1. RESOLVIENDO ECUACIONES
AUTORES
ARTURO ROQUE LÓPEZ
MARIA DOLORES URRUTIA HURTAULT
ELVIA GLORIA SANCHEZ MENDEZ
MARIA DEL CARMEN GONZÁLEZ HERNÁNDEZ
2. ECUACIONES
• ¿Qué es una ecuación
• Elementos de una ecuación
ECUACIONES LINEALES
• Ecuación lineales o de primer grado
• Forma a + x=b
• Forma ax = b
• Forma ax + b = c
ECUACIÓNES CUADRATICAS
• Ecuación Cuadrática
• Clasificación
• Formas de Resolución:
• Factorización
• Formula general
3. Una ecuación es una igualdad entre dos
expresiones algebraicas denominadas
miembros, en las que aparecen valores
conocidos o datos, y desconocidos o
incógnita, relacionados mediante
operaciones matemáticas.
ax=b
ax+b=c
4. 3 + x = 15
1er miembro 2do miembro
igualdad
Valores conocidos Valore Operación
o datos desconocidos o
incógnitas
3 y 15 x suma
5. Se dice que una ecuación es de primer grado
cuando la variable “x” no está elevada a ninguna
potencia, es decir, su exponente es 1.
exponente
1
ax+b=c
6.
7. Las ecuaciones de la forma a + x = b se resuelve
así:
Tenemos 73 + x =125
1. Despejamos la x, es decir dejar la x sola a un
lado del signo igual.
Pasarlo al segundo
miembro
73 + x =125
2. Para pasar un número, o una variable, al otro
- 73
lado del signo igual. Si está sumando pasa
restando y si esta restando pasa sumando.
73 + x =125
8. 3. Posteriormente se realizan las operaciones
indicadas
X = 125 – 73
X =52 Nos dice que “x” vale
52
4. Se realiza la comprobación, tomando la ecuación
original y en lugar de la incógnita se coloca el valor
encontrado.
Comprobación
4. 73 + x =125
73 + 52 = 125
125 = 125
Como es una igualdad ambos miembros tienen que da el mismo
resultado
9. Laura va al mercado con un billete de $50,
después de efectuar sus compras, le sobraron
$34.50. ¿Cuánto gasto en el mercado?
La ecuación que expresa el problema es:
34.50 + x = 50
“x” es el valor que gasto en el mercado
10. 34.50 + x = 50
x = 50 - 34.50 despejamos x y
realizamos operaciones
x = 15.50 encontramos el valor de “x”
Comprobación
34.50 + x = 50
34.50 + 15.50 = 50
Por lo tanto 15.50 gasto en el mercado
11.
12. Para resolver ecuaciones de la forma a · x = b
se aplica la propiedad de las igualdades, que
dice:
“Si se multiplica o divide por un mismo
número a ambos lados de la igualdad, ésta
se mantiene. “
Cuando se tiene una ecuación de esta forma, en
la cual un número se halla multiplicando a la
incógnita, se debe dividir a ambos lados de la
ecuación por dicho número.
13. Tenemos 5x = 30
1. Se divide siempre por el número que
multiplica a la “x”., o se multiplica por el
número que esta dividiendo a “x”
Esta multiplicando por
5 • x = 30 lo tanto vamos a
dividir por ese
número ambos
miembros
2. Realizamos las operaciones
Encontramos el
valor de “x”
x=6
14. Comprobación
1. Tomamos la ecuación original
5x = 30
2. Sustituimos la incógnita por el valor
encontrado
5x = 30
5(6) = 30
30 =30
15. Alejandra compró dos cuadernos en la papelería
y le cobraron $32.00 ¿Cuánto le costo cada
cuaderno?
La ecuación que expresa el problema es:
2n = 32.00
“n” es el precio del cuaderno que nos
interesa conocer
16. 2n = 32
Ambos
miembros
los dividimos
Encontramos el
n = 16 valor de “n”
Comprobación
2n = 32
2 (16) = 32
32 = 32
Por lo tanto cada cuaderno costo $16
17.
