SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 16
Descargar para leer sin conexión
UNIVERSIDAD DE PANAMÁ
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y TECNOLOGÍA
           DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA




  Por:



                  apa1674@hotmail.com
INTRODUCCIÓN


    Un modelo matemático, es una traducción de la realidad de un sistema
    natural, en términos matemático.
    Una vez planteado el problema natural mediante un modelo matemático,
    podemos aplicar el álgebra, el cálculo y otras herramientas
    matemáticas para resolver el problema y posteriormente analizar el
    comportamiento del sistema que se estudia. Esto lo plantearemos en el
    siguiente diagrama:

                          Fenómeno natural


                         Modelo matemático


                         Solución del modelo

   Análisis del                                        Predicciones
comportamiento del                                     cualitativas y
     sistema                                          cuantitativas del
                                                          sistema
Un procedimiento adecuado en la resolución de un problema natural
debe estar sustentado en el entendimiento y modelado del
problema.

Luego resulta indispensable la correcta formulación del problema
natural y las condiciones complementarias que señalaremos
posteriormente.

En este trabajo pretendemos establecer las condiciones necesarias para
que un problema natural esté planteado correctamente.




Un problema de contorno está estructurado por el modelo
matemático que rige el fenómeno natural, las condiciones iniciales y las
condiciones de frontera o de borde.
Problema de contorno
                           Modelo matemático


       Condiciones                                   Condiciones
         iniciales                                   de frontera




Partiremos del supuesto de que «todo fenómeno no autónomo, debe
caracterizarse mediante funciones que dependan en forma
continua de los valores iniciales.»

De lo contrario, el fenómeno no se puede considerar bien determinado por
las condiciones iniciales.
Si la solución de un problema matemático cumple con el supuesto
anterior, entonces diremos que «el problema es estable.»

Diremos que un problema matemático está correctamente planteado si:

     Existe la solución del problema.
     La solución del problema es única.
     La solución del problema es estable.

Si el modelo matemático son sistemas de ecuaciones diferenciales
ordinarias, entonces la existencia y unicidad quedan resueltas
satisfactoriamente mediante el uso del Teorema de Picard – Lindelöf.
Primero nos plantearemos el Problema de Cauchy (PC), que establece
lo siguiente: Dado el problema de valor inicial

                         ������������
                              = ������(������, ������)
                         ������������
                   PC                        ������0 , ������0 ∈ ������������
                          ������ ������0 = ������0
Una función diferenciable ������ ∃ → (PC) si:
              ������������
                    = ������ ������, ������ ������ .
              ������������

           ������ ������0 = ������0 .


Teorema: Sea ������:         → ℝ������ ,  ⊆ ℝ × ℝ������

      i) ������ continua.
     ii) ������ localmente Lipschitziana respecto a ������. Entonces, dado
       ������0 , ������0 ∈            podemos     encontrar     un     cerrado
     ������������ = ������0 − ������, ������0 + ������ ⊂ ℝ donde existe solución única de (PC)

 Este teorema garantiza la existencia y unicidad local de la solución de una
 ecuación diferencial ordinaria dentro del intervalo ������������ .
 Es importante señalar que la condición (i) de continuidad de ������ únicamente
 asegura la existencia de soluciones.
Para garantizar la unicidad de las soluciones, es necesaria la condición de
que ������ sea Lipschitziana.
Es importante señalar que para las ecuaciones diferenciales parciales, el
problema de existencia y unicidad no ha sido resuelto completamente,
aunque el Teorema de Cauchy – Kovalevskaya establece que una ecuación
diferencial parcial (EDP) analítica en la función incógnita y sus derivadas,
tiene una solución analítica única.
Más adelante, presentaremos ejemplos de EDP cuya solución existe y es
única pero su comportamiento o propiedades son inaceptables, es decir,
que el problema es inestable.




La solución ������(������, ������) de una EDP es estable si:
                           ∀ ������ > 0       ∃ ������ ������, ������0 > 0: ������1 ������, ������ − ������2 ������, ������   < ������

                            ������)    ������1 ������ − ������2 (������) < ������
siempre que:                                                  ∀ ������ ∈ [0, ������0 ]
                           ������������)      Ψ1 ������ − Ψ2 < ������
Esto quiere decir que para cualquier intervalo de tiempo [0, ������0 ] y
cualquier grado de exactitud , existe un ������(������, ������0 ) tal que dos soluciones
cualesquiera de una EDP ������1 (������, ������) y ������2 (������, ������) se diferenciarán durante el
intervalo de tiempo en menos que , siempre que los valores iniciales


          ������1 ������, 0 = ������1 (������)             ������2 ������, 0 = ������2 (������)
                                                                       (Pc)
          ������������1                            ������������2
                         = Ψ1 (������)                        = Ψ2 (������)
           ������������   ������=0
                                            ������������   ������=0

se diferencian en menos que .
Con el propósito de dilucidar cuándo un problema está o no
correctamente planteado, veremos ejemplos de casos muy conocidos.
Ejemplo 01:     Demuestre que el problema              de       contorno               dado      está
                 correctamente planteado.

