 −β xβ − yα
= 2 +
1 y y2 x2
y
+ x

y 2 x2 β yα − xβ
= +
(x + y)2 y 2 x2

ahora veamos si (x; y) = (0; 0) y v = (α; β), luego

(tα)2 tβ
∂g g(tα; tβ) (tβ)2 +(tβ)2
(0; 0) = l´
ım = l´
ım
∂v t−→0 t t−→0 t
α2 β
= ...(♣)
α2 + β 2

As´ que existe las derivadas direccionales en todos los puntos de R2 y
ı
cualquier direcci´n.
o

18

a

Evidentemente (♣) nos hace ver que si v = (α; β) , w = (θ; γ)

∂g ∂g ∂g
(0; 0) = (0; 0) + (0; 0),
∂(v + w) ∂v ∂w
(α + θ)2 (β + γ) α2 β θ2 γ
ya que = + 2 .
(α + θ)2 + (β + γ)2 α2 + β 2 θ + γ 2

∂f
Nota. M´s adelante mostraremos que
a ∂v
depender´ linealmente de v
a
si la funciń es ”diferenciable”la cual es una hip´tesis m´s restrictiva
o o a
del que simplemente posee derivadas direccionales.

b) Veamos que g es continua en todo el plano.
Es inmediato ver que g es continua en R2 − {0} ya que si α2 + β 2 = 0,
entonces

x2 y α2 β
l´
ım g(x; y) = l´
ım = 2 = g(α; β).
(x;y)→(α;β) (x;y)→(α;β) x2 + y 2 α + β2

Para el origen, basta observar que g(x; y) = xcosθ senθ, ya que g(x; y) =
x2 y y
x2 +y 2
=x √ x √ , luego l´
ım xcos(θ)sen(θ) = 0 = g(0; 0).
x2 +y 2 x2 +y 2 (x;y)→(0;0)

Observaciń 0.3.4 No es verdad por ejemplo que la existencia de las derivadas
o
direccionales implique continuidad, como veremos ahora como ejemplo.

Ejemplo 6 Sea h : R2 −→ R definida por

x3 y
si (x; y) = (0; 0)


x6 +y 2
h(x, y) =

 0 si (x; y) = (0; 0)

19

a

Examńese las derivadas direccionales y la continuidad en todo el plano.
ı

soluciń/.
o

a) Examinemos las derivadas direccionales.
Sea v = (α; β), tenemos

(tα)3 tβ
∂f h(tα; tβ) − h(0; 0) (tα)6 +(tβ)2
(0; 0) = l´
ım =
∂v t→0 t t
tα3 β
= l´ 4 6
ım = 0.
t→0 t α + (β)2

As´ pues, todas las derivadas direccionales , ∂h , en el origen existen y
ı ∂v
∂h ∂h
dependen linealmente de v ya que ∂v+w
(0; 0) =0=0+0= ∂v
(0; 0) +
∂h
∂v
(0; 0).
Lo mismo ocurre en los dem´s puntos c ∈ R2 − {0}, como se verifica
a
mediante el calculo elemental

∂h
(c) = ξ (0), donde ξ(t) = h(c + tv)
∂v

ξ(0 + t) − ξ(0) ξ(t) − ξ(0)
ξ (0) = l´
ım = l´ım
t→0 t t→0 t
h(c + th) − h(c)
= l´
ım donde c = (x; y) y v = (α; β)
t→0 t
(x+tα)3 (y+tβ) x3 y
(x+tα)6 +(y+tβ)2
− x6 +y2
= l´
ım .
t→0 t

∂h
aplicando la regla de H-o’spital se obtiene lo que se desea. As´ pues
ı ∂v

20

a

existe en todo el plano.

b) Examinemos la continuidad.
Es evidente que h es continua en R2 − {0}
Veamos que h es discontinua en el origen.

x3 y x3 x3 1 1
l´
ım h(x; y) = l´
ım 6 + y2
= l´ 3 6
ım 3 )2
= l´ ım =
(x;y)→(0;0) (x;y)→(0;0) x (x;x ) x + (x (x;y)→(0;0) 2 2

O sea, si nos acercamos al origen por la curva descrita por y = x3
tenemos que l´
ım h(x; y) = 1 , lo que implica que h es discontinua
2
(x;y)→(0;0)
1
en el origen debido a que 2
= 0. ♣

