Números Aleatorios        y Pseudo Aleatorios
¿Qué son?Números aleatoriosSon obtenidos al azar es decir, son resultado de un procesoen el cual su resultado no es predec...
¿Para qué sirven?La función de los números pseudo aleatorios es que a partirde ellos podemos generar:                     ...
¿Para qué y cómo se usan?Se usan como una fuente confiable de variabilidad dentro de losmodelos de simulación fundamentalm...
¿Para qué y cómo se usan?En forma resumida podemos decir que los números pseudoaleatorios se usan de la siguiente manera:1...
¿Cómo se generan los números pseudo aleatorios                   entre 0 y 1?Los números pseudo aleatorios se generan medi...
¿Cómo se generan los números pseudo aleatorios                 entre 0 y 1?   No Congruencial            Congruencial     ...
Propiedades que deben cumplir los números pseudo                   aleatorios                       Distribución          ...
Generación de números pseudo aleatorios Mediante el algoritmo congruencial lineal.                    Xi+1 = (a Xi + c) m...
 Prueba de medias                                             0 :  = 0.5                                             1 : ...
 Prueba de varianza                                             2                                    0 :  = 1/12         ...
 Prueba de Uniformidad*Chi-cuadrada*Kolmogorov-Smirnov                               H0: ri ~U (0,1)                     ...
 Prueba de uniformidad                                                       − 2                 X20 =                   ...
 Prueba de independencia*Prueba de corrida arriba y abajo*Prueba de corrida arriba y debajo de la media*Prueba póker*Prue...
 Prueba de independencia            0.1935   0.1612     0.6451   0.6129   0.0645   0.0322   0.5161   0.4838            0....
Variables Aleatorias
¿A qué se le llama variable aleatoria?Son mediciones cuyos valores se obtienen de algún tipo deexperimento aleatorio.Los e...
Tipos de variables aleatorias  Discretas             Continuas                         NúmerosNúmeros enteros          ent...
Determinación del tipo de distribución al que pertenece elsiguiente conjunto de datos con la herramienta Stat: :Fit.Objeti...
Generación de variables aleatoriasPrincipales métodos:*Método de la transformada inversa*Método de convolución*Método de c...
Generación de variables aleatorias continuas*Método de la transformada inversaDistribución Exponencial1) Definir la funció...
Generación de variables aleatorias continuasEjemplo:El tiempo, en minutos, que un alumno usa una terminal decómputo en una...
Generación de variables aleatorias discretas*Método de la transformada inversaDistribución de Bernoulli1) Calcular todos l...
Generación de variables aleatorias discretasEjemplo:La probabilidad de que un prospecto elegido al azar realice unacompra ...
Generación de variables aleatorias discretas            Persona      ri    Xi   Evento: Compra                1     0.1935...
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Numeros Pseudoaleatorios - Variables aleatorias (presentacion)

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Numeros Pseudoaleatorios - Variables aleatorias (presentacion)

  1. 1. Números Aleatorios y Pseudo Aleatorios
  2. 2. ¿Qué son?Números aleatoriosSon obtenidos al azar es decir, son resultado de un procesoen el cual su resultado no es predecible ya que todo númerotiene la misma probabilidad de ser elegido y la elección deuno no depende de la elección del otro.Aleatoriedad → carencia de propósito, causa, u orden.Números pseudo aleatoriosSus características son:-Pseudo →falso-Se forman a partir de algoritmos determinísticos-Deben pertenecer a una distribución ~U(0, 1)
  3. 3. ¿Para qué sirven?La función de los números pseudo aleatorios es que a partirde ellos podemos generar: Variables aleatorias Distribuciones de Comportamiento probabilidad de materiales, sucesos, personas
  4. 4. ¿Para qué y cómo se usan?Se usan como una fuente confiable de variabilidad dentro de losmodelos de simulación fundamentalmente porque las sucesionesde números pseudoaleatorios son más rápidas de generar que lasde números aleatorios.Para simular el comportamiento de una o más variablesaleatorias es necesario contar con un conjunto suficientementegrande de números aleatorios, pero generarlos resultacomplicado, es aquí donde entran los números pseudo aleatoriosya que se pueden generar rápidamente aplicando alguno de losalgoritmos.
  5. 5. ¿Para qué y cómo se usan?En forma resumida podemos decir que los números pseudoaleatorios se usan de la siguiente manera:1.- Primero, se generan mediante algún algoritmo determinístico.2.-Se aplican las pruebas necesarias para comprobar que sonaptos (es decir, pueden mostrar aleatoriedad) para usarse en lasimulación.3.- Con ellos se generan variables aleatorias para distribucionescontinuas o discretas (cada una conlleva una serie de pasos aseguir). Con métodos como el de la transformada inversa.4.- Las cuales se usan para describir el comportamiento demateriales, sucesos, personas.