                 ������ 2 ������       ������ 2 ������                                    ������������
            (Pc)      2
                         − ������ 2 2 = 0;      ������ ������, 0 = ������(������);                          = Ψ(������)
                 ������������          ������������                                       ������������   ������=0

Solución:
        La solución del problema de contorno viene dada por la fórmula de
        D’Alambert

                                                                 ������+������������
                          1                               1
               ������ ������, ������ = ������ ������ + ������������ + ������(������ − ������������) +                  Ψ ������ ������������
                          2                               2������
                                                                ������−������������




 Mediante las transformaciones ������ = ������ + ������������, ������ = ������ − ������������ la función ������ se
 transforma en una función de ������ y ������, es decir, ������ ������, ������ = ������ ������, ������ . Luego
 aplicando la regla de la cadena se tiene que
������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������
                         =    ∙    +    ∙    =    +
                     ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������

                  ������ 2 ������   ������ ������������ ������������ ������������ ������ ������������ ������������ ������������
                          =        +         +        +
                  ������������ 2 ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������

                           ������ 2 ������ ������ 2 ������     ������ 2 ������ ������ 2 ������
                                  =        +2         +              (1)
                           ������������ 2 ������������ 2      ������������������������ ������������ 2

De igual manera
                            ������������ ������������ ������������ ������������ ������������
                                =    ∙    +    ∙
                            ������������ ������������ ������������ ������������ ������������

                               ������������      ������������ ������������
                                    = ������     −
                               ������������      ������������ ������������

              ������ 2 ������       ������ ������������ ������������ ������������ ������ ������������ ������������ ������������
                      = ������          −         +         −
              ������������ 2       ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������
������ 2 ������        ������ 2 ������     ������ 2 ������ ������ 2 ������
                            = ������ 2
                                           −2         +                  (2)
                    ������������ 2         ������������ 2     ������������������������ ������������ 2


Sustituyendo (1) y (2) en la EDP de (Pc), se tiene:

                                       ������ 2 ������
                                               =0
                                      ������������������������

Integrando parcialmente respecto a ������ se tiene

                         ������������
                              = ℎ(������)   de donde
                         ������������
                     ������ ������, ������ = ℎ ������ ������������ + ������2 (������)= ������1 ������ + ������2 ������
                      ������ ������, ������ = ������1 ������ + ������������ + ������2 (������ − ������������)

Por consiguiente
                     ������ ������, ������ = ������1 ������ + ������������ + ������2 (������ − ������������)         (3)
Determinemos las funciones ������1 y ������2 tales que se cumplan las condiciones
iniciales:
             ������ ������, ������ = ������1 ������ + ������2 ������ = ������ ������                                 (������������)

                  ������������
                                = ������ ������1′ ������ − ������ ������2 ������ = Ψ ������
                                                     ′
                                                                                 (������������)
                  ������������   ������=0

Integrando (4b) se tiene                                      ������
                                                    1
                                ������1 ������ − ������2 ������ =                  Ψ ������ ������������ + ������
                                                    ������
                                                          ������0
Luego obtenemos el sistema

                                  ������1 ������ + ������2 ������ = ������(������)
                                                    ������
                                       1
                     ������1 ������ − ������2 ������ =                   Ψ ������ ������������ + ������
                                       2������
                                                ������0
                                                         ������
de donde                     1        1                                     ������
                     ������1 ������ = ������ ������ +                         Ψ ������ ������������ +
                             2        2������                                   2
                                                    ������0
������
                                           1         1                                ������
                           ������2 ������ =          ������ ������ −                Ψ ������ ������������ −
                                           2         2������                              2
                                                             ������0

  Sustituyendo en (3) se tiene

                                     ������+������������                                                        ������−������������
              1                1                             ������ 1               1                                           ������
������ ������, ������ =     ������ ������ + ������������ +                 Ψ ������ ������������ +     + ������ ������ − ������������ −                               Ψ ������ ������������ −
              2                2������                           2 2                2������                                         2
                                     ������0                                                                ������0
                                                                    ������+������������                   ������−������������
                     ������ ������ + ������������ + ������ ������ − ������������   1
       ������ ������, ������ =                               +                            Ψ ������ ������������ −               Ψ ������ ������������
                                  2                2������
                                                                    ������0                       ������0

                                                                                 ������+������������
                              ������ ������ + ������������ + ������ ������ − ������������   1
                  ������ ������, ������ =                             +                                Ψ ������ ������������
                                           2                2������
                                                                                ������−������������


  Podemos comprobar con relativa facilidad que la fórmula de D’Alambert
  satisface el problema de contorno bajo la hipótesis de que  ∈ ������ 2 −∞, +∞
  y Ψ ∈ ������ ′ (−∞, +∞).
Podemos demostrar la unicidad de la solución, teniendo presente que si
    existiera una segunda solución del problema ésta sería exactamente la
    fórmula de D’Alambert.