Observaciń 0.3.5 La composiciń no diferenciable.
o o

Otra propiedad deseable para un concepto adecuado de una funciń de n
o
variables es la compuesta de funciones derivables sea tambiń derivable. El
e
∂ϕ
siguiente ejemplo muestra una funciń continua ϕ : R2 −→ R tal que
o ∂v
(z)
existe para todo z y todo v y adem´s depende linealmente de v en el origen,
a
pero sin embargo la composiciń ϕ ◦ λ no es diferenciable para un cierto
o
camino diferenciable

Ejemplo 7 Definamos ϕ : R2 −→ R poniendo.

x3 y
si (x; y) = (0; 0)


x4 +y 2
ϕ(x, y) =

 0 si (x; y) = (0; 0)

Luego se tiene que:

21

a

a) ϕ es continua.

x2 y x2 y
ϕ(x; y) = x . =x .
x4 + y 2 x4 + y 2 x2 1+ y2
|y| x4
+1
x4 y2
1 ±1
= x .
y2 x4
1+ x4 y2
+1

luego l´
ım ϕ(x; y) = 0. As´ que ϕ es continua.
ı
(x;y)→(0;0)

b) ϕ posee derivadas direccionales en todo el plano y todo v ∈ R2 .
Para todo v = (0; 0) tenemos

(tα)3 tβ
∂ϕ ϕ(tα; tβ) (tα)4 +(tβ)2
(0; 0) = l´
ım = l´
ım
∂v t→0 t t→0 t
tα3 β
= l´ 2 4
ım = 0.
t→0 t α + β 2

por ende las derivadas direccionales existen en el origen y dependen
linealmente de v ya que

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
(0; 0) = 0 = 0 + 0 = (0; 0) + (0; 0).
∂(v + w) ∂v ∂w

En los dem´s puntos c ∈ R2 − {0} tambiń se llega a la misma con-
a e
∂ϕ
clusiń. Calculńdose
o a ∂(v)
(C) = ξ (0) donde ξ(t) = ϕ(c + tv) por medio
de las reglas elementales de derivaciń, es decir basta derivar
o

(x + tα)2 (y + tβ)
ξ(t) = ϕ((x; y) + t(α; β)) =
(x + tα)4 + (y + tβ)2

22

a

luego evaluarlo en t = 0

c) Entretanto consideremos el camino λ : R −→ R2 definido por λ(t) =
(t; t2 sen( 1 )) y λ(0) = (0; 0) luego se tiene que λ es diferenciable sin
t

embargo no existe la derivada de ϕ ◦ λ, ya que

t3 t2 sen( 1 )
t
ϕ(t; tsen( 1 ))
t t4 +t4sen
2( 1 )
t
(ϕ ◦ λ) (0) = l´
ım = l´
ım
t→0 t t→0 1
sen( 1 )
t
= l´
ım .
t→0 1 + sen2 ( 1 )
t

el ultimo l´
´ ımite no existe. ♣

Teorema de Valor Medio. Sea f : U −→ R definida en el abierto U ⊆ Rn .
Supongamos que el segmento de recta [a, a + v] (donde [a, a + v] := {(1 −
t)a + (a + v)t : 0 ≤ t ≤ 1}) este contenida en U , que la restricciń f |[a,a+v]
o
∂f
sea continua y que existe la derivada direccional ∂v
(x), segń v en todo
u
x ∈ a, a + v . Entonces existe θ ∈ 0, 1 tal que:

∂f
f (a + v) − f (a) = (a + θv)
∂v

Demostraciń/.
o

Definimos la funciń ξ : [0; 1] −→ R poniendo ξ(t) = f (a + tv), luego se tiene
o
que

a) ξ es continua en [0, 1] pues es la composiciń de dos funciones continuas.
o

23

a

b) ξ es derivable en 0, 1 , pues

ξ(t + h) − ξ(t)
ξ (t) = l´
ım
t−→0 h
f (a + (t + h)v) − f (a + tv)
= l´
ım
t−→0 h
f ((a + tv) + hv) − f (a + tv) ∂f
= l´
ım = (a + tv)
t−→0 h ∂v

∂f
existe ∂v
(a + tv) pues a + tv ∈ a, a + v ya que t ∈ 0, 1 . Luego por
el teorema de valor medio para funciones reales de variable existe un
θ ∈ 0, 1 tal que

ξ(1) − ξ(0) = ξ (θ)(1 − 0)
∂f
f (a + v) − f (a) = (a + θv)
∂v

lo que demuestra el teorema.