  6. 6. ¿Cómo se generan los números pseudo aleatorios entre 0 y 1?Los números pseudo aleatorios se generan mediante: Algoritmos Parámetros de que requieren como SemillaDeterminísticos arranqueLos algoritmos determinísticos se dividen en: Congruenciales No Congruenciales
  7. 7. ¿Cómo se generan los números pseudo aleatorios entre 0 y 1? No Congruencial Congruencial Algoritmo de No Lineales Lineales cuadrados medios Algoritmo Algoritmo de Algoritmo lineal productos medios cuadrático Algoritmo Algoritmo de Algoritmo de multiplicativo multiplicador Blum, Blum y constante Shub Algoritmo aditivo
  8. 8. Propiedades que deben cumplir los números pseudo aleatorios Distribución Uniforme U (0, 1) Indepen 1 Propiedades Media = 2 dencia Varianza 1 2 = 12
  9. 9. Generación de números pseudo aleatorios Mediante el algoritmo congruencial lineal. Xi+1 = (a Xi + c) mod m i = 1, 2, 3…nX0= semilla debe ser entero y X0 0.a = constante multiplicativa, a 0 y debe ser entero.c = constante aditiva, c 0 y debe ser entero.mod m = modulo, significa dividir lo anterior entre m y obtener solo elresiduo.Condiciones para poder establecer un periodo de vida máximo N=m= 2g :k =entero 4 X0 = 23a=1+4k 17g = entero 5m= 2g = 25 32c = primo a m 31 X1 = (17*23+31) mod (32) = 6 r1 = 6/31 = 0.1935
  10. 10.  Prueba de medias 0 : = 0.5 1 : ≠ 0.5 1 = =1 32 1 = (0.1935 + 0.1612 + 0.6451 + ⋯ + ) = 0.500 32 =1Límites de aceptación 1 1 1 1 = − /2 = − 1.96 = 0.3999 2 12 2 12 32 1 1 1 1 = + /2 = + 1.96 = 0.6000 2 12 2 12(32) Se acepta la 0 .
  11. 11.  Prueba de varianza 2 0 : = 1/12 2 1 : ≠ 1/12 − )2 2.8263 1=( = = = 0.0911 − 1 31Límites de aceptación 2 α/2,−1 48.232 = = = 0.1296 12( − 1) 372 21−,−117.539 2 = = = 0.0471 12( − 1) 372 Se acepta la 0 .
  12. 12.  Prueba de Uniformidad*Chi-cuadrada*Kolmogorov-Smirnov H0: ri ~U (0,1) H1: ri no son uniformes 2 si X20 /−1 se acepta la H0 Oi Intervalo Ei = ( − )2 (0.00 – 0.166) 6 5.6569 0.0209222 (0.166 – 0.33) 5 5.6569 0.0760848 (0.33 – 0.5) 5 5.6569 0.0760848 (0.5 – 0.666) 5 5.6569 0.0760848 (0.666 – 0.833) 5 5.6569 0.0760848 (0.833 – 1) 6 5.6569 0.0209222 0.3461838
  13. 13.  Prueba de uniformidad − 2 X20 = = 0.3461838 =1 2 2 ,−1 = 0.05,5 = 11.07Por lo tanto, se puede aceptar que los números pseudo aleatorios generados siguen una distribución uniforme entre 0 y 1.
  14. 14.  Prueba de independencia*Prueba de corrida arriba y abajo*Prueba de corrida arriba y debajo de la media*Prueba póker*Pruebas de series*Prueba de huecos H0: los números de los conjuntos ri son independientes H1: los números de los conjuntos ri no son independientes si Z0 Zα/2 se acepta la H0. 2−1 2 16−29 µCo = = 3 90 − µ Z0 = 2
  15. 15.  Prueba de independencia 0.1935 0.1612 0.6451 0.6129 0.0645 0.0322 0.5161 0.4838 0.9677 0.9354 0.3870 0.3548 0.8387 0.8064 0.2850 0.2258 0.7096 0.6778 0.1290 0.0967 0.5806 0.5483 0 1 0.4516 0.4193 0.9032 0.8709 0.3225 0.2903 0.7741 0.7419S = {0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0}Co = 19 2 32 −1µ = = 21 3 2 16(32)−29 = = 5.3666 90 19 − 21Z0 = 5.3666 = - 0.8634 /2 = 0.025 = 1.96 -0.8634 1.96, se acepta la H0.