     Analicemos ahora la estabilidad de la solución, es decir, investiguemos si
     la solución varía en forma continua conforme las condiciones iniciales
     varían en forma continua. En efecto, sean ������1 (������, ������) y ������2 (������, ������)tales que

        ������1 ������, ������ ∃   (������������)                        ������2 ������, ������ ∃   (������������)

     Entonces
                           1
������1 ������, ������ − ������2 (������, ������) ≤ φ1 ������ + ������������ − φ2 ������ + ������������ +
                           2
                                                                      ������+������������
                        1                              1
                       + φ1 ������ − ������������ − φ2 ������ − ������������ +                          Ψ1 ������ − Ψ2 ������ ������������
                        2                              2������
                                                                    ������−������������

     de donde se obtiene que
                                                          ������ ������ 1
                                ������1 ������, ������ − ������2 (������, ������) ≤  + + (2δ������������0 )
                                                          2 2 2������
                                                        ≤ ������ + ������������0
                                                        ≤ ������(1 + ������0 )
Luego
                                                                               ������
                ������1 ������, ������ − ������2 (������, ������) ≤ ������    siempre que           ������ =
                                                                             1 + ������0

  En consecuencia, el problema de contorno (Pc) está planteado
  correctamente.

 Ejemplo 02:       Demuestre que el problema de contorno dado está formulado
                   incorrectamente.

������ 2 ������ ������ 2 ������
       +        = 0;   ������1 ������, 0 = ������1 ������ = 0; ������2 ������, 0 = ������2 ������ = sin ������������;              ������ ∈ ℤ
������������ 2 ������������ 2                                                         ������

                           ������������1                         ������������2                             (Pc)
                                          = Ψ1 = 0;                     = Ψ2 = 0;
                            ������������   ������=0
                                                          ������������   ������=0

Solución:

      Podemos demostrar que:
                                                              sin ������������ ∙ (������ℎ������������)
       ������1 ������, ������ ≡ 0 ∃     (������������);              ������2 ������, ������ =                      ∃   (������������)
                                                                       ������
sin ������������ ∙ (������ℎ������������)
               ������1 ������, ������ − ������2 (������, ������) = 0 −
                                                          ������

                             sin ������������ ∙ (������ℎ������������)
                          0−                                ∞      ������ fijo
                                      ������             ������→∞



mientras que
                                                     sin ������������
                              Ψ1 − Ψ2 = 0 −                             0
                                                        ������      ������→∞


  Luego la situación no varía en forma continua conforme a las
  condiciones iniciales. En consecuencia, el problema de contorno está
  mal propuesto.

  Estos problemas mal definidos, no son en general satisfactorios para
  aplicaciones física.

                                 Muchas gracias…

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Clase 6 ecuaciones diferenciales 2017 1
Clase 6 ecuaciones diferenciales 2017 1Clase 6 ecuaciones diferenciales 2017 1
Clase 6 ecuaciones diferenciales 2017 1rau pac
 
Ecuaciones diferenciales orden superior
Ecuaciones diferenciales orden superiorEcuaciones diferenciales orden superior
Ecuaciones diferenciales orden superiorJohana lopez
 
Ecuaciones (metodos de solucion)
Ecuaciones (metodos de solucion)Ecuaciones (metodos de solucion)
Ecuaciones (metodos de solucion)ERICK CONDE
 
Ecuaciones diferenciales de variables se parables
Ecuaciones diferenciales de variables se parablesEcuaciones diferenciales de variables se parables
Ecuaciones diferenciales de variables se parablesjuliocesarmontoya
 
Ejercicios resueltos edo homogéneas
Ejercicios resueltos edo homogéneasEjercicios resueltos edo homogéneas
Ejercicios resueltos edo homogéneasYerikson Huz
 
Ecuaciones de 1er orden
Ecuaciones de 1er ordenEcuaciones de 1er orden
Ecuaciones de 1er ordenVelmuz Buzz
 
Ecuaciones lineales y reducibles a estas ejercicios
Ecuaciones lineales y reducibles a estas ejerciciosEcuaciones lineales y reducibles a estas ejercicios
Ecuaciones lineales y reducibles a estas ejerciciosDERORI
 
Solucionario ecuaciones2
Solucionario ecuaciones2Solucionario ecuaciones2
Solucionario ecuaciones2ERICK CONDE
 
Texto de ecuaciones_diferenciales (1)
Texto de ecuaciones_diferenciales (1)Texto de ecuaciones_diferenciales (1)
Texto de ecuaciones_diferenciales (1)salvatore78
 
E.D de primer orden guia de estudio
E.D de primer orden guia de estudio E.D de primer orden guia de estudio
E.D de primer orden guia de estudio Salomon Rivera
 