18. Para resolver este tipo de ecuaciones ax + b = c
es:
1. Se resta a “b” en ambos miembros , si su
signo es positivo y se suma si su signo es
negativo.
ax + b = c
2z – 10 = 16
2z – 10 +10 = 16 +10
2. Realizamos operaciones y nos queda
2z = 26
19. 3. Se divide a ambos miembros de la igualdad entre
“a”
En este caso es 2
2z = 26
Nos queda
z = 13
Comprobación
Sustituimos en el lugar de la incógnita el valor
encontrado.
2z – 10 = 16
2(13) - 10 = 16
26 - 10 = 16
16 = 16
20. El perímetro de un rectángulo es 16 cm. Si un
lado mide 5 cm, ¿Cuál es la longitud del otro
lado?. y
5 cm
La ecuación que expresa el problema es:
2x + 2 • 5 = 16
2x + 10 = 16
Donde “x” es el valor de la longitud que no
conocemos su valor
21. 2x + 10 = 16
Ambos
2x + 10 -10 = 16 – 10 miembros les
restamos 10
2x = 6
Ambos miembros los
dividimos entre dos para
dejar a “x” solita
x=3
22. Comprobación
Sustituimos en el lugar de la incógnita el valor
encontrado.
2x + 10 = 16
2(3) + 10 = 16
6 + 10 = 16
16 =16
Por lo tanto el lado mide:
2x = 2(3) = 6 medida del lado
23.
24. Una ecuación cuadrática o de segundo
grado es aquella en la cual la variable o
incógnita esta elevada al cuadrado y
tiene la siguiente forma:
Termino lineal
Coeficiente
ax2+bx+c = 0
Termino cuadrático Termino Independiente
25.
26. Según su numero de términos una ecuación cuadrática
con una incógnita puede ser:
completa ax2 + bx +c = 0
3x2 - 5x +6 = 0
Cuando a=1 se tiene la forma
ax2+bx+c = 0
x2+3x-2 = 0
27. Incompleta
Cuando le hace falta un termino lineal
ax2 + c = 0
2x2 _ 3 = 0
Cuando le hace falta un termino
independiente
ax2+bx = 0
3x2 _ 5x = 0
Cuando le falta el termino lineal e
independiente ax2 = 0
16x2 = 0
28.
29. Resolución de una ecuación cuadrática por el método de
factorización:
Tenemos x² - 4x = 12
1) La ecuación debe de estar igualada a cero. Por lo que a cada
lado de la igualdad le restaremos 12.
x² - 4x = 12
x² - 4x-12 = 12-12
x² - 4x -12 = 0
2) Se expresa el lado de la igualdad que no es cero como
producto de factores.
x² - 4x-12 = 0
(x )(x )=0
30. como no es un trinomio cuadrado perfecto, hay que
buscar los factores que al multiplicarse nos de cómo
resultado -12 y que cuando los sumemos el resultado
sea -4.
(+2) x (-6) = -12
x² - 4x-12 = 0 (+2) + (-6) = -4
(x +2 ) (x - 6 )= 0
3) Por ultimo se iguala a cero cada factor y se despeja la
variable.
(x +2) = 0 (x - 6) = 0
x+ 2 = 0 x–6=0
31. Para poder despejar a x en las igualdades si la
constante tiene signo positivo se resta a los dos
lados de la igualdad y si tiene signo negativo se
suma.
x+2-2=0-2 x -6 +6 = 0 + 6
x= -2 x = +6
Los valores de x son: -2 y +6
Comprobación:
Se sustituyen cada uno de los valores encontrados.
X = -2 x = +6
x² - 4x = 12 x² - 4x = 12
(-2)² - 4(-2) =12 (+6)² -4(+6) = 12
4 + 8 = 12 36 – 24 = 12
12 = 12 12 = 12
32. El área de un rectángulo es de 32m², si se sabe que uno de sus lados
mide 4 metros mas que el otro, ¿Cuánto mide cada uno de sus lados?