∂f
Observaciń 0.3.6 La existencia de
o ∂v
en todo punto de a, a + v asegura
apenas la continuidad de f | a,a+v m´s no en [a, a + v].
a

Proposiciń 0.3.2 Sea U ⊆ Rn abierto y conexo.
o
∂f
Si f : U −→ R −→ R posee derivadas direccionales en todo x ∈ U y ∂v
(x) =
0 para cualquier v ∈ Rn . Entonces f es constante.

Demostraciń/. Por hip´tesis se tiene que U es abierto y conexo, entonces
o o
dos puntos cualesquiera de U puede ser ligado por un camino poligonal con-
tenido en U .

24

a

Fijemos a, b ∈ U , luego se tiene que:

∂f
a) f |[a,b] es continua pues existe ∂v
en todo x ∈ U para cualquier v ∈ Rn .

∂f
b) Existe ∂(b−a)
para todo x ∈ a, b
Luego se sigue del teorema de valor medio que existe θ ∈ 0, 1 tal que

∂f
f (a) − f (b) = (a + θ(b − a))
∂(b − a)
f (b) − f (a) = 0, pues a + θ(b − a) ∈ [a, b] ⊆ U

f (a) = f (b)

As´ pues hemos demostrado que para todo segmento rectil´
ı ıneo cerrado de
extremos a, b ∈ U contenido en U se tiene que f (a) = f (b).
Ahora cualquier punto x ∈ U puede ser ligado al punto a por un camino
poligonal contenido en U con v´rtices a0 = a, a1 , a2 , · · · , ak = x luego se
e

25

a

tiene que
f (a) = f (a0 ) = f (a1 ) = · · · = f (ak ) = f (x)

de donde f (x) = f (a) para todo x ∈ U .
Por consiguiente f es constante.

0.4. Funciones Diferenciables

La nociń de funciń diferenciable, que presentaremos ahora es debida a
o o
´
Frechet y Stolz. Esta constituye para funciones de n variables la extensiń
o
adecuada del concepto de funciń derivable de una sola variable.
o

Definiciń 0.4.1 Sea f : U −→ R con U ⊆ Rn abierto y a ∈ U .
o
Diremos que la funciń f es diferenciable en el punto a cuando existen
o
constantes A1 , A2 , · · · , An tales que para todo v = (α1 , · · · , αn ) ∈ Rn con
a + v ∈ U se tenga

r(v)
f (a + v) = f (a) + A1 α1 + · · · + An αn + r(v), donde l´
ım =0
v→0 v

.

Definiciń 0.4.2 Cuando f es diferenciable en todo los puntos de U , dire-
o
mos simplemente que f es diferenciable.

Proposiciń 0.4.3 Sea f : U ⊆ Rn (donde U es abierto) y a ∈ U .
o
∂f ∂f ∂f
f es diferenciable en a si y s´lo si existen las derivadas parciales
o ∂x1
(a), ∂x2 (a), · · · , ∂xn (a),

26

a

tales que para todo v = (α1 , · · · , αn ) ∈ Rn con a + v ∈ U tuvi´ramos
e

n
∂f r(v)
f (a + v) = f (a) + (a)αi + r(v) donde l´
ım =0
i=1
∂xi v→0 v

Demostraciń/.
o

⇒ ] Supongamos f es diferenciable em a ∈ U . Entonces existe constantes
A1 , · · · , An tales que para todo v = (α1 , · · · , αn ) ∈ Rn con a + v ∈ U se tiene

n
r(v)
f (a + v) = f (a) + Ai αi + r(v) donde l´
ım =0 ...(♦)
v→0 v
i=1

Tomemos v = tei con t lo suficientemente pequeõ de modo que se tenga
n
a + v = a + tei ∈ U . Luego tenemos

 0 si i = j

αj =
 t si i = j)


f (a + tei ) = f (a) + (A1 0 + · · · + Ai t + · · · + 0An ) + r(tei )

r(tei )
donde l´
ım tei
=0 o
´ l´ r(tei ) = 0.
ım t
tei →0 t→0

f (a + tei ) − f (a) r(tei )
= Ai +
t t
tei r(tei )
= Ai +
tei t
r(tei )
= Ai ±
tei

27

a

∂f
haciendo t −→ 0, se tiene ∂xi
= Ai , como i es arbitrario entonces podemos
∂f
decir que existe cada derivada parcial de f en el punto a siendo ∂xi
= Ai .
Sea v = (α1 , · · · , αn ) ∈ Rn con a + v ∈ U luego por α tenemos

n
r(v)
f (a + v) = f (a) + Ai αi + r(v) donde l´
ım =0
v→0 v
i=1

n
∂f r(v)
ım =0
i=1
∂xi v→0 v

∂f
⇐ ] Es inmediato, basta tomar los ∂xi
= Ai .