Ecuaciones (conceptos)
Ecuaciones (conceptos)Ecuaciones (conceptos)
Ecuaciones (conceptos)ERICK CONDE
 

La actualidad más candente (15)

Tarea remedial-andrés-pastuña
Tarea remedial-andrés-pastuñaTarea remedial-andrés-pastuña
Tarea remedial-andrés-pastuña
 
Clase 6 ecuaciones diferenciales 2017 1
Clase 6 ecuaciones diferenciales 2017 1Clase 6 ecuaciones diferenciales 2017 1
Clase 6 ecuaciones diferenciales 2017 1
 
Edo1er orden
Edo1er ordenEdo1er orden
Edo1er orden
 
Cap7
Cap7Cap7
Cap7
 
Ecuaciones diferenciales orden superior
Ecuaciones diferenciales orden superiorEcuaciones diferenciales orden superior
Ecuaciones diferenciales orden superior
 
Ecuaciones (metodos de solucion)
Ecuaciones (metodos de solucion)Ecuaciones (metodos de solucion)
Ecuaciones (metodos de solucion)
 
Ecuaciones diferenciales de variables se parables
Ecuaciones diferenciales de variables se parablesEcuaciones diferenciales de variables se parables
Ecuaciones diferenciales de variables se parables
 
Ejercicios resueltos edo homogéneas
Ejercicios resueltos edo homogéneasEjercicios resueltos edo homogéneas
Ejercicios resueltos edo homogéneas
 
Ecuaciones de 1er orden
Ecuaciones de 1er ordenEcuaciones de 1er orden
Ecuaciones de 1er orden
 
Ecuaciones lineales y reducibles a estas ejercicios
Ecuaciones lineales y reducibles a estas ejerciciosEcuaciones lineales y reducibles a estas ejercicios
Ecuaciones lineales y reducibles a estas ejercicios
 
Solucionario ecuaciones2
Solucionario ecuaciones2Solucionario ecuaciones2
Solucionario ecuaciones2
 
1par edos2010 1
1par edos2010 11par edos2010 1
1par edos2010 1
 
Texto de ecuaciones_diferenciales (1)
Texto de ecuaciones_diferenciales (1)Texto de ecuaciones_diferenciales (1)
Texto de ecuaciones_diferenciales (1)
 
E.D de primer orden guia de estudio
E.D de primer orden guia de estudio E.D de primer orden guia de estudio
E.D de primer orden guia de estudio
 
Ecuaciones (conceptos)
Ecuaciones (conceptos)Ecuaciones (conceptos)
Ecuaciones (conceptos)
 

Destacado

Preguntas de Teoría temas 6 7
Preguntas de Teoría temas 6 7Preguntas de Teoría temas 6 7
Preguntas de Teoría temas 6 7jhbenito
 
El empresario taller a
El empresario taller  aEl empresario taller  a
El empresario taller asaesqui
 
Formularios de excel
Formularios de excelFormularios de excel
Formularios de excelKary Cordova
 
Tema 4 (Problemas)
Tema 4 (Problemas)Tema 4 (Problemas)
Tema 4 (Problemas)jhbenito
 
Laboratorio parte i ecuaciones diferenciales 2014 ii (1)
Laboratorio parte i ecuaciones diferenciales 2014 ii (1)Laboratorio parte i ecuaciones diferenciales 2014 ii (1)
Laboratorio parte i ecuaciones diferenciales 2014 ii (1)Archi Maco
 
Raices De Ecuaciones, Newton
Raices De Ecuaciones, NewtonRaices De Ecuaciones, Newton
Raices De Ecuaciones, Newtonmallita
 
6.2 Contrastes de Hipótesis relativas a dos poblaciones
6.2  Contrastes de Hipótesis relativas a dos poblaciones6.2  Contrastes de Hipótesis relativas a dos poblaciones
6.2 Contrastes de Hipótesis relativas a dos poblacionesConsuelo Valle
 
Seguridad de los procesos
Seguridad de los procesosSeguridad de los procesos
Seguridad de los procesos20121dhtics
 
Presentacion de forrados de estanques o reservorios
Presentacion de forrados de estanques o reservoriosPresentacion de forrados de estanques o reservorios
Presentacion de forrados de estanques o reservoriosnicolas flores valenzuela
 
Algunas soluciones pasos
Algunas soluciones pasosAlgunas soluciones pasos
Algunas soluciones pasoskipirinai
 
Rehabilitación psicosocial 3 c
Rehabilitación psicosocial 3 cRehabilitación psicosocial 3 c
Rehabilitación psicosocial 3 cLizbeth Howl
 

Destacado (20)

Preguntas de Teoría temas 6 7
Preguntas de Teoría temas 6 7Preguntas de Teoría temas 6 7
Preguntas de Teoría temas 6 7
 
El empresario taller a
El empresario taller  aEl empresario taller  a
El empresario taller a
 
Formularios de excel
Formularios de excelFormularios de excel
Formularios de excel
 