  16. 16. Variables Aleatorias
  17. 17. ¿A qué se le llama variable aleatoria?Son mediciones cuyos valores se obtienen de algún tipo deexperimento aleatorio.Los experimentos aleatorios presentan un tratamientomatemático, en el cual se deben cuantificar los resultadosde modo que se asigne un número real a cada uno delos resultados posibles del experimento. Las variables aleatorias son aquellas que tienen un comportamiento probabilístico de la realidad.
  18. 18. Tipos de variables aleatorias Discretas Continuas NúmerosNúmeros enteros enteros y fraccionarios Número de Peso, estatura hijos
  19. 19. Determinación del tipo de distribución al que pertenece elsiguiente conjunto de datos con la herramienta Stat: :Fit.Objetivo:Utilizar la herramienta Stat::Fit con la finalidad de determinar ladistribución de probabilidad a partir de un conjunto de datos.
  20. 20. Generación de variables aleatoriasPrincipales métodos:*Método de la transformada inversa*Método de convolución*Método de composición*Método de la transformada directa*Método de aceptación y rechazo
  21. 21. Generación de variables aleatorias continuas*Método de la transformada inversaDistribución Exponencial1) Definir la función de densidad F(x) = λe-λx para x≥ 0 − 2) Función acumulada F(x) = 0 dx = 1-e-λx para x≥ 0 13) Despeje de la variable aleatoria Xi = - ln (1-ri) 4) Función acumulada inversa Xi= -λln (1-ri)
  22. 22. Generación de variables aleatorias continuasEjemplo:El tiempo, en minutos, que un alumno usa una terminal decómputo en una importante universidad sigue una distribuciónexponencial de probabilidad, con promedio de 36 minutos. Xi= -36Ln (1-ri) Alumno ri Tiempo Alumno ri Tiempo 1 0.4849 23.882192 11 0.2917 12.4159517 2 0.5128 25.8869003 12 0.5088 25.5925405 3 0.2963 12.6505134 13 0.8877 78.716931 4 0.7793 54.3942348 14 0.8011 58.1383114 5 0.7306 47.2160885 15 0.1761 6.97342016 6 0.4068 18.8000521 16 0.1011 3.83700547 7 0.5486 28.6344509 17 0.0221 0.80452309 8 0.0961 3.63731559 18 0.4884 24.1276395 9 0.2352 9.65307302 19 0.8534 69.1217096 10 0.5319 27.3266399 20 0.1323 5.10873286
  23. 23. Generación de variables aleatorias discretas*Método de la transformada inversaDistribución de Bernoulli1) Calcular todos los valores de la distribución de probabilidadp(x) de la variable a modelar: p(x)= px (1-p) 1-x para x=0, 12) Se calculan las probabilidades para x=0 y x=1 : x 0 1 p(x) 1-p p3) Calcular todos los valores de la distribución acumulada P(x). x 0 1 P(x) 1-p 14) Comparar con el valor de P(x) y determinar qué valor de xcorresponde a P(x). Si ri ∈ (0, 1 –p) x = 0 Si ri ∈ (1 –p, 1) x = 1
  24. 24. Generación de variables aleatorias discretasEjemplo:La probabilidad de que un prospecto elegido al azar realice unacompra a un agente de ventas es 0.20 (x=1) y de 0.8 de que nocompre (x=0) en un dia determinado. p(x)= (0.2)x (0.8) 1-x para x=0, 1Cálculo de probabilidades puntuales y acumuladas para x=0 y x=1 X 0 1 p(x) 0.8 0.2 P(x) 0.8 1 Si ri ∈ (0 – 0.8) x=0 Si ri ∈ (0.8 - 1) x=1
  25. 25. Generación de variables aleatorias discretas Persona ri Xi Evento: Compra 1 0.1935 0 No 2 0.1612 0 No 3 0.6451 0 No 4 0.6129 0 No 5 0.0645 0 No 6 0.0322 0 No 7 0.5161 0 No 8 0.4838 0 No 9 0.9677 1 Si 10 0.9354 1 Si 11 0.387 0 No 12 0.3548 0 No 13 0.8387 1 Si 14 0.8064 1 Si 15 0.285 0 No 16 0.2258 0 No 17 0.7096 0 No 18 0.6774 0 No 19 0.129 0 No 20 0.0967 0 No 21 0.5806 0 No 22 0.5483 0 No 23 0 0 No 24 1 1 Si 25 0.4516 0 No 26 0.4193 0 No 27 0.9032 1 Si 28 0.8709 1 Si 29 0.3225 0 No 30 0.2903 0 No 31 0.7741 0 No 32 0.7419 0 No

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