Observaciń 0.4.1 ¿Qu´ debemos probar para que una funciń sea difer-
o e o
enciable?

a) En la desigualdad anterior, el resto”r(v) es definido por:

n
∂f
r(v) = f (a + v) − f (a) − (a)αi
i=1
∂xi

Esta definiciń puede ser dada para cualquier funciń que posea derivadas
o o
parciales.

b) La esencia de la definiciń de diferenciabilidad es que tomando r(v) de
o
r(v)
esta manera se tiene que l´
ım v
= 0.
v→0

Esta es la condiciń crucial que se debe ser verificada (directa o indi-
o
rectamente) siempre que quisi´ramos probar que una funciń es difer-
e o
enciable.

28

a

r(v)
Observaciń 0.4.2 De l´
o ım v
= 0 concluimos l´ r(v) = 0
ım
v→0 v→0
r(v)
ya que l´ r(v) = l´
ım ım v
v = l´ r(v) l´
ım ım v =0
v→0 v→0 v→0 v v→0

Proposiciń 0.4.4 Sea f : U ⊆ Rn −→ R y a ∈ U (U , abierto)
o
Si f es diferenciable en el punto a ∈ U . Entonces f es continua en ese punto.

Demostraciń/. Supongamos que f es diferenciable en a ∈ U , entonces
o
∂f ∂f
existen las derivadas parciales ∂x1
(a), ··· , ∂xn
(a) tales que para todo v =
(α1 ; · · · ; αn ) ∈ Rn con a + v ∈ U se tiene que:

n
∂f r(v)
ım =0
i=1
∂xi v→0 v

luego
n
∂f
f (a + v) − f (a) = (a)αi + r(v)
i=1
∂xi

n
∂f
l´ {f (a + v) − f (a)} = l´
ım ım (a)αi + r(v) =0
v→0 v→0
i=1
∂xi

l´ f (a + v) = f (a)
ım
v→0

Por consiguiente f es continua en el punto a.

Observaciń 0.4.3 r(v) es un infinit´simo del orden superior a v, porque
o e
r(v) < v .

29

a

r(v)
La condiciń l´
o ım v
= 0 significa que para todo > 0 existe un δ > 0 tal
v→0

que:

r(v)
v < δ −→ <
v
−→ r(v) < v .

Esto quiere decir que r(v) tiende a cero m´s r´pidamente de que v. Esto es,
a a
para valores de v suficientemente pr´ximos de cero la norma de r(v) es una
o
fracciń arbitrariamente pequeã de la norma de v. A veces, esto se exprime
o n
dicińdose que r(v) es un infinit´simo del orden superior a v.
e e

Observaciń 0.4.4 f es diferenciable en el punto a cuando el incremento
o
n ∂f
f (a + v) − f (a) es igual a una funciń lineal de v,
o i=1 ∂xi (a)αi , con un
resto infinitamente pequeõ en relaciń a v
n o

r(v)
Observaciń 0.4.5 Note que la validez de la afirmaciń l´
o o ım = 0 es
v→0 v

independiente de la norma adoptada en Rn .

Observaciń 0.4.6 La utilidad de ρ.
o

En ciertas ocasiones es preferible usar en vez de r(v) la funciń ρ = ρ(v)
o
definida para los valores de v tales que a + v ∈ U del siguiente modo

r(v)
si v = 0


v
ρ(v) =
 t
 si v = 0)

30

a

As´ pues la funciń f es diferenciable en el punto a ∈ U si y solamente si
ı o
posee derivadas parciales en ese punto y para todo v = (α1 , · · · , αn ) ∈ Rn
tal que a + v ∈ U , vale

n
∂f
f (a + v) = f (a) + (a)αi + ρ(v) v l´ ρ(v) = 0
ım
i=1
∂xi v→0

la demostraciń es inmediata.
o

Observaciń 0.4.7 f es diferenciable en el punto a si y solamente si la
o
funciń ρ = ρ(v) es continua en el punto v = 0.
o

Proposiciń 0.4.5 Sea f : I −→ R una funciń definida en un intervalo
o o
abierto I ⊆ R.
Si f es diferenciable en a ∈ I. Entonces f es derivable en a ∈ I.