Tema 4 (Problemas)
Tema 4 (Problemas)Tema 4 (Problemas)
Tema 4 (Problemas)
 
Laboratorio parte i ecuaciones diferenciales 2014 ii (1)
Laboratorio parte i ecuaciones diferenciales 2014 ii (1)Laboratorio parte i ecuaciones diferenciales 2014 ii (1)
Laboratorio parte i ecuaciones diferenciales 2014 ii (1)
 
Raices De Ecuaciones, Newton
Raices De Ecuaciones, NewtonRaices De Ecuaciones, Newton
Raices De Ecuaciones, Newton
 
6.2 Contrastes de Hipótesis relativas a dos poblaciones
6.2  Contrastes de Hipótesis relativas a dos poblaciones6.2  Contrastes de Hipótesis relativas a dos poblaciones
6.2 Contrastes de Hipótesis relativas a dos poblaciones
 
Antzinaroa
AntzinaroaAntzinaroa
Antzinaroa
 
Seguridad de los procesos
Seguridad de los procesosSeguridad de los procesos
Seguridad de los procesos
 
Presentacion de forrados de estanques o reservorios
Presentacion de forrados de estanques o reservoriosPresentacion de forrados de estanques o reservorios
Presentacion de forrados de estanques o reservorios
 
Nuevo sillabo
Nuevo sillaboNuevo sillabo
Nuevo sillabo
 
Mama
MamaMama
Mama
 
Algunas soluciones pasos
Algunas soluciones pasosAlgunas soluciones pasos
Algunas soluciones pasos
 
programa7
programa7programa7
programa7
 
Sesion01
Sesion01Sesion01
Sesion01
 
Problemas
ProblemasProblemas
Problemas
 
Rehabilitación psicosocial 3 c
Rehabilitación psicosocial 3 cRehabilitación psicosocial 3 c
Rehabilitación psicosocial 3 c
 
Aclarando
AclarandoAclarando
Aclarando
 
Evo tic
Evo ticEvo tic
Evo tic
 
Geometria 11°
Geometria 11°Geometria 11°
Geometria 11°
 

Similar a Profesor aparicio sobre contornos

Ecuaciones 2do orden
Ecuaciones 2do ordenEcuaciones 2do orden
Ecuaciones 2do ordenERICK CONDE
 
Metodos de optimizacion
Metodos de optimizacionMetodos de optimizacion
Metodos de optimizaciondev_david
 
Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera
Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la fronteraEcuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera
Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la fronteraJoe Arroyo Suárez
 
2.4 ecuaciones, funciones e inecuaciones cuadráticas (mayo 0
2.4 ecuaciones, funciones e inecuaciones cuadráticas (mayo 02.4 ecuaciones, funciones e inecuaciones cuadráticas (mayo 0
2.4 ecuaciones, funciones e inecuaciones cuadráticas (mayo 0Raul Noguera Morillo
 
Solucion Ex 2ª Ev 2ºBach
Solucion Ex 2ª Ev 2ºBachSolucion Ex 2ª Ev 2ºBach
Solucion Ex 2ª Ev 2ºBachantoniocossio
 
Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera
Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la fronteraEcuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera
Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la fronteraJoe Arroyo Suárez
 
Distribución de temperaturas en una placa con simulación en paralelo
Distribución de temperaturas en una placa con simulación en paraleloDistribución de temperaturas en una placa con simulación en paralelo
Distribución de temperaturas en una placa con simulación en paraleloJavier García Molleja
 
Ecuaciones%2 b diferenciales%2bde%2bsegundo%2borden
Ecuaciones%2 b diferenciales%2bde%2bsegundo%2bordenEcuaciones%2 b diferenciales%2bde%2bsegundo%2borden
Ecuaciones%2 b diferenciales%2bde%2bsegundo%2bordenEdi Uguña
 
Ecuaciones diferenciales para la ingenieria. docx
Ecuaciones diferenciales para la ingenieria. docxEcuaciones diferenciales para la ingenieria. docx
Ecuaciones diferenciales para la ingenieria. docxFremy Guedez
 
Ecuaciones diferenciales para aplicarla en la ingenieria.
Ecuaciones diferenciales para aplicarla en la ingenieria.Ecuaciones diferenciales para aplicarla en la ingenieria.
Ecuaciones diferenciales para aplicarla en la ingenieria.Fremy Guedez
 
Funciones CuadráTicas
Funciones CuadráTicas Funciones CuadráTicas
Funciones CuadráTicas Carmen Batiz
 
Microsoft word 7.sistemas de ecuaciones diferenciales en derivadas par...
Microsoft word   7.sistemas de ecuaciones diferenciales      en derivadas par...Microsoft word   7.sistemas de ecuaciones diferenciales      en derivadas par...
Microsoft word 7.sistemas de ecuaciones diferenciales en derivadas par...iverd
 
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenEcuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenKike Prieto
 