Área = 32m² x
x+4
La formula del rectángulo es: Base x Altura, por lo que tenemos
B = x + 4 , la altura = x y el A= 32m², entonces
32 = (x+4) (x) multiplicando los factores tenemos la ecuación cuadrática:
32 = x² + 4x
x² + 4x = 32
33. x² + 4x = 32
1) Igualamos a cero la ecuación
x² + 4x - 32 = 32 - 32 Para igualar a cero la
ecuación le restamos 32
a los dos lados de la
igualdad
x² + 4x -32 = 0
El -4 y 8 son los factores
(x- 4) (x+ 8 ) = 0 que al multiplicarlos nos
da -32 y al sumarlos 4
34. Se iguala a cero cada uno de los factores
X – 4= 0 X +8 = 0
X -4 +4= 0 + 4 X + 8 - 8= 0 -8
X= 4 X=-8
Los valores de x son 4 y -8, pero para resolver
el problema utilizaremos el valor de 4, ya
que la medida de un lado del rectángulo no
puede ser negativa.
Base = x + 4 altura = x
Base = 4 + 4 = 8 altura = 4
Las medidas de los lados del rectángulo son
8m y 4m respectivamente
35. sustituimos el valor de x=4, en la ecuación
x² + 4x = 32
(4)² + 4(4) = 32
16 + 16 = 32
32 = 32
36.
37. La formula general nos permite resolver cualquier tipo
de ecuación cuadrática.
La expresión es conocida como
Discriminante y determina el numero y tipo de
soluciones.
Si su valor es positivo, tiene 2 tipos de soluciones
reales, una positiva y otra negativa.
Si su valor es cero tiene una solución real
Si su valor es negativo tiene 2 soluciones imaginarias.
38. Resolución de una ecuación cuadrática
por medio de la formula general
6x² - 8x+2=0
1) Identificamos en la ecuación cada uno
de los valores para a, b y c
a=6 6x² - 8x+2= 0 c=2
a=coeficiente de x² c=Termino
independiente
b=-8
b=coeficiente de x
39. 2) Se sustituye cada uno de los valores en la formula general.
a=6, b=-8 y c=2
Se realizan las operaciones
indicadas.
La discriminante
nos indica que su
solución tiene 2
números reales
distintos
Xı = 1 X2 = ⅓
40. Comprobación:
Reemplazamos los valores de x en la ecuación, para
comprobar si se cumple la igualdad .
Con el valor de Con el valor de
6x² -8x+2=0 6x² -8x+2 = 0
6(1)² -8(1)+2=0 6(1/3)² -8(1/3)+2 = 0
6–8+2=0 6(1/9) - 8/3 + 2 = 0
8–8=0 6/9 – 8/3 + 2 = 0
0=0 2/3 – 8/3 + 2 = 0
-6/3 + 2 = 0
-2 + 2 = 0
0=0
41. Los lados de un triangulo rectángulo tiene por medidas en centímetros
tres números pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados.
2x + 2 2x + 4
2x
Utilizando el teorema de Pitágoras a² + b² = c² ; tenemos que:
a² = 2x, b² = 2x + 2 y c² = 2x + 4
Entonces:
(2x)² +(2x + 2)² = (2x + 4)² desarrollando los cuadrados
4x² + 4x² + 8x + 4 = 4x² + 16x + 16 igualamos a cero la igualdad
4x² + 4x² + 8x + 4 - 4x² - 16x - 16 = 0 Se reducen términos semejantes
42. Por lo que se tiene la ecuación:
4x² - 8x – 12 = 0
4
x² - 2x – 3
a b c
SOLUCION
Utilizando la formula general
Se sustituyen cada uno de los
valores en la formula
=3
De los 2 valores de x
, el que permitirá
resolver el problema
es 3
43. Tomando como valor para x a 3 y sustituyéndolo en
cada una de las ecuaciones tenemos que:
a=2x b= 2x+2 c=2x+4
a= 2(3) b = 2(3)+2 c=2(3)+4
a=6 b= 8 c= 10
Las medidas de los lados del triangulo son: 6cm,
8cm y 10cm respectivamente.
COMPROBACION
x² - 2x – 3= 0
3² - 2(3) – 3 = 0 (-1)² - 2(-1) – 3 = 0
9–6–3=0 X= - 1 1+2–3=0
9–9=0 X=3 3–3=0
0=0 0=0