Demostraciń/. Supongamos que f es diferenciable en a ∈ I. Entonces
o
existe una constante A tal que si t ∈ R con a + t ∈ I se tiene

f (a + t) = f (t) + At + ρ(t), donde l´ ρ = 0
ım
v→0

f (a + t) − f (t) |t|
−A=ρ
t t

o bien
t f (a + t) − f (t)
ρ= −A
|t| t

f (a + t) − f (t)
ρ=± −A
t

31

a

como l´ ρ = 0 luego tenemos
ım
v→0

f (a + t) − f (t)
f (a) = l´
ım =A
v→0 t

como A existe, f (a) existe.
N´telo que:
o
l´ ρ = 0 si y solamente si A = f (a)
ım
v→0

Ya vimos que si f es diferenciable en el punto a, entonces f es continua en
a y posee derivadas parciales en ese punto, ahora mostraremos que f tiene
derivada direccional segń cualquier vector v = (α1 , · · · , αn ) y adem´s vale
u a
la f´rmula
o
∂f ∂f ∂f
(a) = (a)α1 + · · · + (a)αn
∂v ∂x1 ∂xn

Proposiciń 0.4.6 Sea f : U −→ R (U ⊆ Rn abierto) y a ∈ U .
o
Si f es diferenciable en el punto a ∈ U . Entonces f tiene derivada direccional
en a segń cualquier v = (α1 , · · · , αn ) ∈ Rn y que se cumple
u

n
∂f ∂f
(a) = (a) · · · αi .
∂v i=1
∂xi

Demostraciń/. Supongamos que f es diferenciable en el punto a ∈ U.
o
∂f ∂f
Entonces existen ∂x1
(a), · · · , ∂xn (a) tal que para todo v = (α1 , · · · , αn ) ∈ Rn
se tiene con a + v ∈ U

n
∂f
f (a + v) = f (a) + (a)αi + ρ(v) v l´ ρ(v) = 0
ım
i=1
∂xi v→0

32

a

de donde
n
f (a + tv) − f (a) ∂f
= (a)αi ± ρ(tv) v
t i=1
∂xi

haciendo t −→ 0, se tiene

n
∂f ∂f
(a) = (a) · αi .
∂v i=1
∂xi

∂f
en resumen como v ∈ Rn es arbitrario y que existen ∂xi
(a) se concluye que
f tiene derivada direccional en el punto a segń cualquier v ∈ Rn .
u

Proposiciń 0.4.7 Sea f : U ⊆ Rn −→ R una funciń diferenciable en
o o
U . Entonces la derivada direccional, ∂f , en cualquier punto de U depende
∂v

linealmente de v ∈ Rn , esto significa que:

∂f ∂f
= λ ,
∂λv ∂v
∂f ∂f ∂f
= + .
∂(v + w) ∂v ∂w

Demostraciń/. Sea a ∈ U por hip´tesis en particular f es diferenciable
o o
∂f n ∂f
en a, luego por la proposiciń(4,6) se tiene que
o ∂λv
= i=1 ∂xi (a)αi para
todo tal que para todo v = (α1 , · · · , αn ) ∈ Rn .
Sea v = (α1 , · · · , αn ) ∈ Rn y λ ∈ R. Luego

n n
∂f ∂f ∂f
(a) = (a)αi = λ (a)αi
∂λv i=1
∂xi i=1
∂xi
∂f
= λ (a)
∂v

33

a

como a es cualquier punto de U , impl´
ıcitamente podemos escribir

∂f ∂f
= λ (a).
∂λv ∂v

Sea v = (α1 , · · · , αn ) y w = (β1 , · · · , βn ) ∈ Rn .

n n n
∂f ∂f ∂f ∂f
(a) = (a)(αi + βi ) = (a)αi + (a)βi
∂(w + v) i=1
∂xi i=1
∂xi i=1
∂xi
∂f ∂f
= (a) + (a).
∂w ∂v