Ecuaciones Diferenciales 2do Orden.
Ecuaciones Diferenciales 2do Orden.Ecuaciones Diferenciales 2do Orden.
Ecuaciones Diferenciales 2do Orden.Angel Guevara Orozco
 
Matematicas 1
Matematicas 1Matematicas 1
Matematicas 1kebni
 

Similar a Profesor aparicio sobre contornos (20)

Ecuaciones direneciales con matlab
Ecuaciones direneciales con matlabEcuaciones direneciales con matlab
Ecuaciones direneciales con matlab
 
Ecuaciones 2do orden
Ecuaciones 2do ordenEcuaciones 2do orden
Ecuaciones 2do orden
 
Edo2do orden
Edo2do ordenEdo2do orden
Edo2do orden
 
Metodos de optimizacion
Metodos de optimizacionMetodos de optimizacion
Metodos de optimizacion
 
Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera
Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la fronteraEcuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera
Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera
 
2.4 ecuaciones, funciones e inecuaciones cuadráticas (mayo 0
2.4 ecuaciones, funciones e inecuaciones cuadráticas (mayo 02.4 ecuaciones, funciones e inecuaciones cuadráticas (mayo 0
2.4 ecuaciones, funciones e inecuaciones cuadráticas (mayo 0
 
Solucion Ex 2ª Ev 2ºBach
Solucion Ex 2ª Ev 2ºBachSolucion Ex 2ª Ev 2ºBach
Solucion Ex 2ª Ev 2ºBach
 
Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera
Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la fronteraEcuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera
Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera
 
Distribución de temperaturas en una placa con simulación en paralelo
Distribución de temperaturas en una placa con simulación en paraleloDistribución de temperaturas en una placa con simulación en paralelo
Distribución de temperaturas en una placa con simulación en paralelo
 
Ecuaciones%2 b diferenciales%2bde%2bsegundo%2borden
Ecuaciones%2 b diferenciales%2bde%2bsegundo%2bordenEcuaciones%2 b diferenciales%2bde%2bsegundo%2borden
Ecuaciones%2 b diferenciales%2bde%2bsegundo%2borden
 
Mr1i 753-2007-2
Mr1i 753-2007-2Mr1i 753-2007-2
Mr1i 753-2007-2
 
Ecuaciones diferenciales para la ingenieria. docx
Ecuaciones diferenciales para la ingenieria. docxEcuaciones diferenciales para la ingenieria. docx
Ecuaciones diferenciales para la ingenieria. docx
 
Ecuaciones diferenciales para aplicarla en la ingenieria.
Ecuaciones diferenciales para aplicarla en la ingenieria.Ecuaciones diferenciales para aplicarla en la ingenieria.
Ecuaciones diferenciales para aplicarla en la ingenieria.
 
Trigono
TrigonoTrigono
Trigono
 
Funciones CuadráTicas
Funciones CuadráTicas Funciones CuadráTicas
Funciones CuadráTicas
 
Microsoft word 7.sistemas de ecuaciones diferenciales en derivadas par...
Microsoft word   7.sistemas de ecuaciones diferenciales      en derivadas par...Microsoft word   7.sistemas de ecuaciones diferenciales      en derivadas par...
Microsoft word 7.sistemas de ecuaciones diferenciales en derivadas par...
 
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenEcuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
 
Ecuaciones Diferenciales 2do Orden.
Ecuaciones Diferenciales 2do Orden.Ecuaciones Diferenciales 2do Orden.
Ecuaciones Diferenciales 2do Orden.
 
Resolucion resonancia oannes
Resolucion resonancia oannesResolucion resonancia oannes
Resolucion resonancia oannes
 