As´ pues
ı
∂f ∂f ∂f
= + .
∂(v + w) ∂v ∂w

Una propiedad relevante de las funciones diferenciables esta dada por

Proposici´n 0.4.8 (Regla de la cadena). Sean U ⊆ Rm , V ⊆ Rn abier-
o
tos, f = (f1 ), · · · , fn ) : U −→ Rn tal que f (U ) ⊂ V y g : V −→ R.
Si cada funci´n coordenada fk : U −→ R es diferenciable en el punto a ∈ U
o
y g es diferenciable en el punto b = f (a) y sus derivadas parciales son:

n
∂g ◦ f ∂g ∂fk
= (b) (a)
∂xi k=1
∂yk ∂xi

34

a

Demostraciń/. Consideremos U0 = {v = (α1 , · · · , αn ) ∈ Rn : a + v ∈ U }.
o
Para v ∈ U0 y k = 1, · · · , n tenemos

n
∂f
fk (a + v) = fk (a) + (a)αi + ρk (v) v ...(♠)
i=1
∂xi

donde cada ρk = ρk (v) es una funciń continua, definida en U0 que se anula
o
cuando v = 0.
Consideremos a la aplicaciń continua w = (β1 , · · · , βn ) : U0 −→ Rn , cuyas
o
funciones coordenadas son definidas por

n
∂fk
βk (v) = (a)αi + ρk (v) v ...(♣)
i=1
∂xi

|αi |
adoptando la norma de la suma tenemos v
≤ 1 si v = 0 luego

m m
|βk (v)| ∂fk |αi | ∂fk
≤ (a) + |ρk (v)| ≤ (a) + M
v i=1
∂xi v i=1
∂xi

|βk (v)| ∂f |αi |
As´
ı v
es acotada debido a que ∂xi
(a) son n´meros,
u v
≤ 1 y ρk (v) es
continua. De esto se sigue que

n n m
w |βk | ∂f
= ≤ (a) + M =M
v k=1
v k=1 i=1
∂xi

w
O sea que v
es una funciń limitada en una vecindad del punto v = 0 (es
o
w
decir | v
− 0| < M para todo 0 = v ∈ U0 ).
Escribiendo gf en vez de g ◦f , podemos afirmar en virtud de (♣), (♠) y de la

35

a

diferenciabilidad de g en el punto b = f (a) que para todo v ∈ U0 , se cumple

n
∂g(b)
gf (a + v) = g(b + w) = g(b) + · βk + σ(w) · w
k=1
∂xk

donde σ(w) = σ(w(v)) es una funciń real continua que se anula en el punto
o
v = 0, debido a que βk (0) = 0, luego w(0) = 0, σ(w = 0) = 0.
Usando la definiciń de βk , obtenemos
o

n m
∂g(b) ∂fk (a)
gf (a + v) = gf (a) + · αi + ρk (v) · v +σ· w
k=1
∂xk i=1
∂xi
m n n
∂g(b) ∂fk (a) ∂g(b)
= gf (a) + · αi + ρk · v + σ w
i=1 k=1
∂xk ∂xi k=1
∂xk
m
= gf (a) + Ai · αi + R
i=1

n ∂g(b) ∂fk (a) n ∂g(b)
donde Ai = k=1 ∂yk ∂xi yR= k=1 ∂xk (ρk · v ) + σ · w luego

n
R ∂g(b) w
= ρk + σ ·
v k=1
∂yk v

w
Cuando v tiende a cero, sabemos que cada ρk tiende a cero que el cociente v
R
es limitado y que l´ σ = 0. Se sigue que l´
ım ım = 0. Esto demuestra que
v−→0 v−→0 v

g ◦ f es diferenciable en el punto a y sus derivadas parciales son los n´meros
u
Ai .

Observaciń 0.4.8 Sobre la notaciń cl´sica del c´lculo diferencial.
o o a a

36

a

Muchas veces la notaciń cl´sica del c´lculo diferencial es imprecisa pero
o a a
bastante sugestiva, ya que es compatible con la prćtica. La notaciń cl´sica
a o a
considera ”y una funciń de x.en vez de aplicaciones ”f lleva x en y.”
o
Los puntos de U ser´ escritos como ”x” y los de V como ”y”, las funciones
ıan
∂g◦fk
fk ser´ escritas como yk = yk (x). La derivada
ıan ∂xi
seria la ”derivada de
∂g
g ◦ fk en relaciń a la variable xi ”, indicada como
o ∂xi
. La regla de la cadena
seria entonces:
∂g ∂g ∂yk
= · .
∂xi k
∂yk ∂xi

No se puede negar la elegancia nost´lgica de esta formula. Est´ compro-
a a
metida con sistemas de coordenadas, para el gusto actual m´s adelante pre-
a
sentaremos la versiń intr´
o ınseca de la regla de la cadena, cuyo significado es
independiente de las coordenadas.