Matematicas 1
Matematicas 1Matematicas 1
Matematicas 1
 

Profesor aparicio sobre contornos

  • 1. UNIVERSIDAD DE PANAMÁ FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Por: apa1674@hotmail.com
  • 2. INTRODUCCIÓN Un modelo matemático, es una traducción de la realidad de un sistema natural, en términos matemático. Una vez planteado el problema natural mediante un modelo matemático, podemos aplicar el álgebra, el cálculo y otras herramientas matemáticas para resolver el problema y posteriormente analizar el comportamiento del sistema que se estudia. Esto lo plantearemos en el siguiente diagrama: Fenómeno natural Modelo matemático Solución del modelo Análisis del Predicciones comportamiento del cualitativas y sistema cuantitativas del sistema
  • 3. Un procedimiento adecuado en la resolución de un problema natural debe estar sustentado en el entendimiento y modelado del problema. Luego resulta indispensable la correcta formulación del problema natural y las condiciones complementarias que señalaremos posteriormente. En este trabajo pretendemos establecer las condiciones necesarias para que un problema natural esté planteado correctamente. Un problema de contorno está estructurado por el modelo matemático que rige el fenómeno natural, las condiciones iniciales y las condiciones de frontera o de borde.
  • 4. Problema de contorno Modelo matemático Condiciones Condiciones iniciales de frontera Partiremos del supuesto de que «todo fenómeno no autónomo, debe caracterizarse mediante funciones que dependan en forma continua de los valores iniciales.» De lo contrario, el fenómeno no se puede considerar bien determinado por las condiciones iniciales.
  • 5. Si la solución de un problema matemático cumple con el supuesto anterior, entonces diremos que «el problema es estable.» Diremos que un problema matemático está correctamente planteado si:  Existe la solución del problema.  La solución del problema es única.  La solución del problema es estable. Si el modelo matemático son sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, entonces la existencia y unicidad quedan resueltas satisfactoriamente mediante el uso del Teorema de Picard – Lindelöf. Primero nos plantearemos el Problema de Cauchy (PC), que establece lo siguiente: Dado el problema de valor inicial ������������ = ������(������, ������) ������������ PC ������0 , ������0 ∈ ������������ ������ ������0 = ������0
  • 6. Una función diferenciable ������ ∃ → (PC) si: ������������  = ������ ������, ������ ������ . ������������  ������ ������0 = ������0 . Teorema: Sea ������: → ℝ������ ,  ⊆ ℝ × ℝ������ i) ������ continua. ii) ������ localmente Lipschitziana respecto a ������. Entonces, dado ������0 , ������0 ∈  podemos encontrar un cerrado ������������ = ������0 − ������, ������0 + ������ ⊂ ℝ donde existe solución única de (PC) Este teorema garantiza la existencia y unicidad local de la solución de una ecuación diferencial ordinaria dentro del intervalo ������������ . Es importante señalar que la condición (i) de continuidad de ������ únicamente asegura la existencia de soluciones.
  • 7. Para garantizar la unicidad de las soluciones, es necesaria la condición de que ������ sea Lipschitziana. Es importante señalar que para las ecuaciones diferenciales parciales, el problema de existencia y unicidad no ha sido resuelto completamente, aunque el Teorema de Cauchy – Kovalevskaya establece que una ecuación diferencial parcial (EDP) analítica en la función incógnita y sus derivadas, tiene una solución analítica única. Más adelante, presentaremos ejemplos de EDP cuya solución existe y es única pero su comportamiento o propiedades son inaceptables, es decir, que el problema es inestable. La solución ������(������, ������) de una EDP es estable si: ∀ ������ > 0 ∃ ������ ������, ������0 > 0: ������1 ������, ������ − ������2 ������, ������ < ������ ������) ������1 ������ − ������2 (������) < ������ siempre que: ∀ ������ ∈ [0, ������0 ] ������������) Ψ1 ������ − Ψ2 < ������
  • 8. Esto quiere decir que para cualquier intervalo de tiempo [0, ������0 ] y cualquier grado de exactitud , existe un ������(������, ������0 ) tal que dos soluciones cualesquiera de una EDP ������1 (������, ������) y ������2 (������, ������) se diferenciarán durante el intervalo de tiempo en menos que , siempre que los valores iniciales ������1 ������, 0 = ������1 (������) ������2 ������, 0 = ������2 (������) (Pc) ������������1 ������������2 = Ψ1 (������) = Ψ2 (������) ������������ ������=0 ������������ ������=0 se diferencian en menos que . Con el propósito de dilucidar cuándo un problema está o no correctamente planteado, veremos ejemplos de casos muy conocidos.
  • 9. Ejemplo 01: Demuestre que el problema de contorno dado está correctamente planteado. ������ 2 ������ ������ 2 ������ ������������ (Pc) 2 − ������ 2 2 = 0; ������ ������, 0 = ������(������); = Ψ(������) ������������ ������������ ������������ ������=0 Solución: La solución del problema de contorno viene dada por la fórmula de D’Alambert ������+������������ 1 1 ������ ������, ������ = ������ ������ + ������������ + ������(������ − ������������) + Ψ ������ ������������ 2 2������ ������−������������ Mediante las transformaciones ������ = ������ + ������������, ������ = ������ − ������������ la función ������ se transforma en una función de ������ y ������, es decir, ������ ������, ������ = ������ ������, ������ . Luego aplicando la regla de la cadena se tiene que
  • 10. ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ = ∙ + ∙ = + ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������ 2 ������ ������ ������������ ������������ ������������ ������ ������������ ������������ ������������ = + + + ������������ 2 ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������ 2 ������ ������ 2 ������ ������ 2 ������ ������ 2 ������ = +2 + (1) ������������ 2 ������������ 2 ������������������������ ������������ 2 De igual manera ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ = ∙ + ∙ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ = ������ − ������������ ������������ ������������ ������ 2 ������ ������ ������������ ������������ ������������ ������ ������������ ������������ ������������ = ������ − + − ������������ 2 ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������
  • 11. ������ 2 ������ ������ 2 ������ ������ 2 ������ ������ 2 ������ = ������ 2 −2 + (2) ������������ 2 ������������ 2 ������������������������ ������������ 2 Sustituyendo (1) y (2) en la EDP de (Pc), se tiene: ������ 2 ������ =0 ������������������������ Integrando parcialmente respecto a ������ se tiene ������������ = ℎ(������) de donde ������������ ������ ������, ������ = ℎ ������ ������������ + ������2 (������)= ������1 ������ + ������2 ������ ������ ������, ������ = ������1 ������ + ������������ + ������2 (������ − ������������) Por consiguiente ������ ������, ������ = ������1 ������ + ������������ + ������2 (������ − ������������) (3)
  • 12. Determinemos las funciones ������1 y ������2 tales que se cumplan las condiciones iniciales: ������ ������, ������ = ������1 ������ + ������2 ������ = ������ ������ (������������) ������������ = ������ ������1′ ������ − ������ ������2 ������ = Ψ ������ ′ (������������) ������������ ������=0 Integrando (4b) se tiene ������ 1 ������1 ������ − ������2 ������ = Ψ ������ ������������ + ������ ������ ������0 Luego obtenemos el sistema ������1 ������ + ������2 ������ = ������(������) ������ 1 ������1 ������ − ������2 ������ = Ψ ������ ������������ + ������ 2������ ������0 ������ de donde 1 1 ������ ������1 ������ = ������ ������ + Ψ ������ ������������ + 2 2������ 2 ������0
  • 13. ������ 1 1 ������ ������2 ������ = ������ ������ − Ψ ������ ������������ − 2 2������ 2 ������0 Sustituyendo en (3) se tiene ������+������������ ������−������������ 1 1 ������ 1 1 ������ ������ ������, ������ = ������ ������ + ������������ + Ψ ������ ������������ + + ������ ������ − ������������ − Ψ ������ ������������ − 2 2������ 2 2 2������ 2 ������0 ������0 ������+������������ ������−������������ ������ ������ + ������������ + ������ ������ − ������������ 1 ������ ������, ������ = + Ψ ������ ������������ − Ψ ������ ������������ 2 2������ ������0 ������0 ������+������������ ������ ������ + ������������ + ������ ������ − ������������ 1 ������ ������, ������ = + Ψ ������ ������������ 2 2������ ������−������������ Podemos comprobar con relativa facilidad que la fórmula de D’Alambert satisface el problema de contorno bajo la hipótesis de que  ∈ ������ 2 −∞, +∞ y Ψ ∈ ������ ′ (−∞, +∞).
  • 14. Podemos demostrar la unicidad de la solución, teniendo presente que si existiera una segunda solución del problema ésta sería exactamente la fórmula de D’Alambert. Analicemos ahora la estabilidad de la solución, es decir, investiguemos si la solución varía en forma continua conforme las condiciones iniciales varían en forma continua. En efecto, sean ������1 (������, ������) y ������2 (������, ������)tales que ������1 ������, ������ ∃ (������������) ������2 ������, ������ ∃ (������������) Entonces 1 ������1 ������, ������ − ������2 (������, ������) ≤ φ1 ������ + ������������ − φ2 ������ + ������������ + 2 ������+������������ 1 1 + φ1 ������ − ������������ − φ2 ������ − ������������ + Ψ1 ������ − Ψ2 ������ ������������ 2 2������ ������−������������ de donde se obtiene que ������ ������ 1 ������1 ������, ������ − ������2 (������, ������) ≤ + + (2δ������������0 ) 2 2 2������ ≤ ������ + ������������0 ≤ ������(1 + ������0 )
  • 15. Luego ������ ������1 ������, ������ − ������2 (������, ������) ≤ ������ siempre que ������ = 1 + ������0 En consecuencia, el problema de contorno (Pc) está planteado correctamente. Ejemplo 02: Demuestre que el problema de contorno dado está formulado incorrectamente. ������ 2 ������ ������ 2 ������ + = 0; ������1 ������, 0 = ������1 ������ = 0; ������2 ������, 0 = ������2 ������ = sin ������������; ������ ∈ ℤ ������������ 2 ������������ 2 ������ ������������1 ������������2 (Pc) = Ψ1 = 0; = Ψ2 = 0; ������������ ������=0 ������������ ������=0 Solución: Podemos demostrar que: sin ������������ ∙ (������ℎ������������) ������1 ������, ������ ≡ 0 ∃ (������������); ������2 ������, ������ = ∃ (������������) ������
  • 16. sin ������������ ∙ (������ℎ������������) ������1 ������, ������ − ������2 (������, ������) = 0 − ������ sin ������������ ∙ (������ℎ������������) 0− ∞ ������ fijo ������ ������→∞ mientras que sin ������������ Ψ1 − Ψ2 = 0 − 0 ������ ������→∞ Luego la situación no varía en forma continua conforme a las condiciones iniciales. En consecuencia, el problema de contorno está mal propuesto. Estos problemas mal definidos, no son en general satisfactorios para aplicaciones física. Muchas gracias…