Proposiciń 0.4.9 Si f : U ⊂ Rn −→ R es diferenciable en el punto b y
o
si λ : a − , a + −→ U ⊂ Rn es un camino diferenciable en el punto a
con λ(a) = b y λ(t) = (λ1 (t), · · · , λn (t)). Entonces la funciń compuesta,
o
f ◦ λ : a − ,a + −→ U ⊂ R, es diferenciable en el punto a y se tiene

n
∂f
(f ◦ λ) (a) = (b) · λi (a)
i=1
∂xi

Demostraciń/. Es consecuencia inmediata de la regla de la cadena, ya
o
n n ´
que el papel de f desempeã el camino λ y el papel de g desempeã f . Este
ultimo f es la funciń que se tiene en esta proposiciń(4.9).
´ o o

37

a

Observaciń 0.4.9 Si escribimos λ(t) = (x1 (t), · · · , xn (t)) entonces
o

dx1 dxn
λ (t) = ,··· ,
dt dt

df
Indicando con dt
la derivada de la funciń compuesta t −→ f (λ(t)) =
o
f (x1 (t), · · · , xn (t)), la regla de la cadena asume la forma cl´sica.
a

n
df ∂f dxi
= .
dt i=1
∂xi dt

Proposiciń 0.4.10 Sean U ⊆ Rn un conjunto abierto, f : U −→ R difer-
o
enciable en el punto a con f (U ) ⊂ I, g : I −→ R diferenciable en el punto
b = f (a). Entonces f ◦ g : U −→ R es diferenciable en el punto a y para cada
i = 1, n se cumple
∂(g ◦ f ) ∂f
(a) = g (b) (a).
∂xi ∂xi

Observaciń 0.4.10 Se deduce de la regla de cadena que
o

si f : U −→ R es diferenciable en el punto a ∈ U , al calcular la derivada
∂f
direccional ∂v
(v) = (f ◦ λ) (0) no es necesario tomar λ(t) = a + tv. En vez
de restringirnos al camino rectil´
ıneo podemos considerar cualquier camino
λ: −, −→ U ⊆ Rn diferenciable en el punto 0, con λ(0) = a y λ (0) =
v = (α1 , · · · , αn ) tenemos tambiń
e

∂f f (λ(t)) − f (a)
(a) = (f ◦ λ) (0) = l´
ım .
∂v t−→0 t

38

a

En efecto:
Por la regla de la cadena

n n
∂f ∂f ∂f
(f ◦ λ) (0) = (a) · λi (0) = (a) · αi = (a).
i=1
∂xi i=1
∂xi ∂v

Ejemplos de funciones no diferenciables
Revisemos ahora los ejemplos 4,5,6 y 7 a la luz de la definiciń de diferencia-
o
bilidad. Las funciones que examinamos fueron los siguientes

 xy
 2 2 si x2 + y 2 = 0
2 x +y
a) f : R −→ R, f (x, y) =
 0
 si x2 + y 2 = 0

 x2 y
 2 2 si x2 + y 2 = 0
2 x +y
b) g : R −→ R, g(x, y) =
 0
 si (x; y) = (0; 0)

 x3 y
 6 2 si (x; y) = (0; 0)
x +y
c) h : R2 −→ R, h(x, y) =
 0
 si (x; y) = (0; 0)

 x3 y
 4 2 si (x; y) = (0; 0)
2 x +y
d) ϕ : R −→ R, ϕ(x, y) =
 0
 si (x; y) = (0; 0)
ninguna de estas funciones es diferenciable en le origen de R2 .
En efecto.

a) De los ejemplos (3) y (4) tenemos que f es discontinua en el origen
de R2 y adem´s no posee derivada direccional segń todo vector en el
a u
punto (0; 0). S´lo posee para algunos.
o

39

a

∂f
b) Del ejemplo (5) tenemos que g es continua en R2 y existe ∂v
(0; 0) segń
u
∂f
todo vector v ∈ R2 , pero sin embargo la derivada direccional , ∂v
(0; 0),
no depende linealmente de v.

∂h
c) Del ejemplo(6) tenemos que h posee derivadas direccionales ∂v
(0; 0)
que depende linealmente de v,, pero sin embargo no es continua en el
origen.

d) finalmente ϕ es continua en todo el plano y admite en todos los pun-
∂ϕ
tos del plano derivadas direccionales ∂v
que dependen linealmente de
v, pero hace contraria la regla de la cadena porque, considerando el
camino λ(t) = (t, t2 sen( 1 )) y λ(0) = (0; 0) diferenciable, la compuesta
t

ϕ ◦ λ : R −→ R no es derivable en el punto t = 0.
Estas son razones indirectas por las cuales las cuatro funciones anteri-
ores no son diferenciables. Son razones indirectas porque utilizamos las
negaciones de las proposiciones(4.5);(4.6);(4.7);(4.8) para justificar que
no son diferenciables.

r(v)
La razń real es que cada uno de los restos no cumple la condiciń, l´
o o ım =
v→0 v

0,ya que

r(v) 1 ∂f ∂f
l´
ım = l´
ım f (α, β) − ·α− ·β =0
v→0 v α,β→0 α2 + β2 ∂x ∂y

donde las derivadas parciales son tomadas en el origen y que α2 + β 2 = v
es la norma euclidiana del vector v(α; β).

40

a

Definiciń 0.4.11 Una funciń compleja f : U −→ C, definida en el abierto
o o
U ⊆ C, se dice derivable en el punto z = x + iy ∈ U cuando existe el l´mite
ı

f (z + H) − f (z)
l´
ım = A.
H→0 H

El cociente anterior esta siendo tomada en el sentido de los complejos. El
n´mero complejo A = f (z) se llama la derivada de la funciń compleja en
u o
el punto z.

Definiciń 0.4.12 Sea f : U −→ C una funciń compleja definida en el
o o
abierto U ⊆ C y z ∈ U .
Diremos que f es diferenciable en el punto z cuando existe una constante A
tal que par todo H ∈ C con z + H ∈ U se tiene

r(H)
f (z + H) = f (z) + A.H + r(H) donde l´
ım =0
H→0 |H|

Observa que la constante A y la norma |H| son tomadas en el sentido en el
sentido complejo.

Proposiciń 0.4.13 Sea f : U −→ C (U ⊆ C, abierto) y z ∈ U .
o

f es derivable en el punto z si y solamente si f es diferenciable en ese punto.

Demostraciń/.
o

41

a

⇒ ] Supongamos f es derivable en el punto z. Entonces existe el l´
ımite

f (z + H) − f (z)
l´
ım = A
H→0 H
f (z + H) − f (z)
l´
ım −A = 0
H→0 H

tomemos A ∈ C.
Sea H ∈ C con z + H ∈ C.

f (z + H) = f (z) + A · H + r(H)

r(H)
Demostremos, l´
ım =0
H→0 H

r(H) H f (z + H) − f (z)
= −A
H H H
r(H) H
haciendo que H −→ 0, tenemos l´
ım H
= 0 ya que g(H) = H
como
H→0

funci´n es acotada debido
o

H reiθ √
|g(H)| = = = eiθ = cos2 θ + sen2 θ = 1 ≤ 1
H r

N´telo, que estamos utilizando el resultado conocido: Si l´ f (z) = 0 y g :
o ım
t→a

U −→ C es una funci´n acotada. Entonces l´ f (z)g(z) = 0
o ım
t→a

⇐ ] Supongamos que f es diferenciable en el punto z. Entonces existe una

42

a

constante A tal que para todo H ∈ C con z + H ∈ U se tiene que

r(H)
f (z + H) = f (z) + A.H + r(H) donde l´
ım =0
H→0 |H|

f (z + H) − f (z) |A| r(H)
=A+
H H |H|

f (z + H) − f (z) |A| r(H)
l´
ım = A + l´
ım =A
H→0 H H→0 H |H|
r(H)
El segundo sumando es cero de la igualdad intermedia porque l´
ım =0
H→0 H

y H
H
= r
reiθ
= e−iθ = r es acotada. Por consiguiente l´ f (z+H)−f (z)
ım H
H→0

existe porque A existe.

Observaciń 0.4.11 Observe que la constante A de la diferenciabilidad de
o
f en z coincide con la derivada de f en z

f (z + H) − f (z)
f (z) = l´
ım = A.
H→0 H

Observaciń 0.4.12 Sea A = a + ib, H = h + ik y r = r1 + ir2 .
o

Entonces f es diferenciable en el punto z = x + iy si y solamente si

f (z + H) = f (z) + (ah − bk) + i(bh + ak) + r1 (H) + ir2 (H)

r1 (H) r2 (H)
donde l´
ım |H|
= l´
ım |H|
= 0.
H→0 H→0

Proposiciń 0.4.14 Sean f : U ⊆ C −→ C y sean µ, ν : U −→ R las partes
o
real e imaginaria de f o sea f (z) = µ(z) + iν(z), z = (x, y).

43

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